Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről 1. rész

Átírás

1 Előszó Az egenes rudak elemi szilárdságtanának eg problémaköréről rész Ezt a dolgozatot sok évvel ezelőtt írtam Benne eg olan problémakör kritikai vizsgá - latára vállalkoztam melnek itthon nem vag csak alig volt szakirodalma Ez nilván azzal is összefügg hog hazánkban nem volt repülőgépgártás Úg láttam hog a re - pülőgépek tervezésével kapcsolatos szilárdságtani munkákban fordulnak elő leginkább az ittenihez hasonló feladatok probléma - felvetések Érthető hog először az orosz nelvű szakirodalomhoz jutottam hozzá [ ] [ ] ; köszönet ezért a budapesti Gorkij Könvesbolt majd később a Műszaki Könváruház dolgozóinak is Aztán főleg munka - heli ( ÉT ) könvtárban német [ 3 ] majd jóval a rendszerváltás után angol illetve amerikai [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] munkákhoz is hozzájutottam Ezekben láttam hog bizon nem véletlenül gondoltam elmaradottnak a magar szakkönv - helzetet akkoriban De miért is olan fontos a repülőgép - szilárdságtan? Könnű a válasz: a repülőgép ter - vezése kivitelezése üzemeltetése javítása eg nagon összetett feladatkör ráadásul kis hiba is nagon nag gondot okozhat ellentétben sok más szerkezettel; ezért aztán szinte minden részproblémát korán és alaposan kidolgoztak a repülőgépesek ( Tudjuk: ami felmeg az le is jön; csak nem mindeg hogan ) Bevezetés A szilárdságtan - tanár rendszerint igekszik gengéden bánni a tanulóval: lehetőleg nem sokkolni őt hanem fokozatosan egre nehezebb anagrészekkel terhelni Mondjuk: először az egenes rúd húzása majd tiszta hajlítása stb jön mielőtt összetettebb esetek vizsgálatához fognának Ennek során a tanár bevezeti azt a derékszögű koordináta - rendszert ( a továbbiakban: k r ) amelet a rúd hossztengele és a keresztmetszet súlponti főtengelei alkotnak Nos mondókám lénege éppen a nevezett k r alkal - mazásával kapcsolatos Tanultuk hog a k r: segédeszköz a cél eléréséhez Mégis sok év tanulás / tanítás után az emberben felvetődhet a gondolat hog mintha bizonos eszközök túlhangsúlozottak lennének Egszerűbben: mintha az eszköz céllá vált volna Konkrétan: a rúdkeresztmet - szeti síkidom súlpontjának valamint a főtengelek iránának meghatározása elkerülhe - tetlennek látszó feladat A tan - és szakkönvek között döntő többségben vannak az ilen felfogásban íródott művek A jelen dolgozat e felfogás megalapozottságát szeretné nagító alá venni és vetetni Uganis nem kizárt hog létezik olan alternatíva amel főként az egetemi oktatás - ban legalább olan hasznos lehet mint a hagomános sőt! Eg ilen alternatíva még alkalmazástechnikai előnöket is tartalmazhat különösen a számítógép használata során

2 Tárgalás A jelzett probléma( kör ) úg is felvethető hog megkérdezzük: vajon ténleg elkerül - hetetlen részfeladat - e a rúdkeresztmetszet súlpontjához illesztett főtengelrendszer előállítása? A választ úg igekszünk megadni hog az egenes rudak szilárdságtanának részét képező bizonos alapfeladatok megoldását tetszőlegesen de célszerűen felvett k r alkalmazásával végezzük el A mondott alapfeladatok: ~ a normálfeszültségek vizsgálata; ~ a mozgások vizsgálata Ehhez tekintsük az ábrát is! A ) A σ - feszültségek képletének előállítása ábra tt eg nem ábrázolt terhelésű gerendadarab esetében mutatjuk be az alkalmazott kiindulási k r - eket a σ - csoporti ( N M M ) igénbevételi valamint az ( u v w ) elmozdulás - komponensek továbbá a ( φ φ ) forgásvektor - komponensek pozitív értékeit ontos hog az ( N M M ) igénbevétel - komponenseket is a tetszőlegesen felvett ( K K K ) k r- re redukáltuk és ezeket itt már ismertnek tekintjük előállításuk statikai feladat Nagon léneges hog a prizmatikus rúd keresztmetszete tetszőleges alakú; az ábrán csak technikai okok miatt rajzoltunk téglalap keresztmetszet - alakot A rúdnak nem kell tömör keresztmetszetűnek lennie; az itteniek egik gakori alkalmazási területe a

3 repülőgépekben szokásos hossziránú bordákkal és keresztiránú gűrűkkel merevített vékon héjak hajlítása Keressük a σ - feszültségek eloszlását leíró képleteket nduljunk ki a sík keresztmetszetek hipotéziséből! A tetszőleges P( P P ) keresztmetszeti pont z - tengel iránú elmozdulása [ 7 ] : w z w z z z ( ) P P P tt w : a K kezdőpont z - iránú elmozdulása Most foglalkozzunk a fajlagos núlás képletének felírásával ábra! 3 ábra A szokásos szilárdságtani eljárás szerint a z - iránú fajlagos megnúlás [ 7 ] : P*Q* PQ P*Q* z ; ( ) PQ PQ most térbeli Pitagorász - tétellel: u v w P *Q* du dv dz dw dz dz dz z z z u v w dz z z z ( 3 ) továbbá PQ dz ( 4 ) íg ( ) ( 3 ) és ( 4 ) szerint:

4 4 u v w z z z z ( 5 ) Elvégezve a gökjel alatt a négzetre emelést: u v w w z z z z z w u v w z z z z ( 6 ) Most a kis deformációk esetével foglalkozunk amikor fennáll hog u v w z z z ( 7 ) Emlékezve az α << esetén fennálló n n ( 8 ) összefüggésre ( 6 ) ( 7 ) és ( 8 ) szerint: w u v w z z z z z w u v w ( 9 ) z z z z Kis deformációk esetén ( 7 ) miatt ( 9 ) - ből: w z z ( ) Megjegezzük hog nem árt néha eg kicsit felfrissíteni az ismereteket; mint látható a ( ) képlet egáltalán nem magától értetődő az általános hajlítás ábrán is feltüntetett elmozdulási viszonai mellett Most ( ) és ( ) szerint a P indeet elhagva: z z w z z z w ' z ' z ' z z ( ) Rugalmas esetben Hooke törvéne szerint:

5 5 E z ( ) Megjegzendő hog itt E = állandó az egész rúdra nézve Majd ( ) és ( ) - vel: E w ' z ' z ' z Ew ' z E ' z E ' z ; ( 3 ) ( 3 ) más alakban: A B C ( 4 ) Összehasonlítva ( 3 ) és ( 4 ) - et: A E w ' z B E ' z C E ' z Most határozzuk meg a σ - feszültségi sík A B C paramétereit! N M M ismeretében: N d M d M d ( 5 ) ( 6 ) Most ( 5 ) és ( 6 / ) - gel: N d A B C d A d B d C d A d B d C d A BS CS N A BS C S ( 7 ) mert A B C ( 5 ) szerint csak z - től függnek és - tól azonban nem ( 7 ) - ben bevezettük az alábbi jelöléseket:

6 6 d S d S d ( 8 ) Ezek: a keresztmetszeti terület valamint a keresztmetszeti síkidomnak az és az tengelre vett statikai vag elsőrendű nomatékai Majd ( 5 ) és ( 6 / ) - vel: M d A B C d A d B d C d A S B C M AS B C ( 9 ) ahol bevezettük az d d ( ) jelöléseket; név szerint: a keresztmetszeti síkidom tengelpárra számított centrifugális vag deviációs másodrendű nomatéka illetve az tengelre számított ekvatoriális vag aiális másodrendű nomatéka Ezután ( 5 ) és ( 6 / 3 ) - mal: M d A B C d A d B d C d A S B C M AS B C ( ) ahol bevezettük még az

7 7 d ( ) jelölést is; neve: a keresztmetszeti síkidom tengelre számított ekvatoriális vag aiális másodrendű nomatéka Összefoglalva a ( 7 ) ( 9 ) ( ) képleteket: N A S BS C M S A B C M S A B C ( E ) Ez eg lineáris egenletrendszer az ( A B C ) ismeretlenekre A megoldás első lépéseként ( E / ) - ből kifejezzük A - t: N S S ( 3 ) A B C Bevezetjük az S S d d d d ( 4 ) jelöléseket; ezzel ( 3 ) íg írható: N A B C ( 5 ) Most ( 5 ) - öt behelettesítjük ( E / ) - be: N M S B C B C S N B S C S B C ;

8 tovább alakítva ( 4 ) - gel is: S M N B S C S 8 N B C ; M N B C ( 6 ) Bevezetve az ( 7 ) jelöléseket ( 6 ) és ( 7 ) - tel: M N B C ( 8 ) Átrendezve: M N B C ( 9 ) Bevezetve az M M N ( 3 ) jelölést ( 9 ) és ( 3 ) - cal kapjuk hog B C M ( 3 ) Most ( E / 3 ) és ( 5 ) - tel: N S S M S B C B C N S S S S B C B C S S S S N B C ; tovább alakítva ( 4 ) - gel is:

9 9 M N B C ; ( 3 ) Bevezetve az ( 33 ) jelölést ( 7 / ) ( 3 ) és ( 33 ) - mal: M N B C ( 34 ) ( 34 ) - et átrendezve: M N B C ( 35 ) Bevezetve az M M N ( 36 ) jelölést ( 35 ) és ( 36 ) - tal: B C M ( 37 ) Összefoglalva ( 3 ) és ( 36 ) szerint: B C M B C M ( E ) A B és C paraméterek kiszámítása az ( E ) egenletrendszer megoldásával történik Ehhez ( már ) a Cramer - szabált alkalmazzuk: M M M M M M B M M B ( 38 ) Hasonlóan:

10 M M M M M M C M M C ( 39 ) Most ( 4 ) és ( 3 ) szerint: N S S B C B C N S S B C ; ( 4 ) majd ( 4 ) és ( 4 ) - nel: N B C ( 4 ) Ezután ( 38 ) ( 39 ) és ( 4 ) - gel: N M M M M ( 4 ) Kissé átalakítva: M M M M N Még tovább alakítva:

11 N M M M M ( 43 ) Újabb alakítással: N M M Bevezetve ld: [ ] [ ]! a k képlettel a keresztmetszet aszimmetria - ténezőjét továbbá az ( 44 ) ( 45 ) ( 46 ) képletekkel a keresztmetszet P ( ) pontjához tartozó általánosított koordinátákat ( 44 ) ( 45 ) és ( 46 ) - tal: M M N k ( 47 ) Specializáció: ha ha akkor súlponti koordináta - rendszerben akkor súlponti főtengelrendszerben dolgozunk

12 Az utóbbi esetben a fenti képletekkel: k M M M M ( spf ) íg ( 47 ) és ( spf ) - fel a N M M ( 48 ) szokásos képlet - alak áll elő Most ( 5 ) ( 37 ) és ( 38 ) - cal az A paraméter: N M M M M A ( 49 ) B ) A mozgások képleteinek előállítása ( 5 ) - ből: dw z A w ' z dz E d z B ' z dz E d z C ' z dz E ( 5 ) Az elmozdulások és szögelfordulások vizsgálatához tekintsük a 3 ábrát is! Ez alapján: du z tg ; ( 5 ) dz innen: d z d uz u'' z ; ( 5 ) dz dz

13 3 3 ábra most ( 5 / ) és ( 5 ) szerint: B u'' z ; ( 53 ) E majd ( 37 ) ( 45 ) és ( 53 ) - mal: M M M M u'' z E E M M E E M M k E E M M E E u'' z k ( 54 ) Teljesen hasonlóan: dvz tg ; ( 55 ) dz innen:

14 d z d v z dz 4 v'' z ; ( 56 ) dz most ( 5 / 3 ) és ( 56 ) szerint: C v'' z ; ( 57 ) E majd ( 38 ) ( 45 ) és ( 57 ) - tel: M M M M v '' z E E M M E E M M k E E M M E E v '' z k ( 58 ) Ezután ( 45 ) ( 49 ) ( 5 / ) - gel: N M M M M w ' z E N M M M M E E E E E N M M M M k E E E E E

15 5 N M M M M w ' z k E E E E E ( 59 ) Specializáció: ( spf ) ( 54 ) ( 58 ) ( 59 ) - cel: M z u'' z E M z v '' z E N z w ' z E ( 6 ) A szilárdságtani tanulmánok során leginkább a ( 48 ) és a ( 6 ) képlet - alakokkal találkoztunk A többi hosszú és nehézkes képlet - alak szinte rejtve maradt előttünk Az alábbiakban a bevezetőben vázolt helzetet taglaljuk az eddigiek fénében A σ - feszültség ( 47 ) képletével kapcsolatban az alábbi érdekességek figelhetők meg ~ Levezetése során egszer sem mondtuk hog most végezzünk eg eltolási / for - gatási transzformációt! A ( 7 ) és ( 33 ) képletekkel a keresztmetszeti jellemzők a ( 3 ) és ( 36 ) képletekkel pedig a hajlítónomaték - komponensek súlponti k r - re való transzformálása során találkozhatunk a σ - képlet szokásos levezetése során Azonban a ( 7 ) és ( 33 ) illetve a ( 3 ) és ( 36 ) képleteket nem kell feltétlenül transz - formációs formuláknak tekintenünk: azok írás - könnítő egszerűsítő jelölésekként is felfoghatók Ha nem alkalmazzuk az egszerűsítő / tömörítő jelöléseket akkor ( 47 ) - re N M N M N ( 6 ) alakú képletet kapunk melnek bonolultsága csak látszólagos illetve viszonlagos Uganis a ( 48 ) alakú a súlponti főtengelrendszerben érvénes képlethez legalább uganilen fáradságos út vezet Köztudott hog ehhez párhuzamos eltolási és forgatási transzformációk szükségesek 4 ábra A 4 ábra szerint a tetszőleges alakú keresztmetszeti síkidom eg P pontjára:

16 6 p P P q ( 6 ) P P 4 ábra A rúdkeresztmetszet O súlpontja ( p q ) koordinátáit az ( O ) k r - ben abból a feltételből határozzuk meg hog a súlponti k r - ben a súlpont koordinátái: ( ) Mechanikai tanulmánainkból tudjuk hog a ( 4 ) képletek a síkidom súlpont - koor - dinátáit adják meg Íg felírhatjuk v ö: [ 7 ]! hog P d O d P d ( 63 ) O d Most ( 6 ) és ( 63 ) - mal: P p d dp d P innen a P indeet elhagva : d p ( 64 )

17 7 Hasonlóképpen: d dq P d P innen a P indeet elhagva : d q ( 65 ) Most már ismerjük a síkidom súlpontjának helét íg már tudunk súlponti k r - ben dolgozni tt az első feladat: előállítani az ( O ) főtengel k r - t Tudjuk hog ennek meghatározási feltétele: d ( 66 ) A ( 66 ) képlet használatához azonban eg forgatási transzformációt kell végezni 5 ábra Eszerint: r cos ( 67 ) P P r sin ( 68 ) P P 5 ábra ( 67 ) - et kifejtve: r cos r coscos sin sin P P P r cos cos r sin sin cos sin P P P P tehát a P indeet elhagva : cos sin ( 69 )

18 8 Hasonlóan ( 68 ) - cal: r sin r sin cos cos sin P P P r sin cos r cos sin cos sin P P P P tehát a P indeet elhagva : sin cos ( 7 ) Most ( 66 ) - hoz: sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos ntegrálva: d sin cos d sin d cos d sin d d cos d ( 7 ) sin cos sin cos ( 7 ) Most ( 66 ) és ( 7 ) - vel: sin cos innen a jól ismert tg ( 73 ) képlet adódik

19 Miután már rendelkezünk a súlponti főtengel - rendszerrel el tudjuk végezni az igénbevételi komponensek ide való redukálását is 6 ábra 9 6 ábra Az eltolási transzformációs összefüggések: M M N q M M N p Az elforgatási transzformációs összefüggések v ö: ( 69 ) ( 7 )! : M M cos M sin ; M M sin M cos ( 74 ) ( 75 ) ~ Érdekes hog a szakirodalomban viszonlag ritkán lehet találkozni a ( 4 ) ( 47 ) alakú képletekkel Ezek közül is a gakoribb az amikor súlponti de nem főtengel - rendszerbeli alakot használnak További érdekesség hog a szilárdságtan tankönvek nem foglalkoznak a szokásos azaz forgatási transzformációt is alkalmazó pl ( 48 ) képlet valamint a kevésbé szokásos pl ( 4 ) alakú összefüggések azonosságának igazolásával Ez persze okoskodással elkerülhető; mégis: van annak valami beláttató tudást megszilárdító ereje ha összefüggéseink különböző utakon uganazon eredménre vezetnek Végezzük el ezt a hiánpótlást! nduljunk ki a súlponti főtengelrendszerben felírható N M M ( 48 )

20 egszerű szerkezetű szokásos alakú képletből! Azt várjuk hog a ( 48 ) ( 69 ) ( 7 ) ( 75 ) képletekkel azonos átalakítások alkalmazásával előáll eg ( 4 ) - höz hasonló képlet - alak Azonnal látható hog ( 48 ) első tagjával nem kell foglalkozni Vizsgáljuk tehát meg a ( 76 ) N M M összeg utolsó két tagját vagis a hajl M M ( 77 ) összeget! Az első tag: M M ( 78 ) A nevező: d ( 79 ) ( 79 ) - et ( 7 ) - höz hasonló módon számítjuk ki Ehhez ( 7 ) - nel: sin cos sin sin cos cos ; most ( 79 ) és ( 8 ) - nal: ( 8 ) d sin sin cos cos d sin dsin cos d cos d sin sin cos cos sin sin cos cos ( 8 ) Most ( 75 / ) ( 78 ) és ( 8 ) - gel: M cos M sin M sin cos sin sin cos cos ( 8 / )

21 A részletszámításokhoz: S N M ( 8 / ) (77 ) második tagja: M M ( 83 ) A nevező: d ; ( 84 ) ehhez ( 69 ) - cel: cos sin cos sin cos sin ; ( 85 ) most ( 84 ) és ( 85 ) - tel: d cos sin cos sin d cos dsin cos d sin d cos sin cos sin cos sin cos sin ( 86 ) Ezután ( 69 ) ( 75 / ) ( 83 ) és ( 86 ) - tal: M sin M cos M cos sin cos sin A részletszámításokhoz: cos sin ( 87 ) S M ( 87 / ) N Most ( 8 ) és ( 8 / ) - gel:

22 S M cos M sin sin cos M sin cos M sin M cos M sin cos sin M sin cos M M cos M S sin M sin cos M M cos M Majd ( 8 ) ( 8 / ) és ( 88 ) - cal: ( 88 ) sin M sin cos M M cos M S M N sin sin cos cos Hasonlóan eljárva ( 87 ) és ( 87 / ) - gel: S M sin M cos cos sin ( 89 ) M sin cos M cos M sin M sin cos sin M sin cos M M cos M S sin M sin cos M M cos M Majd ( 87 ) ( 87 / ) és ( 9 ) - nel: ( 9 ) sin M sin cos M M cos M S M N cos sin cos sin ( 9 ) Ezután ( 77 ) ( 8 / ) és ( 87 / ) - gel: S S S N S N hajl M M N N N N ( 9 ) A ( 9 ) képlet kiértékeléséhez trigonometriai azonosságokat alkalmazunk Az ismert cos sin cos sin cos ( 93 ) azonosságokból összeadással és kivonással:

23 3 cos cos cos sin ( 94 ) Azután a sin sin cos ( 95 ) azonosságból: sin sin cos ( 96 ) Most kifejezzük az S S N N menniségeket a kétszeres szög szögfüggvéneivel Először ( 88 ) ( 94 ) és ( 96 ) - tal: S sin M sin cos M M cos M cos sin cos M M M M M M cos sin M M M M M M cos sin S M M M M ( 97 ) Másodszor ( 9 ) ( 94 ) és ( 96 ) - tal: S sin M sin cos M M cos M cos sin cos M M M M M M cos sin M M M M M M cos sin S M M M M ( 98 ) Harmadszor ( 78 ) ( 8 ) ( 94 ) és ( 9 6 ) - tal:

24 4 N sin sin cos cos cos cos sin cos sin cos sin cos N sin Negedszer ( 83 ) ( 87 / ) ( 94 ) és ( 96 ) - tal: N cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos N sin ( 99 ) ( ) Most írjuk egmás mellé N és N képleteit: cos N sin A* B* cos N sin A* B* ( ) ( ) - ről leolvasható hog A* cos B* sin B* - ot átalakítjuk; ( 73 ) - ból: ( )

25 5 tg tg ; ( 3 ) most ( / ) és ( 3 ) - mal: cos B* sin tg sin cos cos sin cos cos sin cos cos cos B* cos ( 4 ) Képezzük a ( 9 ) - höz szükséges N N szorzatot! ( ) szerint: N N A* B* A* B* A * B* ; ( 5 ) majd ( / ) ( 4 ) és ( 5 ) - tel: N N cos cos sin cos cos tg N N tg Most ( 73 ) és ( 6 ) - tal: ( 6 )

26 6 N N N N ( 7 ) A ( 7 ) összefüggést ( 66 ) miatt még íg is felírhatjuk: ( 8 ) A ( 8 ) képlet a másodrendű nomatékok egik invariáns mennisége A másik invariáns ( ) - ből adódóan: ( 9 ) A ( 7 ) és ( 9 ) egenletek eg az ( ) fő - másodrendű nomatékok meghatáro - zására szolgáló egenletrendszernek is tekinthető [ 8 ] : ( ) ( / ) - ből: ; ( ) ezt betéve ( / ) - be: ; rendezve: ; innen:

27 7 ( ) másodfokú egenlet adódik A gökképlettel: 4 ( 3 ) A gök alatti kifejezést tovább alakítva: ; most ( 3 ) és ( 4 ) - gel: 4 Most ( ) és ( 5 ) - tel: Látjuk hog ( 5 ) és ( 6 ) uganazon szélső értékeket adják a fő - másodrendű ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )

28 8 nomatékokra amit íg jelölhetünk: ma min tt még eldöntendő hog a ( 73 ) - ból adódó általános arctg n majd az ebből kapott arctg n összefüggésből az n = választással adódó ( 7 ) ( 8 ) arctg arctg ( 9 ) szögek melike tartozik illetve - höz Ezt pl úg is intézhetjük hog a ( ) ( / ) és ( 4 ) képletek szerint felírjuk az cos cos ( ) képleteket majd a ( 9 ) szerinti szögekhez megkeressük a nekik megfelelő ( ) szerinti értéket A nagobbik lesz a kisebbik ( 7 ) - nek megfelelően Eg másik lehetőség az alábbiak szerint áll elő [ 9 ] elhasználjuk hog

29 9 sin sin sin cos cos tg tg cos cos sin sin tg cos tg tg tg ( ) Most ( 73 ) és ( ) szerint: tg tg a tg ( ) ahol átmenetileg bevezettük az a ( / ) rövidítő jelölést Most ( ) - ből: tg a tg tg a tg a a tg a tg tg a Az utolsó egenletet a gökképlettel megoldva: 4a a 4a a tg a a a a tg a Most ( ) és ( 3 ) - mal: tg tg tg De ( 4 ) szerint írhatjuk hog ( 3 ) ( 4 )

30 3 tg tg tg tg tg tg ( 5 ) Most szorozzuk össze ezeket majd a ( 5 ) - nél is alkalmazott azonossággal: tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ( 6 ) A ( 6 ) képlet a két főtengel egenesének merőlegességét fejezi ki Majd ( 5 ) és ( 6 ) - tal: tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ( 7 ) ( 7 ) tömörebben vö ( 4 )! : tg tg tg ( 8 ) Majd ( 73 ) és ( 8 ) szerint:

31 tg 3 tg tg tg tg ma min tehát ld:[ ]! : tg ( 9 ) ma min Szétválasztva: tg ma tg min ( 3 ) Természetesen ( 9 ) csak akkor adja az = ma - nak megfelelő α valamint az = min - nek megfelelő α értékeket ha jól választottunk ( 5 ) - nél a sorrendet illetően Ezt azzal indokolhatjuk hog ( 9 ) szerint is tg tg ( 3 ) egezésben ( 5 ) - tel Most térjünk vissza a ( 9 ) képlethez szükséges további számításokhoz!

32 3 Az N N szorzatot ( 7 ) szerint már ismerjük hátra van még az S N S N menniség meghatározása Képezzük először az S N szorzatot! ( ) ( ) ( 4 ) illetve ( ) szerint: N A* B* cos ; ( 3 ) most ( 97 ) és ( 3 ) - vel: M M cos sin S N M M M M ; cos ( 33 ) Ezután képezzük az S N szorzatot! Ehhez: N A * B* cos ; ( 34 ) majd ( 98 ) és ( 34 ) - gel: M M cos sin S N M M M M cos Most ( 33 ) és ( 35 ) szerint: S N S N ( 35 ) M M cos M M sin M M 4 cos M M cos M M sin M M 4 ; cos ( 36 ) részletezve: S N S N M M 4 cos M M sin M M ; 4cos tovább alakítva: S N S N M M M M tg M M ; ( 37 ) most ( 73 ) és ( 37 ) - tel:

33 S N S N 33 M M M M M M M M M M M M M M M M M M S N S N M M M M ( 38 ) Ezután ( 9 ) ( 7 ) és ( 38 ) szerint: M M M M hajl ( 39 ) Majd ( 76 ) ( 77 ) és ( 39 ) szerint: N M M M M ( 4 ) ( 4 ) - t átalakítva és ( 6 ) - vel is: N M M M M p q ( 4 ) A ( 4 ) képletet hasonlítsuk össze ( 4 ) - vel! N M M M M ( 4 ) Megállapítható hog a különböző jelölésektől eltekintve megegeznek Ezzel a hiánpótlást elvégeztük

34 34 Megjegzések: M A ( 6 ) képlet utáni levezetések során már más jelöléseket alkalmaztunk mint előtte A cél az volt hog a ( 48 ) végképletből kiindulva annak jelöléseit használva elérjük a ( 4 ) - höz hasonló ( 4 ) képletalakot M A ( 4 ) képlet levezetését eg teljesen tetszőleges ( K K K ) keresztmetszeti k r - ből indítottuk és jutottunk el a ( 4 ) képletig amel a keresztmetszet súlponti de nem főtengelrendszerbeli k r - ében érvénes Utóbbi tént nem nagon hangsúloztuk ezzel is jelezve hog talán ez nem is annira léneges információ A ( 4 ) képlet levezetését eg a súlponti főtengelek ( O ) k r - ében értelmezett ( 48 ) képletből indítottuk majd transzformációk és azonos átalakítások után jutottunk ( 4 ) - re M3 Szóvá tettük hog a tan - és szakkönvekben nem találkoztunk még az ittenihez hasonló számítással Ez részben érthető is már ha csak az irdatlan nag terjedelmet is tekintjük Továbbá vannak akik úg gondolják hog a levezetéseknek rövidnek és tö - mörnek kell lenniök; ez jelentheti a szépség eges alkotóelemeit feltételeit számukra Szerintünk azonban a helzet sokkal prózaibb: amíg a tanuló nem látja át az elméletet addig alig van rá esél hog azt alkotó módon tudja majd valamikor alkalmazni Nilván a bonolultabb elméletek sem lesznek számára vonzóak hiszen még az egsze - rűbb sem meg igazán Az elméletek átlátása az összefüggésrendszerek oda - vissza való megértését is jelenti A jelen borzadál éppen ebben segíthet az érdeklődőnek M4 A bonolultabb elméletek is készen vannak már és alkalmazzák is azokat Az érdeklődő olvasó megtalálhatja pl [ ] - ben is M5 Az egész eddigi munka arról szólt hog megvizsgáljuk: feltétlen ragaszkodnunk kell - e a súlponti főtengelrendszer alkalmazásához szilárdságtani számításainkban Ezt persze mindenki ízlése igénei szerint dönti el Némiképpen más a helzet ha a döntést eg tanár vag eg szakkönv szerzője hozza Megeshet hog soha eszébe sem fog jutni a tanulónak vag a szakkönv olvasójának hog esetleg más út is járható M6 A ( 47 ) ( 54 ) ( 58 ) képletek levezetése során a bennük szereplő ( N M M ) igénbevételi komponenseket ismertnek tételeztük fel Ez a feltétel egáltalán nem magától értetődő Ez különösen akkor okozhat gondot ha a belső erők alakulása a szerkezet alakváltozásához kötött len lehet a helzet statikailag határozatlan megtá - masztás és / vag kis merevségek esetén is Ez a problémakör még vizsgálandó M7 A ( 7 ) képlet bal oldala feltétlenül pozitív íg jobb oldala is az Eszerint σ h nevezője sosem válhat nullává

35 35 Befejezés Ez most elmarad Úg tervezzük hog az ittenieknek lesz még foltatása rodalom: [ ] A Sz Avdonin ~ V igurovszkij: Raszcsot na procsnoszt letatelnüh apparatov Moszkva Masinosztrojenije 985 [ ] Red Obrazcov: Sztroitelnaja mehanika letatelnüh apparatov Moszkva Masinosztrojenije 986 [ 3 ] Eberhard Schapitz: estigkeitslehre für den Leichtbau Auflage Düsseldorf VD - Verlag 963 [ 4 ] David J Peer: Aircraft Structures New York ~ Toronto ~ London McGraw - Hill Book Compan 95 [ 5 ] Robert M Rivello: Theor and Analsis of light Structures New York ~ St Louis ~ San rancisco ~ Toronto ~ London ~ Sdne McGraw - Hill Book Compan 969 [ 6 ] Red E Bruhn: Analsis and Design of light Vehicle Structures Carmel Jacobs Publishing nc 973 [ 7 ] A Birger ~ R R Mavljutov: Szoprotivlenije materialov Moszkva Nauka 986 [ 8 ] stván Szabó: Einführung in die Technische Mechanik 4 Auflage Berlin ~ Göttingen ~ Heidelberg Springer - Verlag 959 [ 9 ] Sigurd alk: Műszaki mechanika kötet: A rugalmas test mechanikája Műszaki Könvkiadó Budapest 97 [ ] Red M M ilonenko - Boroditsch: estigkeitslehre Band Berlin Verlag Technik 95 Sződliget július 8 Összeállította: Galgóczi Gula mérnöktanár