Differenciálegyenletek
|
|
- Gyöngyi Molnárné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Differenciálegyenletek Farkas Csaba 207. október.
2
3 Tartalomjegyzék Bevezetés 5. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Kezdetiérték feladatok Kitűzött feladatok Elsőrendű egyenletek 2. Direkt integrálással megoldható egyenletek Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Szétválasztható egyenletekre visszavezethető egyenletek 7 3. Homogén egyenletek (.) Az y = f a+b y+c a 2+b 2y+c 2 alakú differenciálegyenletek Elsőrendű lineáris egyenletek 2 4. Bevezetés Megoldási módszer: konstans variálásának módszere Bernoulli és Riccati differenciálegyenletek
4
5 FEJEZET Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Értelmezés. If you know the enemy and you know yourself you need not fear the results of a hundred battles. Differenciálegyenlet alatt olyan függvényegyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. (Sun Tzu) Egy differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenlet nevezünk, ha a benne levő ismeretlen függvény egy valós vagy komple változótól függ (azaz az y függvény értelmezési tartománya R vagy C). A differenciálegyenletet parciális differenciálegyenletnek nevezzük, ha az ismeretlen függvény több változótól függ (ebben az esetben az értelmezési tartomány lehet R N, N a tér dimenziója).... példa A következő egyenletek közönséges differenciálegyenletek: y () + 5y() = e, 2 d2 y d 2 dy d + 7y = 0, d dt + dy dt = 2y. A következő egyenletek parciális differenciálegyenletek: u := 2 u u y 2 = 0, 2 u 2 = 2 u 2 t 2 u t A differenciálegyenlet első elsőrendű, ha az tartalmazza az ismeretlen függvény deriváltját, de nem tartalmazza annak egyetlen magasabb rendű deriváltját sem. Egy differenciálegyenlet másodrendű ha tartalmazza az ismeretlen függvény másodrendű deriváltját (tartalmazhatja az első deriváltját is) de nem tartalmazza annak magasabb rendű deriváltjait. Egy n-ed rendű egyenletet a következő alakban írhatunk fel: F (, y, y, y,..., y (n)) = 0, (..) ahol F valamely Ω R n+2 tartományon értelmezett valós vagy komple függvény. Az (..) egyenlet megoldásain valamely I R intervallumon, olyan y : I R(C) függvényeket értünk amelyekre: (i) y C n (I) (az y függvény n-szer folytonosan differenciálható); (ii) (, y(), y (), y (),..., y (n) ()) Ω, I; (iii) F (, y(), y (), y (),..., y (n) ()) = 0, I.
6 6 Bevezetés..2. példa Legyen F (, y, z) = + yz egy háromváltozós függvény. Ekkor az (..) differenciálegyenlet a következő alakot ölti: + y y = 0, azaz Egyszerű helyettesítéssel beláthatjuk, hogy y = y, y 0. y = R 2 2, y 2 = R 2 2 alakú függvények megoldásai a megadott differenciálegyenletnek a ( R, R) intervallumon. Az (..) egyenlet megoldásainak tanulmányozása szempontjából nagy előny ha az n-ed rendű deriváltat ki tudjuk fejezni az egyenletből, az, y, y,..., y (n ) segítségével, azaz (..) egyenlet helyett a következő úgy nevezett normál alakú egyenletet tekintjük: ( y (n) = f, y, y, y,..., y (n )), I. (..2) A linearitást y-ban vizsgáljuk. Megjegyezendő, hogy egy f függvény lineáris ha f(α + βy) = αf() + βf(y) minden, y és α, β esetén Megjegyezendő, hogy a deriválás esetén (αf + βg) (n) = αf (n) + βg (n) A fenti egyenlet megoldását hasonlóan értelmezhetjük, mint az általános esetben. Az (..) egyenletet lineáris egyenletnek mondjuk ha F lineáris az y, y,..., y (n) -ben. Ez azt jelenti, hogy egy n-ed rendű közönséges differenciálegyenlet lineáris ha felírható a következő alakban: a n ()y (n) () + a n ()y (n ) () a ()y () + a 0 ()y() = g() (..3) Vegyük észre, hogy a fenti egyenletben az a j (), j = 0, n együttható függvények nem függnek az y ismeretlen függvénytől. Azok az egyenletek amelyek nem írhatóak fel az (..3) alakba nem-lineáris egyenleteknek nevezzük...3. példa A következő egyenletek lineáris egyenletek: y 5y + 6y = 0, 2 y + y + y = e. Az alábbi egyenletek nem-lineáris egyenletek: függ y-tól függ y-tól a rend 2 Az y y n függvény nem-lineáris ha n >. ( y) y + 0y = sin(), y = ln( + y), y + y 2 = 0. Értelmezés. Egy közönséges differenciálegyenlet megoldásának a grafikus képét megoldás görbének nevezzük. Mivel egy differenciálegyenlet y megoldása differenciálható függvény az I értelmezési tartományon ez ert, sok esetben különbség van egy y függvény grafikus képe és egy y megoldás függvény grafikusképe között. Ennek az illusztrálására tekintsük a következő példát:..4. példa Függvény és megoldás Tekintsük az y() = függvényt. Ennek a függvénynek a grafikus képe az alábbi ábrán látható. Világos, hogy az y függvény nem differenciálható az 0 pontban.
7 . Differencia legyenletek e s azok megolda sai 7 Tekintsu k most az y 0 + y = 0 differencia legyenletet. Elleno rizheto, hogy ennek az egyenletnek az y = megolda sa. Ez alatt pontosan azt e rtju k, hogy az y megolda sa az egyenletnek egy olyan I intervallumon ami nem tartalmazza a 0-t... a bra. Az 7 fu gge ny a bra zola sa, illetve az y =, > 0 megolda s go rbe a bra zola sa. Te rju nk vissza az (..) vagy (..2) egyenletekhez. Ezen egyenleteknek ke t tı pusu megolda st ku lo nbo ztetu nk meg: eplicit megolda s ill. implicit megolda s. E rtelmeze s.. Azon megolda sokat amelyek kifejezheto ek csak a fu ggetlen va ltozo (k) segı tse ge vel, azokat eplicit megolda soknak nevezzu k. 2. Az (..) egyenlet esete n a G(, y) = 0 rela cio t implicit megolda snak nevezzu k az I intervallumon. Az 2 + y 2 = 36 implicit megolda s y pe lda Az 2 + y 2 = 36 rela cio implicit megolda sa az (a) y0 = y y () = 36 2 eplicit megolda s. egyenletnek az I = ( 6, 6) intervallumon. Valo ban deriva lva a megadott rela cio t d 2 d 2 d + y = 36 d d d vagy 2 + 2yy 0 = 0. Vila gos, hogy az uto bbi o sszefu gge s pontosan az adott differencia legyenletet szolga ltatja. E szreveheto ugyanakkor az is, hogy a rela cio alapja n y,2 () = ± 36 2, I. Ezen fu ggve nyek eplicit megolda sai az adott egyenletnek. Egy differencia legyenlet megolda sa sora n a megolda sunk tartalmazhat egy c tetszo leges a llando t, ilyen esetben a G(, y, c) = 0 egy parame terto l fu ggo megolda snak nevezzu k. Egy n-ed rendu egyenlet esete n n parame terto l fu ggo megolda st kapunk: G(, y, c, c2,..., cn ) = 0. Ez azt jelenti, hogy egy differencia legyenletnek ve gtelen sok megolda sa lehet. Azon megolda sokat amelyek nem fu ggnek a parame terto l saja tos megolda snak nevezzu k. y (b) 6 y2 () = 36 2 eplicit megolda s.
8 8 Bevezetés y..6. példa Sajátos megoldások c < 0 c < 0 = c > 0 c > 0 Az y = c cos függvény grafikus képe.. Tekintsük a következő c paramétertől függő függvénycsaládot: y() = c cos, c R. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a fenti függvény egy eplicit megoldása az y y = 2 sin lineáris differenciálegyenletnek. A fenti példában látszik, hogy az y = cos függvény a differenciálegyenlet egy sajátos megoldása. 2. Tekintsük az y() = c sin + c 2 cos két paramétertől függő függvényt. Belátható, hogy az y megoldása az y + y = 0 másodrendű differenciálegyenletnek. Az y() = sin és az y() = cos az eredeti egyenlet egy-egy sajátos megoldásai. Az y = c sin + c 2 cos függvény grafikus képe.... Megjegyzés. Tekintsük az y = c 4 függvénycsaládot. Észrevehető, hogy ez a függvénycsalád megoldása az y 4y = 0 differenciálegyenletnek az R-n. Ugyanakkor világos, hogy az { 4 < 0 y() = 4 0 megoldása a differenciálegyenletnek. Tehát egy differenciálegyenletnek többképlettel megadott függvény is lehet megoldása..2. Kezdetiérték feladatok A differenciálegyenletek megoldása során számos esetben kezdeti feltételeket is figyelembe kell vennünk. Például időtől függő jelenségek esetén figyelembe vesszük az kezdeti pillanatban ismert információt (kezdeti hőmérséklet stb.) Ilyen esetekben nem célunk az egyenletünk összes megoldását meghatározni. Értelmezés. Legyen Ω R n+ egy összefüggő halmaz, f : Ω R egy adott folytonos függvény. Ekkor az { y (n) = f (, y, y,..., y (n )) y( 0 ) = y 0, y ( 0 ) = y 0,..., y (n ) ( 0 ) = y (n ) (P) ( ahol nevezzük. y 0, y 0,..., y (n ) 0 0, ) Ω, feladatot kezdetiérték feladatnak vagy Cauchy feladatnak ( 0, y 0 ) A kezdetiérték feladat geometriai jelentése. A fenti értelmezés elsőrendű egyenletek esetén a következőt jelenti: adott az Ω R 2 összefüggő halmaz és az f : Ω R folytonos függvény. Adott az ( 0, y 0 ) Ω pont és keressük azon függvényeket amelyek megoldják az y = f(, y) differenciálegyenletet és kielégitík az y( 0 ) = y 0 feltételt (Másképp fogalmazva azon megoldásokat keressük, melyekre a megoldás görbe áthalad az ( 0, y 0 ) ponton, lásd az ábrát)..2.. Megjegyzés. Itt természetesen meg kell határozni egy olyan I R intervallumot, mely tartalmazza 0 -t és y C (I) függvényt, melyre y () = f(, y()), I és y( 0 ) = y 0.
9 .3 Kitu zo tt feladatok 9.3. Kitu zo tt feladatok. * Do ntsu k el az ala bbi egyenletek linea risak vagy sem? a) ( )y 00 4y 0 + 5y = cos ; d2 u du + + u = cos(r + u); dt2 dt c) (sin θ)y 00 (cos θ)y 0 = 2;! = 0. d) 3 b) 2. * Bizonyı tsuk be, hogy az ala bbi differencia legyenleteknek a kijelo lt fu ggve ny egy eplicit megolda sa: a) 2y 0 + y = 0; y() = e b) y y = 24; y() = e c) (y )y = y + 8; y() = d) 2y 0 = y 3 cos ; y = ( sin ) 2 cet dp = P ( P ); P = dt + cet Z f) y + 2y = ; y = e e t dt + ce e) g) y + 2 y y + y = 22 ; y() = c + c2 + c3 ln ** Bizonyı tsuk be, hogy a Descartes-fe le leve l, amelynek egyenlete 3 +y 3 3cy = 0 egy implicit megolda sa az y(y 3 23 ) y0 = (2y 3 3 ) differencia legyenletnek. 4. ** Bizonyı tsuk be, hogy ha y megolda sa az Descartes-fe le leve l y () = 2, >, y() = + y 2 () 0 egyenletnek, akkor lim y() + π ** Mutassuk meg, hogy az y 0 () = 2 + y 2 (), y(0) = 0 kezdetie rte k-proble ma megolda sa nak egyetlen infelio s pontja van: az origo.
10
11 2 FEJEZET Elsőrendű egyenletek 2.. Direkt integrálással megoldható egyenletek If you know the enemy and you know yourself you need not fear the results of a hundred battles. (Sun Tzu) A továbbiakban célunk, hogy adjunk, néhány egyszerűbb típusra megoldási módszert. Ennek megfelelően a legegyszerűbb differenciálegyenletek az y = f(), [a, b], a < b < (2..) alakú egyenletek, ahol f adott folytonos függvény. Ezen egyenleteket direkt integrálható egyenleteknek nevezzük. A kérdést ebben az esetben, úgy is megfogalmazhatjuk, hogy melyik az az y függvény amelyet ha deriválunk, a deriválás eredménye az f függvény lesz. Ekkor az (2..) alapján világos, hogy ahol F a f függvény egy primitív függvénye. Megoldott Feladat. y() = F () + c, c R, Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket:. y () = sin(); 2. y () = ln, > 0; 3. y () = ctg(); 4. y () = + 2. Megoldás. Ezen feladatok megoldása nem jelent más mint kiszámítani a jobb oldalon levő függvények egy primitív függvényét.. Világos, hogy ki kell számítanunk sin()d integrált. Tehát: y() = sin()d = cos() + c. 2. Hasonlóan mint a fenti esetben: y() = ln d = ln d = ln d = ln + c. Megjegyezendő, hogy itt felhasználtuk a parciális integrálás képletét: f ()g()d = f()g() f()g ()d. (2..2) 3. Ebben az esetben y() = ctg()d = cos() sin() d = (sin()) d = ln sin() + c. sin()
12 2 Elsőrendű egyenletek Ennek a feladatnak a megoldása során felhasználtuk, hogy u () u() d = ln u() + c. (2..3) 4. Világos, hogy y() = + 2 d. Ekkor, elvégezzük az változó cserét, ekkor így visszahelyettesítve a fenti integrálba: y() = + 2 d = 2 Tekintsük a következő fontos példást: t = + 2, dt = 2d, tdt t 3 2 = c = 2 ( + 2 ) c példa A megtett út időszerinti deriváltja Egy autó folytonosan halad egy egyenesvonalú úton. képzeljük el. A megtett útat az idő függvényében 2.. ábra. Sebesség mint az út időszerinti deriváltja Feladatunk, hogy nyerjünk információt a t 0 idő pillanatban az autó sebességéről. Ha az utat úgy képzeljük el mint az idő függvénye, akkor a fenti ábráról is világosan látszik, hogy a T pontig az autó d(t 0 ) távolságot tesz meg (a kiindulási ponttól). Mivel egyéb információval nem rendelkezünk csak azzal, hogy mekkora utat tesz meg egy adott ideig, ezért a stratégia amivel dolgozunk, hogy kicsi idő elteltével újra megmérjük a megtett út hosszát. Ez azt jelenti, hogy d(t 0 + t) utat tettünk meg az U pontig (ahol t kicsi). Ekkor a T U szakaszon megtett út hossza d(t 0 + t) d(t 0 ), míg az eltelt idő t, ezért a sebesség (átlag sebesség) a T U szakaszon a következő képlettel fejezhető ki: v = d(t 0 + t) d(t 0 ). t Ez a szám akkor közelíti meg a legjobban a t 0 időpillanatban a pillanatnyi sebességet, ha a t nagyon kicsi (azaz t 0), ezért, felhasználva a deriválás értelmezését: d(t 0 + t) d(t 0 ) v(t 0 ) = lim = d (t 0 ). t 0 t
13 2.2 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 3 Láthajuk, hogy a fenti példában, ha a sebességet megadjuk az idő függvényében és kiváncsiak vagyunk az megtett útra, akkor pontosan az (2..) feladathoz jutottunk vissza Szétválasztható változójú differenciálegyenletek A következő típusú differenciálegyenlet, amelyet tanulmányozni fogunk az a szétvásztható változójú differenciálegyenletek, azaz a következő típusú differenciálegyenletek: Értelmezés. Azokat a differenciálegyenleteket amelyek y () = dy = g()h(y) (2.2.) d alakban írhatók fel, szétválasztható differenciálegyenletnek nevezzük, vagy szétválasztható változójú differenciálegyenletnek nevezzük. Megoldási módszer. A továbbiakban vizsgáljuk, meg hogy tudunk-e egy általános módszert adni a szétválasztható változójú differenciálegyenletek megoldására. Tekintsük mégegyszer az eredeti egyenletet: y = g()h(y). Ekkor osszuk el az egynlet mindkét oldalát h(y)-nal: f(y)y () = g(), alakot kapjuk, ahol f(y) függvénnyel az h(y) függvényt jelöltük. Ekkor ha integráljuk mindkét oldalt, akkor a következőt figyelhetjük meg: f(y())y ()d = g()d. Legyen ekkor y() = t, így y ()d = dt, azaz f(t)dt = g()d. Legyenek most F illetve G a f illetve a g primitív függvényei. Ekkor a következőt kapjuk: F (t) = G() + c, azaz figyelembe véve a t = y() helyettesítést: F (y()) = G() + c példa Tekintsük a következő differenciálegyenleteket: y () = y 2 ()e 3+4y illetve y () = y + ln(), akkor könnyen látható, hogy az első egyenlet szétválasztható differenciálegyenlet, míg a második egyenlet nem szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Ugyanis g() y () = y 2 ()e 3+4y = ( e 3) h(y) ( y 2 e 4y) Míg a másik egyenlet esetén nem tudjuk felírni az y + ln() összeget olyan szorzat alakjában amelyben a tényezők és y függvényei, azaz g() h(y) alakban.
14 4 Elsőrendű egyenletek A továbbiakban nézzünk néhány alkalmazást az eddig ismertetett egyenletekre: Feladat. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket:. y () = ( + )y; { y () = 2. y, y(4) = y () = y 2 4; { (e 4. 2y y) cos y () = e y sin(2), y(0) = y () = 4 y() 2 ; 7. y () = 3 2 ( + y() 2 ); 8. y () = (y ), [ 2, ). { y 9. () = 2y 2, y(0) =. 5. { y () = y, y(0) = { y () = y, [0, ) y(0) = 0. A továbbiakban megmutatjuk néhány feladat megoldását. Megoldás. Ezen feladatokat a fenti módszer segítségével fogjuk megoldani.. Világos, hogy az egyenlet a következő alakba írható: y () y() = +, amelyet integrálással a következő alakra hozhatjuk: y () y() d = ( + )d. Felhasználva az (2..3) összefüggést: ln y() = Hasonlóan járva el, mint az előző feladat esetén: Ekkor felhasználva, hogy y(4) = 3, ekkor c = 7 2. Ekkor visszahelyettesítéssel y()y () =, azaz y2 () c, így y() = ±ce = c, y() = ± 2 7, Ebben az esetben is úgy járunk el mint az előzőekben: azaz, alkalmazva az elemi törtekre való felbontást ekkor integrálva mindkét oldalt 4 y () y 2 () 4 =, ( y 2 y + 2 = c. ) y () =, 4 ln y 2 4 ln y + 2 = + c, átrendezve a következő összefüggéshez jutunk: ln y 2 y + 2 = 4 + c 2, ahol c 2 = 4c jelölést vettük figyelembe. Az utolsó összefüggést tovább alakítva: y 2 y + 2 = ±e4+c2,
15 2.2 Szétválasztható változójú differenciálegyenletek 5 ekkor ismét bevezetve a c = ±e c2 jelölést a következő megoldáshoz jutunk: y() = 2 + ce4 ce 4. Megjegyezendő, hogy ebben az esetben elvesztettünk két darab megoldást. Ugyanis, ha az eredeti egyenletben szereplő jobb oldali kifejezést tényezők szorzatára írjuk fel, akkor y () = (y() 2)(y() + 2), azaz ha y() = ±2 állandó függvényeket tekintjük, akkor ezen függvények kielégítik az eredeti egyenletet.
16
17 3 FEJEZET Szétválasztható egyenletekre visszavezethető egyenletek A továbbiakban egy olyan egyenlet típust szeretnénk bemutatni, amelyeket visszavezethetünk szétválasztható változójú differenciálegyenletekre. Értelmezés. Tekintsük a következő egyenletet: y () = f(a + by() + c), a, b, c valós számok, valamint f egy adott folytonos függvény. Ebben az esetben, elvégezzük u = a + by() + c, változócserét. Ebben az esetben, hogy u () = a + by (), azaz y () = u () a b, ekkor az egyenlet a következőképpen alakul u () a = f(u), vagy u () = a + bf(u). b Észrevehető, hogy az utóbbi egyenlet már szétválasztható változójú egyenlet. Ekkor egyenlet esetén Tehát, ha F () az a+bf() 3.. Homogén egyenletek Értelmezés. u () = a + bf(u), u () a + bf(u) =. függvény egy primitívje, akkor Egy f függvényt homogénnek nevezzük, ha valamilyen β valós szám esetén. Egy F (u) = + c. f(t, ty) = t β f(, y), (3..) M(, y) + N(, y)y () = 0, differenciálegyenletet homogén differenciálegyenletnek nevezzük, ha M, N függvények homogén függvények (rendelkeznek (3..) tulajdonsággal). Megoldási módszer. Tekintsük a következő homogén differenciálegyenletet: M(, y) + N(, y)y () = 0.
18 8 Sze tva laszthato egyenletekre visszavezetheto egyenletek Ekkor vila gos, hogy (3..) alapja n y M (, y) = β M,. Azaz, y y + β N, y 0 () = 0. β M, I gy y y M, + N, y 0 () = 0, ami a tı rhato a ko vetkezo egyenlet y 0 () = g Ekkor legyen, u = y, azaz y = u, y. y 0 = u + u0, teha t u + u0 = g(u). E szreveheto, hogy a fenti egyenlet egy sze tva laszthato va ltozo ju egyenlet: u0 =, g(u) u ami integra la ssal megoldhato Feladat. Hata rozzuk meg azoknak a tu kro knek az alakja t amelyek azzal a tulajdonsa ggal rendelkeznek, hogy az O origo bo l indulo fe nysugrakat az O tengellyel pa rhuzamosan verik vissza. Megolda s. Tekintsu k az ala bbi a bra t. A keresett tu ko ro t u gy keressu k mint 7 y() fu ggve ny. A go rbe egy adott A(, y()) pontja ba e rinto t hu zunk (ke k egyenes). A fe ny visszavero de s e s a pa rhuzamossa g miatt vila gos, hogy \ = m(oba). \ m(bao) A fenti, o sszefu gge s azt szolga ltatja sza munkra, hogy az OAB ha romszo g egyenlo sza ru, azaz OA = OB. A tova bbiakban meghata rozzuk a B pont koordina ta it. Vila gos, hogy a B pont mint geometriai objektum u gy jo n le tre mint ke t egyenes metsze spontja, pontosabban a go rbe hez hu zott e rinto e s
19 3. Homogén egyenletek 9 az O tengely metszéspontja. Az érintő egyenletét úgy írjuk fel mint adott ponton átmenő adott iránytényezőjű egyenes egyenlete: (Y Y 0 ) = m(x X 0 ), (3..2) ahol (X 0, Y 0 ) az adott pontot jelöli, míg m az iránytényezőt. Felhasználva a derivált mértani jelentését, a (3..2) összefüggés a következőképpen alakul: é : Y y() = y ()(X ). Ekkor, mivel {B} = é O, a következő egyenletrendszert kell megoldanunk: { Y y() = y ()(X ) Y = 0 Tehát { B = y() y () y B = 0. Felhasználva két pont távolságának képletét a következő egyenlethez jutunk: OA = 2 + y 2 () = y() y () = OB, azaz, átrendezve A előjelek közül egyet választva: y () = y() 2 + y 2 (). Elvégezve az y() vagy y () = y() 2 + y 2 () = y() + ( ). 2 y() = t változócserét, a következő differenciálegyenletet kapjuk: t ( + t 2 ) t = + t 2, azaz ( + t2 ) t dt = ln + c, azaz + t 2 t ( + t 2 ) t d = + t 2 d, t dt = ln(t ) + c. + t2 Tehát ki kell számítanunk az t dt integrált. +t2 I = t + t dt 2 = 2 u + u du (vált. csere t2 = u) = v 2 dv (vált. csere + u = v) Így = 2 ln v v ln t2 = ln(t) + c, + t2 + azaz kihozva a logaritmusból a - előjelt, valamint gyöktelenítve: ln( + + t 2 ) = ln() + c, tehát + + t 2 = c, vagy t2 + = ( c ) 2, t 2 = c2 2 2c, azaz y2 () = c 2 2c.
20 20 Szétválasztható egyenletekre visszavezethető egyenletek ( ) 3.2. Az y = f a +b y+c a 2 +b 2 y+c 2 Tekintsük a következő differenciálegyenletet alakú differenciálegyenletek y = a + b y + c a 2 + b 2 y + c 2, ahol a i, b i, c i R. Az egyenletet két esetben fogjuk megoldani: I. eset Tegyük fel, hogy a b. a 2 b 2 Ekkor végezzük el a következő változócserét { = u + 0 y = v + y 0 ahol az 0 és y 0 értékeket úgy válasszuk meg, hogy { a 0 + b y 0 + c = 0 a b 2 y 0 + c 2 = 0. Ekkor a transzformáció elvégzése után egyenletünk a következőképpen alakul: ( ) dv du = a (u + 0 ) + b (v + y 0 ) + c v (u) = f a 2 (u + 0 ) + b 2 (v + y 0 ) + c 2 0 a u + b v + a 0 + b y 0 + c = f a 2 u + b 2 v + a b 2 y 0 + c 2 Tehát = f ( ) a u + b v. a 2 u + b 2 v v = f a + b a 2 + b 2 ami egy Euler értelemben homogén egyenlet (lásd előző előadás). II. eset Tegyük fel, hogy a = b = a 2 b 2 α. Ekkor az egyenletünk a következőképpen alakul v u v u 0, tehát jelöljük t = a + b y, tehát azaz ekkor a + b y + c y = ( ), α a + b y + c 2 t = a + b y, y = t a b, t a b = t + c αt + c 2. A fenti egyenlet már egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet.
21 4 FEJEZET Elsőrendű lineáris egyenletek 4.. Bevezetés A következő részben az ún. elsőrendű lineáris egyenletekkel fogunk foglalkozni. Értelmezés. Azokat az elsőrendű egyenleteket, amelyek a következőképpen vannak megadva a ()y () + a 0 ()y() = g() (4..) első rendű lineáris egyenletnek nevezzük az y változóban. (Az együttható függvények adott függvények). Amennyiben a g() = 0, akkor azt mondjuk, hogy az egyenlet homogén, különben inhomogén egyenletnek nevezzük. Láthatjuk, hogy az ilyen típusú egyenletek egy újabb kaput nyitnak meg számunkra az differenciál egyenletek tanulmányozásának elméletében. Tekintsük, az eredeti egyenletet: a ()y () + a 0 ()y() = g(), ekkor az egyenlet mindkét oldalát végigosztva a ()-el, akkor a következő egyenlethez jutunk: P () y () + a0() a () Jelöljük L y-al a fenti egyenlet baloldalát, azaz y() = f() g() a () (4..2) L y = y + P ()y. Látható, hogy L egy lineáris operátor a C (I) térből C(I)-be, mert minden c, c 2 R esetén, és y, y 2 C (I) esetén. L (c y + c 2 y 2 ) = c L (y ) + c 2 L (y 2 ), 4.2. Megoldási módszer: konstans variálásának módszere A fenti egyenlethez rendelet homogén egyenlet a következő, L y = 0, azaz y () + P ()y() = 0. (4.2.). Lépés Először is vegyük észre, hogy az (4..2) egyenlethez rendelt, homogén egyenlet egy szétválasztható változójú differenciálegyenlet, azaz y h meghatározása az eddig ismertett módszerrel könnyen meghatározható. Legyen Λ() a P () függvény egy primitív függvénye, ekkor y () y h () = c e Λ(). 2. Lépés Az (4..2) megoldását az ún. konstans variálásának módszerével fogjuk megoldani. Az alapötlet az, hogy keressük az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását a következő alakban: y p () = u() y ().
22 22 Elsőrendű lineáris egyenletek Ekkor szorzat deriváltja y p() = u ()y () + u()y (), azaz u ()y () + u()y () + P ()u()y () = f(), átrendezve az egyenletet a következőt tudjuk megfigyelni: 0 u() (y () + P ()y ()) + u ()y () = f(). Tehát azaz u ()y () = f(), u() = e Λ() f()e Λ() d. Tehát a végső megoldás: y() = ce Λ() + e Λ() f()e Λ() d. y h y p Tehát felmerülhet a következő kérdés: A fenti módszerrel meghatároztuk az egyenletünk összes megoldását? Kérdésünkre a választ a következő tétel adja meg: Tétel. A (4..2) megoldásahalmaza vagyis a ce Λ() + e Λ() S = S h + y p, f()e Λ() d, c R függvények összesége, amikor c leírja az R-t. Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy minden y = cy h + y p megoldása az L y = f egyenletnek, mert L (cy + y p ) = cl y + L y p = f. Fordítva, ha u C (I) egy tetszőleges függvény amely megoldása L y = f-nek, akkor a v = u y p megoldása a homogén egyenletnek, mert L v = L (u y p ) = L u L y p = f f = 0. Így v S h és u = v + y p S = S h + y p Bernoulli és Riccati differenciálegyenletek Értelmezés. Tekintsük az a, b adott folytonos függvényeket. Ekkor az y () + a()y() = b()y α (), ahol α 0,, (4.3.) differenciálegyenletet Bernoulli féle differenciálegyenletnek nevezzük.
23 4.3 Bernoulli és Riccati differenciálegyenletek 23 Megoldási módszer. A továbbiakban egy megoldási módszert adunk az (4.3.) differenciálegyenletnek. Az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk y α (), ekkor a következő egyenlethez jutunk: azaz y () y() y α + a() () y α () = b(), y ()y α () + a()y α () = b(). Ekkor vezessük be, az u() = y α () jelölést. Az egyenletet átírjuk a u függvényre. Ennek érdekében ki kell számítanunk az u ()-t: A fenti azonosságból u () α u () = ( α)y α y () = ( α)y α y (). = y α () y (). Visszahelyettesítve vagy u () + a()u() = b(), α u () + ( α)a() u() = ( α)b(). P () f() A fenti egyenlet egy elsőrendű lineáris egyenlet, azaz alapkja pontosan elsőrendű lineáris egyenletehez hasonlítható, tehát a további megoldás is annak az egyenletnek a megoldásával folytatható példa Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet: y 2y = 2 y 2. A fenti módszernek megfelelően osszuk el mindkét oldalt y 2 -tel ekkor: y y 2 2 y = 2 Ekkor legyen u = y változócsere. Ekkor u = y y. Visszahelyettesítve az egyenletbe a következő 2 egyenlethez jutunk: u + 2 u = 2, ami egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. A megoldási módszernek megfelelően, hozzárendeljük a homogén egyenletet: Ekkor szétválasztva a változókat és integrálva: u + 2 u = 0, u = 2 u. ln u = 2 ln + c, azaz u h = c 2. Ekkor a sajátos megoldás u p = c(), u p = c () 2 2c() 2. Ekkor visszahelyettesítve u p függvényt az eredeti egyenletbe, azaz u p + 2 u p = 2, tehát c () 2 2c() 4 c () c() 2 = 2, = 2, vagy c() = 5 5.
24 24 Elsőrendű lineáris egyenletek Ekkor a 4.2 Tétel alapján u() = u p () + u h () = c Tehát figyelembe véve, hogy u = y, kapjuk, hogy y() = c Értelmezés. Legyenek a, b, c adott folytonos függvények. Ekkor az y () = c() + b()y() + a()y 2 (), (4.3.2) differenciálegyenletet Riccati féle differenciálegyeneltnek nevezzük. Megoldási módszer. Általában a Riccati differenciálegyenletre nincs megoldási módszerünk, azonban ha ismerünk egy y () megoldását az (4.3.2) egyenletnek, akkor abból előállóthatjuk az összes többi megoldást. Valóban, ebben az esetben legyen u függvény úgy, hogy y() = u() + y (). Ekkor y-t visszahelyettesítve (4.3.2) egyenletbe a következőt kapjuk: u () + y () = c() + b()y () + b()u() + a()y 2 () + a()2y ()u() + a()u 2 (). Mivel y megoldása az egyenletnek, azaz ezért y () = c() + b()y () + a()y 2 (), u () + y () = c() + b()y () + a()y 2 () + b()u() + a()2y ()u() + a()u 2 (), így vagy u () = (b() + a()2y ()) u() + a()u 2 (), u () (b() + a()2y ()) u() = a() u 2 (). B() Látható, hogy a fenti egyenlet egy Bernoulli féle differenciálegyenlet. Tehát a Riccati féle differenciálegyenletet visszavezettük egy Bernoulli féle differenciálegyenletre ismerve az eredeti egyenletnek egy megoldását. A fenti egyenlet megoldásait ugyanúgy állítjuk elő mint az (4.3.) egyenletnek Megjegyzés. Amennyiben (4.3.2) egyenletben az y() = u() + y () helyettesítést végezzük akkor nem Bernoulli egyenlethez jutunk, hanem egy elsőrendű lineáris egyenlethez. Valóban, visszahelyettesítve az y() = u() + y () függvényt az (4.3.2) egyenletben: u 2 () u () + y () = c() + b() u() + b()y () + c() u 2 () + 2c()y () u() + c()y2 (). Ekkor u () u 2 () + y () = c() + b()y () + a()y() 2 + b() u() + c() u 2 () + 2c()y () u(), a() u () u 2 () = b() u() + c() u 2 () + 2c()y () u(), u () = b()u() + c() + 2c()y ()u(), u () = (b() + 2c()y ()) u() + c(). f() Világos, hogy az előbbi egyenlet már egy elsőrendű lineáris egyenlet.
25 4.3 Bernoulli és Riccati differenciálegyenletek példa Oldjuk meg a következő egyenletet: y () = y 2 () y() 2, > 0. Észrevehető, hogy y () = megoldása az egyenletnek. Valóban, mivel ( ) =, 2 2 = Ekkor alkalmazva a fenti megjegyzést, elvégezzük az y() = u() + y () változó cserét. Elvégezve a számításokat: u 2 () u () 2 = 2 ( u() + ) ( + u() + ) 2, u 2 () u () = u() + u 2 () + 2 u(), u 2 () u () = u 2 () + u(), azaz u () = + u(). Hozzárendelve a homogén egyenletet: u () = u(), azaz u () u() =. Ekkor integrálva mindkét oldalt, akkor a homogén egyenlet megoldása u h () = c. Ekkor a sajátos megoldás u p () = c(), amit visszahelyettesítve Ekkor felírva a megoldást c () c() 2 c () = + c() 2, =, azaz c() = 2 2. u() = c 2. Így y() = c Feladat. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket:. y y + y 2 = e ; 2. ( )y y = y 2 ; 3. y = (+y)2 (+y) 2 ;
26 26 Elsőrendű lineáris egyenletek Képletek első rész Deriválhatóság Értelmezés. Legyen f : A R függvény. nevezzük, ha létezik és véges a Ekkor az f függvény deriválhatónak (differenciálhatónak) f() f( 0 ) f( 0 + h) f( 0 ) lim = lim < 0 0 h 0, 0+h A h határérték. Ekkor az f függvény deriváltját f ( 0 )-val jelöljük, melynek értéke: f ( 0 ) = lim 0 f() f( 0 ) 0 és Hasonlóan értelmezhető a jobb és baloldali derivált fogalma is: f l ( 0 ) = f r( 0 ) = f() f( 0 ) lim 0,< 0 0 f() f( 0 ) lim 0,> 0 0. Ekkor világos, hogy f ( 0 ) létezik ha f s( 0 ) = f d ( 0), és f ( 0 ) = f s( 0 ) = f d ( 0). Továbbiakban néhány középiskolai tanulmányokból ismert képletet szeretnénk feleleveníteni. Tétel (Deriválási szabályok). Legyenek f, g : A R R deriválható függvények az A pontban. Ekkor érvényesek az alábbi derviálási szabályok: (f + g) () = f () + g () (összeg deriváltja); (cf) () = cf (), minden c R esetén; (f g) () = f () g() + g () f() (szorzat deriváltja); ha g() 0, ( f() g() ) () = f ()g() g ()f() g 2 () (hányados deriváltja); ha f : I J, g : J R, f deriválható az 0 I-ben és g deriválható y 0 = f( 0 ), akkor (g f) ( 0 ) = g (y 0 )f ( 0 ); ha f : I J folytonos, bijektív, deriválható 0, úgy, hogy f ( 0 ) 0, akkor deriválható az y 0 pontban, y 0 = f( 0 ) és f : J I ( f ) (y0 ) = f ( 0 ). A továbbiakban vizsgáljuk meg az alapfüggvényeink deriváltjait. Elemi függvények deriváltjai. f() = c akkor f () = 0; 2. f() = n, n N akkor f () = n n ; 3. f() = r, r R, > 0 akkor f () = r r ; 4. f() =, > 0 akkor f () = 2 ;
27 4.3 Bernoulli és Riccati differenciálegyenletek f() = ln(), > 0 akkor f () = ; 6. f() = a, a, a > 0, > 0 akkor f () = a ln(a); 7. f() = e akkor f () = e ; 8. f() = sin() akkor f () = cos(); 9. f() = cos() akkor f () = sin(); 0. f() = tan(), (2k + ) π 2, k Z akkor f () = cos 2 () ;. f() = cot(), kπ, k Z akkor f () = sin 2 () ; 2. f() = arcsin(), [0, ] akkor f () = 2 ; 3. f() = arccos(), [0, ] akkor f () = 2 ; 4. f() = arctan() akkor f () = + 2. Összetett függvény deriváltja Ebben a részben, olyan összetett függvények deriváltjait soroljuk fel, amelyeket nagy hasznossággal tudjuk felhasználni a differenciálegyenletek tanulmányozása során. Legyen u egy függvény. Ekkor érvényesek:. f(u) = c esetén f (u) = 0; 2. f(u) = u n, n N esetén f (u) = nu n u ; 3. f(u) = u r, r R, u > 0 esetén f (u) = ru r u ; 4. f(u) = u, u > 0 akkor f (u) = 2 u u ; 5. f(u) = ln(u), u > 0 akkor f (u) = u u ; 6. f(u) = a u, a, a > 0, u > 0 akkor f (u) = a u ln(a) u ; 7. f(u) = e u esetén f (u) = e u u ; 8. f(u) = sin(u) akkor f (u) = cos(u) u ; 9. f(u) = cos(u) esetén f (u) = sin(u) u ; 0. f(u) = tan(u), cos(u) 0, akkor f (u) = cos 2 (u) u ;. f(u) = cot(u), sin(u) 0 akkor f (u) = sin 2 (u) u ; 2. f(u) = arcsin(u), u [0, ] akkor f (u) = u 2 u ; 3. f(u) = arccos(u), u [0, ] akkor f (u) = u 2 u ; 4. f(u) = arctan(u) akkor f (u) = +u 2 u.
1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenAnalı zis elo ada sok
Vajda Istva n Neumann Ja nos Informatika Kar O budai Egyetem 1 / 13 Specia lis differencia la si szaba lyok Logaritmikus differencia la s f (x)g (x) g (x) = e ln f (x) = e g (x) ln f (x) = f (x) g (x)
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenTartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
RészletesebbenMatematikai háttér. 3. Fejezet. A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot.
3. Fejezet Matematikai háttér A matematika hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot René Descartes Számtalan kiváló szakirodalom foglalkozik a különféle differenciálegyenletek
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenFeladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!
Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenHatározatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)
Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben
Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebben