3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
|
|
- Ákos Szilágyi
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor
2 Tartalom Prímek és felbonthatatlanok Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet alaptétele Euklideszi algoritmus Maradékos osztás Az algoritmus bemutatása A kiterjesztett algoritmus Hatékonysági elemzés Fibonacci-sorozat Lánctörtek Racionális és irracionális példák Feladatok Történeti áttekintés Irodalom 2
3 Prímek és felbonthatatlanok Prímtulajdonság Vizsgálatunk tárgyai: -nél nagyobb egész számok Struktúra: Z (gyűrű, sőt: integritási tartomány, lásd később) Összetett szám (composite integer): felírható két -nél nagyobb egész szám szorzataként Prímszám (valójában: felbonthatatlan): nem írható fel ily módon ( Másik felírás; osztó, többszörös, asszociált, egység, közös osztó, legnagyobb közös osztó (lnko) fogalma) Nagyon fontos kérdések (már: Euklidesz, Kr. e. 300 k., Elemek ) Ha adott egy összetett szám, hogyan tudjuk -nél nagyobb egész számok szorzatára bontani? Hogyan ismerjük fel a prímeket? Állítás. (Euklidesz): Ha egy prímszám osztója két egész szám szorzatának, akkor osztója kell hogy legyen legalább az egyik egésznek Másként: ha p ab, akkor p a vagy p b (esetleg mindkettő is teljesülhet) Megj.: Ez a prímtulajdonság (Biz. később) Ez az állítás teljesen nyilvánvalónak tűnik, de mégsem az Probléma (9. század): kiterjesztett egészek 3
4 Prímek és felbonthatatlanok Kiterjesztett egészek Tekintsük az a + b 0 alakú számokat Ez a legszűkebb olyan struktúra, amely a Z int. tart. 0 -zel való bővítésével adódik, jelölés: Z ( 0) Hasonlóan: a + b 2 alakú számok, Z ( 2 ), a + b 8 alakú számok, Ezek tdk. a + bx alakú számok, ahol X 2 már Z-beli Itt az alapműveletek (+,, *) nyilván elvégezhetők, és nem vezetnek ki a struktúrából Feladat: Igazoljuk ezt! Osztás itt már nem minden sima ügy Feladatok A nevező ugyan gyökteleníthető, de végül nem feltétlenül kapunk egész együtthatókat Mutassuk meg, hogy ( )/(2 + 0 ) = + 0 Igazoljuk, hogy a osztója minden a + b 0 alakú számnak! (azaz: egység Z -ben) ( 0) ( ) *Igazoljuk, hogy 2, 3, és 4 0 felbonthatatlanok Z 0 -ben Segítség: Használjuk a normát, és így vizsgáljuk az oszthatóságot! A felbonthatatlanokra nem (feltétlenül) teljesül a prímtulajdonság, lásd 7. old. 4
5 Prímek és felbonthatatlanok Kiterjesztett egészek, feladatok (megoldás szemlélt.) 5
6 Prímek és felbonthatatlanok A prímtulajdonság egy érdekes alkalmazása Tekintsük az a = b esetet. Ha p a 2, akkor p a. Így ha p a 2, akkor p 2 a 2. Állítás 2.: 2 nem fejezhető ki két egész szám hányadosaként (nem racionális szám) Feladatok Bizonyítás: Tfh. 2 mégis felírható m/n alakban, ahol m és n egészek, és a törtet már egyszerűsítettük, azaz lnko(m, n) =. Négyzetre emelünk: 2 = m 2 /n 2, azaz 2n 2 = m 2. Így 2 m 2. Az. állítás szerint tehát 4 m 2. Ekkor 4 2n 2, azaz 2 n 2. Ebből újból az. állítás szerint 2 n. Ez ellentmondás, mert így lnko(m, n) 2 lenne. Igazoljuk, hogy a 3 és az 5 négyzetgyöke nem írható fel két egész szám hányadosaként! Igazoljuk, hogy ha n nem teljes négyzet poz. egész szám, akkor n gyöke nem lehet racionális! *Keressünk olyan (relatív prím) egész számokat, amelyek hányadosa jól közelíti a pi-t az e-t vagy a 2-t! (Pl. 6 tizedesre) Másik érdekes alkalmazás: pitagoraszi számhármasok, x 2 + y 2 = z 2 Állítás 3.: Tetszőleges a, b egész számokra, amelyek közül az egyik páros, a másik páratlan úgy, hogy 0 < b < a és lnko(a, b) =, (a 2 b 2, 2ab, a 2 + b 2 ) pitagoraszi számhármas. Továbbá minden pitagoraszi számhármas felírható ily módon. Bizonyítás (vázlat): a) Az ilyen számok jók. b) A jó számok mind ilyen alakúak. 6
7 Prímek és felbonthatatlanok Definíció: egy pozitív egész szám prímek szorzatára történő felbontását (prím)faktorizációnak nevezzük a a a k (Jelölés: prímek k db, hatványok k db) n = p p K p 2 2 k Definíció: ha lnko(a, b) =, akkor azt mondjuk, hogy a és b relatív prímek (alternatív def.: nincs közös prím a faktorizációjukban) Tétel. (a számelmélet alaptétele): (Z-ben) a számok prímek szorzatára történő felbontása (faktorizációja) sorrendtől (és egységektől) eltekintve egyértelmű Pl.: 30 = vagy 30 = ( ) ( ) De: a kiterjesztett egészek körében ez a tétel nem érvényes (!) Feladatok Pl.: 6 = 2 3 = (4 + 0 ) (4 0) Keressük meg az összes pitagoraszi számhármast x, y 50-ig! Írjunk programot valamely általunk kedvelt programnyelven egy intervallum relatív prím elempárjainak a meghatározására/megszámoltatására! Keressünk olyan példákat az a + b 2 alakú számok és az a + b 8 alakú számok között, ahol nem teljesül a számelmélet alaptétele! (Szorzat, ahol sérül a prímtulajdonság.) Próbáljunk meg faktorizálni néhány jegyű (véletlenül választott) számot! 7
8 Prímek és felbonthatatlanok Relatívprímes feladat VBA megvalósítás 8
9 Prímek és felbonthatatlanok (Eml. a számelmélet alaptétele: a prímfaktorizáció sorrendtől (és egységektől) eltekintve egyértelmű) Bizonyítás (alaptétel): Belátjuk, hogy ha található egy olyan egész, amelynek a faktorizációja nem egyértelmű, akkor van egy valódi osztója, amelynek a fakt.ja nem egyértelmű. Stb., így végül visszavezethető lenne a probléma egy prím nem egyért. faktorizációjára, ez pedig ellentmondás (az ő osztói csak és önmaga). Legyen tehát n ilyen egész. Ekkor n = p p 2 p r = q q 2 q s, (i) ahol a prímek nem feltétlenül különbözők, de a 2. felbontás nem csak az első átrendezése. Ekkor q n, azaz q osztója a p i -k szorzatának. Az. állítás ismételt alkalmazásával található legalább egy olyan p i, amelyre q p i. Feltehető, hogy q p (ha kell, átrendezzük a p i -ket). Mivel p prím, ezért q = p. Eszerint n / q = p 2 p 3 p r = q 2 q 3 q s. (ii) Mivel az (i) felbontások különbözőek voltak, ezért az (ii) felbontásoknak is különbözőeknek kell lenniük. Így n / q valódi osztója n-nek úgy, hogy faktorizációja nem egyértelmű. 9
10 Prímek és felbonthatatlanok Segédállítás.: Legyenek a és b egészek, és legyen g = lnko(a, b). Ekkor találhatók olyan s és t egészek, hogy g = s a + t b. Példák Legyen a = 2, b = 6; ekkor g = 3 és 3 = 2 + ( 3) 6. De más s és t egészek is jók, hiszen 3 = ( ) Feladat: Más lnko példákkal mutassuk meg, hogy az s és t egészek többféle módon is megválaszthatók! (A segédáll. felhasználásával igazolható az euklideszi állítás) Bizonyítás (Állítás. eml.: ha p ab, akkor ): Legyen p olyan prím, ami osztója a b-nek. Ha p a, akkor készen vagyunk. Ha nem, akkor lnko(p, a) =, hiszen az egyetlen pozitív egész, amely osztja p-t. A segédáll. alapján található olyan s és t, hogy = s p + t a. Ebből b = s p b + t a b. Mivel p a b, ezért mindkét tagot osztja a jobb oldalon, azaz a bal oldalt is. Így tehát ha p nem osztója a-nak, akkor osztója kell, hogy legyen b-nek. Érdekesség: Az. állítást a kevésbé nyilvánvaló segédállítás segítségével igazoltuk 0
11 Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Az. segédállításra adható egy elegáns bizonyítás, amely konstruktív is A módszer az euklideszi algoritmus Ez sok faktorizációs és prímtesztelési módszer alapja/része Maradékos osztás Adott a és 0 b egészekhez léteznek q, r egészek úgy, hogy a = b q + r, ahol 0 r < b, és lnko(a, b) = lnko(b, r). Bizonyítás (Segédállítás. eml.: g = lnko(a, b)-hez találhatók olyan s és t egészek ): Feltesszük, hogy a és b pozitív. Mint fent, legyen: a = q b + r, ahol 0 r < b. (i) Ha r = 0, akkor b a, így az lnko maga b, és válasszuk s = 0-t, t = -et. Ha nem, akkor b-t osztjuk maradékosan r -gyel: b = q 2 r + r 2, ahol 0 r 2 < r. (ii) Ha r 2 = 0, akkor megállunk. Ha nem, akkor folytassuk úgy, hogy r -gyet osztjuk maradékosan: r = q 3 r 2 + r 3, ahol 0 r 3 < r 2. (iii) Az eljárást addig folytatjuk, amíg a maradék 0 nem lesz. (Ez előbb-utóbb biztosan bekövetkezik.)
12 Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Bizonyítás (Segédállítás.: g = lnko(a, b)-hez találhatók olyan s és t egészek ) (folyt.) Az utolsó két egyenlet: r k 2 = q k r k + r k, ahol 0 r k < r k, r k = q k + r k + 0. Az utolsó nem 0 maradék, r k a keresett lnko. Ennek igazolásához lépkedjünk visszafelé: Az utolsó egyenletből r k r k. Az azelőttiből, mivel r k r k és r k r k, ezért r k r k 2. (iii)-ből, mivel r k r 3 és r k r 2, ezért r k r. (ii)-ből r k b, és (i)-ből r k a. Így r k valóban a és b közös osztója. Legyen d egy másik közös osztó. Mivel d a és d b, ezért (i) miatt d r. Hasonlóan haladva lefelé, kapjuk, hogy d r 2, r 3,, r k, r k, és így d r k, azaz r k valóban az lnko. Végül megkeressük s-et és t-t, amivel előáll r k = s a + t b. (i)-ből r = a q b, itt az együtthatók egészek. (ii)-ből r 2 = b q 2 r = b q 2 (a q b) =, az együtthatók egészek. Hasonlóan folytatva lefelé, minden r i felírható a és b egész együtthatókkal képzett szorzatösszegeként. Ezzel a segédállítást beláttuk. 2
13 Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Példa a = 239, b = 68: 239 = , 68 = , 63 = , 42 = lnko(239, 68) = = , 42 = = 68 2 ( ) = = = ( ) ( ) = Így s = 3, t = 22. Az euklideszi algoritmus segítségével a lkkt is meghatározható az lkkt(a, b) = a b / lnko(a, b) képlettel Feladatok Igazoljuk ezt az egyenlőséget! Segítség: Használjuk a prímtényezős felírásokat Megj. (a szélsőségesebb esetek kezeléséhez): lnko(0, 0) = 0, lnko(a, 0) = a, lnko(a, b) = lnko( a, b ) Hasonlóan a lkkt-re is 3
14 Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Az algoritmus alap változata Feladatok Néhány kisebb számmal játsszuk végig az algoritmus lépéseit! (pl. a = 30, b = 8) Mi történik akkor, ha az induláskor b > a? ha az egyik szám negatív? ha mindkét szám negatív? ha az egyik szám 0? ha mindkét szám 0? Miért nem teljes faktorizációval számolunk lnko-t (iskolapéldáktól eltekintve, általában)? 4
15 Számítástudomány Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Az algoritmus kiterjesztett változata (Donald E. Knuth) Megjegyzések Elég lenne s és t (c és c 2 ) közül csak az egyik meghatározása, mert a másik g = s a + t b-ből már számolható Az algoritmus működését az garantálja, hogy c, c 2 és d, d 2 mindig kielégíti az a c + b c 2 = c és a d + b d 2 = d egyenleteket Feladatok Néhány kisebb számmal játsszuk végig az algoritmus lépéseit! (pl. a = 30, b = 8) 5
16 Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Maple-ben 6
17 Maradékos osztás, euklideszi algoritmus Matlabban (csak kb. 2^52-ig, utána: Symbolic Math Toolbox) 7
18 Euklideszi algoritmus hatékonysági vizsgálat Hatékonysági elemzés (Z-ben) (Részletesen lásd: Gács Lovász és Gathen Gerhard) Legrosszabb eset: Mikor (milyen számokra) hajtódik végre a legtöbb maradékos osztási lépés? Kulcslépés: a kiterjesztett algoritmusban c div d Ha itt minden hányados ; azaz: a Fibonacci-számok esetén *Az osztási lépések l száma (f, g) = (f n +, f n ) Fibonacci-számok esetén l = n logφ 5g,44log g + Ο() Osztási lépések száma és műv. igénye *Az osztási lépések átlagos száma rögzített g és változó f esetén 2 2(ln 2) l log g 0,584 log g 2 π *Egy osztási lépés (q és r meghatározása) O((λ(a) λ(b)) λ(b)) (szó) műveletet igényel, ahol a > b, és λ(a), λ(b) az a és b számok hossza a gépi repr.ban (pl. λ(a) = [log(a)/64] + ) Módosítás a kiterjesztett algoritmusra s és t meghatározására is megadható alkalmas korlát, ami nem rontja le az eddigieket Tétel: Legyen λ(f) = n, λ(g) = m. Ekkor a hagyományos és a kiterjesztett euklideszi algoritmus O(nm) műveletigénnyel hajtható végre. Ha az információt nem tartalmazó tagoktól megszabadulunk, akkor a műv.igény levihető O(n log 2 n)-re. Feladat: Hasonlítsuk össze a szükséges osztási lépések számát két Fibonacci-számra és két hasonló nagyságú választott (nem Fibonacci) számra! 8
19 Fibonacci-sorozat Feladat (Fibonacci, Leonardo Pisano): Hány pár nyúl származhat egy évben egyetlen (frissen született) pártól, ha minden pár havonta egy új párnak ad életet, amely a 2. hónaptól kezdve lesz tenyészképes, és egy ivadék sem pusztul el? Megoldás: Az. hónapban 0, a 2. hónapban, a 3. hónapban, a 4. hónapban + = 2, az 5. hónapban + + = 3, a 6. hónapban = 5, új nyúlpár születik. A nyúlpárok száma az n. hónapban: az (n ). hónapban élő nyúlpárok száma + az (n 2). hónapban élő nyúlpárok száma (ezek utódai születnek meg) Fibonacci-sorozat:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, f n = f n + f n 2, ahol f = f 2 =. Feladatok n 2 f n = f i Igazoljuk, hogy + i= Útmutató: Fejtsük ki rekurzívan a képletben a bal oldali tagot! *Szemléletesen ellenőrizzük, majd igazoljuk, hogy érvényes Útmutató: Ez f n = f n + f n -ből adódik, végigszorozzuk a bal oldallal, majd kifejtjük n i= f 2 i = f n f n+ 9
20 Fibonacci-sorozat Rutin Maple-ben 20
21 Fibonacci-sorozat VBA rutin 2
22 Fibonacci-sorozat Generátorfüggvénnyel 22
23 Euklideszi algoritmus és lánctörtek Az euklideszi algoritmus fenti a = q b + r, ahol 0 r < b, b = q 2 r + r 2, ahol 0 r 2 < r, r = q 3 r 2 + r 3, ahol 0 r 3 < r 2,... r k 2 = q k r k + r k, ahol 0 r k < r k, r k = q k + r k + 0 lépéseit írjuk át a következő módon: a / b = q + r / b, b / r = q 2 + r 2 / r, r / r 2 = q 3 + r 3 / r 2, r k 2 / r k = q k + r k / r k, r k / r k = q k +. Helyettesítsünk be az egymást követő egyenletekbe: a / b = q + / (q 2 + r 2 / r ) stb. Ezzel igazoltuk a következőt: Állítás: Az a/b racionális szám a fenti megadás szerint felírható alakban. Ezt a formát lánctört alaknak nevezzük. Példa a = 239, b = 68: = = / 2 = 7 + 8/ 3 = 59 8 a b = q + q 2 + q q k + 23
24 Lánctörtek Feladat: Állítsuk elő egy általunk kedvelt környezetben néhány racionális szám lánctörtes alakját! Eml. (előző példánk): Szemléltetés Excelben 239 = = / 2 = / 3 =
25 Lánctörtek A lánctörtes előállítás irracionális számokra is értelmezhető, bár ekkor a felírás nem lesz véges Minden irr. számhoz létezik olyan lánctört, amelynek kezdeti részlettörtjei olyan sorozatot alkotnak, amely a számhoz tart Az algoritmus (lánctörtbe alakítás) Legyen b 0 = [x] (egészrész), x = {x} (törtrész), ahol x = b 0 + x Ha x 0, akkor legyen b = [/x ], x 2 = {/x }, ahol x = b 0 + x = b 0 + /(b + x 2 ) Ha x 2 0, akkor legyen b 2 = [/x 2 ], x 3 = {/x 2 }... Ha x n 0, akkor legyen b n = [/x n ], és x n + = {/x n } helyett legyen 0/ A lánctört visszaalakítása egyszerű törtté Feladatok Írjuk az x k törtrészeket a visszaalakítási sorozatban x k = p k /q k alakba! A p n + = 0 és q n + = értékekből kiindulva a közös nevezőre hozás a p k = q k +, q k = b k q k + + p k +, k = n, n,,, 0 sorozatot eredményezi, amelynek végén a q 0 /p 0 hányados adja x tört alakú közelítését Állítsuk elő néhány irracionális szám lánctört alakját (vizsgáljunk meg híres konstansokat is: 2, e, pi)! Találunk szabályosságokat? *Mi lehet a szabályosságok oka? 25
26 Lánctörtek A pi lánctörtes alakja (közelítés) 26
27 Lánctörtek A és az e lánctörtes alakja 2 27
28 Lánctörtek Nevezetes számok lánctörtes alakja A G 2 = G + egyenlet G = megoldására: + /,,,, / 2 2: + / 2, 2, 2, 2, / 3: + /, 2,, 2,, 2, / : + / 3,, 5,,, 4,,, 8,, 4,, 0, 2,, 4, 2, 2, 3, 2,, 3, 4, / e: 2 + /, 2,,, 4,,, 6,,, 8,,, 0,,, 2,,, 4,,, / tg(): + /,, 3,, 5,, 7,, 9,,,, / pi: 3 + / 7, 5,, 292,,,, 2,, 3,, 4, 2,,, 2, 2, 2, 2,, 84, 2,, / Állítás: Ha egy valós szám lánctörtes kifejtése valahonnan periodikus (eventually periodic), akkor ez a szám egy másodfokú polinom gyöke Az állítás megfordítása is igaz (Lagrange, 770) (Igazolásokat lásd: Knuth) Magasabb fokú algebrai számok és transzcendens számok általában nem mutatnak szabályosságot Kivétel pl.: e (és vele szoros kapcsolatban levő számok, lásd: Knuth) *Feladat: Írjunk programot nevezetes konstansok lánctörtkifejtésének több ezer/tízezer jegyig történő meghatározására! Próbáljunk szabályosságokat keresni! 5 28
29 Lánctörtek Megvalósítás a Matlab és a Maple rendszerekben 29
30 Lánctörtek Megvalósítás a Matlab és a Maple rendszerekben (folyt.) 30
31 További érdekes feladatok* A pitagoraszi számhármasok feladatának általánosítása a Waring-problémakör Állítás: Létezik n-től független g(n) egész szám, hogy bármely n előáll legfeljebb g(n) darab n-edik hatvány összegeként Tétel: Minden n szám előáll legfeljebb 4 négyzetszám összegeként Pl. g(3) = 9, g(4) = 9, g(5) = 37 stb. Írjunk programot néhány g(n) érték tapasztalati meghatározására és végezzünk ilyen vizsgálatokat! Illusztráció: Kis n értékekre lényegében triviális előállításokat kapunk harmadik hatványok összegeként 2 = = = = = = = = = = = = =
32 Történeti áttekintés Euklidesz Lánctörtek Nagy görög matematikus, Kr. e. 300 körül, főműve az Elemek (3 könyv, geometria, aritmetika) Algoritmus: 7. könyvben (nagyon vsz., hogy már előtte is ismert volt) Ez az első modern algoritmus (amely lényegében ma is használatos) Már az ókori görögöknél ismertek, sőt, először így definiálták az irracionális (valós) számokat A lánctörtes e-kifejtés tulajdonságait Euler igazolta 73-ben A pi fontos tulajdonságainak igazolása Irracionális Lambert (766) [Hermite (873) e transzcendens] Transzcendens Lindemann (882; azaz: a kör nem négyszögesíthető) Nem Liouville-szám Mahler (953) (Egyéb nevezetes számok irracionalitásának igazolása 2 3 2, 3 stb.: már az ókori görögöknél : kockakettőzés, déloszi probléma) Bár az ókori görögök mély tudással rendelkeztek az irrac. számokról, a modern elméletet csak a 9. században dolgozták ki (Dedekind) 32
33 Történeti áttekintés Fibonacci Itáliai matematikus (2 3. sz.), fontos műve a Liber Abaci (Könyv az abakuszról), ebben összegyűjtött és általa kiegészített aritmetikai és algebrai ismereteket ír le Az euklideszi alg. hatékonyságának vizsgálata a Fibonacci-sor első gyakorlati alkalmazása volt Pierre Fermat 7. századi francia matematikus és fizikus (csak szabadidős matematikus) Kúpszeletek elmélete, szép számelméleti tételek Fermat-prímek (lásd köv. slidesor) Nagy Fermat-tétel : x n + y n = z n -nek n 3-ra nincs 0-tól különböző megoldása Igazolás: lapszéli jegyzeten n = 4: Fermat n = 3: Euler n = 5: Dirichlet (825) n 00: Kummer (847-) (!) Waring-problémakör (700-as évek 2. fele: Lagrange minden egész szám előáll legfeljebb 4 négyzetszám összegeként) 700-as évek vége: Waring észrevette a szabályosságot (akkor: sejtés) Hilbert igazolta általánosan 909-ben Külön köszönet: Pusztai P. és dr. Szörényi M. kollégáimnak 33
34 Ajánlott irodalom David M. Bressoud: Factorization and Primality Testing, Springer, New York, 989 Geddes, Czapor, Labahn: Algorithms for Computer Algebra (6th pr./ed.), Kluwer Acad. Press, Boston, 999 Joachim Gathen, Jürgen Gerhard: Modern Computer Algebra (3rd ed.), Cambridge Univ. Press, 203 Donald E. Knuth: A számítógép-programozás művészete 2. (2. kiadás), Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 994 Gács Péter, Lovász László: Algoritmusok, Tankönyvkiadó, Budapest, 978 (több kiadás) Gerőcs László: A Fibonacci-sorozat általánosítása, Tankönyvkiadó, Budapest, 988 Szörényi Miklós, Kallós Gábor: Mérnöki számítások, jegyzet és órai segédanyagok (Excel és Matlab rész), SZE, Sain Márton: Matematika-történeti ábécé, Tankönyvkiadó, Budapest, 974 Maple User Manual, Maplesoft, 203 Matlab Symbolic Math Toolbox User s Guide, MathWorks,
3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet alaptétele Euklideszi algoritmus
Részletesebben1. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 203 204 Tartalom Prímek és felbonthatatlanok Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet
Részletesebben6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra
6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Fermat algoritmusa A Pollard-ró algoritmus Pollard (p 1) algoritmusa Feladatok, megjegyzések Irodalom 2
Részletesebben6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra
6. előadás Faktorizációs technikák közepes méretű osztókra Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Feladatok, megjegyzések Irodalom 2 Eml.: Próbaosztásos algoritmus (teljes felbontás) 14-18 jegyű számokig
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben4. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek
4. előadás Prímek, tökéletes számok, Fermat-teszt, pszeudoprímek Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom A prímek száma és elhelyezkedése A nagy prímszámtétel Reciprokösszegek Eratoszthenész szitája Próbaosztásos
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
RészletesebbenSzámelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben2017, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,
Részletesebben7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenOszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):
Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész
RészletesebbenSzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenSZÁMELMÉLETI FELADATOK
SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban
Részletesebben= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt
2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
RészletesebbenGAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE
GAUSS-EGÉSZEK ÉS DIRICHLET TÉTELE KEITH KEARNES, KISS EMIL, SZENDREI ÁGNES Második rész Cikkünk első részében az elemrend és a körosztási polinomok fogalmára alapozva beláttuk, hogy ha n pozitív egész,
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Részletesebben2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}
2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó
RészletesebbenSzámelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Részletesebben7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció
7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Műveletek nagypontosságú egészekkel Hagyományos szorzó algoritmus Változat: polinomok szorzása Hagyományos rekurzív
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
Részletesebben1. Egészítsük ki az alábbi Python függvényt úgy, hogy a függvény meghatározza, egy listába, az első n szám faktoriális értékét:
Az írásbeli vizsgán, az alábbiakhoz hasonló, 8 kérdésre kell választ adni. Hasonló kérdésekre lehet számítani (azaz mi a hiba, egészítsük ki, mi a függvény kimeneti értéke, adjuk meg a függvényhívást,
RészletesebbenLánctörtek és alkalmazásaik
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Lánctörtek és alkalmazásaik készítette: Szabó Mariann témavezető: Dr Tengely Szabolcs Debrecen, 203 Tartalomjegyzék
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
Részletesebben7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció
7. előadás Gyors szorzás, gyors Fourier-transzformáció Dr. Kallós Gábor 2016 2017 1 Tartalom Műveletek nagypontosságú egészekkel Hagyományos szorzó algoritmus Változat: polinomok szorzása Hagyományos rekurzív
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc
RészletesebbenARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.
ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenVizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív
RészletesebbenNEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös
RészletesebbenMaple. Maple. Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007
Maple Dr. Tóth László egyetemi docens Pécsi Tudományegyetem, 2007 A Maple egy matematikai formula-manipulációs (vagy számítógép-algebrai) rendszer, amelyben nem csak numerikusan, hanem formális változókkal
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
Részletesebben4. Számelmélet, számrendszerek
I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMatematika 7. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Részletesebben