2.7. Fourier-sor Gyakorló feladatok... 84

Átírás

1 Tartalomjegyzék. Közönséges differenciálegyenletek 3.. Bevezető Szétválasztható változójú differenciálegyenletek Gyakorló feladatok Lineáris elsőrendű differenciálegyenlet Gyakorló feladatok Új változó bevezetése Gyakorló feladatok Iránymező, izoklinák Gyakorló feladatok Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek Homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek Inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek Gyakorló feladatok Lineáris rekurzió Gyakorló feladatok Alkalmazások Függvénysorok 45.. Hányados- és gyökkritérium (numerikus sorok) Gyakorló feladatok Weierstrass-kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájára Hatványsorok Hatványsorok konvergencia sugara, konvergenciatartománya Hatványsorok összegfüggvénye Gyakorló feladatok Taylor-polinom Taylor-sor Gyakorló feladatok Binomiális sorfejtés Gyakorló feladatok

2 .7. Fourier-sor Gyakorló feladatok Többváltozós függvények Határérték, folytonosság Gyakorló feladatok Parciális deriváltak, totális derivált Gyakorló feladatok Érintősík, differenciál, iránymenti derivált Gyakorló feladatok Összetett függvény deriválása Gyakorló feladatok Szélsőértékszámítás Gyakorló feladatok Kettős integrál Kétszeres integrál téglalap- és normáltartományokon Kettős integrálok transzformációja Gyakorló feladatok Hármas integrál Gyakorló feladatok Komplex függvénytan Differenciálhatóság, regularitás, harmonikus társ Elemi függvények, egyenletek megoldása Komplex vonalintegrál Cauchy-féle integrálformulák Gyakorló feladatok

3 . fejezet Közönséges differenciálegyenletek.. Bevezető Néhány egyszerű példa az alapfogalmak megértéséhez:... Feladat. Mutassuk meg, hogy y = e x x 0 e t dt + 3 e x megoldása az alábbi differenciálegyenletnek! y y = e x+x (Ez egy elsőrendű differenciálegyenlet. Azt, hogy a függvény megoldása a differenciálegyenletnek, mondjuk úgy is, hogy kielégíti a differenciálegyenletet.) A megadott függvény deriválható, mert deriválható függvények összetétele. (Felhívjuk a figyelmet az integrálfüggvényre, emlékezzünk az integrálszámítás II. alaptételére is, az integrandusz folytonos!) x y = (e x ) e t dt + e x x e t dt + (3 e x ) = e x x e t dt + e x e x + 3 e x Behelyettesítve a differenciálegyenlet bal oldalába y -t és y -öt: y y = e x e x = e x+x Tehát valóban a jobb oldalt kaptuk. 3

4 ... Feladat. y = e 3x + x a) Adjuk meg a differenciálegyenlet általános megoldását! b) Adjuk meg azt a partikuláris megoldást, mely eleget tesz az alábbi kezdeti feltételeknek! y(0) =, y (0) = a) A differenciálegyenletből: y = 3 e 3x + x + C Ebből az általános megoldás: y = 9 e 3x + x3 3 + C x + C, C, C R b) y(0) = : a megoldásban x helyére 0 -át, y helyére -et helyettesítve: = 9 + C = C = 8 9 y (0) = : az y -re kapott egyenletben elvégezve a helyettesítést (x = 0, y = ) = 3 + C = C = 7 3 Így a keresett partikuláris megoldás: y = 9 e 3x + x x Szétválasztható változójú differenciálegyenletek... Feladat. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y = x y ex 3y, y 0 4

5 Így a megoldás: = 6 dy dx = e 3y y y dy = e } 3y {{} 6y e 3y dy... x e x x e x dx }{{} parciális integrálás 6 e3y = x ex 4 ex + C, C R Nem kell erőltetni az y -ra való kifejezést. De, ha kifejezzük, akkor ne felejtsük el a ± -t! Adott y(x 0 ) = y 0 kezdeti érték probléma megoldásánál természetesen csak az egyik előjel szerepel majd, hiszen a megoldás egyértelmű, mert y 0 > 0, vagy y 0 < Feladat. y = y x y, x 0, y 0 a) Oldja meg a differenciálegyenletet! b) Oldja meg az y() =, y() = 3, illetve az y( ) = 3 kezdeti érték problémákat! a) y megoldás (. ábra). (Persze az x > 0, vagy x < 0 része!) Ha y : Innen a megoldás: y y }{{} + y dy = x dx y + ln y = ln x + C 5

6 y x.. ábra. (.. feladathoz.) Az y megoldás, valamint a nevző zérushelyei (x 0, y 0) hat téglalapra osztják a síkot. Ezeken a tartományokon belül a kezdeti érték problémák egyértelműen megldhatók. Az. ábra azokat a tartományokat mutatja, ahol a kezdeti érték probléma egyértelműen megoldható. b) A partikuláris megoldások: y() = : y y() = 3 : 3 + ln = ln + C = C = 3, tehát a megoldás: y + ln (y ) = ln x + 3 y( ) = 3 : 3 + ln 5 = ln + C = C = 3 + ln 5, tehát a megoldás: y + ln ( y) = ln ( x) 3 + ln 5 Figyelje meg, hogyan hagytuk el az abszolút érték jeleket!..3. Feladat. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y + 4y + 9 (x ) (x + 5), x, x 5 6

7 (y + ) + 5 dy =. (x ) (x + 5) dx 5 5 arctg y + 5 = 6 (ln x ln x + 5 ) + C..4. Feladat. A rádium bomlási sebessége arányos a pillanatnyi rádiummennyiséggel. Tudjuk, hogy a rádium felezési ideje 600 év. A kiindulási anyag mennyiségének hány százaléka bomlik fel 00 év alatt? Jelöljük R(t) -vel a rádium mennyiségét a t időpontban, k -val az arányossági tényezőt (pozitívnak választjuk). A kapott differenciálegyenlet: dr = k R dt (A negatív előjel mutatja, hogy a bomlás következtében a rádium mennyisége csökken.) A szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldása: R = C e k t Ha a t = 0 időpontban a kiindulási anyag mennyisége R 0, tehát az R(0) = R 0 kezdeti érték problémánk van: R 0 = C e k 0 = C = R 0 Tehát a keresett partikuláris megoldás: R = R 0 e k t. Mivel ismerjük a felezési időt, meghatározható a k arányossági tényező: R 0 = R 0 e k 600 = k = ln 600 Tehát a rádium mennyisége az idő függvényében: R(t) = R 0 e ln 600 t 7

8 Így a 00 év múlva megmaradt mennyiség: R(00) = R 0 e ln 6 = R 0 e 0,0433 = R(00) R 0 = e 0,0433 = 0, 958 Vagyis 95, 8 %, tehát az eredeti mennyiség 4, % - a bomlott el...5. Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = (3x ) 5 (y 4y) y 0 és y 4 megoldás. Egyébként: y (y 4) dy = (3x ) 5 dx. 4 ( ln y + ln y 4 ) = (3x ) 6 + C 3 6 Keresse meg az y(0) =, illetve az y(0) = 4 kezdeti feltételeket kielégítő megoldásokat! Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = sh y ch y x (x + ) 6 y 0 megoldás. Ha y 0 : ch y sh y dy = ln sh y = 4 x (x + ) 6 dx (x + ) C 8

9 ..7. Feladat. Oldja meg az alábbi kezdeti érték problémákat! y = (ctg y) ln(x ), y(3) = π/3, illetve y(3) = π/ x >, y k π y π + k π megoldás. Egyébként: sin y cos y }{{} f /f alakú dy = ln (x ) dx } {{ } parciális integrálás... ln cos y = x ln (x ) x ln (x ) + C y(3) = π/3 :... C = 3 + ln, így ln (cos y) = ( x ln (x ) x ln (x ) ln, y 0, π ) és x > y(3) = π/ : y π x > része..8. Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y + 3 y x e 4x, y 0 4 y y + 3 }{{} f /f dy = 4y y + 3 dy = 4 } x e{{ 4x } dx f e f 4 x e 4x dx 9

10 Vagyis 4 ln (y + 3) = 4 e 4x ln (y + 3) = e 4x + C + C... Gyakorló feladatok..9. Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = (y + 3) arcsin x, x < y 3, x < része megoldás. Ha y 3 : (y + 3) dy = arcsin x dx Jobb oldalon: parciális integrálás (u =, v = arcsin x)... (y + 3) = x arcsin x + x + C..0. Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y + 3 y + x arctg x y + y + 3 dy = x arctg x dx 0

11 Bal oldal: racionális törtfüggvény, de áltört. Jobb oldal: parciális integrálás (u = x, v = arctg x)... y 3 arctg y 3 3 = x arctg x ( x ) arctg x + C... Feladat. y = (y 8) arctg x y ( + x ), y 0 a) Határozza meg az x 0 = 0, y 0 = ponton áthaladó megoldást! b) Határozza meg az x 0 = 0, y 0 = ponton áthaladó megoldást! y ± megoldás. Ha y : 4 4y y 8 }{{} f /f dy = + x arctg x }{{} f f dx = 4 ln y 8 = arctg x + C, C R a) y(0) = : behelyettesítéssel: C = 4 ln 6 4 ln y 8 = arctg x + 4 ln 6, y < 0 b) y(0) = : y

12 ... Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y 9 x Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = y (ln y) ln x, x > 0, y > Feladat. Írjuk fel azoknak az első negyedbe eső síkgörbéknek az egyenletét, melyekre teljesül,hogy bármely pontjában húzott érintőjének a koordinátatengelyek közötti szakaszát az érintési pont felezi Lineáris elsőrendű differenciálegyenlet Mint tudjuk az előadásról: y iá = y H + y ip, y H : szétválasztható változójú, y ip : állandó variálásával A homogén egyenlet megoldásánál nem alkalmazható a képlet, minden esetben végig kell csinálni az alábbi két példában mutatott módszerek valamelyikével.

13 .3.. Feladat. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! y x x + 4 y = 6x, y(0) = 4 y iá = y H + y ip (H): y x x + 4 Ha y 0 : y = 0 = dy dx = dy y = x x + 4 y, x x + 4 dx y 0 megoldás = ln y = ln (x + 4) + C = y = e C e ln x +4 = y = ±e C x + 4, illetve y 0 Tehát a homogén egyenlet általános megoldása: y Hált = C x + 4, C R Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése: y p = c(x) x + 4, y p = c (x) x c(x) x + 4 x Behelyettesítve (I)-be: c 6x (x) = x + 4 = c(x) = 3 x (x + 4) / dx = 6 x K Mivel egyetlen y p megoldást keresünk, K = 0 választható, így y p = 6 (x + 4). Az inhomogén egyenlet általános megoldása: y Iált = C x (x + 4) (C R) Az y(0)=4 kezdetiérték probléma megoldása: 4 = C + 4 = C = 0 = y = 0 x (x + 4) 3

14 .3.. Feladat. y x y = x, x 0 a) Általános megoldás? b) y() = 3 kezdeti feltételt kielégítő megoldás? c) y( e) = 3 e kezdeti feltételt kielégítő megoldás? a) Minden olyan tartományban, melyben x 0 a differenciálegyenlet egyértelműen megoldható. (H): y dy y = 0 = x dx = x y Az előadásból tudjuk, hogy y Hált = C Y (x) alakú, ahol Y a homogén egyenlet egy megoldása, mely seholse nulla. Ezt kihasználva a megoldás kevesebb munkával is megkapható. dy y = x dx = ln y = ln x, így y = x (Y = x ) Tehát a homogén egyenlet általános megoldása: y Hált = C x, C R Kérdés: Y (x) = x vesz fel 0 értéket, márpedig a bizonyításban e alakúra jött ki (a jegyzetben Y (x) helyett ϕ(x) jelölés van), tehát nem lehetne 0. Hol az ellentmondás? Válasz: Az elején beszéltünk róla, hogy az x > 0, vagy az x < 0 félsíkon dolgozunk és ekkor már valóban teljesül, hogy Y (x) 0 a vizsgált tartományban. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának keresése: y p = c(x) x, y p = c (x) x + c(x) x Behelyettesítve (I)-be: c (x) = x = c(x) = ln x y p = x ln x = y Iált = C x + x ln x 4

15 b) y() = 3 kezdeti érték probléma megoldása: 3 = C + ln, tehát C = 3. Így a keresett megoldás: y = 3 x + x ln x c) y( e) = 3 e kezdeti érték probléma megoldása: 3 e = C e + e, tehát C =. Így a keresett megoldás: y = x + x ln ( x) (Itt már ne szerepeljen abszolút érték a megoldásban!).3.3. Feladat. Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását! y 3x y = 6x A differenciálegyenlet lineáris elsőrendű, de ugyanakkor szeparábilis is. Így rövidebb a megoldás, ezért most így oldjuk meg: y megoldás. Ha y : dy y + = y = 3x y + 6x = dy dx = 3x (y + ) 3x dx = ln y + = x 3 + C... y + = ±e C e x3, illetve y = y = + C e x3, C R.3.4. Megjegyzés. Oldja meg a differenciálegyenletet lineáris elsőrendűként is és hasonlítsa össze az eredményeket!.3.. Gyakorló feladatok 5

16 .3.5. Feladat. Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + e x ex y = 3 e (H) y + e x y = 0... y H = C e ex, C R (I) y p = c(x) e ex... c(x) = 3x = y Iált = y H + y p = C e ex ex + 3x e.3.6. Feladat. Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y = x y + + x, x 0 (H) y + x y = 0... y H = C x, C R (I) y p = c(x) x... c (x) = x + x = c(x) = x arctg x = y Iált = y H + y p = C x + x arctg x x.3.7. Feladat. Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y + 5 x y = ex x 4, x 0 (H) y + 5 x y = 0... y H = C x 5, C R (I) y p = c(x) x 5... c (x) = x e x = c(x) = (x ) e x (parc. integrálással) = y Iált = y H + y p = C (x ) ex + x5 x 5 6

17 .3.8. Feladat. Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y x y = x + x, x 0... y Iált = y H + y p = Cx + x ln ( + x ) Új változó bevezetése Mi mindig megadjuk, hogy milyen helyettesítést alkalmazzunk..4.. Feladat. u = y x helyettesítéssel oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! x y = y ( + ln y ln x), x > 0, y > 0 y(x) = u(x) x = y = u x + u Behelyettesítve az y = y ( + ln y ) differenciálegyenletbe: x x u x + u = u( + ln u) = u x = u ln u (szeparábilis) x > 0, y > 0 miatt u > 0. u egyensúlyi helyzet, Ha u : tehát y = x megoldás. u ln u }{{} f /f alakú du = 7 x dx

18 Innen a megoldás: ln ln u = ln x + C (C R) = ln u = e C x = K x (K > 0) = ln u = ±K x = u = e ±K x, illetve u Így írhatjuk a következő alakban is: u = e C x, C R A visszahelyettesítést elvégezve kapjuk a végeredményt: y = x e C x, C R.4.. Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket! Szükség esetén alkalmazza az u = x + y helyettesítést! a) y = x + y b) y = x + y a) Ez lineáris elsőrendű differenciálegyenlet. (Hf.) b) Ez csak helyettesítéssel oldható meg: (x + y 0) u(x) := x + y(x) = y = u x = y = u Behelyettesítve: u = u = u = + u = du dx = u + u Ez szeparálható differenciálegyenlet. u megoldás, tehát y = x megoldja a differenciálegyenletet. Ha u : u } u {{ + } u+ = u+ u+ du = dx = u ln u + = x + C A visszahelyettesítést elvégezve kapjuk a végeredményt: x + y ln x + y + = x + C, azaz y ln x + y + = C, illetve y = x 8

19 .4.3. Feladat. u = y 4 helyettesítéssel oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! x y + y = ln x y 3, y 0, x > 0 Adja meg az y() = kezdeti feltételnek eleget tevő megoldást! u = 4 y 3 y Ezért átrendezzük a differenciálegyenletet: x y 3 y + y 4 = ln x Behelyettesítünk: 4 x u + u = ln x = u + 4 x u = 4 x ln x Lineáris elsőrendű differenciálegyenletet kaptunk. (H): u + 4 x u = 0 u H = C x 4 ; C R (I): u ip = c(x) c = 4x 3 ln x x 4 Innen parciális integrálással kapjuk: c(x) = x 4 ln x x4 4 = u ip = ln x 4 Tehát u iá = u H + u ip = C x 4 + ln x 4 Visszahelyettesítéssel az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: y 4 = C x 4 + ln x 4, C R y() = : = C + 0 = C = Így a keresett partikuláris megoldás: 5 y = 4 4 x + ln x Feladat. u(x) = y 3 (x) + x helyettesítéssel oldja meg az alábbi kezdeti érték problémát! 3 y y cos x π = x + sin (y 3 + x ), y(0) = 3 4 9

20 u = 3 y y + x = 3 y y = u x Elvégezve a behelyettesítést: u x = x + cos x = sin u du = sin u A megoldás: cos x dx cos u = sin x + C = cos (y 3 + x ) = sin x + C y(0) = 3 π 4 : cos (y 3 + x ) = sin x, vagyis ( y = arccos 3 sin x + ) x.4.. Gyakorló feladatok.4.5. Feladat. Az u = x + y új változó bevezetésével oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y = x + y, x > 0, y > 0 y = u x = y = u Behelyettesítve: u = = u = u + u u : szeparábilis differenciálegyenlet. Ezt megoldja: u ( egyensúlyi helyzet) = x + y = : ez nem felel meg a kikötéseknek. u : u u + du = dx... u ln (u + ) = x + C Így a megoldás: x + y ln (x + y + ) = x + C, C R 0

21 .4.6. Feladat. Vezesse be az u = y 3 új változót az alábbi differenciálegyenletbe, majd határozza meg az y(0) = kezdeti értékhez tartozó megoldását: 3y y y 3 = e x + x u = 3 y y Behelyettesítve: u u = e x + x : lineáris elsőrendű differenciálegyenlet.... u Iált = C e x + x e x x 4 Így az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása: y 3 = C e x + x e x x 4 y(0) = : 8 = C = C = Tehát a keresett partikuláris megoldás: y 3 = 3 8 ex + x e x x 4 ( ) y = ex + x e x x Feladat. Hajtsa végre az u = y 3 + x helyettesítést az alábbi kezdeti érték problémánál! 3y y = (y 3 + x + ) 3 cos (πx), y() = Milyen differenciálegyenlethez jutott? Ne oldja meg a kapott differenciálegyenletet! u = 3y y + = 3y y = u Elvégezve a behelyettesítést: u = (u + ) 3 cos (π x) = u = (u + ) 3 cos (π x) Szétválasztható változójú differenciálegyenletet kaptunk. y() = : u() = y 3 + x x=, y= = + =

22 y y = ln x e x y y = ln(x ) e + x.. ábra. (.5. feladathoz.) A K = 0-hoz és a K = -hez tartozó izoklina és néhány vonalelem..5. Iránymező, izoklinák.5.. Feladat. y = e y+ x a) Írja fel a differenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét! Rajzoljon fel kettőt! b) Van-e lokális szélsőértéke a P 0 (e, ) ponton áthaladó megoldásnak P 0 -ban? a) y = e y+ x = K = y = ln (x + K) az izoklínák egyenlete Pl. K := 0 : y = ln x K := : y = ln (x ) Az. ábrán látható, hogy a K = 0 izoklina mentén a vonalelemek vízszintesek, a K = izoklina mentén pedig a vonalelemek hajlásszöge π 4. b) y (e) = e y+ x x=e, y= = e e = 0 : lehet lokális szélsőérték y = e y+ y ; y (e) = e 0 = < 0 = lok. max..5.. Feladat. y = (y 4) x + x

23 y 3 x 3.3. ábra. (.5. feladathoz.) A keresett izoklina és rajta néhány vonalelem. a) A sík mely pontjaiban párhuzamos az iránymező az y = x egyenessel? Vázoljuk ezeket a pontokat és jelöljünk be néhány vonalelemet! b) Van-e lokális szélsőértéke vagy inflexiós pontja az x 0 =, y 0 = ponton átmenő megoldásnak a szóbanforgó pontban? (Feltéve, hogy van ilyen megoldás.) a) y = x meredeksége: Az izoklínák egyenlete: (y 4) x + x = K Most K = érdekel bennünket: (y 4) x + x = = (y 4 + ) x = 0 Ennek megoldása: y = 3, tehát y = ± 3, illetve x = 0 (.3 ábra). b) y() = y () = (y 4) x + x x=, y= = 0, tehát lokális szélsőérték lehet itt. y = y y x + (y 4) + y () = y() y () + (y() 4) + = Tehát az adott pontban lokális minimuma van a megoldásfüggvénynek. (Inflexiós pont nem lehet, mert y () 0.) 3

24 .5.3. Feladat. Az akárhányszor deriválható y = y(x), x R megoldása az y = y 3 x differenciálegyenletnek és átmegy az (, ) ponton. a) Van-e ennek a megoldásnak lokális szélsőértéke az x = helyen? b) Írja fel ennek a megoldásnak az x 0 = pont körüli harmadfokú T 3 (x) Taylor polinomját! a) y() = y () = = 0, tehát lokális szélsőérték lehet itt. y = 3 y y x = y () = 0 = < 0 Tehát az adott pontban lokális maximuma van a megoldásfüggvénynek. ( y() = értékkel.) b) Az x 0 = bázispontú harmadrendű Taylor polinom: T 3 (x) = y() + y () (x ) + y () (x ) + y ()!! 3! Még y () hiányzik a behelyettesítéshez. y = 3 ( y y ) y + 3 y y = y () = 8 (x ) 3 Elvégezve a behelyettesítést, kapjuk a keresett Taylor polinomot: T 3 (x) = (x ) 8 (x ) Gyakorló feladatok.5.4. Feladat. y = x e 3y a) Mely pontokban van lokális minimuma a differenciálegyenlet megoldásainak, feltéve, hogy minden ponton halad át megoldás? (Ne próbálja megoldani a differenciálegyenletet!) b) Rajzolja le ennek a differenciálegyenletnek két izoklináját és jelölje be rajta az iránymezőt! 4

25 Feladat. Tekintsük az alábbi differenciálegyenletet! y = y 3 e 3x Belátható, hogy minden kezdeti érték problémának van egyértelmű megoldása. a) Milyen szög alatt metszi az y tengelyt az x 0 = 0, y 0 = 3 ponton áthaladó megoldásgörbe? b) Mely pontokon áthaladó megoldásgörbéknek van lokális maximuma illetve minimuma a szóbanforgó pontban? Feladat (**). y = x + y xy a) Rajzolja fel az (, ) ponton áthaladó izoklinát! (Rajzoljon be néhány vonalelemet is!) b) A differenciálegyenlet megoldása nélkül vizsgálja meg, hogy hol lehet lokális szélsőértéke a megoldásgörbéknek! Ahol van, ott milyen jellegű a lokális szélsőérték? a) y () = f(, ) = = m Az izoklina: x + y xy = = (y x) = = y x = ± = y = x ± (.4 ábra) 5

26 y = x y y = x + x.4. ábra. (.5.6 feladathoz.) Az (, ) ponton áthaladó izoklina és néhány vonalelem. b) Szükséges feltétel: y = x + y xy = 0 Tehát (y x) = 0 = y = x pontjaiban lehet lokális szélsőérték. y = x + yy y xy = x y + y (y x) = az y = x egyenes pontjaiban y = 0. Így meg kell vizsgálni y -t is: y = + y y + yy y y xy Behelyettesítés (y = x, y = 0, y = 0) : y = = y = x pontjaiban nincs lokális szélsőérték. Jobb megoldás: y = (y x) 0 = nincs lokális szélsőérték Feladat. y = 3x + 6y 8 a) Írja fel az x 0 = 3, y 0 = ponton áthaladó megoldás adott pontbeli érintőegyenesének egyenletét! b) Írja fel a differenciálegyenlet izoklínáinak egyenletét! c) Hol lehet lokális szélsőértéke a megoldásfüggvényeknek? Rajzolja fel ezeket a pontokat!... 6

27 .5.8. Feladat. y = x y, y(x 0 ) = y 0 a) Jelölje ki azokat a pontokat, melyeken a megoldásgörbe - lokálisan növekedően, - lokálisan csökkenően halad át. b) Mely pontokban van lokális szélsőértéke a megoldásgörbéknek? Milyen jellegű? Feladat. Tudjuk, hogy az y = y y + x differenciálegyenletnek minden y(x 0 ) = y 0 kezdeti értékhez létezik pontosan egy megoldása, amely akárhányszor differenciálható. a) Milyen lokális tulajdonsága van a P 0 (, ) ponton átmenő megoldásgörbének ebben a pontban? b) Írja fel az izoklinák egyenletét! Rajzoljon fel néhányat! Hol lehet lokális szélsőértéke a megoldásfüggvényeknek? c) Vannak-e olyan megoldások, amelyeknek az x = 0 helyen inflexiós pontjuk van?... 7

28 .6. Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek.6.. Homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.6.. Feladat. Oldja meg az alábbi homogén differenciálegyenletet! y + y + y = 0 λ 3 + λ + λ = λ (λ + ) = 0 = λ = 0, λ,3 = (belső rezonancia) y H = C + C e x + C 3 x e x, C, C, C 3 R.6.. Feladat. Oldja meg az alábbi homogén differenciálegyenletet! y + 4 y + 3 y = 0 λ λ + 3 λ = λ (λ + 4 λ + 3) = 0 = λ = 0, λ,3 = ± j 3 y H = C + C e x cos 3x + C 3 e x sin 3x, C, C, C 3 R.6.3. Feladat. Írjon fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós konstans együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények! Írja fel az adott differenciálegyenlet általános megoldását is! a) e 5x e 3x b) 6x + 5 e x c) 7x, sin 5x d) 3 x e x, e 3x e) 6 + e 3x sin x 8

29 a) e 5x miatt λ = 5, e 3x miatt λ = 3 Így a karakterisztikus egyenlet: (λ 5) (λ + 3) = 0 = λ λ 5 = 0 A differenciálegyenlet: y y 5y = 0 A differenciálegyenlet általános megoldása: y H = C e 5x + C e 3x, C, C R b) x miatt λ = λ = λ 3 = 0, e x miatt λ 4 = Így a karakterisztikus egyenlet: (λ 0) 3 (λ ) = 0 = λ 4 λ 3 = 0 A differenciálegyenlet: y IV y = 0 A differenciálegyenlet általános megoldása: y H = C + C x + C 3 x + C 4 e x, C, C, C 3, C 4 R c) a karakterisztikus egyenlet: (λ 0) (λ j 5) (λ + j 5) = λ (λ + 5) = λ λ = 0 A differenciálegyenlet: y IV + 5 y = 0 A differenciálegyenlet általános megoldása: y H = C + C x + C 3 sin 5x + C 4 cos 5x, C, C, C 3, C 4 R d) (λ ) 3 (λ 3) = 0 e) (λ 0) (λ (3 + j)) (λ (3 j)) = λ ((λ 3) j) ((λ 3) + j) = = λ ((λ 3) + ) = λ 3 6λ + 0 λ = 0 A differenciálegyenlet: y 6 y + 0 y = 0 A differenciálegyenlet általános megoldása: y H = C + C e 3x sin x + C 3 e 3x cos x, C, C, C 3 R.6.. Inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek 9

30 .6.4. Feladat. Oldja meg az alábbi inhomogén differenciálegyenletet! y 5y + 6y = sin x λ 5λ + 6 = 0 = λ =, λ = 3 A homogén egyenlet általános megoldása: y H = C e x + C e 3x Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását kísérletezéssel keressük: 6 y ip := A sin x + B cos x 5 y ip = A cos x B sin x y ip = 4A sin x 4B cos x A = 6, B = 5 6 y iá = C e x + C e 3x + 6 sin x cos x, C, C R.6.5. Feladat. Oldja meg az alábbi inhomogén differenciálegyenletet! y 6 y + 3y = 39 λ 6λ + 3 = 0 = λ, = 3 ± j e (3+j )x = e 3x (cos x + j sin x) Tudjuk, hogy ennek valós és képzetes része is megoldja a homogén egyenletet, így a homogén egyenlet általános megoldása: y H = C e 3x cos x + C e 3x sin x y ip := A, 3 A = 39 = A = 3 y iá = C e 3x cos x + C e 3x sin x + 3, C, C R 30

31 .6.6. Feladat. y 5y + 6y = x e x, y(x) =? λ 5λ + 6 = 0 = λ =, λ = 3 = y H = C e x + C e 3x y ip = (Ax + B) e x alakban keressük. A =, B = 3 ( = y ip = x + 3 ) e x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C e x + C e 3x + ( x + 3 ) e x.6.7. Feladat. y y y = 3 e x, y(0) = 3, y (0) =, y(x) =? λ λ = 0 = λ =, λ = = y H = C e x + C e x y ip := A x e x (külső rezonancia) y ip = A e x + A x e x y ip = A e x + A e x + 4A x e x x e x ( A A + 4A) + e x ( A + 4A) = 3 e x = 3A = 3, tehát A =. Tehát y ip = x e x. Így a keresett általános megoldás: Ebből y iá = C e x + C e x + x e x y iá = C e x C e x + e x + x e x A keresett partikuláris megoldás: y(0) = 3 : 3 = C + C y (0) = : = C C + = C =, C = Vagyis a keresett partikuláris megoldás: y = e x + e x + x e x 3

32 .6.8. Feladat. y (4) 8 y + 6 y = x 9, y(x) =? λ 4 8λ 3 + 6λ = λ (λ 4) = 0 = λ, = 0, λ 3,4 = 4 (belső rezonancia) = y H = C + C x + C 3 e 4x + C 4 x e 4x y ip = (Ax + B) x = Ax 3 + Bx alakban keressük. (Külső rezonancia) A = ( 48, B = = y ip = 4 48 x ) x 4 Így a keresett általános megoldás: ( y iá = y H + y ip = C + C x + C 3 e 4x + C 4 x e 4x + 48 x ) x Feladat. y + y = sin x cos x, y(0) =, y (0) =, y(x) =? λ + = 0 = λ, = ±j = y H = C cos x + C sin x Mivel f(x) = sin x, ezért a próbafüggvény: y ip = A sin x + B cos x A = 3, B = 0 = y ip = 3 sin x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C cos x + C sin x 3 sin x Ebből y iá = C sin x + C cos x cos x 3 A keresett partikuláris megoldás: y(0) = : = C = C = Vagyis: y (0) = : = 0 + C 3 y = cos x sin x 3 sin x = C = 5 3 3

33 .6.0. Feladat. y y y + y = ch x, y(x) =? λ 3 λ λ + = 0 = λ (λ ) (λ ) = 0 = (λ ) (λ ) = 0 = λ =, λ =, λ 3 = = y H = C e x + C e x + C 3 e x Mivel f(x) = ex + e x, ezért a próbafüggvény: A e x + B e x helyett y ip = A x e x + B e x (külső rezonancia) A = 6, B = 4 = y ip = 6 x ex 4 e x Így a keresett általános megoldás: y iá = y H + y ip = C e x + C e x + C 3 e x + 6 x ex 4 e x.6.3. Gyakorló feladatok.6.. Feladat. a) y y 3y = 0 Adja meg az általános megoldást! Adja meg az y(0) = 0, y (0) = 4 feltételeket kielégítő megoldást! b) y y 3y = 3x y(x) =? c) y y 3y = sin x 6 cos x y(x) =?... 33

34 a) y = C e x + C e 3x ; y = e x + e 3x b) y = C e x + C e 3x x + 3 c) y = C e x + C e 3x + sin x + cos x.6.. Feladat. y + y 3y = e 5x y(x) = y = C e 3x + C e x + 3 e5x Feladat. Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását! y 6y + 9y = 7x y = C e 3x + C xe 3x + 3x + 4x Feladat. y + y y = 6e x + x y(x) =?... y = C e x + C e x + xe x x 34

35 .6.5. Feladat. y + 8y = 34 sin x y(x) =? y = C + C e 8x sin x cos x Feladat. Határozza meg a általános megoldását! y + 0y + 9y = 40e 9x... y = C e 5x cos x + C e 5x sin x 9 e9x.6.7. Feladat. Adja meg α értékét úgy, hogy az y αy = e 5x, α R \ {0} differenciálegyenletnél külső rezonancia lépjen fel! Ezen α érték esetén válaszoljon az alábbi kérdésekre: a) Milyen szerkezetű az általános megoldás? b) Milyen alakban kereshető egyik megoldása? c) Határozza meg az általános megoldást! (A fenti α érték esetén.) 35

36 Feladat. A β paraméter függvényében keresse meg az alábbi differenciálegyenlet megoldását! y + β y + y = Feladat. a) Írja fel a differenciálegyenlet általános megoldását! y + y = cos x b) Az α paraméter mely értéke mellett lesz periodikus (azaz "tiszta" szinuszos vagy koszinuszos tagokat tartalamazó) az differenciálegyenlet minden megoldása; y + α y = cos x Feladat. Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet! y + 9y = 3x 36

37 Feladat. y + 4y = 4x y(x) =?... y = C + C cos x + C 3 sin x + x 3 3x.7. Lineáris rekurzió.7.. Feladat. f(n) = 4 f(n ) 3 f(n ) a) Adja meg a lineáris rekurziót kielégítő összes számsorozatot! b) Adja meg az f(0) =, f() = 6 kezdeti feltételt kielégítő megoldást! c) Írja fel az összes O() típusú megoldást! a) Tudjuk, hogy van f(n) = q n (q 0) alakú megoldás: q n = 4 q n 3 q n, q 0 = q = 4q 3 = q 4q + 3 = (q ) (q 3) = 0 = q =, q = 3 Az általános megoldás: f(n) = C + C 3 n, C, C R 37

38 b) f(0) = : C + C = f() = 6 : C + 3C = 6 = C = 0, C = Tehát f(n) = 3 n c) f(n) = O() jelentése: K : f(n) K, n > N (legfeljebb véges sok kivétellel). Tehát f(n) - nek korlátosnak kell lennie, ehhez C = 0 választás kell..7.. Feladat. f(n + ) = 5 f(n) f(n ) a) Adja meg a lineáris rekurziót kielégítő összes számsorozatot! b) Van-e f(n) = O() tulajdonságú megoldás? c) Adja meg az f(0) =, f() = 5 kezdeti feltételt kielégítő megoldást? a) f(n) = q n alakú megoldást keresünk. Helyettesítsünk be az egyenletbe! q n+ = 5 qn q n = q 0 q 5 q + = 0 = q =, q = Így az összes megoldás: f(n) = C n + C ( ) n, C, C R b) f(n) = O() jelentése: f(n) korlátos. Ez C = 0, C R esetén teljesül. c) n = 0 : C + C = n = : C + C = } = C = 3, C = Így a keresett megoldás: f(n) = 3 n ( ) n.7.. Gyakorló feladatok 38

39 .7.3. Feladat. Adja meg a lineáris rekurziót kielégítő összes számsorozatot! Írja fel az összes O(), O(n), illetve O(3 n ), típusú megoldást! a) f(n) = 0 3 f(n ) f(n ) b) f(n) = 5 f(n ) 4 f(n ) c) f(n) = 5 f(n ) 6 f(n ).7.4. Feladat. Írja fel a rekurzió adott kezdő értékhez tartozó megoldását! a) quadf(n) = 0 3 f(n ) f(n ), f(0) = 3, f() = 3 b) f(n) = f(n ) + f(n ), f(0) = 3, f() = c) f(n) = 3 f(n ) + 0 f(n ), f(0) = 3, f() = 6 d) f(n) = 5 f(n ) + 6 f(n ), f(0) = 0, f() =.8. Alkalmazások.8.. Feladat. Harmonikus rezgőmozgás Az ideális rugó által kifejtett F erő arányos, és ellentétes irányú a rugó x megnyúlásával, F (x) = Dx. Hogyan mozog (egydimenzióban) az a test, amelyre egyetlen rugó hat? 39

40 Newton II. törvénye értelmében F (x) = mẍ. Beírva a rugóerő alakját, a Dx(t) = mẍ(t) másodrendű differenciálegyenlethez jutunk, melynek általános megoldása x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), D ahol ω =. m (Az egyenletet visszavezethetjük elsőrendűre, ha megszorozzuk ẋ(t)-vel, és felhasználjuk, hogy ẋ(t)x(t) = dt( d x (t) ), valamint ẍ(t)ẋ(t) = dt(ẋ d (t) ).).8.. Feladat. Kondenzátor kisülése A C kapacitású, Q 0 kezdeti töltéssel feltöltött kondenzátort az R ellenálláson keresztül kisütjük. Határozzuk meg a kondenzátor Q(t) töltésének időfüggését, az áramkörben folyó I(t) áramot, valamint a kondenzátor kapcsain mérhető U(t) feszültséget az idő függvényében! A szükséges fizikai ismeretek: A kondenzátor U(t) feszültsége, Q(t) töltése és C kapacitása között minden pillanatban fennáll, hogy C = Q. Az ellenálláson folyó áram és a U sarkai közt mérhető feszültség kapcsolata: R = U. Végül a kondenzátor töltése és az I áram közti kapcsolat: Q(t) = Q 0 + t τ=t 0 I(τ)dτ, azaz Q(t) = I(t). Az áramkörben nincsen telep, tehát az ellenálláson és a kondenzátoron eső feszültségek összege minden pillanatban zérus, U C (t) + U R (t) = 0. Az U C (t) feszültség a kondenzátor töltésével kifejezve: U C (t) = Q(t). Az áramkörben folyó áram I(t) = Q(t), C tehát az ellenálláson eső feszültség U R (t) = RI(t) = R Q(t). De e két feszültség összege zérus, tehát a Q(t) C + R Q(t) = 0, Q(0) = Q 0 differenciálegyenletet kapjuk, aminek a kezdeti feltételt kielégítő megoldása: Q(t) = Q 0 e C R t. 40

41 .8.3. Feladat. Radioaktív bomlás Radioaktív bomlás során az időegység alatt elbomlott atomok száma arányos a még el nem bomlott atomok számával. Határozzuk meg, hogyan változik az idő függvényében a még el nem bomlott atomok száma, valamint a minta aktivitása (időegységre jutó bomlások száma)! Legyen a még el nem bomlott atomok száma N(t). Rövid dt idő alatt elbomlott atomok száma arányos (N(t)-vel és dt-vel, azaz N(t) N(t + dt) = N(t)λdt, ahonnan Ṅ(t) = λn(t) differenciálegyenlethez jutunk. Ennek megoldása: N(t) = N 0 e λt ; a minta aktivitásának időfüggése pedig A(t) = Ṅ(t) = N 0λe λt Feladat. Oszlopra tekert kötél A matrózok úgy tartják a nagy hajókat a partnál, hogy a kikötőkötelet előbb néhányszor a kikötőhöz betonozott függőleges oszlopra csavarják, és a felcsavart kötél másik végét húzzák. Vajon miért teszik ezt? Mennyivel tudnak így nagyobb erőt kifejteni, mintha a kötelet közvetlenül húznák? Az oszlopra csavart kötél ráfeszül az oszlopra, és az oszlop és a kötél közt ébredő súrlódási erő segít megtartani a hajót. Jelölje az oszlop sugarát R. Legyen ϕ az oszlopra csavart kötél pontjait jellemző szög (ϕ = 0 a hajó felé eső kötélpont, ϕ = ϕ 0 pedig a matróz felé eső kötélpont), és legyen K(ϕ) a kötelet a ϕ szöggel jellemzett pontban feszítő erő. (Tehát K iránya az oszlop érintőjébe esik.) Szemeljünk ki egy ϕ-nél elhelyezkedő, kis dϕ kötéldarabot. E kis kötéldarabra a két végénél K(ϕ), ill. K(ϕ + dϕ K(ϕ) erő hat. A két erő iránya közel ellentétes, a hatásvonalaik szöge dϕ. Egyszerű geometriai megfontolásból adódik, hogy (dϕ esetében) a két erő eredője közel sugár irányú, és nagysága dn(ϕ) K(ϕ)dϕ. Ekkora nyomóerőnél a tapadási súrlódási erő maximuma ds(ϕ) = µ 0 dn(ϕ) µ 0 K(ϕ)dϕ. A kiszemelt dϕ szögű kötéldarab nyugalomban van, tehát a rá ható érintő irányú erők eredője zérus, azaz K(ϕ) = K(ϕ + dϕ) + ds(ϕ). Innen a kötélet feszítő erőre, mint a felcsavarodási szög függvényére a következő differenciálegyenletet kapjuk: d dϕ K(ϕ) = µ 0K(ϕ); K(0) = K 0, 4

42 aminek a megoldása: K(ϕ) = K 0 e µ 0ϕ. Tehát ha a matróz ϕ 0 szögben csavarja rá a kötelet az oszlopra, és a kötél és az oszlop között a tapadási súrlódási együttható µ 0, akkor a matróz e µ 0ϕ -szer kisebb erő kifejtésével képes megtartani a hajót Feladat. Esés nagy magasságból a világűrben Tegyük föl, hogy egy gonosz varázsló megállítaná a Holdat, és az kezdősebesség nélkül szabadon esne a Föld felé. Hogyan változna a Föld Hold távolság az idő függvényében? Legyen a Föld tömege M, a Hold tömege m, kezdeti távolságuk h 0, és tegyük föl az egyszerűség kedvéért, hogy a Föld nem mozdul el a Hold felé. (Ez a közelítés akkor jogos, ha M m.) A gravitációs állandót jelölje γ. Amikor a Föld és a Hold távolsága r(t), akkor a Föld által a Holdra kifejtett gravitációs vonzóerő F (r) = γ mm, így a Hold mozgásegyenlete: r m r(t) = γ mm r (t). (A negatív előjel utal arra, hogy az erő vonzó.) A kapott egyenlet másodrendű differenciálegyenlet az r(t) függvényre nézve, azonban egy ügyes trükkel elsőrendűvé alakíthatjuk. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ṙ(t)-vel, és vegyük észre, hogy r(t)ṙ(t) = ahonnan d dt (ṙ (t) ), valamint ṙ(t) r (t) = d dt ( r(t)). Tehát dt(ṙ d (t) ) = γm d ( ), dt r(t) ṙ (t) = γm r(t) + C. A kapott egyenlet a Holdra felírt mechanikai energiamegmaradás törvényének átrendezett alakja. Autonóm, szeparálható differenciálegyenlet... 4

43 .8.6. Feladat. Láncgörbe Milyen alakú egy két végpontjában felfüggesztett lánc? Írjuk le a lánc alakját az y(x) függvénnyel, mely a lánc x vízszintes koordinátájú pontjának magasságát adja meg. A láncban ébredő erő vízszintes, ill. függőleges komponensét jelölje K x (x), ill. K y (x). Vizsgáljuk a láncnak az x helyen levő kis dl hosszúságú, dm = ρdl tömegű darabját! (ρ a lánc hosszegységre vonatkoztatott sűrűsége.) Ez a kis láncdarab nyugalomban van, tehát a rá ható erők eredője (vízszintes és függőleges irányban egyaránt) zérus. Vízszintes irányban a láncra nem hat külső erő, tehát K x (x) = K x (x + dx), így a láncot feszítő erő vízszintes komponense állandó, K x (x) K x. Függőleges irányban a láncdarabra hat a (dm)g nehézségi erő, tehát K y (x + dx) K y (x) = gρdl. Ezen kívül tudjuk még, hogy a lánc meredeksége az x pontban y (x), tehát dl = + y (x)dx, valamint a láncban ébredő erő érintő irányú, azaz K y (x) = y (x)k x. Ezeket felhasználva a K x y (x) = ρg + y (x). differenciálegyenletet kapjuk a lánc alakjára, ami az y (x) függvényre nézve elsőrendű, autonóm, szeparálható egyenlet. A megoldása: ( ρgx ) y (x) = sh + C, y(x) = K ( x ρgx ) K x ρg ch + C. K x Ezért hívják sokszor a koszinusz-hiperbolikusz függvényt láncgörbének Feladat. Mozgás közegellenállással nagy sebességnél Légnemű vagy folyékony közegben nagy sebességgel mozgó testre a sebesség négyzetével arányos közegellenállási erő hat. Meg tudjuk mondani például, hogy leszállás után hogyan mozog a kifutópályán az a repülőgép, amelyet csak a fékező ernyője fékez. A gép mozgásegyenlete: mẍ(t) = κẋ (t), ami ẋ(t)-re elsőrendű, autonóm, szeparábilis differenciálegyenlet. Például a Föld légkörében szabadon eső test mozgásegyenlete mḧ(t) = κḣ (t) mg. 43

44 .8.8. Feladat. Mozgás közegellenállással kis sebességnél Talán egyszerűbben megoldható a feladat akkor, ha a közegellenállási erő a sebességgel arányos. Egy sűrű, viszkózus folyadékban lassan sűllyedő kis golyó mozgásegyenlete például mÿ(t) = mg F felh αẏ(t), ami ẋ(t)-re elsőrendű, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós egyenlet. (Az egyenletben F felh a felhajtóerőt jelöli, ami csak a test térfogatától és a folyadék fajsúlyától függő állandó.) 44

45 . fejezet Függvénysorok.. Hányados- és gyökkritérium (numerikus sorok)... Feladat. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) b) c) n= n= n= 9 n n! 5 3n n 4 (n + )! n n a) a n := 9n n! lim n a n+ a n = lim = n 9 (n+) n! (n + )! 9n = lim konvergens n=0 a n n 9 n + = 0 < b) a n := 53n n 4 Lehet hányados kritérium, de jobb a gyökkritérium: 45

46 lim n c) a n := n an = lim n = (n + )! n n n=0 5 3 n n 4 = 53 lim n a n divergens A hányados kritériumot alkalmazzuk: lim n a n+ a n = lim n ( n n) 4 = 53 > (n + )! n n (n + ) n+ (n + )! = lim n (n + ) n n (n + ) n+ = = lim n ( n n + = n + n + n=0 ) n = = lim n a n konvergens + n + n ( ) + n = e < n... Feladat. Konvergens-e az alábbi sor? n= (n + 5) 3 n 5 n+ (n + 5) 3n a n := 5 n+ Hányadoskritériummal célszerű dolgozni, mert a gyökkritériumnál az n n + 5 konvergenciáját a rendőrelvvel kellene megmutatni. a n+ (n + 6) 3 n 5 n+ lim = lim = lim n a n n 5 n+ (n + 5) 3n n = lim n n + 5 n 3 5 = 3 5 < = n + 6 n + 5 = n=0 a n konvergens..3. Feladat. Konvergens-e az alábbi sor? n= n 4 (3n + 3) n (3n + ) n 46

47 Gyökkritériummal: lim n n an = lim n n n 4 ( ) n 3n + 3 = lim 3n + ( n n) 4 n = 4 e e /3 = e/3 > = n=0 a n ( + 3/3 ) n n ( + /3 ) n = n divergens..4. Feladat. Konvergens-e az alábbi sor? n= ( 3 + n + n ) n 3 n 5 n+ Gyökkritériummal: ( + 3n ) n lim n n an =... = lim n ( + n ) n ( n n) 5 4 n = e3 5 e 4 = e 4 < = n=0 a n konvergens..5. Feladat. Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorokat! a) b) c) n=0 n=0 n=0 ( ) n n n + 5 ( ) n n n + 5 ( ) n n 3 n

48 a n := lim a n = n ( ) n n n + 5 lim n ( + n ) n ( + 5n ) n = e e 5 = e 7 a) A sor divergens, mivel az általános tag nem tart nullához, tehát a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül. b) n=0 b n, ahol b n = n a n. lim a n = e 7 = e 7 e 7 n < a n < e 7 + e 7, ha n > N 0 c) = n e 7 }{{} < n a n < n 3 e 7 }{{} = b n = n a n. Mivel lim b n =, így ez a sor is divergens, mert nem teljesül a konvergencia n szükséges feltétele. n=0 c n, ahol c n = a n n A gyökkritérium alkalmazásával: lim n n cn = lim a n = e 7 < = n n=0 c n konvergens..6. Feladat. n=0 n + 3 n+ + ( )n (n)! + 3n c n := n + 3 n+ + ( )n < 3n n + 3 n = 3n (n)! + 3n (n)! (n)! := d n Hányados kritériummal belátható, hogy d n konvergens (házi feladat). Ezért a n=0 48

49 majoráns kritérium miatt n=0 c n is konvergens...7. Feladat. Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a 00. részletösszeggel közelítjük! a) b) n=0 n= (n + ) 3 n (n + 5) n! ( ) 3n n + 6n a) a n := (n + ) 3n (n + 5) n! a n < 3n n! := b n n=0 b n konvergens, mert a hányadoskritérium alkalmazásával: lim n b n+ b n = lim n 3 n n! = lim (n + )! 3n n 3 n + = 0 < = n=0 b n konvergens } = {{ } maj. kr. n=0 a n konvergens Az elkövetett hiba: 0 < H = = 300 0! = 300 0! n=0 (n + ) 3 n (n + 5) n! ( n < n! n=0 ) < 300 0! ( geometriai sor, q = 3 0 = 300 0! ! ! + = ( ) = ) 49

50 ( ) 3n n + b) a n := 6n lim n n an = = lim n n=0 ( ) 3 n + = lim 6n n a n konvergens + n 6 n 3 = 6 3 < Az elkövetett hiba: 0 < H = n=0 = ( 3 5 ( ) 3n n + < 6n ) 303 n=0 ( ) 3n n + n = 6n n n=0 ( ( ) 3 geometriai sor, q = 3 5 ( (3 ) ) 3 n = 5 ( ) ) Gyakorló feladatok..8. Feladat.. Vizsgálja az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! a) b) c) d) e) n= n= n= n= n= ( ) n n n n + n! 6 n (n)! 3 n ( n n ) 4 n (n + 3) (n)! n (n + ) n+ 50

51 f) n= (n!) 3 n (n)!. Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a 00. részletösszeggel közelítjük! n= 3n+ (n)! 3. Bizonyítsa be, hogy az alábbi sor konvergens! Adjon becslést az elkövetett hibára, ha a sor összegét a 00. részletösszeggel közelítjük! n= n (n + 3) 6 n+.. Weierstrass-kritérium függvénysorok egyenletes konvergenciájára... Feladat. Egyenletesen konvergens-e a (, ) intervallumon az alábbi függvénysor? a) b) n= n= cos (n 4 x + ) n 3 + arctg (n 5 x 3 ) n n + 5 a) f n (x) = cos (n4 x + ) n 3 + < n 3 n= n 3 konv. Weierstrass kr. = f n (x) egyenletesen konv. (, ) -en. n= 5

52 b) n= π n n = π n= n 3/ Weierstrass kr. = f n (x) = arctg (n5 x 3 ) n n + 5 konvergens < π n n f n (x) egyenletesen konvergens (, ) -en. n=.3. Hatványsorok.3.. Hatványsorok konvergencia sugara, konvergenciatartománya.3.. Feladat. Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n= ( ) n (x )n n n Jelenleg: lim n x = 3 : x = : a n = ( )n n, x n 0 = n n ( ) n an = lim n n n ( ) n ( ) n = lim n n n n = konvergens n (de nem abszolút konvergens) ( ) n n n ( )n = KT (konvergenciatartomány): (, 3] n n = = R = R = n ( )n = n divergens 5

53 .3.. Feladat. n= ( ) n n + (n)! (x + 7) n, R =? Jelenleg: a n = ( ) n n + (n)! lim n a n+ a n = lim n, x 0 = 7 (ez most nem fontos) (n + 3) (n)! (n + )! (n + ) = lim n = R = n + 3 n + (n + )(n + ) = Feladat. n= (n + ) n (n + 6) n + xn, R =? Jelenleg: a n = lim n n an = lim n (n + )n (n + 6), x n + 0 = 0 ( n + n + 6 = R = e 4 ) n n n + 6 = = e 4 Mert < n ( n + 6 < n 7 n n és így a rendőrelv miatt ) n n n + 6, illetve ( ) n n + = n n ( + 6 ) n e e. 6 n.3.4. Feladat. n= (n + ) n n! x n R =? 53

54 Jelenleg: a n = lim n a n+ a n = lim = lim n (n + )n n! n, x 0 = 0 (n + ) n+ n! (n + )! (n + ) = lim n n ( + n + ( ) n+ n + = n + ) n+ = e = R = e.3.5. Feladat. Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! Hol abszolút konvergens a sor? n= ( ) n (n + 3) n + 3 x n x = : R =, mert... n= n + 3 n + 3 divergens, mert... x = : ( ) n n + 3 konvergens, de nem abszolút konv., mert... n + 3 n= ( Konvergenciatartomány = abszolút konvergenciatartomány =, ).3.6. Feladat. Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n= (x + 4) n n 3 n Átalakítva: lim n n= n an = lim n n n 3 (x + n )n, x 0 =. n n n 3 = lim n n 3 ( n n) = 3 = R = R = 3 54

55 x = 7 : ( ) n n : konvergens x = : n : konvergens [ Konvergenciatartomány: 7 ],.3.7. Feladat. n= n n x3n = x3 + x6 + R =? { 0, ha n nem osztható 3-mal a n = n/3, ha n osztható 3-mal n/3 n Ezért 0, ha n nem osztható 3-mal a n = n n/3 n n = n n/3 3 3, ha n osztható 3-mal = Torlódási pontok: t = 0, t = 3 = lim n a n = 3 = R R = 3 Egy ügyesebb megoldás: u = x 3 helyettesítéssel egy egyszerűbb feladatra vezetjük vissza. b n u n n := n un n= n= n lim bn n n = lim n n = n = R b = R b Tehát u < = x 3 < = x < 3 = R = Feladat. Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n + (x ) n 9 n n= 55

56 u := (x ) n + 9 n u n helyettesítéssel a sor alakja: n= lim a n+ n a n = lim (n + ) 9 n n 9 n+ (n + ) = = = R = 9 9 A végpontokat itt is lehet vizsgálni, de az eredeti sorban is vizsgálhatjuk majd. Most az utóbbi módon járunk el. Tehát u < 9 = (x ) < 9 = x < 3 }{{} <x<5 A végpontokban: = R = 3 (n + ) divergens, hiszen nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. n= Konvergenciatartomány: (, 5).3.. Hatványsorok összegfüggvénye.3.9. Feladat. Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! n= x n n + x n f(x) :=, f(0) = 0. Ha x 0 : n + n= x n f (x) := x f(x) = x n +, = x n+ n + n= n= f (x) = d x n+ dx n +, x ( R, R) esetén szabad tagonként deriválni: n= f (x) d x n+ = dx n + = x n = x (geometriai sor, q = x). x n= n= R =, és az eredeti sornak is ugyanennyi, mert tagonkénti deriválásnál a konvergencia sugár nem változik. x x f (x) = f (t) t x dt(= f (x) f (0)) = t dt = ( t) dt = t 0 = (t + ln( t)) x 0 = x ln( x)

57 f(x) = { x ln( x) x (Hf.: Tudjuk, hogy f folytonos x < -ben. Ellenőrizzük le, hogy igaz-e: lim f(x) = f(0)(= 0)!) x 0 ln( x) =, ha x <, x 0 x 0, ha x = Feladat. Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! n= n + n + xn R =, mert (Vagy itt mutatjuk meg, vagy az előző gondolatmenettel később indokoljuk.) n + (n + ) + g(x) := n + xn = x n = n + n= = n= x n + n= n= x n n + = (f(x) felírása az előző példában volt látható!) x x + f(x) =.3.. Feladat. Írja fel az alábbi sor összegfüggvényét! (n + 3) x n n= R =, mert Ha x 0 : f(x) := (n + 3) x n, f(0) = 0 n= 57

58 f (x) := x f(x) = (n + 3) x n+ = d dx n= ( ) x 4 = = x x 0 f (t) dt =.3.. Feladat. Határozza meg az alábbi sor összegfüggvényét és konvergencia sugarát! k + x k 4 k+ k=0 k + =? 4 k+ k=0 k + f(x) := x k 4 k+ k=0 x x k + f(t) dt = t k dt = k+ k=0 k=0 x ( x ) k+ = = 4 4 k=0 x = x 4 x, 4 KT.: q = x < = x < 4 4 x 0 k + 4 k+ t k dt = k=0 k + t k+ 4 k+ k + x 0 = Tehát R = 4. f(x) = k=0 d dx x 0 f(t) dt = k + 4 k+ = f() = 4 9 ( ) x = 4 x x( ) = 4 x (4 x) 4 (4 x).3.3. Gyakorló feladatok 58

59 .3.3. Feladat. Adja meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n= ( 4) n n 3 (x + ) n.3.4. Feladat. Adja meg az alábbi hatványsor bázispontját és konvergencia sugarát! Mi a sor konvergenciatartománya? n= n n (4 x)n n.3.5. Feladat. Adja meg az alábbi sorok konvergenciatartományát! a) n= ( ) n n 3 n xn b) n= ( ) n (x + n )n 3n.3.6. Feladat. a) Határozza meg a következő sor konvergenciatartományát és abszolút konvergenciatartományát! Adjon meg egy intervallumot, melyen a konvergencia egyenletes! ( 3) n 3 x n n n= b) Adja meg a következő sor konvergencia sugarát! ( 3) n 3 x n n n= 59

60 .3.7. Feladat. Állapítsa meg az alábbi sor konvergenciatartományát! n= ( ) n (x) n n 5 n.3.8. Feladat. n=3 x n n Írja fel a sor összegfüggvényét és határozza meg a sor konvergencia sugarát!.3.9. Feladat. f(x) := (n + 3) x n n= Írja fel az összegfüggvényt véges sok elemi függvény segítségével! Adja meg a sor konvergencia sugarát!.4. Taylor-polinom.4.. Feladat. a) Definiálja az n-edrendű Taylor polinomot! b) Írja fel a definíció segítségével az f(x) = x cos 3x függvény x 0 = 0 pontbeli negyedrendű Taylor polinomját és a Lagrange-féle hibatagot! c) Legfeljebb mekkora hibát követünk el, ha f(0, ) értékét T 4 (0, ) értékével közelítjük? 60

61 a) az f függvény x 0 bázispontú n-edrendű Taylor polinomja: T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 )! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Ha f legalább (n + )-szer differenciálható [x 0, x)-ben (ill. (x, x 0 ]-ban), akkor ξ (x 0, x) (ill.ξ (x, x 0 )), hogy R n (x) = f(x) T n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! b) f(x) = x cos 3x f(0) = f (x) = 3x 3 sin 3x f (0) = 0 f (x) = 6x 9 cos 3x f (0) = 9 f (x) = sin 3x f (0) = 6 f IV (x) = 8 cos 3x f IV (0) = 8 f V (x) = 43 sin 3x T 4 (x) = + 9! H = f V (ξ) 5! x 5 = x + 6 3! x ! x4 43 sin 3ξ 5! 0, 5, ξ (0, 0.) sin x x miatt sin 3ξ 3 0,, ezért (x x 0 ) n+. H = 43 sin 3ξ 5! 0, 5 < , 5! 0, Feladat. y = xy 3 y + a) Van-e lokális maximuma vagy minimuma az x 0 =, y 0 = ponton áthaladó megoldásgörbének ebben a pontban? (Ne próbálja megoldani a differenciálegyenletet, de feltételezheti, hogy van ilyen megoldás!) b) Írja fel az x 0 =, y 0 = ponton áthaladó megoldás x 0 = bázispontú harmadrendű Taylor polinomját! (Ne próbálja megoldani a differenciálegyenletet!) 6

62 a) y() =, y () = + = 0 = lehet itt lokális szélsőérték. y = y 3 + x 3y y yy, y () = Tehát y () = 0 és y () = < 0 : a pontban. a megoldásnak lokális maximuma van ebben b) y = 3y y + 3y y + x 6yy + x 3y y y y y y () = 3 = 5 T 3 (x) = y() + y ()! (x ) + y ()! =! (x ) 5 3! (x )3 (x ) + y () 3! (x ) 3 =.4.3. Feladat. a) A Taylor polinom definíciójával írja fel az f(x) = 3x + ch x függvény x 0 = 0 pontbeli ötödrendű Taylor polinomját és a Lagrange-féle hibatagot! b) A (0, /] intervallumon az f függvényt a fenti ötödrendű Taylor polinomjával közelítjük. Adjon becslést az elkövetett hibára! Feladat. y = y + 3x 6x a) Rajzolja fel a P (, ) ponthoz tartozó vonalelemet! 6

63 b) Van-e lokális maximuma vagy minimuma az origón áthaladó megoldásgörbének az origóban? (Ne próbálja megoldani a differenciálegyenletet, de feltételezheti, hogy van ilyen megoldás!) c) Írja fel az origón áthaladó megoldás x 0 = 0 bázispontú harmadrendű Taylor polinomját! Taylor-sor.5.. Feladat. Adja meg az f(x) = függvény x 0 = 0, illetve x 0 = 5 x 3 bázispontú Taylor sorfejtéseit és azok konvergenciatartományát! x 0 = 0 esete: f(x) = 3 x 3 = 3 ( = 3 n=0 ( + x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) = ( x 3 ) n = n=0 xn 3n+ ) Geometriai sor: a = 3, q = x 3 Konvergenciatartomány: q = x = x 3 3 < = x < 3, R = 3 63

64 x 0 = 5 esete: f(x) = (x 5) + = = n=0 (x 5) ( ) n n+ (x 5) n = n=0 ( ) n (x 5) = Konvergenciatartomány: q = (x 5) x 5 = < = x 5 <, R =.5.. Feladat. Adja meg az alábbi függvények x 0 = 0 bázispontú Taylor sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x + 3, g(x) = x5 x + 3 f(x) = 3 x 3 = 3 = 3 ( n=0 (Geometriai sor: a = x 3 + ) n ( x = 3 ( ) x ( ) x 3 ( ) ) x 4 + = n=0 3, q = x 3 ( ) n x n 3 n+ ) Konvergenciatartomány: q = x 3 = x 3 < = x < 3, R f = 3 g(x) = x5 x + 3 = x5 f(x) = x 5 ( ) n x n ( ) n = x n+5 3 n+ 3 n+ Konvergenciatartomány: x < 3, R g = 3 (ugyanaz) n=0 n=0 64

65 .5.3. Feladat. Adja meg az alábbi függvények x 0 = 0 bázispontú Taylor sorfejtését és annak konvergenciatartományát! f(x) = x + 7, g(x) = x + x + 7, h(x) = 3x4 x + 7 f(x) = 7 x 7 = 7 ( x ( x ) ( x ) 3 ( x ) ) = = ( x ) n = 7 7 ( n=0 n=0 Geometriai sor: a = 7, q = x 7 ( ) n x n 7 n+ ) Konvergenciatartomány: q = x = x 7 7 < = x < 7, R f = 7 g(x) = x x + 7 = 5 x + 7 = 5 f(x) = 5 n=0 Konvergenciatartomány: x < 7, R g = 7 (ugyanaz) ( ) n 7 n+ x n h(x) = 3x4 x + 7 = 3x4 f(x) = 3x 4 n=0 ( ) n 7 n+ x n = n=0 Konvergenciatartomány: x < 7, R h = 7 (ugyanaz) 3 ( ) n 7 n+ x n Feladat. Írja fel az f függvény x 0 bázispontú Taylor sorát és adja meg a sor konvergenciatartományát! f(x) = x + a) x 0 = b) x 0 = 5 65

66 x 0 = : f(x) = x + = (x ) + 4 = ( = a ) = 4 (x ) q 4 ( = ( ) ( ) ( ) ) 3 x x x + + = = 4 n=0 ( x ) n = 4 n=0 ( ) n 4 n+ (x ) n Konvergenciatartomány: q = x x 4 = < 4 = x < 4, ( < x < 6, R = 4) x 0 = 5 : f(x) = x + = (x + 5) 3 = 3 x + 5 = 3 ( = ( ) ( ) ( ) ) 3 x + 5 x + 5 x = = 3 n=0 ( ) n x + 5 = 3 n=0 (x + 5)n 3n+ Konvergenciatartomány: q = x + 5 x = < 3 = x + 5 < 3, ( 8 < x <, R = 3).5.5. Feladat. a) Írja fel az f (x) = x + 3 függvény x 0 = 0 bázispontú Taylor sorfejtését! R =? 66