TÖRTénet EGÉSZ pontokról
|
|
|
- Alíz Andrea Gál
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 TÖRTénet EGÉSZ pontokról Tengely Szabolcs március 21. Számelméleti Szeminárium slide 1
2 Algebrai Algebrai Elliptikus Legyen f É [X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz legalább 1: Siegel (1929) igazolta, hogy C( ) véges. génusz legalább 2: Faltings (1983) bebizonyította, hogy C(É ) véges. 1 génuszú : Y 2 = X 3 + a 1 X + a 2. 2 génuszú : Y 2 = b 6 X 6 + b 5 X 5 + b 4 X 4 + b 3 X 3 + b 2 X 2 + b 1 X + b 0. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 2
3 Elliptikus Algebrai Elliptikus Véges sok megoldás létezik: Mordell (1922). Korlát a megoldásokra: Baker (1968) max( x, y ) < exp((10 6 H) 106 ). Algoritmusok az egész pontok meghatározására: Stroeker, Tzanakis (1994), Gebel, Pethő, Zimmer (1998). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 3
4 Algebrai Elliptikus Nehezen meghatározható generátorok: Y 2 = X(X 157)(X + 157). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 4
5 Algebrai Elliptikus Nehezen meghatározható generátorok: Y 2 = X(X 157)(X + 157). Végtelen rendű pont P = (x, y), ahol: x = , y = Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 4
6 Algebrai Elliptikus Lokálisan minden p esetén létezik megoldás, de nincs globális megoldás. 3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 5
7 Algebrai Elliptikus Lokálisan minden p esetén létezik megoldás, de nincs globális megoldás. 3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0. Rang, konduktor és egész pontok. Y 2 + Y = X 3 + X 2 2X, a görbe rangja 2 és 20 egész pont van rajta. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 5
8 Algebrai Elliptikus Lokálisan minden p esetén létezik megoldás, de nincs globális megoldás. 3X 3 + 4Y 3 + 5Z 3 = 0. Rang, konduktor és egész pontok. Y 2 + Y = X 3 + X 2 2X, a görbe rangja 2 és 20 egész pont van rajta. Y 2 + Y = X 3 7X + 6, a görbe rangja 3 és 36 egész pont van rajta. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 5
9 Algebrai Elliptikus Egész pontok elliptikus görbe családokon. Legyen E m : Y 2 = X 3 + mx 2 (m + 3)X + 1. Duquesne (2001): ha E m rangja 1, akkor E m egész pontjai a következők (0, 1) ha m páros, (0, 1) és 2(0, 1) ha m páratlan. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 6
10 Algebrai Elliptikus Egész pontok elliptikus görbe családokon. Legyen E m : Y 2 = X 3 + mx 2 (m + 3)X + 1. Duquesne (2001): ha E m rangja 1, akkor E m egész pontjai a következők (0, 1) ha m páros, (0, 1) és 2(0, 1) ha m páratlan. Legyen Q m : Y 2 = X 4 mx 3 6X 2 + mx + 1, ahol m nem osztható páratlan négyzetszámmal. Duquesne (2007): ha Q m rangja 1, akkor Q m egész pontjai (0, ±1). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 6
11 Algebrai Elliptikus Speciális elliptikus esetében az általános korlát élesítése: Draziotis (2006): Legyen E : Y 2 = (X k)f(x) elliptikus görbe É felett, ahol k és f(k) = ±1. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 7
12 Algebrai Elliptikus Speciális elliptikus esetében az általános korlát élesítése: Draziotis (2006): Legyen E : Y 2 = (X k)f(x) elliptikus É görbe felett, ahol k és f(k) = ±1. Ekkor bármely (x, y) E( ) pontra x < 11H 2 + 5, ahol H az (X k)f(x) polinom magassága. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 7
13 g-gonális számok Algebrai Elliptikus Definíció: m{(g 2)m (g 4)} G m,g =. 2 Rekurzív sorozatokban található g-gonális számok vizsgálata g {3, 4, 5, 7} esetében: J.H.E Cohn, Katayama, Ljunggren, Luo, Prasad, Rao. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 8
14 g-gonális számok Algebrai Elliptikus Definíció: m{(g 2)m (g 4)} G m,g =. 2 Rekurzív sorozatokban található g-gonális számok vizsgálata g {3, 4, 5, 7} esetében: J.H.E Cohn, Katayama, Ljunggren, Luo, Prasad, Rao. Tengely (2008): g {6, 8, 9, 10,..., 20} esetében F n = G m,g, L n = G m,g, P n = G m,g, Q n = G m,g egyenletek megoldásainak meghatározása. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 8
15 Algebrai Elliptikus A következő vizsgálatára vezet: CF even n : Y 2 = 5((g 2)X 2 (g 4)X) , CF odd n : Y 2 = 5((g 2)X 2 (g 4)X) 2 16, CL even n : Y 2 = 5((g 2)X 2 (g 4)X) 2 80, CL odd n : Y 2 = 5((g 2)X 2 (g 4)X) , CP even n : Y 2 = 2((g 2)X 2 (g 4)X) 2 + 4, CP odd n : Y 2 = 2((g 2)X 2 (g 4)X) 2 4, CQ even n : Y 2 = 2((g 2)X 2 (g 4)X) 2 8, C odd Q n : Y 2 = 2((g 2)X 2 (g 4)X) Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 9
16 Algebrai Elliptikus További tervek. Görbe családok vizsgálata: például (0, 4) CF even (É n ), (1, 2) CF even (É n ). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 10
17 Algebrai Elliptikus További tervek. Görbe családok vizsgálata: például (0, 4) CF even (É n ), (1, 2) CF even (É n ). "Pontatlan" esete: C even L n : Y 2 = 5((g 2)X 2 (g 4)X) 2 80, ha g {8, 9, 11, 13, 14, 16, 19}, akkor nincs megoldás É 5 -ben. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 10
18 Algebrai Elliptikus További tervek. Görbe családok vizsgálata: például (0, 4) CF even (É n ), (1, 2) CF even (É n ). "Pontatlan" esete: C even L n : Y 2 = 5((g 2)X 2 (g 4)X) 2 80, ha g {8, 9, 11, 13, 14, 16, 19}, akkor nincs megoldás É 5 -ben. A g = 12 eset: Y 2 = 500X 4 800X X Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 10
19 Egy kimaradó eset Algebrai Elliptikus Bennett (2008): Az (x k 1)(y k 1) = (z k 1), z 2, k 3 egyenlet megoldásai a következők: (x, y, z, k) = ( 1, 4, 5, 3) és (4, 1, 5, 3). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 11
20 Egy kimaradó eset Algebrai Elliptikus Bennett (2008): Az (x k 1)(y k 1) = (z k 1), z 2, k 3 egyenlet megoldásai a következők: (x, y, z, k) = ( 1, 4, 5, 3) és (4, 1, 5, 3). Az (x k 1)(y k 1) = (z k 1) 2 egyenletnek nincs megoldása, ha z 2, k 4 és x ±y. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 11
21 Egy kimaradó eset Algebrai Elliptikus Bennett (2008): Az (x k 1)(y k 1) = (z k 1), z 2, k 3 egyenlet megoldásai a következők: (x, y, z, k) = ( 1, 4, 5, 3) és (4, 1, 5, 3). Az (x k 1)(y k 1) = (z k 1) 2 egyenletnek nincs megoldása, ha z 2, k 4 és x ±y. Az (x 3 1)(y 3 1) = u 2 egyenlet esetében Elkies a következő megoldásokat határozta meg: (x, y, u) = ( 20, 362, ), ( 6, 26, 1953), ( 1, 23, 156), (0, 2, 3), (2, 4, 21), (2, 22, 273), (3, 313, 28236), (4, 22, 819). Véges sok megoldása létezik csak az egyenletnek? Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 11
22 Algebrai Elliptikus x 3 1 = dy 2 1, y 3 1 = dy 2 2. Elegendő az E d : Y 2 = X 3 d 3 et vizsgálni ("quadratic twists"). Amennyiben a görbén található 3 "megfelelő" egész pont, akkor az eredeti probléma egy megoldásához jutunk. Az egyik egész pont mindig adott: T = (d, 0). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 12
23 Algebrai Elliptikus x 3 1 = dy 2 1, y 3 1 = dy 2 2. Elegendő az E d : Y 2 = X 3 d 3 et vizsgálni ("quadratic twists"). Amennyiben a görbén található 3 "megfelelő" egész pont, akkor az eredeti probléma egy megoldásához jutunk. Az egyik egész pont mindig adott: T = (d, 0). Ismert megoldásoknál d { 889, 217, 2, 1, 7, 26}. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 12
24 Algebrai Elliptikus Legyen P = (dx, d 2 y). Ekkor P + T esetében ( x(p + T) = d ). x 1 Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, ha x { 2, 0, 2, 4}. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 13
25 Algebrai Elliptikus Legyen P = (dx, d 2 y). Ekkor P + T esetében ( x(p + T) = d ). x 1 Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, ha x { 2, 0, 2, 4}. A 2P pont esetében x(2p) = d x4 + 8x 4(x 3 1). Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, ha x { 2, 0}. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 13
26 Algebrai Elliptikus Legyen P = (dx, d 2 y). Ekkor P + T esetében ( x(p + T) = d ). x 1 Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, ha x { 2, 0, 2, 4}. A 2P pont esetében x(2p) = d x4 + 8x 4(x 3 1). Ez akkor lesz "megfelelő" egész pont x-koordinátája, ha x { 2, 0}. Stratégia: megmutatni, hogy (dx, d 2 y) = mr + nt csak kis m értékekre lehetséges. Az ismert megoldások esetében m 2. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 13
27 Hiperelliptikus Algebrai Elliptikus Y p Y = X q X, 2 p < q. Fielder, Alford (1998): pozitív megoldások (3, 2, 2, 3), (6, 2, 2, 5), (15, 2, 6, 3), (16, 2, 3, 5), (13, 3, 3, 7), (91, 2, 2, 13), (280, 2, 5, 7), (4930, 2, 30, 5). Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 14
28 Hiperelliptikus Algebrai Elliptikus Y p Y = X q X, 2 p < q. Fielder, Alford (1998): pozitív megoldások (3, 2, 2, 3), (6, 2, 2, 5), (15, 2, 6, 3), (16, 2, 3, 5), (13, 3, 3, 7), (91, 2, 2, 13), (280, 2, 5, 7), (4930, 2, 30, 5). További eredmények: Mordell (1963): p = 2, q = 3 eset, Mignotte és Pethő (1999): végességi eredmények, teljes megoldás p = 2, q > 2 esetben, feltéve, hogy y teljes hatványa valamilyen prímnek. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 14
29 Algebrai Elliptikus ( ) n k = ( ) m, l k, l, m, n Æ és 2 k n 2, 2 l m 2. Ismert megoldások: ), ( ) ( = 2 3 ( ) ( = 2 4 ( ) ( = 2 8 ), ), ( ) ( ) ( ) ( ) =, =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, = =, ( ) ( ) F2i+2 F 2i+3 F2i+2 F = 2i+3 1 ahol i = 1, 2,..., F 2i F 2i+3 F 2i F 2i Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 15
30 Algebrai Elliptikus ( ) n k = ( ) m, l k, l, m, n Æ és 2 k n 2, 2 l m 2. Ismert megoldások: ), ( ) ( = 2 3 ( ) ( = 2 4 ( ) ( = 2 8 ), ), ( ) ( ) ( ) ( ) =, =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, = =, ( ) ( ) F2i+2 F 2i+3 F2i+2 F = 2i+3 1 ahol i = 1, 2,..., F 2i F 2i+3 F 2i F 2i Lind (1968), Singmaster (1975): Fibonacci sorozattal megadott megoldás családok. De Weger (1997): ( n k) vagy n 1000 esetében nincs több nem triviális megoldás. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 15
31 Algebrai Elliptikus Mordell (1963), Avanesov (1966/1967), Pintér (1995), De Weger (1996), Stroeker és De Weger (1999): teljes megoldások (k, l) {(2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6)} esetében. Ezek a problémák Thue egyenletekre vagy elliptikus re vezetnek. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 16
32 Algebrai Elliptikus Mordell (1963), Avanesov (1966/1967), Pintér (1995), De Weger (1996), Stroeker és De Weger (1999): teljes megoldások (k, l) {(2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (4, 6)} esetében. Ezek a problémák Thue egyenletekre vagy elliptikus re vezetnek. Általános végességi eredmények: Kiss (1988): k = 2 és l adott páratlan prím. Brindza (1991): k = 2 és l 3. Egy kis kihívás: ( ) y 2 = ( ) x. 5 Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 16
33 Algebrai Elliptikus Bugeaud, Mignotte, Siksek, Stoll, Tengely (2008): C : Y 2 Y = X 5 X összes egész megoldása: (X, Y ) = ( 1, 0), ( 1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 5), (2, 6), (3, 15), (3, 16), (30, 4929), (30, 4930). J(É ) Mordell-Weil csoportjának a rangja 3. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 17
34 Algebrai Elliptikus Mivel F(X, Y ) = Y 2 Y X 5 + X esetében F(0, 0) = 0, Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb közös osztóval rendelkező megoldások. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 18
35 Algebrai Elliptikus Mivel F(X, Y ) = Y 2 Y X 5 + X esetében F(0, 0) = 0, Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb közös osztóval rendelkező megoldások. Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(É ) Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe génusza. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 18
36 Algebrai Elliptikus Mivel F(X, Y ) = Y 2 Y X 5 + X esetében F(0, 0) = 0, Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb közös osztóval rendelkező megoldások. Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(É ) Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe génusza. Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell a Mordell-Weil csoport rangját meghatározni. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 18
37 Algebrai Elliptikus Mivel F(X, Y ) = Y 2 Y X 5 + X esetében F(0, 0) = 0, Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb közös osztóval rendelkező megoldások. Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(É ) Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe génusza. Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell a Mordell-Weil csoport rangját meghatározni. S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: a fellépő számtestek foka nagy. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 18
38 Algebrai Elliptikus Mivel F(X, Y ) = Y 2 Y X 5 + X esetében F(0, 0) = 0, Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb közös osztóval rendelkező megoldások. Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(É ) Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe génusza. Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell a Mordell-Weil csoport rangját meghatározni. S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: a fellépő számtestek foka nagy. S-egység egyenletek + Skolem módszere: a fellépő számtestek foka nagy. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 18
39 Algebrai Elliptikus Mivel F(X, Y ) = Y 2 Y X 5 + X esetében F(0, 0) = 0, Runge-módszerrel meghatározhatók az adott legnagyobb közös osztóval rendelkező megoldások. Chabauty módszere nem alkalmazható, mert J(É ) Mordell-Weil csoportjának a rangja nagyobb, mint a görbe génusza. Elliptikus Chabauty módszer esetében számtest felett kell a Mordell-Weil csoport rangját meghatározni. S-egység egyenletek, Baker módszer + LLL algoritmus: a fellépő számtestek foka nagy. S-egység egyenletek + Skolem módszere: a fellépő számtestek foka nagy. Demjanenko-Manin módszer: független leképezések kellenek elliptikus görbére. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 18
40 Algebrai Elliptikus Transzformált alak: C : 2y 2 = x 5 16x + 8, Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 19
41 Algebrai Elliptikus Transzformált alak: C : 2y 2 = x 5 16x + 8, Mordell-Weil bázis J(É )-ban: D 1 = (0, 2), D 2 = (2, 2), D 3 = ( 2, 2). Ekkor x α = κξ 2, ahol κ {1, 2α, 4 2α, 4 2α, 2α +α 2, 2α +α 2, 4+α 2, 8α 2α 3 }. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 19
42 Algebrai Elliptikus Bruin, Stoll: Mordell-Weil szita j(c(é )) W + BJ(É ), ahol W az ismert racionális pontok képe és B = p 149 p 107 p Legyen L 0 = B 3 és φ : 3 J(É ), φ(a 1,..., a r ) = a i D i, Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 20
43 Algebrai Elliptikus Ekkor )) W + 3 ). j(c(é φ(b Rácsok csökkenő lánca: B 3 = L 0 µ L 1 µ L 2 µ µ L k, úgy, hogy j(c(é )) W + φ(l j ). Az így meghatározott rács indexe: , az ebben a rácsban található legrövidebb vektor hossza: Amennyiben létezne P C(É ) ismeretlen pont, akkor log x(p) , ellentmondás, mert a felső korlát Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 21
Egész pontokról racionálisan
Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
Algebrai görbék a diofantikus számelméletben
Algebrai görbék a diofantikus számelméletben Tengely Szabolcs Habilitációs értekezés tézisei Debreceni Egyetem Debrecen, 2010 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 1 Bevezetés 5 2 Exponenciális diofantikus
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
Hamilton-körök és DNS molekulák
GoBack Hamilton-körök és DNS Tengely Szabolcs 2005. november 4 tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 1 Gráfok Gráfok Példa Nehéz dió DNS Hossz - S 1 n G n alkalmazása G = (V,E) egyszerű
Hamilton-körök és DNS molekulák
GoBack Hamilton-körök és DNS Tengely Szabolcs 2005. november 4 tengely@math.klte.hu KöMaL Ifjúsági Ankét 2005 slide 1 Gráfok G = (V,E) egyszerű gráf, ha V egy véges halmaz és E ( V 2), V elemei a G gráf
Tartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
Data Security: Public key
Nyilvános kulcsú rejtjelezés RSA rejtjelező El-Gamal rejtjelező : Elliptikus görbe kriptográfia RSA 1. Véletlenszerűen választunk két "nagy" prímszámot: p1, p2 2. m= p1p2 φ ( ) = ( p -1)( p -1) m 1 2 3.
Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével
Matematikai problémák vizsgálata a Maple programcsomag segítségével Tengely Szabolcs tengely@science.unideb.hu http://www.math.unideb.hu/~tengely Tengely Szabolcs 2014.04.26 Matematikai problémák és a
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Számtani sorozatok multiplikatív tulajdonságú halmazokban
Számtani sorozatok multiplikatív tulajdonságú halmazokban MTA doktori értekezés tézisei Hajdu Lajos Debrecen, 2009 Tartalomjegyzék I. A kit zött kutatási feladat rövid összefoglalása............... 1
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
bizonyos részvarietásainak pontjaival kapcsolatban. A tekintett részvarietások
A T48791 számú OTKA pályázat (2005 2008) zárójelentése A kutatócsoport tagjai a számelmélet több területén értek el jelentős eredményeket, részben társszerzőkkel. Bérczes Attila Pethő Attilával közösen
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
Polinomiális-exponenciális diofantikus egyenletek és egyenletrendszerek
. Polinomiális-exponenciális diofantikus egyenletek és egyenletrendszerek MTA doktori rövid értekezés Szalay László Sopron, 014 . dc_871_14 Tartalomjegyzék dc_871_14 Bevezetés..........................................................................
Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.
SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
illetve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste
![13.1.Állítás. Legyen 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste](/thumbs/50/27013842.jpg "13.1.Állítás. Legyen 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste")
13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Bevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Egészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
Abszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak
Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak A: szakmai ismeretek; B: szakmódszertani ismeretek Középiskolai specializáció 1. Lineáris algebra A: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok. A valós
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Algoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
ą ľ ľľľ Á Á Á Á Á ű ľ ź ü ź ü ź ą É ń Á Á Á ę ź ľ ź ü ź ľ ü ź ľ Á ľ ľ ľ ľ ü ľ ľ ď ń ź ľü ź ľü ü Ä Í ę ź ü ľ ú ü ľ ź É Á ź ź ľ ü ľ Í ü ę ź ź ę ć ľ ł Í ľ ę ź ź ľ ü ľ ü ľ ľ ľ ľ ď ź ź ľ ü ü Í Á ď ü ź ľ ź ľ
2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
b, b > 0 racionális szám, hogy a
3. A lánctörtek alkalmazásai. 3.. Diofantikus approximáció. Alapkérdés: Mennyire jól közelíthetők az irracionálisok racionális számokkal? Megjegyzés. Mindenek előtt azt kell tisztázni, hogy mit jelent
Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük
Interpolációs polinom együtthatói Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük Ez jó, ha kevés x-re kell kiértékelni Ha sok ismeretlen f (x)-et keresünk, akkor jobb kiszámolni az együtthatókat,
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák
Lineáris Algebra Pejó Balázs Tartalomjegyzék 1. Peano-axiomák 2 1.1. 1.................................................... 2 1.2. 2.................................................... 2 1.3. 3....................................................
2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: racionális
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Fourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Polinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Bevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc
1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
![1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1](/thumbs/88/116339870.jpg "1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1")
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.
1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Differenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények
4. Algebrai Módszerek Klasszikus Eredmények Igazolásában, Út az Algebrai Számelmélet felé 4.1. Maradékosztálygyűrűk egységcsoportjai szerkezete. Jelölés. Tetszőleges n > 1 egészre jelölje U n a Z n maradékosztálygyűrű
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2