Parciális integrálás

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Parciális integrálás"

Róbert Kozma
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 . PARCÁLS NTEGRÁLÁS... Példák Legyenek a f ( ),g( ),f'( ),g'( ) függények folyamatosak az [ a,b] interallmban. Ebből f dg f g' d f g g f' d agy () d d, ahol f, d g' d az integrálandó függény részei. Az () képlet ilyen integrálokra onatkozik: P n e d, P n sinkd, ) k ahol n P n cos kd, P az n alapú polinom-ja, és k állandó. Az ilyen tipsú integrálok megoldása magába foglalja: a) az áltozónak polinom-nak kell lennie, pl. P n ( ) ; b) az () képlet n alkalommal aló felhasználását. ) P n lnd, P n arcsind, P n P n arctgd, P n arcctgd, arccos d, ahol Pn ( ) az n alapú polinom-ja. A megoldás magába foglalja: a) f P ; b) az () képlet felhasználását. a 3) e cosbd, n a e sinbd ahol a,b bármely állandó. A megoldás magába foglalja: a) c osb agy sinb; b) az () képlet alkalommal aló felhasználását.

Az ilyen tipsú integrálok megoldása magába foglalja: a) az áltozónak polinom-nak kell lennie, pl. P n ( ) ; b) az () képlet n alkalommal aló felhasználását.

2 Maple parancsok. Az alábbi alprogram használatáal könnyű megérteni az integrálok megoldásának folyamatát >with(stdent): a parancs >intparts(a,)); ahol А az integrál >A:nt(f,); és az függényt az ) 3) szabályok határozzák meg. Szintén hasznos lehet a simplify parancs használata az egyszerűbb égeredmény érdekében. Példa. Számoljk ki a köetkező integrált ( 6 3) sind. 6 3 d 6d sind d cos d cos ( 6 3) cos cos d( 6 3) ( 6 3) cos cos. 6d cos + sin + C. Megoldás a Maple segitségéel. >[]:int((6*-3)*sin(*),); 3 3 : sin 3cos + cos >with(stdent):

integrál >A:nt(f,); és az függényt az ) 3) szabályok határozzák meg.

3 >A:nt((6*-3)*sin(*),); A : 6 3 sin d >J:simplify(intparts(A,6*-3)); 6 3 J : cos + 3 cos d A J 3 co s d integral megoldása, mint általában: >J[]:int(3*cos(*),); 3 J : sin A megoldás: 6 3 cos + J cos + sin + C. Példa. Számoljk ki a köetkező integrált ( + ) cosd. ( + ) d ( sin ) ( + ) sin sin d ( + ) ( + ) sin sin d ( + ) sin + cos + C. >with(stdent): >A:nt((+)*cos(),); A : + cos d >J:simplify(intparts(A,+)); J : + sin sin d >J[]:int(sin(),); J : cos A megoldás: + sin J + sin+ cos+c. Megoldás a Maple segitségéel (ellenőrzés). 3

Számoljk ki a köetkező integrált ( + ) cosd. ( + ) d ( sin ) ( + ) sin sin d ( + ) ( + ) sin sin d ( + ) sin + cos + C.

4 >A:int((+)*cos(),); Példa. Számoljk ki a köetkező integrált 3 sind d d d sin d cos 3 { 3 sind { d( cos) 443 d cos + cos d cos + cos. d d d d cos d sin 3 cos+ { d( sin) 3 cos+ sin sind cos+ sin+ cos+ C. >with(stdent): >A:nt(^*sin(),): >J:simplify(intparts(A,^)); J : cos + cos d >B:*nt(cos()*,): >J[]:simplify(intparts(B,)); J : sin sin d >J[]:int(*sin(),): J : cos A megoldás: cos+ sin+ cos+ C Példa. Számoljk ki a köetkező integrált 4

d d d d cos d sin 3 cos+ { d( sin) 3 cos+ sin sind cos+ sin+ cos+ C.

5 4. e cosd e d e d d co s d sin { { 4 e cosd 443 e d sin 3 d e sin sin d e e sin + sin {{ e d e d e d d sin d co s e sin+ e d cos { \ e sin e cos + co s de e sin e cos 4 e sind e sin e cos 4 e ( sin cos) C 5 +. >with(stdent): >A:nt(ep(-*)*cos(),): >J:simplify(intparts(A,ep(-*))); ( ) ( ) J : e sin + e sin d Ebből ( ) J : e sin + J. J számitása: >B:*nt(ep(-*)*sin(),): >J[]:simplify(intparts(B,ep(-*))); 5

6 ( ) ( ) J : e cos 4 e sin d Eképpen, ( ) ( ) J : e sin e cos 4J. Ebből köetkezik, hogy ( J: e ) ( sin cos) + C. 5 Megoldás a Maple segitségéel (ellenőrzés). >J:int(ep(-*)*cos(),); Példa. Számoljk ki a köetkező integrált 5 d + a. Megjegyzés. Ennek ez integrálnak a nee , miel diák bkott meg a matematika izsgáján emiatt az integral miatt. d d d d d ( a ) ( a ) + + ( + a ) ( + a ) { d ( + a ) d + + ( a ) ( a ) 6

>J:int(ep(-*)*cos(),); Példa. Számoljk ki a köetkező integrált 5 d + a. Megjegyzés.

7 ( + a ) + arctg + C a a >with(stdent): >A:nt(ep(-*)*cos(),): >J:simplify(intparts(A,ep(-*)));???... Gyakorlás ) Számoljk ki a köetkező integrálokat 6 arctg d, 7 ln( 4 + )d, ed, e sin d, 0 sinlnd. 6 matematikai megoldása. arctg d d d + ( ) d d 6.arctg d d arctg arctg + C 7

8 6 megoldása Maple segitségéel. >[6]:int(arctan(sqrt(*-)),); 6 : arctg + arctg ( ) ( ) ( ) Megoldás a Maple segitségéel. >[7]:int(ln(4*^+),); 7 : ln arctan >[8]:int(^*ep(),); 8 : e e + e >[9]:int(ep(3*)*sin(*),); ( 3) 3 ( 3) 9 : e cos + e sin 3 3 >[0]:int(sin(ln()),); 0 : cos( ln ) + sin( ln ) ) Számoljk ki a köetkező integrálokat sind, lnd, 3 5 e d, 4 5 e, 3 d 5 e sin cos d, arctg d, 6 7.arctg d, + arctg d, + 8 8

>[7]:int(ln(4*^+),); 7 : ln 4 + + arctan >[8]:int(^*ep(),); 8 : e e + e >[9]:int(ep(3*)*sin(*),); ( 3) 3

9 arcsin 9 d, 4 3 e sind, 0 ln + d, ln( + ) d..3. Gyakorló teszt Számoljk ki a köetkező integrálokat arctg d, 3 4, e cosd 5 ln d, ln d Gyakorló kérdések ) Magyarázza el a lényegét. ) Hogyan tdná meghatározni az függényt a Parciális integráláshoz? 3) Magyarázza meg a köetkező Maple parancsok jelentését: with(stdent): A:nt(f,); intparts(a,)); simplify 9

Gyakorló teszt Számoljk ki a köetkező integrálokat arctg d, 3 4, e cosd 5 ln d, ln d. 6 3.

Hasonló dokumentumok

Integrálás helyettesítéssel

Integrálás helyettesítéssel NTEGRÁLÁS HELYETTESÍTÉSSEL ntegrálás helyettesítéssel az alapötlet Az integrálszámitás egyik leghatékonyabb módszere a helyettesítéses módszer Több hasznos helyettesítés létezik, amit integrálok kiszámitására