Az orthogonális axonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról

Átírás

1 Az orthogonális aonometria alapösszefüggéseiről, illetve azok alkalmazásáról Bevezetés Sok évvel ezelőtt, amikor még nem volt internet, és a személi számítógép is újdonság volt, sikerült néhán furcsa, a szakirodalomban nemigen szereplő összefüggést találnunk a merőleges aonometria témakörében is. Akkoriban a papírmunka sokkal nehézkesebb volt ( gépírás, rajzolás, stb. ), íg a minteg öncélú megörökítés technikailag sokkal nehezebben ment, mint manapság. Minthog nem teljesen érdektelen dolgokról van szó, legalábbis a felfedező alkatú emberek számára, íg célszerű ezt az adósságot is rendezni. Annakidején az egészet eg a témától nagon távol állónak tűnő könvben [ ] közölt képletek indították el. A képletek igazolása, majd az eredmének továbbgondolása eg olan dolgozat - folamot indított el, melnek eredménei vélhetően ma is eg átfogóbb megértést tesznek lehetővé a rajzi megjelenítés témakörében: a merőleges aonometriában, a ferde aonometriában és a perspektívában. E dolgozatok közül ez az első. Furcsa a szerző helzete: arról panaszkodik, hog mi minden hiánzik a szakirodalomból, uganakkor e hiánok pótlása közben nagon óvatosan kell eljárnia; uganis ~ a vájtfülűek számára ez az egész nitott kapun való dörömbölésnek tűnhet, ráadásul még csak esztétikai örömet sem szerezve, hiszen helenként meglehetősen letérünk a megszokott és elegánsan kikövezett útról; ~ a kezdők számára ez az egész valami öncélú magamutogatásnak tűnhet, hiszen egészen biztos, hog valaki, valahol már rendbe rakta az itteni ismereteket, stb. Minthog szinte minden szerzőre ez a Szkülla és Kharübdisz leselkedik, íg sosem történne semmi, ha erre sokat adnánk. Íg aztán vállaljuk a kritikát, és közzétesszük e kiadatlan, ill. csak szűk körben és részben ismertetett írásokat. A téma kifejtése során igekszünk, hog igazolás nélkül csak a szakirodalomban leginkább hozzáférhető ismeretekre hivatkozzunk; az is megtörténhet, hog az egik dolgozatban levezetés nélkül közölt eredmént a másik dolgozatban részletesen levezetjük. Témánk kifejtése során a szájbarágás módszerétől sem riadunk vissza, mert ahog már célozgattunk rá nem nagon találni bevezető jellegű, ízlésünknek megfelelő magar nelvű szakirodalmat. Ennek megvan az az előne, hog később majd saját magunkra hivatkozhatunk. Az a vicces helzet állt itt is elő, hog a komol szerzők szinte rangon alulinak tartják az ilen nilvánvaló ismeretek közlését, mások pedig talán éppen emiatt még szégellik is, vag csak lusták. Akárhog is van, ott tartunk, hog eg átlagos kezdőnek sokszor érdemesebb a régebbi kiadású szakkönvek felé fordulnia. Az elmondottakra jó példa a [ ] mű, ahol szinte egedülálló módon gondoskodik a szerző a megértés feltételeinek biztosításáról. Ez különösnek tűnhet, főként ha kiderítjük kiadásának valószínű dátumát. E sorok írója azáltal is megköszöni az említett művek szerzőinek ezt a fajta ismeretterjesztő munkát, hog alkalmazza a művükben foglaltakat, valamint ezeket mások figelmébe is ajánlja. Íg talán kevésbé lesznek szégenlősek, ill. elszállottak azok, akiknek még hátravan eg - két tankönv vag szakkönv megírása. Uganis nincs kétségünk afelől, hog a jól átgondolt, alaposan megszerkesztett bevezető jellegű írásokra még sokáig lesz igén.

2 Kifejtés A feladat ( v.ö.: [ ]! ) Igazoljuk, hog orthogonális / merőleges / aonometriában való ábrázoláskor érvénesek az alábbi összefüggések ld. az. ábrát is! ' X cos Y cos, z A ; ' X sin Y sin Z, ahol z Asin cos ; Acos sin ; A tg tg ; tg tg. tg. ábra

3 3 Megoldás Az. ábrán feltüntettük: ~ az ábrázolás síkjában a képsíkon felvett ( O a z ) aon. tengelkeresztet; ~ eg P ( X, Y, Z ) térbeli pontnak / tárgpontnak az aon. tengelkeresztre vonatkoztatott ferdeszögű koordinátáival megadott K ( X, Y, z Z ) képpontját; ~ a K képpontnak az ( O a ) rajzi koordináta - rendszerben értelmezett K megfelelőjét. A feladat kissé átfogalmazva: Adott: ( X, Y, Z ), ( α, β ). Keresett: (, ). Az állítás első és második sora: ' X cos Y cos, ( ) ' X sin Y sin Z z, ( ) azonnal adódik, az. ábra szerint is; ezért ha az állítás igaz, akkor a feladat valójában a további sorokban foglaltak szerint a Asin cos, ( 3 ) Acos sin, ( 4 ) A z, ( 5 ) valamint az A tg tg, ( 6 ) tg tg tg képletekkel leírt (, ), (, ), z z (, ) ( 7 ) ( 8 ) függvénkapcsolatok igazolása, ill. az állítás szerinti alakjának belátása. A feladat állítása szerint a K = K orth. aon. képpontot a térbeli P ( X, Y, Z ) pont, ill. az ábrázolás ( α, β ) szögparaméterei egértelműen meghatározzák. Ezek szerint a fő feladat a ( 8 ) szerinti függvének, a i ( i =,, z ) rövidülési egütthatók előállítása. Ezt pontokba foglalva, több, önállóan is tanulmánozható részben végezzük el.

4 4.) A térbeli vetítési összefüggések felírása [ 3 ] Ehhez tekintsük a. ábrát is!. ábra A. ábra a párhuzamos vetítés megformulázását segíti; itt: P: tárgpont; K: képpont; Π: képsík; ( O X Y Z ): térbeli koordináta - rendszer; ( O ): képsíkbeli koordináta - rendszer. A párhuzamos vetítés lénege: az ábrázolandó tárg P pontján keresztül az u iránvektorral párhuzamos vetítősugár halad át, mel a képsíkot a K képpontban döfi. A feladat: e döféspont, koordinátáinak megkeresése. A vektoralgebrai megoldás az alábbi. Egrészt: r' r z ' u ; ( ) másrészt: r' r0 ' u ' u ; ( ) most ( ) és ( ) - vel: r r ' u ' u z ' u. ( 3 ) 0 Most szorozzuk végig skalárisan ( 3 ) - at u u - vel! Ekkor:

5 5 r r0 u u ' u u u ' u u u z ' u u u. ( 4 ) Figelembe véve, hog u u u u u u 0, ( 5 ) ( 4 ) és ( 5 ) - tel: r r0 u u uu u z '. ( 6 ) Hasonló módon adódik, hog r r0 u u uu u ', ( 7 ) továbbá r r0 u u uu u '. ( 8 ) Az ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) képletek a ferde - párhuzamos vetítés, azaz a ferde más néven: klinogonális = ferdeszögű aonometria általános képletei. Ezek közül leginkább csak az ( 7 ) és ( 8 ) képleteket használjuk, ahol ( ) a keresett ferde aonometrikus képpont képsíkbeli koordinátái. Megjegezzük, hog az előző számítás során felhasználtuk az u u u uu u, ( 9 ) u u u uu u összefüggéseket is. A ferde aonometria igen fontos speciális esete a merőleges aonometria, amikor is a vetítősugarak merőlegesek a képsíkra, azaz: u u u. ( 0 ) Ekkor, felhasználva az a b c b ac c ab azonosságot, valamint az a c u, b = u helettesítéseket, az egségvektorokra vonatkozó ismert összefüggésekkel is kapjuk, hog:

6 6 ' r r u, ( ) 0 0 ' r r u, ( ) z ' r r u. ( 3 ) 0 Ezzel a merőleges - párhuzamos vetítési alapösszefüggéseket meghatároztuk. A későbbiekben használandó jelölésekkel újra felírjuk az orth. a. képleteit; ld.: 3. ábra! Előtte értelmezzük a 3. ábra főbb jelöléseit: d a OO, 3. ábra a képsíkra merőleges vektor, a vetítés iránvektora; p OP, a P tárgpont helvektora; e, e : az, képsíkbeli tengelek menti egségvektorok. ' '

7 7 Most az ( ), ( ) képleteket az új jelölésekkel átírva: ' pd e, ( 4 ) ' ' ' pd e. ( 5 ) Most vegük figelembe, hog d, íg fennállnak az alábbiak: de ' 0, d e ' 0. ( 6 ) Majd ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: ' pe, ( 7 ) ' ' pe. ( 8 ) ' Az ( 7 ) és ( 8 ) egenletek a képsíkra merőleges párhuzamos vetítés alapegenletei, az általunk használt jelölésekkel..) A képsíkbeli egségvektorok kifejezése a képsík paramétereivel Ehhez tekintsük a 4. ábrát! 4. ábra

8 8 A részfeladat: Adott: u, v, w > 0. e, e. Keresett: ' ' Az azonnal látszik, hog az ( u, v, w ) tengelmetszetek megadásával adott a képsík normálvektora, egben a vetítés iránvektora is. A vetítés iránvektora: d d d d d i d j d k X Y Z X Y Z dcos i dcos j dcos k; X Y Z a 4. ábra szerint: d cos X, u d cos Y, v d cos Z. w Most ( ) és ( ) - vel: ( ) ( ) d d d d i j k. ( 3 ) u v w Definíció szerint a képsík normális egségvektora: n d, ( 4 ) d majd ( 3 ) és ( 4 ) - gel: 0 d d d n i j k. ( 5 ) u v w Minthog 0 0 n n, ( 6 ) ezért ( 5 ) és ( 6 ) - tal: 0 0 d d d d, u v w d, u v w azaz: innen:, ( 7 ) u v w d

9 9 illetve: d. u v w ( 8 ) Majd ( 5 ) és ( 8 ) - cal: n 0 i j k u v w. u v w ( 9 ) Megjegezzük, hog a 4. ábra szerint használható az 0 a b n a b ( 4 / ) összefüggés is. Az egségvektorokra térünk rá. A 4. ábrán is látszik, hog 0 c c c e. ' c ( 0 ) c c u v Ismét az ábráról: ui c v j, innen: c u i v j ; ( ) majd ( 0 ) és ( ) - gel: u v e ' i j. ( ) u v u v A jobbsodrású koordináta - rendszerben: e n e ( 3 ) ' 0 '. Most ( 5 ), ( ), ( 3 ) - mal:

10 0 d d d u v e' i j k u v w i j u v u v d v u u v u v u v k j i w w d v u u v i j, u v w w v u k tehát d v u u v u v w w v u e ' i j k. ( 4 ) 3.) Az ábrázolás egenleteinek kifejtése Tudjuk, hog p Xi Y j Z k. ( 3 ) Most ( 7 ), ( ) és ( 3 ) - gel: u v ' pe ' Xi Y j Zk i j u v u v u v X Y X Y, u v u v v u u v tehát: ' X Y. v u u v ( 3 ) Majd ( 8 ), ( 4 ) és ( 3 ) - gel:

11 d v u u v ' pe' Xi Y j Zk i j u v w w v u k d v u u v X Y Z u v w w v u d v d u d u v X Y Z w w u v u v u v v u, tehát: d v d u d u v ' X Y Z. w w u v u v u v v u ( 3 3 ) 4.) A rövidülési egütthatók számítása Ehhez tekintsük a 4. ábra mellékábráit is! Definíció szerint: ~ az tengel menti rövidülési ténező: ~ az tengel menti rövidülési ténező: ~ a z tengel menti rövidülési ténező: z 3 U cos ; u ( 4 ) V cos ; v ( 4 ) W cos. w ( 4 3 ) Most nézzük az 5. ábrát is! Itt a térbeli és a képsíkbeli paraméterek kapcsolatát vizsgáljuk meg; ezen mindhárom alkalmazott koordináta - rendszer látható. Pitagorász tételével: a u w ; b v w ; c u v. ( 4 4 ) Az 5. ábrán bevezettük a D D D 3 nomháromszög megfelelő oldalai által bezárt ( λ, μ, ν ) szögeket is, valamint feltüntettük az ábrázolás ( α, β ) alapadatait is. Az 5. ábra alapján készítettük el a 6. ábrát, amelen már csak a képsíkbeli menniségeket ábrázoltuk. Közvetlen célunk a rövidülési egütthatók és az ( α, β ) szög - paraméterek kapcsolatának tisztázása.

12 5. ábra 6. ábra

13 3 A 6. ábra készítésénél felhasználtuk, hog ld.: [ 4 ]! : ~ a nomháromszög : hegesszögű háromszög; ~ az orth. a. tengelkereszt egenesei a nomháromszög magasságvonalai. Ezek alapján felírhatók a következő szög - összefüggések: 90 ; ( 4 5 ) 90 ; ( 4 6 ). ( 4 7 ) Most sin - tétellel: sin U c, sin sin V c. sin Ezután ( 4 ), ( 4 4 ), ( 4 8 ) - cal: U c sin u v sin v sin, u u sin u sin u sin tehát: v sin. u sin Hasonlóan ( 4 ), ( 4 4 ), ( 4 9 ) - cel: V c sin u v sin u sin, v v sin v sin v sin tehát: u sin. v sin ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 0 ) ( 4 ) Most a 6. ábra alapján: W asin Usin ; ( 4 ) majd ( 4 5 ) és ( 4 ) - vel: W acos Usin. ( 4 3 ) Ezután ( 4 3 ), ( 4 4 ), ( 4 8 ), ( 4 3 ) - mal:

14 4 W a U u w u v sin sin z cos sin cos w w w w w sin tehát: u u v sin sin cos, w w w sin u u v sinsin z cos. w w w sin Most a 6. ábra alapján cos - tétellel: b a c accos ; a b c bccos ; c a b abcos. ( 4 4 ) ( 4 5 ) Majd ( 4 4 ) és ( 4 5 ) - tel: v w u w u v accos, innen: u accos. Hasonlóképpen végigszámolva: u a ccos ; v bccos ; w abcos. Ezután ( 4 6 ) - ból: u a cos ; v b cos u c cos ; w b cos v c cos. w a cos ( 4 6 ) ( 4 7 ) Ismét a 6. ábrával, sin - tétellel:

15 5 a sin ; b sin c sin ; b sin c sin. a sin Most ( 4 7 ) és ( 4 8 ) - cal: u tg ; v tg u tg ; w tg v tg. w tg ( 4 8 ) ( 4 9 ) Majd ( 4 9 ) és ( 4 5, 6, 7 ) - tel: u tg tg90 ctg tg ; v tg tg90 ctg tg u tg tg tg tg tg ; w tg tg90 ctg v tg tg tg tg tg. w tg tg90 ctg Most ( 4 0 ) és ( 4 0 ) - szal: v sin tg sin ; u sin tg sin ( 4 0 ) ( 4 ) trigonometriai átalakítással: sin sin cos cossin sin cos, sin sin tg tehát

16 6 sin tg cos sin. sin tg tg tg Ezután ( 4 ) és ( 4 ) - vel: tg tg, tg tg cos tg tg cos tg tg tg tehát például:, cos tg tg illetve ( 4 ) ( 4 / ) tg. tg tg ( 4 / ) Majd ( 4 ) és ( 4 0 ) - szal: u sin tg sin ; v sin tg sin trigonometriai átalakítással: sin sincos cossin sin cos, sin sin tg tehát: sin tg cos sin. sin tg tg tg Ezután ( 4 3 ) és ( 4 4 ) - gel: tg tg, tg tg cos tg tg cos tg tg tg ( 4 3 ) ( 4 4 ) tehát például:

17 7, cos tg tg ( 4 5 / ) illetve tg. tg tg ( 4 5 / ) Most a ( 4 4 ) és ( 4 0 ) képletekkel: u u v sin sin z cos w w w sin sin sin tgtg cos tg tg tg tg. sin ( 4 6 ) Azonos átalakításokkal: tg tg tgtg cos tg cos tg tg tg tg tg tg tg tg cos cos tg tg tg tg ; tg tg ( 4 7 ) sinsin sinsin tg tg tgtg tg tg tg sin sin tg tg sin sin tg tg sinsin tg tg ; tg tg sin sin tg tg sin sin cos cossin tg tg, sin sin sin sin tg tg tg tg ( 4 8 )

18 8 illetve: sinsin tgtg ; sin tg tg most ( 4 8 ) és ( 4 9 ) - cel: sin sin tg tg tgtg tg tg tg tg sin tg tg tg tg tg tg, tg tg ( 4 9 ) ( 4 30 ) íg ( 4 6 ), ( 4 7 ), ( 4 30 ) - cal: tgtg tg tg z tg tg, tg tg tg tg tg tg tehát: z tg tg. ( 4 3 ) 5.) Az ( ), ( ) és a megfelelő ( 3 ), ( 3 3 ) képletek egezésének vizsgálata Írjuk át eg kicsit az ( ) és ( ) képleteket! ' X cos Y cos, ( 5 ) ' X sin Y sin Z. ( 5 ) z Most ideírjuk a ( 3 ) és a ( 3 3 ) képleteket, összehasonlítás végett: ' X Y, v u u v ( 5 3 ) d v d u d u v ' X Y Z. w w u v u v u v v u ( 5 4 ) Az ( ) és ( ) képletek jóságát az mutathatja, ha az - re és - re vonatkozó egenletpárokban a koordináták egütthatói megegeznek. Most ezt vizsgáljuk meg.

19 9 a.) cos? v u A kérdés bal oldala ( 4 / ) - ből: B(a) cos ; tg ( 5 5 ) tg a kérdés jobb oldala ( 4 0 ) - szal is: J(a) ; v tg u tg most ( 5 5 ) és ( 5 6 ) szerint: B(a) J(a), tehát ( a ) teljesül. ( 5 6 ) cos? b.) u v A kérdés bal oldala ( 4 5 / ) - ből: B(b) cos ; tg ( 5 7 ) tg a kérdés jobb oldala ( 4 0 ) - szal is: J(b) ; u tg v tg most ( 5 7 ) és ( 5 8 ) szerint: B(b) J(b), tehát ( b ) teljesül. ( 5 8 ) Az a.) és b.) pontok szerint az ( 5 ) és ( 5 3 ) egenletek azonosak egmással. Ez azt jelenti, hog az orth. a. ábrázolás első kép - koordinátájának helességét igazoltuk.

20 0 c.) d v sin? u v w A kérdés bal oldalához ( 4 ) és ( 4 ) - vel: tg sin tg, tg sin tg innen: sin tg tg tg tg tg tg sin, tg tg tg tg tehát: tg tg tg tg tg B(c) sin. tg ( 5 9 ) tg A kérdés jobb oldala: d v d J(c) ; w u v u w ( 5 0 ) v most ( 8 ) és ( 5 0 ) - zel: J(c) ; u w w u w w u w v u v v u v v v ( 5 ) ( 5 ) nevezőjének négzete ( 4 0 ) - szal is: tg tg N tg tgtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tgtgtg tg tgtg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg majd,

21 N tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ; tg tg tg tg ezzel is: tg J(c), N tg tehát: tg tg J(c). tg tg ( 5 ) Most ( 5 9 ) és ( 5 ) szerint: B(c) J(c), tehát c.) teljesül. d.) d u sin? u v w A kérdés bal oldalához ( 4 3 ) és ( 4 4 ) - gel: tg sin tg, tg sin tg innen: sin tg tg tg tg tg tg sin, tg tg tg tg tehát: tg tg tg tg tg B(d) sin. tg ( 5 3 ) tg A kérdés jobb oldala ( 5 0 ) - zel is: d u d v u u J(d) J(c). w u v u v w v v ( 5 4 )

22 Most ( 5 ) és ( 4 0 ) felhasználásával: tg tg tg tg tg tg tg J(d) tg, tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tehát: tg J(d). tg tg ( 5 5 ) Most ( 5 3 ) és ( 5 5 ) szerint: B(d) J(d), tehát d.) teljesül. e.) d u v z? u v v u A kérdés bal oldala ( 4 3 ) szerint: B(e) z tg tg. ( 5 6 ) A kérdés jobb oldala: u d d u v v v d v J(e) ; v u u v v u v u u u most ( 8 ) és ( 5 7 ) - tel: ( 5 7 ) v u J(e) ; v v v Ne u w w v u ( 5 8 ) majd ( 5 8 ) és ( 4 0 ) - szal:

23 3 v w tg tg tg tg tg Ne v tg tg tg u tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ; tg tg innen: N e. ( 5 9 ) tg tg Ezután ( 5 8 ) és ( 5 9 ) - cel: J(e) tgtg. ( 5 0 ) Most ( 5 6 ) és ( 5 0 ) szerint: B(e) J(e), tehát e.) teljesül. Ezzel beláttuk, hog az ( ), ( ) és a megfelelő ( 3 ), ( 3 3 ) képletek tartalmilag azonosak. 6.) A feladat állításában közölt rövidülési egütthatók helességének igazolása Az állítás szerint: Asin cos ; ( 6 ) Acos sin ; ( 6 ) z A ; ( 6 3 ) A tg tg ; ( 6 4 ) tg tg. tg ( 6 5 ) Most elvégezzük a következő műveleteket:

24 4 tg tg tg tg A sin cos tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg, tg tg tg tg tehát: tg. tg ( 6 6 ) tg Megállapítjuk, hog ( 6 6 ) megegezik ( 4 / ) - vel. Továbbá: tg tg tg tg A cos sin tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg, tg tg tg tg tg tg tg tg tehát: tg. tg ( 6 7 ) tg Megállapítjuk, hog ( 6 7 ) megegezik ( 4 5 / ) - vel. Végül: A tgtg, innen: z z tg tg. ( 6 8 ) Megállapítjuk, hog ( 6 8 ) megegezik ( 4 3 ) - gel. Ezzel a rövidülési egütthatóknak a feladat állításában szereplő alakja helességét is beláttuk. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk.

25 5 Megjegzések: M. A ( 6 ), ( 6 ) és ( 6 3 ) négzetre emelésével és összeadásával: z Asin cos Acos sin A tehát z A sin cos sin cos A A A, ( 6 9 ) fontos és ismert összefüggés adódik az orth. a. rövidülési egütthatóira v.ö.:[ 4 ]! M. Nem érdektelen, hog mivel eg összeget vizsgáltunk, ezért a ( 6 9 ) képlet előtti számítás önmagában még nem bizonító erejű; a bizonítás azzal ment végbe, hog a ( 6 4 ) és ( 6 5 ) képletekkel egütt egenként beláttuk az állítás képleteinek helességét. Alkalmazások Gakorlati alkalmazásokban felvetődik a következő kérdés: előírt,, z rövidülési egütthatókkal ténlegesen megvalósítható - e eg merőleges aonometrikus ábrázolás; ha igen, akkor milen feltételek mellett és hogan történhet ez? A probléma megoldásához először gondoljuk végig az alábbiakat ld.: [ ], [ 5 ]! a.) A i ( i =,, z ) rövidülési egütthatóknak ki kell elégítenie ( 6 9 ) - et. b.) A 4. ábra és ( 4 ), ( 4 ), ( 4 3 ) szerint is: cos, cos, cos. ( ) z 3 Minthog a,, 3 szögek hegesszögek ld.: 4. ábra!, fennállnak a 0 cos, 0 cos, 0 cos 3 ( ) relációk. Ebből következően az is igaz, hog 0 cos, 0 cos, 0 cos 3. ( ) Továbbá ( 6 9 ) - ből: z, z, z. ( )

26 6 A ( ) képletsorba téve a ( ) szerintieket: cos cos cos 3, cos cos 3 cos, cos cos 3 cos. A ( ) képletek jobb oldalán érvénesítve a ( ) relációkat: cos cos cos 3, cos cos 3 cos, cos cos 3 cos. A ( ) relációkat ( ) szerint visszaírva: z, z, z. ( ) ( ) ( ) A ( ) egenlőtlenségek azt fejezik ki, hog a három rövidülési egüttható közül kettő négzetének összege mindig nagobb kell, hog legen, mint a harmadik négzete, merőleges aonometriában. Ezek előrebocsátása után a probléma megoldása a következő. c.) Legen a rövidülések arána az alábbi: : : m : m : m, azaz z z k m, km, z k m z, (! ) ahol m, m, m z : megadott pozitív számok, k pedig eg aránossági ténező! k - t úg kell megválasztani, hog teljesüljön ( 6 9 ), tehát k m m mz k ; (!! ) m m m majd (! ) és (!! ) segítségével z m,,. m mz z m m mz m m mz m m mz A ( ) és az (! ) összefüggések szerint csak az m m m z, m mz m, m mz m feltételeket kielégítő értékhármas jöhet számításba. (!!! ) ( )

27 7 A mondottak bemutatására nézzünk két példát!. Példa: Legen m : m : m z = 3 : 4 : 5! Minthog utóbbiak pitagorászi számhármast képeznek, íg ezekkel ( ) első sora nem teljesül. Más szavakkal: a rövidülési egütthatók ilen viszonai mellett nem valósítható meg eg merőleges aonometrikus ábrázolás.. Példa: Legen : : z = m : m : m z = 4 : 5 : 6! Ekkor m 6, m 5, m 36. z z z m m 4 36, m m 5 5, m m 66, tehát utóbbi választással létrejöhet a merőleges aonometrikus ábrázolás. Továbbá (!! ) - ből: k 0,66, azután (! ) képlettel: km 0,664 0, 6446; km 0,665 0,8058; z kmz 0,666 0,9670. A rövidülések négzetei: 0, 46; 0, 649; 0,935, z vagis bármelik rövidülési egüttható négzete ténleg kisebb, mint a másik két rövidülési egüttható négzetének összege. Most számítsuk ki, hog milen ( α, β ) szögparaméterek tartoznak e példabeli rövidülési egütthatókhoz! Behelettesítéssel ellenőrizhető, hog sin arcsin ; z z ( ) sin arcsin. z z ( )

28 8 Számszerűen: arcsin 0,377 rad 8,, 0, 46 0,935 tehát 8,. Hasonlóan: arcsin 0,95 rad,, 0, 649 0,935,. tehát A tárgalt problémára visszatekintve látható, hog a rövidülési egütthatók megválasztásakor a ( ) képletsor szerinti próbálgatásra vagunk utalva. A fordított utat követve megszabadulunk e kénelmetlenségtől: csak az ( α, β ) szögparamétereket kell megadni, és az ábrázolás azonnal elvégezhető, az ( ) és ( ) képletek receptje szerint. Záró megjegzések Már az ( ) és ( ) képleteknek is sajátja egfajta szimmetria; ez még inkább kidomborodik, ha behelettesítjük ( ) és ( ) - be az ( 5 5 ), ( 5 7 ), ( 5 9 ), ( 5 3 ), ( 5 6 ) kifejezéseket. Ekkor kapjuk, hog: ' X Y, tg tg tg tg tg tg ' X Y tg tg Z. tg tg tg tg ( S ) A kapott képletek számítógéppel können kezelhetők. Az ábrázolás elvégzése előtt érdemes eg L léptékténezővel megoldani a rajzi méretarán megválasztását: ' ' rajzi rajzi L '; L '. ( R )

29 9 Irodalom: [ ] Sors László: Műanagalakító szerszámok tervezése Zsebszámológép programok Műszaki Könvkiadó, Budapest, 984. [ ] Romsauer Lajos: Ábrázoló geometria, I. kötet Franklin Társulat, Budapest, 99. [ 3 ] I. D. Fau ~ M. J. Pratt: Computational Geometr for Design and Manufacture Ellis Horwood Ltd., 987. [ 4 ] Hajdu Endre ~ H. Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 995. [ 5 ] Hajdu Endre: Ábrázoló geometria I. Kézirat, Sopron, EFE, 983. Sződliget, 009. augusztus 8. Összeállította: Galgóczi Gula mérnöktanár