CALOGERO-RUIJSENAARS TÍPUSÚ INTEGRÁLHATÓ RENDSZEREK. I II III IV Elméleti Fizika Szeminárium Szeged, április 13.

Átírás

1 CALOGERO-RUIJSENAARS TÍPUSÚ INTEGRÁLHATÓ RENDSZEREK Görbe Tamás Ferenc Relativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum Nemrelativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum Elméleti Fizika Szeminárium Szeged, 07. április.

2 ω π/α α 0 α iα ω i Relativisztikus β 0 ➀ Nemrelativisztikus ➁ ➃ I II III IV ➂ I II III IV ➅ ➄ Klasszikus Klasszikus Kvantum 0 H rel = β m Kvantum H nr = m N cosh(βp j) f(q j q k ) j= k j lim (H rel N β 0 β m ) = Hnr N j= p j + g m V (q j q k ) j<k I: Racionális II: Hiperbolikus III: Trigonometrikus IV: Elliptikus V (q) /q α / sinh (αq) α / sin (αq) (q; ω, ω ) f(q) + β g q + sin (αβg) sinh (αq) + sinh (αβg) sin (αq) σ (iβg)[ (iβg) (q)]

3 SUSY általánosítás külső terek szimplektikus geometria hatás-szög dualitás sine-gordon ortogonális polinomok spin változók hamiltoni redukció szolitonok Calogero-Ruijsenaars rendszerek speciális függvények KdV, KP 6-, 8- vertex modellek Toda-rács elliptikus gammafüggvény spin láncok statisztikus modellek Morsepotenciál Pottsmodell Delta bozongáz határesetek

4 I. Redukciós megközeĺıtés, hatás-szög dualitás, és alkalmazások

5 Hatás-szög dualitásról általában Legyenek (M, ω, H) és ( M, ω, H) Liouville integrálható rendszerek, rendre q, p és q, p kanonikus koordinátákkal. Hatás-szög dualitásról akkor beszélünk, ha létezik egy olyan R: M M globális szimplektomorfizmus, amelyre ( q, p) R hatás-szög változók H-ra és (q, p) R hatás-szög változók H-ra nézve. Dualitási relációk a Calogero-Ruijsenaars rendszerek között Hiperbolikus Ruijsenaars-Schneider β 0 Hiperbolikus Calogero-Moser α 0 Racionális Calogero-Moser R R R Hiperbolikus Ruijsenaars-Schneider α 0 Racionális Ruijsenaars-Schneider β 0 Racionális Calogero-Moser

6 Calogero-Ruijsenaars rendszerek hamiltoni redukcióból Kiindulásként egy csoportelméleti eredetű fázisteret választunk. Például egy X mátrix Lie-csoport vagy Lie-algebra P = T X koérintőnyalábját. Ezen kijelölünk Poissonkommutáló függvényeket: H j, H r C (P ), {H j, H k } = 0, { H r, H s} = 0. A nagy fázistér (alkalmasan elvégzett) hamiltoni redukciója során egy kisebb /redukált fázistér két természetes modelljét nyerjük (S és S). A {H j}, { H r} függvénycsaládok {H j}, { H r} redukcióiban a Calogero-Ruijsenaars rendszerek Hamilton-függvényeire ismerünk rá és Poisson-zárójelük továbbra is nulla. Az S és S szelések között természetesen meglévő szimplektomorfizmus szolgáltatja az R hatás-szög dualitási leképezést. Izotrópia részcsoport pályák = Pontok a redukált fázistérben S S Momentum kényszerfelület

7 Tekintsük az n n-es önadjungált mátrix-párok alkotta (n -dimenziós) sokaságot: M = {(X, P ) X, P gl(n, C), X = X, P = P }. Ezen Ω = tr(dx dp ) egy szimplektikus forma és H(X, P ) = tr(p )/ a szabad részecske Hamilton-függvényének megfelelője. A mozgásegyenletek megoldása: X(t) = tp 0 + X 0, P (t) = P 0. A H j(x, P ) = tr(p j )/j függvények független mozgásállandók, sőt {H j, H k } = 0. Az n n-es unitér mátrixok U(n) csoportja konjugálással hat az (M, Ω) fázistéren: (X, P ) (UXU, UP U ), U U(n). Erre Ω és H j is invariánsak. A csoporthatásnak megfelelő momentum leképezés a mátrix kommutátor: (X, P ) [X, P ] = XP P X. Ennek értékét rögzítve kapjuk a momentum kényszerfelületet: [X, P ] = ig(v V n) =: µ, V = (... ) R n, g R. Jelölje G µ U(n) a µ mátrixot fixen hagyó mátrixok csoportját (izotrópia részcsoport).

8 A kényszerfelület bármely (X, P ) pontjához van olyan U G µ, amely diagonális alakra hozza az X mátrixot: Q = UXU = diag(q,..., q n). Továbbá az [X, P ] = µ momentum-egyenlet lerögzíti az L = UP U mátrix alakját is: L jk = (UP U ) jk = p jδ jk + ig δ jk q j q k, j, k =,..., n, ahol q j q k (j k) és p j R tetszőleges. Ezzel megkaptuk G µ pályáinak egy sima globális szelését (a redukált fázistér egyik modellje): S = {(Q(q, p), L(q, p)) q C, p R n }. A H(X, P ) = tr(p )/ Hamilton-függvény H(q, p) = tr(l(q, p) )/ redukciója H(q, p) = n p j + g (q j q k ). j= j<k amely a racionális Calogero-Moser rendszer Hamilton-függvénye. Az L Lax-mátrix hatványainak nyoma n független Poisson-kommutáló mozgásállandót generál. A hamiltoni folyamok teljessége is a redukció azonnali következménye. A racionális Calogero-Moser modell egy Liouville értelemben integrálható rendszer! Az X, P szerepét felcserélve minden hasonlóan alakul. A rendszer önduális!

9 . A racionális Calogero-Moser rendszer spektrális koordinátái I II III IV Relativisztikus Klasszikus Kvantum Nemrelativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum

10 Az imént látott L Lax-mátrix λ,..., λ n sajátértékei involúcióban állnak: {λ j, λ k } = 0. Feladat. Adjuk explicit formulát a sajátértékekhez kanonikusan konjugált θ,..., θ n változókra! {θ j, θ k } = 0, {θ j, λ k } = δ jk. Sejtés. (Sklyanin, 009) A θ j = C(λ j)/a (λ j) jók lesznek, ha A(z) = det(z n L), C(z) = tr(q adj(z n L)V V ). Megoldás. (Falqui-Mencattini, 05) A φ j = D(λ j)/a (λ j), j =,..., n konjugált koordináták, ahol D(z) = tr(q adj(z n L)). Ráadásul φ j = θ j + F j(λ,..., λ n) úgy, hogy F j λ k = F k λ j Sklyanin-formula A Sklyanin-formula redukciós bizonyítása. (G, 06) A φ j mennyiségek a racionális Calogero-Moser rendszer szög koordinátái és C(z) = D(z) + ig A (z), amiből F j(λ) = ig k j (λj λ k) és a Sklyanin-formula is következik.

11 . A racionális Calogero-Moser rendszer spektrális koordinátái Eredmények (G, 06) A racionális Calogero-Moser rendszer redukciós levezetését alkalmazva: azonosítottuk a Falqui és Mencattini által feĺırt kanonikus koordinátákat bizonyítottuk a Falqui és Mencattini által megsejtett összefüggést igazoltuk Sklyanin formuláját, amely spektrális kanonikus koordinátákat szolgáltat a racionális Calogero-Moser rendszerhez

12 . A trigonometrikus BC n Sutherland rendszer hatás-szög duálisa I II III IV Relativisztikus Klasszikus Kvantum ➀ I II III IV Nemrelativisztikus Klasszikus Kvantum

13 Trigonometrikus BC n Suhterland modell fizikai interpretáció n + számú részecske / sugarú körön mozog a fix Q 0 pontra nézve szimmetrikusan. A párkölcsönhatás fordítottan arányos a húrtávolság négyzetével. A konfigurációs tér egy Weyl alkóv A = {q R n π/ > q > > q n > 0}. Q j q j sin(q j q k ) A fázistér ennek koérintőnyalábja sin(q j) Q k A R n = {(q, p) q A, p R n }, ellátva a kanonikus szimplektikus formával n ω = dq j dp j. j= sin(qj) sin(q j + q k ) q k Q 0 Q k A rendszer Hamilton-függvénye Q j HBC Suth n = n p γ j+ sin (q j q k ) + γ n sin (q j + q k ) + γ sin (q + j) j= j<k n ahol γ, γ, γ valós csatolási állandók, melyekre az alábbi feltételeket írjuk elő: γ > 0, γ > 0, 4γ + γ > 0. j= n j= γ sin (q j),

14 Az U(n) csoporton mozgó szabad részecske megfelelő redukciójaként származtattuk a trigonometrikus BC n Sutherland modellt és hatás-szög duálisát. A duális rendszer Hamilton-függvénye (lokális koordinátákban) n [ ] [ H 0 ( q, p) = cos( p j) ν κ q j q j j= + νκ 4µ n [ 4µ q j j= ] νκ 4µ, ] n k= (k j) ahol µ, ν, κ valós csatolási állandók: µ > 0, ν > κ 0. A q,..., q n koordináták tere egy vastag falú Weyl kamra { } C = q R n q j q j+ > µ, and q (j =,..., n ) n > max{ν, κ }, [ ] 4µ ( q j ± q k ) q q = q (µ + ν, ν) A racionális BC n Ruijsenaars-Schneider-van Diejen rendszer egy valós formája. q

15 . A trigonometrikus BC n Sutherland rendszer hatás-szög duálisa Eredmények (Fehér-G, G, 04) Hamiltoni redukció módszerével: megkonstruáltuk a racionális BC n Ruijsenaars-Schneider modell egy Lax-mátrixát három független csatolási állandóval (µ, ν, κ) hatás-szög dualitást igazoltunk a trigonometrikus BC n Sutherland és egy racionális BC n Ruijsenaars-Schneider között bizonyítottuk, hogy a duális modell lokális leírásában szereplő ( q, p) koordináták kanonikus koordináta-rendszert alkotnak 4 megadtuk a fázisterek és Lax-mátrixok globális alakját A hatás-szög dualitást alkalmazva: 5 jellemeztük a trigonometrikus BC n Sutherland rendszer egyensúlyi konfigurációit 6 igazoltuk, hogy a duális modell maximálisan szuperintegrálható 7 bizonyítottuk a Lax mátrix által generált Poisson-kommutáló mozgásállandók és van Diejen involúcióban álló első integráljai közötti ekvivalenciát (lineáris kapcsolat meglétét).

16 . A trigonometrikus BC n Sutherland rendszer Poisson-Lie deformációja I II III IV Relativisztikus Klasszikus Kvantum ➁ ➀ I II III IV Nemrelativisztikus Klasszikus Kvantum

17 Az SU(n) Poisson-Lie csoport SL(n, C) Heisenberg duplájának a T SU(n) koérintőnyaláb deformációjának általánosított redukciójából származó rendszer Hamilton-függvénye: n n [ ] H = cos(ˆq j)w(ˆp j; a) sinh (x) e a+b + e n a b e ˆp j, sinh (ˆp j ˆp k ) j= k j ahol w(ˆp j; a) = ( + e a )e ˆp j + e a e 4ˆp j egy Morse-potenciál és a, b, x valós csatolási állandók: a > 0, b 0, x 0. A ˆq vektor az n-tóruszt paraméterezi e iˆq alakban és ˆp egy vastag falú Weyl-kamrában változik: C x = {ˆp R n 0 > ˆp, ˆp k ˆp k+ > x (k =,..., n )}. Az exp(ˆp j) = sin(q j), ˆq j = p j tan(q j) kanonikus transzformációval a H(ˆp, ˆq; x, a, b) = H(q, p; x, a, b) Hamilton-függvényhez jutunk. Egy β > 0 paramétert vezetünk be az alábbi helyettesítésekkel: a βa, b βb, x βx, p βp. A nemrelativisztikus határesetben visszakapjuk a trigonometrikus BC n Sutherland-modellt H(q, βp; βa, βb, βx) n lim = H Suth β 0 β BC n (q, p; γ, γ, γ ), ahol az alábbi azonosításokat tesszük γ = x, γ = (b a )/, γ = a. j=

18 A trigonometrikus BC n Ruijsenaars-Schneider-van Diejen rendszer Hamilton-függvénye H vd (λ, θ) = n ( cosh(θj)v j(λ) / V j(λ) / [V j(λ) + V ) j(λ)]/, j= alakú, ahol V ±j (j =,..., n) az alábbi függvény V ±j(λ) = w(±λ j) és v, w trigonometrikus potenciálok: n k= (k j) v(±λ j λ k )v(±λ j + λ k ), v(z) = sin(µ + z) sin(z) and w(z) = sin(µ0 + z) sin(z) cos(µ + z) cos(z) sin(µ 0 + z) sin(z) cos(µ + z). cos(z) Itt µ, µ 0, µ, µ 0, µ tetszőleges csatolások. Ezeket speciálisan megválasztva µ = ix, µ 0 = i(a + R), µ 0 = ir, µ = ib + π/, µ = π/, az általunk levezetett Hamilton-függvény megkapható H vd határeseteként: ( ) lim H vd i(ˆp + R), iˆq) = H(ˆp, ˆq; x, a, b) + konst. R

19 . A trigonometrikus BC n Sutherland rendszer Poisson-Lie deformációja Eredmények (Fehér-G, 05-6) Marshall korábbi, hiperbolikus esettel foglalkozó munkáját általánosítva levezettük a trigonometrikus BC n Sutherland rendszer egy -paraméteres integrálható deformációját a n n-es egységnyi determinánsú unitér mátrixok alkotta Poisson-Lie csoport Heisenberg duplájának általánosított Marsden-Weinstein redukciójából. Megoldottuk a momentum kényszer-egyenletet, visszavezetve azt egy Fehér és Klimčík által korábban már részletesen vizsgált egyenletre. Globálisan jellemeztük a redukált rendszert. Igazoltuk, hogy a levezetett rendszer Liouville integrálható. 4 Továbbá megmutattuk, hogy a modell miként kapható meg van Diejen öt csatolási állandót tartalmazó modelljéből. Ezáltal a levezetett modellt sikerült beilleszteni a Calogero-Ruijsenaars típusú integrálható rendszerek közé. 5 Végül teljessé tettük a hiperbolikus verzió Marshall által adott származtatását.

20 II. Közvetlen vizsgálatok eredményei a Ruijsenaars-Schneider rendszerekben

21 4. A hiperbolikus BC n Ruijsenaars-Schneider-van Diejen rendszer Lax reprezentációja I II III IV Relativisztikus 4 Klasszikus Kvantum ➁ ➂ ➀ Nemrelativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum

22 van Diejen ( 94-es PhD) munkájából tudjuk, hogy az öt csatolási állandót tartalmazó hiperbolikus Ruijsenaars-Schneider rendszerek integrálhatók. Lax-mátrix? (Lax-pár?) Tekintsük az alábbi n n-es mátrixot C = [ ] 0n n n 0 n és a z C n, F C n és Λ R n vektorokat, melyek komponensei sinh(iν + λa) sinh(iµ + λ a λ b ) sinh(iµ + λ a + λ b ) z a =, sinh(λ a) sinh(λ a λ b ) sinh(λ a + λ b ) b a F a = e θa z a, F n+a = z a/ e θa z a, a =,..., n, és Λ = (λ,..., λ n, λ,..., λ n). Itt θ R n, λ > > λ n > 0 és µ, ν valós csatolási állandók. A keresett Lax-mátrix: L jk = i sin(µ)fj F k + i sin(µ ν)c jk sinh(iµ + Λ j Λ k ) L önadjungált és U(n, n) eleme, azaz kielégíti az LCL = C egyenletet. Sőt L > 0 és Spec(L) = {e x,..., e xn, e x,..., e xn }.

23 L eleget tesz az alábbi Ruijsenaars-féle felcserélési relációnak e iµ e ad Λ L e iµ e ad Λ L = i sin(µ)f F + i sin(µ ν)c. Ennek segítségével igazolható, hogy sin(µ ν) 0 esetén L sajátértékei különbözőek. Megadtuk a -paraméteres van Diejen rendszer egy Lax reprezentációját: L = [L, B], ahol L a már látott Lax-mátrix és B az alábbi anti-hermitikus mátrix ( ) B a,a = B n+a,n+a = i L ak L ak Im F a sinh(λ a Λ k ) F k, a =,..., n, k a B jk = L jk L jk, j, k =,..., n (j k). tanh(λ a Λ k ) Az (L, B) pár segítségével feĺırtuk a (λ(t), θ(t)) megoldások aszimptotikáját: λ a(t) t sinh(θ ± a ) + λ ± a, θ a(t) θ ± a. Ezt használva beláttuk, hogy az L által generált {K j} mozgásállandók és van Diejen Poisson-kommutáló {H k } függvényei ekvivalensek. L sajátértékei involúcióban állnak.

24 Kn,..., K Független Poissonkommutáló függvények H H,..., H n...

25 4. A hiperbolikus BC n Ruijsenaars-Schneider-van Diejen rendszer Lax reprezentációja Eredmények (Pusztai-G, 06) Igazoltuk, hogy a Lax mátrix eleme az (n, n)-szignatúrájú belső szorzással definiált pszeudounitér mátrixok Lie-csoportjának. Pusztai korábbi eredményét felhasználva bizonyítottuk, hogy a Lax mátrix pozitív definit. Megmutattuk a Pusztai által levezetett szóráselméleti eredmények segítségével, hogy a Lax mátrixból származó spektrális invariánsok és van Diejen öt paramétert tartalmazó Poisson kommutáló függvénycsaládjának megfelelő specializációja ekvivalensek. 4 Ennek segítségével bebizonyítottuk, hogy a Lax mátrix független sajátértékei Poisson kommutáló mozgásállandók teljes rendszerét alkotják.

26 5. Trigonometrikus és elliptikus Ruijsenaars-Schneider modellek a komplex projektív téren I II III IV Relativisztikus ➃ 5 5 Klasszikus Kvantum ➁ ➂ ➀ Nemrelativisztikus I II III IV Klasszikus Kvantum

27 A kompaktifikált trigonometrikus Ruijsenaars-Schneider modellt β iβ helyettesítéssel kapjuk a hagyományos trigonometrikus modellből: n [ ] sin (g) H(q, p) = cos(p j). sin (x j x k ) n = 4 j= k j 0 4 n = n = n = g/π értékei n = 4, 5, 6, 7 esetén. A jelzett számok tiltott értékek. A megengedett g csatolások kétféle intervallumot alkot. Ezeket -es (folytonos) és -es (szaggatott) típusúnak nevezzük.

28 Az -es típusú g értékek esetén, a konfigurációs tér (lokálisan) egy (n )-dimenziós szimplex az E = {x R n x + + x n = 0} tömegközépponti hipersíkban: Σ g = {x E x j x j+p g > 0, j =,..., n}, ahol az indexeket periodikusan kiterjesztettük: x n+k = x k π minden k-ra. A fázistér tehát lokálisan n Py loc = Σ g T n, ω loc = dx j dp j. ahol T n az E-beli (n )-tórusz. Egy E : P loc y C n, (x, e ip ) u leképezéssel új (komplex) változókat vezetünk be: j= u j = x j x j+p g, j =,..., n, n arg(u j) = Ω j,k (p k p k ), j =,..., n, arg(u n) = 0, k= ahol p 0 0 és Ω j,k (j, k =,..., n ) olyan egészek, melyekre Az E leképezés révén a P loc y E (i n ) dū j du j = ω loc. j= lokális fázistér beágyazható a CP n projektív térbe.

29 A modell Lax-mátrixa (lokális koordinátákban feĺırva): L loc g (x, e ip sin(g) ) jk = sin(x j x k + g) [Vj(x, g)]/ [V k (x, g)] / e ip k, ahol V j(x, ±g) az alábbi pozitív sima függvények V j(x, ±g) = sgn(sin(ng)) k j sin(x j x k ± g). sin(x j x k ) Megmutatható, hogy V j(x, g) = u j W j(x, g) és V k (x, g) = u k p W k (x, g), ahol az W j(x(u), g), W k (x(u), g) függvényeknek létezik sima kiterjesztése CP n -re. Az L loc g lokális Lax-mátrix létezik egy olyan sima L g kiterjesztése CP n -re, amelyre L g((π E)(x, e ip )) = (p) L loc g (x, e ip ) (p), (x, e ip ) P loc y, ahol (p) = diag(,..., n) az alábbi diagonális elemekkel j = exp ( n i Ω j,k (p k p k ) ), j =,..., n, n = k= Módszerünk az elliptikus szinten is működik Új kompakt elliptikus rendszerek!

30 5. Trigonometrikus és elliptikus Ruijsenaars-Schneider modellek a komplex projektív téren Eredmények (Fehér-G, 06) Megvizsgáltuk a Fehér és Kluck által korábban felfedezett ún. egyes típusú csatolási állandóval jellemzett kompaktifikált Ruijsenaars-Schneider modelleket, és közvetlen, elemi úton megmutattuk, hogy a trigonometrikus esetben ezen rendszerek miként ágyazhatók be a megfelelő komplex projektív térbe. A trigonometrikus esetben alkalmazott eljárást általánosítottuk az elliptikus potenciálok esetére is, ezáltal új elliptikus Ruijsenaars-Schneider modelleket konstruáltunk a komplex projektív téren. Ezzel kiterjesztettük Ruijsenaars korábbi eredményeit.

31 Publikációk Fehér-G J. Math. Phys. 55 (04) 0704 arxiv: [math-ph] Phys. Lett. A 79 (05) arxiv:50.00 [math-ph] Nucl. Phys. B 90 (05) 85-4 arxiv: [math-ph] Lett. Math. Phys. 06 (06) arxiv: [math-ph] Pusztai-G Commun. Math. Phys. (07) arxiv: [math-ph] G J. Phys.: Conf. Ser. 56 (04) 00 arxiv:40.00 [math-ph] SIGMA (06) 07 arxiv:60.08 [math-ph] J. Geom. Phys. 5 (07) 9-49 arxiv: [math-ph]