KVANTITATÍV MÓDSZEREK

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar Üzleti Tudományok Intézet Dr. Kövesi János Erdei János Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter Dr. Jónás Tamás KVANTITATÍV MÓDSZEREK oktatási segédanyag Budapest, 03

2 TARTALOMJEGYZÉK I. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK... 5 I. A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA... 7 I. MŰVELETEK ESEMÉNYEKKEL... 8 I.3 A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS AXIÓMARENDSZERE... I.4 VALÓSZÍNŰSÉG MEGHATÁROZÁSÁNAK MÓDSZEREI... I.5 A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA... 4 I.6 A TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE... 6 I.7 BAYES-TÉTEL... 7 I.8 FA DIAGRAM... 8 I.9 ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE... 9 II. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK... II. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ JELLEMZŐI... II. DISZKRÉT ELMÉLETI ELOSZLÁSOK... 6 II..a Karakterisztikus eloszlás... 6 II..b Diszkrét egyenletes eloszlás... 6 II..c Binomiális eloszlás... 6 II..d Hipergeometrikus eloszlás... 7 II..e Poisson-eloszlás... 8 II.3 FOLYTONOS ELMÉLETI ELOSZLÁSOK... 9 II.3.a Folytonos egyenletes eloszlás... 9 II.3.b Exponenciális eloszlás II.3.c Normális (Gauss-) eloszlás II.4 A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYEI II.4.a Nagy számok törvényének Bernoulli-féle alakja II.4.b Központi határeloszlás tétele II.5 TAPASZTALATI (EMPIRIKUS) ELOSZLÁSFÜGGVÉNY III. MINTAVÉTEL III. A MATEMATIKAI STATISZTIKA TÁRGYA III. MINTAVÉTELI HIBA III.3 MINTAVÉTELI ELJÁRÁSOK III.3.a Egyszerű véletlen mintavétel III.3.b Rétegzett mintavétel III.3.c Csoportos mintavétel... 4 III.3.d Többlépcsős mintavétel... 4 III.3.e Nemvéletlen mintavételi eljárások... 4 IV. LEÍRÓ STATISZTIKA IV. A LEÍRÓ STATISZTIKA HELYE, SZEREPE A STATISZTIKA VILÁGÁBAN IV. A STATISZTIKAI LEÍRÁS CÉLJA, MÓDSZEREI IV.3 AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA IV.4 TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK IV.5 TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK KÖZÉPÉRTÉK MUTATÓI IV.5.a Medián (Me) IV.5.b Módusz (Mo) IV.5.c Számtani átlag ( ) x IV.5.d Egyéb átlagfajták IV.5.e Választás a középértékek között IV.5.f Kvantilisek IV.6 AZ INGADOZÁS MÉRŐSZÁMAI... 6 IV.6.a Terjedelem (R)... 6 IV.6.b Átlagos abszolút különbség (G) IV.6.c Átlagos abszolút eltérés ( ) IV.6.d Tapasztalati szórás (s), korrigált tapasztalati szórás (s * ) IV.6.e Relatív szórás (v) IV.7 AZ ELOSZLÁS ALAKJÁT JELLEMZŐ EGYÉB MUTATÓSZÁMOK... 65

3 IV.7.a Aszimmetria mutató IV.7.b Csúcsossági mutató IV.8 ESETTANULMÁNY LEÍRÓ STATISZTIKAI ELEMZÉS V. BECSLÉS V. A BECSLÉS TULAJDONSÁGAI V..a Torzítatlan becslés V..b Konzisztens becslés V..c Hatásos becslés V..d Elégséges becslés: V. A PONTBECSLÉS MÓDSZEREI V..a Exponenciális eloszlás paraméterének grafikus becslése V..b Normális eloszlás paramétereinek grafikus becslése V.3 INTERVALLUMBECSLÉS... 8 V.3.a Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére... 8 V.3.b Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére, elméleti szórás ismeretlen V.3.c Sokasági arány becslése V.3.d Sokasági variancia becslése, V.3.e Konfidenciaintervallum két sokaság várható értékének különbségére, független mintavétel V.3.f Két sokasági arány közötti különbség becslése V.3.g A minta elemszámának meghatározása... 9 VI. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK: NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK... 9 VI. A HIPOTÉZISVIZSGÁLAT ÁLTALÁNOS MENETE VI. ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT χ -PRÓBÁVAL VI.3 ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT KOLMOGOROV-PRÓBÁVAL VI.4 χ -PRÓBA ALKALMAZÁSA HOMOGENITÁSVIZSGÁLATRA VI.5 χ -PRÓBA ALKALMAZÁSA FÜGGETLENSÉGVIZSGÁLATRA... 0 VI.5.a Asszociációs kapcsolat szorossága VI.6 SOROZATPRÓBA VI.7 MANN-WHITNEY PRÓBA VII. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK: PARAMÉTERES PRÓBÁK VII. EGYMINTÁS PRÓBÁK... 0 VII..a Szórásnégyzetre vonatkozó próba... 0 VII..b Várható értékre irányuló próbák... VII..c Sokasági arányra irányuló nagymintás próba... 3 VII. KÉTMINTÁS PRÓBÁK... 5 VII..a Két szórásnégyzet (szórás) összehasonlítása... 5 VII..b Két független minta várható értékének összehasonlítása... 6 VII..c Páros minták várható értékének összehasonlítása... 9 VII..d Aránypróba... VII.3 TÖBBMINTÁS PRÓBÁK... 3 VII.3.a Több szórás összehasonlítására vonatkozó próbák... 3 VII.3.b Varianciaanalízis... 5 VIII. KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESZIÓELEMZÉS... 8 VIII. KAPCSOLATOK JELLEGE... 9 VIII. A KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT SZEMLÉLTETÉSE VIII.3 KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS... 3 VIII.3.a A kétváltozós regressziós modell... 3 VIII.3.b Korrelációs mérőszámok VIII.3.c Intervallumbecslés... 4 VIII.3.d A regressziófüggvény eredményeinek ellenőrzése: hipotézisvizsgálatok... 4 VIII.4 PÉLDA KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁSRA IX. DÖNTÉSELMÉLET IX. BEVEZETÉS IX. ESETPÉLDA IX.3 A DÖNTÉSI ALAPMODELL

4 IX.4 A DÖNTÉSI MÁTRIX IX.5 A DÖNTÉSI FOLYAMAT LOGIKÁJA IX.6 BIZONYTALAN DÖNTÉSEK OSZTÁLYA... 6 IX.6.a A valószínűség, mint döntési kritérium IX.6.b Kombinált kritériumok IX.7 KOCKÁZATOS DÖNTÉSEK OSZTÁLYA IX.7.a Kockázatos döntés az elsődleges információk alapján... 7 IX.7.b Teljes információ IX.7.c A teljes információ várható értéke (TIV) IX.7.d Kockázatos döntés a pótlólagos információk alapján, nem teljes információ IX.7.e Kockázatos döntés az etikai neutralitás elve alapján: IX.7.f Biztos döntések osztálya IX.7.g Döntés konfliktus esetén... 8 X. KOMPLEX RENDSZEREK ÖSSZEMÉRÉSI PROBLÉMAI, RANGMÓDSZEREK ALKALMAZÁSA... 8 X. BEVEZETÉS X. A MÉRÉS, A MÉRÉSI SKÁLÁK X..a Névleges (nominális) skála X..b Sorrendi (ordinális skála) X..c Intervallumskála X..d Arányskála (abszolút skála) X.3 KOMPLEX RENDSZEREK ÖSSZEMÉRÉSI PROBLÉMÁI X.3.a Az értékelési tényezők súlyozása X.3.b Súlyozás sorrendi skálán X.3.c A következetesség szignifikancia vizsgálata X.3.d Súlyozás intervallumskálán... 9 X.4 CSOPORTOS DÖNTÉS X.4.a Teljes egyetértés és teljes ellentét X.4.b A Kendall-féle rangkonkordancia együttható szignifikancia vizsgálata X.5 SPEARMAN-FÉLE RANGKORRELÁCIÓ XI. BEVEZETÉS A MENEDZSMENT LÁGY SZÁMÍTÁSI MÓDSZEREIBE... 0 XI. ÜZLETI FOLYAMATOK JÓSÁGÁNAK, MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK ÉRTELMEZÉSE XI..a Karakterisztikák és attribútumok mutatószám alapú mérése XI..b A mérések eredményeinek értékelése XI. ÜZLETI FOLYAMATOK JÓSÁGÁNAK, MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK FUZZY ALAPÚ ÉRTÉKELÉSE XI..a Tradicionális megközelítés XI..b Fuzzy megközelítés XI.3 FUZZY ALKALMAZÁSOK AZ ÜZLETI TUDOMÁNYOK TERÜLETÉN... 8 XII. FELHASZNÁLT IRODALOM... 9 XIII. FÜGGELÉK: TÁBLÁZATOK... 4

5 I. Valószínűségszámítási alapok Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet Matematikai statisztika Axiómák, alaptételek Kombinatorika Geometriai val.sz. Val.szám. tételek Elméleti eloszlások Mintavétel Leíró statisztika Becslés Hipotézisvizsgálat Összefüggésvizsgálat A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 990; Szabó G. Cs. (szerk.): Alkalmazott statisztika I., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 994; Reimann J. Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 985, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült. 5

6 A hétköznapi és az üzleti életben is gyakran használunk olyan kifejezéseket, mint nem valószínű, biztosra vehető, elképzelhető, esélytelen, valószínűleg, nem biztos, stb. Ezek a kifejezések egy kívánt, vagy éppen elkerülendő eseménnyel kapcsolatos bizonytalanságot mutatják. Nem tudjuk pontosan megmondani, hogy bekövetkezik-e az általunk feltételezett történés. Bármennyire is igyekszünk kiszámíthatóvá tenni a gazdasági és üzleti élet folyamatait, s számokkal jellemezni szinte minden tevékenységünket, a legtöbb esetben annyira összetettek ezek a folyamatok, annyira sok szempontot kell figyelembe venni a döntéseknél, hogy lehetetlen minden tényezőt pontosan felmérni, számszerűsíteni. Még ha össze is gyűjtjük az összes látható, megismerhető adatot, nagyon kevés eseményt lehet pontosan előre jelezni. Melyik vállalat lehet például biztos abban, hogy a termékei mindig sikeresek lesznek, vagy, hogy az üzleti környezete stabil marad, vagy, hogy szervezeti formája éppen az adott körülményeknek megfelelő? Sokan úgy vélik a véletlen események kezelhetetlenek, nem kiszámíthatók, ezért döntéseinkben legfeljebb a szerencsére hagyatkozhatunk. Sőt időnként hajlamosak vagyunk a véletlent azonosítani az oknélküliséggel, a rendezetlenséggel, a sors szeszélyének, a vakszerencsének betudni a következményeket. Néha valóban nincs más mód, mint a megérzéseinkre, ösztöneinkre, jobb esetben szakmai tudásunkra, tapasztalatunkra hallgatni, de sok esetben a véletlen események törvényszerűségei is megismerhetők, a várható eredmények modellezhetők. Éppen ezzel foglalkozik a matematika egyik ága, a valószínűségszámítás. A valóságban megfigyelt eseményeknek alapvetően két fajtáját különböztethetjük meg, attól függően, hogy a kezdeti, kiindulási feltételekből mennyire tudunk következtetni az esemény végkimenetelére. Ha az ún. peremfeltételeket feltárjuk, s ismertek a jelenség lefolyásának szabályai is, a feltételek ismeretéből viszonylag nagy pontossággal megadható a végeredmény. Ezeket hívjuk determinisztikus jelenségeknek. A legtöbb ilyen a természettudományok területén figyelhető meg. A csillagászok például nagy pontossággal meg tudják mondani, hogy mikor tér vissza a Föld közelébe egy üstökös, mikor és hol várható teljes vagy részleges napfogyatkozás. Ohm-törvénye ismeretében pontosan kiszámolható, hogy adott ellenállás és feszültség mellett mekkora áramerősség folyik egy vezetékben. Még hosszasan sorolhatnánk a példákat a műszaki és természettudományi területekről. A társadalmi, gazdasági élet törvényszerűségeit is igyekszünk minél jobban megismerni, de e területeken már nem annyira egyértelműek a feltételek, a szabályok, mint a természettudományokban. A jelenségek másik nagy csoportjánál nem tudjuk, de lehet, hogy nem is akarjuk feltárni az összes peremfeltételt, nem ismerjük a jelenség lefolyásának pontos törvényszerűségeit, így nem lehet előre megadni, hogy milyen eredmény következik be. Ezeket a jelenségeket véletlen, sztochasztikus jelenségeknek nevezzük. A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek feltárásával, leírásával foglalkozik. Véletlen (sztohasztikus) jelenségen olyan eseményeket, folyamatokat értünk tehát, amelyeknél a figyelembe vett (vehető) körülmények, környezeti feltételek nem határozzák meg egyértelműen a jelenség lefolyását, így annak több végeredménye, kimenetele lehet. Ha e véletlen jelenségek elvileg azonos körülmények között tetszőleges számban megfigyelhetők ill. megismételhetők, akkor az ilyen jelenségeket véletlen tömegjelenségnek nevezzük. (A véletlen jelenségekkel kapcsolatos megfigyeléseket szokás kísérleteknek is nevezni, függetlenül attól, hogy a jelenséget csak megfigyeljük, vagy annak előidézésében tevékenyen közreműködtünk.) 6

7 I. A valószínűség fogalma A véletlen események egyik legfontosabb jellemzője bekövetkezésük valószínűsége. A valószínűségszámítás elmélete abból indul ki, hogy a véletlen kísérletek lehetséges eredményeihez egyértelműen hozzárendelhető egy számérték: az adott esemény valószínűsége. A valószínűségszámítás alapvető célja az események ezen objektív valószínűségének a meghatározása. Objektív valószínűségen azt értjük, hogy egy adott kísérlet során egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott mérőszám, amely független attól, hogy ismerjük-e, meg tudjuk-e határozni, illetve milyen pontosan tudjuk meghatározni. A valószínűség fogalmát többféleképpen is definiálhatjuk. Az ún. klasszikus valószínűség meghatározás szerint a valószínűség nem más, mint a számunkra kedvező esetek száma, osztva az összes lehetséges eset számával. Ez a megközelítés azonban csak akkor alkalmazható, ha az összes elemi esemény valószínűsége azonos. (Ez a helyzet leginkább a szerencsejátékoknál áll elő. E játékok vizsgálata vezetett a valószínűségszámítás kialakulásához, ezért nevezzük ezt a területet klasszikus valószínűségszámításnak.) A tapasztalati alapú, statisztikai oldalról közelítő definíció szerint a valószínűség az a számérték, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik (. ábra). A relatív gyakoriság (jelölése: g A v. g(a)) a megfigyelt (kedvező) esemény (jelöljük A-val) bekövetkezésének száma (f A v. f(a)) osztva az összes kísérlet, megfigyelés számával (n). Az f A számot az A esemény gyakoriságának nevezzük. Az események valószínűségét P betűvel jelöljük, zárójelbe téve a vizsgált eseményt. Az A esemény valószínűségének jelölése: P(A). A valószínűség fogalma A n f(a) g( A) f ( A) n lim n g( A) P( A) Készítette: Erdei János. ábra: A valószínűség fogalma Lásd pl. Szabó G. Cs. (szerk.): Alkalmazott statisztika I., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 994 7

8 Minél nagyobb az n, vagyis minél többször ismételjük meg a kísérletet, a relatív gyakoriságok annál nagyobb stabilitást mutatnak. Azt a törvényt, mely szerint egy kísérletet igen sokszor egymástól függetlenül elvégezve, a relatív gyakoriságok stabilitást mutatnak, a nagy számok törvényének nevezzük. Ez a törvényszerűség teszi lehetővé a valószínűség gyakorlati alkalmazását. A valószínűség fenti definíciójából egyenesen következik, hogy bármely esemény valószínűségének a [0,] zárt intervallumbeli számnak kell lennie. Annak ellenére, hogy több korábbi definíció is szinte tálcán kínálta a valószínűségszámítás matematikai igényű megalapozásának lehetőségét, ez csak az 930-as években A. N. Kolmogorovnak sikerült. Az általa felállított axiómarendszer segítségével minden korábbi állítás, most már a matematika szabályainak megfelelően is, bizonyíthatóvá vált. A Kolmogorov-féle valószínűségelmélet a valószínűség fogalmának meghatározásánál halmazelméleti és eseményalgebrai összefüggésekre is épít. Feltételezi ugyanis, hogy a véletlen események reprezentálhatók az elemi események halmazának, az eseménytérnek bizonyos részhalmazaival, amely részhalmazok azokból az eseményekből állnak, amelyek bekövetkezése esetén a kérdéses véletlen összetett esemény bekövetkezik. Az elemi események és események fogalmának ilyen elvont megfogalmazása jelentős szerephez jut a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle matematikai elméletében. Mielőtt megismernénk a valószínűségszámítás axiómarendszerét, tekintsük át röviden az eseményalgebra néhány alapfogalmát. I. Műveletek eseményekkel A véletlen jelenségek (kísérletek) végrehajtása előtt nem tudjuk előre meghatározni, hogy milyen eredmény következik be, azt azonban általában meg tudjuk mondani, hogy mik lehetnek a kísérlet eredményei. Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit (eredményeit) elemi eseményeknek, az összes elemi esemény halmazát eseménytérnek nevezzük. Az eseménytér jelölésére Ω vagy H betűt használjuk. A kísérletre vonatkozó bármely esemény az eseménytér egy adott részhalmazaként értelmezhető. Az események jelölésére latin nagybetűket (A, B, C, ) ill. indexszel ellátott latin nagybetűket (A, A, A 3,.) alkalmazunk. Példa: Figyeljük meg egy szabályos, hatoldalú dobókockával történő dobás felülre kerülő oldalának pontszámát! Ebben az esetben hat kimenetele lehet a kísérletnek: az -es pontszám lesz felül, a -es pontszám lesz felül, a 3-as pontszám lesz felül, a 4-es pontszám lesz felül, az 5-ös pontszám lesz felül, a 6-os pontszám lesz felül. Jelöljük a fenti eseményeket sorban A -el, A -vel, A 3 -mal, A 4 -el, A 5 -tel és A 6 -tal. Az eseményteret ez a hat elemi esemény alkotja: H {A, A, A 3, A 4, A 5, A 6 }. Egy kísérlettel kapcsolatban különböző állításokat fogalmazhatunk meg, melyeket egy vagy több elemi esemény alkot. Ilyen (összetett) esemény lehet a kockadobásnál például, hogy 8

9 páros számot dobunk (jelöljük B-vel), hogy a dobott szám kisebb 3-nál (C), vagy, hogy -et, 4-et vagy 5-öt dobunk a kockával (D). Minden ilyen esemény tehát az eseménytér valamely részhalmazával reprezentálható. A B esemény, azaz hogy páros számot dobunk, a H halmaz B {A, A 4, A 6 } részhalmazával írható le. A C esemény a C {A, A }, a D pedig a D {A, A 4, A 5 } részhalmazzal adható meg. Akkor mondhatjuk, hogy egy összetett esemény bekövetkezett, ha az eseményt alkotó valamelyik elemi esemény lett a kísérlet eredménye. Ha például a dobott szám (A esemény következett be), akkor egyúttal bekövetkezett a párosat dobunk esemény is (a B esemény), hiszen az A eleme a B-nek is. Ezzel egyidejűleg bekövetkezik minden olyan esemény, melynek eleme az A, így pl. az általunk megfogalmazott C esemény is. Látható, hogy a véletlen események és a halmazok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat létesíthető, így az eseményalgebrában is felhasználhatjuk a halmazelméletben megismert összefüggéseket. A H halmazt, mint eseményt, biztos eseménynek nevezzük, hiszen bármi is a kísérlet végeredménye, ez az esemény bekövetkezik. Az üres halmazt amely nem tartalmazza a H egyetlen elemét sem mint eseményt, lehetetlen eseménynek hívjuk, hiszen bármi is a kísérlet kimenetele, ez az esemény nem következhet be. (A lehetetlen eseményt -val jelöljük.) Tegyük fel, hogy két kockával dobunk egyszerre. Legyen A esemény, hogy két -est dobunk, B pedig, hogy a dobott szám összege 6-nál kisebb. Ekkor, valahányszor az A bekövetkezik, bekövetkezik B is. Ez azt jelenti, hogy az A-t reprezentáló halmaz része a B-nek. Ha valahányszor, amikor A bekövetkezik, bekövetkezik B is, azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja B eseményt, s az alábbi módon jelöljük: A B. Események közötti összefüggéseket szemléletesen ábrázolhatjuk az ún. Venn-diagramon. Az eseményteret (H) egy négyzet vagy egy téglalap szemlélteti, s ezen belül általában kör illetve ellipszis mutatja az ezen az eseménytéren bekövetkező eseményeket. A B H. ábra: A B Ellentétes esemény Egy A esemény be nem következése maga is esemény, jelöljük ezt A -al, s A komplementerének vagy ellentett eseményének hívjuk. A az eseménytér mindazon elemeit tartalmazza, melyek az A eseményben nincsenek benne, de H-hoz tartoznak. Események összege (egyesítése) Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének nevezzük, és A+B-vel jelöljük. Az A+B esemény tehát akkor következik be, ha vagy A, vagy B, vagy mindkettő bekövetkezik. 9

10 A B H 3. ábra: A+B Események szorzata (közös része) Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, amely akkor következik be, ha az A és a B is bekövetkezik, azaz a két esemény egyszerre következik be, az A és B események szorzatának nevezzük, és A B-vel (röviden AB-vel) jelöljük. Előfordulhat, hogy a két esemény közös része az üres halmaz, ilyenkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Ekkor az A-t és B-t egymást kizáró eseményeknek nevezzük. AB A B H 4. ábra: A B Események különbsége Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, ami akkor következik be, ha az A esemény bekövetkezik, de B nem, az A és B események különbségének nevezzük, s A-Bvel jelöljük. A B H 5. ábra: A-B Az eseményekkel végezhető alapműveletek ismeretében most már pontosan definiálhatjuk az összetett esemény fogalmát is. Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható a triviális felbontástól eltérően két esemény összegeként. Bármely eseményre nyilvánvalóan igaz az alábbi összegzés: A A+A és A A+. Ezt a felbontást nevezzük triviális felbontásnak. Az összetett esemény az eseménytér olyan részhalmaza, mely egynél több elemet tartalmaz. Ettől eltérően, elemi esemény az eseménytér egyelemű részhalmaza, ezért csak triviális felbontása létezik. (A lehetetlen eseményt nem tekintjük sem elemi, sem összetett eseménynek.) 0

11 Korábbi kockadobás példánkban tehát az A, A, A 3, A 4, A 5, A 6 események elemi események, s a definiált B, C, és D események összetett események. Teljes eseményrendszer Egy kísérlettel kapcsolatos B, B,, B n események (melyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert alkotnak, ha egymást páronként kizáró események, s összegük a biztos esemény. Az elemi események (a H eseménytér egyelemű részhalmazai) nyilvánvalóan teljes eseményrendszert alkotnak, ha megszámlálható sokan vannak, hiszen egymást páronként kizárják, s összegük a biztos esemény. I.3 A valószínűségszámítás axiómarendszere Mint korábban említettük a valószínűségszámítás axiomatikus megalapozása Kolmogorov nevéhez fűződik, aki 933-ban német nyelven megjelent könyvében a valószínűségszámítás addig sajátosnak tekintett alapjait a modern matematika általános fogalma közé sorolta. Három axiómát fogalmazott meg, melyek segítségével a valószínűségszámítás tételei bizonyíthatóvá váltak, így a valószínűségszámítás is bekerült a matematika általánosan elfogadott területei közé. Andrej N. Kolmogorov I. axióma: Egy tetszőleges A esemény bekövetkezési valószínűsége 0 P(A). II. axióma: A biztos esemény valószínűsége, azaz P(H). III. axióma: Ha A és B egymást kizáró események, azaz A B 0, akkor P(A+B) P(A) + P(B). A III. axiómát addíciós tételnek, vagy a valószínűség additív tulajdonságának is szokás nevezni, amely nem vezethető le az I. és II. axiómákból. Szemléltetése Venn-diagram segítségével a 6. ábrán látható. A B H 6. ábra: Kolmogorov III. axiómájának szemléltetése Az axiómarendszerből kiindulva néhány alapvető valószínűségszámítási tétel fogalmazható meg (a bizonyításoktól eltekintünk, azokat az érdeklődő hallgatók a fejezet végén található könyvekben megtalálják): az ellentétes esemény valószínűsége : P( A ) P(A)

12 a lehetetlen esemény valószínűsége: P( ) 0 Fordítva nem igaz a tétel, azaz abból, hogy egy esemény valószínűsége 0, nem következik, hogy az lehetetlen esemény. a III. axióma kiterjesztése két esemény összegére, ha az együttes bekövetkezés nem kizárt (AB 0): P(A + B) P(A) + P(B) - P(AB) A B A B H 7. ábra: III. axióma kiterjesztése ha A, A,. A n események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A ) + P(A ) +.+ P(A n ) ha az A esemény maga után vonja a B eseményt (A B), akkor P(B A) P(B) P(A), amiből következik, hogy P(A) P(B) ha egy kísérletben az eseménytér n számú egyenlően valószínű elemi eseményt tartalmaz, akkor a kísérlettel kapcsolatban megfogalmazható bármely véletlen esemény valószínűségét megkapjuk, ha a véletlen eseményt alkotó elemi események számát elosztjuk az összes elemi esemény számával (klasszikus valószínűségszámítás). I.4 Valószínűség meghatározásának módszerei Klasszikus valószínűségmeghatározás - (kombinatorikus számítási mód) kedvező esetek száma P ( A) lehetséges esetek száma Geometriai úton - Ha egy véletlen kísérlettel kapcsolatos elemi eseményeket egy korlátos geometriai alakzat (szakasz, ív, síkidom v. test) pontjainak véletlenszerű kiválasztásával modellezhetünk, és a pontok egyenletes eloszlására vonatkozó feltétel teljesül, akkor a kísérlettel kapcsolatos események valószínűségét geometriai módszerekkel (hosszúság, terület v. térfogat kiszámításával) határozhatjuk meg 3. 3 Reimann J. Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 985, pp. 9.

13 Valószínűségszámítási tételek segítségével - Feltételes valószínűség fogalma, Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel, Szorzási szabály, Események függetlensége Elméleti eloszlások segítségével Empirikus adatokból Szubjektív becsléssel Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet Matematikai statisztika Axiómák, alaptételek Kombinatorika Geometriai val.sz. Val.szám. tételek Elméleti eloszlások Mintavétel Leíró statisztika Becslés Hipotézisvizsgálat Összefüggésvizsgálat 8. ábra: A valószínűségszámítás fő területei 3

14 I.5 A feltételes valószínűség fogalma Gyakran előfordul, hogy egy esemény valószínűségét olyan esetben kell megadni, ha egy másik esemény is bekövetkezik. Ilyenkor felvetődik a kérdés, hogy az első esemény bekövetkezése befolyásolja-e a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. Valószínűbb-e (vagy kevésbé valószínű-e) az A esemény bekövetkezése, ha a B esemény már bekövetkezett? A matematika többi ágához hasonlóan a valószínűségelmélet is adott körülmények megléte esetén vizsgálja a kísérletek lehetséges kimeneteleit, az események véletlen jellegét e feltételek együttesen határozzák meg. Ha tehát azt kérdezzük, hogy mekkora az A esemény bekövetkezési valószínűsége egy adott kísérletben, ha a B esemény már bekövetkezett, akkor a kísérlet körülményeihez hozzávesszük B esemény bekövetkezését, s ezzel a szóba jöhető események összességét leszűkítettük. A H eseménytér helyett B eseményt tekintjük eseménytérnek, s ezen eseménytéren vizsgáljuk A bekövetkezését. Így a feltételes valószínűség a már ismert (feltétel nélküli) valószínűséghez vezet. Ebből következik, hogy a korábban megismert összefüggések, tételek érvényesek a feltételes valószínűségre is. A vizsgált eseményt A B vel ( A vonás B ), a valószínűséget pedig a szokásos módon P(A B)-vel jelöljük. A P(A B) valószínűséget az A eseménynek B feltétel melletti feltételes valószínűségének nevezzük. Definíció: Ha A és B egy kísérlettel kapcsolatos két esemény, és P(B)>0, akkor a P( A B) P( A B) P( B) hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük. Példa: Egy vállalatnál a férfi és női dolgozók kartonjait szétválogatták szakképzett és szakképzetlen kategóriákra. A megoszlást az alábbi táblázat mutatja: Férfi Nő Összesen Szakképzett 8 40 Szakképzetlen Összesen Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kiemelt karton egy a) szakképzett dolgozó kartonja? b) egy férfi kartonja? c) egy szakképzett férfi kartonja? d) Mennyi a valószínűsége, hogy egy szakmunkás kartonját emeltük ki, ha tudjuk, hogy a kiemelt karton egy férfié? Megoldás: Legyen az A esemény, hogy egy szakmunkás kartonját, a B esemény, hogy egy férfi kartonját húzzuk ki. 4

15 Véletlenszerűen választva a kartonok között, minden karton kihúzásának valószínűsége azonos, így a valószínűségek meghatározására alkalmazhatjuk a klasszikus valószínűségszámítást (P(A) kedvező esetek száma/összes eset száma). a.) P(A) 40/90 4/9 b.) P(B) 45/90 / c.) P(AB) 8/90 4/45 d.) P(A B) 8/45 alkalmazva a feltételes valószínűség definícióját: P(A B) 8/90 : / 56/90 8/45 A feltételes valószínűséget általában nem a definíció felhasználásával számoljuk ki. Ez a valószínűségre vonatkozó ismereteink felhasználásával is meghatározható, figyelembe véve, hogy az eseménytér szerepét a feltételt jelentő esemény veszi át. Gyakran az együttes bekövetkezés valószínűségének meghatározása nehezebb feladat, mint a feltételes valószínűségé. A feltételes valószínűség definíciójának segítségével ilyenkor a feltételes valószínűség ismeretében az együttes bekövetkezés valószínűségét is számolhatjuk. P(AB) P(A B) P(B). Ha az A eseményt tekintjük feltételnek, akkor pedig P(AB) P(B A) P(A). Ezt az összefüggést a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük. A szorzási szabály kettőnél több eseményre is kiterjeszthető, általános alakja: P(A A A n ) P(A )P(A A )P(A 3 A A ) P(A n A A A n- ). 5

16 I.6 A teljes valószínűség tétele Tétel: Ha B, B,. B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B k )>0 (k,, n), A pedig egy tetszőleges esemény, akkor P( A) n k P( A Bk ) P( ) A teljes valószínűség tételét akkor tudjuk alkalmazni, ha meg tudjuk határozni egy eseménynek egy teljes eseményrendszerre vonatkozó feltételes valószínűségeit és a teljes eseményrendszert alkotó események valószínűségeit is. Ekkor a tétel alapján az A esemény valószínűségét (teljes valószínűségét) a feltételes valószínűségekből (részvalószínűségekből) határozhatjuk meg. Példa: A BME GTK nappali MSc képzésein a Kvantitatív módszerek vizsgán a fiúk 60%-a, a hölgyek 80%-a szerepel sikeresen. A fiúk az évfolyam 45%-át teszik ki. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott hallgató sikeresen szerepel a vizsgán? Megoldás: A {sikeres a vizsga} B {a kiválasztott hallgató fiú} B {a kiválasztott hallgató lány} Ismertek továbbá az alábbi valószínűségek: P(B ) 0,45 P(B ) 0,55 P(A B ) 0,6 P(A B ) 0,8 P(A) 0,6 0,45 + 0,8 0,55 0,7 B k 6

17 I.7 Bayes-tétel Gyakran nem egy A esemény valószínűségét szeretnénk meghatározni, hanem azt kívánjuk megtudni, hogy A megvalósulásában mekkora valószínűséggel játszott közre egy teljes eseményrendszer valamelyik (vagy akár mindegyik) eseménye. Az előző, a Kvantitatív módszerek vizsgát elemző feladatban például azt akarjuk megtudni, hogy ha a vizsga sikeres volt, mekkora a valószínűsége, hogy a vizsgázó fiú (vagy lány). Ez a teljes valószínűség tételénél megfogalmazott probléma megfordítása. Az A esemény teljesülését tudjuk (ez válik feltétellé), s e feltétel mellett a teljes eseményrendszert alkotó B események valamelyikének bekövetkezési valószínűségét kívánjuk meghatározni. A kérdésre a választ a most következő Bayes-tétel felhasználásával adhatjuk meg. Tétel: Ha B, B,. B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B k )>0 (k,, n), A pedig egy tetszőleges esemény, amelyre igaz, hogy P(A)>0, akkor P( B k A) n P( A B i k ) P( B P( A B ) P( B ) i k ) i Szokás a P(B k A) valószínűségeket a posteriori, a P(B k ) valószínűségeket pedig a priori valószínűségeknek, valamint magát a tételt az okok valószínűségének tételeként is nevezni. Példa: Az előző pontban megoldott vizsgázós feladattal kapcsolatban határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy fiú volt a vizsgázó, ha tudjuk, hogy a vizsga sikerült! Megoldás: Felhasználva a teljes valószínűségnél bevezetett jelöléseket, a feladat a P(B A) valószínűség kiszámolása. Alkalmazzuk a Bayes-tételt: P(B A) 0,6 0,45/(0,6 0,45 + 0,8 0,55) 0,38. 7

18 I.8 Fa diagram A fenti típusú problémákat nem túl összetett esetekben könnyebben megoldhatjuk az ún. fa diagram segítségével. Ez az ábrázolás gyakran nagyon hasznos segítséget jelent a probléma, az adott szituáció áttekintésében. A döntéselméletben alkalmazott döntési fa mintájára egy eseménysor valószínűségeit szemléltethetjük az ábrán. Példa: Oldjuk meg a Kvantitatív módszerek vizsgás példa mindkét részét (teljes valószínűség és Bayes-tétel) fa diagram segítségével! Megoldás: A könnyebb számolás, illetve az áttekinthetőbb ábrázolás kedvéért ne a valószínűségeket ábrázoljuk a diagramon, hanem annak százszorosát. Lényegében tegyük fel, hogy 00 diák vizsgázik a tárgyból. A vizsgázók 45%-a fiú, azaz a 00 hallgatóból 45 fiú és 55 lány. A fiúk 60%-a sikeres, tehát a 45 fiúból 7-en teljesítik a vizsgát, 8-an nem. A lányoknál 80% a siker valószínűsége, így az 55 vizsgázóból 44-en leteszik a vizsgát, s -nek nem sikerül. Ábrázoljuk a fenti gondolatmenetet. 45 fiú sikeres 60% 7 sikeres, fiú nem sikeres 40% 8 nem sikeres, fiú 00 hallgató 55 lány sikeres 80% 44 sikeres, lány nem sikeres 0% nem sikeres, lány 7 fiú és 44 lány teljesíti sikeresen a vizsgát, összesen 00-ból 7-en, azaz 7% a sikeres vizsga valószínűsége. Ha tudjuk, hogy a vizsga sikerült, mekkora a valószínűsége, hogy az illető fiú? Összesen 7 sikeres vizsga volt, s ebből 7 fiú. Tehát annak valószínűsége, hogy egy sikeresen vizsgázó fiú, 7/7 0,38. 8

19 I.9 Események függetlensége Két esemény függetlenségén a hétköznapi életben azt értjük, hogy az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését. Nehéz azonban eldönteni csupán a szemlélet alapján, hogy ez valóban igaz-e? Egyértelmű mérőszám, s szubjektív tényezőktől mentes, matematikai definícióra van szükség. A valószínűségszámításban két eseményt akkor tekintünk egymástól függetlennek, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik esemény bekövetkezésének valószínűségét. A feltételes valószínűség fogalmának bevezetésekor láttuk, hogy annak valószínűsége, hogy a férfiak (B esemény) közül választva egy szakmunkás (A esemény) kartonját húzzuk ki, P(A B) 8/45 volt. Ha az összes karton közül választunk, akkor az A esemény valószínűsége P(A) 4/9. Eltér a két valószínűség P(A B) P(A), tehát a B esemény bekövetkezése befolyásolja az A esemény valószínűségét. A nem és a szakképzettség egymástól nem független tulajdonságok. Más lenne a helyzet, ha a két valószínűség azonos, azaz P(A B) P(A). Ha A és B független események, akkor a P(A B) feltételes valószínűség nem függ a feltételtől: P( AB) P ( A B) P( A) P( B) Ilyenkor, a feltételes valószínűség fogalmából, illetve a szorzási szabályból következik: P(A B) P(A B) P(B) P(A) P(B) Definíció: Két eseményt egymástól függetlennek nevezünk, ha együttes bekövetkezésük valószínűsége a két esemény valószínűségének a szorzata. Ha az A és B események valószínűsége nem 0, és A független B-től, akkor B esemény is független A-tól, valamint bármelyiket az ellentettjével helyettesítve, a kapott két esemény is független. Ha három esemény páronként független, még nem biztos, hogy "teljesen függetlenek", azaz még teljesül az is, hogy: P(A B C)P(A) P(B) P(C). Az A, A,... A n események teljesen függetlenek, ha közülük kiválasztott tetszőleges számú eseményre teljesül, hogy az együttes bekövetkezésük valószínűsége egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával. Példa: Szabályos kocka feldobásakor vizsgáljuk az alábbi eseményeket: A {páros számot dobtunk} B {a dobott szám 4 vagy 4-nél kisebb} Független-e a két esemény? Megoldás: P(A) 3/6 / P(B) 4/6 /3 P(AB) /6 /3 P(A B) /4 / B H A 5 P(A) P(B) / /3 /3 P(AB) P(A B) / P(A) A valószínűségek megegyeznek, tehát A és B események függetlenek egymástól. 9

20 A fenti definíció alapján a valószínűségek ismeretében könnyen eldönthetjük a függetlenséget. A gyakorlatban azonban sokszor nem ismerjük a valószínűségeket. Ilyenkor a relatív gyakoriság ismeretében matematikai statisztikai módszerekkel próbáljuk igazolni vagy elvetni a függetlenség hipotézisét. A definíció alapján függetlennek kell tekintenünk minden olyan eseménypárt, melyre a fenti összefüggés igaz, még akkor is, ha a függetlenséget valamilyen gyakorlati összefüggéssel nem tudjuk alátámasztani. A függetlenség nem jelenti azt, hogy a két esemény között nem lehet valamilyen ok-okozati összefüggés. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a függetlenség és a kizárás nem azonos fogalmak, bár sokszor összetévesztik őket. Ha A és B egymást kizáró események, tehát együttes bekövetkezésük valószínűsége P(AB) 0, a függetlenség definíciója alapján P(AB) P(A) P(B) 0, csak akkor teljesülhet, ha legalább az egyik esemény bekövetkezési valószínűsége 0. (Ez nem jelenti azt, hogy az esemény lehetetlen esemény.) Ebből következik, ha két esemény egymást kizárja, s mindkettő bekövetkezési valószínűsége nagyobb 0-nál, nem lehetnek független események. 0

21 II. Valószínűségi változó, elméleti eloszlások Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet Matematikai statisztika Axiómák, alaptételek Kombinatorika Geometriai val.sz. Val.szám. tételek Elméleti eloszlások Mintavétel Leíró statisztika Becslés Hipotézisvizsgálat Összefüggésvizsgálat

22 Eddig a sztochasztikus jelenségekben megfigyelt események bekövetkezésének ill. be nem következésének a valószínűségét vizsgáltuk. Ha egy kísérlettel kapcsolatos eseménytéren minden elemi eseményhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot, ezt a hozzárendelést valószínűségi változónak nevezzük. Kockadobás esetén például legyen az A esemény, hogy -est dobunk, A esemény a -es dobás, stb. Az egyes elemi eseményekhez rendeljünk hozzá egy számot célszerűen a dobott szám értékét, akkor az így létrehozott függvénykapcsolat alapján azt mondhatjuk, hogy a kísérlet lehetséges eredményei:,, 3, 4, 5, vagy 6. A valószínűségi változó fogalma nem adja meg, hogy az elemi eseményekhez milyen valós számokat rendeljünk. Természetes azonban, hogy ha egy elemi esemény bekövetkezésekor egyúttal számértékek is adódnak, akkor célszerű az egyes elemi eseményekhez ezeket a számokat hozzárendelni. A hozzárendeléshez azonban nem feltétlenül szükséges, hogy a kísérlet során számértékeket kapjunk eredményül. Az előbbi hozzárendelést akkor is elvégezhetjük, ha a kocka oldalai nem számokkal, hanem mondjuk színekkel vannak jelölve. Piros dobás -es, kék dobás -es stb. A valószínűségi változót általában görög kisbetűvel jelöljük, leggyakrabban a kis kszhi vagy éta betűkkel: ξ vagy η. Attól függően, hogy a valószínűségi változó milyen értékeket vehet fel, két fő csoportot különböztetünk meg: diszkrét és folytonos valószínűségi változót: Diszkrét valószínűségi változóról akkor beszélünk, ha a valószínűségi változó véges, vagy megszámlálhatóan végtelen értéket vehet fel. Diszkrét valószínűségi változó például a fenti kockadobásnál megfigyelt számértékek, a selejtes termékek száma egy adott műszakban, a balesetek száma egy adott időszak alatt, a születések, halálozások száma egy évben, stb. Folytonos valószínűségi változóról akkor beszélünk, ha a valószínűségi változó megszámlálhatatlanul végtelen sok értéket vehet fel. Folytonos valószínűségi változó pl. a telefonbeszélgetések hossza, vagy motorgyártásnál a henger felületi érdessége, a BUX index értéke, az ország GDP-je, stb. II. Valószínűségi változó jellemzői 4 a) Valószínűség-eloszlás függvény Diszkrét esetben a ξ valószínűségi változó eloszlását egyértelműen jellemzi az, hogy a változó a lehetséges értékeit milyen valószínűséggel veszi fel. Ezt adja meg a p k valószínűségeloszlás: p k P(ξk). tulajdonságai: 0 p k k P(a ξ < b) p k k a Feladat: Rajzoljuk fel a kockadobás valószínűség-eloszlás függvényét! p k b 4 A fejezet Reimann J. Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 985; Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem McGraw-Hill, Budapest, 995, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

23 b) Eloszlásfüggvény Az eloszlásfüggvény [jelölése: F(k) v. folytonos változó esetén F(x)] megadja, hogy a ξ valószínűségi változó mekkora valószínűséggel vesz fel egy adott k-nál (folytonos esetben x- nél) kisebb értéket, azaz: F(k) P(ξ < k) ill. F(x) P(ξ < x). tulajdonságai: monoton növekvő, azaz F(a) F(b), ha a < b F(- ) 0, F( ) balról folytonos p k és F(k) kapcsolata: pk F(k+)-F(k) F(k) p i k i b P(a ξ < b) F(b)-F(a) k Feladat: Rajzoljuk fel a kockadobás eloszlásfüggvényét! c) Sűrűségfüggvény Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x), akkor az f(x) F (x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. tulajdonságai: f(x) 0 f ( x) dx f(x) és F(x) kapcsolata: x F(x) f ( x) dx ; f(x)f (x) b P(a ξ < b) F(b)-F(a) a d) Várható érték a p k f ( x) dx A ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek k, k, k 3,., akkor ξ várható értékének az M (ξ ) p k i i összeget nevezzük; i ha ξ folytonos valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f(x), akkor a ξ várható értéke M ( ξ ) x f ( x) dx. Ha ξ, ξ... ξ n tetszőleges valószínűségi változók, s létezik a várható értékük, akkor összegük várható értéke egyenlő a valószínűségi változók várható értékének összegével: 3

24 M ( ξ + ξ + + ξ ) M ( ξ ) + M ( ξ ) M ( ξ )... n Ha c egy tetszőleges valós szám, akkor M(c) c. Ha M(ξ) létezik, akkor létezik M(cξ) is, és M(cξ) c M(ξ). e) Szórás, szórásnégyzet (variancia) A várható érték körül a valószínűségi változók különböző eloszlásoknál más-más módon tömörülhetnek. Elég nagy különbség van a végeredményt tekintve például az alábbi két eset között, holott a várható érték mindkettőben azonos. Az évfolyam Kvantitatív módszerek jegyének várható értéke abban az esetben is közepes, ha mindenki hármast kap, s akkor is, ha az évfolyam egyik fele jelest, a másik fele pedig elégtelent kap. Annak vizsgálatára, hogy a valószínűségi változó mennyire tér el a középértéktől, a szórást használjuk. Ha a ξ - M(ξ) valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor az alábbi összefüggést ξ szórásnégyzetének nevezzük: D ( ξ ) M ( ξ M ( ξ )] ). Ennek négyzetgyöke a D ( ξ ) D ( ξ ) a ξ valószínűségi változó szórása. Ha ξ valószínűségi változónak létezik a várható értéke, akkor D ξ M ξ M ξ [ ( ) ( ) ( ) Ha ξ valószínűségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós szám esetén D aξ + b a D ξ ( ) ( ) Ha ξ, ξ... ξ n független valószínűségi változó és szórásaik léteznek, akkor összegük és különbségük szórásnégyzete egyenlő a valószínűségi változók szórásnégyzetének összegével: D ξ + ξ ξ D ξ + D ξ D ξ. ( ) ( ) ( ) ( ) n Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását! ξ a dobott szám p k P( ξ k), k,, 3, 4, 5, 6 6 M(ξ) /6 ( ) /6 3,5 A D ( ξ ) M ( ξ ) M ( ξ ) összefüggést felhasználva: D (ξ) /6 ( ) (/6) 9/6 - (/6) 546/36-44/36 05/36. D(ξ),7078 f) Medián Valamely ξ valószínűségi változó mediánja, m e (v Me) az a valós szám, amelyre P(ξ<m e ) 0,5. g) Kvantilisek A mediánhoz hasonlóan értelmezhetjük a p-kvantilist. A p-kvantilis az a valós szám, mely az eloszlást p : (-p) arányban osztja ketté. A fentiek alapján a medián a 0,5-kvantilis. Kvantilis jelölése: x p. Kvantiliseket p adott értékeinél a p-kvantilis megnevezés helyett az értékre utaló n n 4

25 szóhasználattal jelöljük pl. x 0,5 kvartilis, x 0, decilis, x 0,0 centilis, stb. Valószínűségi változók jellemzésére gyakran használjuk a kvartiliseket. Az x 0,5 értéket első v. alsó, az x 0,75 értéket pedig harmadik v. felső kvartilisnek is szokás nevezni. h) Módusz Ha ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket ξ móduszának nevezzük. Folytonos valószínűségi változó esetén ξ módusza a sűrűségfüggvény (lokális) maximumhelye(i). A módusz jele: m o v. Mo. i) Momentumok A ξ valószínűségi változó momentumainak nevezzük a következő számértékeket: - k-adik momentum M(ξ k ), - k-adik abszolút momentum M( ξ k ), - k-adik centrális momentum M{[ξ-M(ξ)] k }, - k-adik centrális abszolút momentum M[ ξ-m(ξ) k ], ahol k,,3,. Látható, hogy ξ első momentuma M(ξ), a valószínűségi változó várható értéke, s második centrális momentuma M{[ξ-M(ξ)] }, a szórásnégyzete. j) Ferdeség A ferdeség egy eloszlás aszimmetriájának fokát, azaz a szimmetriától való eltérését mutatja. Ha egy eloszlás sűrűségfüggvénye a centrális maximumától inkább jobbra elnyúló, akkor balra ferdének vagy pozitív ferdeségűnek nevezzük. Ha az ellenkező oldalra nyúlik el, akkor jobbra ferdének vagy negatív ferdeségűnek nevezzük. Ferde eloszlások esetében a várható érték általában a módusznak az elnyúló véggel azonos oldalán fekszik. Pearson-féle első és második ferdeségi együttható: ( M ( ξ ) m ) ( ) o 3 M ( ξ ) me α v. α D( ξ ) D( ξ ) Gyakran használjuk a ferdeség jellemzésére a harmadik centrális momentumból képzett ferdeségi együtthatót: 3 M ([ ξ M ( ξ )] ) γ 3 D ξ Unimodális eloszlás esetén a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének grafikonja γ <0 esetén a módusztól balra, γ >0 esetén a módusztól jobbra hosszan elnyúlik. k) Csúcsosság A csúcsossági mutató egy eloszlásnak a vele megegyező várható értékű és szórású normális eloszláshoz viszonyított csúcsosságának (lapultságának) fokát méri. A csúcsosság mérőszáma a negyedik centrális momentumból képzett együttható: 4 M ([ ξ M ( ξ )] ) γ 3 4 D ( ξ ) Ha γ >0, akkor a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye magasabban ugrik ki és csúcsosabb, mint a megfelelő normális eloszlású valószínűségi változóé. ( ) 5

26 II. Diszkrét elméleti eloszlások 5 A valószínűségi változók száma elvileg végtelen lehet. A gyakorlatban azonban viszonylag kis számú valószínűségeloszlás-típus fordul elő. Diszkrét valószínűségi változók közül a menedzsment területén legfontosabbak az alábbi eloszlások. II..a Karakterisztikus eloszlás Legyen A egy tetszés szerinti esemény. Ha a valószínűségi változó csak a 0 és értéket veheti fel, mégpedig ξ, ha A bekövetkezik és ξ 0, ha A nem következik be, akkor karakterisztikus valószínűségi változóról, más szóval az A esemény indikátorváltozójáról beszélünk. Képlettel: P(ξ) p és P(ξ0) -p q, ahol 0 p. A karakterisztikus valószínűségi változó egy bizonyos esemény bekövetkezését jellemzi. A várható értéke és a szórása egyszerűen felírható: M ξ p + 0 q, ( ) p ( ) p + 0 q p p p p( p) pq D ( ξ ) pq. D ξ, II..b Diszkrét egyenletes eloszlás Az egyik legegyszerűbb eloszlásfajta. Gyakorlatban főképp a szerencsejátékokkal kapcsolatban találkozhatunk vele. A menedzsment és az üzleti élet területén ritkán fordul elő. Egyenletes eloszlás esetén a ξ valószínűségi változó által felvehető véges számú érték mindegyike egyenlően valószínű, vagyis p k P( ξ k), k,,, n n Ebben az esetben a várható értéket és a szórást (ill. szórásnégyzetet) viszonylag egyszerűen, az alapképletekbe történő behelyettesítéssel kapjuk: M (ξ ) n II..c Binomiális eloszlás n k i i n n D ( ξ ) ki ki n i n i Ha egy kísérlet során az A esemény bekövetkezését, ill. be nem következését vizsgáljuk azaz alternatív, két kimenetelű eseményről beszélünk -, s az A esemény bekövetkezési valószínűsége P(A) p, és a kísérletet n-szer egymástól függetlenül megismételjük, akkor ha a vizsgált ξ valószínűségi változó az A esemény bekövetkezésének száma, a ξ valószínűségeloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük, s az alábbi összefüggéssel határozhatjuk meg: n k n k pk P(ξ k) p q, ahol q -p k 5 A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 990; Reimann J. Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 985; Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 989, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült. 6

27 Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) np, D (ξ) npq. A binomiális eloszlást a gyakorlatban elsősorban a visszatevéses mintavétel során alkalmazzuk, ill. bizonyos feltételek esetén a hipergeometrikus eloszlás helyettesítésére. Ha p(n+) szorzat egész szám, akkor az eloszlásnak két módusza van, az (n+)p- és az (n+)p helyen. Ha p(n+) nem egész, akkor az eloszlás unimodális és a módusz az (n+)p egész része. Ha n nagy, akkor az eloszlás módusza az eloszlás várható értékéhez közeli szám, azaz a binomiális eloszlás legnagyobb valószínűséggel a várható értékéhez közeli értéket vesz fel. Példa: A Felvillanyozzuk Kft. 4 speciális karácsonyfaégőt csomagol egy dobozba. A gyártás során a selejtarány 0,5. Átvételkor minden egyes kartonból 5 égőt vesznek ki visszatevéses mintavétellel. A megrendelő nem veszi át a tételt, ha hibás égőt talál a dobozban. Mekkora az átvétel valószínűsége? n 5 k 0 p 0, P( ξ 0) p0 0,5 ( 0,5) 0, Hány selejtet tartalmaz a minta a legnagyobb valószínűséggel, s mekkora ez a valószínűség? p(n+),5 p(n+) egész része 5 5 P( ξ ) p 0,5 ( 0,5) 0, 3955 Mekkora annak a valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb selejtes égő lesz? n 5 k 0 v. P(ξ ) p 0 + p 0, ,3955 0,638 p 0,5 Adjuk meg a mintában levő selejt számának várható értékét és szórását! M(ξ) np 5 0,5,5 D (ξ) npq 5 0,5 0,75 0,9375 D(ξ) 0,968 II..d Hipergeometrikus eloszlás Ha visszatevés nélkül n elemű mintát veszünk egy N elemszámú sokaságból, melyben s a nem megfelelő egyedek száma, valamint a megfigyelt ξ valószínűségi változó a mintában található selejtes darabok száma, akkor ξ valószínűség-eloszlása hipergeometrikus eloszlással írható le. s N s k n k p k P(ξ k) N n Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) np, n D ( ξ ) np( p), N s ahol p. N 7

28 Ha ugyanabból a sokaságból visszatevéssel, illetve visszatevés nélkül veszünk n elemű mintát, akkor a mintában levő selejtes darabok számának várható értéke ugyanakkora, de a visszatevés nélküli mintavétel esetén a szórás kisebb. Ha n<<n, akkor a szórások közelítőleg megegyeznek. Ezért a gyakorlatban a nehezen kezelhető hipergeometrikus eloszlást a binomiális eloszlással közelítjük. Példa: Tegyük fel, hogy az előző vállalatnál a dobozokból 4 égőt veszünk ki, s elfogadjuk a tételt, ha nem találunk köztük hibás égőt. Ha az egyik dobozban a hibás égők száma 3, akkor mi a valószínűsége, hogy nem vesszük át a dobozt? N 4 s 3 n 4 k p 0 P ( ξ 0) 0, Az átvétel valószínűsége 0,56, azaz a doboz elutasításának valószínűsége -0,560,44. II..e Poisson-eloszlás Diszkrét eloszlások közül ez az eloszlás az egyik leggyakrabban előforduló eloszlás a gyakorlatban. A Poisson-eloszlást a kis valószínűségű, vagyis ritka események eloszlástörvényének is nevezik, mivel ezzel az eloszlással írhatók le az ún. véletlen pontelhelyezkedések. Az egyenesen, síkon, térben véletlenszerűen elhelyezkedő pontok esetén egy adott tartományba eső pontok száma, vagy a véletlenszerű időpontokban bekövetkező eseményeknél adott időtartam alatt bekövetkező események száma igen gyakran Poisson-eloszlású. Ilyen eloszlás például e jegyzetben a gépelési hibák száma (Legalábbis nagyon remélem, hogy ez ritka eseménynek tekinthető, s így valóban Poisson eloszlással modellezhető.) Az eloszlás valószínűség-eloszlás függvénye: k λ λ pk P( ξ k) e, ahol λ>0 valós szám, az eloszlás paramétere; k,, 3,. k! Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) λ, D (ξ) λ. A Poisson-eloszlás segítségével bizonyos esetekben közelíthetjük a binomiális eloszlást. Ha n elég nagy és p kicsi, akkor aránylag kis k értékekre a binomiális eloszlást a λ np paraméterű Poisson-eloszlás megfelelő tagjaival közelíthetjük. Az eloszlás módusza, ha λ egész szám, akkor az eloszlás bimodális m o λ- és m o λ. Ha λ nem egész szám, akkor a módusz λ egész részénél van, az eloszlás unimodális. Ez azt jelenti, hogy a Poisson-eloszlás legnagyobb valószínűséggel a várható értékét, vagy ahhoz közeli (annál kisebb) értéket vesz fel. 8

29 Példa: Egy mobilszolgáltató társaságnál az ország egy ritkán lakott területén egy adott cellából kezdeményezett hívások száma naponta átlagosan 5 hívás. Mi a valószínűsége, hogy naponta legalább 3, legfeljebb 7 hívást kezdeményeznek ebből a cellából? λ 5 k 3, 4, 5, 6, 7 P(3 ξ 7) p 3 +p 4 +p 5 +p 6 +p 7 0, , ,755 +0,46 +0,044 0,74 Hány hívást kezdeményeznek naponta a legnagyobb valószínűséggel, és mekkora ez a valószínűség? Mivel λ egész szám, ezért a λ- és a λ bekövetkezésének a valószínűsége a legnagyobb, azaz naponta 4 vagy 5 hívást kezdeményeznek a legnagyobb valószínűséggel, s ez a valószínűség: p 4 p 5 0,755. II.3 Folytonos elméleti eloszlások 6 II.3.a Folytonos egyenletes eloszlás A folytonos egyenletes eloszlás a gyakorlatban ritkán fordul elő. Legfőbb alkalmazási területe a különböző eloszlású valószínűségi változók számítógépes szimulációja. Egy ξ folytonos valószínűségi változó a véges hosszúságú (a,b) intervallumon (ahol a<b) egyenletes eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: 0, ha x a, ha a x b f ( x) b a 0, egyébként Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye: 0, x a, F( x) b a, ha x a ha a x b ha x b Az egyenletes eloszlás várható értéke: Az egyenletes eloszlás szórása: M(ξ) (a+b)/ D( ξ ) ( b a) 6 A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 990; Reimann J. Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 985; Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 989, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült. 9