BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

Átírás

1 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés illetve a mérnöi tervezés problémaörében. A Bayes-féle módszer vonzóereje abban áll, hogy épes egyesíteni a megfigyelésből apott adatoból valamint az a priori feltevéseből apott információat, ezáltal generálva egy a posteriori információt olyan mennyiségeel apcsolatban, amelye a vizsgálato szempontjából fontosa. A módszer tényleges hatéonyságát az mutatja, hogy az a priori becsléseről az a posteriori becslésere történő áttérés tetszőlegesen soszor ismételhető. Ez a módszer egyaránt hatéonyan alalmazható rita eseményeel apcsolatos mérnöi tervezésben valamint ocázatelemzésben és a tudomány egyéb területein is. BAYESIAN ANALYSIS IN RISK ASSESSMENT, APPLICATION OF DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS This wor discusses the applicability of Bayesian methods to probabilistic ris assessment and engineering design problems. The attraction of Bayesian methods lies in their ability to integrate observed data and prior nowledge to form a posterior distribution estimate of a quantity of interest. Conceptually, Bayesian methods are desirable because they have the property of taing prior estimates and updating them with data over time. This methodology might be useful to engineering managers for rare event ris analysis in other applications and other disciplines as well.. Bevezetés A Bayes-féle analízis a valószínűség elmélet igen hatéony eszöze, amely módszer napjainban, ülönösen a terrorcseleményeel apcsolatosan, de egyéb mérnöi tervezési gyaorlatban is egyre elterjedtebben alalmazott ocázatelemzési módszer [][]. A Bayes-elmélet valitatíve egyi legfontosabb tulajdonsága, hogy olyan eseteben is eredménnyel alalmazható, amior a vizsgált jelenség nagyon rita, így a hagyományos gyaorisági analízisen alapuló valószínűségi módszere csődöt mondana, mert a statisztiai elemzéshez nem áll rendelezésre ellő méretű minta. Rita eseménye pedig tipiusan a ocázatelemzés témaörében fordulna elő. Ebben az esetben a módszer egy a priori becslésre épül, amely nem elsősorban a tapasztalatból levont öveteztetéseet tartalmaz, hanem inább elméleti jellegű megfontoláso eredménye. Ezeet a ezdeti becsléseet lehet az analízis során frissíteni, valahányszor a tapasztalat a birtounba juttat információat a vizsgált rendszerrel apcsolatban. A frissítés pedig elméletileg tetszőlegesen soszor ismételhető, az alább bemutatott példában egyszerű matematiai formulá felhasználásával [3]. Ebben a dolgozatban az egyi legfontosabb és legszélesörűbben alalmazható diszrét eloszlás, a binomiális eloszlás és enne többdimenziós megfelelője, a polinomiális eloszlás apcsán mutatju be az elmélet alalmazhatóságát. m. alezredes, HM Hadfelszerelési és Vagyonfelügyeleti Főosztály, balogh.zsuzsanna@hm.gov.hu dr; Óbudai Egyetem Báni Donát Gépész és Biztonságtechniai Mérnöi Kar Mechatroniai Intézet, hana.laszlo@gb.uni-obuda.hu 3 Letorálta: Prof. Dr. Poorádi László, egyetemi tanár, Debreceni Egyetem, pooradi@eng.unideb.hu 3

2 . A Bayes-analízis alapgondolata Tegyü fel, hogy egy olyan valószínűségi modellt alalmazun, amely egy f x sűrűségfüggvénnyel leírt valószínűség eloszlással adható meg [4][5][6]. Ebben a modellben mindig vanna paramétere, amelye a modell leglényegesebb jellemzői, és amelye változtatása lehetővé teszi a modell pontosítását. Jelölje ezt a paramétert, amely lehet salár, ha egyetlen paraméterről van szó, =, de lehet vetor is = (,, ), ha a modellben több paraméter szerepel. Ebben az esetben a sűrűségfüggvényt f x jelöli, hangsúlyozva a paramétertől való függést. A Bayes-analízis alalmazásána egyi saralatos pontja, hogy a paramétert úgy teintjü, hogy maga is valószínűségi változó, melyne eloszlását jelölje (), ezt nevezzü a priori eloszlásna. Ha a paramétere egy T tartományon vehetne fel értéet, aor a Bayes-tétel általános alaja a övetező: ahol x T d f x f x x f x f x (.) jelöli az a posteriori eloszlás sűrűségfüggvényét [4,5,6]. Általában a valószínűségi változó egy olyan valószínűség eloszlással adott, amely ugyancsa paraméteretől függ, ezeet az elméletben hiperparaméterene nevezzü. Jelölje most ezeet, amely ugyancsa lehet salár vagy vetor attól függően, hogy hány paraméterrel adott eloszlással modellezzü a paramétert. Ezt is ifejezésre ell juttatnun a jelöléseinben, ha hangsúlyozni szeretnén a hiperparamétere jelenlétét és szerepét. Eor a Bayes-tétel általánosabb alaja: f x, f x, x, f x f x, d Itt bevezetjü az elméletben szoásos elnevezéseet a x, x, T, az a posteriori eloszlás, és végül az f x, f x, (.) az a priori eloszlás, a a lielihood függvény [7]. Ezen bevezető után a Bayes-analízis alalmazási lehetősége illetve az alalmazás logiája a övetezőben áll. Vizsgálun egy ocázati tényezőt jelentő problémát, amely ocázatot egy valószínűségi változóval írun le. Ez lehet diszrét és lehet folytonos eloszlású is. Ebben a dolgozatban a diszrét eloszlás alalmazási lehetőségét mutatju be. Ezt a valószínűség eloszlást egy lielihood függvénnyel vesszü figyelembe. Ebben a függvényben vanna szabad paramétere, amelye az eloszlás jellemző adatai. Tegyü fel, hogy ezeről az adatoról evés információn van, ugyanis mint alább iderül, az elmélet éppen ebben a szituációban alalmazható gyümölcsözően. Ha evés az információ az alalmazott eloszlás paramétereiről, aor logius feltevés, hogy teintsü ezen paramétereet is valószínűségi változóna. Ezen valószínűségi változó is bizonyos újabb paramétereel, a hiperparamétereel definiált valószínűségi változóal írható le. Kezdetben élün ezen paraméterere vonatozólag iindulási feltételeel. Ezen feltétele definiáljá az a priori eloszlást. Ezután, a birtounba erült adato és a Bayes-tétel (.) vagy (.) alaja felhasz- 33

3 nálásával frissítjü az a priori eloszlást, áttérün az a posteriori eloszlásra, ami azt jelenti, hogy ebben a lépésben a hiperparamétere atualizált értéét teintjü paraméterne. Eze egy újabb információ beérezéseor ismét a priori adattá válna, amelye az említett frissítési eljárással aárhányszor atualizálható. 3. Béta a priori-eloszlás és binomiális eloszlás, mint lielihood függvény Az egyi legfontosabb és leggyarabban alalmazott diszrét eloszlás a binomiális eloszlás: Bin(n, p). Paraméterei az n pozitív egész szám és a vizsgált ocázatelemzési érdésörben előfordulhat az alábbi szituációban: p, valós szám [4,5,6]. Az általun. Adott egy rendszer (informatiai, biometrius, eletronius, pénzügyi, gazdasági, vagy egy épület, amely épsége az épület részegységeine sértetlenségén múli), amelyne alatrészei, részegységei azonos örülménye özött, egymástól függetlenül műödne, és mindegyi meghibásodásána a valószínűsége azonos p érté. Ez a p érté ebben az esetben az adott összefüggő rendszer részeivel apcsolatosan anna valószínűségét adja meg, hogy egy esetleges terrorcselemény sieres imenetelű, vagy nem.. Egy adott esemény azonos örülménye özött n-szer ismétlődi egymástól függetlenül, és minden alalommal p valószínűséggel övetezi be egy nemívánatos esemény. (Azt az esetet, amior a özelítő vagy teljes azonosság feltevése a modellben túlzottan ideálisna mondható és így nem alalmazható, a övetező 4. pontban vizsgálju.) A probléma. pontbeli modellel történő leírása például a övetező eseteben használható: i) Teintsün például egy informatiai hálózatot, amelyet n db azonos jellemzőel adott szerver lát el. Tegyü fel, hogy a hálózat műödőépes marad, ha legfeljebb db szerver meghibásodi, de ennél több meghibásodás a rendszer összeomlását eredményezi. ii) Teintsün egy épületet, amelyet n db fő szerezeti elem tart stabilan. A mérnöi tervezés alapján tudju, hogy eze özül db megsérülhet a teljes ollapszus nélül. Világos, hogy mindét esetben alapvető érdés a beövetezett eseménye száma. Mindét esetben azt a érdést tesszü fel, mi a valószínűsége, hogy a rendszerben db részegység esetében beövetezi egy esemény, illetve ismétlődés során az esemény alalommal sieres ( =,,,, n). Vizsgáljun tehát egy olyan modellt, amelyben a lielihood függvény binomiális eloszlással adott, ahol modellparamétere az n és p. Nyilvánvaló a probléma természetéből adódóan, hogy a ritius paraméter ebben az esetben a p. Mivel p,, ezért a = p paraméter modellezésére a priori eloszlásént a legjobb választás a béta eloszlás [4,5,6]. A Beta(, ) eloszlás éppen ezen az intervallumon van értelmezve, paraméterei >, >. Hogy mire célzun azzal, hogy legjobb választás, az alábbiaból iderül. A lielihood függvény most tehát binomiális eloszlással adott n x nx n! x f x x! n! az a priori eloszlás pedig béta eloszlással. A szoásos jelöléseel: nx, (3.) 34

4 ahol x, B,, (3.) az analízisből ismert gamma függvény [4]. Ebben az esetben tehát a vizsgált problémát a p modellparaméterrel tudju leírni, amelyne az értée nem ismert. Ezért a p paramétert béta a priori eloszlással írju le, amelyne paraméterei, a hiperparamétere > és >. Feltételezün valamit erről a ét paraméterről és ezzel iszámítju a lielihood függvény felhasználásával a érdéses valószínűséget. Ha azonban a birtounba erül néhány adat, aor frissíteni tudju a hiperparamétere értéét. Ezt illusztrálju az alábbiaban. Mielőtt azonban alalmazzu a Bayes-tételt, megadju a béta eloszlás jellemző adatait: E ; Var ; Mod ;( ; ); (3.3) ahol szoásosan E jelöli a várható értéet, Var a szórásnégyzetet (variancia), Mod a móduszt. Azért adtun meg több jellemzőt is, mert bár a gyaorlatban a legtöbbször a várható értéet teinti pontbecslésént, ugyanolyan joggal használható például a módusz és esetleg a medián is, ha eze létezne..a) ábra A béta eloszlás sűrűségfüggvénye ülönböző paramétere esetén 35

5 .b) ábra A béta eloszlás sűrűségfüggvénye ülönböző paramétere esetén Az.a) és b) ábráon a B(, ) eloszlás sűrűségfüggvényét ábrázoltu ülönböző és hiperparamétere esetén. Amit hangsúlyozun, az = eset, amior B(, ) sűrűségfüggvénye szimmetrius az x = pontra, ez látható az a) ábrán. Ha =, aor az egyenletes eloszlást apju, ezt használhatju aor, ha semmiféle ezdeti információn nincs a p paraméter értéét illetően. Ha > aor a sűrűségfüggvényne maximuma van az x = helyen, ha pedig <, aor ugyanezen a helyen minimum van. Ha olyan információ birtoában vagyun, amely szerint p értée icsi, özel van -hoz, illetve ellenezőleg, ha p értée nagy, özel van az -hez, aor a b) ábrán látható aszimmetrius eloszláso özül választhatun. Alalmazzu most a Bayes-tételt, határozzu meg az a posteriori eloszlást. Ha elteintün a nevezőtől, mint normáló tényezőtől, a hiperparamétereet is hangsúlyozva, írhatju, hogy: n! x nx x,, f x,,, ~! n! (3.4) Ha elvégezzü az összevonásoat, aor ismét csa elteintve a onstans szorzótól, a szoásos jelöléseel az adódi, hogy n x,, ~ ~ x B, B x, n x x nx x nx (3.5) Ami ugyancsa béta eloszlás + x, + n x paramétereel, tehát az a posteriori eloszlás: Beta( + x, + n x). Az eredmény lényege, hogy ha binomiális eloszlást alalmazun lielihood függvényént, és béta eloszlást a priori eloszlásént, az a posteriori eloszlás ugyancsa béta eloszlás. Ez úgy is fogalmazható, hogy a binomiális eloszlás onjugáltja a béta el- 36

6 oszlás. Az a posteriori eloszlásból apju a binomiális eloszlás p paraméteréne a frissített értéét. Erre alalmazható elvileg a bemutatott paramétere mindegyie, melyene atualizált értée rendre: x x n x E ' ; Var ' ; n n n x Mod ' ;( x ; n x ); n (3.6) A szoásona megfelelően irányítsu figyelmünet a várható értére. Eor a p paraméter, amely tehát egy nemívánatos esemény beövetezéséne a valószínűségét jelenti, és béta eloszlással modellezzü, ezdetben az E a priori becsléssel írható le. Ha eze után végzün n db megfigyelést, vagy máséppen fogalmazva megfigyelün egy n db azonos omponensből álló rendszert, és a megfigyelés eredménye az, hogy x alalommal beövetezett a nemívánatos esemény, és eszerint n x alalommal nem övetezett be, aor a p valószínűség frissített értée x E ' n priori és a posteriori eloszláso összehasonlítására. Vezessü be a jelölést, amior is n n becsült atualizált értée felírható az. Itt elvégezhetün egy egyszerű elemzést az a n. Eor a p paraméter a posteriori eloszlás alapján a várható értéel E ' alajában, ahol az értelmezés szerint teljesül, hogy E értée változi x n, x n onvex lineáris ombináció. Ahogyan változi -tól -ig, és E özött. Ha teintetbe vesszü értelmezését, ijelenthetjü a övetezőet. Mérési adato nélül =, tehát a modellparaméter éppen a béta eloszlás várható értée, p. Ha növeljü a megfigyelése n számát, értée csöen, határesetben, ha n, aor. Ebben az esetben E x n, ami éppen a maximum lielihood becsléssel apott érté [7]. Ez azt jelenti, hogy ha so a mérési adat, egyre evéssé dominál a szubjetívne teinthető a priori béta eloszlás, a szubjetivitásna egyre isebb a hatása az a posteriori eloszlásra. Végül ha n, aor teintettel arra, hogy a szórásnégyzet (Var) nevezője az n magasabb foú polinomja, mint a számláló, övetezi, hogy Var, tehát az a posteriori becslés bizonytalansága egyre isebb. Az elemzés elvégezhető a várható érté helyett a móduszra is, ha az analízis azt mutatja, hogy célszerűbb ez utóbbit használni a p paraméter pontbecsléseént. Anna érdeében, hogy önnyebben tudjun dönteni afelől, hogy mely paramétereel adott béta eloszlást célszerű választani, szemléltetjü a.a) és b) ábráon, hogy hogyan függ a vár- 37

7 ható érté az egyes paraméteretől, ha az egyi paraméter értéét (ülönböző módon) rögzítjü. Ez az elemzés értelemszerűen elvégezhető a módusszal apcsolatban is, ha úgy döntün, hogy nem a várható értéel modellezzü a érdéses paramétert..a) ábra A béta eloszlás várható értééne függése a paraméteretől..b) ábra A béta eloszlás várható értééne függése a paraméteretől Teintsün egy illusztratív példát amelyben n =, egymástól függetlenül műödő, azonos egységből álló rendszert vizsgálun. Tegyü fel, hogy ezdetben a független egysége meghibásodásána valószínűségéről nincs özelebbi információn. Alalmazzu tehát a priori eloszlásént a Beta(, ), egyenletes eloszlást. Enne alapján a p paraméter ezdőér- 38

8 valószínűség téére a p = értéet apju. Tegyü fel, hogy egy megfigyelés alalmával azt tapasztalju, hogy x = 6 részegység esetében övetezi be nemívánatos esemény. Ezzel atualizálhatju a p paraméterre vonatozó becslésünet: p =,38. Az eredeti p értéhez tartozó binomiális eloszlást valamint a frissített p paraméterrel adott eloszlást szemlélteti a 3. ábra. Egy oordinátarendszerben ábrázoltu mindét eloszlás hisztogramját, hogy a változás önnyebben összehasonlítható legyen. Binomiális eloszlás frissítése,,8,6,4,,,8,6,4, eseménye száma "a priori" 3. ábra Az a priori és az a posteriori becslés alapján adódó binomiális eloszlás Tegyü fel, hogy a rendszer legfeljebb három egység meghibásodása esetén műödi zavartalanul. Ha a ét eloszlás alapján ezeet iszámítju, azt apju, hogy az első esetben P =, míg a frissített paramétere esetén P =,789. Amely adato ismeretében a ocázato változása számszerűsíthető, az adott esetben azt apju, hogy a ocázat értée ereen a 65-szörösére növeedett a ezdeti feltevéseinhez épest. 4. Dirichlet a priori-eloszlás és polinomiális eloszlás, mint lielihood függvény Nyilvánvalóan felmerül az igény az előző pontban leírt modell általánosításara arra az esetre, amior:. Egy rendszer omponensei nem azonosa, ülönböző valószínűséggel hibásodna meg, bár továbbra is feltesszü, hogy egymástól függetlenül.. Eseménye egy sorozata nem azonos örülménye özött ismétlődi, így nem vehetün figyelembe minden eseményhez azonos p paramétert a beövetezés valószínűségeént. Az általánosítás ézenfevő, mind logiailag, mind matematiailag [4,5,6]. A binomiális eloszlás helyett az X X X X,,... vetorváltozó leírására enne többdimenziós megfelelőjét a polinomiális eloszlást teintjü: Poli(n, p, p,, p). Az n nem negatív egész paraméter ebben az esetben is a megfigyelése számát jelenti, a p,, i,,..., i paramétere 39

9 pedig a -db osztályba sorolható eseménye beövetezéséne valószínűsége, eze az eseménye rendre, x, x,, x alalommal övetezne be, ahol nyilván i p i. Ha xi n, i aor a polinomiális eloszlásra épülő -dimenziós modell, vagyis a lielihood függvény alaja a övetező: ahol a paramétere vetora x! i n! xi i i i i xi! xi! i i xi i,,...,, n x, x,..., x,,..., p, p,..., p n n (4.). A polinomiális eloszlással apcsolatosan megjegyezzü, hogy az Xi valószínűségi változó várható értée és szórása a övetező: ; E X np Var X np p i i i i i (4.) A paramétere eloszlása modellezhető a -dimenziós, = (,,,) hiperparamétervetorral adott Dirichlet-eloszlással, amely a béta eloszlás többdimenziós általánosítása [4]. Az a priori eloszlás tehát a övetező:,,...,,,..., i i i i i i i (4.3) ahol i >, i > ; (i =,,, ), és i i i. Az eloszlás jellemzői: E X Mod X Var X i i i i ; i =, ha i >; i ; ahol i i i i (4.4) Abban az esetben, ha nincs ezdeti információ a pi paramétereről, amior tehát nincs oun egyiet sem itüntetni a többivel szemben, az egyenletes Dirichlet-eloszlást lehet alalmazni, amior is := = = n. Alalmazzu a Bayes-tételt az a posteriori eloszlás meghatározására. Ha ismét elteintün a onstans szorzótól, azaz a nevezőbeli normalizáló állandótól, aor apju, hogy x x,,..., x, x,..., x ~ i i i i ~ i i i i i i A hiányzó onstansoal iegészítve apju egzat módon az a posteriori eloszlást: (4.5) 4

10 x,,..., x, x,..., x i i i i xi i i i xi i (4.6) Ez ugyancsa egy Dirichlet-eloszlás. A 3. pontban is alalmazott terminológiával azt mondhatju tehát, hogy a polinomiális eloszlás és a Dirichlet-eloszlás onjugált eloszláso. A megfigyelése figyelembe vételével, más szóval a frissített Dirichlet-eloszlás alapján adódna a pi paramétere atualizált értéei, amelyet az eloszlás Xi valószínűségi változójána várható értéével vagy móduszával becsülhetün: x x x E X Mod X Var X x i i i i i i i i i i i i i xi i ' ; ' = ; ' ; ahol az i rögzített index arra utal, hogy a várható érté számlálójában nem összegzün. A megfigyelése, felmerült adato hatása az a posteriori becslésere vonatozólag pontosan ugyanúgy elemezhető, mint ahogyan azt a 3. pontban a binomiális eloszlás esetében tettü. 4. ábra Az a priori Dirichlet-eloszlás Teintsün egy illusztráló példát az említett eloszlásoal apcsolatban. Anna érdeében, hogy szemléltetni tudju az érintett eloszlásoat, a = 3 esetre szorítozun. Tegyü fel tehát, hogy bizonyos eseménye egymástól függetlenül övetezhetne be, és a beövetezés valószínűsége szerint három osztályba sorolható. Az egyes nemívánatos eseménye valószínűsége rendre p, p és p3. Tegyü fel az egyszerű átteinthetőség érdeében, hogy mindössze n 4

11 = 4 megfigyelést végzün, továbbá, hogy az egyes valószínűségeről semmiféle információn nincs, így az egyenletes a priori Dirichlet-eloszlást teintjü iindulópontna. Eor legyen = = = 3 =. Az eloszlás peremeloszlásaina várható értée adja a pi paramétere ezdőértéét. Ez összhangban az intuitív megözelítéssel a pi 3 (i =,, 3) értéeet szolgáltatja. Eze alapján ábrázolhatju az a priori Dirichlet-eloszlást és a 3-dimenziós polinomiális eloszlást. Ezeet mutatja a 4. és 5. ábra. "A priori" Polinomiális eloszlás,6,4,,,8,6,4, ábra Az a priori Dirichlet-eloszlás alapján adódó Polinomiális eloszlás Tegyü fel, hogy a onrét megfigyelésün eredménye a övetező: Az n = 4 megfigyelés során a p, p és p3 valószínűségű esemény rendre,, 3 alalommal övetezi be. A Bayestétel alapján levezetett a posteriori eloszlás paraméterei és az egyes peremeloszláso várható értée azonnal adódi. Növevő indexe szerint a frissített eloszlás paramétereine értée + = ; + = ; + 3 = 4, a várható értée pedig 3 4 p ' ; p ' ; p ' Ha ezeel a paramétereel ábrázolju az a posteriori Dirichlet-eloszlást, valamint az atualizált paramétereel adott polinomiális eloszlást, aor a 6. ábrán látható felületet illetve a 7. ábrán látható hisztogramot apju. 4

12 6. ábra Az a posteriori Dirichlet-eloszlás "A posteriori" polinomiális eloszlás,5,,5,, ábra Az a posteriori Dirichlet-eloszlás alapján adódó Polinomiális eloszlás 43

13 A hisztogramoat összehasonlítva látható, hogy az eloszlás megváltozott. A iinduló és a frissített polinomiális eloszlást numerius adatoal adja meg az. táblázat. Polinomiális eloszlás p = p = p 3 = /3 paramétereel Polinomiális eloszlás p = /7, p = /7, p 3 = 4/7 paramétereel \ 3 4 \ 3 4,3,494,74,494,3,66,66,4,67,4,494,48,48,494,3,599,4,33,74,48,74,599,8, 3,494,494 3,533,33 4,3 4,67. táblázat Az a priori és a posteriori polinomiális eloszlás Az egyszerűbb összehasonlítás érdeében tegyü példaéppen számszerűvé anna valószínűségét, hogy ét nemívánatos esemény ülön-ülön (melye valószínűsége rendre p, p) legfeljebb egy alalommal övetezi be. (Ezt interpretálhatju úgy is, hogy voltaéppen ét nemívánatos eseményről van szó, és p3 anna az eseményne a valószínűsége, hogy sem a p, sem a p valószínűségű nem ívánatos esemény nem övetezi be.) Tehát érdezzü a övetezőt: Mi a valószínűsége a eseményne. Az a priori becslés, tehát az ( ; ) egyenletes Dirichlet-eloszlás alapján apott valószínűség az eloszlás ismeretében: P =,3 +,494 +,494 +,48 =,59. Ha az a posteriori becslés alapján apott polinomiális eloszlást teintjü, aor pedig: P =,66 +,3 +,66 +,599 =,5863. Eredményün azt jelenti, hogy a megfigyelése figyelembevételével, a érdéses esemény valószínűsége, ezzel a ocázat becsült értée több, mint étszeresére növeedett. 5. Összefoglalás A Bayes-analízis fentieben bemutatott alalmazása iválóan alalmas a szubjetív értéítélete és tapasztalat alapján apott adatoból leszűrt öveteztetése összehangolására. A példában onrét diszrét eloszláso egy alalmazási lehetőségére oncentráltun, azonban van lehetőség tetszőleges diszrét és folytonos eloszláso esetén is alalmazni a Bayes-analízist. FELHASZNÁLT IRODALOM [] EZELL, BENNETT, WINTERFELDT, SOKOLOWSKI, COLLINS: Probabilistic Ris Analysis and Terrorism Ris. Ris analysis, Vol. 3, No.4,. [] Elisabeth PATÉ-CORNELL, Seth GUIKEMA: Probabilistic Modelling of Terrorist Threats: A System Analysis Approach to Setting Priorities Among Countermeasures. Military Operations Research. Vol. 7, No. 4, pp. 5-. [3] BIER, V.M., MOSLEH, A.: The subjective Bayessian approach to Probabilistic Ris Assessment. Reliability Engineering and System Safety 3 (988) [4] DENKINGER Géza: Valószínűségszámítás. Tanönyviadó. Budapest ISBN: [5] RÉNYI Alfréd: Valószínűségszámítás. Tanönyviadó. Budapest, 98. ISBN: [6] William FELLER: Bevezetés a valószínűségszámításba és alalmazásaiba. Műszai Könyviadó. Budapest ISBN: [7] JÁNOSSY Lajos: A valószínűségelmélet alapjai és néhány alalmazása: Tanönyviadó. Budapest. 965 ÁBRÁK Az ábráat a szerző észítetté Excel táblázatezelő illetve a MATLAB szoftver segítségével. 44