A biostatisztika alapfogalmai, valószínűségszámítási alapok. Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

Átírás

1 A biostatisztika alapfogalmai, valószínűségszámítási alapok Dr. Boda Krisztina PhD SZTE ÁOK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet

2 Véletlen kísérlet A kimenetele nincs egyértelműen meghatározva az általunk meghatározott feltételekkel. Példa kísérletre: pénzdobás, kockadobás, egy oldat koncentrációjának mérése, egy állat testsúlyának a mérése. A kísérleteknek több, néha végtelen sok kimenetele lehetséges. Krisztina Boda 2

3 Esemény: a kísérlet kimenetele Elemi esemény: egy kísérlet lehetséges kimenetele. Összetett esemény: elemi eseményekre bontható. Biztos esemény (W ): mindig bekövetkezik. Lehetetlen esemény ( ): sohasem következik be. Példa. Kockadobás kísérlet esetén: Az elemi események 1,2,3,4,5,6. Összetett események pl.: E1={1,3,5} (a kimenetel páratlan szám). E2={2,4,6} (a kimenetel páros szám). E3={5,6} (a kimenetel 4-nél nagyobb szám). W={1,2,3,4,5,6} (a kimenetel a biztos esemény). Krisztina Boda 3

4 Műveletek eseményekkel Egy A esemény kiegészítő eseménye az az A esemény, amely akkor következik be, amikor A nem következik be. Pl. E 1 = 1, 3, 5 ={2,4,6} Az A és B események összege az az A+B esemény, amely akkor következik be, ha vagy A, vagy B bekövetkezik. E1+E2={1,3,5}+{2,4,6}={1,2,3,4,5,6} E1+E3={1,3,5}+{5,6}={1,3,5,6} Az A és B események szorzata az az AB esemény, amely akkor következik be, ha A is és B is bekövetkezik. E1 E2={1,3,5} {2,4,6}= E1 E3={1,3,5} {5,6}={5} Ha A B =, akkor A és B-t kizáró eseményeknek nevezzük. Krisztina Boda 4

5 A valószínűség heurisztikus elve Ismételjünk meg egy kísérletet n-szer ugyanazon feltételek mellett, egymástól függetlenül, és figyeljük meg, hányszor következik be az A esemény (k-szor) (0 k n). k : az A esemény gyakorisága. k/n : az A esemény relatív gyakorisága. 0 k/n 1 Ha n nagy, a k/n egy adott számot fog megközelíteni, Ezt a számot az A esemény valószínűségének nevezzük és P(A)-val jelöljük. 0 P(A) 1 A valószínűség heurisztikusan tehát az a 0 és 1 közötti szám, amit a kísérlet képzeletbeli ismétlései során kapott relatív gyakoriságok sorozata megközelít, miközben az ismétlések számát növeljük. Krisztina Boda 5

6 Példa: egy szabályos pénzérme feldobása k: a fej eredmények száma n= k= k/n= P( fej )= k/n Krisztina Boda 6

7 Krisztina Boda Biostat

8 A valószínűség tulajdonságai A valószínűség egy 0 és 1közötti szám Egy esemény összes lehetséges kimenetelének együttes valószínűsége 1. Az A esemény kiegészítő eseményének valószínűsége 1-P(A) Krisztina Boda 8

9 Szabály a valószínűség kiszámítására Feltétel: minden elemi esemény egyformán valószínű P(A) kedvező kimenetelek száma összeslehetséges kimenetel száma Példák: Kockadobás. Mi az 5-ös dobás valószínűsége? P(5-ös dobás)=1/6. Mi a páratlan dobás valószínűsége? P(páratlan)=3/6=1/2. Krisztina Boda 9

10 Populáció (sokaság), minta Populáció: azoknak az egyedeknek, objektumoknak az összessége, amelyről egy vizsgálat során információt kívánunk nyerni. Minta: a sokaság azon részhalmaza, amelyet éppen vizsgálunk A minta kiválasztásakor arra törekszünk, hogy lehetőleg reprezentálja az egész populációt, vagy legalábbis következtetni lehessen a populációra. Követelmény a mintaelemek függetlensége is. Krisztina Boda 10

11 Példák Adathalmazok Minta Gyógyszerészhallgatók egy csoportja által kitöltött kérdőívek 20 egészséges nő vérnyomásértékei Sokaság Gyógyszerészhallgatók hallgatók Általában az egészséges nők vérnyomása Krisztina Boda 11

12 Percent Minta Kategóriás változó lehetséges értékeinek gyakoriságai, relatív gyakoriságai (megközelíti) Sokaság A változó (sokaság) eloszlását Valid male f emale Total Gender Gender Cumulativ e Frequency Percent Valid Percent Percent A relatív gyakoriság (százalék) az esemény valószínűségét közelíti male female Krisztina Boda 12

13 Frequency Frequency Minta Egy folytonos változóról készített hisztogram (megközelíti) Sokaság A folytonos változó eloszlását (sűrűségfüggvényét) 30 Body height 30 Body height Std. Dev = 8.52 Mean = N = Body height 10 Std. Dev = 8.52 Mean = N = Body height Krisztina Boda 13

14 Frequency Minta Átlag (x) Standard deviáció (SD) Medián Body height (megközelíti) Sokaság Sokaság-átlag (ismeretlen) A sokaság standard deviációja (ismeretlen) A sokaság mediánja (ismeretlen) 10 Std. Dev = 8.52 Mean = N = Body height Krisztina Boda 14

15 Eloszlások Elméleti eloszlások a populáció eloszlásai

16 A valószínűségszámítás és a statisztika kapcsolata A valószínűségszámításban a kérdés mindig az, hogy egy ismertnek feltételezett világban hogyan zajlanak a történések, a statisztikában pedig megfigyelünk bizonyos történéseket, és azt próbáljuk kideríteni, hogy milyen is az a világ, amelyben ezek a történések végbemennek. (Reiczigel Jenő, Biostatisztika nem statisztikusoknak 85. o.) Krisztina Boda 16

17 Valószínűségi változók Egy valószínűségi változó olyan változó, amelynek az értéke egy véletlen jelenség számmal jellemezhető kimenetele. Jelölés: X, Y,.. Más szóval, a valószínűségi változó egy olyan függvény, amely az elemi eseményekhez számot rendel. X: W R Példák A pénzdobás kísérlete esetén. X(fej)=1 és X(írás)=2 Y(fej)=-10 and Y(írás)=10 A kockadobás kísérlete esetén W={1,2,3,4,5,6}. Legyen X az a szám, amelyet a kocka mutat. Krisztina Boda 17

18 Diszkrét valószínűségi változó Az X valószínűségi változót diszkrétnek (kategóriás) nevezzük, ha a lehetséges értékeinek száma véges sok. Az X változó valószínűségi eloszlása megmutatja, hogy melyek az X lehetséges értékei és azokat milyen valószínűséggel veszi fel: X lehetséges értékei: x 1 x 2 x 3 x n Hozzátartozó valószínűségek: p 1 p 2 p 3 p n p i 0, p 1 + p 2 +p 3 +p n =1 Krisztina Boda 18

19 Példák Pénzdobás. p 1 =0.5, p 2 =0.5 Kockadobás. p 1 =1/6, p 2 =1/6,, p 6 =1/ x1 x2 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Ez a két eloszlás amellett, hogy diszkrét, még egyenletes is, mivel minden valószínűség egyenlő. Krisztina Boda 19

20 Az elméleti eloszlások közelítése tapasztalati eloszlásokkal Ha nem ismerjük az elméleti valószínűségeket, ezeket a kísérletekből nyert relatív gyakoriságokkal közelíthetjük. Például a pénzdobás kísérlete esetén szabályos érmét feltételezve a változó elméleti eloszlása p 1 = 0.5, p 2 = x1 100 ismétlésből k 1 =52 fej és k 2 =48 írás lett az eredmény, tehát k 1 /100=0.52 és k 2 /100=0.48. Ez a változó tapasztalati eloszlása x x1 x2 Krisztina Boda Biostat 4.

21 Két kockával dobás Legyen az X valószínűségi változó a két dobás összege, melyek 2-12 közötti értékeket vehetnek fel, összesen 36- féleképpen: j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 i=1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) X i=2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) X i=3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) X i=4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) X i=5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) X i=6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) X a változó eloszlása diszkrét, de nem egyenletes / P(X=1) P(X=2) P(X=3) P(X=4) P(X=5) P(X=6) P(X=7) P(X=8) P(X=9) P(X=10) P(X=11) P(X=12) Krisztina Boda 21

22 Speciális diszkrét eloszlás: binomiális eloszlás 1. A kísérletünk egy olyan eseménnyel kapcsolatos, amelynek csak 2 kimenetele van (pl. sikeres, sikertelen) 2. A siker valószínűsége, p, konstans kísérletről kísérletre 3. Sok kísérletet végzünk, egymástól függetlenül Mi a valószínűsége, hogy n számú ismétlés során k számú legyen a sikeres? n k n k B( n, k) Pk P( X k) p q, k 0,1,..., n k n n n n k! k!( n k)!,! M(X)=np, D(X)=np(1-p)=npq Pl. Bizonyos populációban egy bizonyos betegség előfordulása 30%. Mi a valószínűsége, hogy egy n=10 elemű mintában pontosan k=4 ilyen beteg lesz? Krisztina Boda 22

23 "sikeres" esetek száma Valószínűség eloszlás Eloszlásfüggvény "Siker" valószínűsége Összesen 1 Valószínűség eloszlás Eloszlásfüggvény Binomiális eloszlás n=10, p változtatható, k=0,1,,10 Krisztina Boda 23

24 "sikeres" esetek száma Valószínűség eloszlás Eloszlásfüggvény "Siker" valószínűsége E-06 1 Összesen 1 Valószínűség eloszlás Eloszlásfüggvény Binomiális eloszlás n=10, p változtatható, k=0,1,,10 Pl. Bizonyos populációban egy bizonyos betegség előfordulása 30%. Mi a valószínűsége, hogy egy n=10 elemű mintában pontosan k=4 ilyen beteg lesz? Krisztina Boda 24

25 Binomiális eloszlások (p:annak valószínűsége, hogy az esemény sikeres, n=ismétlések száma) n=10, p=0.3 n=10, p=0.5 Krisztina Boda Biostat 4. 25

26 Binomiális eloszlások (p:annak valószínűsége, hogy az esemény sikeres, n=ismétlések száma) n=20, p=0.5 n=100, p=0.5 Krisztina Boda Biostat 4. 26

27 Poisson eloszlás ritka események száma Véges időszak, véges térrészben levő események, a mintában levő, adott tulajdonságú egyedek számának eloszlása Pl. a mikroszkóp látómezejében lévő vérsejtek száma A tér egy kiválasztott részében a halak száma Adott darab süteményben a mazsolák száma A Poisson eloszlás értelmezhező a binomiális eloszlás határeseteként, ha n nagy és az np= állandó. P( X k) f ( k) k e k! A képletben az eloszlás várható értéke és és varianciája is. Krisztina Boda 27

28 Pl. egy bizonyos betegségben a új előfordulások száma havonta átlagosan 3. Feltéve, hogy az új betegségek számának előfordulása Poisson eloszlást követ, mi a valószínűsége, hogy egy adott hónapban nem betegszik meg senki (0.0498) egy adott hónapban pontosan 2 új megbetegedés lesz (0.224) Az események száma Valószínűség eloszlás Eloszlásfüggvény Egy adott egységre eső események átlaga Összesen Valószínűség eloszlás Eloszlásfüggvény Krisztina Boda 28

29 Feltételes valószínűség: definíció Legyen adott két esemény, A és B (P(B)>0). Végezzük el n-szer egymástól függetlenül azt a kísérletet, amellyel ez a két esemény kapcsolatos. Válasszuk ki azokat az eseteket, amelyekben az B esemény bekövetkezett. Ezek száma k B, az B esemény gyakorisága. Ez utóbbi esetek némelyikében az A esemény is bekövetkezett, ezek száma k AB. E két gyakoriság hányadosa stabilitást mutat, ha a kísérletek számát növeljük. A P(AB)/P(B) számot az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük és a következőképpen jelöljük: P k k AB B k AB k n n B P(AB) P(B) ( A B) P( A B) P( B) Krisztina Boda Biostat 4. 29

30 Feltételes valószínűség és függetlenség Az A és B eseményeket függetlennek nevezzük egymástól, ha az A-nak B-re vonatkoztatott feltételes valószínűsége nem függ B-től: Ebben az esetben P( A B) P( A) így P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) Tehát ha két esemény független, akkor szorzatuk valószínűsége megegyezik a valószínűségeik szorzatával. Krisztina Boda Biostat 4. 30

31 Példa Két kockát, egy fehéret és egy pirosat dobunk fel egyszerre. Mi a valószínűsége, hogy mindkettőn 6-os az eredmény? Az összes lehetséges eset száma: 6*6=36 Kedvező esetek száma: 1 P( 6 mindkettőn)=1/36 Mi a valószínűsége, hogy a piros kockát 6 az eredmény, FELTÉVE, hogy a fehéren is 6-os az eredmény? (Feltételes valószínűség) A: az eredmény 6 a fehér kockán. P(A)=1/6 B: az eredmény 6 a piros kockán. P(B)=1/6 AB: az eredmény 6 a mindkét kockán. P(AB)=1/36 1 P( AB) P( A B) P( B) Most P(AB)=P(A)P(B). Tehát A és B függetlenek. Krisztina Boda Biostat 4. 31

32 Feltételes valószínűség: példa 20 páciens bizonyos labortesztjének az eredménye a következő: Teszt: Mi a pozitív teszteredmény valószínűsége? P(+)~5/20=0.25. De azt is tudjuk, hogy melyik páciens beteg valójában: Teszt: Betegség: B B B E E B B B E E E E E E E E E E E E Mi a pozitív teszteredmény valószínűsége, feltéve, hogy az illető beteg? Ekkor csak a betegek közül válogatjuk ki a pozitív teszteredményt: P(T + B)=3/6 A definíciónak megfelelő számítás P( T P( T B) P( B) Ezek a számok egy 2x2-es táblázatba írhatók. B) 3 6 Teszt Pozitív Negatív Beteg Igen (B) Nem ( E) Krisztina Boda Biostat 4. 32

33 Feltételes valószínűség: Példa 2 Példa. A következő táblázat egy bizonyos laboratóriumi teszt eredményeit mutatja a betegség csoportjaiban. Mi a valószínűsége, hogy a teszt pozitív eredményt ad, feltéve, hogy az illető valóban beteg? Jelölések B: Beteg E: Egészséges T + : a teszt pozitív T - : a teszt negatív Teszt Pozitív Negatív Beteg Igen (B) Nem ( E) P( T B) P P( T B) P( B) P( A B) ( A B) P( B) Krisztina Boda Biostat 4. 33

34 Feltételes valószínűség: Példa 3 Példa. A következő táblázat egy bizonyos laboratóriumi teszt eredményeit mutatja a betegség csoportjaiban. Mi a valószínűsége, hogy a teszt negatív eredményt ad, feltéve, hogy az illető valójában egészséges? Jelölések B: Beteg E: Egészséges T + : a teszt pozitív T - : a teszt negatív Teszt Pozitív Negatív Beteg Igen (B) Nem ( E) P( T E ) P P( T E) P( E ) P( A B) ( A B) P( B) Krisztina Boda Biostat 4. 34

35 Diagnosztikus tesztek A diagnosztikai eljárások valamely vizsgáló módszer, mérés (teszt) alapján következtetnek egy betegség fennállására. Ehhez szükség van egy standard tesztre, amelyet referenciának tekintünk, és amihez az általunk vizsgált új teszt eredményét hasonlítjuk. A megbízhatóság mérése a két mérési teszt eredményeinek az egyezésén alapul. Ugyanazokon a személyeken mért standard (és objektív) referencia teszt és az általunk aktuálisan vizsgált (új) teszt eredményét hasonlítjuk össze. 35 Krisztina Boda

36 Kereszt-osztályozás A referencia teszt Az általunk vizsgált (új) teszt eredménye Pozitív (beteg) Negatív (nem beteg) Pozitív VP Valódi pozitív (a) ÁP Álpozitív (b) Össz pozitív (a + b) Negatív ÁN Álnegatív (c) VN Valódi negatív (d) Össz negatív (c + d) Összes beteg (a + c) Összes nem beteg (b + d) Összes eset (n=a+b+c+d) Vigyázat! A táblázat egyes könyvekben fordítva jelenik meg, a sorok és oszlopok felcserélődnek. A táblázatból származtatott mutatók formulái ennek megfelelően módosulhatnak, a jelentésük és értékük természetesen nem változik! 36 Krisztina Boda

37 Mérőszámok a diagnosztikai tesztek pontosságára/megbízhatóságára Szenzitivitás és specificitás Pozitív és negatív prediktív érték A ROC görbe alatti terület.. 37 Krisztina Boda

38 Szenzitivitás, érzékenység A referencia teszt oldaláról nézve a teszt szenzitivitása vagy érzékenysége a tesztnek azon képessége, hogy helyesen diagnosztizálja a valóban betegeket, azaz, az összes beteg közül a teszt által betegnek minősített esetek aránya (valódi pozitív/összes beteg). Az általunk vizsgált (új) teszt eredménye A referencia teszt Pozitív (beteg) Negatív (nem beteg) Pozitív a b a + b Negatív c d c + d a + c b + d n Szenzitivitás = a/(a + c) 100% valódi pozitív esetek száma / összes beteg száma Krisztina Boda 38

39 Specificitás, specifikusság A teszt specifitása a teszt azon képessége, hogy helyesen ismerje fel a nem-betegeket az összes nem-beteg eset közül: az összes kontroll közül a teszt által negatívnak minősített esetek aránya (valódi negatív/összes kontroll). Az általunk vizsgált (új) teszt eredménye A referencia teszt Pozitív (beteg) Negatív (nem beteg) Pozitív a b a + b Negatív c d c + d a + c b + d n Specificitás = d/(b + d) 100% valódi negatív esetek száma / összes kontroll száma Krisztina Boda 39

40 Prediktív (jósló) értékek - Predictive values A teszt oldaláról nézve azt is vizsgálhatjuk, hogy mi a valószínűsége annak, hogy a teszt helyes diagnózist adott. 40 Krisztina Boda

41 Pozitív prediktív érték A pozitív prediktív érték (PPV Positive Predictive Value) az összes, a teszt által pozitívnak minősített esethez képest a valódi pozitív esetek aránya (Valódi pozitív/összes pozitív). Például egy 80%-os pozitív prediktív érték azt jelenti, hogy a teszt által pozitívnak minősített személyek közül 80% valóban beteg. Az általunk vizsgált (új) teszt eredménye A referencia teszt Pozitív (beteg) Negatív (nem beteg) Pozitív a b a + b Negatív c d c + d a + c b + d n PPV = a / (a + b) 100% a valódi pozitív esetek száma /össz pozitív Krisztina Boda 41

42 Negatív prediktív érték A negatív prediktív érték (NPV Negative Predictive Value) az összes, a teszt által negatívnak minősített esethez képest a valódi negatív esetek aránya (Valódi negatív/összes negatív). Az általunk vizsgált (új) teszt eredménye A referencia teszt Pozitív (beteg) Negatív (nem beteg) Pozitív a b a + b Negatív c d c + d a + c b + d n NPV = d / (c + d) 100% a valódi negatív esetek száma /össz negatív Krisztina Boda 42

43 A diagnosztikus tesztek legfontosabb mérőszámai Szenzitivitás= a/(a+c) 100% P(T + B) = P(T + B)/P(B) Specificikusság= d/(b+d) 100% P(T - E ) = P(T - E )/P(E ) Pozitív prediktív érték= a/(a+b) 100% Negatív prediktív érték = d/(c+d) 100% Validitás = (a+d)/(a+b+c+d) 100% Álnegatívitási arány= c/(a+c) 100% ; Álpozitívitási arány= b/(b+d) 100% ; Új teszt A referencia teszt Pozitív (B) Negatív (E) Pozitív a b a + b Negatív c d c + d a + c b + d n Valódi pozitív esetek száma: a Valódi negatív esetek száma : d Álpozitív esetek száma : b Álnegatív esetek száma : c Krisztina Boda Biostat 4. 43

44 Példa a diagnosztikus tesztek mérőszámainak számítására Szenzitivitás= a/(a+c) 100% =15/20 100% = =75% Specificitás= d/(b+d) 100% =70/80 100% = =87.5% Pozitív prediktív érték= a/(a+b) 100%= =15/25 100%=60% Negatív prediktív érték = d/(c+d) 100%= =70/75 100%=93.3% Validitás =(a+d)/(a+b+c+d) 100%=85% Álnegativitási arány= c/(a+c) 100%= =5/20 100%=25% Álpozitivitási arány= b/(b+d) 100%= =10/25 100%=40% Új teszt Referencia teszt Pozitív (B) Negatív (E) Positív a=15 b=10 25 Negatív c=5 d= Valódi pozitív esetek száma: a Valódi negatív esetek száma : d Álpozitív esetek száma : b Álnegatív esetek száma : c Krisztina Boda Biostat 4. 44

45 ROC görbe (Receiver Operating Characteristic) Diagnosztikai vagy osztályba sorolási eljárások, mérési módszerek jellemzésére szolgáló görbe, a különböző álpozitivitási (lásd: álpozitivitás, specifikusság) arányokhoz tartozó szenzitivitásértékeket (lásd: szenzitivitás) ábrázolja. Mérési, diagnosztizálási vagy osztályozási módszerek teljesítményének összehasonlítására alkalmazható abban az esetben, ha a mérés (osztályozás, diagnózis) pontos eredménye vagy valamely elfogadott becslése ismert. Krisztina Boda 45

46 A ROC-görbe Receiver operating characteristics curve Az (1 specificitás, szenzitivitás) koordinátájú pontokat összekötve (folytonos mérés esetén görbét illesztve) kapjuk a ROC görbét. A ROC görbe alatti terület alkalmas mérték különböző módszerek hasznosságának, prediktív erejének összehasonlítására. A laborvizsgálat eredménye általában folytonos változóval jellemezhető, ilyenkor keressük az az ún. kritikus értéket ( cut-point ), amely alapján a legjobb a pozitív és negatív esetek szétválasztása, megítélése. Ezen értékhatár használata dönti el a diagnosztikus teszt eredményét. Ha találunk olyan értékhatárt, ami egyértelműen elválasztja a pozitív és a negatív eseteket (tökéletes teszt), akkor a ROC görbe kiegyenesedik egy függőleges és egy vízszintes vonallá az ábra bal oldalán és tetején haladva. Ha teljes a keveredés, akkor a ROC görbe a négyzet átlója. A görbe alatti terület maximális értéke 1; a nagyobb érték nagyobb prediktív erőt jelent. Az ábrán a kék görbével jelzett tesztnek jobb a diagnosztizáló képessége 46 Krisztina Boda

47 Kiváló diagnosztikus teszt Krisztina Boda Biostat 4. 47

48 Átlagos teszt Krisztina Boda Biostat 4. 48

49 ROC görbe alatti terület ROC = 0,5 ROC < 0,7 0,7 ROC < 0,8 0,8 ROC < 0,9 ROC 0,9 Nem használható teszt Gyenge szétválaszthatóság Elfogadható a teszt Jó diagnosztikus teszt Kiváló diagnosztikus teszt Krisztina Boda 49

50 A ROC görbe készítése, példa Krisztina Boda 50

51 Küszöb Szenz. Spec % 100% % 80% % 70% % 65% 0 100% 0% 51 Krisztina Boda

52 Küszöb Szenz. Spec % 100% % 80% % 70% % 65% 0 100% 0% 52 Krisztina Boda

53 Küszöb Szenz. Spec % 100% % 80% % 70% % 65% 0 100% 0% 53 Krisztina Boda

54 Küszöb Szenz. Spec % 100% % 80% % 70% % 65% 0 100% 0% 54 Krisztina Boda

55 Küszöb Szenz. Spec % 100% % 80% % 70% % 65% 0 100% 0% 55 Krisztina Boda

56 Szenzitivitás ROC-görbe a BNP-re 100% Küszöb 0 80% Küszöb 18.7 Küszöb 19.8 Küszöb Szenz. Spec. 1-spec. 60% Küszöb % 100% 0% % 80% 20% 40% % 70% 30% 20% % 65% 35% 0% Küszöb % 20% 40% 60% 80% 100% 0 100% 0% 100% 1-specificitás 56 Krisztina Boda

57 Példa Ditchburn and Ditchburn(1990) Üledékes vizsgálat alapján 229 gennyes vizeletet vizsgáltak mikrobiológiai laboratóriumban a standardnak tekintett tenyésztéssel, és egy gyors - teszttel. A vizsgálatok eredményeit négymezős táblázatban összefoglalva kapjuk Krisztina Boda 57

58 Krisztina Boda Biostat 4. 58

59 Megfigyelt gyakoriságok Culture test Positive Negative Dipstick Positive Negative Szenzitivitás = a/(a+c)=84/94 = Specificitás = d/(b+d)=92/135 = Pozitív jósló érték = a/(a+b)=84/127 = Negatív jósló érték =d/(c+d)=92/102 = Validitás = (84+92)/ 229 =0.77 Krisztina Boda Biostat 4. 59

60 Ritka betegségek szűrővizsgálata A diagnosztikus teszt megválasztása: Szenzitivitás legalább 90%, Specificitás 99,9%. Krisztina Boda 60

61 Élsport Miért alkalmaznak kettős ellenőrző vizsgálatot? 1. teszt: magas specificitás (99,9%) és NPV. 2. teszt: magas szenzitivitás (99,9%) és PPV. Krisztina Boda 61

62 Folytonos valószínűségi változó Az X valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha a lehetséges értékei egy adott intervallumba eső bármely valós szám (végtelen sok érték). Az X valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha van olyan f(x) 0 függvény, hogy a számegyenes minden (a,b) intervalluma esetén F ( b) F( a) P( a x b) f ( x) dx Az X folytonos változó eloszlását a sűrűségfüggvény írja le, megmutatja, hogy melyek az X lehetséges értékei, és azok milyen valószínűséggel esnek egyes intervallumokba. A sűrűségfüggvény A vízszintes tengely felett van (f(x) 0) egy adott intervallumba esés valószínűsége=a görbe alatti terület az adott intervallumon a teljes görbe alatti terület =1 b a P(A) A Krisztina Boda 62

63 A sűrűségfüggvény görbéje az eloszlás alakjának leírására való idalizált görbe, amely az aktuálisan mért adatok ( minta ) alapján nyert hisztogram véletlen ingadozásait kisimítja. A sűrűségfüggvény Értékei mindig nemnegatívak f(x) 0, és A görbe alatti teljes terület=1. f ( x) dx A görbe alatti terület bármely intervallum felett megegyezik az adott intervalumba eső megfigyelések arányával az összes esethez viszonyítva. b a Sűrűségfüggvény 1 f ( x) dx P( a x b) Krisztina Boda 63

64 A sűrűségfüggvény 1. A vízszintes tengely felett van (f(x) 0) A sűrűségfüggvény 2. A görbe alatti teljes terület=1. f ( x) dx 1 a b 3. Egy adott intervallumba esés valószínűsége = a görbe alatti terület az adott intervallumon b a f ( x) dx P( a x b) Krisztina Boda 64

65 Eloszlásfüggvény Tekintsük az X valószínűségi változót és egy x tetszőleges valós számot (- és között) és vizsgáljuk az (X<x) esemény valószínűségét. Ezt a valószínűséget (amely x függvénye) az X valószínűségi változó (kumulatív) eloszlásfüggvényének nevezzük és F(x)-szel jelöljük: F(x)=P(X<x). Krisztina Boda 65

66 Diszkrét változók eloszlásfüggvénye Kockadobás eloszlásfüggvénye 2 kockával dobás eloszlásfüggvénye Krisztina Boda 66

67 Folytonos változók eloszlásfüggvénye 0.6 y=normal(x;0;1) 1.0 p=inormal(x;0;1) Egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye Standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye Krisztina Boda 67

68 Az eloszlásfüggvény tulajdonságai Az egész számegyenesen értelmezve van növekvő (nemcsökkenő) balról folytonos Mínusz végtelenben a 0-t, plusz végtelenben az 1-et közelíti Krisztina Boda 68

69 Kapcsolat a sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény között x F ( x) f ( t) dt a f ( x) F '( x) Krisztina Boda 69

70 Speciális folytonos eloszlások: egyenletes eloszlás Sűrűségfüggvénye f(x)=c=1/(b-a), ha a x<b, f(x)=0, ha x<a vagy x b Példa. Legyen a változó egy óra mutatójának a helyzete fokokban mérve, tetszőleges időpillanatban. A sűrűségfüggvénye a (0,360) intervallum felett konstans (c=1/360), másutt f(x) Krisztina Boda 70 F(x)

71 Exponenciális eloszlás Sűrűségfüggvénye f(x)= e - x, ha x > 0, különben 0. A λ állandót az eloszlás paraméterének tekintjük. Eloszlásfüggvénye F(x)=1- e - x, ha x > 0. Exponenciális eloszlást követnek a különféle várakozási idők, például a radioaktív bomlás során az egyes atomok élettartama. Ugyancsak exponenciális eloszlásúak a használati tárgyak vagy azok különböző alkatrészeinek élettartamai, ha csak véletlen törés következtében ment tönkre. Akárhogyan választunk egy időpontot, ha az objektum eddig nem pusztult el, akkor úgy tekinthető, mintha ebben az időpontban született volna Krisztina Boda 71

72 y Az exponenciális eloszlás λ= 1 λ=1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 f(x) F(x) 0,4 0,3 0,2 0, y Krisztina Boda 72

73 Frequency Normális eloszlások Jelölés: N(, 2 ) A hisztogramot kisimító görbe gyakran szimmetrikus, egycsúcsú, harang alakú görbe. Ez a görbe egyértelműen leírható két paraméterrel: a középpel és a standard deviációval (szórás). Az ábrán a kék vonalat a mintából számolt átlag és szórás alapján rajzoltuk be. Body height Std. Dev = 8.52 Mean = N = Body height Krisztina Boda 73

74 Krisztina Boda Biostat 4. 74

75 Krisztina Boda Biostat 4. 75

76 Krisztina Boda Biostat 4. 76

77 Egy speciális, nevezetes folytonos valószínűségeloszlás: a normális eloszlás A normális eloszlást matematikailag DeMoivre fedezte fel 1733-ban, mint a binomiális eloszlás határesetét. Laplace alkalmazta a normális eloszlást 1783-ban a hibák eloszlásának leírására. Gauss csillagászati adatok feldolgozására alkalmazta a normális eloszlást in A normális eloszlást gyakran nevezik Gauss-eloszlásnak is A harang-görbe is gyakran használt kifejezés Carl Friedrich Gauss ( ), Christian Albrecht Jensen festette Krisztina Boda Biostat 4. 77

78 N(0,1) N(1,1) 0.6 Probability Density Function y =normal(x;0;1) 1.0 Probability Distribution Function p=inormal(x;0;1) Probability Density Function y =normal(x;1;1) Probabil p Probability Density Function Probability Distribution Function y =normal(x;0;2) p=inormal(x;0;2) N(0,2 2 ) Krisztina Boda 78

79 Standard normális eloszlás (N(0,1), azaz =0 és =1) sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye y=normal(x;0;1) p=inormal(x;0;1) Krisztina Boda 79

80 N(1,1) normális eloszlás sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye y=normal(x;1;1) p=inormal(x;1;1) Krisztina Boda 80

81 N(2,1) normális eloszlás sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye y=normal(x;2;1) p=inormal(x;2;1) Krisztina Boda 81

82 N(0,2 2 ) normális eloszlás sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye y=normal(x;0;2) p=inormal(x;0;2) Krisztina Boda 82

83 N(0,3 2 ) normális eloszlás sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye y=normal(x;0;3) p=inormal(x;0;3) Krisztina Boda 83

84 N(0,0.5 2 ) normális eloszlás sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye y=normal(x;0;0.5) p=inormal(x;0;0.5) Krisztina Boda 84

85 Harang alakú Szimmetrikus Fő tulajdonságai Paraméterei: µ - elméleti átlag, - elméleti szórás Középpontja: µ = átlag=medián=módus Szóródás (szélesség): Inflexiós pontok: µ-, µ+ A szabály (következő dia) Krisztina Boda 85

86 A szabály Egy és paraméterekkel meghatározott normális eloszlás esetén: A megfigyelések 68% -a esik a középtől egyszeres távolságra A megfigyelések 95% -a esik a középtől kétszeres távolságra A megfigyelések 99.7% -a esik a középtől 3-szoros távolságra Krisztina Boda 86

87 Az eloszlás elképzelése adott átlag és szórás (SD) alapján (normális eloszlást feltételezve) A cikkekben a táblázatok leggyakrabban az átlagot és a szórást ismertetik. Ezek alapján el tudjuk képzelni, milyen lehet az eloszlás Pl. életkor (év) Ebben az intervallumban van az adatok 95.44%-a Krisztina Boda 87

88 Az SD ferde eloszlások esetén Stent length per lesion (mm): Ezekkel a paraméterekkel a következő eloszlás képzelhető el: A szórás a ferde eloszlás miatt lett nagy. Ezért gyakran a standard deviáció helyett a standard errort adják meg a táblázatokban vagy ábrákon. Az valóban kisebb, de mást jelent Probability Density Function y=normal(x;18.8;10.5) Prob Krisztina Boda 88

89 z Standard normális eloszlás táblázata (részlet) z-től balra eső terület aránya >pnorm(0) [1] 0.5 > pnorm(1) [1] > pnorm(-1) [1] Krisztina Boda 89

90 Ha X ~ 2 N(, ) Standardizálás tehát az X változó normális eloszlást követ μ és σ paraméterekkel, X akkor a z ~ N(0,1), z X tehát a változó standard normális eloszlású. Krisztina Boda 90

91 Valószínűségek kiszámítása a standard normális eloszlás táblázata alapján a standardizálás segítségével Legyen X~N(70,10 2 ), azaz normális eloszlású =70 és =10 paraméterekkel. 1. Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy X értéke 50- nél kisebb, P(X<50). Megoldás. Az 50-nek megfelelő z-érték 50 z P(X<50)=P(z<-2)= Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy X értéke 100- nál nagyobb, P(X>100). Megoldás. A 110-nek megfelelő z-érték z 10 3 P(X>100)=P(z>3)=1-p(z<3)= = z z-től balra eső terület aránya Krisztina Boda 91

92 Valószínűségek kiszámítása R függvénnyel Legyen X~N(70,10 2 ), azaz normális eloszlású =70 és =10 paraméterekkel. 1. Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy X értéke 50-nél kisebb, P(X<50). > pnorm(50, mean=70, sd=10) [1] Számítsuk ki annak valószínűségét, hogy X értéke 100-nál nagyobb, P(X>100). > 1-pnorm(100, mean=70, sd=10) [1] Krisztina Boda 92

93 Mintavétel normális eloszlásból 1 ötelemű minta vétele után (2. sor) 1 átlagot kapok (3. sor) 1000 ötelemű minta vétele után (2. sor) az 1000 átlag eloszlása közelítően normális (3. sor) Krisztina Boda 93

94 Mintavétel nem normális eloszlásból Krisztina Boda 94

95 Centrális határeloszlás tétel Egy átlagú és szórású populációból vett nagy elemszámú minták átlagai olyan populációból származnak, melynek eloszlása (az átlagolással nyert új populáció eloszlása): közelítően normális eloszlású az átlaga (az összes lehetséges minták átlagainak az átlaga) ugyanaz, mint a populáció átlaga,. A standard deviáció kisebb az eredeti populáció standard deviációjánál: n függetlenül az eredeti populáció eloszlásától n : az átlag szórása, standard error, SE Krisztina Boda 95

96 Standard error számítása, ha nem ismert Az x 1, x 2, x 3,, x n statisztikai minta adatai alapján a standard errort a minta standard deviációból számítjuk: SE n SD n standard deviáció n Azt fejezi ki, hogy a populációból vett újabb minták alapján számolt különböző átlagok hogyan ingadoznak az (ismeretlen) populáció-átlag körül. Krisztina Boda 96

97 SD vagy SE? (SD) (SE, n=100) Probability Density Function y=normal(x;52.2;1.57) Ebben az intervallumban van az adatok 95.44%-a Ebben az intervallumban van az igazi átlag 95.44%-os valószínűséggel Krisztina Boda 97

98 Kérdések A valószínűség heurisztikus elve Szabály a valószínűség pontos kiszámítására. Mely esetben alkalmazható? A feltételes valószínűség definíciója. A valószínűségi függetlenség definíciója A diagnosztikus tesztek célja Szenzitivitás, specificitás definíciója. Pozitív és negatív jósló érték definíciója. Milyen vizsgálatnál alkalmazzuk a ROC görbét? Mit jelent a ROC görbe alatti terület nagysága? Miért alkalmaznak kettős doppingvizsgálatot az élsportban? Milyen tulajdonságú diagnosztikus tesztet javasolna általános szűrésre? Diszkrét változó eloszlásának definíciója A diszkrét eloszlás tulajdonságai Folytonos változó eloszlásának definíciója A folytonos eloszlás tulajdonságai Az eloszlásfüggvény deifníciója, tulajdonságai A binomiális eloszlás Diszkrét és folytonos egyenletes eloszlás A Poisson eloszlás A normális eloszlás A normális eloszlás paraméterei A normális eloszlás tulajdonságai A centrális határeloszlás tétel Az átlag szórása (standar error of mean) Krisztina Boda 98

99 Feladatok 1. Egy kockát feldobva 6 lehetséges kimenetel van, Ha X jelöli a dobás eredményét, számítsuk ki a következõ valószínűségeket: a) P(X=1); b) P(X>1); c) P(1<X<4) 2. Egy pénzérmét kétszer egymás után feldobunk. Soroljuk fel az elemi eseményeket! Mi annak a valószínűsége, hogy mindkét dobás írás? 3. A standard normális eloszlás táblázata alapján adja meg a következő valószínűségeket és ábrázolja a jelentésüket: a) P(X<0)=. b) P(X>0)=.. c)p(x<1)=. d) P(X>1)=.. e)p(x<-1)=..f)p(-1<x<1)= 4. Bizonyos laboradatok normális eloszlást mutatnak a következő paraméterekkel: N(120,10 2 ) =120, =10. a) Mi a valószínűsége, hogy az eredmények 120-nál kisebbek? b) Mi a valószínűsége, hogy az eredmények 100 és 140 közé esnek? 5. Két diagnosztikus teszt összehasonlításakor a következő gyakoriságokat kapták. Számolja ki a teszt érzékenységét, specifikusságát és a negatív, illetve pozitív prediktív értékeket!! 6. Egy diagnosztikus tesztnél a 300 vizsgálatból 270 valódi pozitív és 30 valódi negatív eredményt találtak. Mekkora a módszer érzékenysége? 7. Mekkora a módszer specifikussága? 8. Mekkora a módszer pozitív prediktív értéke? Standard teszt Új teszt Pozitív Negatív Pozitív 60 5 Negatív Egy diagnosztikus tesztnél 90 valódi pozitív és 10 ál-pozitív eredményt találtak. A megadott adatokból jellemezze a diagnosztikus tesztet (Melyik paraméter számolható, és mekkora az értéke)? 10. Egy diagnosztikus tesztnél 90 valódi negatív és 10 ál-pozitív eredményt találtak. A megadott adatokból jellemezze a diagnosztikus tesztet (Melyik paraméter számolható, és mekkora az értéke)? Krisztina Boda 99

100 Hasznos WEB oldalak Klinikai Biostatisztikai Társaság Rice Virtual Lab in Statistics Statistics on the Web Hisztogram alakjának változása Old Faithful m.html Krisztina Boda 100