1. Számsorozatok és számsorok
|
|
- Magda Somogyiné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. Számsorozatok és számsorok 1.1. Számsorozatok A számsorozatok egyszer függvények, amelyek hasznos épít kövei lesznek a kés bbi fogalmaknak. 1.1 Deníció. Az a : IN IR típusú függvényeket (valós) számsorozatoknak nevezzük. A számsorozat tehát olyan függvény, amely természetes számokhoz rendel hozzá valós számokat. Ekkor az a(n) helyett az a n jelölést szokásos használni (ezt a sorozat n-edik elemének hívjuk), és magára az a sorozatra a zárójeles (a n ) jelölést is gyakran alkalmazzuk. Pl. ( 1 n ) azt a sorozatot jelöli, amelynek elemei: a 1 = a(1) = 1; a 2 = a(2) = 1 2 ; a 3 = a(3) = 1 3 stb. Egy speciális típusú sorozat az olyan sorozat, amely minden természetes számhoz ugyanazt a valós számot rendeli hozzá, vagyis minden eleme egyenl : 1.2 Deníció. Az (a n ) sorozatot konstans sorozatnak nevezzük, ha létezik olyan α IR szám, amelyre a n = α minden n IN esetén. Fontosak a korlátos sorozatok is. 1.3 Deníció. Az (a n ) sorozatot korlátosnak nevezzük, ha K IR : a n K n IN esetén. Megjegyezzük, hogy a sorozatot alulról korlátosnak nevezzük, ha minden eleme nagyobb vagy egyenl, mint egy bizonyos valós szám, azaz m IR, amelyre a n m n IN, és felülr l korlátosnak nevezzük, ha M IR : a n M n IN. Nyilvánvalóan, egy sorozat pontosan akkor korlátos, ha alulról is és felülr l is korlátos Konvergens sorozatok A sorozatok elemei gyakran úgy viselkednek, hogy az n index növelésével minden határon túl megközelítenek egy bizonyos számot. 1.4 Deníció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat konvergens (más szóval létezik véges határértéke), ha van olyan A IR szám, hogy bármely ε > 0 számhoz van olyan N IN küszöbindex, hogy minden n IN, n N esetén a n A < ε. Ekkor az A számot a sorozat határértékének nevezzük, és a lim a n = A vagy az a n A jelölést alkalmazzuk. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az (a n ) sorozat tart az A számhoz. 1
2 Pl. az ( 1 ) sorozat konvergens, és nullához tart. Ugyanis, legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor n mindig van ε-nál kisebb 1 N ha pedig n > N, akkor alakú szám (N IN): 1 N < ε, 1 n < 1 N < ε, azaz 1 n 0 < ε n N. Pl. ε = 1-hez jó lesz küszöbindexnek N = 2, ε = 1/2-hez N = 3, ε = 1/100-hoz N = 101 stb. Vizsgáljuk meg, hogy mi a kapcsolat a korlátosság és a konvergencia között! 1.5 Állítás. Minden konvergens sorozat korlátos. Biz.: Tegyük fel, hogy lim a n = A IR. Ez azt jelenti, hogy ε > 0 N : a n A < ε n N. Így ε = 1 esetén is létezik N 1 index, amelyre a n A < 1 n N 1. Mivel a n = (a n A) + A miatt a n a n A + A, ezért a n 1 + A n N 1. Az N 1 -edik elem el tt pedig csak véges sok elem van, így azok a korlátosság tényét nem befolyásolják, nyilvánvalóan a sorozat minden eleme abszolút értékben kisebb vagy egyenl mint K := max{ a 1, a 2,..., a N1 1, A + 1}. Az állítás megfordítása nem igaz: a sorozat korlátosságából nem következik a konvergenciája, pl. a (( 1) n ) sorozat korlátos, de nem konvergens M veletek sorozatokkal A sorozatok között m veleteket is értelmezhetünk. Ekkor értelmesek az alábbi m veletek: a + b; λ a; a b; Legyenek a, b : IN IR, λ IR. a b, 2
3 és ezeket a következ képpen deniáljuk: (a + b) : IN IR : (a + b)(n) = a(n) + b(n) a n + b n (λ a) : IN IR : (λ a)(n) = λ a(n) λ a n (a b) : IN IR : (a b)(n) = a(n) b(n) a n b n a : IN IR : ( a a(n) )(n) = = an b b b(n) b n (b n 0) A következ kben arra szeretnénk választ kapni, hogy konvergens sorozatok között a fent bevezetett m veleteket elvégezve mit mondhatunk a kapott új sorozatok konvergenciájáról. Ehhez hasznos lesz a következ fogalom. 1.6 Deníció. Egy (a n ) sorozatot nullasorozatnak nevezünk, ha lim a n = 0. Nyilvánvalóan, (a n ) nullasorozat ε > 0 N IN : a n < ε n N. 1.7 Állítás. lim a n = α (a n α) nullasorozat. Biz.: lim a n = α ε > 0 N : a n α < ε n N (a n α) nullasorozat ε > 0 N : a n α < ε n N. A következ állítás két egyszer segédtételt tartalmaz, amelyek leegyszer sítik a f tételeink bizonyítását. 1.8 Állítás. Legyenek (a n ), (b n ), (c n ) olyan sorozatok, amelyekre a.) (a n ) és (b n ) nullasorozat; b.) (c n ) korlátos sorozat. Ekkor (a n + b n ) és (c n a n ) is nullasorozat. Biz.: a.) ε > 0 N 1 és N 2 : a n < ε 2 n N 1, és b n < ε 2 n N 2. Ekkor n N := max{n 1, N 2 } esetén a n + b n a n + b n < ε. b.) Tegyük fel, hogy c n K n, és legyen ε > 0 tetsz leges. Mivel (a n ) nullasorozat, N : a n < ε K n N. Így a n c n K ε K = ε n N. A m veletek során a konvergens sorozatok jól viselkednek. 1.9 Állítás. Legyenek (a n ), (b n ) tetsz leges konvergens sorozatok, λ IR rögzített szám. Ekkor a.) (a n + b n ) is konvergens, és lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n ; b.) (λ a n ) is konvergens, és lim(λ a n ) = λ lim a n ; 3
4 c.) (a n b n ) is konvergens, és lim(a n b n ) = lim a n lim b n ; d.) ha lim b n 0, akkor ( an b n ) is konvergens, és lim an b n = lim an lim b n. Biz.: Itt csak az a.) és a c.) állítás bizonyítását mutatjuk meg. Vezessük be a következ jelöléseket: A := lim a n, B := lim b n (A, B IR) a.) (a n A) és (b n B) nullasorozatok ((a n A) + (b n B)) is nullasorozat ((a n + b n ) (A + B)) is nullasorozat lim(a n + b n ) = A + B. c.) a n b n AB = (a n A)b n + (b n B)A. Itt mindkét tag egy nullasorozat és egy korlátos sorozat szorzatsorozata, a két tag nullához tart, így az összegsorozat is nullasorozat. Nézzünk néhány további módszert a konvergencia eldöntésére! 1.10 Állítás. (Közrefogási elv vagy rend relv) Tegyük fel, hogy a n c n b n, lim a n, lim b n és lim a n = lim b n = α IR. Ekkor lim c n, és lim c n = α. Ha egy sorozat konvergenciáját a konvergencia denícióját alkalmazva akarjuk megmutatni, akkor nehézséget okozhat az A határérték megsejtése. Ezért hasznos a következ tétel: 1.11 Állítás. (Cauchy-féle konvergenciakritérium) Az (a n ) sorozat pontosan akkor konvergens, ha bármely ε > 0 számhoz N IN küszöbindex, hogy m, n N esetén a n a m < ε. Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy a sorozat elemei tetsz legesen megközelítik egymást Divergens sorozatok Azokat a sorozatokat, amelyek nem konvergensek, divergens sorozatoknak nevezzük. Egy sorozat többféleképpen lehet divergens Deníció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozatnak + a határértéke, ha minden K IR számhoz létezik N IN küszöbindex, amelyre minden n N esetén a n > K. Jelölése: lim a n = + vagy a n +. Ilyen például az a n = n sorozat. 4
5 1.13 Deníció. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozatnak a határértéke, ha minden K IR számhoz létezik N IN küszöbindex, amelyre minden n N esetén a n < K. Jelölése: lim a n = vagy a n. Ilyen például az a n = n sorozat. Olyan sorozatra is lehet példát mutatni, amely úgy divergens, hogy sem + -hez, sem pedig -hez nem tart, tehát sem véges, sem végtelen határértéke nem létezik. Ezzel a tulajdonsággal rendelkezik pl. az a n = ( 1) n sorozat, amelynek elemei váltakozva -1-gyel és +1-gyel egyenl k. A + -hez vagy -hez tartó sorozatokkal végzett m veletek nagy körültekintést igényelnek. Itt összegy jtjük a legfontosabb szabályokat. 1. Összeadás: Ha lim a n = A (véges) és lim b n = +, akkor lim(a n + b n ) = +. Ha lim a n = A (véges) és lim b n =, akkor lim(a n + b n ) =. Ha lim a n = + és lim b n = +, akkor lim(a n + b n ) = +. Ha lim a n = és lim b n =, akkor lim(a n + b n ) =. Ha lim a n = + és lim b n =, akkor lim(a n + b n )-r l nem tudunk semmit. 2. Szorzás: { Ha lim a n = A 0 (véges) és lim b n = +, akkor lim(a n b n ) = { Ha lim a n = A 0 (véges) és lim b n =, akkor lim(a n b n ) = +, ha A > 0;, ha A < 0., ha A > 0; +, ha A < 0. Ha lim a n = + és lim b n = +, akkor lim(a n b n ) = +. Ha lim a n = és lim b n =, akkor lim(a n b n ) = +. Ha lim a n = + és lim b n =, akkor lim(a n b n ) =. Ha lim a n = 0 és lim b n = vagy +, akkor lim(a n b n )-r l nem tudunk semmit. 3. Osztás: Ha lim b n = + vagy, akkor lim( 1 b n ) = 0. 5
6 Ha lim b n = 0 és (b n ) elemei egy bizonyos indext l kezdve mind pozitívak (ill. negatívak), akkor lim( 1 b n ) = + (ill. ). A lim b n = 0 feltételb l önmagában nem következik semmi. an b n = a n 1 b n alapján a hányadossorozat határértékét meg lehet vizsgálni. A határozatlan esetek: a) lim a n = + vagy és lim b n = + vagy. b) lim b n = Monoton sorozatok 1.14 Deníció. Egy (a n ) sorozatot monoton növ nek nevezünk, ha a 1 a 2..., monoton fogyónak nevezünk, ha a 1 a 2..., szigorúan monoton növ nek nevezünk, ha a 1 < a 2 <..., szigorúan monoton fogyónak nevezünk, ha a 1 > a 2 >... Ha (a n ) egyike a fentieknek, akkor monoton sorozatnak nevezzük. Nyilvánvalóan, egy szigorúan monoton növ (fogyó) sorozat egyben monoton növ (fogyó) is Állítás. Ha az (a n ) sorozat monoton növ és felülr l korlátos, akkor konvergens, és határértéke a sorozat elemeib l álló halmaz legkisebb fels korlátja, azaz lim a n = sup{a 1, a 2,...}. Biz.: Jelölje α := sup{a 1, a 2,...}. Belátandó, hogy lim a n = α. A sup deníciója alapján egyrészt a n α n IN. Másrészt, ε > 0 esetén α ε nem fels korlát, tehát létezik olyan n 0 index, amelyre a n0 > α ε. Mivel a sorozat monoton növ, ezért n > n 0 esetén a n > a n0, tehát a n > α ε. Ezért ε > 0 N : α ε < a n α lim a n = α. Hasonlóan igazolható, hogy ha (a n ) monoton fogyó és alulról korlátos, akkor konvergens, és határértéke a sorozat elemeib l álló halmaz legnagyobb alsó korlátja, azaz lim a n = inf{a 1, a 2,...} Állítás. Ha az (a n ) sorozat monoton növ és felülr l nem korlátos, akkor lim a n = +. (Ha az (a n ) sorozat monoton fogyó és alulról nem korlátos, akkor lim a n =.) Egy monoton sorozatnak tehát mindig van határértéke! 6
7 1.3. Számsorok Legyen (a n ) : IN IR egy tetsz leges sorozat. Kérdés: Hogyan értelmezhetnénk a sorozatot alkotó végtelen sok elem összegét? Végtelen sok számot még számítógéppel sem tudunk összeadni, annak azonban van értelme, hogy a sorozat els elemeib l egyre többet és többet összeadva megvizsgáljuk, hova tartanak ezen véges sok elemek összegei Deníció. Az S n := a 1 + a 2 + a a n, n IN számot az (a n ) sorozat n-edik részletösszegének nevezzük. Tehát S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, S 3 = a 1 + a 2 + a 3 és így tovább. Vegyük észre, hogy ezzel egy újabb számsorozatot készítettünk. Tekintsük ezen részletösszegek (S n ) sorozatát! 1.18 Deníció. Az ((a n ), (S n )) rendezett párt az (a n ) sorozathoz tartozó számsornak (numerikus sornak, vagy egyszer en csak sornak) nevezzük, és a n=1 a n (még rövidebben an ) szimbólummal jelöljük. A végtelen sok elem összegét ezen sorozat határértékeként fogjuk értelmezni, amennyiben az létezik Deníció. Azt mondjuk, hogy az ((a n ), (S n )) sornak létezik összege, ha az (S n ) sorozatnak van határértéke. Amennyiben létezik összeg, akkor arra is szokásos a n=1 a n jelölés használata. Ez a szimbólum tehát a sort is és az összegét is jelöli, de a szövegkörnyezetb l mindig egyértelm, hogy melyikr l van szó Deníció. Ha az (S n ) sorozat konvergens (divergens), akkor a sort konvergens (divergens) sornak nevezzük. Példa. Legyen a n = q n, ahol q IR (mértani sorozat). Ekkor S n = q + q q n = q qn 1 q 1, tehát lim S n = lim(q qn 1 ). Vizsgáljuk meg, létezik-e ez a határérték! Ez a q q 1 számtól, azaz a mértani sorozat hányadosától függ. Több eset lehetséges: 1. Ha q < 1, akkor lim q n = 0, így a lim S n határérték létezik, és nem más, mint A mértani sor ekkor tehát konvergens, és összege q 1 q. 2. Ha q > 1, akkor lim q n = +, így lim S n létezik, és + -nel egyenl. Ebben az esetben tehát a sor divergens, létezik összege, és az Ha q 1, akkor lim q n nem létezik, és belátható, hogy lim S n sem létezik, tehát ekkor a mértani sor szintén divergens, de most úgy, hogy nem létezik összege. Érdemes megjegyezni, hogy a 1 1 n 2 sornak π2 6 az összege, így konvergens. n q 1 q. sornak + az összege, tehát divergens, ugyanakkor a 7
8 Konvergenciakritériumok Egy sor összegének meghatározása nem mindig egyszer feladat. A gyakorlatban igen sokszor csak a konvergencia vagy a divergencia tényét tudjuk megállapítani. Erre számos módszer kínálkozik, ismerkedjünk meg a legfontosabbakkal. Mindenekel tt megmutatjuk, hogy egy sor csak akkor lehet konvergens (azaz akkor létezhet véges összege), ha az a 1, a 2, a 3... számok sorozata nullához tart. Igaz tehát a következ állítás Állítás. Ha a n konvergens, akkor a n 0. Biz.: Ha a n konvergens, akkor (S n ) konvergens, így a Cauchy-féle konvergenciakritérium szerint bármely ε > 0 hibakorláthoz van olyan N küszöbindex, hogy minden m > N és n := m + 1 esetén ε > S n S m = a 1 + a a m + a m+1 (a 1 + a a m ) = a n. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a n 0. Ha tehát az (a n ) sorozat nem tart nullához, akkor a a n sor biztosan divergens! A következ tételpár pozitív tagú sorok konvergenciavizsgálatára használható, és egy másik, ismerten konvergens vagy divergens sorral való összehasonlításon alapul Tétel. (Összehasonlító kritériumok) Legyen (a n ), (b n ) IR + és n IN esetén a n b n. Ekkor 1 o ha b n konvergens, akkor a n konvergens; 2 o ha a n divergens, akkor b n divergens. Biz.: Legyen S n := a 1 + a a n és T n := b 1 + b b n, n IN. Mivel az (a n ) és (b n ) sorozat elemei pozitívak, így (S n ) és (T n ) szigorúan monoton növeked. 1 o Ha b n konvergens, akkor (T n ) konvergens. Ekkor n IN esetén S n T n < lim T n = n=1 b n, tehát (S n ) korlátos is, ezért (S n ) konvergens, azaz a n konvergens. 2 o Ha a n divergens, akkor (S n ) felülr l nem korlátos. Ekkor n IN esetén T n S n miatt (T n ) is felülr l nem korlátos, amib l következik, hogy (T n ) nem konvergens (divergens), így b n divergens. 8
9 Végezetül, a következ két tétel segítségével az (a n ) sorozat elemeinek vizsgálatával tudunk a konvergencia tényére következtetni. Ezeket a tételeket bizonyítás nélkül közöljük Tétel. (Hányadoskritérium, D'Alembert) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez q (0, 1) és N IN, hogy n > N esetén a n+1 /a n q. Ekkor a n konvergens Tétel. (Gyökkritérium, Cauchy) Legyen (a n ) olyan sorozat, amelyhez q (0, 1) és N IN, hogy n > N esetén n a n q. Ekkor a n konvergens. 2. Többváltozós függvények dierenciálszámítása Az el z félévben találkoztunk az IR n (n IN) szimbólummal. Ez a rendezett valós szám-n-esek halmazát jelentette, tehát IR n := {(x 1, x 2,..., x n ) : x i IR, i = 1, 2,..., n}. Ezen a halmazon összeadást és skalárral való szorzást is értelmezhetünk: (x 1, x 2,..., x n ) + ( x 1, x 2,..., x n ) := (x 1 + x 1, x 2 + x 2,..., x n + x n ), λ (x 1, x 2,..., x n ) := (λ x 1, λ x 2,..., λ x n ) (λ IR). Könnyen megmutatható, hogy ezen két m velet tulajdonságai megegyeznek a geometriai vektorok, vagyis az irányított szakaszok összeadásának és skalárral való szorzásának tulajdonságaival, ezért IR n elemeit is szokásos vektoroknak nevezni. (Az "n-dimenziós vektor" kifejezést fogjuk használni.) Deniálunk ezenkívül egy skaláris szorzásnak nevezett m veletet, amely számot ad eredményül: 2.1 Deníció. Az x = (x 1, x 2,..., x n ) és y = (y 1, y 2,..., y n ) IR n vektorok skaláris szorzatán az x, y := számot értjük. n x i y i IR i=1 Bevezetünk egy olyan fogalmat is, amely IR 2 ill. IR 3 esetén a megfelel síkvektorok hosszát fejezi ki, de IR n -ben is használjuk: 9
10 2.2 Deníció. Az x = (x 1, x 2,..., x n ) IR n vektor euklideszi normáján az x := x x x 2 n IR számot értjük. Ebben a fejezetben f : IR n IR m típusú függvények dierenciálszámításával foglalkozunk. Az ilyen függvény n-dimenziós vektorokhoz m-dimenziós vektorokat rendel hozzá, azaz f : (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y m ) módon képez. Elnevezés: n-változós, m-dimenziós vektor érték függvény. Itt n és m tetsz leges pozitív egész számok lehetnek. Ha mindkett t 1-nek választjuk, a már jól ismert valós-valós függvényeket kapjuk. Az alkalmazásokban azonban fontosan a többváltozós, ill. vektor érték függvények is. Mint látni fogjuk, az IR n IR m típusú függvények dierenciálszámításában szükségünk lesz egy egyszer típusú leképezés, az ún. lineáris leképezés fogalmára. Ezért ismerkedjünk meg el ször ezzel a fogalommal! 2.1. Lineáris leképezések és mátrixok Tekintsük azt a függvényt, amely minden valós számhoz az ötszörösét rendeli hozzá! f : IR IR, f(x) = 5x Nézzük meg, hogy mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez: x 1, x 2 IR, f(x 1 + x 2 ) = 5(x 1 + x 2 ) = 5x 1 + 5x 2 = f(x 1 ) + f(x 2 ) Azaz két szám összegéhez a megfelel függvényértékek összegét rendeli. Mit rendel egy szám λ-szorosához? x IR, λ IR, f(λ x) = 5 (λ x) = λ 5x = λ f(x). Azaz egy x szám λ-szorosához az x-beli függvényérték λ-szorosát rendeli. 2.3 Deníció. (Valós lineáris függvény) Ha egy f : IR IR függvényre igaz az alábbi két tulajdonság: 1. f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) x 1, x 2 IR, és 10
11 2. f(λx) = λf(x) x IR, λ IR, akkor az f függvényt lineáris függvénynek nevezzük. Mint láttuk, az f(x) = 5x függvény eleget tesz a fenti deníciónak, így lineáris függvény. Lineárisak-e a következ valós függvények? a.) f(x) = 0 x IR Legyen x 1, x 2, λ IR tetsz leges. Ekkor f(x 1 + x 2 ) = 0 = f(x 1 ) + f(x 2 ), és f(λx) = 0 = λ f(x). Tehát f lineáris. b.) f(x) = 1 x IR Legyen x 1, x 2 IR. Ekkor f(x 1 + x 2 ) = 1, azonban f(x 1 ) + f(x 2 ) = = 2 1. Azaz az azonosan 1 függvény nem lineáris. c.) f(x) = x 2 Ez sem lineáris, hiszen pl. f(2x) = (2x) 2 = 4x 2 2 f(x) = 2x 2. d.) f(x) = sin x - szintén nem lineáris, hiszen pl. sin(2 90 o ) = 0 2 sin(90 o ) = 2 e.) f(x) = 5x + 2 f(x 1 + x 2 ) = 5(x 1 + x 2 ) + 2 = 5x 1 + 5x 2 + 2, de f(x 1 ) + f(x 2 ) = 5x x = 5x 1 + 5x x 1 + 5x Tehát ez sem lineáris! Ezt a függvényt, és általában az f(x) = ax + b (b 0) alakú függvényeket helyesen lineáris inhomogén függvénynek nevezzük, utalva arra, hogy a valódi lineáris függvényt l csak annyiban különbözik, hogy egy nemnulla konstanst hozzáadtunk. Belátható, hogy az IR IR függvények körében csak az f(x) = a x alakúak lineárisak, ahol a IR rögzített szám. (Az világos az el z ekb l, hogy az ilyen függvény lineáris, de az is könnyen meggondolható, hogy ha egy valós függvény lineáris, akkor csak ilyen alakú lehet. Ugyanis ha f lineáris, akkor f(x) = f(1 x) = f(1) x = a x, ahol a = f(1).) Vegyük észre, hogy a lineáris függvény deníciója f : IR n IR m függvényekre is átvihet, mert ehhez csak az szükséges, hogy szám-n-eseket összeadhassunk, és megszorozhassunk tetsz leges skalárral. 2.4 Deníció. (f : IR n IR m lineáris függvény) Ha egy f : IR n IR m függvényre igaz az alábbi két tulajdonság: 1. f(x + x) = f(x) + f( x) x, x IR n, 2. f(λx) = λf(x) x IR n, λ IR. akkor az f függvényt lineáris függvénynek (vagy lineáris leképezésnek) nevezzük. A fenti egyenl ségek IR m -beli egyenl ségek! 11
12 Kérdés: az f : IR n IR m függvények körében milyen alakúak a lineáris függvények? Tekintsük el ször az f : IR 2 IR leképezéseket. Ezek számpárokhoz valós számokat rendelnek hozzá: f : (x 1, x 2 ) y IR Az ilyen függvényeket a következ képpen szemléltethetjük. Az értelmezési tartomány (x 1, x 2 ) pontjának megfeleltetjük az xy-sík egy pontját, majd az erre mer leges z tengelyen felmérjük az f(x 1, x 2 ) függvényértéket. Ha például f az IR 2 IR képez konstans 1 függvény, akkor a z = 1 magasságban vízszintesen elhelyezked síkot kapjuk, ez lesz a függvény "grakonja". 2.5 Tétel. Egy f : IR 2 IR függvény pontosan akkor lineáris, ha f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 +a 2 x 2 alakú, ahol a 1, a 2 IR rögzített számok. Biz.: ( ) Ha az f függvény f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 alakú, akkor 1. f((x 1, x 2 ) + ( x 1, x 2 )) = f(x 1 + x 1, x 2 + x 2 ) = a 1 (x 1 + x 1 ) + a 2 (x 2 + x 2 ) = (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) + (a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = f(x 1, x 2 ) + f( x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ), ( x 1, x 2 ) IR 2 esetén. 2. f(λ (x 1, x 2 )) = f(λx 1, λx 2 ) = a 1 λx 1 + a 2 λx 2 = λ(a 1 x 1 + a 2 x 2 ) = λf(x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) IR 2 és λ IR esetén. Tehát f lineáris. ( ) Tegyük fel, hogy f lineáris. Mivel az (x 1, x 2 ) vektor felírható x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) alakban, így (x 1, x 2 ) IR 2 esetén f(x 1, x 2 ) = f(x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1)) Mivel f lineáris, ezért tagonként alkalmazhatjuk f-et, és az x 1 és x 2 szorzó kihozható: f(x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1)) = x 1 f(1, 0) + x 2 f(0, 1). Vezessük be az a 1 := f(1, 0), a 2 := f(0, 1) jelöléseket. Ezzel f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 + a 2 x 2. Ez azt jelenti, hogy az f : IR 2 IR lineáris leképezések megadhatók két számmal: a 1 és a 2, hozzátéve, hogy melyik az x 1 és melyik az x 2 együtthatója, vagyis egy rendezett számpárral: (a 1, a 2 ). (Itt megállapodás szerint el re írjuk az x 1 együtthatóját, és há- 12
13 tulra az x 2 együtthatóját. A sorrend fontos, hiszen pl. az f(x 1, x 2 ) = 2x 1 + 3x 2 és az f(x 1, x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 függvény két különböz lineáris függvény!) Térjünk át az f : IR 2 IR 2 leképezésekre. Ezek már számpárokhoz számpárokat rendelnek: f(x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) Pl. f(x 1, x 2 ) = (2x 1 + x 2, 3x 1 x 2 2). Világos, hogy a képvektor y 1 és y 2 koordinátája is x 1 és x 2 függvénye: y 1 = f 1 (x 1, x 2 ), y 2 = f 2 (x 1, x 2 ), ahol az f 1 és f 2 függvények IR 2 IR típusúak, és úgy nevezzük ket, hogy f els és második koordináta-függvénye. (A megadott konkrét példában f 1 (x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2, ill. f 2 (x 1, x 2 ) = 3x 1 x 2 2.) Mivel az IR 2 -beli vektorok egyenl sége a megfelel elemeik egyenl ségét jelenti, így egy f : IR 2 IR 2 függvény pontosan akkor lesz lineáris, ha f 1 és f 2 is lineáris, azaz ha a függvény f(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ) alakú, ahol a 11, a 12, a 21, a 22 IR rögzített számok. (Egyik sem függhet x 1 -t l és x 2 -t l!) Így tehát az f : IR 2 IR 2 lineáris leképezések négy számmal adhatók meg: a 11, a 12, a 21, a 22. Mivel fontos az is, hogy melyik szám hol áll, ezért ezeket a számokat egy két sorból és két oszlopból álló számtáblázattal, ún. 2 2-es mátrixszal adjuk meg: [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] Mindig az els sorba írjuk az y 1 -ben szerepl együtthatókat: az els helyre az x 1, a második helyre az x 2 együtthatóját, és a második sorba az y 2 együtthatóit, szintén az els helyre az x 1 a második helyre az x 2 együtthatóját. Hangsúlyozzuk, hogy minden f : IR 2 IR 2 lineáris függvényhez egyértelm en hozzá tudunk rendelni egy ilyen 2 2-es "táblázatot", és ez fordítva is igaz: minden 2 2-es táblázatnak egyértelm en megfeleltethet egy f : IR 2 IR 2 lineáris függvény. Térjünk rá ezek után a még általánosabb eset, az f : IR n IR m típusú leképezések vizsgálatára, ahol n, m IN tetsz leges. Ilyenkor a függvény n-változós, és értéke minden IR n -beli pontban egy m-dimenziós vektor: f : (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y m ). 13
14 A képvektor mindegyik koordinátája x 1, x 2,..., x n függvénye, azaz y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n ). y m = f m (x 1, x 2,..., x n ) ahol az f i, i = 1, 2,..., m függvények IR n IR típusúak (f koordináta-függvényei). Belátható, hogy egy f : IR n IR m függvény pontosan akkor lineáris, amikor y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. y m = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n alakú, ahol a ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n rögzített valós számok. Itt már m n darab valós szám határozza meg a leképezést, pontosabban egy m n-es mátrix: a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a m1 a m2... a mn Úgy is szokás fogalmazni, hogy egy f : IR n IR m lineáris leképezés reprezentálható egy m n-es mátrixszal. A mátrixokat nagybet vel (pl. A), a mátrix i-edik sorának j-edik elemét pedig a megfelel kisbet vel és indexelve (a ij ) szokásos jelölni. Az f : IR n IR m képez lineáris függvények halmazát Lin(IR n, IR m ) jelöli, az m n-es mátrixok halmazát pedig az IR m n szimbólum. Az el z ekben láthattuk, hogy a Lin(IR n, IR m ) és az IR m n halmaz között szoros kapcsolat van: az elemeik kölcsönösen egyértelm en megfeleltethet k egymásnak M veletek mátrixokkal A mátrixok körében többféle m veletet értelmezünk. Láttuk, hogy a mátrixok azért fontosak, mert segítségükkel egyszer en megadhatjuk az IR n IR m típusú lineáris leképezéseket. Az ilyen leképezéseknek létezik összege, skalárszorosa, kompozíciója. Éppen ezért a mátrixok közötti m veleteket nem öncélúan értelmezzük, hanem úgy, hogy szoros 14
15 kapcsolatban legyenek a lineáris leképezések körében végzett m veletekkel Mátrixok összeadása Célunk: úgy értelmezni az összeadást mátrixok között, hogy két mátrix összege a megfelel lineáris leképezések összegét reprezentálja. Tekintsünk két IR 2 IR 2 lineáris leképezést: f(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ), és g(x 1, x 2 ) = (b 11 x 1 + b 12 x 2, b 21 x 1 + b 22 x 2 ). [ ] [ ] a 11 a 12 b 11 b 12 (Így tehát az f leképezés mátrixa, a g leképezésé pedig.) a 21 a 22 b 21 b 22 Képezzük f és g összegét, szem el tt tartva, hogy két függvényt mindig úgy adunk össze, hogy az értelmezési tartomány minden egyes pontjában összeadjuk a két függvényértéket: (f+g)(x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2 )+g(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 +a 12 x 2 +b 11 x 1 +b 12 x 2, a 21 x 1 +a 22 x 2 +b 21 x 1 +b 22 x 2 ). Látható, hogy eredményül szintén f : IR 2 IR 2 lineáris leképezést kaptunk, amelynek mátrixa [ ] a 11 + b 11 a 12 + b 12. a 21 + b 21 a 22 + b 22 Vegyük észre, hogy az f és g leképezés mátrixának megfelel elemei összeadódtak. Ez általánosabban, IR n IR m lineáris leképezésekre is igaz. Ez motiválja a következ deníciót: 2.6 Deníció. Az A, B IR m n mátrixok A + B összegén azt a C IR m n mátrixot értjük, amelynek elemeire c ij := a ij + b ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Egyszer bben fogalmazva: m n-es mátrix csak m n-es mátrixszal adható össze, és az összeadást elemenként végezzük. A mátrixok összeadása a következ m veleti tulajdonságokkal rendelkezik: Kommutatív, azaz A + B = B + A A, B IR m n Asszociatív, azaz (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C IR m n 15
16 A csupa nulla elem m n-es mátrix (jelölje most 0) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely mátrixhoz adva az illet mátrixok kapjuk vissza: A + 0 = A. Minden A = (a ij ) IR m n mátrixhoz létezik ellentett mátrix, azaz olyan, amelyet A-hoz hozzáadva a nullmátrixot kapjuk. Ezt A-val jelöljük, és könnyen látható, hogy elemei a a ij (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n) számok Mátrixok szorzása skalárral Célunk úgy értelmezni a mátrix skalárszorosát, hogy az a mátrixnak megfelel lineáris leképezés skalárszorosát reprezentálja. Képezzük az f(x 1, x 2 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ) lineáris leképezés λ IR skalárszorosát. Figyelembe véve, hogy egy függvény skalárral való szorzása azt jelenti, hogy a függvényértéket minden helyen megszorozzuk az adott számmal: (λ f)(x 1, x 2 ) = λ f(x 1, x 2 ) = λ (a 11 x 1 + a 12 x 2, a 21 x 1 + a 22 x 2 ) = = (λa 11 x 1 + λa 12 x 2, λa 21 x 1 + λa 22 x 2 ). Látható, hogy lineáris leképezést kaptunk (IR 2 IR 2 ), amelynek mátrixa [ λa 11 λa 12 λa 21 λa 22 ]. Vagyis az f lineáris leképezés mátrixának minden eleme λ-val szorzódik. Ugyanezt a meg- gyelést tehetjük, ha tetsz leges, IR n IR m lineáris leképezés skalárszorosát vizsgáljuk. Ez motiválja a következ deníciót: 2.7 Deníció. Az A = (a ij ) IR m n mátrixnak a λ IR skalárszorosán azt az à = (ã ij ) IR m n mátrixot értjük, amelyre ã ij = λ a ij, i = 1, 2..., m, j = 1, 2,..., n. Jelölése: λ A vagy egyszer bben λa. Mátrixot tehát úgy szorzunk valós számmal, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk az adott számmal. A mátrixok skalárral való szorzása az alábbi m veleti tulajdonságokkal rendelkezik. λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa A, B IR m n, λ IR; A IR m n, λ, µ IR; λ(µa) = (λµ)a A IR m n, λ, µ IR. 16
17 Mátrixszorzás A mátrixok közötti szorzásm veletet úgy szeretnénk értelmezni, hogy két mátrix szorzata a megfelel lineáris leképezések kompozícióját reprezentálja. Nyilvánvalóan, ha egy g lineáris (vagy nem lineáris) leképezés pl. IR n -b l IR m -be képez, akkor ennek csak abban az esetben képezhetjük a kompozícióját egy másik hasonló típusú leképezéssel f g sorrendben (el ször g hat, azután f!), ha f : IR m IR l. Itt l tetsz leges pozitív egész lehet, de m nem tetsz leges: az IR m a g függvény képtere. Mit lehet mondani egy f : IR m IR l és egy g : IR n IR m lineáris leképezés kompozíciójáról? Az egyszer ség kedvéért azt az esetet nézzük meg részletesebben, amikor n = m = l = 2, azaz mindkét lineáris leképezés IR 2 IR 2 típusú. Legyen tehát g(x 1, x 2 ) = (b 11 x 1 + b 12 x 2, b 21 x 1 + b 22 x 2 ) és f(y 1, y 2 ) = (a 11 y 1 + a 12 y 2, a 21 y 1 + a 22 y 2 ). Az f g kompozíció felírásához az f függvény argumentumában y 1 és y 2 helyébe helyettesítsük be az (x 1, x 2 ) g-képét: (f g)(x 1, x 2 ) = (a 11 (b 11 x 1 +b 12 x 2 )+a 12 (b 21 x 1 +b 22 x 2 ), a 21 (b 11 x 1 +b 12 x 2 )+a 22 (b 21 x 1 +b 22 x 2 )) Az eredmény koordináta-függvényeiben x 1 és x 2 együtthatóit leolvasva látható, hogy f g szintén lineáris leképezés IR 2 IR 2, és a következ mátrixszal azonosítható: [ a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 ]. Ennek a mátrixnak az i-edik sorában és j-edik oszlopában (i, j = 1, 2) lév elemét úgy kaphatjuk meg, hogy az A (f mátrixa) i-edik sorában lév vektort skalárisan szorozzuk a B (g mátrixa) j-edik oszlopában lév vektorral. Általában pedig, ha f : IR m IR l és g : IR n IR m lineáris leképezések, akkor (f g) : IR n IR l lineáris leképezés lesz, amelynek mátrixa l n-es, és i-edik sorának j-edik eleme a m k=1 a ikb kj, i = 1,..., l, j = 1,... n képlettel adható meg. Ez indokolja a következ deníciót. 2.8 Deníció. Az A IR l m és B IR m n mátrixok A B szorzatán azt a C IR l n mátrixot értjük, amelynek i-edik sorában és j-edik oszlopában lév elem az A mátrix i-edik 17
18 sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának a skaláris szorzata, vagyis amelyre c ij := m a ik b kj, i = 1, 2,..., l, j = 1, 2,..., n. k=1 Vegyük észre, hogy ha adva van egy f lineáris leképezés IR n -b l IR m -be, akkor egy x IR n vektor képét (vagyis az f(x) IR m vektort) is meg tudjuk kapni mátrixszorzás segítségével: a leképezés mátrixával megszorozzuk az x vektort mint n 1-es oszlopmátrixot. Egy IR n -b l IR m -be képez lineáris leképezés tehát nem más, mint egy m n-es mátrixszal való szorzás: f(x) = A x f : IR n IR m típusú függvények folytonossága Az f : IR n IR m típusú függvények folytonosságának az értelmezéséhez szükségünk lesz az IR k -beli vektorsorozat fogalmára. Az els fejezetben számsorozatokkal foglalkoztunk. Láttuk, hogy a számsorozat nem más, mint egy IN IR képez függvény. Ennek mintájára deniálhatjuk az IR k -beli vektorsorozatokat. 2.9 Deníció. Egy IN IR k képez függvényt IR k -beli vektorsorozatnak nevezzük. Jelölés: (x n ) IR k. Ilyen sorozatokra is értelmezhet a konvergencia. Jelölje az sorozat n. elemének, az x n vektornak az i-edik koordinátáját x n,i (i = 1, 2,..., k) Deníció. Az (x n ) : IN IR k vektorsorozatot konvergensnek nevezzük, ha minden koordináta-sorozata konvergens valós számsorozat, azaz (x n,i ) IR sorozat konvergens minden i = 1, 2,..., k esetén. Jelölje az (x n,i ) koordináta-sorozat határértékét x i. Ekkor az (x n ) vektorsorozat határértékének az (x 1, x 2,..., x k ) IRk vektort nevezzük. Pl. az az IR 2 -beli vektorsorozat, amelynek n-edik eleme x n := ( 1, 5), konvergens, és n határértéke a (0, 5) vektor. Az x n := ( 1, n) vektorsorozat azonban nem konvergens, mivel n a második koordináta-sorozata + -hez tart Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvény folytonos az x 0 D(f) pontban, ha minden x n x 0 D(f)-beli vektorsorozatra a képvektorok (f(x n )) IR m sorozata az f(x 0 ) függvényértékhez tart Deníció. Az f : IR n IR m függvényt folytonos függvénynek nevezzük, ha x 0 D(f) pontban folytonos. 18
19 Folytonosak például a konstans függvények, hiszen ha f(x) = b IR m x IR n, akkor bármely x 0 IR n ponthoz tartó (x n ) sorozatot választva az értelmezési tartományban, az (f(x n )) képvektorok sorozata a konstans b vektorsorozat lesz, ez pedig b-hez tart, ami egyben az x 0 -beli helyettesítési érték is, azaz éppen f(x 0 ). például következ f : IR 2 IR függvény a (0, 0) pontban: f(x, y) := { 1, ha x vagy y = 0 0 egyébként. Nem folytonos ugyanakkor Ugyanis, ha pl. az x n = ( 1, 1 ) sorozattal tartunk a (0, 0) ponthoz, akkor a függvényértékek (f(x n )) = (f( 1, 1 )) sorozata 0-hoz tart, miközben f (0, 0)-beli helyettesítési értéke n n n n nem nulla, hanem 1. Most megmutatjuk, hogy nemcsak a konstans, hanem az IR n IR m lineáris függvények is folytonosak. I. Ha m = n = 1, vagyis f : IR IR és lineáris, akkor f(x) = a x alakú, ahol a IR. Legyen x 0 IR tetsz leges pont, és x n x 0 tetsz leges sorozat. Belátandó, hogy f(x n ) f(x 0 ). Ez igaz, hiszen f(x n ) = a x n a x 0 = f(x 0 ). II. Nézzük most azt az esetet, amikor n = 2 és m = 1, tehát f : IR 2 IR. Ekkor a függvény f(x 1, x 2 ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 alakú. Legyen x 0 IR 2 tetsz leges pont, és x n x 0 tetsz leges sorozat IR 2 -ben, vagyis (x n,1, x n,2 ) (x 0,1, x 0,2 ). Belátandó, hogy f(x n ) f(x 0 ). Ez igaz, hiszen f(x n ) = f(x n,1, x n,2 ) = a 1 x n,1 +a 2 x n,2 a 1 x 0,1 +a 2 x 0,2 = f(x 0,1, x 0,2 ) = f(x 0 ). III. Az általános eset és bizonyítása a következ : 2.13 Állítás. Ha f Lin(IR n, IR m ), akkor f folytonos. Biz.: Legyen x 0 IR n = D(f) tetsz leges. Megmutatjuk, hogy f folytonos x 0 -ban. Legyen x j x 0 tetsz leges olyan IR n -beli vektorsorozat, amely x 0 -hoz tart. Ez azt jelenti, hogy (x j ) koordinátánként konvergál x 0 -hoz, vagyis az i-edik koordináták x j,i sorozata tart az x 0 vektor i-edik koordinátájához, x 0,i -hez minden i = 1, 2,..., n. Másképpen: x j,i x 0,i 0. Mivel f Lin(IR n, IR m ), ezért f el áll f(x) = A x alakban, ahol A IR m n. Belátandó, hogy f(x n ) f(x 0 ), vagyis A x j A x 0. Ez utóbbi az (A x j ) i (A x 0 ) i i = 1, 2..., n koordinátánkénti konvergenciát jelenti. Átfogalmazva a következ t kel megmutatnunk: (A x j ) i (A x 0 ) i 0. A mátrixszal való szorzást elvégezve (A x j ) i (A x 0 ) i = n n a ik x j,k a ik x 0,k = k=1 k=1 19 n a ik (x j,k x 0,k ) 0. k=1
20 Az utolsó lépésben felhasználtuk a sorozatok határértékének m veleti tulajdonságait. Megmutatható még az is, hogy folytonos függvények összege és skalárszorosa is folytonos. Célunk a továbbiakban az f : IR n IR m függvények deriváltjának az értelmezése. Ehhez el ször emlékezzünk vissza a valós-valós függvények deriváltjára ( n = m = 1 eset) IR IR függvények deriváltja Egy IR IR függvény deriváltja olyan x 0 pontban értelmezhet, amelyre x 0 intd(f), azaz x 0 bels pontja f értelmezési tartományának. (Ez azt jelenti, hogy van olyan ρ > 0 sugár, amelyre a K ρ (x 0 ) := (x 0 ρ, x 0 + ρ) környezet D(f)-beli Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR IR függvény dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha létezik és véges a következ határérték: f(x) f(x 0 ) lim. x x 0 x x 0 Ezt a számot nevezzük az f függvény x 0 -beli deriváltjának. Jelölése: f (x 0 ). M ködhet-e ez a deníció, ha f : IR n IR m? Nem, ugyanis a nevez ben szerepl x x 0 kifejezés ekkor egy IR n -beli vektor lenne, az ezzel való osztást pedig nem értelmezzük. Ezért most olyan ekvivalens deníciót keresünk az IR IR függvények dierenciálhatóságára, amelyet már ki lehet terjeszteni az f : IR n IR m függvények esetére. A derivált fenti deníciójának az átfogalmazásához szükségünk lesz a kisrend függvény fogalmára Deníció. Egy r : IR IR függvényt kisrend nek nevezünk az x 0 D(r) pontban, ha 1) r(x 0 ) = 0; és 2) lim x x0 r(x) x x 0 = Megjegyzés. 2)-ben a nevez ben x x 0 is írható. Pl. az x 0 = 0 pontban az r 1 (x) = x 2 függvény kisrend, ugyanis 1) r 1 (0) = 0 2 = 0; és 2) lim x x0 r 1 (x) x x 0 = lim x 0 x 2 x 0 = lim x 0 x = 0. 20
21 Ugyanakkor az r 2 (x) = x identitásfüggvény már nem kisrend a 0 pontban, hiszen bár r 2 (0) = 0, a 2) feltétel nem teljesül: lim x 0 x x 0 = 1 0. A 2) tulajdonság azt fejezi ki, hogy a kisrend függvény annyira gyorsan tart a nullához az x 0 -ban, hogy még a szintén nullához tartó x x 0 kifejezéssel osztva is nullához tart. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a függvény grakonja az identitásfüggvény (s t minden lineáris függvény) alatt halad be a nullába az x 0 környezetében. Ez a függvény ábrázolásakor abból látható, hogy a függvény grakonja hozzásimul az x-tengelyhez. Ez igaz az r(x) = x 2 függvényre, míg nem igaz az identitásfüggvényre, amelynek a grakonja a nullában csak keresztezi az x tengelyt, de nem simul hozzá. Ezzel eljutottunk az érintkezés fogalmához Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR IR függvény az x 0 pontban érintkezik a g : IR IR függvénnyel, ha f g kisrend x 0 -ban. Ez grakusan azt jelenti, hogy az f és a g függvény az x 0 -ban ugyanazt az értéket veszi fel, és a két függvény görbéje az x 0 pont környezetében egymáshoz simul Megjegyzés. Ha r és p kisrend x 0 -ban, akkor r + p és λ r (λ IR tetsz leges) szintén kisrend x 0 -ban Megjegyzés. A kisrend ség deníciójából látszik, hogy ha r : IR IR kisrend x 0 -ban, akkor r folytonos is x 0 -ban (hiszen x 0 -ban a határértéke nulla (különben nullához tartó kifejezéssel vett hányadosa nem tarthatna nullához), és ez a helyettesítési értéke is.) Ezzel elérkeztünk egy olyan állításhoz, amely ekvivalens deníciót ad a dierenciálhatóságra Állítás. Egy f : IR IR függvény pontosan akkor dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha létezik olyan a IR szám, amely mellett f x 0 -ban érintkezik az a(x x 0 ) + f(x 0 ) =: l(x) függvénnyel, vagyis amelyre az r(x) := f(x) l(x) = f(x) (a(x x 0 ) + f(x 0 )), x K(x 0 ) (1) függvény kisrend x 0 -ban. Biz.: ( ) Tegyük fel, hogy f dierenciálható x 0 -ban, és legyen a := f (x 0 ). Megmutatjuk, hogy f érintkezik az l(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) függvénnyel az x 0 pontban. Ehhez belátandó, hogy az r(x) := f(x) (f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )). 21
22 függvény kisrend x 0 -ban. Ez igaz, ugyanis r(x 0 ) = 0; lim x0 r(x) f(x) (f x x 0 = lim (x 0 )(x x 0 )+f(x 0 )) f(x) f(x x0 x x 0 = lim 0 ) x0 x x 0 f (x 0 ) = 0. ( ) Tegyük fel, hogy (1) igaz. Ekkor Mindkét oldal x 0 -beli határértékét véve f(x) f(x 0 ) x x 0 = a + r(x) x x 0. lim x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = a. Tehát f dierenciálható x 0 -ban, és f (x 0 ) = a Következmény. Az f : IR IR függvények dierenciálhatósága a következ képpen is megfogalmazható Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR IR függvény dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha van olyan a IR szám, amely mellett f x 0 -ban érintkezik az a(x x 0 ) + f(x 0 ) =: l(x) függvénnyel. Ekkor az a számot az f x 0 -beli deriváltjának nevezzük, és f (x 0 )-lal jelöljük Deníció. Ha f : IR IR dierenciálható x 0 -ban, akkor a vele x 0 -ban érintkez l(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) függvényt az f x 0 -beli érint jének nevezzük. Vegyük észre, hogy az érint egy lineáris inhomogén függvény: ahol A = f (x 0 ) és B = f(x 0 ) f (x 0 )x 0. l(x) = Ax + B alakú, A deriválhatóság tehát azt jelenti, hogy a függvénynek van érint je az adott pontban, és a derivált nem más, mint ennek az érint nek a meredeksége. A derivált deníciója már közvetlenül átvihet az IR n IR m függvények esetére Deníció. Egy r : IR n IR m függvényt kisrend nek nevezünk az x 0 D(r) pontban, ha 1) r(x 0 ) = 0 (ez az IR m -beli (0, 0,..., 0) vektor!); és 2) lim x x0 r(x) x x 0 = Az IR n IR m függvények határértékér l itt részletesen nem tanulunk. Ezt a limeszt úgy értsük, hogy ha az x vektor közel van x 0 -hoz akkor r(x) x x 0 közel van a nullvektorhoz. 22
23 2.25 Megjegyzés. Két kisrend függvény összege és egy kisrend függvény skalárszorosa is kisrend. Továbbá, ha r kisrend x 0 -ban, akkor ott folytonos is Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvény az x 0 pontban érintkezik a g : IR n IR m függvénnyel, ha f g kisrend x 0 -ban. Legyen f : IR n IR m, x 0 intd(f) Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvény dierenciálható az x 0 intd(f) pontban, ha van olyan A Lin(IR n, IR m ) lineáris leképezés (m n-es mátrix), amely mellett f érintkezik az A(x x 0 ) + f(x 0 ) =: l(x) függvénnyel x 0 -ban. Ezt az A mátrixot az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának nevezzük. Jelölése: f (x 0 ). A deníció értelmes, ugyanis megmutatható, hogy ha létezik a deníció szerinti A mátrix, akkor csak egy létezik. Nem fordulhat tehát el olyan, hogy egy függvénynek két vagy több deriváltja is legyen egy pontban Deníció. Ha f : IR n IR m dierenciálható x 0 -ban, akkor a vele x 0 -ban érintkez l(x) = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) függvényt az f x 0 -beli érint jének nevezzük. Ebben az általánosabb esetben is értelmezzük tehát az érint t, ez egy lineáris inhomogén függvény (lineáris és konstans függvény összege), de már IR n IR m típusú. A valós-valós függvényeknél (Matematika 1) láttuk, hogy ahhoz, hogy egy függvény dierenciálható lehessen egy pontban, ott folytonosnak kell lennie. Más szóval, a folytonosság a dierenciálhatóság szükséges feltétele. Nem nehéz belátni, hogy ez IR n IR m függvények esetében is így van Állítás. Ha f : IR n IR m dierenciálható x 0 -ban, akkor f folytonos x 0 -ban. Biz.: Mivel az r := f l különbségfüggvény kisrend, így f = l + r. pedig két, x 0 -ban folytonos függvény összege áll, így f is folytonos x 0 -ban. A jobb oldalon A deriválás tulajdonságai 2.30 Állítás. Ha f és g : IR n IR m függvények dierenciálhatók x 0 -ban, akkor f + g is dierenciálható x 0 -ban, és (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2 A halmaz bels pontja IR n -ben is értelmezhet : olyan pontot jelent, amelynek valamely környezete teljes egészében a halmazban van. Ha pl. a H halmaz IR 2 -beli, akkor x 0 inth azt jelenti, hogy van olyan x 0 középpontú nyílt körlap, amely teljes egészében H-ban van. Pl. az x y R 2 -beli halmaznak ((0, 0) középpontú egységsugarú zárt körlap) bels pontja a (0, 0), de nem bels pontja az (1, 0) pont.) 23
24 Biz.: Elegend megmutatni, hogy az l(x) := (f (x 0 ) + g (x 0 ))(x x 0 ) + (f(x 0 ) + g(x 0 )) függvényre az r := (f + g) l függvény kisrend x 0 -ban. 1) r(x 0 ) = (f + g)(x 0 ) (f(x 0 ) + g(x 0 )) = 0; 2) r(x) x x 0 = (f + g)(x) l(x) x x 0 = f(x) [f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )] x x 0 + g(x) [g (x 0 )(x x 0 ) + g(x 0 )] x x 0 Mivel f és g dierenciálható x 0 -ban, így a jobb oldalon mindkét hányados nullához tart, ha x x 0. Tehát lim x0 r(x) x x 0 = Állítás. Ha f : IR n IR m dierenciálható x 0 -ban, és λ IR tetsz leges szám, akkor λ f is dierenciálható x 0 -ban, és (λ f) (x 0 ) = λ f (x 0 ). Biz.: Elegend megmutatni, hogy az r(x) := (λ f)(x) [(λ f (x 0 ))(x x 0 ) + (λ f)(x 0 )] függvény kisrend x 0 -ban. 1) r(x 0 ) = (λ f)(x 0 ) (λ f)(x 0 ) = 0; 2) r(x) x x 0 = λf(x) [f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 )] x x 0 f(x) l(x) = λ x x 0, ahol l(x) := f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ). Mivel f l kisrend x 0 -ban, így a jobb oldali hányados határértéke nulla, ha x x 0. 24
25 Néhány speciális függvény deriváltja 1. Legyen B : IR n IR m konstans leképezés, azaz olyan, amelyre létezik b IR m : B(x) = b, x IR n. Ekkor B diható minden x 0 IR n pontban, és B (x 0 ) = 0 (az m n-es nullmátrix). Biz.: Belátandó, hogy az r(x) = B(x) [0(x x 0 ) + B(x 0 )] függvény kisrend x 0 -ban. Mivel B(x) = b x IR n, ezért r(x) = b b = 0 a konstans nulla függvény IR n IR m, ami kisrend. 2. Legyen f Lin(IR n, IR m ), azaz f(x) = A x alakú függvény, ahol A IR m n. Ekkor f diható minden x 0 IR n pontban, és f (x 0 ) = f A. Biz.: Belátandó, hogy az r(x) = f(x) [A(x x 0 ) + f(x 0 )] függvény kisrend x 0 -ban. Mivel A(x x 0 ) = Ax Ax 0, és f(x) = Ax, így a jobb oldal Ax Ax + Ax 0 Ax 0 = 0 x IR n, ezért r ismét a konstans nulla függvény IR n IR m, ami kisrend Következmény. Minden f : IR n IR m, f(x) = Ax + B alakú (tehát lineáris inhomogén) függvény minden x 0 IR n pontban dierenciálható, és deriváltja (az összeget tagonként deriválva) f (x 0 ) = A + 0 = A Kompozíció deriváltja Legyen g : IR n IR m és f : IR m IR l. Tegyük fel, hogy létezik az f g : IR n IR l kompozíciófüggvény. Sokszor hasznos lesz a kompozíciófüggvény deriváltja, amelynek képletét a következ állításban adjuk meg Állítás. (Láncszabály) Ha léteznek a g (x 0 ) Lin(IR n, IR m ) és f (g(x 0 )) Lin(IR m, IR l ) deriváltak, akkor f g dierenciálható x 0 -ban, és (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ). A képletben szerepl kompozíció, mint láttuk, mátrixszorzást jelent Iránymenti derivált Legyen f : IR n IR m, a intd(f), e pedig egy olyan IR n -beli vektor, amelynek az euklideszi normája 1, azaz e = Deníció. Az α(t) := a + t e (t IR) IR IR n képez függvényt az a ponton átmen, e irányú egyenesnek nevezzük. Vegyük észre, hogy az α függvény egy IR IR n típusú lineáris inhomogén függvény, így minden t 0 IR pontban dierenciálható, és α (t 0 ) = e. Tekintsük az f α : IR IR m függvényt. Ekkor (f α)(t) = f(α(t)) = f(a + t e). 25
26 2.35 Deníció. Azt mondjuk, hogy az f : IR n IR m függvénynek létezik az a intd(f) pontban az e irányú deriváltja, ha az f α függvény dierenciálható a t 0 = 0 pontban. Ez utóbbi derivált értékét nevezzük az f függvény a pontbeli, e irány menti deriváltjának. Jelölése: e f(a). A következ állítás megadja a derivált és az iránymenti deriváltak közötti kapcsolatot Állítás. Tegyük fel, hogy f : IR n IR m dierenciálható a-ban. Ekkor minden e IR n, e irány szerint létezik e f(a), és e f(a) = f (a) e (A jobb oldalon mátrix-vektor szorzat áll.) Biz.: A kompozíció deriválási szabálya és a lineáris inhomogén függvény deriválási szabálya miatt, kihasználva, hogy α(0) = a: (f α) (0) = f (α(0)) α (0) = f (a) e A tétel megfordítása nem igaz! derivált, még nem következik a függvény deriválhatósága. Abból, hogy minden irányban létezik az iránymenti 2.5. A derivált alakja Már tudjuk, hogy egy f : IR n IR m függvény deriváltja egy pontban, ha létezik, akkor egy Lin(IR n, IR m )-beli elem, ami azonosítható egy m n-es mátrixszal. Még nem esett szó azonban arról, hogy hogyan számíthatók ki ennek a mátrixnak az elemei. Legyen f : IR n IR m. Láttuk, hogy ekkor f-nek van m darab koordináta-függvénye: f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)). Mindegyik f i, i = 1, 2,..., m koordináta-függvény IR n IR képez, és a P i i-edik projekciós operátor segítségével f i felírható f i = P i f alakban. Mivel a P i operátor lineáris, tehát P i Lin(IR m, IR), így mindenhol dierenciálható, és deriváltja saját maga: P i (y 0 ) = P i y 0 IR m Következmény. Tegyük fel, hogy f dierenciálható az a intd(f) pontban. Ekkor minden koordináta-függvénye is dierenciálható a-ban, és f i(a) = P i f (a) Lin(IR n, IR) (Ugyanis f i(a) = (P i f) (a) = P i (f(a)) f (a) = P i f (a).) 26
27 Ennek az állításnak a megfordítása is igaz! Ugyanis tegyük fel, hogy f mindegyik f i koordináta-függvénye dierenciálható az a-ban, azaz létezik f i(a) Lin(IR n, IR) IR 1 n (mindegyik f i(a) derivált egy sorvektorral azonosítható). Ekkor az r i (x) := f i (x) (f i(a)(x a) + f i (a)), i = 1, 2,..., m (2) függvények kisrend ek. Jelölje A IR m n a következ mátrixot: f 1(a) f A := 2(a). f m(a) Ekkor az r(x) := r 1 (x) r 2 (x). r m (x) IR n IR m függvényt bevezetve a (2) alatti m darab egyenl ség felírható egy vektori egyenl ségként r(x) = f(x) (A(x a) + f(a)) alakban. Mivel r mindegyik koordináta-függvénye kisrend a-ban így r is az. Vagyis f dierenciálható a-ban és deriváltja éppen az A mátrix lesz. Ezzel beláttuk a következ állítást Állítás. Egy f : IR n IR m függvény pontosan akkor dierenciálható az a intd(f) pontban, ha az f i koordináta-függvények (i = 1, 2,..., m) is dierenciálhatók a-ban. Emellett f 1(a) f f (a) = 2(a). f m(a) A továbbiakban meghatározzuk a derivált alakját. El ször két speciális esetet tárgyalunk: 1. f : IR IR m, 2. f : IR n IR. 27
28 Az f : IR IR m függvények deriváltja Ha f : IR IR m, akkor f(t) = (f 1 (t), f 2 (t),..., f m (t)), ahol az f i koordináta-függvények IR IR típusúak. Ekkor f pontosan akkor dierenciálható a t = t 0 pontban, ha mindegyik koordináta-függvénye dierenciálható, és ekkor a derivált: f 1(t 0 ) f f (t 0 ) = 2(t 0 ). f m(t 0 ) Az f : IR n IR függvények deriváltja Tudjuk, hogy ha f : IR n IR, akkor f (a) egy n elem sormátrix (sorvektor): f (a) = [λ 1, λ 2,..., λ n ] Határozzuk meg az itt szerepl λ i számokat! Tudjuk, hogy ha f dierenciálható a-ban, akkor minden irány mentén is dierenciálható. Tekintsük speciálisan azt az e i vektort, amelynek i-edik koordinátája 1, a többi pedig nulla. Ekkor tehát létezik ei f(a), és 0 0 ei f(a) = f. (a) e i = [λ 1, λ 2,... λ i,..., λ n ]. 0 1 i) = λ i Vagyis a deriváltvektor i-edik eleme nem más, mint az i-edik egységvektor menti deriváltja f-nek a-ban Deníció. A ei f(a) IR számot az f függvény a pontbeli i-edik parciális deriváltjának nevezzük. Jelölése: i f(a). Ezek lesznek tehát a λ i számok. Így beláttuk a következ állítást Állítás. Tegyük fel, hogy az f : IR n IR függvény dierenciálható a-ban. Ekkor f (a) = [ 1 f(a), 2 f(a),..., n f(a)]. 28
29 Vizsgáljuk meg közelebbr l ezeket a speciális, parciális deriváltnak hívott iránymenti deriváltakat! Legyen α i (t) = a + t e i = (a 1, a 2,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) az a ponton átmen, e i irányú egyenes. Határozzuk meg az f α i : IR IR függvény t = 0 pontbeli deriváltját! Mivel ez egy valós-valós függvény, használhatjuk a dierenciahányados határértékét: (f α i ) (0) = lim t 0 (f α i )(t) (f α i )(0) t 0 = lim t 0 f(a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) t Áttérve t helyett az x i = a i + t változóra, a következ alakban tudjuk felírni az e i irány menti deriváltat: Jelölje ϕ (i) a = lim x i a i f(a 1,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ) f(a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) x i a i azt az IR IR függvényt, amelyet úgy deniálunk, hogy f-nek az i-ediken kívül az összes többi változóját rögzítjük az a vektor koordinátáira, azaz legyen ϕ (i) a (s) := f(a 1,..., a i 1, s, a i+1,..., a n ) Ezt a függvényt az f függvény a ponthoz tartozó i-edik parciális függvényének hívjuk. Így tehát az f : IR n IR függvény i-edik parciális deriváltját, azaz f deriváltvektorának i-edik elemét a következ alakban is felírhatjuk: ϕ (i) a (s) ϕ (i) a (a i ) λ i = i f(a) = lim s ai s a i = (ϕ (i) a ) (a i ) Vagyis az i-edik parciális derivált a-ban nem más, mint az a ponthoz tartozó i-edik parciális függvény deriváltja a i -ben. Kérdés: Következik-e a parciális deriváltak létezéséb l a dierenciálhatóság? ugyanis tekintsük a következ f : IR 2 IR függvényt: f(x, y) := { 1, ha x vagy y = 0 0 egyébként. Nem, Ez a függvény az x és az y tengely mentén mindenhol 1-et vesz fel, a tengelyeken kívül pedig nullát. Erre az f függvényre az a = (0, 0) pontbeli els és második parciális függvény 29
30 is az azonosan 1 függvény: ϕ (1) (0,0)(x) = 1 x IR; ϕ(2) (0,0)(y) = 1 y IR. Ezért létezik az els és a második parciális deriváltja is a (0, 0)-ban, és mindkett 0-val egyenl. Ugyanakkor az f függvény mégsem lehet dierenciálható ebben a pontban, hiszen itt nem folytonos. Tehát a parciális deriváltak létezéséb l nem következik, hogy a függvény is dierenciálható lenne. Adható ugyanakkor elégséges feltétel is a dierenciálhatóságra: 2.41 Állítás. Tegyük fel, hogy az a ponthoz tartozó ϕ (i) a : IR IR parciális függvények folytonosan dierenciálhatók az a i pontban minden i = 1, 2,..., m esetén. Ekkor f dierenciálható a-ban Az f : IR n IR m függvények deriváltja Ha f : IR n IR m, akkor f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)), ahol az f i koordináta-függvények IR n IR típusúak. Beláttuk, hogy f (a) pontosan akkor létezik, ha léteznek az f i(a) (i = 1, 2,..., m) deriváltak, és f 1(a) f f (a) = 2(a). f m(a) Mint azt a fejezetben láttuk, egy IR n IR függvény deriváltja a parciális deriváltak sorvektora. Ebb l következ en az f (a) deriváltmátrix f 1(a) 1 f 1 (a) 2 f 1 (a)... n f 1 (a) f f (a) = 2(a). = 1 f 2 (a) 2 f 2 (a)... n f 2 (a). f m(a) 1 f m (a) 2 f m (a)... n f m (a) alakú. Ezt a mátrixot f a pontbeli Jacobi-mátrixának nevezzük Megjegyzés. El fordulhat, hogy létezik a Jacobi-mátrixban szerepl összes parciális derivált, a függvény mégsem dierenciálható a-ban. Ugyanakkor ha ezek a parciális deriváltak folytonosak is a-ban, akkor a Jacobi-mátrix valóban a derivált. 30
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben1. Geometriai vektorok
1. Geometriai vektorok Ebben a bevezet fejezetben a középiskolában tanult vektorfogalmat ("irányított szakasz") ismételjük át, és kiegészítjük néhány új fogalommal. A kés bbiekben a vektornak általánosabb
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben1. A vektor és a vektortér fogalma
1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenANALÍZIS TANÁROKNAK II.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK II. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenAz el adás anyagának törzsrésze
Az el adás anyagának törzsrésze 1. Halmazok, elemi logika, valós számok I. Halmazok. 1. "Halmaz" és "eleme": alapfogalmak. Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. 2. Halmaz megadása:
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Jegyzet. Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem
Többváltozós függvények Jegyzet Pap Margit, Tóth László Pécsi Tudományegyetem 11 Tartalomjegyzék El szó 5 1. Többváltozós függvények 7 1.1. Metrika és topológia R n -ben..............................
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenA dierenciálszámítás alapjai és az érint
A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben