Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
|
|
- Ákos Török
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
2 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Logika, bizonítási módszerek. Logikai feladatok, kijelentések. Feltéve, hog a középsõ a kérdésre válaszolt: a középsõ lókötõ, a harmadik lovag.. Aki ellopta az elefántot, mindig hazudik.. Piki.. Lovag plinket, lókötõ plankot mond. 5. Kiss Kata, Szabó Réka, Nag Sára, Varga Eszter. 6. Zoli: villamos, kosárlabda; Bálint: bicikli, kézilabda; Pisti: busz, úszás. Rejtvén: Német.. Logikai mûveletek negáció, konjunkció, diszjunkció. Fehér dobozban: piros, zöld goló. Piros dobozban: fehér, sárga goló. Kék dobozban: sárga, piros goló. Zöld dobozban: kék, fehér goló. Sárga dobozban: zöld, kék goló.. Øp = A négzetnek van olan szöge, amelik nem derékszög. Øq = Van olan háromszög, amelik nem derékszögû. Ør = A szabálos ötszögnek van olan szöge, amelik derékszög. Øs = Nincs olan deltoid, amelik rombusz = Egetlen deltoid sem rombusz. Øt = Minden trapéz paralelogramma. Øu = Nincs homorúszögû háromszög. = Minden háromszög nem homorúszögû. Øw = Van olan háromszög, amel köré nem írható kör. ØA = A nagobb vag egenlõ, mint p. ( ³ p) ØB = A kisebb, mint 5. ØC = Szabálos dobókockával dobhatunk 6-nál nagobbat is. ØD = 9-nek -nál kevesebb osztója van. ØE = Minden másodfokú egenletnek -nál kevesebb göke van.. A= p A p p= p } = ØA = Minden faluban van posta. ØB = Van olan ember, aki nem kékszemû. ØC = Van olan pók, ameliknek 8-nál több szeme van. ØD = A február sose 0 napos. ØE = Van olan szálloda, amelben van olan szoba, ahol nincs telefon. ØF = Minden munkahel olan, hog senki sem dolgozik.
3 . Mit szoktál mondani akkor, amikor valaki megkérdezi, hog a plink az jelenti, hog igen? 5. a) Piki igazmondó, Niki és Tiki hazug. b) Tiki biztosan igazmondó, Niki hazug, Pikirõl nem tudjuk. 6. a) ØH Ø(ØH) = Ma hétfõ van. b) H Ù F Ø(H Ù F) = Ma nem hétfõ van, vag nem vagok fáradt. = ØH ÚØF c) H ÙØF Ø(H ÙØF) = Ma nem hétfõ van, vag fáradt vagok. = ØH Ú F d) ØH Ù F Ø(ØH Ù F) = Ma hétfõ van, vag nem vagok fáradt. = H ÚØF e) ØH ÙØF Ø(ØH ÙØF) = Ma hétfõ van, vag fáradt vagok. 7. a) M Ú T hétfõn igaz Ø(M Ú T) = Ma nem hétfõ van és tegnap nem vasárnap volt. = ØM ÙØT b) ØM ÚØT csak hétfõn nem igaz Ø(ØM ÚØT) = Ma hétfõ van és tegnap vasárnap volt. = M Ù T c) ØT Ú M minden nap igaz Ø(ØT Ú M) = Tegnap vasárnap volt és ma nincs hétfõ. = T ÙØM d) ØM ÚØT csak hétfõn nem igaz Ø(ØM ÚØT) = Ma hétfõ van és tegnap vasárnap volt. = M Ù T 8. a) Én megek veled vag Ottóval. b) Veled megek, vag Ottóval megek. c) Nem megek veled. d) Te nem még, vag én nem megek. = Nem megek veled. 9. a) A Ù B ÙØC b) (A Ú B) ÙØC c) ØA ÙØB) ÙØC d) (A Ù B) Ú C 0. A, B, D vag A, C, E, tehát csak A-ról mondhatjuk biztosan, hog hazudik.. a) Az ABCD húrnégszög és átlói nem merõlegesek. LEHET IGAZ b) Az ABCD húrnégszög és ADC<) < 90º és a BCD háromszög egenlõ szárú. HAMIS = NEM LEHET IGAZ c) Az átlók nem merõlegesek, az ADC<) < 90º és a BCD háromszög nem egenlõ szárú. BIZTOS IGAZ d) Nem húrnégszög és az átlók merõlegesek és az ADC<) ³ 90º. HAMIS = NEM LEHET IGAZ Rejtvén: A leghátsó kivételével mindenki megszabadulhat a következõ stratégiával: a leghátsó fehéret mond, ha páratlan számú fehér sapkát lát, különben feketét mond.. Logikai mûveletek implikáció, ekvivalencia. a) B A b) ØA ØB c) A B d) A Ú AØB. a) A B b) ØB ØA c) B A d) B A e) ØB ØA (a 00-es kiadásban sajtóhiba van a feladat szövegében: szombat helett vasárnap áll) f) B «A g) A «B
4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) Ha az n szám 6-ra végzõdik, akkor -gel osztható. b) Ha az n szám -vel osztható, akkor nem prím. c) Ha az n szám -gel osztható, akkor nem prím és páros. d) Az n szám páros és számjegeinek összege -mal osztható, akkor és csak akkor, ha 6-tal osztható. e) Az n szám -vel osztható akkor és csak akkor, ha -gel osztható és számjegeinek összege -mal osztható. f) Ha n nem páros, de számjegeinek összege osztható -mal, akkor n nem osztható 6-tal.. a) (T Ù O) N b) D «C c) A (B Ú C) d) S Ø(A Ù B) 5. Kati. 6. Gabi csak lán lehet. 7. Igen válasz: van aran, nem válasz: nincs aran. Rejtvén: Van olan eset, amikor kártát kell megfordítani, még akkor is, ha kihasználjuk, hog minden számjegbõl van.. Teljes indukció. n = -re =. T.f. n-re, biz. n + -re: n = + = nn ( + ) ( n+ )( n+ ) n + ( n+ )( n+ ) nn ( + ) + ( n + ) n + = = =. ( n + )( n + ) ( n+ )( n+ ) n +. a) n = -re 9½8. T.f. n-re, biz. n + -re: 5 n+ n+ + n+ n+ = 50 5 n n+ + n+ n = = 8 5 n n+ + (5 n n+ + n+ n ). b) A feladat helesen: ½6 n + n+ + n. n = -re ½66. T.f. n-re, biz. n + -re: 6 n+ + n+ + n+ = 6 6 n + n+ + n = 6 n + (6 n + n+ + n ). c) A feladat helesen: 7½ 5n+ +5 n n+. n = -re 7½9. T.f. n-re, biz. n + -re: 5(n+)+ +5 n+ n+ = 5n n n+ = = 5n n n+ ( 5n+ +5 n + n+ ).
5 *. IGAZ ( ) a háromszögek száma -mal növelhetõ. n = 6, 7, 8-ra:. 5, 6, 7 (= 5 ), 8 kifizethetõ, utána hármasával bármi. 5. Pisti tévedett. -rõl indulva a darabok száma minden lépésben -vel nõ, íg csak páratlan lehet. 6. -rõl indulva a darabok száma minden lépésben -mal vag 5-tel nõ. a) 00 = + 00 = elérhetõ. b) 00 = = c),, 5, 8 kivételével minden szám lehet: (,, 6, 7 lehet) 9 (= + + 5), 0 (= + ), (= + 5)-rõl indulva hármasával minden elérhetõ. 7. a) A tagok szimmetrikusak a középsõre nézve: a n = n +(n + ) (n ) (n ) + (n ) = (n ). Teljes indukció második lépése: (n ) +n +n +n + n = n n + +8n = (n +). b) n n ( ) n = ( ) ( ) 8. Becsléssel: nn ( + ), nn ( + ) + + ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( ) ( + )( + n n n n ) n n =. n n n n n = n. n n Teljes indukcióval: n = : ³. T.f. n-re, biz. n + -re: = nn ( + ) + n n n n n + n + = n + n + + = n +. n 9. Egenesek száma:... n nn ( + ) Síkrészek száma: = (sejtés) = ( n) +. Az n + -edik egenes az elõzõ n egenest n pontban metszi, ezek n + részre osztják az egenest, és mindegik egenesdarab kettévág eg-eg síkrészt, íg a síkrészek száma n + -gel nõ. 5
6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE * 0. Körök száma:... n. nn ( ) Síkrészek száma: = + ( ( n )) sejtés. T.f.h. n körre igaz. Az n + -edik kör n pontban metszi az elõzõ n kört, ez n ív a körön, amelek kettévágnak eg síkrészt, íg n-nel nõ a síkrészek száma. Kiszínezhetõ. körre igaz. T.f.h. n körre igaz. Rajzoljuk be az n + -edik kört, és minden, a körön belüli síkrészt színezzük az ellenkezõjére. Ezzel az új határvonalak jók lesznek, a régiek nem változnak. A háromszögek esete abban különbözik, hog két háromszögnek maimum 6 metszéspontja lehet. *. n = -re igaz: T.f.h. létezik ilen konve n-szög. Ennek eg tompaszögét levágva konve n + szöget kapunk. -nál több hegesszög nem lehet. T.f.h. van, ezek összege 80º-nál kisebb. A konve n-szög szögösszege (n ) 80º. A megmaradt n db szög összege (n ) 80º-nál nagobb kellene legen, ami nem lehet. *. n = -re igaz. T.f.h. minden n+ -nél nem nagobb tömeg,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Adott eg n+ -nél nagobb, de n+ -nél nem nagobb tömeg. n+ -bõl n+ -t levéve n+ marad, íg eg n+ -et használunk, ami marad, a n+ -nél nem nagobb, tehát,,..., n tömegekkel kimérhetõ. Rejtvén: A szemüveg akkor párásodik be, ha hidegrõl melegre meg be. 6
7 Számsorozatok. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik tagja: n, a sorozat elsõ n tagjának összege: n(n + ).. a) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokat például teljes indukcióval lehet elvégezni.. a) Érdemes a n -t átalakítani íg: b) Az a n -t itt íg érdemes felírni: n n n n an =... ( + )... ( )... n a n = n + n n 5. A sejtés általánosan íg írható fel: n + n n + n = n + n + +n + n n +n. Az összegzés után a bizonítás közvetlenül adódik.. Példák rekurzív sorozatokra. a), b), c) teljes indukcióval könnû igazolni.. =. Az eges ferde vonalak mentén adódó összegek a következõk:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,... Az általános sejtés tehát az lehet, hog az n-edik sorban álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióval igazolható. = +. ábra. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk. A szemléltetést az. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk, a sorozat tagjainak szemléltetését a. ábrán végezhetjük el.. ábra 7
8 . Számtani sorozatok = + = A feltételbõl a = és d = adódik. Íg azt a legkisebb pozitív egész n-et keressük, amelre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igazolni, hog az a + c =b és egenlõségek ekvivalensek. b+ c + a+ b = a+ c. a) a = 7, d =. b) Két megoldás van: a =, d =, 59 a =, d =. c) A kitûzött feladat hibás. A heles feladat: a + a 7 =, a + a 7 =. Ennek két megoldása van: a = 7, d =, 67 a =, d = Nem. Indirekt bizonítást alkalmazva arra az ellentmondásra jutunk, hog racionális szám SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. 50,5 másodperc alatt esik le a test 0 m magasról ( ) = = Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok száma.. Mértani sorozatok. a = 6, q =... q =. 0. 8
9 5. a) a =, q = b) A feladatban hiba van, a heles feladat: a 7 a = 6, a 5 a = 7. Az egetlen megoldás: a =, q = (a q = eset nem ad jó megoldást). c) Két megoldás van: a = 5, q =, a = 5, q = A helesen kitöltött táblázat: Két megoldás van:, 8, ;,, (A második megoldás esetében a számtani sorozat differenciája 0, a mértani sorozat hánadosa.) 9. A számtani sorozat elsõ tagja, különbsége Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása 0. Jelölje p az + = számot (ez az eghavi kamat kiszámításához szükséges), akkor a havi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog havonta egenlõ részletekben törlesztjük a kölcsönt, ekkor a szükséges 0 havi összeg a q = + = jelölés felhasználásával: Tehát a kölcsönt felvehetjük. q q Ft. 9
10 Térgeometria. Térelemek SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. 5 rész. a) 5 vag 8 rész. b) 9, 0 vag rész.. a) a b) c) a. a 5. 90º; 0º a 6. 5,6º; 90º 7. a; 5a; 9,º; 8,º *9. Igaz. A sík és a tér felosztása n. n+ véges; n végtelen tartomán n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) *7. n n + 0
11 . Testek osztálozása, szabálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetraéder kocka oktaéder dodekaéder ikozaéder. 5. a ; a; 0 6 cm a 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. a 6 a. A terület fogalma, a sokszögek területe. a. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része A súlvonal a megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm területegség. * 0. Igen. Az oldalai lehetnek: és 6, vag és. *. b) n =, vag 6 esetén.
12 5. A kör és részeinek területe. ; 9 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE.. Igen.. 6,8 km-rel 5. a),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. a) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. a) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogat fogalma, a hasáb és henger térfogata. 8 féle. A ma = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. a) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. a) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle.
13 7. A gúla és a kúp térfogata. a) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. a) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= a; V = *. a = r esetén. a 8 8. A csonka gúla és a csonka kúp. a) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. a) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. a) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; a = 5,º π dm ; π dm 8. a) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 57,87 dm 0. 90, dm
14 9. A gömb térfogata és felszíne SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész , N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * r π V = h ( r h) π R 8 * cm ; 0 06 cm 0. Egmásba írt testek. 0 cm. 6,7 cm. a) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm ,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igaz ,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m 9 (m a kúp magassága)
15 Valószínûségszámítás, statisztika. Geometriai valószínûség. 0,9.. 0,5.. = 8,» 7.. 0, = p = = ,. +, p = b 5, b ³ 0, ½b½³. p =
16 9. 0 <. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE + ( ) p =. Rejtvén: A valószínûség, mert a három pont meghatároz eg síkot.. Várható érték. Tornádóra fogadva a nereség várható értéke: 0,. Villámra fogadva a nereség várható értéke: 0. Szélvészre fogadva a nereség várható értéke: 0,. Tehát Villámra érdemes fogadni.. 80 Ft =..» 0, Páros: -mal osztható: tel osztható: =. 0 =. 0 =. Tehát -mal oszthatóra érdemes tippelni = Ft helett 00 Ft-tal számolva: 00 = 0, = 00 (Ft).. Statisztika. Magarország minden tekintetben utolsó. Nugati nelveket tekintve Szlovénia vezet, Csehország a második. Valamel idegen nelveknél számít, hog az ország korábban más országokkal egütt alkotott eg államot. 6
17 . d) Budapesten szállodát.. a) Többség az iskolában tanórán találkozott az internettel. b) Egütt nem 00%. c) Mit jelent a megismerkedni? Lehet, hog megismerkedett vele, de nem szokott internetezni! 5. a) b),68»,7 6. Zöldek, mert bár az adatok uganazok, az õ grafikonjuk szemre erõteljesebb növekedést mutat. 7. Péter javított, ezért az tengelen az egség nagobb legen. Péter rontott, ezért az tengelen az egség kisebb legen. 8. b),5. c) 6,8. d) Ahol az 50%-ot eléri: osztálközepe: 750 ezer. 0. a) a 00 = 59. b) Az egmás utáni tagok távolsága felezõdik: 9; 99; 59; 79; 69; 7;.... a) Az átlag -mal nõ, a szórás nem változik. b) Az átlag és a szorzás is az 5-szöröse lesz.. Ha a legnagobb 5 lenne, a terjedelem miatt a legkisebb 7. Középen a medián miatt 8, 8 vag 7, 9 áll. Ezen szám összege 8, a többi összege 6 8 = 6 kellene legen, de az nem lehet, mert egik sem kisebb 7-nél. A legnagobb szám lehet a legkisebb 6, középen 7, 9 vag 8, 8 közül csak 8, 8 lehet, mert a 8 módusz, íg a számok: 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8,.. c) Iskolai végzettség, testvérek száma. = , 00 a 00 7
18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Gondolkodási módszerek összefoglalás. Halmazok, kijelentések, esemének. ((Z \ H) \ E) È (H Ç E) = (Z Ç _ H Ç _ E) È (H Ç E) (p Z ÙØp H ÙØp E ) Ú (p H Ù p E ) (E Z E H E E ) + (E H E E ) = (E Z _ E H _ E E ) + (E H E E ) görög saláta, tiramisu. a) Nem igaz. b) Nem igaz. c) Nem igaz. d) Nem igaz.. Április 0 napos. A halmazábrán láthatóan eddig nap volt felsorolva, íg a hiánzó szám a 0 = 7. a) N napos: 5. b) E _ nem esõs:. c) E S N = E S N 7: nem esõs, nem szeles és nem napos. d) S È E: szeles vag esõs: 0. e) E S = E S nem esõs és nem szeles: 0. f) N Ç (S È E) napos és (szeles vag esõs):.. a) Minden -vel és 5-tel osztható természetes szám osztható 0-zel. Van olan -mal osztható szám, amel 0-zel is osztható. Ha eg szám osztható 0-zel, akkor osztható -vel és 5-tel is. b) Van egenlõ szárú derékszögû háromszög. Nincs olan egenlõ szárú háromszög, amelnek pont eg 60º-os szöge van. Ha eg háromszögnek pont eg 60º-os szöge van, akkor nem lehet egenlõ szárú.. Kombinatorika, valószínûség = =.. a) 6! b) 5!! c)! 7! 8
19 . a) b) =. = 05, Ugananni: 6. Páros: páros vag páros és páratlan. Páratlan: páratlan vag páratlan és páros. (Szimmetria elv.) 6. többszöröseinek száma + 7 többszöröseinek száma 7 többszöröseinek száma = 8 = = 8. Íg a keresett valószínûség: = 0, ! 7. Komplementer: mind különbözõ 5! = =, 7 9. a) b) = = =0, ,6 0,8 +0,6 0, 0, +0, 0, 0,65 = 0,606. P(két fej) = + =. 5 8 P(szabálos érme, feltéve, hog két fejet dobunk) = 8 = = 0,
20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebra és számelmélet összefoglalás. Számok és mûveletek... Igen, a négzete is irracionális.. Pl.:,.... km %-át. 6. 7%-os a haszon. 7.» 77%,» 9% tanuló.. Számelmélet, oszthatóság A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül az egik páros, p = -re nem igaz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. a) Pl.: 988 = b) Pl.: 988 = es, 8-as, 9-es *8. n = 5 és n =.. Hatván, gök, logaritmus nullára végzõdik.. a) 8 éves, 70 kg-os tanuló esetén 7 00 m. b) kg.. a) 5 = b) 5 c) 0 =
21 5. a) 9 5 = 5 b) 6. a) Az elsõ a nagobb. b) Az elsõ a nagobb. 7. a) ; a > b) 6; b ³ 0; b ¹ ; b ¹ 6 0 *8. A kifejezés = n. ( ) 9. a) b) 6 c) 6 0. a) = 9< 9 = 7 b) c) log 5 log log75 log log9 = < log7 = < = < = < = < 9 = 7 5 log = = log 0, 5 < log7 = < log5 5 = < log 8= 6 7. a) = 0 b) 5 5 = = =, 5 8 c) =. Mûveletek racionális kifejezésekkel. a) a(a ) b) b (5b + )(5b ) c) 7(c +). Pl. d ½(d ) + (d ) +(d ). a) 000 b) = ( 7). a) b) c) ( 9) b 8 ( + ) 5. Egenletek, egenlõtlenségek. 7,5 liter 0%-os és,5 liter 80%-os km km. 6. Legkésõbb órakor. 7. a) n = 8; 9; ; 5 b) n = 0; ; ; ; ; 5; 6 c) 7 < n <
22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. m széles, m hosszú. 9. I. 0 órát, óránként 0 db. II. 6 óra; óránként 5 db ért vette. *. p= ; p= ; p= *. p = 0 5. b) = 6,5; =,5 c) =. a) = 7 b) = c) = ; = 0 * 5. n = 6. a) < vag > b) 5 < < vag < 7. a) π π π 8π = + k k b) = + kπ; + lπ ; k, l Z ; Z c) π π = + lπ ; l Z d) = kπ; = + lπ ; k, l Z 8. a) π 7π 5 kπ + + kπ; b) lπ + π + lπ ; l Z 6. Egenletrendszerek. a) Kb. 65 Ft liter üdítõ ára. b) Ft-nak adódik liter ára. Az ár nem arános az üdítõ menniségével.. 8 piros; kék.. 9 polc; könv.. a) 77-szerese. b) 98,7%-kal kisebb. 5. a) = ; = b) = ; = ; 5 5 c) = 0; = ; = 0; = 7 6. a) = ; = 9; = ; Î R\{0} b) = ; = c) = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; 5 = 5; 5 = ; 6 = 5; 6 = ; 7 = 5; 7 = ; 8 = 5; 8 = = ; =
23 Függvének összefoglalás. A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai. a) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rajzolható meg pontosan, két szakasz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. a) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. a) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R,.. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f... f: R R,, az fn-szer szerepel. + n
24 . a) f : R R, ; b) g : R \ { } R \ { }, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntulajdonságok. a) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. a) b) c) Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. a) b) c) A kitûzött feladatban hiba van. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; maimum- mum érték: ; maimum- ma nincs (alulról nem helek: =, =, hel: = 5, maimum ér- korlátos), maimumhemaimum értéke: 5. ték: 6. le =, a maimum érték:.
25 d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, a minimum értéke:, maimumhelek: és = π = π, a maimum értéke:, az = 0 helen heli minimuma van a függvénnek, a minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, a minimum értéke: 0, π π maimumhelek =, =, a maimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, a minimum értéke:, maimumhele =, a maimum értéke:. p p p p 5. a) Az egetlen valós gök: =. b) Az egetlen valós gök: =. c) A két valós gök: = és =. 6. a) A kitûzött feladatban hiba van. A heles feladat: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások a következõ intervallumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. a) Eg valós göke van: =. b) Két valós göke van: = 0, =. c) A két valós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítani. 5
26 Geometria összefoglalás. Alapvetõ fogalmak. a) hamis; b) igaz. a) AB cm; b) igaz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek nagsága: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hajó az északi iránnal +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugati iránban halad. a 5. Jelölje a park hosszabbik oldalának hosszát a, a rövidebbikét b. Ha akkor a köz- b, a refogott alakzat négzet, ha akkor az ösvének és a park határa eg hatszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kaphatunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok száma a) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometriai transzformációk. Két megfelelõ négzet van, csúcsaik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. a) A közös rész eg oldalú szabálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm a) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A nagítás 80-szoros, a kép és a vászon távolsága,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m.. a» 5,5º.. a) sina = 0,6; tga = ctga = ;. 6
27 b) cosa = 0,8; tga = ctga = ;. c) sina» 0,909; cosa» 0,99; ctga» 0,76. d) tga = 5+»,6; sina» 0,909; cosa» 0, Az osztópontok helvektorai rendre a B csúcstól a C csúcs felé haladva: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c,,,,. 6 6 a b b c c a a b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = + +. a+ c b + d + a+ b + c + d a+ c b + d a b c d 7. a) b), c) = Az átlók felezõpontjait összekötõ szakasz felezõpontja azonos a középvonalak metszéspontjával. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tulajdonságai. a) a = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b) a»,97 cm; a»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm; a» 6,9º; b» 7,8º. d) a» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók: a» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek: a» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. a) a» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A maimális területû játéktér oldalai 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. a) a = 50º; b = 60º; g = 70º. b) a»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T a»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk által meghatározott négszög szögei valamelik körüljárási iránban: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. Ha eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognak eg négszöget, akkor az mindig húrnégszög. 7. a) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög téglalap, íg az eredeti négszög átlói merõlegesek egmásra. b) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög rombusz, íg az eredeti négszög átlói egenlõ hosszúak. 7
28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) n = 9; b) n (a sokszög oldalszáma) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, A sokszög oldalainak száma: n = k A legkisebb szög 7º-os, a legnagobb 7º-os. 5. Koordinátageometria. a) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; d) K ABC = ( ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), a háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, a H ( ; 7) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete pedig = és = A súlpontok halmaza az = + egenletû egenes kivéve a ; pontot, 9 9 uganis ekkor nem jön létre háromszög. 6. a) a = ; a = b) a = 7. T = 9 8. A két érintõ hajlásszöge», a= ; T =. 0. a) b) c)
29 Középszintû érettségi gakorló feladatsorok. Feladatsor I. rész. Az osztást elvégezve: : 7 = 0,857..., ezután a maradék újra lesz, íg ismétlõdnek a számjegek. A szakaszos tizedestört szakasza 6 jegbõl áll. ( pont) A 005 maradékot ad 6-tal osztva, íg a tizedesvesszõ utáni 005-ödik számjeg az. ( pont). A pálca és az árnéka által meghatározott derékszögû háromszög hasonló a toron és az árnéka által meghatározott derékszögû háromszöghöz. ( pont) Íg a toron magassága: m = 5 = = Tehát a toron 0 m magas. ( pont) ,. Ránézésre adódik a * = megoldás, hiszen =. ( pont) 5 5 Azonban az egenletnek van más megoldása is. Átrendezve a * + * 0 = 0 egenlethez 0 jutunk, melnek a megoldóképlet alapján két megoldása van: * = és * =. Ezek valóban megoldásai az eredeti egenletnek, hiszen * ¹ 0. Tehát a * helére írható számok 0 halmaza { ; ( pont) }. Természetesen a pont akkor is jár, ha rögtön a másodfokú egenlet megoldásával kezd és kapja meg a * = megoldást is.). Az. lámpának megfelelõ sávban haladó jármûvek csak az 5. sávban haladókat akadálozzák, íg az. lámpa csak azért piros, hog az 5. lámpa zöld lehessen. ( pont) Ekkor a. és. lámpa szintén piros kell legen, viszont a. és a 6. lehet zöld. ( pont) 5. A hatvánozás azonosságait alkalmazva: z = (a) b = b a b = ( ) b a b a b = (a) b a b. ( pont) Ebbõl = a. ( pont) 6. Ha mindegik szám uganannival nõ (vag csökken), az átlaguk is annival nõ (vag csökken), íg az elsõ lépés után lesz. ( pont) Mivel mindegik számot megszoroztuk -gel, az átlaguk is -szeres lett, azaz 88. Ezután mindegik számot csökkentettük 0-zel, az átlaguk is 0-zel csökkent, íg végül 78 lett. ( pont) (Számolhattunk volna végig az öt szám összegével, de mivel a számok száma nem változott, mindegikkel uganazt csináltuk, ezért a fenti megoldás is megfelelõ.) 7. A tank 0,7 részének és = 05, részének különbsége, azaz a 0,5 része 8 liter. ( pont) 8 Ekkor a tank = 0 liter. Tehát az autó tankja 0 literes. ( pont) 05, 9
30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. A körök helzete miatt mindkét kör sugara cm. Az ABC és az ABD háromszögek egenlõ oldalúak, íg a CAD<) = CBD<) = 0º. ( pont) A teljes szög 60º, és a körív hossza arános a középponti szöggel, ezért a vastag vonallal jelzett út a cm sugarú kör kerületének része, azaz 00 5 ( pont) p = p, cm. 9. Mivel minden lehetõség egformán valószínû, klasszikus valószínûségi modellrõl van szó, amikor a valószínûség a kedvezõ és az összes eset számának hánadosa. A 6 =8 versenzõ versenzõ közül az elsõ három helezettet a sorrend figelembe vétele nélkül 8 féleképpen választhatjuk ki, enni az összes eset. ( pont) Kedvezõ, ha mind a három dobogós eg iskolából jött, 6 iskola van, ezért ez 6 féleképpen lehetséges. ( pont) 6 Tehát a keresett valószínûség: = 0, 007. ( pont) 8 6 Megjegzés: Uganerre az eredménre jutunk, ha a kedvezõ és az összes eset számolásánál is figelembe vesszük a sorrendet, ekkor a valószínûséget a következõképpen írhatjuk fel: 6! Az uszoda hosszának 90-szerese km, íg az uszoda hossza 000 : 90 =,. m. ( pont) A kerülete 000 : 5 = 0 m, két szomszédos oldalának összege a kerület fele: 60 m, íg a medence szélessége 60,. = 6,6. m. ( pont) A területe 6,6.,.» 888,9 m. Tehát a medence területe közelítõleg 889 m. ( pont). A négzetre emelést elvégezve a következõt kapjuk: 0 8n n ( pont) Ebben két darab -es és eg darab -es számjeg szerepel, azaz a számjegek összege. ( pont). Mivel mindegik háromjegû számot uganakkora eséllel választhatjuk, klasszikus valószínûségi modellról van szó. Háromjegû szám = 900 darab van, enni az összes lehetõség. ( pont) Ahhoz, hog log N egész szám legen, N a valamel egész kitevõs hatvána kell legen. A hatvánok közül a háromjegûek: 8, 56, 5. ( pont) Tehát a keresett valószínûség: 900 =. 00 ( pont). Feladatsor II. rész /A. a) Ha a kiírt ár, 0% engedmén után 0,9 lesz. ( pont) A 900 forintos áru 0% haszonnal, 900 = 080 Ft. ( pont) 080 Ezek egenlõségébõl = = 00 Ft. Tehát a kereskedõnek 00 Ft-os árat kell 09, kiírni. ( pont) 0
31 b) A háromszori csökkenés után az ár: 00 0,9 0,9 0,9 = 00 0,79 = 87,8 Ft. ( pont) Ez az eredeti ár 0,9 0,9 0,9 = 0,79 része, azaz 7,9%-a. ( pont) ( 5 ) 5 5 = =. a) Átalakítva az egenletet: 0. a jelöléssel az egenlet: a a = 0, a megoldóképlet alapján a = és a =. ( pont) Ebbõl = 5 = és = ( ) 5 =. Az egenlet megoldásai tehát a és a. ( pont) b) A második egenlet -szerese: 6 +6 =. Íg =. ( pont) Az elsõ egenletbõl + =, amibõl =. ( pont) Az = egenletbe behelettesítve: ( ) =, azaz + = 0, másképp ( ) = 0, aminek eg megoldása az =. ( pont) Ekkor = =. Tehát az egenletrendszer megoldása = és =. ( pont) 5. a) Mivel E és F harmadolópontok, DE = EF = FC, íg az ADE, AEF, AFC háromszögek területe egenlõ, hiszen magasságuk uganaz. Hasonlóképpen G, H harmadolópontok, íg AG = GH = HB, az ACG, GCH, HCB háromszögek területe egenlõ, mert magasságuk uganaz. Tehát igazságos az osztozkodás, ha mindegik testvér eg-eg darabot kap az ABC és az ACD háromszögbõl is. (5 pont) b) A három testvér eg-eg darabot kap az ABC háromszögbõl, az ACG háromszöget gerek kaphatja, a GCH háromszöget ezután már csak gerek, ekkor a HCB háromszög egértelmûen a harmadiké, ez = 6 lehetõség. ( pont) Uganíg az ADC háromszögben levõ háromszögeket is 6-féleképpen oszthatják el. ( pont) Mivel mindegik testvérnek mindkét nag háromszögbõl kell kapni eget-eget, a lehetõségek száma: = 9. Tehát 9-féleképpen osztozhatnak igazságosan az örökségen. ( pont) 6. a) A számtani sorozat tagjai: a, a + d, a +d,..., a 50 = a +9d, a 5, a 5 + d, a 5 +d,..., a 00 = a 5 +9d. ( pont) Íg az elsõ 50 és a következõ 50 tag különbsége: 50 (a 5 a ) = 500. ( pont) Mivel a 5 = a +50d, íg d =. ( pont) Az elsõ 50 tag összege: 50 a + 9 = 00, amibõl a = 0,5. Tehát a sorozat elsõ tagja: 0,5. ( pont) b) Könnebb dolgunk van, ha a répában maradt lé aránát számoljuk. Az elsõ nomás után a répában levõ lé része marad benne, a második után a s.í.t., az n-edik nomás után a része marad benne, ennek kell -nál kisebbnek lenni: n, n <. ( pont) lg Mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát véve: n lg < lg, amibõl n >, mert lg
32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE lg < 0. Ebbõl n >,8. Tehát legalább nomás szükséges, hog a répában levõ lének legalább részét kinomjuk. (Erre az eredménre logaritmus nélkül, próbálgatással is eljuthatunk.) ( pont) Megjegzés: Természetesen uganerre az eredménre juthatunk, ha a répából kinomott lét számoljuk, az n-edik nomás után ez: n n =... >.. Feladatsor II. rész / B 7. a) A lánok számát L-lel, a fiúkét F-fel jelölve a lánok pontjainak összege 8L, a fiúké 8L+ 7F 7F, íg az osztálátlag: = 80. ( pont) L+ F Ebbõl L = F, azaz a lánok száma -szorosa a fiúk számának. ( pont) Uganerre az eredménre jutunk, ha meggondoljuk, hog a fiúk átlagpontszáma 9-cel kevesebb, a lánoké -mal több, mint az osztálátlag. Íg az osztállétszám F, aminek F a része, vagis a 75%-a. Tehát a lánok száma 75%-a az osztállétszámnak. ( pont) b) Ha valaki minden kérdésre helesen válaszolt, 5 5 = 5 pontot szerzett, ezért 7 pontot nem lehet szerezni, András biztosan tévedett. ( pont) A következõ legmagasabb pontszám úg lehetséges, ha valaki kérdésre jó választ adott, -et üresen hagott, ez 5 + = pontot jelent. Tehát Bence biztosan tévedett, míg Csaba mondhatott igazat. ( pont) A következõ legmagasabb pontszám úg lehetséges, ha valaki kérdésre jó választ adott, -re rosszat, ez 0 pontot ér. A következõ lehetséges pontszám jó válasz és üres esetén lehet, ez 5 + = = 7. Ezért Dénes Biztosan tévedett. ( pont) jó, üres, rossz válasz 6 pont, jó, rossz válasz 5 pont, ezért Endre mondhatott igazat. ( pont) 8. A Földön levõ vizek 5,7 + 5, + 0,7 = 97,9%-a sós víz. (Másképp: 00,7 = = 97,9%). Íg a sós víz térfogata 0,979 87,5 0 5» m =,5 0 8 m, a maradék édesvíz térfogata 7,5 0 5 m. (5 pont) A sós víz tömege: 05,5 0 8 = 97,5 0 8»,97 0 kg. Az édesvíz tömege: 000 7,5 0 5» 0,08 0 kg. Tehát a Földön levõ víz tömege:,5 0 kg. ( pont) A feladat megoldásából láthatjuk, hog a Földön levõ víz tömege nagobb, mint a levegõé.
33 9. a) A toron alapjánál = 0, ez akkor lehet, ha = azaz = 6,5 m. A toron szélessége ennek kétszerese, azaz 5 m. ( pont) 6 5,, 5, 75 b) A. szinten = 5,75, íg 5, 75 = 9 ln, amibõl = 6, 5 e 9 6, 5» 7,5 m. Ez a toron szélességének fele, íg a. szinten a toron szélessége: 5,0 m» 5 m. (5 pont) c) A toronból a horizonthoz vezetõ szakasz a gömböt érinti, íg a következõ ábrát rajzolhatjuk, ahol a kör a földgömb középpontján átmenõ síkmetszete, HT a kör érintõje, OH a sugara, OT pedig a Föld sugaránál a terasz magasságával nagobb. Íg a Pitagorasz-tétel alapján: HT = ,7 0 = 0, , = 5 0 8, amibõl HT = 5,96 0 m» 60 0 m. Tehát a. szinten levõ teraszról 60 km-re lehet ellátni. (9 pont)
Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik
Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
Matematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok
Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 12.E ÉS 13.A OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 31 HÉT/ ÖSSZ 124 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE
Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, LOGIKA, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége,
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály
Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog
ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)
Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
Teljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK
MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)
Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
MATEMATIKA. Szakközépiskola
MATEMATIKA Szakközépiskola Az osztályozóvizsga írásbeli feladatlap. Az osztályozó vizsgán az osztályzás a munkaközösség által elfogadott egységes követelményrendszer alapján történik. A tanuló az osztályozó
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012
Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR
EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat
1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer
Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai
Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen
1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.
1) Adott két pont: A ; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 10. KÖZÉP SZINT I. és B 1; Írja fel az AB szakasz 1 1 F ; F ;1 ) Az ábrán egy ; intervallumon
Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI ELŐKÉSZTŐ 11. évfolyam Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, 1. Év eleji szervezési feladatok 2. A hatványozásról tanultak ismétlése, feladatok az n- edik gyök fogalmára, azonosságaira
XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői
XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek
Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
Számelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból
MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
TANMENET. a Matematika tantárgy tanításához a 12. a, b c osztályok számára
TANMENET a Matematika tantárgy tanításához a 12. a, b c osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján Használatos tankönyv:
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
Koordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
Feladatok megoldása. Sorozatok
Feladatok megoldása Sorozatok I /.. a = 5, a =, a = -, a = -7, a 5 = -, a 6 = -6 b =, b =, b = 5, b =, b5 = 5 7, b6 = I /. c =, c = d = -, d =, d =, c = 0, c = -, c5 = - c6 = 0 8, d =,6, d 5 = 7 e =, e
2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!
1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz
SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA
1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal
NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz
NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Kisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
Halmazok Egész számok
Halmazok.. Egész számok A,,,,,,,, számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív
352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont
I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél
Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,
Az írásbeli eredménye 75%-ban, a szóbeli eredménye 25%-ban számít a végső értékelésnél.
Matematika A vizsga leírása: írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. A matematika írásbeli vizsga egy 45 perces feladatlap írásbeli megoldásából áll. Az írásbeli feladatlap tartalmi jellemzői az alábbiak:
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.
Református Iskolák XX. Országos Matematikaversenye osztály
1. Pisti beledobott egy kezdetben üres - kosárba valahány piros és kék labdát, amelyeknek legalább 90%-a piros. Jenő találomra kivett 50 labdát, közöttük 49 piros volt. Julcsi megnézte a kosárban maradt
Koordináta-geometria alapozó feladatok
Koordináta-geometria alapozó feladatok 1. Határozd meg az AB szakasz felezőpontját! (1,5 ; 3,5) (0,5 ; ) (6,5 ; 8,5) (4,5 ; ) (0,5 ; 1,5) (0 ; 0) (0 ; 8,5) (1 ; 1) ( 1,5 ; ) (3,5 ; 3) (0 ; 3) ( 1 ; 1,5).
1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 1. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. KÖZÉPSZINT 1) Adott az A és B halmaz: Aa; b; c; d, B a; b; d; e; f felsorolásával az A I.. Adja meg elemeik B és A B halmazokat! A B a; b; d A B a; b; c; d; e; f Összesen: