GYAKORLAT. 1. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés)
|
|
- Éva Dobosné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 GYAKORLAT. félév I. Bevezető.. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés). Jelölés: f (x) helyett néha kényelmesebb ( f(x) ) -t írni, pl. (e x ) = e x. (Bár a függvényt és nem a függvényértéket deriváljuk.). A derivált jelentése (tanultuk): pl. a pillanatnyi változás. Ennek gyakori megfogalmazása: ha y = f(x), akkor f y (a) = lim x a Szimbóluma: formalizmus, azaz "y-t deriváljuk x szerint". a dy dx Példák: ha y = x, akkor dy = x (azaz, dx x deriváltja x szerint: x). Ez ugyanazt jelenti, mint hogy az f(x) := x függvény deriváltja f (x) = x. Más változókkal (fizikai példák): s = 5t, így ds dt = t; állandó T hőmérséklet esetén p = c V (ahol c = nrt ), így dp dv x. = c V. 3. Alapderiváltak: konstans deriváltja, elemi függvényeké a táblázatból. II. Szorzat, hányados deriválása (f g) = f g + fg, Vigyázat! f g ( f g ) = f g fg (ha g ),... f g g III. Kompozíció deriválása.. Szabály: (f g) = (f g) g ( pontonként: (f(g(x)) = f (g(x)) g (x) ). [ Vigyázat! Sem f g, sem f g nem jó! ] Példák: (e sin x ) = e sin x cos x. [ Rossz válaszok: e sin x vagy e cos x.] Megj.: itt fontos látni, hogy g(x) = sin x a belső és f(x) := e x a külső függvény, hiszen x sin x e sin x. ( tg (e x ) ) = cos (e x ) ex = ex, cos (e x ) itt g(x) = ex a belső, f(x) := tg x a külső függvény.. A dy dx formalizmus alkalmazása a kompozícióderiváltra. Legyen y := f(g(x)). Ha z := g(x), akkor formálisan dy = dy dz. dx dz dx Példa: y = ln(sin x). Az eddigi jelölésekkel: f(z) := ln z és g(x) = sin x komp.-jára ( ) ln(sin x) = ln (sin x) (sin x) = cos x cos x =. sin x sin x A dy formalizmussal: dx dy = dy dz = cos x = dx dz dx z sin x y = ln z, ahol z = sin x, így cos x = cos x sin x. (Nem kötelező így csinálni: igény szerint használható, akinek így könnyebb.)
2 3. Fontos speciális esetek: (g α ) = αg α g pl. (g ) = g g, ( g ) = (g ) = g g = g g. (Vigyázat, itt g hatvány és nem inverz!) (Itt a külső függvény f(z) := z α, pl. f(z) := z vagy f(z) := z.) Példák: (sin x) = sin x cos x [tipikus hiba: sin x], ( ) ( e x + = (e x + ) ) = (e x + ) e x = ex, (e x +) ( ) (ln x) 3 = 3(ln x), ( + x x ) = ( ( + x ) /) = ( + x ) / (x) = x +x. (ln g) = g g (ún. logaritmikus derivált). (Itt a külső függvény f(z) := ln z.) Példák: (ln(sin x)) = cos x sin x [tipikus hiba: sin x ], (ln(x 4 + x )) = 4x3 +x x 4 +x, (ln( + 5x)) = 5 +5x. ( f(cx) ) = c f (cx), pl. ( f( x) ) = f ( x). (Itt a belső függvény g(x) := cx.) Példák: (sin 3x) = 3 cos 3x, (e x ) = e x. [tipikus rossz válaszok: cos 3x, e x ] ( f(x ) ) = f (x ) (x). (Itt a belső függvény g(x) := x.) Példa: ( sin(x ) ) = cos(x ) (x). Általánosabban: ( f(x + k) ) = f (x + k) (x), ahol k állandó. Példa: ( + x ) = ( ( + x ) /) = ( + x ) / (x) = x +x. 4. Több tagra: ( f(g(h(x))) ) = f (g(h(x)) g (h(x)) h (x) (láncszabály), dy formalizmussal: dy = dy dv dz. dx dx dv dz dx (Még több tagra hasonlóan.) Példa: ( (e sin x ) ) = e sin x e sin x cos x. 5. Még egy fontos példa: (ln x) =, ha x >, de minek a deriváltja, ha x <? x x Ha x <, akkor x = x, így (ln x ) = (ln( x)) = ln ( x) = x = x. Másrészt x > esetén x = x, így a fenti is ugyanezt adja. A kettőből együtt: (ln x ) = x x. Köv.: g belső függvénnyel (ln g ) = g g. 6. Más változó. Ha más betű jelöli a független változót, akkor is ugyanúgy deriválunk,
3 mint amikor x volt. Pl.: ha f(t) := t, akkor f (t) = t stb. IV: A L Hospital-szabály. (A deriválás alkalmazása.) Határértékszámítási probléma: " Tétel: Legyen lim a f = lim a g =. Ekkor lim a f g = lim a e típusú" limesz, pl. lim x =? x x f g, ha az utóbbi értelmes. Példák: e (i) lim x x x = lim x e x = e =. Felhasználtuk: x e x folytonossága miatt lim x e x = e =. (ii) Ha a szabályt használva is e lim x x x x e = lim x x x = lim x e x = e =. típusú marad, akkor alkalmazzuk újból: pl. Házi feladatok.. Deriváljuk az alábbi függvényeket: f(x) :=... sin x cos x, x ln x, x x, (x + ) sh x, e x, x 3 cos x e cos x, ctg (e x ), sin x, ( + 3x) 6, 3x, sin x e x, ln cos x, sin x, e x, (x+) 3, cos(x 3 ), ( + e x ) 3/, x, (x + cos 4x + ) 3, x x,, +x +x +x, x, ( x ) 3/. Számítsuk ki az alábbi deriváltakat! sin x, e x x+3, x+ x 4, sin(x ), sin x, ln( + x ), ln( 4x), ln x + 3x 4, e x e, x, e x +,, x shx, x + x cos x +x x, 3/ x, ( x ) 5/, +x 4,, ( x) x ln, xe x. +x +x (a) ds, ha s = 3 dt t ; (b) dt du, ha T = V ; (c), ha u = dv dt e T. 3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! sin x lim, x 3x lim cos x x sin x, lim, lim x x x x 3 ex x x. x x 3 3
4 . Szélsőértékszámítás és függvényvizsgálat/. I. Lokális szélsőérték és monotonitás.. A fogalmak felidézése (rajzokkal!). Egy függvény lehet szigorúan növő/csökkenő egy intervallumon (ismert korábbról); lokális minimumhelye van a-ban, ha a egy környezetére nézve itt legkisebb értéke van. (Környezet: a-t tartalmazó nyílt intervallum.) Azaz, ha f(a) f(x) x I. Hasonlóan: lokális maximumhely, ha helyett van. Lokális szélsőértékhely: lok. min. vagy max.-hely. Lokális minimum nem feltétlenül globális minimum (lehetnek kisebb függvényértékek).. Tételek (mindig feltesszük, hogy f differenciálható egy I intervallumon): Ha f (x) > ( x I) f szigorúan növő I-ben. Ha f (x) < ( x I) f szigorúan csökkenő I-ben. Ha f-nek lokális szélsőértékhelye van a-ban f (a) =. Szemléletes jelentés az érintők meredekségével (rajz). 3. Vigyázat: A fenti utolsó tétel visszafelé nem igaz! Vagyis, ha f (a) =, akkor a nem feltétlenül lokális szélsőértékhely. Ez attól függ, milyen f előjele a előtt és után. Példa: az a = pont milyen helye az alábbi függvényeknek? (Mindegyikre f () =.) Megoldás: írjuk fel f előjelét előtt és után, és ebből rajzoljuk fel f-et! (i) f(x) := x : előtt csökken, után nő lokális minimum (ii) f(x) := x : előtt nő, után csökken lokális maximum (iii) f(x) := x 3 : előtt és után is nő -ban nincs lokális szélsőérték, f végig növő (iv) f(x) := x 3 : előtt és után is csökken -ban nincs lok. széls., f végig csökken 4. Általános módszer: mint a fenti példában, f előjeléből leolvasható f növekedése, csökkenése és lokális szélsőértékei. Példa: legyen f(x) := x 3 3x (x R). Keressük meg f lokális minimum- és maximumhelyeit, ill. hogy mely intervallumokon növő/csökkenő! Megoldás: deriválni kell, f (x) = 3x 3 = 3(x ). Ebből minden leolvasható: Ha x < : f (x) >, így f szig. növő. Ha < x < : f (x) <, így f szig. csökken. Ha x > : f (x) >, így f szig. növő. Továbbá: előtt növő, utána csökken a - lok. maximumhely; előtt csökken, utána növő az lok. minimumhely. Megj.: ezekből és néhány függvényértékből (pl. x =,, ) f grafikonja elég jól felrajzolható x nem nagy értékeire. Ha viszont x tart ± -hez, akkor tudnunk kell, f mit csinál (limeszvizsgálat), a II. részben ezzel foglalkozunk. 5. Lokális szélsőérték. deriválttal (monotonitások nélkül). Tétel: Legyen f (a) =. Ha f (a) > a-ban lok. min. van, ha f (a) < a-ban lok. max. van. 4
5 Példák. (i) f(x) := x, ekkor f () = és f () =, így -ban lok. min. van. (ii) f(x) := x, ekkor f () = és f () =, így -ban lok. max. van. (iii) f(x) := x 3 3x (az előbbi), ekkor f (x) = 3x 3 = 3(x ) és f (x) = 6x. Így f ( ) = és f ( ) = 6 < ( )-ben lok. max., f () = és f () = 6 > -ben lok. min. Fontos megj.: Ismerjük az első derivált jelentését (érintő meredeksége; ha a derivált + vagy -, akkor a függvény nő/csökken). A fentiekből látszik a. derivált jelentése: ha ez + vagy -, akkor a függvény grafikonja úgy görbül, mint egy felfelé/lefelé álló parabola. II. Globális függvényvizsgálat R-en. Alapelv: globális grafikon = a fenti növekedési vizsgálat + határértékek. (Az utóbbi van hátra. Ismétléssel kezdjük.). x n grafikonja (n N + ). (Rajz is!) Ha n páros: előtt szig. csökken, utána növő; lim x + xn = Ha n páratlan: végig szigorúan növő; lim x xn =,. Polinomok határértéke ± -ben. Módszer: a főegyüttható kiemelése. Példa: lim x + (x3 3x ) = lim x + x3 ( 3 ) = +. x x 3 Tehát csak a főegyüttható előjele számít. 3. Polinomok globális grafikonja. Alkalmazzuk a fenti alapelvet. Példák: (i) A korábbi: f(x) := x 3 3x (x R). Növekedési vizsgálat (láttuk): lim x xn = +. lim x + xn = +. előtt szig. nő, majd -ig csökken, utána nő, a - lok. maximumhely, az lok. minimumhely. Határértékek: a főegyüttható előjele pozitív, így f limeszei megegyeznek x 3 limeszeivel: lim f =, lim f = +. + (Részletezve: ) lim x (x3 3x) = lim x3( 3 x x = ( ) =, ) lim x + (x3 3x) = lim x3( 3 x + x = (+ ) = +.) Rajzoljuk fel a grafikont! (Néhány függvényértékből pontosítható, pl. x =,,.) (ii) f(x) := x 4x + 3 (x R). Növekedési vizsgálat: f (x) = x 4 = (x ) negatív előtt és pozitív után, így f szig. csökken előtt és szig. nő után, a lok. minimumhely. (Lok. max.-hely nincs.) Határértékek: a főegyüttható előjele pozitív, így f limeszei megegyeznek x limeszeivel: lim f = lim f = +. + (Részletezve: lim x (x 4x + 3) = lim x( 4 + ) 3 x x x = (+ ) = +, és pont ugyanez + -ben.) Rajzoljuk fel ezekből a grafikont! (Pontosítás: parabola, + a zérushelyek és 3.) 5
6 Házi feladatok.. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit, valamint hogy mely intervallumokon növők/csökkenők! Határozzuk meg a limeszüket ± -ben, végül rajzoljuk fel a grafikonjukat! (a) f(x) := x 3 3x + 5; (b) f(x) := x 4 x ; (c) f(x) := 5x x 5 ;. Igaz-e, hogy az alábbi f : R R függvények lokális maximumhelye egyben globális maximumhely is? (a) A fenti.(b) pontbeli f(x) := x 4 x ; (b) f(x) := x e x. (Útmutatás: itt is először keressük meg a lokális minimum/maximumhelyeket a tanult módszerrel.) 3. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit! (. deriválttal.) (a) f(x) := x 6 + 6x +, (b) f(x) := 4 + 3x x 3. 6
7 3. Szélsőértékszámítás és függvényvizsgálat/. I. Globális függvényábrázolás R-en (folytatás).. Néhány elemi függvény grafikonja, határértéke ± -ben (nagyrészt ismétlés). (a) Hatványfüggvények grafikonja: x α. (Az α = n N + esetekre múltkor rajzoltuk fel, most további példákat nézünk.) Rajzoljuk fel: f(x) := x, f(x) := x (x ). (Ugyanilyen általában f(x) := x n, ha n páratlan/páros.) Rajzoljuk fel: f(x) := x 3/, f(x) := x, f(x) := x = x (/) (x > ). (Ugyanilyen általában x α az α >, < α <, α < esetekben.) Szemléltessük a limeszeket a rajzokon! (b) Exponenciális és logaritmusfüggvények. Rajzoljuk fel az a > és < a < eseteket (4 rajz)! (Ezt már nagyon jól kell tudni...) (c) Helyettesítés. Példa: lim x + e x =? Itt ha x +, akkor x, és akkor e x. (Hiszen az e alapú exp függvény -ben -hoz tart.). Példák. Rajzoljuk fel az alábbi grafikonokat! (Alapelv, mint múltkor.) (a) f(x) := e x. Növekedési vizsgálat: f (x) = x e x pozitív előtt és negatív után, Határértékek: f szig. nő előtt és szig. csökken után, a lok. maximumhely. ha x + : előbb láttuk, hogy lim x + e x =. ha x : hasonlóan helyettesítünk. Ekkor is x, és akkor e x. (Az indoklás ugyanaz.) Ezekből és f() = -ből kb. felrajzolható a grafikon. (b) f(x) := e 4x. Kétféleképp is megoldható.. Az "alapelvvel". Növekedési vizsgálat: f (x) = 4 e 4x <, így f szig. csökken. Határértékek (helyettesítéssel): ha x +, akkor 4x, így e 4x. (Hiszen az e alapú exp függvény -ben -hoz tart.) ha x, akkor 4x +, így e 4x +. (Hiszen az e alapú exp függvény + -ben + -hez tart.) Ezekből felrajzolható a grafikon.. Közvetlen megoldás: e 4x = ( e 4 ) x = a x, ahol a := e 4 7 <. Így tudjuk a grafikont.
8 II. Globális szélsőértékszámítás I = [a, b] intervallumon. Ez egyszerűbb, mint a fenti, ui. nem kell limesz. Észrevételek:. Az I-beli maximum az I-be eső lokális maximumértékek és a végpontbeli értékek közül a legnagyobb. Hasonló igaz a minimumra.. Ha f (u) =, akkor az u pontot mindenképp bevehetjük a vizsgálatba. (Ha a-ban nincs lok. szélsőérték, akkor legfeljebb fölöslegesen.) Így viszont megússzuk a monotonitásvizsgálatot. Így adódik az új alapelv: globális szélsőértékvizsgálat I-ben = f zérushelyei + végpontok. Azaz, ezen pontbeli függvényértékek közül kiválasztjuk a legnagyobbat és legkisebbet. Példák:. Keressük meg f(x) := x 4x + 3 minimumát és maximumát az I := [, 5] intervallumon! (i) f (x) = x 4 = (x ) = x =, ez beleesik I-be, és itt f() =. (ii) Végpontok: f() = 3, f(5) = 8. Összesítve: max f = 8, min f =. (Érdemes felrajzolni az f I függvényt.) I I. Keressük meg f(x) := x 3 3x minimumát és maximumát az I := [, ] intervallumon! (i) f (x) = 3x 3 = 3(x ) = x = vagy. Ezekből esik I-be, itt f() =. (ii) Végpontok: f() =, f( ) =.4. Összesítve: max f =, min f =. I I 3. Az egységkörbe írható, origóra szimmetrikus téglalapok közül melyiknek legnagyobb/legkisebb a területe? Itt T = 4xy, ahol (x, y) a jobb felső csúcs koordinátái (x, y ). Mivel x + y = és x, y, így T = f(x) := 4x x, melynek az I := [, ] intervallumon keressük a minimumát és maximumát. (i) f (x) = 4 x + 4x ( x ) / ( x) = ) 4( x x x = (rendezve:) x = x x = ±, amiből I-be esik x =. Erre f( ) =. Itt y = x =, azaz a vizsgált téglalap épp négyzet. (ii) Végpontok: f() = f() =. Itt, ha x =, akkor y =, vagy fordítva: ezek elfajuló esetek (szakaszok). Összesítve: a négyzet területe a legnagyobb, T =, ill. az elfajuló esetek (szakaszok) területe a legkisebb (T = ), azaz a valódi téglalapok közt nincs legkisebb területű. (Rajz!) 8
9 Házi feladatok.. Rajzoljuk fel az alábbi függvények grafikonját! (a) f(x) := x 4 (x ), (b) f(x) := x 3 (x ), (c) f(x) := x 5/ (x > ), (d) f(x) := x 3/ (x > ), (e) f(x) := ln x (x > ).. Rajzoljuk fel az alábbi, egész R-en értelmezett függvények grafikonját! (a) f(x) := e x, (b) f(x) := e x, (c) f(x) := e (x 3). 3. Keressük meg az alábbi függvények minimumát és maximumát a megadott intervallumon! (a) f(x) := x x, I = [, 3], (b) f(x) := x x 3, I = [, 3], (c) f(x) := x 5 5x, I = [, ]. 4. (a) Egy őszi napon a hőmérséklet 8 és óra között a T (t) = t t képlet szerint 6 alakult, ahol a t időt órákban, a hőmérsékletet C fokokban mérjük. Hány órakor és hány fokos volt a legmagasabb, ill. legalacsonyabb hőmérséklet a vizsgált időintervallumban? (b) Mekkora az a maximális területű téglalap alakú telek, amely m kerítéssel bekeríthető? (c) Ábrázoljuk egy lebomlási folyamatban az izotópok számát időben leíró N(t) = N e λt függvény grafikonját, ahol N > és λ > állandók, és t a [, + ) intervallumban mozog! 9
10 4. Integrálszámítás/: határozatlan integrál (primitív függvény). I. Elméleti háttér.. Alapgondolat: eddig megtanultunk deriválni: f f. Most visszafelé csináljuk: adott függvény minek a deriváltja?. (a) Def.: f-nek F primitív függvénye, ha F = f. Példák primitív függvényre: cos x-nek sin x; e x -nek önmaga; -nek ln x (ha x > ), általában ln x (ha x ). x (b) Alaptétel. Intervallumon a primitív függvény additív konstans erejéig egyértelmű. (Megj.: ha D f nem egy intervallum, pl. f(x) =, akkor c függ az intervallumtól is.) x Def.: f(x) dx az általános primitív függvény (határozatlan integrál). Azaz, ha F egy primitív függvény, akkor f(x) dx = F (x) + c Példák: cos x dx = sin x + c, II. Elemi primitív függvények. e x dx = e x + c, (c R). dx = ln x + c. x. Hatványfüggvények: x α dx = xα+ α + + c, ha α ; az α = esetben dx = ln x + c. x Példák: (a) Egész kitevő: x dx = x + c, x dx = x3 3 + c, dx = x + c, x dx = x dx = x ( ) + c = x + c. (b) Gyökös kifejezések: dx = x pl. x dx = x / dx = x/ / + c = x + c.. Elemi trigonometrikus függvények: cos x dx = sin x + c, sin x dx = cos x + c. 3. Integráltáblázat: x α, e x, a x,, sin x, cos x integrálja. x x / dx = x3/ 3/ + c = 3 x3/ + c, III. Kiszámítás a definíció alapján: további fontos típusok.. Műveletek: összeg és k-szoros kiemelhető, pl. (e x + cos x) dx = e x + sin x + c. (Megj.: Általában (f g) f g, és hányadosra sem!) Példa: polinomok. Pl. (x 4 + 7x 3x) dx = x x3 3 3x + c.
11 . Kompozícióderivált integrálja. (f g) g = (f g) + c, de csak spec. esetekben szokott fellépni ilyen alakú integrál. (a) Logaritmikus integrál: Példák: cos x dx = ln sin x +c; sin x A fentire visszavezethető: x x + dx = g g g = (ln g ) + c, azaz (x) dx = ln g(x) + c. g(x) ha más a konstans szorzó, pl. x x + dx = ln(x + ) + c. x x + dx = ln x + +c = ln(x +) +c. (b) Belső konstans szorzó. Ha f(x) dx = F (x) + c, és k állandó, akkor f(kx) dx = F (kx) + c. k [ Tipikus hiba: ha lemarad az k szorzó! Azaz Ellenőrzés: Fontos eset: ( F (kx) ) = kf (kx) = kf(kx), így kell az k f( x) dx = F ( x) + c. f(kx) dx F (kx) + c, ha k.] szorzó a k eltüntetéséhez. Példák: cos x dx = sin x + c ( sin x + c!); e 3x dx = 3 e3x + c, cos x dx = sin x + c, e x dx = e x + c, e x dx = e x + c. Általánosabban: f(kx + b) dx = F (kx + b) + c. k Pl. cos(x + ) dx = sin(x + ) + c, x dx = ( x) / ( x)3/ dx = + c = 3/ 3 ( x)3/ + c.
12 IV. Racionális törtfüggvények integrálása: p(x) dx, ahol p, q polinomok. q(x) Néhány fontos esetet nézünk meg.. Elsőfokú nevező. ax + b dx = a ln ax + b + c (ahol a, b R állandók). (Megj.: Példák: fontos az abszolút érték, mert ax + b negatív értékeire csak így értelmes.) 3x dx = 3. Résztörtekre bontás. ln 3x + c, Megoldási módszer: ún. résztörtekre bontás. dx = ln x + c. x dx =?, ha a nevezőnek két valós gyöke van. x + rx + s Legyen x + rx + s = (x a)(x b), itt a b. Ekkor! olyan k R, hogy (x a)(x b) = k ( x a ). x b Éspedig, közös nevezőre hozás után a számlálókra = k(a b), azaz k = a b. Ebből x + rx + s dx = ( a b x a ) ( ) dx = ln x a ln x b +c = x b a b a b ln x a +c. x b Példák: ( x 5x + 6 dx = x 3 ) x 3 dx = ln + c. x x x x dx = ( x x dx = x ) x dx = ln + c. x x Megj.: a módszert és nem a képletet célszerű használni! 3. Valós gyök nélküli másodfokú nevezők. Példák: (a) Ha k : dx = arc tg x + c x + x + k dx = k (b) Logaritmikus integrálra visszavezethető: x x + k dx = (táblázatból; rajzoljuk fel az arc tg függvényt!) ( x k ) + dx = k k arc tg x k + c = k arc tg x k + c. pl. x x + k dx = ln(x + k) + c.
13 Házi feladatok.. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! x 4 dx, 3 x dx, (x 9 5x + ) dx, (3 cos x e x + sin x e x ) dx, + cos x e x + sin x dx x x dx, x x 3 dx, x 3 x 4 + dx, e x 4 dx, e x e x + dx cos x 3 dx, x dx, ( x 6 + x 8 3 x ) dx, (útm.: a számláló a nevező deriváltja), tg x dx, e x dx, sin x dx, (x 3) dx, (útmutatás: a számláló a nevező deriváltja-e?) e 4x dx, e x dx,. Számítsuk ki az alábbi, racionális törtfüggvényekre vonatkozó határozatlan integrálokat! 4x + 3 dx, 4 x dx, x dx, x 6x + 8 dx, x + x dx, x x dx, x dx, x + 9 dx, x x + 9 dx. 3. Adjunk megoldóképletet az alábbi integrálokra, ahol u adott állandó! dx (útm.: két valós gyök), x u (x u) dx (útm.: az f(kx + b) dx tanult típusba esik). 4. (Integrálás más változó szerint.) Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! (Útm.: ugyanúgy kell, mint x szerint: pl. cos t dt = sin t + c.) (t + e t ) dt, ( + s ) ds. 3
14 5. Integrálszámítás/. I. Határozatlan integrál (folytatás).. Két fontos trigonometrikus integrál: sin x és cos x. Felhasznált azonosságok: sin x és cos x is kifejezhető cos x-szel (pl. függvénytábla). Ezeket beírva: cos x dx = ( + cos x) dx = ( x + sin x) + c, sin x dx = ( cos x) dx = ( x sin x) + c.. Két integrálátalakító módszer. Ezek nem megoldóképletek, de (jó esetben) egyszerűbb alakra hozzák a feladatot. A. Parciális integrálás: f g = fg fg. Megj.: (a) Akkor jó, ha fg könnyebben integrálható, mint f g. Pl., ha g(x) = x (vagy lineáris) és f-et tudjuk integrálni, akkor g = miatt fg = f, és ez kiszámítható. (b) f g f g!! Ehelyett marad a fenti lehetőség. Példák: (i) e x x dx = e x x e x dx = e x x e x + c = e x (x ) + c. Itt f (x) = e x és g(x) = x. (ii) (x + ) cos x dx =? Vegyük most (x + )-et g(x)-nek, ekkor f (x) = cos x, így f(x) = sin x jó lesz: (cos x) (x + ) dx = (sin x) (x + ) sin x dx = (x + ) sin x + cos x + c. B. Helyettesítéses integrálás: f(x) dx = f(g(t)) g (t) dt g(t)=x ahol g szigorúan monoton, diff.-ható függvény. Szemléletesen: ez egy x = g(t) helyettesítés, azaz x helyett g(t)-t írunk, és dx helyett g (t) dt kell; az utóbbi a dx dt formalizmussal érthető meg: g (t) = dx dt, így dx dx = dt; dt az egész akkor hasznos, ha g(t) kiejti/egyszerűsíti x "csúnya" kifejezését. 4
15 Példák. (i) Ekkor dx dt cos x x dx =? Itt x csúnya, de x = t kiejti a gyököt: x = t (vehető t > ). = t, így dx = t dt. Ezeket beírva: cos x dx = x cos t t t dt = cos t dt = sin t + c = sin x + c. (Az utolsó lépés értelemszerű, hisz eredményként x függvénye kell.) (ii) e x e x + dx =? Ez egyszerűbbé válik, ha x = ln t, mert akkor ex = t. Ekkor dx =, így dx = dt. Ezeket beírva: dt t t e x e x + dx = t t + t dt = t + dt = ln t+ +c = ln ex + +c = ln(e x +)+c. II. Határozott integrál.. Fogalma. Legyen f : [a, b] R + folytonos függvény. Ekkor grafikon (görbe) alatti terület.. Kiszámítása: Newton-Leibniz szabály: ha F = f, akkor b f(x) dx = F (b) F (a) =: [F ] b a. a b a f(x) dx jelentése: a Megj.: (i) Ez a kapcsolat a kétféle (határozatlan és határozott) integrál közt. (ii) F -ben nem kell a +c, mert úgyis kiesik. Példák.. x [, ] esetén mekkora az y = x parabola alatti terület? Kiszámítandó x dx. Itt F (x) = x dx = x3 (+c nem kell), 3 így. így π/4 π/4 x dx = [ x 3 3 ] := = 3. cos x dx =? Itt F (x) = cos x dx = sin x cos x dx = [sin x]π/4 := (sin π sin ) =. (+c nem kell), 3. (a) Parciális integrálás határozott esetben: b a b f g = [fg] b a fg. a Példa: e x x dx = [e x x] e x dx = [e x x] [ex ] = (e ) (e ) =. 5
16 (b) Helyettesítéses integrálás határozott esetben: ha g szigorúan monoton, diff.-ható függvény, a = g(c) és b = g(d), akkor b a Példák.. ln f(x) dx = d c f(g(t)) g (t) dt. e x e x + dx =? Az előbbi x = ln t helyettesítést használjuk, amikor is ex = t. Az x = és x = ln végpontokból (t = e x miatt) t = e = és t = e ln = lesz, valamint dx =, így dx = dt. Ezeket beírva: dt t t ln. e x e x + dx = x dx =? t t + t dt = t + dt = [ ln t + ] = ln 3 ln = ln 3. Az x = sin t helyettesítést használjuk: a [, π ] intervallumon sin szig. növő függvény, és a t =, t = π végpontokat épp x = -ba és x = -be viszi. Itt dx = cos t, így dx = cos t dt. Ezeket beírva: dt π/ π/ x dx = sin t cos t dt = cos t dt = [ t + sin t] π/ = π 4, ahol közben felhasználtuk, hogy sin t = cos t = cos t = cos t, ha t [, π]. (Nehéz, de fontos példa volt: épp a negyedkör területét számítottuk ki.) Házi feladatok.. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! cos (3x) dx, (x + ) sin x dx, x ( + x) dx, e x cos(e x ) dx.. (a) Mekkora az y = x x parabola és az x tengely közti terület? (Útm.: a x értékekre lesz a görbe alatti rész.) (b) Egy l hosszú inhomogén sűrűségű vékony rúd tömege a sűrűségfügvény. Ha l = és ϱ(x) =, mekkora a rúd tömege? +x 3. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! e x dx, x e x dx, π/ x cos x dx, 4 e x x dx, x e x dx (itt az x = t helyettesítést használjuk!), x dx l ϱ(x) dx, ha ϱ : [, l] R (itt az x = sin t helyettesítést használjuk a [, π ] intervallumon)! 6
17 6. Egyváltozós integrál (folytatás). Többváltozós függvények deriválása/ I. Egyváltozós függvények improprius integrálja.. Alapprobléma: ha a görbe alatti tartomány nem korlátos, lehet-e véges a területe? Példák: (i) f(x) := x, x [, + ); (ii) f(x) := x, x [, ).. Improprius integrál: ha I = [a, b): b a Ha a nincs I-ben, ott (is) limeszt veszünk. A példák megoldása: (i) (Végtelen intervallum). + x dx = [ x f(x) dx := lim F F (a) =: [F ] b b a, ha ez létezik és véges. ]+ (ii) (Korlátos intervallum). dx = x = [ ]+ = ( lim x x + x ) = ( ) =. ( x) dx = [ ( x) ] = ) ( ( ) ( ) =. Megj.: a limesz = helyettesítési érték volt, tehát ugyanaz, mint az eredeti N.-L.-szabály. 3. További példák. (iii) (iv) (v) + + e x dx = [ e x] + x e x dx = [ e x] + = ( lim x + e x e ) = ( ) =. = ( lim x + e x lim e x) = ( ) =. x x dx = [ ln x ] = ln lim ln x = ( ) = +, azaz nincs véges x improprius integrál. II. Többváltozós függvények deriválása. Parciális derivált. Bevezető példa. Gáztörvény: p = c T, ahol c állandó. Mekkora a p nyomás pillanatnyi változása, ha csak T -t vagy csak V -t változtatjuk, de a másik mennyi- V ség állandó? Itt p(t, V ) = c T V kétváltozós függvény. 7
18 Az f : R R eset. Ekkor f(x, y) kiszámítása általában: az változót konstansnak tekintjük. f(a, b) kiszámítása: behelyettesítjük (a, b)-t. x f(x, y) függvényt deriváljuk, az y Hasonlóan: f(x, y) esetén megfordítva, y szerint deriválunk és x állandó. (Más gyakori jelölések: f helyett x f vagy f, azaz a változóval indexeljük.) x Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. x 3 sin -ot deriválnánk x szerint: ebből 3x sin lenne, azaz sin konstans szorzó. Így f(x, y) = 3x sin y x, y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. 3 sin y-t deriválnánk y szerint: ebből 3 cos y lenne, azaz 3 konstans szorzó. Így f(x, y) = x 3 cos y x, y. Adott pontban: pl. f(, ) = 3 cos =. (ii) f(x, y) := x + y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. x + -et deriválnánk x szerint: ebből x lenne, és ugyanígy f(x, y) = x x, y. f(x, y) =? Úgy készül, mintha pl. + y -et deriválnánk y szerint: ebből y lenne, és ugyanígy f(x, y) = y x, y. (iii) A bevezető példa: p(t, V ) = c T V. Itt célszerű az indexben az adott változóval jelölni a deriválást: T p(t, V ) = c V, V p(t, V ) = c T V. További példák: (iv) f(x, y) := x 4 y + xy 3x f(x, y) = 4x 3 y + y 6x, f(x, y) = x 4 y + x. (v) f(x, y) := 3x y + 5 f(x, y) = 3, f(x, y) =. (vi) f(x, y) := x y f(x, y) = x y, f(x, y) = x y. Kompozícióderiváltak: (vii) f(x, y) := e x +y f(x, y) = x e x +y, f(x, y) = y e x +y. Ez általános szabály (gyakori eset): f(x, y) := h(x + y + k) (k állandó) f(x, y) = x h (x + y + k), (viii) f(x, y) := sin(3x y) f(x, y) = 3 cos(3x y), f(x, y) = y h (x + y + k). f(x, y) = cos(3x y). 8
19 Még több dimenzió. Példák: (i) f(x, y, z) := xyz f(x, y, z) = yz, f(x, y, z) = xz, 3 f(x, y, z) = xy. (ii) f(x, y, z, w) := yz + xw pl. 4 f(x, y, z, w) = xw. Második parciális derivált. Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y. Ekkor f(x, y) = 3x sin y, f(x, y) = x 3 cos y. Ezek újból deriválhatók: f(x, y) = 6x sin y, f(x, y) = 3x cos y, f(x, y) = 3x cos y, f(x, y) = x 3 sin y. Megj.: (a) f = f, ez mindig igaz (Young-tétel). (b) Jelölés: i f := i i f. (Vigyázat, ez ( i f)!) Ilyenkor tehát 3 derivált kell: f, f és f. (ii) f(x, y) := x 3 y 5 + x. Ekkor f(x, y) = 6xy 5 +, f(x, y) = 5x y 4, f(x, y) = x 3 y 3.. Gradiens, Jacobi-mátrix. Értelmezés: f : R n R m esetén a derivált f f... n f f f f... n f := f m f m... n f m m n-es ún. Jacobi-mátrix. Spec., ha f : R n R: f ún. gradiense f = f := ( f, f,... n f ). Példák: (i) f(x, y) := x 3 sin y f(x, y) = ( 3x sin y, x 3 cos y ). (ii) f(x, y) := (x + y, xy + x) f (x, y) = Házi feladatok x dx =? e x 3/ dx =? ( x y ) y + x x dx =? x dx =?. Számítsuk ki az alábbi függvények első parciális deriváltjait! (a) f(x, y) := e x sin y, x y 4, x y + xy, x 3 y 5 3xy 4 + 7y, e x y, e x y, x ln(x + y ), ln(x 4 + y 4 ), x + y +, (x + y 4) 3/. (b) f(u, v) := 4u + 9v, f(m, T ) := mt. y, (c) f(x, y, z) := x + y + z, f(x, y, z) := xy z. 3. Második parc. deriváltak=? f(x, y) := e x sin y, ln(x +y ), f(x, y, z) := xyz. 4. f (x, y) =? f(x, y) := ln(x + y ), f(x, y) := (x 3 5y, x 4 y 3 + x). 9
20 7. Többváltozós függvények deriválása/. Komplex számok I. Második derivált, Taylor-polinom... derivált. Értelmezése: f : R n R esetén, ha f C (R n, R). f := { j i f } i=,...,m j=,...,n = f f... n f f f... n f n f n f... nf. Neve: f Hesse-mátrixa a-ban. (Emlékeztető: i f := i i f.) Fontos tulajdonság (Young-tétel): j i f = i j f ( i, j), azaz f szimmetrikus. Példa. Legyen f : R R, f(x, y) := e x y. Ekkor f(x, y) = e x y, f(x, y) = e x y, f(x, y) = e x y, így f (x, y) =. Első- és másodfokú Taylor-polinom. Elsőfokú Taylor-polinom: ( e x y e x y e x y e x y ). ha a R n rögzített pont és h R n, h, akkor f(a + h) T (a + h) := f(a) + f (a)h. (Ez f legjobb lineáris közelítése.) Példa. Legyen f : R R, f(x, y) := e x y. Legyen a = (, ), és h = ( u ), v ahol u, v. Ekkor f(a + h) = f(u, v) = e u v lineáris közelítése T (u, v) := f(, ) + f (, )(u, v). Itt f(, ) =, ill. f (x, y) := (e x y, e x y ), így f (, ) = (, ). Ebből T (u, v) := + (, ) ( u ) = + u v, azaz e u v + u v. v Másodfokú Taylor-polinom. Fogalom: Egy n n-es A mátrix kvadratikus alakja: Ah h (h R n ). Példa: Legyen A := ( ) ( u v ( ) ( u v ) ) = ( u v. Ekkor h = ( u v u + v ) ( u v ) esetén a kvadr. alak: ) = u uv uv + v, azaz Ah h = u uv + v, ez másodfokú kétváltozós polinom.
21 Másodfokú Taylor-polinom: ha h, akkor f(a + h) T (a + h) := f(a) + f (a)h + f (a)h h. (Ez f(a + h) legjobb másodfokú közelítése.) Példa: Legyen f(x, y) := e x y, a = (, ). Ekkor az előbb kapott + u v polinomot ki kell egészítenünk a másodfokú taggal. Itt ( ) f (, ) =, aminek az előbb számítottuk ki a kvadratikus alakját. Így h = ( u ) v esetén T (u, v) = + u v + (u uv + v ), azaz, ha u, v, akkor e u v + u v + (u uv + v ). II. Komplex számok. Fogalma: bevezetjük az i := új, ideális elemet, és C := {a + ib : a, b R}. A z := a + ib felírásban a és b neve: a z szám valós ill. képzetes része. Szemléltetés: komplex számsík, pl. rajzoljuk fel ( + 3i)-t.. Műveletek: + és eredménye is komplex szám, úgy számolunk, mint valósakkal, és felhasználjuk, hogy i =. Példák: ( + 3i) + ( 7i) = 3 4i, 4( i) = 4 8i, ( + i) ( 4 + i) = 4 8i + i + i = 4 7i = 6 7i. Ha a >, akkor (i a) = i a = a, azaz minden negatív számnak van négyzetgyöke. Szemléltetés: összeg és valós számszoros esetén ugyanaz, mint síkbeli vektorokra. Komplex számok szorzata esetén: később. További fogalom: ha z = a + ib, akkor z := a ib, neve z komplex konjugáltja. 3. Másodfokú egyenletek komplex megoldásai. Tekintsük az ax + bx + c = egyenletet, ahol a, b, c R. Mit mondhatunk, amikor nincs valós gyöke, azaz a diszkrimináns D := b 4ac <? Ekkor értelmezhető két komplex gyök. Ugyanis D = D = i D, így a megoldóképletből λ, = b± D = a Megj.: jelölje α := b és β := a gyök egymás komplex konjugáltja. b± i D a. D a, ekkor a gyökök: λ, := α ± iβ. Tehát a két Példák: x + x + 5 = x, = ± 4 = ± 6 = ±4i = ± i. x + 3 = x, = ± 3 = ± 3 i.
22 4. Polárkoordináták: mint korábban az R síkon. Ha z = a + ib, akkor r := a + b (a -tól vett távolság), és ϕ [, π) a valós tengellyel bezárt szög. Ekkor a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, ezzel z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Komplex alak: hatványsorral értelmeztük a z e z függvényt C-n. Fő tulajdonság: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ ( ϕ R). Ezzel a polárkoordináták exponenciális alakja: z = re iϕ. Példák. (i) Írjuk fel polárkoordinátákkal, majd annak exponenciális alakjában! z = +i. Ábrázoljuk: r = és ϕ = π 4, így z = cos π 4 + i sin π 4 = ei π 4. z = + i. Ábrázoljuk: r = és ϕ = π 4, így z = (cos π 4 + i sin π 4 ) = e i π 4. (ii) Írjuk fel algebrai alakban (azaz z = a + ib)! z = e i π (azaz r = és ϕ = π ). Ekkor z = cos π + i sin π = + i = i. z = e iπ (azaz r = és ϕ = π). Ekkor z = (cos π + i sin π) = ( + i ) =. Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi f : R R függvények Hesse-mátrixát; első- és másodfokú Taylor-polinomját! a., f(x, y) := e x cos y. b., f(x, y) := ln( + x + y). c., f(x, y) := ( + x y) 3.. Számítsuk ki (azaz írjuk fel z = a + ib algebrai alakban): ( + i) + (3 + i), ( + i) (3 + i), ( + i) 3. Ábrázoljuk a komplex síkon: +i, 3 i, i + 6, 5e i π 3 4. Oldjuk meg! x + 4x + 3 = ; x 4x + 9 = ; x + =. 5. Írjuk fel polárkoordinátákkal, majd annak exponenciális alakjában! i, + i, i, 6. Írjuk fel algebrai (azaz a + ib) alakban! e i 3π, e i π 6, e 4iπ, e iπ 7. Legyen z = e i π 4. Ábrázoljuk a z, z, z 3,..., z 8 hatványokat! (Útmutatás: itt z n = e inϕ.)
23 8. Többváltozós integrál I. Primitív függvény több változóban (potenciál). A probléma. Legyen F : R n R számértékű függvény. Tudjuk deriválni: Fontos: itt F : R n R n. F F = ( F, F,..., n F ). Mint D-ban: most visszafelé keresünk. Azaz, adott f = (f, f,..., f n ) : R n R n függvényhez keresendő F : R n R primitív függvény, azaz, amelyre F = f. Koordinátákkal: i F = f i ( i =,.., n).. F létezésének feltétele: j f i = i f j ( i j). 3. Kiszámítás: az egyes változók szerinti integrálással. Példák. (i) f(x, y) := (x + y, x y). Létezik-e F? Ellenőrizendő: f = f. f (x, y) =, f (x, y) = igen, létezik F. Megoldandó: F (x, y) = f (x, y) F (x, y) = f (x, y), azaz F (x, y) = x + y F (x, y) = x y. Integráljuk az első egyenlőséget: F (x, y) = (x + y) dx = x + xy + c(y). Fontos: itt c = c(y)! Ezt behelyettesítjük a második egyenlőségbe: ( x + xy + c(y)) = x y, azaz x + c (y) = x y, azaz c (y) = y. Ezt megoldjuk: c(y) = ( y) dy = y + c, amiből (ii) f(x, y) := (x, y ). F (x, y) = x + xy y + c. Létezik-e F? f (x, y) =, f (x, y) = igen. Megoldandó: F (x, y) = x F (x, y) = y Ezt megoldjuk: c(y) = F (x, y) = x dx = x3 3 + c(y) ( x c(y)) = y, azaz c (y) = y. ( y ) dy = y3 3 F (x, y) = x3 3 y3 3 + c. + c, amiből 3
24 (iii) Gyakran felbukkanó integrál: ha h(t) dt = H(t) + c, akkor x h(x + y + k) dx = H(x + y + k) + c(y). Ell.: ( H(x + y + k) + c(y) ) = H (x + y + k) (x) = x h(x + y + k), és osztunk -vel. Spec. típus: x (x + y + k) α dx = (x + y + k) α+ + c(y), ha α. α + Példa: f(x, y) := ( x, (x +y ) 3/ y (x +y ) 3/ ). Létezik-e F? f (x, y) = f (x, y) = 3xy (x +y ) 5/ igen. Megoldandó: x F (x, y) = F (x, y) = (x +y ) 3/ y. (x +y ) 3/ Integráljuk az első egyenlőséget: ez a fenti típusú, ha α = 3/, így x F (x, y) = (x + y ) dx = 3/ (x + y ) / + c(y) = x + y + c(y). Ezt behelyettesítjük a második egyenlőségbe: y ( (x + y ) / + c(y) ) =, azaz c (y) =. Így c(y) c, és (x +y ) 3/ F (x, y) = x + y + c. II. Vonalintegrál. Kiszámítási képletek. Legyen ϕ : [a, b] R n, melyre ϕ folytonos; f : R n R n folytonos. Jelölje Γ a ϕ képét (rajz). b (i) Általános képlet: f := f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Γ a (ii) Ha f-nek van F primitív függvénye: f = F (ϕ(b)) F (ϕ(a)). Γ (Ez egy N-L.-szabály.) Spec. eset: zárt görbe, azaz ha ϕ(a) = ϕ(b): f =.. Fontos görbék. (i) R sugarú körív: ϕ : [α, β] R, ϕ(t) := (R cos t, R sin t). Spec., ez [α, β] = [, π] esetén a teljes körív (zárt görbe), ún. pozitív irányítással. (Az utóbbit szemléltessük rajzon.) (ii) Szakasz: ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (p + tu, q + tv). Ekkor Γ a (p, q) és (p + u, q + v) pontokat összekötő szakasz. Γ 4
25 3. Példák. (i) Legyen ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t) (egységkörív), f(x, y) := ( y, x). Ekkor: f(ϕ(t)) = ( sin t, cos t), ϕ (t) := ( sin t, cos t), f(ϕ(t)) ϕ (t) = ( sin t, cos t) ( sin t, cos t) = ( sin t) + (cos t) = t π f = dt = π. Γ Megj.: zárt görbén az integrál nem, ez azért lehet, mert f-nek nincs primitív függvénye. (ii) Legyen ϕ : [, ] R, ϕ(t) := ( + 3t, t). Ekkor Γ a (, ) és (5, ) pontokat összekötő szakasz. Legyen f(x, y) := (x + y, x y). Ekkor f(ϕ(t)) = ( + 4t, + t), ϕ (t) := (3, ), f(ϕ(t)) ϕ (t) = ( + 4t, + t) (3, ) = ( + 4t) 3 + ( + t) = 8 + 4t f = (8 + 4t) dt = [ 8t + 7t ] = 5. Γ (iii) Az előbbi példában nézzük meg, lehet-e primitív függvénnyel is: f (x, y) = f (x, y) =, így igen. Az előbb már kiszámítottuk: F (x, y) = x y + xy (most elég c nélkül). Ebből f = F (5, ) F (, ) = ( ) ( 4 + ) = 5. Γ (iv) Ugyanezt a függvényt zárt görbén: legyen ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t) (egységkörív), f(x, y) := (x + y, x y). Ekkor f =. Γ Házi feladatok. Számítsuk ki az alábbi f vonalintegrálokat! Ahol lehet, használjunk primitív függvényt! (a) ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (t +, t); (b) ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t); Γ f(x, y) := (x y, x + y). f(x, y) := (x y, x + y). (c) ϕ : [, π] R, ϕ(t) := (cos t, sin t); f(x, y) := (x 3 y, x + y 3 ). (d) ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (t, t); f(x, y) := (x, y). (e) ϕ : [, π] R x, ϕ(t) := (cos t, sin t); f(x, y) := ( x, y +y (f) ϕ : [, ] R, ϕ(t) := (t, t); f(x, y) := ( x x +y +, x +y ). y x +y + ). (g) ϕ : [a, b] R, melynek Γ képe ellipszis; f(x, y) := ( x x +y +, y x +y + ). 5
26 9. Vektorszámítás. Többváltozós integrál. I. Vektorszámítás Emlékeztető: = (,,..., n ) operátor; ebből formálisan, f := (f, f,..., f n ) : R n R n vektorértékű függvényekre: f divergenciája: div f := f = f + f n f n (számértékű). i j k f 3 3 f f rotációja: ha n = 3, rot f := f := 3 = ( f 3 3 f ) f f f 3 f f Példák. ha n =, rot f := f f (számértékű). (vektorértékű) f(x, y) := (x + y, xy) div f(x, y) = x + x = 3x, rot f(x, y) = y y = y. f(x, y) := (x + y, x y) div f(x, y) = =, rot f(x, y) = =. f(x, y, z) := (x, y, z) div f(x, y, z) = + + = 3, rot f(x, y, z) = (,, ) T. f(x, y, z) := (xy, yz, xz) div f(x, y, z) = y+z+x, rot f(x, y, z) = ( y, z, x) T. (A T transzponáltat jelent, azaz sor helyett a megfelelő oszlopvektort.) II. Többváltozós Riemann-integrál. (Számértékű függvényre.). Téglalapon. Kiszámítása: T f = d b először kiszámítjuk a belső tekintve); c a f(x, y) dx dy, b a aminek a jelentése: f(x, y) dx integrált x szerint (y-t konstansnak az eredmény y függvénye, ezt integráljuk y szerint c-től d-ig. Példák. (i) T := [, ] [, 3], f(x, y) := x + y T f = 3 (x + y) dx dy. A belső integrál: (x + y) dx = [ ( x + xy)] = ( + y) = + y. x= (F (x)-hez nem kellett +c, azaz +c(y), mert egy primitív függvény kell! Amúgy is kiesne.) A külső integrál: 3 (ii) T := [ π, π ] [, π], f(θ, ϕ) := θ π/ ( + y) dy = [ ( y + y )] 3 y= = ( ) = 6. T f = π π/ π/ θ dθ dϕ. A belső integrál: θ dθ = [ ] θ 3 π/ = ( 3 π/ θ= π/ 3 ( π )3 ( π )3) = π3, ez a ϕ változónak konstans függvénye, mert f sem függött ϕ-től. A külső integrál: π π 3 dϕ = π π3 = π4 6. 6
27 . Terület és térfogat. Legyen H R n (n = vagy 3) adott tartomány (pl. körlap, gömb, sokszög, poliéder). Síkon: = A(H) (H területe); térben: = V (H) (H térfogata). H H Hasonlóan, ha c R állandó, akkor c = c A(H) vagy c V (H). (i) Elemi példák területre/térfogatra (középiskolából). H Téglalap: A = ab, háromszög: A = am, körlap: A = r π, félkör: A = r π. Gömb: V = 4r3 π, félgömb: V = r3 π, gúla: V = Am (ii) Forgástestek térfogata., ahol A az alap területe. Egy r : [a, b] R + folytonos függvény grafikonját megforgatva az x tengely körül ún. forgástestet kapunk (rajz). Ennek térfogata: b V = π r (x) dx. a (Ugyanis az x pontbeli síkmetszet területe πr (x), és ezeket összegezzük.) Példa. Legyenek R, m > számok és r : [, m] R +, r(x) := R x. Ez m lineáris, és a megfelelő forgástest egy kúp. (Itt r(m) = R, így a kúp alapja R sugarú kör.) Ekkor V = π m [ ( R m x) dx = π R x 3 m 3 ] m x= = π R m m 3 3 = πr m 3 (azaz Am 3 ). II. Felszíni integrál Itt csak a konstans integrálját idézzük fel: ill. ha c R állandó, akkor c = c A(S). S = A(S) (S felszíne), S Fontos példák: gömbfelszín A = 4r π, félgömb felszíne A = r π. Házi feladatok.. Számítsuk ki div f-et és rot f-et, ha (a) f(x, y) := (x + y, x y ); (b) f(x, y) := (x 3y, 3x + y); (c) f(x, y, z) := (x + y, y + z, x + z ); (c) f(x, y, z) := (x + y + z, xyz, ).. Számítsuk ki az alábbi f Riemann-integrált! T := [ π, π ] [, π], f(θ, ϕ) := cos θ. T 7
28 3. Rajzoljuk fel az alábbi r függvények által meghatározott forgástesteket, majd számítsuk ki a térfogatukat a tanult képletből! (a) Legyenek R, m > számok és r : [, m] R +, (b) r : [, ] R +, r(x) := + x. 4. Számítsuk ki az alábbi f felszíni integrálokat! (a) S egy sugarú gömbfelület, f ; S r(x) R konstans. (b) S egy sugarú gömbfelület, melyet vízszintes felezősíkkal az S alsó és S felső félgömbre bontunk; {, ha x S, f(x) :=, ha x S (Útmutatás: f = f + f.). S S S (c) S egy oldalú kocka felülete, f mindegyik oldalon konstans értéket vesz fel, ezek a konstansok nagyságsorrendben: 3,,, -, -3, Ellenőrizzük az alábbi példákon a vektoranalízis ismert azonosságait! (a) rot f = f, ahol legyen D az egységkörlap és Γ annak határa (azaz az D Γ egységkörvonal) pozitív irányítással, valamint f(x, y) := ( y, x). (Útmutatás: a kérdéses vonalintegrált már kiszámoltuk, ill. rot f konstans lesz.) (b) div f = f ν, ahol legyen D az egységgömb és S annak felülete, valamint D f(x, y, z) := (x, y, z). (Útmutatás: S az előadáson láttuk, hogy f ν ; másrészt div f is konstans lesz.) 8
29 . Differenciálegyenletek/: szétválasztható KDE.. Példák KDE felállítására. (a) Baktériumok szaporodása. A egyedszámot (nagysága miatt) egy y folytonos függvénnyel írhatjuk le. Feltevés: nincs korlátozás, így a szaporodás sebessége egyenesen arányos az egyedszámmal. Ebből a KDE: ha x jelöli az időt, akkor y (x) = Ky(x), ahol a K > állandó az arányossági tényező. Röviden: y = Ky. (b) Cukor oldódása. g cukrot vízbe szórunk, az oldódás sebessége egyenesen arányos a még fel nem oldódott cukor mennyiségével. Mennyi a feloldódott cukor? (Jelölje y.) Ebből a KDE: ha x jelöli az időt, akkor a még fel nem oldódott cukor mennyisége y(x), így a KDE y (x) = K( y(x)), ahol a K > állandó az arányossági tényező. Röviden: y = K( y).. Szétválasztható KDE: y = h(y)g(x), ahol h, g adott folytonos függvények. Keressük az y megoldásfüggvényt. Megoldási módszer az előadáson tanult formalizmussal.. lépés. Ha h-nak c zérushelye, azaz h(c) =, akkor az y c konstansfüggvény megoldás, mert y =, és h(y) miatt a jobb oldal is.. lépés. Feltesszük, hogy h(y) egy I intervallumon. Ekkor dy dx = h(y)g(x) dy h(y) = g(x)dx dy h(y) = g(x)dx + c, ahol c R tetszőleges konstans. Integrálás után egy H(y) = G(x)+c egyenletet kapunk, amiből ki kell fejeznünk y-t x függvényeként. Fő speciális eset: y = h(y). (Ez szétválasztható, ahol g(x) :=. Ilyenek a bevezető példák.) Három fontos esetét részletezzük példákon. Az y = Ky egyenlet (K R állandó). () Baktériumok szaporodása. Például, az időt órákban mérjük és legyen K :=, 5, azaz a KDE: y =, 5y. (i) Mennyi az y létszám az x idő függvényében? (Azaz, oldjuk meg a KDE-t!). lépés: konstans megoldás y (ha nincs bakt., de ez nem érdekes).. lépés: az érdemi eset, ha y >. Ekkor: 9
30 dy dx =, 5 y dy y =, 5 dx integrálva: ln y =, 5 x + c, ahol c R tetsz. (most nem kell ln y, mert y > ) y = e c e,5 x = c e,5 x, azaz y(x) = c e,5 x, ahol c > tetsz. (ii) Ha a kezdeti létszám millió, mennyi lesz 4 óra múlva? Legyen x = a kezdőidőpont. A képletből x = 4 esetén y(4) = c e 6 43, 43 c, de c értéke is kellene, ezt a kezdeti feltételből határozhatjuk meg: x = esetén a feltételből y() = millió, másrészt a képletből y() = c e = c, azaz c = millió. Így y(4) = 43, 43 millió. () Egy radioaktív izotóp bomlási sebessége egyenesen arányos a meglévő tömeggel: y = λy, ahol λ > az ún. bomlási állandó. (A mínusz előjel miatt y <, így az y tömeg csökken.) Pl. a rádium bomlási állandója λ =, 44. Mennyi a rádium y tömege az x idő és az y kezdeti tömeg függvényében? Oldjuk meg a KDE-t! A modell miatt y >, ekkor: dy dx =, 44 y dy y =, 44 dx integrálva: ln y =, 44 x + c, ahol c R tetsz. y = e c e,44 x = c e,44 x, azaz y(x) = c e,44 x (c > tetsz.) Itt c most is megkapható a kezdeti értékből: y := y() = c e = c, így y(x) = y e,44 x. Az y = ay + b egyenlet (a, b R állandók). g cukrot vízbe szórunk, mekkora a feloldódott cukor y mennyisége az idő függvényében, ha az arányossági tényező, 3? (Lásd /b példa.) Az egyenlet: y =, 3 ( y). A modell miatt y < ; ekkor: dy dx =, 3 ( y) dy y =, 3 dx integrálva: ln( y) =, 3 x + c, ahol c R tetsz. y = e c e,3 x = c e,3 x, azaz y(x) = c e,3 x (c > tetsz.) Itt c megkapható a kezdeti értékből, amikor még gramm oldódott fel: = y() = c e = c, így y(x) = e,3 x = ( e,3 x ). 3
31 Az y = ay + by + d egyenlet (a, b, d R állandók). Mekkora a szabadon eső test sebessége, ha figyelembe vesszük a légellenállást? Mozgásegyenlet: ma = mg kv, ahol m, g, k > (rendre: a test tömege, a nehézségi gyorsulás és a légellenállási együttható). Jelölje t az időt, ekkor v = v(t) és a = v (t). A v-re kapott KDE: mv = mg kv. Osztva m-mel és átírva dt-vel: dv dt = g k m v. Most nem oszthatunk rögtön a jobb oldallal, mert nincs adott előjelfeltétel.. lépés: v(t) v konstans megoldás, ha = g k m v, hisz ekkor a KDE mindkét oldala. Ebből v = mg, mert v. (Jelentése: a légellenállás kiegyenlíti a k gravitációt, így nem gyorsul a test.). lépés: ha v(t) v. Ekkor dv dt = k ( v mg ) k = m k m (v v dv ) v v = k m dt. Integrálunk: a bal oldal nevezője v-nek másodfokú polinomja a v és v valós gyökökkel, így a tanult képlet használható, amiből v ln v v = k t + c (c R tetsz.) Ebből kell kifejeznünk v-t. v + v m v v = e vk m t+c = c e vk m t (c > tetsz.) v + v Itt v + v >, és legyen először v < v, ekkor v v v + v = c e vk m t. A nevezővel szorozva ez lineáris egyenlet, megoldása: v = v c e vk m t + c e. vk m t A másik eset (ha v > v) hasonló, akkor fönt lesz + és lent. Észrevétel: ha t +, akkor az exp. tagok -hoz tartanak, így a határsebesség v. 3
32 Házi feladatok.. y = Ky alakú egyenletek. (i) Egy élesztőgomba-tenyészetben az aktív fermentum mennyisége a pillanatnyi mennyiséggel arányosan növekszik. Adjuk meg az aktív fermentum y mennyiségét az x idő és az y kezdeti mennyiség függvényében, ha az arányossági tényező K =, 4! (ii) A C-4 izotóp bomlási sebessége egyenesen arányos a meglévő tömeggel, a bomlási állandó λ =, 45. Az időt években mérjük. Ha egy kőzetben az izotóp kezdeti tömege g, mekkora lesz a tömege 5568 év múlva?. y = ay + b alakú egyenletek (i) Egy szellőztető berendezés működése során a teremben lévő CO mennyisége egyenes arányban csökken azzal, amennyire a pillanatnyi CO -mennyiség eltér a bekevert friss levegőben lévőtől. Ezt az y = K(y m) egyenlet írja le, ahol K, m > állandók és y a CO mennyisége. Egy adott terem esetén K =, és m =, 45, valamint a kezdeti CO mennyisége,8 m 3. Adjuk meg a CO mennyiségét az idő függvényében! (ii) Egy test lehűlési sebessége egyenesen arányos a test és környezete hőmérsékletének különbségével, azaz T (t) = K (T k T (t)), ahol K > és T k > állandók. (Itt T (t) és T k rendre a t időpontbeli és a külső állandó hőmérséklet, az időt percekben mérjük). Ha egy kenyér kezdetben C-os, a levegő T k = 3 C-os és K =, 366, mekkora lesz a kenyér hőmérséklete 6 perc múlva? 3. y = ay + by + d alakú egyenletek (i) Ha a baktériumok szaporodását az élőhely M > eltartóképessége korlátozza, akkor a szaporodás sebessége nemcsak az egyedszámmal, hanem az M-től való eltéréssel is arányos: y = Ky(M y), ahol K > is állandó. Adjuk meg mindazon megoldásokat, amikor y M. (ii) Két vegyület kémiai reakciójának sebessége arányos a reakcióba lépő koncentrációkkal, azaz, ha a kezdeti koncentrációk a és b, akkor y = K(a y)(b y), ahol K > arányossági tényező. Legyen a = 3 és b = (százalékban), valamint K =, 5. Adjuk meg a létrejövő vegyület koncentrációját (azaz az y megoldást) a t idő függvényében, ha a kezdeti érték y() =! (Használjuk fel közben, hogy y <, hiszen a ritkább komponens kezdeti teljes koncentrációja.) 3
33 . Differenciálegyenletek/. I. Másodrendű lineáris KDE. ay (t) + by (t) + cy(t) =, ahol a, b, c R állandók, a.. Az általános megoldás Mindig a következő alakú: y = c y + c y (c, c R tetsz.) Az y és y a karakterisztikus egyenletből fog kijönni: (K) aλ + bλ + c = (másodfokú). 3 eset van: Ha (K)-nak két valós gyöke van, λ és λ : y(t) = c e λ t + c e λ t (c, c R tetsz.) Ha (K)-nak egy valós gyöke van, λ: y(t) = c e λt + c te λt (c, c R tetsz.) Ha (K)-nak két komplex gyöke van, α ± iβ: y(t) = c e αt cos βt + c e αt sin βt (c, c R tetsz.).. Fontos példa: harmonikus rezgőmozgás. Általános egyenlet: y (t) + ω y(t) =, ahol ω > adott állandó. Gyakori eredet (pl. rugó, inga): mozgásegyenlet, my (t) + Dy(t) =, ahol m, D > állandók, ezt m-mel osztva, ω := D m Az általános megoldás. mellett visszakapjuk az első egyenletet. (K) λ + ω =, gyökei: λ, = ± ω = ±iω = ± iω y(t) = c e t cos ωt + c e t sin ωt = c cos ωt + c sin ωt (c, c R) Megj.: behelyettesítéssel triviálisan látszik, hogy ez valóban megoldás. A megoldás más alakjai. (c, c ) R poláralakban: c = A cos ϕ, c = A sin ϕ y(t) = A cos ϕ cos ωt + A sin ϕ sin ωt = A cos(ωt ϕ ), azaz: y(t) = A cos(ωt ϕ ) (A, ϕ [, π) tetsz.) Ez periodikus rezgés, ω az ún. frekvencia. Az A amplitúdó és ϕ fáziseltolódás tetsz. lehet. (Megj.: cos helyett lehet sin is, más ϕ -lal.) 33
34 3. További példák. (i) y + y 6y =. (K) λ + λ 6 =, gyökei: λ = és λ = 3 (ii) y 4y + 4y =. y(t) = c e t + c e 3t (c, c R tetsz.) (K) λ 4λ + 4 =, gyöke: λ = (iii) y 6y + 3y =. y(t) = c e t + c te t (c, c R tetsz.) (K) λ 6λ + 3 =, gyökei: λ, = 3 ± 4 = 3 ± i y(t) = c e 3t cos t + c e 3t sin t (c, c R tetsz.). Más alakban: y(t) = e 3t (c cos t + c sin t) = A e 3t cos(t ϕ ) (A, ϕ [, π) tetsz.) (iv) y + 4y =. (K) λ + 4 =, gyökei: λ, = ± 4 = ±i y(t) = c cos t + c sin t (c, c R tetsz.). Más alakban: y(t) = A cos(t ϕ ) (A, ϕ [, π) tetsz.) (v) y 4y =. (K) λ 4 =, gyökei: λ, = ± y(t) = c e t + c e t (c, c R tetsz.). 4. Egyes megoldások előállítása. Kezdeti feltételből. Most a c, c konkrét értékeihez két kezdeti feltétel kell, így a kezdeti deriváltat is előírjuk: y(t ) = y, y (t ) = v. Példa. Egy harmonikus rezgés frekvenciája ω =, a kezdeti kitérés, sebesség 6 (SI-ben). Hogyan alakul a kitérés? Az egyenlet és feltételek: y + 4y =, y() =, y () = 6. Általános megoldás (előző (iv) feladat): y(t) = c cos t + c sin t. Kell a deriváltja is: y (t) = c sin t + c cos t. kezdeti feltételek: = y() = c cos + c sin = c 6 = y () = c sin + c cos = c c =, c = 3 y(t) = 3 sin t. 34
35 II. Elsőrendű lineáris KDE-rendszer. (i) Példa rendszerre: x = x + y y = x + 3y. Mátrixszal: x y = 3 x y =: A x y. (ii) Megoldási módszer: ha az A mátrixnak vannak λ λ valós sajátértékei, ill. u R és v R a λ ill. λ -höz tartozó sajátvektorok, akkor x(t) y(t) (iii) A példa megoldása. = c e λ t u + c e λ t v (c, c R tetsz.) Sajátértékek: det(a λi) = λ 5λ + 4 = λ = 4 és λ = u + u = 4u Sajátvektorok: λ = 4 esetén Au = 4u u + 3u = 4u, Ebből x(t) y(t) = c e 4t ( λ = esetén Av = v ) +c e t ( ) = egy megoldása v + v = v v + 3v = v, egy megoldása ( c e 4t + c e t c e 4t c e t ) ( ) ( ; ) (c, c R tetsz.). 35
36 Házi feladatok.. Adjuk meg az alábbi KDE-k általános megoldását! Ha ez tartalmaz sin- ill. cosfüggvényt, akkor mindkét tanult alakban (c és c, ill. A és ϕ konstansokkal is) írjuk fel! (a) y + 6y 8y =. (b) y + y 6 (c) 4y + 9y =. (d) y y + 7y =.. Rezgőkörök. RLC-áramkörökben az áramerősséget a t idő függvényében az I(t) függvény írja le. Ha nincs külső gerjesztés, akkor erre az alábbi KDE áll fenn: L I (t) + R I (t) + I(t) =, C ahol L, R, C R állandók, éspedig L > a tekercs indukciós együtthatója, C > a kondenzátor kapacitása, ill. ha a körben van ellenállás is, akkor ez R > (ha nincs, akkor R = ). Adjuk meg az általános megoldást az alábbi esetekben! Ha ez tartalmaz sin- ill. cosfüggvényt, akkor mindkét tanult alakban (c és c, ill. A és ϕ konstansokkal is) írjuk fel! (a) Ha nincs ellenállás (azaz R = ), általános L, C mellett. Mekkora itt a rezgés ω frekvenciája? (b) Ha nincs ellenállás (azaz R = ), L = C =. (c) Ha L =, R = 3 és C =, 4. (d) Ha L =, R = és C =, 8. (e) Ha L =, R = 4, 5 és C =. 3. Adjuk meg az alábbi KDE-k megoldását a megadott kezdeti feltétel mellett! (a) y + 6y =, y() = 3, y () =. (b) Az.(a) feladat egyenlete, y() =, y () =. 4. Adjuk meg az alábbi KDE-rendszerek általános megoldását! (a) x = 3x 3y y = x 4y, (b) x = x + y y = 3x + 4y. 36
(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenMásodik zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
Részletesebben