Analı zis elo ada sok

Átírás

1 Vajda Istva n Neumann Ja nos Informatika Kar O budai Egyetem 1 / 13

2 Specia lis differencia la si szaba lyok Logaritmikus differencia la s f (x)g (x) g (x) = e ln f (x) = e g (x) ln f (x) = f (x) g (x) ln f (x) = =e g (x) ln f (x) + g (x) f (x) f (x) g (x) = f (x) g (x) ln f (x) + g (x) f (x) Pe lda: Legyen f (x) = x α, α R. 1 α α f (x) = (x ) = x ln x + α = αx α 1 x Megjegyze s: Az eredme ny megfelel a kora bbi specia lis esetekben kapott o sszefu gge seknek. / 13

5 Specia lis differencia la si szaba lyok Logaritmikus differencia la s Pe lda k: Legyen f (x) = x x. 1 = x x (1 + ln x) f (x) = (x ) = x 1 ln x + x x x x Legyen f (x) = x x sin x. f (x) = (x x sin x) = (x x ) sin x + x x cos x = = x x (1 + ln x) sin x + x x cos x = x x (sin x + (ln x) sin x + cos x) 3 / 13

6 Specia lis differencia la si szaba lyok Logaritmikus differencia la s Pe lda k: Legyen f (x) = x x. 1 = x x (1 + ln x) f (x) = (x ) = x 1 ln x + x x x x Legyen f (x) = x x sin x. f (x) = (x x sin x) = (x x ) sin x + x x cos x = = x x (1 + ln x) sin x + x x cos x = x x (sin x + (ln x) sin x + cos x) 3 / 13

7 Specia lis differencia la si szaba lyok Parame teres alakban megadott fu ggve ny differencia la sa Te tel: Legyen x = ϕ(t), y = ψ(t), ahol t Dϕ = Dψ e s ϕ inverta lhato. Ha ϕ(t) e s ψ(t) differencia lhato k t -ban e s ϕ (t ) 6=, akkor a parame teres alakban megadott f fu ggve ny differencia lhato az x = ϕ(t ) helyen e s f (x ) = ψ (t ) ϕ (t ) π Pe lda: Legyen x = cos t e s y = e t sin t, ahol t [, ]. A megadott intervallumban a cos t inverta lhato e s deriva ltja csak t = -ban. Teha t π pl. a t = parame tere rte khez tartozo x = 3 helyen a parame teresen 6 megadott f fu ggve ny deriva ltja π π e + t t ψ 6 3 e sin t + e cos t = f ( )= = 4.61 sin t ϕ π6 1 4 / 13

8 Specia lis differencia la si szaba lyok Parame teres alakban megadott fu ggve ny differencia la sa Te tel: Legyen x = ϕ(t), y = ψ(t), ahol t Dϕ = Dψ e s ϕ inverta lhato. Ha ϕ(t) e s ψ(t) differencia lhato k t -ban e s ϕ (t ) 6=, akkor a parame teres alakban megadott f fu ggve ny differencia lhato az x = ϕ(t ) helyen e s f (x ) = ψ (t ) ϕ (t ) π Pe lda: Legyen x = cos t e s y = e t sin t, ahol t [, ]. A megadott intervallumban a cos t inverta lhato e s deriva ltja csak t = -ban. Teha t π pl. a t = parame tere rte khez tartozo x = 3 helyen a parame teresen 6 megadott f fu ggve ny deriva ltja π π e + t t ψ 6 3 e sin t + e cos t = f ( )= = 4.61 sin t ϕ π6 1 4 / 13

9 Specia lis differencia la si szaba lyok Implicit alakban megadott fu ggve ny differencia la sa Az implicit fu ggve nyt megado egyenlet mindke t oldala t differencia ljuk, e s ebbo l a deriva lt e rte ke t kifejezzu k. Pe lda: Az x y 3x y + 4xy 4 = implicit alakban megadott fu ggve ny grafikonja a tmegy a P (, 3) ponton. A fu ggve ny deriva ltja ebben a pontban: xy + x yy 6xy 3x y + 4y + 4xy = x yy 3x y + 4xy = xy + 6xy 4y y (x y 3x + 4x) = xy + 6xy 4y y = xy + 6xy 4y 3 = x y 3x + 4x 5 Megjegyze s: Mivel y egy fu ggve ny, y -et o sszetett fu ggve nyke nt, xy -t szorzatfu ggve nyke nt kell differencia lni. 5 / 13

12 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Rolle-te tele Te tel: Ha f folytonos az [a, b]-n, differencia lhato ]a, b[-n e s f (a) = f (b), akkor ξ ]a, b[, amelyre teljesu l, hogy f (ξ) =. Bizonyı ta s: Az a llı ta s nyilva nvalo an teljesu l, ha f konstans [a, b]-n. Ha f nem konstans, akkor felvesz f (a)-to l ku lo nbo zo e rte ket ]a, b[-ben. Te telezzu k fel, hogy felvesz f (a)-na l nagyobb e rte ket. A Weierstrass-te tel e rtelme ben a fu ggve nynek van [a, b]-n maximuma, ami ez esetben az intervallum belseje be esik. Legyen ξ ]a, b[ abszolu t maximumhelye f -nek [a, b]-n. 6 / 13

13 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Rolle-te tele Te tel: Ha f folytonos az [a, b]-n, differencia lhato ]a, b[-n e s f (a) = f (b), akkor ξ ]a, b[, amelyre teljesu l, hogy f (ξ) =. Bizonyı ta s: Az a llı ta s nyilva nvalo an teljesu l, ha f konstans [a, b]-n. Ha f nem konstans, akkor felvesz f (a)-to l ku lo nbo zo e rte ket ]a, b[-ben. Te telezzu k fel, hogy felvesz f (a)-na l nagyobb e rte ket. A Weierstrass-te tel e rtelme ben a fu ggve nynek van [a, b]-n maximuma, ami ez esetben az intervallum belseje be esik. Legyen ξ ]a, b[ abszolu t maximumhelye f -nek [a, b]-n. 6 / 13

14 A differencia la s ko ze pe rte kte telei x ξ < y f (x) f (ξ) = lim, x ξ x ξ mert x [a, ξ[ esete n f (x) f (ξ). x ξ x ξ > Rolle-te tele f (ξ) f (x) f (ξ) f (x) f (ξ) Hasonlo an f (x) f (ξ), x ξ x ξ mert x ]ξ, b] esete n f (x) f (ξ). x ξ f+ (ξ) = lim+ a ξ b x 7 / 13

15 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Rolle-te tele Mivel a fu ggve ny a felte telek szerint differencia lhato ξ-ben, f+ (ξ) = [f (ξ) = f (ξ), ami csak akkor lehetse ges, ha f (ξ) =. Megjegyze sek: Hasonlo okoskoda ssal bizonyı thatjuk az a llı ta st, ha nincs az intervallumban f (a)-na l nagyobb e rte k, viszont van f (a)-na l kisebb. A Rolle-te tel szemle letes jelente se, hogy a felte teleket teljesı to fu ggve ny grafikonja nak van az x-tengellyel pa rhuzamos e rinto je. 8 / 13

16 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Rolle-te tele Mivel a fu ggve ny a felte telek szerint differencia lhato ξ-ben, f+ (ξ) = [f (ξ) = f (ξ), ami csak akkor lehetse ges, ha f (ξ) =. Megjegyze sek: Hasonlo okoskoda ssal bizonyı thatjuk az a llı ta st, ha nincs az intervallumban f (a)-na l nagyobb e rte k, viszont van f (a)-na l kisebb. A Rolle-te tel szemle letes jelente se, hogy a felte teleket teljesı to fu ggve ny grafikonja nak van az x-tengellyel pa rhuzamos e rinto je. 8 / 13

17 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Lagrange-te tele Te tel: Ha az f valo s-valo s fu ggve ny folytonos az [a, b] e s differencia lhato az ]a, b[ intervallumon, akkor ξ ]a, b[, amelyre teljesu l, hogy f (b) f (a) f (ξ) =. b a Bizonyı ta s: f (b) f (a) Tekintsu k a g (x) = (x a) + f (a) linea ris fu ggve nyt. Ez b a ugyancsak folytonos az [a, b] e s differencia lhato az ]a, b[ intervallumon, ı gy a h(x) = f (x) g (x) fu ggve nyre is fenna ll ugyanez a ke t tulajdonsa g, tova bba h(a) = h(b) =. Ezek szerint a h fu ggve nyre teljesu lnek az intervallumon a Rolle-te tel felte telei, teha t ξ ]a; b[, amelyre h (ξ) =. Mivel a deriva la s e s a mu veletek kapcsolata alapja n h (ξ) = f (ξ) g (ξ), f (b) f (a). eze rt f (ξ) = g (ξ) = b a 9 / 13

18 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Lagrange-te tele y Megjegyze s: A Lagrange-te tel szemle letes jelente se, hogy a fu ggve nynek f (b) f (a) meredekse gu, van b a azaz az intervallum ve gponjaihoz tartozo go rbepontokon a tmeno szelo vel pa rhuzamos e rinto je. a ξ b x 1 / 13

19 A differencia la s ko ze pe rte kte telei Cauchy-fe le ko ze pe rte kte tel Te tel: Ha az f e s g valo s-valo s fu ggve nyek folytonosak az [a, b] e s differencia lhato k az ]a, b[ intervallumon, tova bba x ]a, b[ esete n g (x) 6=, akkor ξ ]a, b[, amelyre teljesu l, hogy f (ξ) f (b) f (a) = g (ξ) g (b) g (a) 11 / 13

20 Magasabbrendu deriva ltak Magasabbrendu deriva ltak Definı cio : Ha az f valo s-valo s fu ggve ny differencia lhato az x hely egy ko rnyezete ben e s f differencia lhato x -ban, akkor az f fu ggve ny x -beli deriva ltja t az f fu ggve ny x -beli ma sodik deriva ltja nak nevezu k. Jelo le sek: f (x ), d f dx x=x Definı cio : Ha az f valo s-valo s fu ggve ny n 1-szer differencia lhato az x hely egy ko rnyezete ben e s f (n 1) differencia lhato x -ban, akkor az f (n 1) fu ggve ny x -beli deriva ltja t az f fu ggve ny x -beli n-edik deriva ltja nak nevezu k. dn f Jelo le sek: f (n) (x ), dx n x=x 1 / 13

24 Magasabbrendu deriva ltak Magasabbrendu deriva ltak Definı cio : Ha az f valo s-valo s fu ggve ny n-szer differencia lhato egy H halmaz minden pontja ban, akkor a H R, x 7 f (n) (x) fu ggve nyt f n-edik differencia lha nyados (deriva lt) fu ggve nye nek nevezzu k. Jelo le sek: f (n), dn f dx n 13 / 13

25 Magasabbrendu deriva ltak Magasabbrendu deriva ltak Definı cio : Ha az f valo s-valo s fu ggve ny n-szer differencia lhato egy H halmaz minden pontja ban, akkor a H R, x 7 f (n) (x) fu ggve nyt f n-edik differencia lha nyados (deriva lt) fu ggve nye nek nevezzu k. Jelo le sek: f (n), dn f dx n 13 / 13