Lánctörtek és alkalmazásaik

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Lánctörtek és alkalmazásaik"

Átírás

1 Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Matematikai Intézet Szakdolgozat Lánctörtek és alkalmazásaik készítette: Szabó Mariann témavezető: Dr Tengely Szabolcs Debrecen, 203

2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék i Bevezető 2 2 Lánctörtek 3 2 A lánctörtek története 3 22 Racionális számok lánctörtjei 5 23 A d alakú számok lánctörtjei 2 3 Pell-egyenletek 6 3 Pell-egyenletek 6 4 Feladatok 2 4 Feladatok 2 Irodalomjegyzék 29 i

3 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni a családomnak és a páromnak a folyamatos támogatást, biztatást, segítséget és türelmet, amit egyetemi éveim alatt kaptam

4 Bevezető Szakdolgozatom témája a lánctörtek és azok gyakorlati alkalmazásai A 2 fejezetben a lánctörtek valamint első- és másodfokú határozatlan egyenletek eredetéről, történetéről ejtek szót A 22 fejezetben bevezetem a lánctört fogalmát, két lánctört előállítási módszert mutatok be, illetve a lánctörtek egyértelműségére vonatkozólag ismertetek néhány tulajdonságot Megadom a kezdőszelet fogalmát is A 23 fejezetben a végtelen egyszerű lánctörteket és periódikus lánctörteket ismertetem Bemutatom a periódikus lánctörtek és másodfokú egyenletek kapcsolatát Majd pedig a d alakú lánctörtek néhány tulajdonságát vázolom fel A 3 fejezetben a Pell-egyenletek definíciója után az egyenlet lánctörtekkel való megoldhatóságát és annak tulajdonságait mutatom be A 4 fejezetben néhány olyan feladatot ismertetek, amelyek megoldásához felhasználhatók a lánctörtek és a Pell-egyenletek Szakdolgozatomban példákat és Maple-ben írt programokat használok a fogalmak teljeskörűbb megértéséhez A Maple egy olyan matematikai szoftvercsomag, mely a matematika minden területén használható különféle számítások, elemzések elvégzésére Ezenkívül alkalmas dokumentációk készítésére, grafikai ábrázolásra, illetve pénzügyi, statisztikai, fizikai modellezésre is [0] 2

5 2 Lánctörtek A 2 fejezetben szereplő rövid történeti áttekintéshez az [], [3], [7] és [8] irodalmat használtam fel A 22 és a 23 fejezetben szereplő definíciók, tételek és bizonyításaik megírásához a [3] és [6] művek nyújtottak segítséget A fejezetek szemléletesebbé tételéhez példákat és Maple-ben írt programokat használok 2 A lánctörtek története Első- és másodfokú egyenletekkel már a babiloni birodalom korában foglalkoztak A III században Diophantosz Arithmetica című tizenhárom kötetes művében szerepelnek első- és másodfokú határozatlan egyenletek Ő ekkor tört megoldásokat is elfogadott Az V században Arjabhata hindu matematikus és csillagász, a VII században Brahmagupta foglalkozott határozatlan egyenletekkel Brahmagupta az ax + by = c alakú elsőfokú diophantoszi egyenlet egész megoldásait kereste (negatívokat is elfogadva), ahol a, b és c is egészek A megoldások alapja, hogy az ax + by = egyenlet egész gyökeit c-vel szorozta meg Ezután egyre kisebb együtthatójú egyenletté alakítva az eredetit, könnyen leolvashatóvá vált a megoldás Ez az eljárás az euklideszi algoritmusra vezethető vissza A XII században élt hindu matematikus és csillagász Bhászkara adott általános megoldást az elsőfokú kétismeretlenes határozatlan egyenletekre A lánctörteket már Arjabhata is ismerte, azonban Fibonacci Liber Abaci című könyvében szereplő jelölés a lánctörtek egy másik írásmódját adja A könyvben szereplő jelentése a következő 345 volt: = Bombelli XVI századi olasz matematikus L Algebra Opera című könyvében szereplő közelítések nem megfelelőek, ugyanis a 2 = értéke 3 2 = ,

6 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 4 illetve a 3 = jelölés értéke 4 3 = Ezek nem helyes számítások A helyes közelítés a következőképpen néz ki: 2 = illetve 4 3 = A XVI században Tartaglia fordította le latinra Diophantosz Arithmetica című művét, melyben már szerepelt törtelőállítás: = Az 730-as évek körül Euler dolgozta ki és alapozta meg a lánctörtek elméletét 767-ben Lagrange dolgozott ki egy módszert, mellyel lánctörtek segítségével ad közelítést algebrai egyenletek megoldására Ilyen egyenlet például az x 2 dy 2 = típusú Pell-egyenlet, mellyel többek között Diophantosz, Bhászkara és Euler is foglalkozott Magyar matematikusok közül például Bolyai Farkas foglalkozott a lánctörtekkel Igazolta, hogy az x 2 + ax = b valós együtthatójú egyenlet egy megoldása az alábbi végtelen lánctört: x = a + b b a + b Továbbá bizonyítást adott az alábbi lánctörtre: 4 π =

7 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 5 22 Racionális számok lánctörtjei 22 Definíció Véges lánctörtnek nevezzük az alábbi alakú törtet: a 0 + a + b 0 b an + b n a n, ahol a,, a n, b 0,, b n N, az a 0 egész szám lehet negatív, ekkor negatív számot állít elő a lánctört, illetve lehet nulla is, ekkor 0 és közötti számról beszélünk Továbbá, ha b 0 = = b n =, akkor a következő jelölést használva: a 0 + a + an + a n = a 0, a,, a n véges egyszerű lánctörtről beszélünk Az a 0,, a n számokat a lánctört jegyeinek nevezzük Véges egyszerű lánctört előállítása az euklideszi algoritmus segítségével történhet: Az a racionális számot akarjuk előállítani Ekkor a, b Z, b > 0 és lnko(a, b) = b Az algoritmus: ( lépés): a = a 0 b + q b = a q + q 2 q = a 2 q 2 + q 3 q n 2 = a n q n + q n q n = a n q n, ahol q,, q n, a,, a n N, a 0 Z és q < q 2 < < q n teljesül (2 lépés): Elosztva az egyenlőségeket rendre b, q,, q n -nel:

8 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 6 a b = a 0 + q b = a 0 + b q b q = a + q 2 q = a + q q 2 q q 2 = a 2 + q 3 q 2 = a 2 + q 2 q 3 q n 2 q n = a n + q n q n = a n (3 lépés): Egymást követő helyettesítésekkel megkapjuk az a b q n = a n + q q n n q n lánctört alakját: Példa: ) pozitív eset: a 48 7 ezután: a b = a 0 + a + q q 2 = = a 0 + a + egyszerű lánctört alakja az előző eljárás alapján: 48 = = = = = 2 an + a n 48 7 = = = = = = = = a 0, a,, a n

9 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 7 majd helyettesítésekkel: 48 7 = = = , azaz 48 7 = 8,, 2, 2, ) negatív eset: 27 9 = = 7, 3, 6 3) 0 és közötti eset: 5 2 = = 0, 4, 5 5 Az eljárás visszafelé is működik, azaz egy lánctörtet vissza tudunk fejteni racionális számmá A visszafejtés egyszerű számolással végezhető Egy másik lánctört előállítási módszer a következő algoritmus alkalmazása: Jelölje x 0 = [x 0 ] + {x 0 } az átalakítani kívánt a b racionális számot Tehát bontsuk fel a -t egész- b és törtrész összegére Továbbá legyen a 0 hajtsuk végre az x i = = [x 0 ] Az a, a 2,, a n számok meghatározásához {x i }, a i = [x i ], i = 0,, n algoritmust, tehát x i az x i törtrészének a reciproka lesz Az algoritmus addig folytatódik, amíg x n egész lesz A kapott a i számokból a 22 definícó alapján felírható a lánctört Példa: ) x 0 = 48 7 = , a 0 = 8 x = 2 7 = 7 2 = + 5 2, a = x 2 = 5 2 x 3 = 2 5 x 4 = 2 = 2 5 = , a 2 = 2 = 5 2 = 2 + 2, a 3 = 2 = 2 = 2 + 0, a 4 = = 8,, 2, 2, 2

10 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 8 2) x 0 = 27 9 x = 6 9 x 2 = 6 = = , a 0 = 7 = = = 3 + 6, a = 3 = 6 + 0, a 2 = = 7, 3, 6 3) x 0 = 5 2 = , a 0 = 0 x = 5 2 x 2 = 5 = 2 5 = 4 + 5, a = 4 = 5 = 5 + 0, a 2 = 5 5 = 0, 4, 5 2 Negatív számnál, mint a 2) példában, arra kell figyelni, hogy itt is összeg formájában adjuk meg az x 0 -t A két módszer nyilvánvaló hasonlóságot mutat A második módszer tekinthető az első rövidített változatának, ugyanis ott azonnal a (2 lépés)-sel kezdünk Mindkét módszerrel ugyanazt a lánctört alakot kaptuk Igaz-e tehát, hogy egy racionális számnak egy lánctört alakja létezik, és egy lánctört egy racionális számot reprezentál? Vegyük a példában szereplő 48 7 : 8,, 2, 2, 2 = = = 8,, 2, 2,, Az emeletes törtek kiértékelésével mindkét estben 48 -et kapunk Így tehát több lánctört alak 7 is megadható ugyanazon számhoz Ezért, ha kikötjük, hogy egy lánctört utolsó számjegye nem

11 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 9 lehet, akkor egyértelművé tettük, hogy egy racionális számnak egy lánctört alakja létezik és ez megfordítva is igaz Általánosan: a n = (a n ) + miatt: a b = a 0, a,, a n = a 0, a,, a n,, ezért kikötve, hogy a n az a 0, a,, a n egyértelmű A 2 ábrán a Maple programon keresztül szemléltetem a fentieket: 2 ábra A cfrac eljárás kiírja a szám lánctört alakját Majd a cfrac eljárás quotients paramétere egy listában adja meg a lánctört másik írásmódját Ezt a listát elneveztem lánctört-nek Megadtam egy másik lánctörtet a lánctört2 listában Az a 0, a, a n = a 0, a,, a n, egyenlőség miatt lánctört = lánctört2 teljesül A CFRAC függvény a listában lévő számokat jeleníti meg lánctörtként Végül újra a cfrac eljárást használtam ahhoz, hogy a két listában szereplő számok alapján megkapjam a megfelelő láncört értékét Mindkét esetben a 48 kaptam vissza, tehát a 7 lánctört és lánctört2 is ugyanannak a racionális számnak a lánctört alakja

12 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 0 22 Tétel Két lánctörtet akkor mondunk egyenlőnek, ha értékük ugyanaz a szám Bizonyítás ([6] alapján:) A két lánctörtet jelölje a 0, a,, a s és b 0, b,, b t Az előzőek miatt feltesszük, hogy a s és b t A tétel akkor lesz igaz, ha a két lánctört azonos számú tagból áll, tehát s = t és megfelelő tagjaik egyenlőek, azaz a i = b i, i = 0,, s Legyenek: m 0 = a 0, a,, a s, n 0 = b 0, b,, b t m = a, a 2,, a s, n = b, b 2,, b t m s = a s, a s, n t = b t, b t m s = a s, n t = b t, ahol a 0, b 0 Z, a,, a s, b,, b t N, m 0,, m s, n 0,, n t R Ekkor: m 0 = a 0 + m, n 0 = b 0 + n m = a + m 2, n = b + n 2 m s = a s +, m s n t = b t + n t m s = a s, n t = b t Ahhoz, hogy belássuk a i = b i, i = 0,, s vegyük először m 0 -t és n 0 -t Tegyük fel, hogy m 0 = n 0, ez akkor teljesül, ha a 0 = b 0 és m = n Az m = n viszont akkor teljesül, ha a = b és m 2 = n 2 Ezt folytatva s + lépés után azt kapjuk, hogy mivel m s = n t, ezért a s = b t Továbbá a feltétel szerint a s és b t miatt az is teljesül, hogy s = t 222 Definíció Jelölje α az a 0, a,, a n lánctörtet és legyenek p, q Z, q 0 Ekkor az α kezdőszeleteit az alábbi lánctörtek adják: α 0 = a 0 = p 0 q 0 α = a 0, a = p q α 2 = a 0, a, a 2 = p 2 q 2 α n = a 0, a, a 2,, a n = p n q n = α α k-adik kezdőszeletét jelölje: α k = a 0, a,, a k = p k q k Megjegyzés A nevezők által alkotott sorozat növekvő, azaz: q 0 q < q 2 < q 3 < q n

13 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK A p k, q k meghatározása történhet a lánctört visszafejtésével, vagy az alábbiak szerint: Példa: az α = 48 7 kezdőszeletei: α 0 = 8 = 8, p 0 = a 0, q 0 = p = p 0 a 0 +, q = a p k = p k a k + p k 2, k = 2,, n α = 8, = 9, vagy vagy q k = q k a k + q k 2 p 0 q 0 = a 0 = 8 p q = p 0a + a = 9 α 2 = 8,, 2 = 26 3, vagy p 2 = p a 2 + p 0 = 26 q 2 q a 2 + q 0 3 α 3 = 8,, 2, 2 = 6 7, vagy p 3 = p 2a 3 + p = 6 q 3 q 2 a 3 + q 7 α 4 = 8,, 2, 2, 2 = 48 7, vagy p 4 = p 3a 4 + p 2 = 48 q 4 q 3 a 4 + q Tétel Irracionális α és racionális a b esetén, ahol b, lnko(a, b) = és teljesül, akkor k N esetén α a < b 2b 2 a b = α k = p k q k Bizonyítás ([3] alapján:) Jelölje az α lánctört alakjának k-adik kezdőszeletét p k, továbbá q k feltesszük, hogy teljesülnek a feltételek a -re, de ez nem kezdőszelete az α lánctörtnek, vagyis b a b p k A q n sorozat szigorúan monoton növekvő tulajdonsága miatt, pontosan egy k N szám q k létezik, amire q k b < q k+ Erre a k-ra teljesül a következő: q k α p k bα a = b α a < b 2b, amiből adódik: α p k < 2bq k q k

14 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 2 A feltétel szerint a b p k, és a bp k aq k különbség egész és nem egyenlő nullával, ezért q k bp k aq k Következésképpen: bp k aq k bq k bq k = p k a q k b p k α α q k + a < + b 2bq k 2b 2 Tehát az bq k < 2bq k + 2b 2 egyenlőtlenségből azt kapjuk, hogy b < q k, ez pedig ellentmond k választásának 23 A d alakú számok lánctörtjei 23 Definíció Legyen a 0 Z, a, a 2,, b 0, b, b 2, N, ekkor végtelen lánctörtnek nevezzük az alábbi alakú törtet: a 0 + a + b 0 b a 2 + b 2 Ha b 0 = b = b 2 = =, akkor végtelen egyszerű lánctörtről beszélünk, melynek jelölése: a 0 + a + a 2 + = a 0, a, a 2, 232 Definíció Egy végtelen egyszerű lánctörtet periódikusnak nevezünk, ha benne valamely lánctörtjegyek sorozata közvetlenül egymás után ismétlődik, azaz: a 0 + a + am + g + gn + g + gn + g + = a 0, a,, a m, g,, g n, g,, g n, g, alakú egyszerű végtelen lánctört periódikus, ahol a g,, g n N sorozat lesz a periódus, n pedig a periódus hossza Jelölés: a 0, a,, a m, g,, g n Az is megengedett, hogy a periódus rögtön az első lánctörtjeggyel kezdődjön, ekkor a lánctört g,, g n alakú és tisztán periódikusnak nevezzük

15 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 3 23 Tétel Periódikus egyszerű lánctörtek másodfokú egyenletek pozitív megoldásait adják Bizonyítás Jelölje α a periódikus lánctörtet és β a periódust, tehát: α = a 0, a,, a m, g,, g n, β = g,, g n Innen α = a 0 + a + am + β Ebből a β-ra felírható egy xβ 2 + yβ + z = 0 alakú másodfokú egyenlet, melyből meghatározott pozitív β-t visszahelyettesítve α-ba, α-ra is megadható egy másodfokú egyenlet Ennek a pozitív megoldása lesz az α Példa: α =, 3, 2, 5, 2, 2 = , β = 5, 2, 2 = β Innen A másodfokú egyenlet β-ra: α = β és ebből 5β 2 25β = 0 = β + = α = A példában szereplő α és β irracionális szám, melyek lánctört alakja végtelen A 22 fejezet szerint egy racionális szám lánctört alakja véges és fordítva egy véges egyszerű lánctört értéke racionális

16 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK 4 szám Irracionális szám esetében a lánctört alak végtelen és végtelen lánctört irracionális számot reprezentál Irracionális számoknál a lánctörtalak előállítás ugyanúgy végezhető, mint a racionális számoknál, azzal a különbséggel, hogy itt az algoritmus nem ér véget, és a kapott lánctörtjegyek egyértelmű ismétlődésekor felírható a periódus, amennyiben az létezik 233 Definíció Az a + b c alakú valós számokat kvadratikus irracionálisnak nevezzük, ahol d a, b, c, d Z, d 0, c > 0 nem négyzetszám Az előző példában szereplő α, β számok is kvadratikus irracionálisak 232 Tétel Ha d = a 2 + alakú, akkor d = a 0, 2a 0, ahol d Z Bizonyítás ([6] alapján:) Ha d = a 2 + alakban írható, akkor d lánctört előállítása a következőképpen történhet: A ( d a 0 )-t helyettesítjük ( d a 0 )( d + a 0 ) = d a0 = d + a0 d = a0 + d + a0 -val, akkor: 2a 0 + ( d a 0 ) d = a0 + = a 0 + 2a 0 + 2a 0 + d + a0 2a 0 + ( d a 0 ) Itt az előző helyettesítést egymás után végtelen sokszor elvégezve periódikus lánctörtet kapunk, mely így néz ki: d = a0 + 2a 0 + 2a 0 + 2a 0 + = a 0, 2a 0, 2a 0, 2a 0, = a 0 2a 0 Példa: 37 = 6, 2 50 = 7, 4 22 =, = 00, 200

17 FEJEZET 2 LÁNCTÖRTEK Tétel Minden d N nem négyzetszámra fennáll, hogy: d = a0, a, a 2, a 3,, a 3, a 2, a, 2a 0, ahol a 0 = [ d] Példa: 2 = 3, 2, 6 49 = 20, 2, 7,, 2, 3,, 2,, 9,, 2,, 3, 2,, 7, 2, = 28,,,, 2,, 0,, 2,,,, = 34,, 6,, 3, 4, 2,,, 4, 7, 4,,, 2, 4, 3,, 6,, 68 Maple programban: 22 ábra A cfrac eljárás quotients paramétere egy listában adja meg a láncörtet, míg a periodic paraméter a lánctört periódusát adja meg a listán belül egy másik listában

18 3 Pell-egyenletek Ebben a fejezetben bemutatom a Pell-egyenletek és a lánctörtek kapcsolatát Itt is ugyanúgy, mint az eddigiekben definíciók, tételek és bizonyítások, példák, valamint programok segítségével teszem szemléletesebbé a fejezetet Itt nagyban támaszkodtam a [3] és [6] irodalomra 3 Pell-egyenletek 3 Definíció Pell-egyenletnek nevezzük az x 2 dy 2 = egészegyütthatós diofantikus egyenletet, ahol d is egész Az egyenlet triviális megoldásai az (x, y) számpárra: d < esetben: (±, 0), d = esetben: (0, ±), vagy (±, 0), d = 0 esetben a (±, y) végtelen sok megoldást kapjuk, ahol az y tetszőleges, ha d > 0 négyzetszám, azaz d = a 2 alakú, akkor az egyenlet (x ay)(x + ay) = alakban írható, így a megoldások: (±, 0) A továbbiakban a d > 0 és d a 2 esettel foglalkozom, ekkor ugyanis végtelen sok nem triviális megoldás létezik, mely megoldásokat a d lánctört alakjának kezdőszeletei adják 3 Tétel Az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet egy (p, q) megoldása a d láncört egy kezdőszeletének számlálója és nevezője Bizonyítás ([6] alapján:) Legyen (p, q) megoldás, ekkor: p 2 dq 2 = p 2 = dq 2 + p > q, p 2 dq 2 = (p dq)(p + dq) = p dq = Innen mivel d > és p > q, ezért p + dq > 2q q(p + dq) > 2q 2 6 (p + dq) p q d = q(p + dq) < 2q 2 q(p + dq)

19 FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 7 Ahonnan kapjuk, hogy p q d < 2q 2 Ez pedig a 222 tétel szerint azt jelenti, hogy p q a d lánctört egy kezdőszelete 32 Tétel Legyen α k = p k q k a d lánctört alakjának k-adik kezdőszelete, periódusának hossza pedig n Ekkor p 2 jn dq 2 jn = ( ) jn, j =, 2, 3, Bizonyítás ([3] alapján:) Jelölje most a 0, a, a 2,, a jn, x jn a d lánctört alakját, továbbá legyen j, x jn = 2a 0, a, a 2,, a n, 2a 0 = a 0 + d A d = a 0, a, a 2,, a jn, x jn = p jn = x jnp jn + p jn 2 feltevést alkalmazva és x jn helyébe q jn x jn q jn + q jn 2 a 0 + d-t írva a következő egyenlőséget kapjuk: d(a0 q jn + q jn 2 p jn ) = a 0 p jn + p jn 2 dq jn A bal oldalon irracionális számot kapunk, a jobb oldalon pedig racionálisat Az egyenlőség ezért nem igaz, így a következők teljesülnek: a 0 q jn + q jn 2 p jn = 0, illetve a 0 p jn + p jn 2 dq jn = 0 A fenti egyenlőségeket megszorozva p jn -gyel, illetve q jn -gyel, összeadva, majd rendezve: p 2 jn dq 2 jn = p jn q jn 2 q jn p jn 2 Állítás: A 222 definícióban előálló p k, q k sorozatokra fenáll k 2 esetén: p k p k = ( )k q k Ezért a kapott egyenlőség jobb oldala, azaz: q k p jn q jn 2 q jn p jn 2 = ( ) jn 2 = ( ) jn, így: p 2 jn dq 2 jn = ( ) jn

20 FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 8 33 Tétel Legyen d N nem négyzetszám, α k = p k q k a d lánctört alakjának k-adik kezdőszelete és n a lánctört periódusának hossza Ekkor az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet összes pozitív megoldása: ha n páros szám, akkor: (x, y) = (p jn, q jn ), j =, 2,, ha n páratlan szám, akkor: (x, y) = (p 2jn, q 2jn ), j =, 2, Bizonyítás A 3 tétel alapján egy Pell-egyenlet minden megoldása a d lánctört alakjának valamely kezdőszelete Az alábbi program megadja egy d szám kezdőszeleteit Jelen példában a 4 és a 76 első 20 kezdőszelete látható: 3 ábra

21 FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 9 A következő ábra az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet megoldásait mutatja, amikor a periódus kicsi, illetve nagy: 32 ábra A megold eljárás meghatározza az egyenlet megoldásait adott d szám esetében Példámban először a d = 4-et, majd a d = 76-ot vizsgáltam A lánctörtek hosszát 50 számjegyig adtam meg, ugyanígy a lehetséges megoldások számát is A periódus hosszából látszik, hogy minél hosszabb a periódus annál ritkábban jutunk megoldáshoz Továbbá 33 tétel alapján, ha a pe-riódushossz páros, akkor a kezdőszeletek közül minden (jn )-edik elégíti ki a Pell-egyenletet, ha pedig a periódushossz páratlan, akkor a (2jn )-edik kezdőszeletek alkotják a megoldásokat A 3 ábrát összevetve a 32 ábrával látható, hogy a példában szereplő 76 esetében, ahol n = 2, a, 23, 35, 47, kezdőszeleteket, illetve a 4-nél, ahol n = 3, az 5,, 7, 23, 29, 35, kezdőszeletek kerestük

22 FEJEZET 3 PELL-EGYENLETEK 20 A következő példaprogram azt mutatja, hogy mely kezdőszeleteknél fordul elő az x 2 dy 2 = eset, a 29 első 30 kezdőszeletét vizsgálva, ahol n = 5: 33 ábra Valóban a (jn )-edik, azaz a 4, 9, 4, 9, 24, 29, kezdőszeleteknél felváltva kapunk -et és -et Ahhoz, hogy csak -et kapjunk megoldásnak, tehát teljesüljön a Pell-egyenlet páratlan periódushossznál, a (2jn )-edik kezdőszeletek lesznek a keresett számpárok A 29 esetében tehát a 9, 9, 29, kezdőszeletek

23 4 Feladatok Ehhez a fejezethez érdekes feladatokat ([2], [4], [5], [9]) kerestem, melyek megoldása a lánctörtekhez, illetve Pell-egyenletekhez kapcsolódik 4 Feladatok feladat: A Fibonacci-számok előállítása lánctörtek segítségével [4]: A Fibonacci-számok, vagyis a 0,,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, sorozat a következőképpen áll elő: F 0 = 0, F =, F 2 = F 0 + F =, F 3 = F + F 2 = 2,, F n = F n 2 + F n, Állítsuk elő az F n F n -et lánctört alakban (n = 2, 3, )! F 2 F = F 3 F 2 = 2 F 4 F 3 = 3 2 F 5 F 4 = 5 3 F 6 F 5 = 8 5 = = = 2 =, =, 2 =,, =,, 2 =,,, =,,, 2 =,,,, F 7 F 6 = 3 8 F 8 F 7 = 2 3 =,,,, 2 =,,,,, =,,,,, 2 =,,,,,, 2

24 FEJEZET 4 FELADATOK 22 Amellett, hogy szemmel láthatóan érdekes lánctörteket kaptunk, elmondható az is, hogy az,,,,,,,,,,, lánctörtekből álló sorozat visszafejtésével mind a számlálóban, mind a nevezőben a Fibonacci-számokat kapjuk Előbbi esetben F 2 -től kezdődve, míg utóbbi esetben F -gyel kezdve a sorozatot Vagyis egy n db -ből álló lánctört kezdőszeleteinek nevezője megadja az F, F 2,, F n Fibonacci-számokat F n Hasonlóan érdekes lánctört alakokat kapunk az felírásakor (n = 0,, ): F n+2 F 0 F 2 = 0 F F 3 = 2 F 2 F 4 = 3 F 3 F 5 = 2 5 = 0 = 0 = 0, 2 = 0, 2 = 0, 3 = 0, 2, = 0, 2, 2 = 0, 2,, F 4 F 6 = 3 8 F 5 = 5 F 7 3 F 6 F 8 = 8 2 = 0, 2,, 2 = 0, 2,,, = 0, 2,,, 2 = 0, 2,,,, = 0, 2,,,, 2 = 0, 2,,,,, Ebben az esetben a 0, 2,,,, lánctört kezdőszeleteinek számlálója lesz a Fibonacci sorozat

25 FEJEZET 4 FELADATOK 23 A 4 ábrán szereplő fib eljárás meghatározza az első n db Fibonacci-számot a 0, 2,,,, lánctört segítségével, ahol a lánctörtjegyek száma n Most n = 20, így a program a 0, 2,,,,,,,,,,,,,,,,,, lánctört kezdőszeleteinek számlálójából állítja össze a keresett számokat: 4 ábra 2 feladat: A szarvasmarhák problémája [2], [5], [9]: A feladat Arkhimédésztől származik (ie III század) A feladatban az adott csordához tartozó szarvasmarhák számát keressük A csorda fehér, fekete, barna és tarka bikákból illetve tehenekből áll, melyek darabszámára különböző kitételek vannak: minden szín esetében a bikák száma több, mint a teheneké; a fehér bikák száma megegyezik a feketék számának felével és egyharmadával és még a barnák számának összegével; Hasonló kitételek vannak a többi bikákra és tehenekre vonatkozólag is Ezenkívül azt tudjuk még, hogy a fehér és fekete bikák számának összege négyzetszám, illetve a barna és tarka bikák számának összege háromszögszám Jelölés: E : fehér bikák, F : fekete bikák, G : barna bikák, H : tarka bikák e : fehér tehenek, f : fekete tehenek, g : barna tehenek, h : tarka tehenek A feltételek tehát: E > e, F > f, G > g, H > h ( ) E = F + G ( F = ( H = ) H + G ) E + G

26 FEJEZET 4 FELADATOK 24 ( e = ( f = ( h = ( g = ) (F + f) ) (H + h) ) (G + g) ) (E + e) E + F : négyzetszám, azaz m 2 alakú n(n + ) G + H : háromszögszám, azaz 2 A hét egyenletből álló egyenletrendszer megoldása, ahol k N: alakú E = k, F = k, G = k, H = k, e = k f = k g = k h = k Eddig a csorda tehát k szarvasmarhából áll Most figyelembe véve a két utolsó feltételt: m 2 = E + F = k k = k = } {{ } k = 2 2 vk, v mivel az E + F négyzetszám, ezért k = vy 2 alakú, ahol y Z; n(n + ) 2 = G + H = k k = k = } {{ 4657} k = wk, w mivel a G + H háromszögszám, ezért (2n + ) 2 = 8wk + = (2n }{{ + } ) 2 8wvy 2 = = x y 2 = x A kapott Pell-egyenlet megoldható, a d = szám lánctört alakjára megkereshető az a kezdőszelet, amely eleget tesz az egyenletnek Ezzel pedig már meghatározható a megoldás: 7, E megoldás mind a számjegyének megadása csak a XX században sikerült Addig, a XIX században, a számjegyek számát, néhány kezdő és végső számjegyet tudtak megadni Meyer, német matematikus, például 867-ben próbálkozott a fenti Pell-egyenlet megoldásával, de 240 lépés után sem sikerült megtalálnia a d lánctört periódusát, így feladta A keresett periódus hossza

27 FEJEZET 4 FELADATOK 25 Amthor tudott először megoldást adni a feladatra 880-ban Ő határozta meg a számjegyek számát és az első 3 számjegyet Megoldásának alapja, hogy a d = számot (2 4657) 2 d alakban írta, ahol d = nem négyzetszám és a d lánctört periódusa csak 92 hosszúságú Továbbá, mivel az (x, y) = x + y d számpár az x 2 dy 2 = Pell-egyenlet megoldása, akkor az (x, y) = x y d számpár az x 2 d y 2 = Pellegyenlet megoldása Amthor tehát először megoldotta a x 2 d y 2 = Pell-egyenletet, majd azt a legkisebb n-edik megoldást kereste, melyben az y osztható tel Ekkor ugyanis az (x y d ) n = x + y d összefüggés teljesül Azt kapta, hogy az n = 2329, ezzel pedig eljutott az eredeti Pell-egyenlet megoldásához Lenstra, holland matematikus, Amthor megoldását felhasználva a feladat összes lehetséges megoldását egy képlet segítségével adta meg 2002-ben: E + F + G + H + e + f + g + h = k i, i =, 2, 3, (u4658 i u 4658 i ) 2 ahol k i =, és u = Amthor számolása alapján u 2 = x + y d az x 2 d y 2 = Pell-egyenlet megoldása A legkisebb megoldást i = esetben kapjuk, azaz a csorda legkevesebb 7, darab szarvasmarhából áll

28 FEJEZET 4 FELADATOK 26 A 32 ábrán látható megold eljárást felhasználva az alábbi program a fenti képletek alapján számolja ki a csorda legkisebb számát A d = esetben megadja a Pell-egyenlet első (x, y) megoldását, ebből meghatározza azt az u számot, melyet a Lenstra - féle képletbe helyettesítve megkapjuk a végeredményt 42 ábra 3 feladat: A ház probléma [9]: A feladatban egy utcában keresünk egy házat a következő információk alapján: az utcában legalább 200 és legfeljebb 500 ház áll, melyek számozása -től kezdődik és egyesével növekszik; továbbá az utca elejétől a keresett házig vett házszámok összege megegyezik a keresett háztól az utca végéig vett házszámok összegével Jelölje k a keresett házszámot, h pedig az utcában lévő házak számát Ekkor a feladat szerint:

29 FEJEZET 4 FELADATOK k, h k = k + + h k(k + ) 2 = h(h + ) 2 k(k ) 2 k 2 + k = h 2 + h k 2 + k 2k 2 = h 2 + h A kapott egyenlet átalakítható Pell-egyenletté: (2h + ) 2 2(2k) 2 = x = 2h +, y = 2k = x 2 2y 2 = Ezt pedig már meg tudjuk oldani lánctörtek segítségével Itt d = 2, azaz a 2 kezdőszeletei közül kapjuk a megoldást x-re és y-ra, melyekből könnyen meghatározható a k és h, vagyis a keresett házszám és az utcában lévő házak száma

30 FEJEZET 4 FELADATOK 28 Itt szintén a 32 ábrán lévő megold eljárást alkalmaztam, illetve kibővítettem az adott feltételekkel, hogy az alábbi módon határozzam meg a feladat megoldását: 43 ábra

31 Irodalomjegyzék [] Dr Lénárdi László Sain Márton Matematikatörténeti feladatok, page 38 Tankönyvkiadó, 982 [2] H W Lenstra Jr Solving the Pell Equation pdf, 2002 [3] Klukovits Lajos Számelmélet és alkalmazásai - segédanyag ~klukovit/hallgatoknak/szamelm/_szamelm2html, 20 [4] Dr Ron Knott An Introduction to Continued Fractions hosted-sites/rknott/fibonacci/cfintrohtml, 203 [5] Kovács Lehel István Érdekes informatikai feladatok - XXI rész Firka, 7 évf sz, [6] Maurer I Gyula Tizedes törtek és lánctörtek, pages Dacia Könyvkiadó, 98 [7] Sain Márton Matematikatörténeti ABC, pages 2 7, 3, 4, 44 50, 56, 74, 48, 9 Tankönyvkiadó, 974 [8] Szabó Péter Gábor Bolyai Farkas számelméleti vonatkozású kéziratos hagyatéka Természet Világa, 2003 I különszám, html [9] Szalay László A ház probléma [0] 29

= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt

= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt 2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11.

ARANYMETSZÉS. - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka június 11. ARANYMETSZÉS - érettségi dolgozat védése analízis és algebrából - Készítette: Szénási Eszter Mentor: Dr. Péics Hajnalka 2014. június 11. Zenta TARTALMI ÁTTEKINTÉS Az aranymetszés fogalma eredete és előfordulása

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Matematika BSc., matematikus szakirány. Szakdolgozat

Matematika BSc., matematikus szakirány. Szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Dolecsek Máté Matematika BSc., matematikus szakirány Lánctörtek Szakdolgozat Témavezető: Gyarmati Katalin és Sárközy András Algebra és Számelmélet Tanszék

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

b, b > 0 racionális szám, hogy a

b, b > 0 racionális szám, hogy a 3. A lánctörtek alkalmazásai. 3.. Diofantikus approximáció. Alapkérdés: Mennyire jól közelíthetők az irracionálisok racionális számokkal? Megjegyzés. Mindenek előtt azt kell tisztázni, hogy mit jelent

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

2018, Diszkrét matematika

2018, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 3. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: természetes

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II. Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:

Részletesebben

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim. Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

SZÁMELMÉLETI FELADATOK

SZÁMELMÉLETI FELADATOK SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2. Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.

Részletesebben

2016, Diszkrét matematika

2016, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben