Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34
|
|
- Lilla Balázsné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Valószín½uségszámítás és matematikai statisztika Mihálykóné Orbán Éva Matematika Tanszék MOE (PE MIK) MMAM143VB 1 / 34
2 Valószín½uségi változók számérték½u jellemz½oi 1 várható érték 2 szórásnégyzet/szórás 3 módusz 4 medián 5 kovariancia, korrelációs együttható MOE (PE MIK) MMAM143VB 2 / 34
3 A várható érték de níciója De níció Legyen ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó, ξ : ξ várható értékén az E (ξ) = x i p i i=1 x1 x 2 x 3.. p 1 p 2 p 3.. összeget értjük, amennyiben a jx i j p i végtelen sor konvergens. i=1 MOE (PE MIK) MMAM143VB 3 / 34
4 A várható érték de níciója ξ : x1 x 2 x 3, E (ξ) = x p 1 p 2 p 3 i p i i=1 Megjegyzés Véges sok lehetséges érték esetén a várható érték egy véges tagszámú összeg, amelynek végessége automatikusan biztosított. jx i j p i végessége miatt x i p i = E (ξ) véges. i=1 i=1 E (ξ) helyett M(ξ) jelölés is használatos. MOE (PE MIK) MMAM143VB 4 / 34
5 A várható érték de níciója De níció Legyen ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel. ξ várható értékén az Z E (ξ) = x f (x)dx improprius integrált értjük, amennyiben a integrál konvergens. Z jxj f (x)dx improprius Megjegyzés Z jxj f (x) dx végessége miatt E (ξ) is véges. MOE (PE MIK) MMAM143VB 5 / 34
6 A várható érték tulajdonságai i) Legyenek ξ, η v.v.-k, a, b, c 2 R 1 Ha ξ és η azonos eloszlásúak, akkor a várható értékük is megegyezik. 2 Ha 0 ξ, akkor 0 E (ξ) 3 E (ξ + η) = E (ξ) + E (η) 4 E (c ξ) = c E (ξ) Következmények: 5 Ha ξ = c 1 valószín½uséggel, akkor E (ξ) = c 6 E (a ξ + b) = a E (ξ) + b 7 Ha a ξ b, akkor a E (ξ) b 8 Ha ξ η, akkor E (ξ) E (η) MOE (PE MIK) MMAM143VB 6 / 34
7 A várható érték tulajdonságai ii) 9 Ha ξ 1, ξ 2,..., ξ n azonos eloszlású valószín½uségi változók, E (ξ 1 ) =... E (ξ n ) = m, akkor E! n ξ i = n m, i=1 10 továbbá 0 E n i=1 n ξ i 1 C A = m. 11 Ha ξ és η v.v.-k függetlenek, akkor E (ξ η) = E (ξ) E (η). MOE (PE MIK) MMAM143VB 7 / 34
8 A várható érték tulajdonságai iii) x1 x 12 Ha ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó, ξ : 2 x 3, p 1 p 2 p 3 g : R! R függvény, amire g(ξ) értelmes, akkor E (g(ξ)) = g(x i ) p i i=1 feltéve, hogy i=1 jg(x i )j p i konvergens. Speciálisan, g(x) = x 2 esetén E (ξ 2 ) = xi 2 p i i=1 MOE (PE MIK) MMAM143VB 8 / 34
9 A várható érték tulajdonságai iv) 13 Ha ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel, g : R! R függvény, amire g(ξ) értelmes, akkor E (g(ξ)) = Z g(x) f (x)dx R feltéve, hogy Speciálisan, g(x) = x 2 esetén jg(x)j f (x)dx integrál konvergens. E (ξ 2 ) = Z x 2 f (x)dx MOE (PE MIK) MMAM143VB 9 / 34
10 A várható érték tulajdonságai v) Állítás Ha E (ξ 2 ) létezik, akkor E (ξ) is létezik. Bizonyítás (folytonos eloszlású v.v. esetén) E (ξ) = R xf (x)dx, lézetéséhez kell: R jxj f (x)dx végessége R jxj f (x)dx = R 1 jxj f (x)dx + R 1 1 jxj f (x)dx + R 1 jxj f (x)dx R 1 x 2 f (x)dx + R 11 f (x)dx + R 1 x 2 f (x)dx 1 + R x 2 f (x)dx = 1 + E (ξ 2 ) Állítás Ha E (ξ 2 ) létezik, akkor E ((ξ c) 2 ) akkor minimális, ha c = E (ξ). Bizonyítás E ((ξ c) 2 ) = E (ξ 2 ) 2cE (ξ) + c 2, ez c másodfokú függvénye, akkor minimális, ha 2E (ξ) = 2c, azaz c=e (ξ). MOE (PE MIK) MMAM143VB 10 / 34
11 A szórásnégyzet, szórás de níciója ξ valószín½uségi változó. De níció ξ szórásnégyzetén a D 2 (ξ) = E (ξ E (ξ)) 2 számot értjük, amennyiben ez a várható érték létezik, tehát véges. De níció ξ szórásán a D(ξ) = p r D 2 (ξ) = E (ξ E (ξ)) 2 számot értjük. Megjegyzés (ξ E (ξ)) 2 nemnegatív, ezért a várható értéke is az, vagyis a gyökvonás elvégezhet½o. MOE (PE MIK) MMAM143VB 11 / 34
12 A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai i) 1 Ha két valószín½uségi változó eloszlása megegyezik, akkor a szórásnégyzetük és szórásuk is megegyezik. q 2 D 2 (ξ) = E (ξ 2 ) (E (ξ)) 2, D(ξ) = E (ξ 2 ) (E (ξ)) 2 E (ξ 2 ) számolási módját megadtuk a várható érték tulajdonságai között. 3 Ha ξ = c 1 valószín½uséggel, akkor D 2 (ξ) = 0 = D(ξ). 4 Ha D 2 (ξ) = 0 = D(ξ), akkor P(ξ = c) = 1. 5 D 2 (a ξ + b) = a 2 D 2 (ξ), D(a ξ + b) = jaj D(ξ) MOE (PE MIK) MMAM143VB 12 / 34
13 A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai ii) 6 Ha ξ és η függetlenek, akkor Figyelem! D 2 (ξ + η) = D 2 (ξ) + D 2 (η). D(ξ + η)6=d(ξ) + D(η)! 7 Ha ξ 1, ξ 2,..., ξ n független, azonos eloszlású valószín½uségi változók, közös szórásnégyzetük D 2 (ξ 1 ) =... = D 2 (ξ n ) = σ 2 akkor D 2 n i=1 ξ i = n D 2 (ξ 1 ) = n σ 2, továbbá D n i=1 ξ i = p n D(ξ 1 ) = p n σ MOE (PE MIK) MMAM143VB 13 / 34
14 A szórásnégyzet, szórás tulajdonságai iii) 8 Ha ξ 1, ξ 2,..., ξ n független azonos eloszlású valószín½uségi változók, D(ξ 1 ) =... = D(ξ n ) = σ, akkor D 2 n i=1 ξ i n = σ2 n, továbbá D n i=1 ξ i n = p σ n MOE (PE MIK) MMAM143VB 14 / 34
15 Módusz De níció Legyen ξ diszkrét eloszlású valószín½uségi változó. ξ móduszán azt a lehetséges értékét értjük, amihez tartozó valószín½uség maximális a lehetséges értékekhez tartozó valószín½uségek között, azaz x1 x ξ : 2 x 3 jelöléssel ξ módusza x p 1 p 2 p 3 i, ha p i p j minden j = 1, 2,... esetén. Megjegyzés ξ módusza nem feltétlenül egyértelm½u (többes módusz, multimodális eloszlás). Megjegyzés Egy valószín½uségi változó felveszi a móduszát. MOE (PE MIK) MMAM143VB 15 / 34
16 Módusz De níció Legyen ξ folytonos eloszlású valószín½uségi változó f s½ur½uségfüggvénnyel. ξ móduszán f lokális maximumhelyeit értjük. Megjegyzés ξ módusza nem feltétlenül egyértelm½u (multimodális eloszlás). MOE (PE MIK) MMAM143VB 16 / 34
17 Módusz példa f (x) = 1 7 e x + x 3 e x ha x 0 0 különben módusz: 0, y x MOE (PE MIK) MMAM143VB 17 / 34
18 Medián i) De níció Legyen ξ v.v. ξ mediánján azt az x értéket értjük, amire P(ξ x) 0.5, és P(ξ x) 0.5 Állítás A folytonos eloszlású ξ mediánja az x érték, ha F (x) = 0.5. Bizonyítás P(ξ x) = P(ξ < x) = F (x) 0.5, P(ξ x) = 1 F (x) 0.5, 0.5 F (x) ) F (x) = 0.5. MOE (PE MIK) MMAM143VB 18 / 34
19 Medián példa ( F (x) = x 2 1 x 2 +1 ha 1 x 0 különben medián: 1.73 F(x) x F (x) = x 2 1 x = 0.5, x 2 = 3, x = p 3 = 1.73 MOE (PE MIK) MMAM143VB 19 / 34
20 Medián ii) Állítás Ha ξ diszkrét eloszlású és F (x) 6= 0.5, akkor ξ mediánja az az x érték, amelynél F átugorja a 0.5 szintet. Bizonyítás P(ξ x) 0.5 ) F (x) 0.5, P(ξ x) = F (x) + P(ξ = x) = lim F (u) 0.5 u!x + MOE (PE MIK) MMAM143VB 20 / 34
21 Medián példa 8 0 ha x 2 >< 1/3 ha 2 < x 1 F (x) = 2/3 ha 1 < x 5 >: 1 ha 5 < x ξ : /3 1/3 1/3 medián: 1 F(x) x MOE (PE MIK) MMAM143VB 21 / 34
22 Medián Állítás Ha ξ eloszlásfüggvénye F (x) = 0.5 a < x b esetén, akkor ξ mediánja az (a, b] intervallum minden pontja. Hagyományosan a + b -t szokták 2 alkalmazni a statisztikai számolásokhoz. MOE (PE MIK) MMAM143VB 22 / 34
23 Medián 8 < 0 ha x 2 F (x) = 1/2 ha 2 < x 5 : 1 ha 5 < x ξ : medián: 1/2 1/2 2 = 1.5 F(x) x MOE (PE MIK) MMAM143VB 23 / 34
24 Kovariancia Legyen ξ, η v.v (egydimenziósak) E (ξ), E (η) léteznek De níció ξ és η kovarianciáján a cov(ξ, η) = E ((ξ E (ξ)) (η E (η))) várható értéket értjük, ha létezik. Megjegyzés cov(ξ, η) = cov(η, ξ) Megjegyzés cov(ξ, ξ) = E ((ξ E (ξ)) (ξ E (ξ))) =D 2 (ξ) MOE (PE MIK) MMAM143VB 24 / 34
25 Kovariancia tulajdonságai 1 cov(ξ, η) = cov(ξ E (ξ), η E (η)) 2 cov(cξ + a, dη + b) = cdcov(ξ, η) 3 cov(cξ + a, cξ + a) = c 2 D 2 (ξ) 4 Ha ξ = const, akkor cov(ξ, η) = 0. 5 cov(ξ, η) = E (ξ η) E (ξ) E (η)) mivel cov(ξ, η) = E ((ξ E (ξ)) (η E (η))) = E (ξ η ξ E (η) E (ξ) η) + E (ξ)e (η)) 6 Ha E(ξ) = 0, akkor cov(ξ, η) = E (ξ η) 7 Ha ξ és η függetlenek, akkor cov(ξ, η) = 0. MOE (PE MIK) MMAM143VB 25 / 34
26 Feltétel a kovariancia létezésére Állítás Ha E (ξ 2 ) és E (η 2 ) létezik, akkor cov(ξ, η) is létezik és jcov(ξ, η)j D(ξ) D(η).Egyenl½oség akkor és csak akkor áll fenn, ha ξ = aη + b vagy η = cξ + d. Bizonyítás ξ = q ξ E (ξ), η = η E (η),belátjuk, hogy je (ξ η )j E (ξ 2 ) E (η 2 ) Tekintsük az 0 E ((ξ λη ) 2 ) = E (ξ 2 ) 2λE (ξ η ) + λ 2 E (η 2 ) Ha E (η 2 ) > 0, akkor ez λ másodfokú függvénye, nemnegativitás miatt diszkrimináns nem lehet pozitív. q E (ξ 2 ) E (η 2 ). 4(E (ξ η )) 2 4E (ξ 2 ) E (η 2 ) 0! je (ξ η )j egyenl½oség akkor áll fenn, ha a diszkrimináns 0, azaz E ((ξ λη ) 2 ) = 0, azaz ξ λη = 0 (1 valószín½uséggel) Ha E (η 2 ) = 0, akkor η 2 = 0, azaz η = E (η) azaz η = 0 ξ + E (ξ) MOE (PE MIK) MMAM143VB 26 / 34
27 Kovariancia tulajdonságai iii) Állítás Ha ξ, η amikre cov (ξ, η) =0 ; ξés η függetlenek. Bizonyítás Példát mutatunk, amikor cov (ξ, η) =0, de ξés η NEM függetlenek. Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)=0.5 ha -1 x 1,egyébként 0, η = ξ 2. Ekkor ξ és η nem függetlenek, mert P(ξ < 0.5, η < 0.25) = P([ 0.5, 0.5)) = 0.5 6=P(ξ < 0.5) P(η < 0.25) = cov(ξ, η) = E (ξη) E (ξ)e (η). E (ξη) = E (ξ 3 ) = R 11 x dx = 0. E (ξ) = 0, E (ξ)e (η) = 0, cov(ξ, η) = 0. Állítás D 2 (ξ + η) = D 2 (ξ) + D 2 (η) + 2cov(ξ, η) MOE (PE MIK) MMAM143VB 27 / 34
28 Állítás MOE (PE MIK) MMAM143VB 28 / 34 Korrelációs együttható De níció ξ, η v.v (egydimenziósak) D(ξ), D(η) véges, D(ξ) 6= 0, D(η) 6= 0.ξ, η korrelációs együtthatóján a r(ξ, η) = hányadost értjük. Megjegyzés cov (ξ,η) D (ξ)d (η) Ha D(ξ) = 0, akkor ξ = E (ξ) 1 valószín½uséggel, cov(ξ, η) = 0, r(ξ, η) = 0 megállapodás szerint. Állítás jr(ξ, η)j 1, egyenl½oség pontosan akkor, ha lineáris kapcsolat áll fenn a kett½o v.v között. Állítás Ha ξ, η függetlenek, akkor r(ξ, η) = 0.
29 Feladat 1 Elgurítunk egy szabályos kockát. Legyen ξ a gurítás értéke. Adja meg ξ várható értékét és szórását! 2 Kétszer elgurítunk egy szabályos kockát.legyen ξ a két gurítás összege. Adja meg ξ várható értékét és szórását! 3 Tízszer elgurítunk egy szabályos kockát.legyen ξ a tíz gurítás összege. Adja meg ξ várható értékét és szórását! MOE (PE MIK) MMAM143VB 29 / 34
30 Feladat 4 Egységnyi id½o alatt egy gépre érkez½o vírusos le-ok száma olyan ξ valószín½uségi változó, amelynek lehetséges értékei 0,1 2, valamint várható értéke 2 3, szórása p Adja meg ξ eloszlását! 2 Ha az egyes id½oegységek alatt érkez½o le-ok száma független val. változók, akkor adja meg 2 id½oegység alatt összesen érkez½o vírusos le-ok számának eloszlását! 3 Ha az egyes id½oegységek alatt érkez½o le-ok száma független val. változók,akkor adja meg 15 id½oegység alatt összesen érkez½o vírusos le-ok számának várható értékét és szórását! 4 Hány id½oegység alatt érkez½o vírusos le-ok számának várható értéke 40? 5 Hány id½oegység alatt érkez½o vírusos le-ok számának szórása 20? MOE (PE MIK) MMAM143VB 30 / 34
31 Feladat 5 c ha 1 x 10 Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 0 különben 1 Számolja ki 1 ξ várható értékét és szórását! 2 Számolja ki sin ξ várható értékét és szórását! 3 Számolja ki exp ξ várható értékét és szórását! 4 Számolja ki lnξ várható értékét! MOE (PE MIK) MMAM143VB 31 / 34
32 Feladatok Diszkrét-folytonos kapcsolat 6 Egy gép javítási ideje olyan valószín½uségi változó, amelynek 3 s½ur½uségfüggvénye f(x)= 32 x(4 x) ha 0 x 4 0 különben 1 Mennyi a gép javíási idejének várható értéke és szórása? 2 Mennyi a valószín½usége, hogy a javítási id½o 1 óra és 2 óra közé esik? 3 Ha minden megkezdett órát teljesen ki zettetnek, akkor mennyi a valószín½usége, hogy legalább 3 órát ki kell zetni? 4 Ha minden megkezdett órát teljesen ki zettetnek, akkor mennyi a ki zettetett órák számának vártható értéke és szórása? 5 Hogyan járunk jobban, ha folytonos alapon számláztatunk Ft-os rezsióradíjjal vagy teljes óra alapon 9000 Ft rezsióradíjjal? MOE (PE MIK) MMAM143VB 32 / 34
33 Feladatok 3 7 Egy ξ v.v s½ur½uségfüggvénye f(x)= 32 x(4 x) ha 0 x 4 0 különben 1 Számolja ki 1 ξ+1 várható értékét! 2 Számolja ki exp(-ξ ) várható értékét! 3 Számolja ki ln(ξ + 10 ) várható értékét! MOE (PE MIK) MMAM143VB 33 / 34
34 Feladatok 8 1 ha 0 x 1 Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 0 különben Határozza meg cov(ξ, η) és r(ξ, η) értékét! 9 exp( Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= Határozza meg cov(ξ, η) értékét! 1 x x) ha 0 x 0 különben ha e x e2 10 Legyen ξ s½ur½uségfüggvénye f(x)= 0 különben Határozza meg cov(ξ, η) és r(ξ, η) értékét!., η = ξ 2., η = ξ 2, η = ξ 2 MOE (PE MIK) MMAM143VB 34 / 34
Tómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR
védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
Részletesebbenmatematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
Részletesebben10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
RészletesebbenDefine Measure Analyze Improve Control. F(x), M(ξ),
5.5.5. Six Sigma Minőségmenedzsment Statisztikai folyamatszabályozási (SPC) rendszer Erdei János Egy fegyelmezett és erősen mennyiségi szemléletű folyamatfejlesztési megközelítés, amely a gyártási, szolgáltatási
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 6. heti eladshoz
Feladatok és megoldások a 6. heti eladshoz Építőkari Matematika A3 1. Ha E(X = 1 és D 2 (X = 5, határozzuk meg (a E[(2 + X 2 ], (b D 2 (4 + 3X értékét. 2. Legyenek X 1, X 2,... független azonos eloszlású
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Általánosított függvények Disztribúciók. 12-13. el adás. 2012. május 9.-16. Lineáris funkcionál
Funkcionálanalízis 12-13. el adás 212. május 9.-16. Általánosított függvények Disztribúciók Lineáris funkcionál Legyen C () az függvénytér, amely a végtelen sokszor dierenciálható, kompakt tartójú függvényeket
Részletesebben11. Matematikai statisztika
11. Matematikai statisztika 11.1. Alapfogalmak A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kisérlet eredménye. Ez véges sok, azonos eloszlású valószínűségi változó
RészletesebbenStatisztikai alapismeretek (folytatás)
Statisztikai alapismeretek (folytatás) 3. elıadás (5-6. lecke) Az alapsokaság fıbb jellemzıi () 5. lecke Folytonos változó megoszlásának jellemzése A sokasági átlag és szórás Átlag és szórás tulajdonságai
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenÁttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
Részletesebben5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.
1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)
RészletesebbenFELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE
FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES TÉTELE 1. Egy alkalmassági vizsgálat adatai szerint a vizsgált személyeken 0,05 valószínűséggel mozgásszervi és 0,03 valószínűséggel érzékszervi
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Részletesebben1. A MÉRNÖKI TERVEZÉS ELMÉLETE
MA_1 1. A MÉRNÖKI TERVEZÉS ELMÉLETE Minden mérnöki tervezéshez elméleti ismeretek szükségesek, amelyek nemcsak műszaki részletismereteket ölelnek fel, hanem tágabb körű tudást is tartalmazniuk kell. A
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenMINİSÉGSZABÁLYOZÁS. Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia
MINİSÉGSZABÁLYOZÁS A GÉPIPARBAN Dr. Drégelyi-Kiss Ágota e-mail: dregelyi.agota@bgk.uni-obuda.hu http://uni-obuda.hu/users/dregelyia ISO 9000:2008 A STATISZTIKAI MÓDSZEREK HASZNÁLATÁRÓL A statisztikai módszerek
RészletesebbenKVANTITATÍV MÓDSZEREK
KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6 Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség...
Részletesebben1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és
Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,
RészletesebbenMATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
RészletesebbenII. A következtetési statisztika alapfogalmai
II. A következtetési statisztika alapfogalmai Tartalom Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai
RészletesebbenA lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
RészletesebbenÖsszefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára
Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok
Részletesebbenő ő ő ő ű Ó ő ő ű ű ő ő Ó ő ő ő ő ő ő ű ő ő ű ű ő ő ű Ó ő ő ő Ó ő ű ő ő ő ű ű ű ő ő ő ő ő ő ő Ó ő ő ő ű ő ő ő ő ő ű ő ő Ó ő ő ű ő ő ő ő ő ő ő ű ű ő ő ő ű ű ő ű ő ő Ó Ó ő Ó Ó ő Ó ű ő ő ő ő ő ű ő ű ű ű ű
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
RészletesebbenÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ
Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás, 5000 Szolnok, Tiszaligeti sétány ÚTMUTATÓ A MÓDSZERTANI SZIGORLAT LETÉTELÉHEZ A 4/1996. (I. 18.) Korm. rendelet a közgazdasági felsőoktatás alapképzési szakjainak képesítési
RészletesebbenKockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
RészletesebbenBemenet modellezése II.
Bemenet modellezése II. Vidács Attila 2005. november 3. Hálózati szimulációs technikák, 2005/11/3 1 Kiszolgálási id k modellezése Feladat: Egy bemeneti modell felállítása egy egy kiszolgálós sorbanállási
RészletesebbenNevezetes függvények
Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ
RészletesebbenSZAKDOLGOZAT. Takács László
SZAKDOLGOZAT Takács László 2012 SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar Geometria Tanszék Matematika Bsc_LAK SZAKDOLGOZAT Kísérlettervezés latin négyzetek felhasználásával Készítette:
RészletesebbenFerenczi Dóra. Sorbanállási problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok 1. házi feladat
Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenGAZDASÁGI STATISZTIKA
GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1 TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK
RészletesebbenSztochasztikus rákos folyamatok
Sztochasztikus rákos folyamatok A rákos sejtek szaporodásáról egyre többet tudunk, de nem eleget. A kóros betegségben szenvedők sejtjei szüntelenül harcban állnak egymással, mint azok az azonos fajhoz
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 6. MA3-6 modul. A statisztika alapfogalmai
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 6. MA3-6 modul A statisztika alapfogalmai SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999.
RészletesebbenStatisztika, próbák Mérési hiba
Statisztika, próbák Mérési hiba ÁTLAG SZÓRÁS KICSI, NAGY MIN, MAX LIN.ILL LOG.ILL MEREDEKSÉG METSZ T.PROBA TREND NÖV Statisztikai függvények Statisztikailag fontos értékek Számtani átlag: ŷ= i y i /n Medián:
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 113 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenMatematikai alapok. Dr. Iványi Péter
Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: 0 és 1 Byte: 8 bit 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 1 1
RészletesebbenEgy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
RészletesebbenFélévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
RészletesebbenFeladatok megoldással
Fladatok mgoldással. sztmbr 6.. Halmazrdszrk. Igazoljuk! A \ B A r (A r B) (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) Mgoldás. A r (A r B) A \ A \ B A \ A [ B A \ A [ (A \ B) A \ B (A [ B) r ((A r B) [ (B r A)) (A
Részletesebben1/8. Iskolai jelentés. 10.évfolyam matematika
1/8 2008 Iskolai jelentés 10.évfolyam matematika 2/8 Matematikai kompetenciaterület A fejlesztés célja A kidolgozásra kerülő programcsomagok az alább felsorolt készségek, képességek közül a számlálás,
RészletesebbenFourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában
Fourier-analízis alkalmazása a digitális holográfiában Diplomamunka Tóth Erzsébet Rita alkalmazott matematikus, matematika tanár szakos hallgató Témavezetők: Dr. Orzó László Róbert, tudományos főmunkatárs
Részletesebben1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba?
Matematikai statisztika példák Matematikai statisztika példák Normális eloszlás 1. A skót bakák mellkas körmérete N(88, 10). A skót bakák mekkora hányada fér bele egy 84-es zubbonyba? 2. Majmok ébredését
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben7. A Poisson folyamat
7. A Poisson folyamat 1. Egy boltba független exponenciális időközönként érkeznek vevők, óránként átlagosan tíz. Legyen N(t), t 0 a vevőket számláló folyamat. a. Igaz-e, hogy N(t) Poisson-folyamat? Mi
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben(Independence, dependence, random variables)
Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,
RészletesebbenMatematika példatár 4.
Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,
RészletesebbenStatisztikai programcsomagok
Statisztikai programcsomagok Sz cs Gábor Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Szeged, 2012. tavaszi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Itézet) Statisztikai programcsomagok 2012. tavaszi félév 1 / 26 Bevezetés
RészletesebbenJátékelmélet és pénzügyek
Játékelmélet és pénzügyek Czigány Gábor 2013. május 30. Eötvös Lóránd Tudományegyetem - Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási és pénzügyi matematika mesterszak Témavezet : Dr. Csóka Péter Tartalomjegyzék
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
Részletesebben6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG
6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 010/011-es tanév. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Egy sportversenyen
RészletesebbenVektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenTantárgyi útmutató. Gazdasági matematika II.
Módszertani Intézeti Tanszék Tantárgyi útmutató Gazdasági matematika II. Nappali Tagozat 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa: Gazdasági matematika
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenE B D C C DD E E g e 112 D 0 e B A B B A e D B25 B B K H K Fejhallgató Antenna A B P C D E 123 456 789 *0# Kijelzés g B A P D C E 0 9* # # g B B 52 Y t ] [ N O S T \ T H H G ? > < p B E E D 0 e B D
RészletesebbenBánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK?
Bánhalmi Árpád * Bakos Viktor ** MIÉRT BUKNAK MEG STATISZTIKÁBÓL A JÓ MATEKOSOK? A BGF KKFK Nemzetközi gazdálkodás és Kereskedelem és marketing szakjain a hallgatók tanrendjében statisztikai és matematikai
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 7. MA3-7 modul. Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 7. MA3-7 modul Helyzetmutatók, átlagok, kvantilisek SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenFelvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar
GI MEGOLDÁS pont(45) : Felvételi vizsga Mesterképzés, gazdaságinformatikus szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar 2015. június 3. MEGOLDÁSOK A dolgozat minden lapjára, a kerettel jelölt részre írja
RészletesebbenOktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.
Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
Részletesebbene s gyakorlati alkalmaza sai
Sze lso e rte k-sza mı ta s e s gyakorlati alkalmaza sai Szakdolgozat ı rta: Pallagi Dia na Matematika BSc szak, elemzo szakira ny Te mavezeto : Svantnerne Sebestye n Gabriella Tana rsege d Alkalmazott
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor. Miskolci Egyetem, 2002.
INFORMÁCIÓELMÉLET Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2002. i TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés 2. Az információmennyiség 6 3. Az I-divergencia 3 3. Információ és bizonytalanság
RészletesebbenTermészetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
RészletesebbenMatematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára
Német Nemzetiségi Gimnázium és Kollégium Budapest Helyi tanterv Matematika emelt szint a 11-12.évfolyam számára 1 Emelt szintű matematika 11 12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenMikroökonómia I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. 6. hét PREFERENCIÁK, HASZNOSSÁG 2. RÉSZ
MIKROÖKONÓMI I. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Mikroökonómia I. PREFERENCIÁK, HSZNOSSÁG 2. RÉSZ Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június tananyagot
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenStatisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák
Statisztikai módszerek gyakorlat - paraméteres próbák A tanult paraméteres próbák: PRÓBA NEVE Egymintás U próba Kétmintás U próba Egymintás T próba Welch próba (Kétmintás T próba) F próba Grubbs próba
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenBiostatisztika e-book Dr. Dinya Elek
TÁMOP-4../A/-/-0-005 Egészségügy Ügyvtelszervező Szakrány: Tartalomfejlesztés és Elektronkus Tananyagfejlesztés a BSc képzés keretében Bostatsztka e-book Dr. Dnya Elek Tartalomjegyzék. Bevezetés a mátrok
RészletesebbenKevei Péter. 2013. november 22.
Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Részletesebben1. (Sugár Szarvas fgy., 186. o. S13. feladat) Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került. = x = 6, y = 12. s y y = 1.8s x.
. Sugár Szarvas fgy., 86. o. S3. feladat Egy antikvárium könyvaukcióján árverésre került 9 könyv licitálási adatai alapján vizsgáljuk a könyvek kikiáltási és ún. leütési ára ezerft közötti sztochasztikus
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenMegoldások. 2001. augusztus 8.
Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt
RészletesebbenHipotézisvizsgálat. A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit,
II. Hipotézisvizsgálat Lényege: A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit, majd az állításunk helyességét vizsgáljuk. A hipotézisvizsgálat eszköze: a statisztikai próba Menete: 1.Hipotézisek matematikai
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Részletesebben