Negyedik epochafüzet

Átírás

1 Negedik epochafüzet Matematika 9. évfolam Tulajdonos:...

2

3 Tartalom Ismétlés I.... Algebrai kifejezések... Egenletek, egenlőtlenségek... 6 Algebrai törtek, szorzattá alakítás... 8 Törtes egenletek, egenlőtlenségek... 9 Szöveges feladatok... Egszerű szöveges feladatok... Életkort kiszámító feladatok... Számjeges feladatok... Út-idő-sebesség számolási feladatok... Munkára vonatkozó szöveges feladatok... Keveréses feladatok... Lineáris egenletrendszerek... Ismétlés II. (Nevezetes azonosságok)... Teljes négzetté alakítás... Másodfokú egenletek... Néhán másodfokú egenlethez vezető probléma... Másodfokú egenlet megoldó képlete... 6 Hiános másodfokú egenletek... 9 Veges feladatok... 0 Szöveges feladatok... Feladatgűjtemén... Szöveges feladatok... Lineáris egenletrendszerek... Másodfokú egenletek... 6 Gondolkodtató... 9 Kurzus leírás Fogalmak: nevezetes szorzatok ( A ± B), ( A B)( A B), algebrai tört, másodfokú egenlet, másodfokú egenlet megoldó képlete, diszkrimináns, egenlet gökei, egenletrendszer, értelmezési tartomán Összefüggések: algebrai kifejezések: összevonás, bővítés, egszerűsítés, egenletrendszer megoldási módszerei, másodfokú egenlet megoldó képlete, gökök száma és a diszkrimináns, egenlet értelmezési tartomána Eljárások: szorzattá alakítás kiemeléssel; szorzattá alakítás nevezetes azonosság alkalmazásával; algebrai törtek összege, különbsége, szorzata, hánadosa; egenlet értelmezési tartománának meghatározása; algebrai törtes egenletek, egenlőtlenségek megoldása; másodfokú egenlet megoldása szorzattá alakítással és a megoldó képlettel; grafikusan, hiános másodfokú egenletek; diszkrimináns vizsgálat; lineáris egenletrendszer megoldása grafikus módszerrel, lineáris egenletrendszer megoldása behelettesítéssel, egenlő egütthatók módszerével; új változó bevezetésével, szöveges feladatok megoldása. Az epocha értékelése Ebben az epochában két részteszt lesz. Természetesen az epocha értékelésében az órai munka is beleszámít. A negedik az epochazáró. Most otthon nagon sokat kell majd gakorolnod, hog bevésődjenek az eljárások. Íg alakul az epocha pontozása: Részteszt: %-% Epochazáró: 70% Plusz feladatok (** és gondolkodtató), órai munka: 0%

4 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Ismétlés I. Algebrai kifejezések. Rendezd a következő polinomokat a bennük levő a változók szerint csökkenő sorrendben, egszer az egik utána a másik szerint. Hánadfokú polinomok? a. b. 7 c.. Végezd el A, B és C illetve A és B összevonását! a. AB ABC b. AB ABC. Írd fel algebrai kifejezésekkel! a. A természetes számok sorozatában egmást követő három szám összegét, ha a legkisebb k. b. Egmást követő nég természetes szám közül a legkisebb k. Menni a két középső illetve a két szélső összege? Menni a két összeg különbsége? c. Eg háromszög kerülete ab. Egik oldala ab, a másik oldala a-val kisebb ennél. Mekkora a harmadik oldala? d. Eg négszög kerülete ab. Egik oldala b, a másik oldala ettől (b-a)-val nagobb, a harmadik oldala a másodiknál a-val kisebb. Mekkora a negedik oldal? e. Eg négtagú család életkora ab. Az apuka életkora ab, az anukáé ettől b-vel kevesebb. Hán évesek a gerekek, ha ikrek? f. Eg háromszög szögeiről a következőket tudjuk, az egik duplája a másiknak, a harmadik viszont fele az elsőnek. g. Eg szög mellékszöge 0%-a a szögnek. h. A csoportban háromszor anni ötös született a geometria epochazáróban, mint amenni kettes, öttel több hármas, mint amenni kettes, a kettesek száma hárommal kevesebb, mint a hármas.

5 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. i. Peti karácsonig minden nap kap ajándékot december elsejétől kezdve -ig, ha első nap k darabot kapott és minden nap kettővel többet kap. Összesen, hán db apróságot kapott karácsonig?. Számítsd ki a helettesítési értékét a következő kifejezésnek ( ) ha a. b. 0, 0, 0,7. Végezd el a műveleteket és hozd a legegszerűbb alakra! a. b. c. d e. f. g. ( ) h. i. j. k. : l. : m. n. o. p. q. r. 6 8 s. 6. Az előző feladat közül ezek végeredméne összeg:... szorzat:... egtagú:... többtagú:... Karikázd be azon feladatokat, ahol kellett összevonást elvégezni! Milen tagokat lehet csak összevonni?

6 ALGEBRA II. Egenletek, egenlőtlenségek NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Minden egenlethez, egenlőtlenséghez hozzátartozik eg alaphalmaz, ebben a halmazban keressük a megoldásokat. Ha a feladat szövege nem adja meg előre az alaphalmazt, akkor az általunk ismert legbővebb számhalmazt, azaz a valós számok halmazát tekintjük annak. Az alaphalmaz azt a legbővebb részhalmazát, amelen az egenletben szereplő kifejezések értelmesek, az egenlet értelmezési tartománának nevezzük. Az egenlet, egenlőtlenségek megoldásakor meg kell keresnünk azokat a számokat az értelmezési tartománból, amelek kielégítik az egenletet, egenlőtlenséget. Ezeket a számokat hívjuk az egenlet, egenlőtlenség megoldásainak, vag az egenlet, egenlőtlenségek gökeinek és ezek a számok alkotják az egenlet, egenlőtlenségek megoldáshalmazát. Az egenlőtlenségek megoldásait szokás számegenesen is megadni. Amenniben nincs olan szám, amelik igazzá teszi az egenletet, egenlőtlenséget akkor az egenletnek, egenlőtlenségnek nincsen megoldása, azaz a megoldáshalmaz az üres halmaz. Egenlet vag egenlőtlenség két oldalán eg-eg polinom áll. Íg a két oldalon külön-külön minden művelet elvégezhető, amit az algebrai kifejezéseknél tanultunk a megoldást ezzel érdemes kezdeni. Az egenlet, egenlőtlenség megoldása során úg kell átalakítanunk az egenletet, hog egre egszerűbb egenlethez jussunk. Célunk, hog végül az egenlet, egenlőtlenség egik oldalán csak az ismeretlen álljon, a másik oldalon eg konkrét szám. Ehhez a következő átalakításokat végezhetjük: Az egenlet, egenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalából kivonhatjuk uganazt a számot. Az egenlet mindkét oldalát szorozhatjuk, illetve oszthatjuk uganazzal a nullától különböző számmal. Az egenlőtlenségnél a negatív számokkal való szorzás, osztásnál az egenlőtlenség jel megfordul. Ismeretlent tartalmazó kifejezéseket is hozzáadhatunk, illetve kivonhatunk az egenlet, egenlőtlenség mindkét oldalából. Ha ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorzunk, akkor hamis gököket kaphatunk, ha osztunk, akkor gököket veszthetünk. Ennek elkerülésére az ismeretlent tartalmazó kifejezésről, ekkor mindig fel kell tételeznünk, hog nem 0. 6

7 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 7. Mel -ekre igaz az, hog a. b. d. ( ) ( ) 6 c. e. > f. 7 g. 7 < ( ) 6 h. 6 i. ( )( ) < 8 j. ( )( ) ( k. ( ) ( )( ) l. ( )( ) ( ) ALGEBRA II. ( ) )( ) 8 8. Oldd meg grafikusan az a. az c. az e. és az l. feladatokat! 7

8 ALGEBRA II. Algebrai törtek, szorzattá alakítás 9. Bővítsd a következő törteket! NEGYEDIK EPOCHAFÜZET a. b. c. d. Uge emlékszel? A szorzattá alakítás egik típusa a kiemelés, ami minden tagban szerepel, kiemeljük szorzóténezőként. 0. Alakítsd szorzattá kiemeléssel a következő kifejezéseket! a. ab ac b. 6z c. a 0a d. a e. f. ab b g. a a h. i. k n k j. a k. 8 a l. a 6 m. a 8 n. a a o. a 6a 8 p. ( a) b ( a) q. ( ) ( ) r. ( ) ( ). Egszerűsítsd a következő törteket! a. b. c. d. e. Uge emlékszel? A törtes kifejezéseknél, ha a nevezőben változó van, akkor nem mindenhol értelmezhető. Azokat az értékeket, amelek mellett a nevező nulla lenne, kizárjuk. Az előző feladatban, mel értékek mellett nem értelmezhető melik tört?. Írj fel olan törtes kifejezéseket, amelek nem értelmezhetőek a következő számokra: 0, -0,6 és - 0 és

9 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II.. Alakítsd át egszerűbb alakúra a kifejezéseket! Vizsgáld meg, hog milen alaphalmazon lehet értelmezni őket! a. z 6z b e. i. 0 b. f. j. c. ( a b ) d. ( a b ) a b g. ( a )( a ) k. a a b ( ) h. ( ) l. m. n. 6 ( ) o p. 6 A szorzattá alakítás másik módja, ha csoportosítjuk a tagokat és a kiemelés után eg újabb kiemeléssel alakítjuk szorzattá. A p. és o. feladatoknál ezt kell alkalmazni.. Alakítsd szorzattá csoportosítással! a ( ) b ( ) b ( a b) a b ( ) a a a a b b a a b b a ab ac bc 9 a b a b b 6a b 6a 0a a a Törtes egenletek, egenlőtlenségek. Milen valós számokra teljesülnek a következő egenletek? Először mindig a kikötést kell megtenned! 7 a. b c d e. ( ) 8 g. f. h ( ) 9 9

10 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 6. Döntsd el, hog jók-e az alábbi megoldások! Húzd alá a hibás lépeseket és írd mellé a lépések jelölését! A hibás megoldások helett írj jókat! I. eset II. eset III. eset Most nézzünk néhán egenlőtlenséget, a kikötést itt se felejtsd el, ha kell! A megoldást számegenesen is ábrázold! < 7 ( ) > > 6 8. Oldd meg grafikusan a valós számok halmazán! Meliknél kell kikötés? Hog jelenik meg ez a grafikonon? < > > 0 < > > 0

11 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. Oldjuk meg a következő egenlőtlenséget! A megoldáshalmazt ábrázoljuk számegenesen! 7 < 0 Minthog a nevező nem lehet nulla, íg az értelmezési tartomán a 0-tól különböző valós számok halmaza. Röviden: R \{0}. Eg tört akkor és csak akkor negatív, ha a számlálója és a nevezője különböző előjelű. I. eset Ha a számláló pozitív és a nevező negatív. 7 > 0 é < 0 > 7 é < 0 > 7 é < 0 II. eset Ha a számláló negatív és a nevező pozitív. 7 < 0 é > 0 < 7 é > 0 < 7 é > 0 A kettő egütt sohasem teljesül, ebből az A kettő egütt akkor teljesül, ha 0 < < esetből nem kapunk megoldást. A feladat megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk, íg a két esetet összegezve azt kapjuk, hog a megoldáshalmaz: 0 < < vag 0; 9. A valós számok halmazán oldd meg a következő egenlőtlenséget! Ne felejtkezz el a kikötésékről! < > < 0 > 0 0 > 0 6 > 0 7 > > 6 7 >

12 ALGEBRA II. Szöveges feladatok NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Egszerű szöveges feladatok 0. Ha három egmást követő páros szám összegéből levonjuk a köztük levő páratlan számok összegét, 0 marad. Melek ezek a számok?. Eg háromszögben α szög harmadrésze β-nak, de 0 fokkal nagobb γ-nál. Mekkorák a háromszög szögei?. Eg kötélnek levágták a negedrészét és még métert. A maradék 0 méter hosszú. Hán méter volt a kötél?. Hán óra van? kérdezte valaki. Ha az éjféltől eltelt idő feléhez hozzáadod az éjfélig még hátralevő idő negedét, akkor a mostani időt kapod! ez volt a válasz.. Eg négzet oldalait cm-rel megnöveltük. Íg eg 6 cm -nel nagobb területű négzetet kaptunk. Mekkorák lehettek az eredeti négzet oldalai?. Eg négzet egik oldalát cm-rel növeljük, az erre merőleges oldalát cm-rel csökkentjük, akkor a kapott téglalap területe 8 cm. Mekkora volt a négzet oldala? 6. Eg vadaskertben nulak es fácánok vannak. Az állatoknak összesen 0feje és 0 lába van. Hán núl és hán fácán van a vadaskertben? 7. Eg tört nevezője -tel nagobb a számlálójánál. Ha a számlálóhoz -et adunk, a nevezőből -et elveszünk, akkor a tört reciprokával egenlő törtet kapunk. Melik ez a tört? Életkort kiszámító feladatok 8. Zoli 8, apja 8 éves. Hán év múlva lesz az apa életkora a. háromszor b. hatszor akkora, mint a fia életkora? 9. Menni a két ember életkora, ha az teljesül, hog a. összegük 7, különbségük 6? b. összegük 60, hánadosuk? c. különbségük 70, hánadosuk? d. aránuk 7:, különbségük? 0. Két ember életkorának összege 60 hónap. Ha az egikhez hozzáadjuk a másik életkor hónapokban számított négzetet, akkor is 60 hónapot kapunk. Hán éves a két ember?. Határozzuk meg Bori, Orsi és Ricsi életkorát, ha a következőket állítják: Bori: Éveink számának összege 60. Orsi: évvel vagok idősebb Borinál. Ricsi: 0 év múlva leszek olan idős, mint amenni most Bori és Orsi egütt.. Eg 7 éves apának éves fia van. Hán év múlva lesz az apa háromszor anni idős, mint a fia?

13 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. Számjeges feladatok. Ha eg kétjegű szám számjegeit felcseréljük, akkor feleakkora számot kapunk. Az eredeti szám első számjege kétszerese az egesek helén állónak. Melik ez a szám?. Eg kétjegű szám számjegeinek összege 9. Ha a számjegeket felcseréljük, akkor az eredeti szám háromszorosánál 9-cel nagobb számot kapunk. Melik ez a kétjegű szám?. Eg kétjegű szám számjegeinek összege 9. Ha a számjegeket felcseréljük, az eredeti szám ötödrészét kapjuk. Melik ez a szám? 6. Eg kétjegű szám tízesek helén álló számjege hárommal nagobb, mint az egesek helén állónak. Ha a kétjegű számhoz hozzáadjuk azt a számot, amelik számjegeinek megfordításával keletkezik, akkor -at kapunk. Melik ez a szám? 7. Eg háromjegű szám első jege -gel kisebb, mint az utolsó jege. Ha a számjegeit felcseréljük, az eredeti számnál 96-tal kisebb számot kapunk. Melik ez a szám? (Hán megoldás van?) Út-idő-sebesség számolási feladatok 8. Péter 6, Pál óra alatt teszi meg uganazt az utat kerékpárral. Pál km/h -val gorsabb Péternél. Kinek mekkora a sebessége? Rajzolj út-idő grafikont! 9. Két város közötti távolságot eg gépkocsi, nap alatt teszi meg. Az első félnap a teljes út -át, második félnapon az -ét. A harmadik félnapon 6 km-rel többet a teljes út részénél. Mekkora a városok közötti távolság? 0. Eg 6 m/s sebességgel és eg 0 m/s sebességgel haladó test milen messze lesz egmástól s múlva, ha a. eg iránba b. ellentétes iránba haladnak? c. Hán másodperc múlva lesz a távolságuk 7 m, ha ellentétesen haladnak?. Az A és B turistaház között a távolság 0 km, egszerre indul el két turista egmással szemben, az A sebessége km/h, a B sebessége 6 km/h. Oldd meg grafikusan, hog mikor és hol találkoznak?. Eg hajó két végállomása között az utat oda-vissza óra 0 perc alatt teszi meg. A sebessége lefelé menet 6 km/h, felfelé menet km/h. Milen messze van egmástól a két állomás?. Egmástól 7 km távolságból egszerre indul el eg 60 km/h sebességgel haladó motorcsónak, és eg 8 km/h átlagsebességű evezős csónak. Mikor és hol találkoznak, ha állóvízen indulnak el egmás felé? Mikor és hol találkoznak, ha eg km/hsebességű folón haladnak és az evezős halad a sodrás iránában?. Két egenlő magasságú gertát egszerre gújtunk meg. Az lila óra a sárga óra alatt ég le. Mikor lesz az egik kétszerese a másiknak, ha feltételezzük, hog egenletesen égnek? Oldd meg grafikusan is!. km hosszú villamos vonalon percenként indítják a két végállomásról egszerre a villamosokat. A villamosok menetideje 0 perc. Az egik villamossal eg időben a

14 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET sínek mellett elindul eg galogos, ő perc alatt teszi meg az utat. Hán villamossal találkozik útközben, ami vele szemben illetve vele eg iránba halad? 6. **Az óra mutatói hat órakor eg egenesbe esnek, és ellentétes iránba mutatnak. Mikor lesznek legközelebb ilen helzetben 6 óra előtt illetve 6 óra után? 7. **Déli órakor éppen fedik egmást az óra kis és nag mutatója. Mikor következik be legközelebb ez az állapot óra után? 8. **A Jupiter bolgó a nap körüli keringési ideje,86 év. Menni idő telik el, míg a Föld és a Jupiter a legközelebbi helzetéből indulva a legtávolabb kerülnek egmáshoz? 9. **Két pont egenletesen mozog két koncentrikus kör mentén. Ezek sugarainak arána :6. a nagobb sugarú körön 0s alatt m-rel tesz meg több utat a test és íg ötöd anni fordulatot tesz meg. Mekkora sebességgel mozognak a testek Munkára vonatkozó szöveges feladatok 0. Ábel matekpéldát átlagosan 7 perc alatt tud megoldani. Hán példát tud megoldani eg óra alatt? (pontos törtértéket adj meg). Eg 00 literes kádba két csapon át folhat a víz. Az elsőből 0, a másodikból liter víz ömlik a kádba percenként. Menni idő alatt telik meg az üres kád, ha mindkét csapot egszerre megnitjuk?. Eg gárban két munkás vállalja, hog egütt 6 nap alatt elkészít eg munkagépet. Külön-külön dolgozva az egik 0 a másik nap alatt végezne. Tudják-e teljesíteni a vállalásukat?. Eg apa, óra a fia 6 óra alatt ássa fel a kertjüket. Menni idő alatt végeznek, ha egszerre dolgoznak mind a ketten?. Három brigád külön-külön nap,, nap és nap alatt ásná fel a gümölcsöst. Menni idő alatt készülnének el, ha egszerre dolgoznának, de az első brigád csak fele létszámmal venne részt a munkában?. árpád 6 óra alatt csomagolná be egedül a termékeket, Géza óra alatt. Egütt kezdenek csomagolni, de óra munka után Árpád más feladatot kap. Hán órát kell még Gézának dolgoznia, hog becsomagolja az összes terméket? 6. **Eg apa óra 0 perc, eg ana óra 0 perc, a kisfiúk 6 óra 0 perc alatt ássa fel a kertjüket. Menni idő alatt végeznek, ha egszerre dolgoznak mind a hárman? Keveréses feladatok 7. 90%-os és 70%-os kénsavunk van. Menni szükséges ezekből ahhoz, hog liter 60%-os; 80%-os; 7%-os; 8%-os savat kapjunk? 8. gramm 00%-os savhoz 6 gramm vizet öntöttek. Menni vizet kell még hozzáönteni, hog az oldat 0%-os legen? 9. 0 g 6 C-os vízbe 60 g C-os vizet öntünk. Hán fokos lesz a keverék? 60. 0, liter %-os ecethez menni vízre és ecetre van szükség, ha a boltban csak 0%-os ecetet lehet kapni? 6. Hán liter vizet kell elpárologtatni 0 liter 0%-os sóoldatból, hog 0%-os oldatot kapjunk?

15 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Lineáris egenletrendszerek ALGEBRA II. 6. Mel pozitív számpárok elégítik ki a következő egenleteket? a. b. c. Mel számpárok elégítik ki mind a kettőt? 6. Katának csupa 0 és 0 Ft-os van a pénztárcájában. Hán 0 Ft-os lehet benne, ha összesen 00 Ft-ja van? Ábrázold grafikusan is, tengel a 0-asok száma, tengel a 0-eseké! 6. Ábrázold az és az függvének grafikonját közös koordinátarendszerben! Rajzoljuk újra a grafikont! Válasszuk meg úg az egséget, hog a metszéspont a rácsponton legen! Olvassuk le a két grafikon közös pontjának koordinátait! 6. Keress olan pontot (pontokat), amelik illeszkedik az ( ) f és a g ( ) függvének grafikonjára! Hogan érdemes megválasztani az egséget? 66. Oldd meg grafikonok segítségével az alábbi egenletrendszereket! (Válaszd ügesen az egséget!) a., 000. b. 000, Oldd meg az alábbi egenletrendszereket grafikusan! a.,. b.,. c.,. d.,. e.,. Az alábbi kérdések az, egenletrendszerre vonatkoznak. f. Írhatunk-e a c helére valós számot úg, hog az egenletrendszernek ne legen megoldása? g. Mel c esetén lesz az egenletrendszer megoldásában 0? h. Mel c esetén lesz az egenletrendszer megoldásában < 0? i. Mel c esetén lesz az egenletrendszer megoldásában > 68. Keresd meg a függvének grafikonjainak metszéspontját, vag metszéspontjait! a. f ( ) és ( ) g b. f ( ) ( ) és g ( ) c. f ( ) és g ( ) 6 d. f ( ) és g ( ) Fogalmazd meg a tapasztalataidat is!......

16 ALGEBRA II. 69. Milen ; -ra igaz, hog: a. 9 b. 8 d. e. Alkalmazd az előző feladatban megszerzett tapasztalatokat! c. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Az alábbi GRAFIKUS megoldásokhoz írd fel az egenletrendszereket! 7. Fejezd ki az egik egenletből valamelik ismeretlent (nem muszáj az -t, mint a grafikus megoldásnál), és az íg kapott kifejezést HELYETTESÍTSD BE a másik egenletbe, íg keresd az alábbi egenletrendszerek megoldását! a. b d. e Oldd meg a következő egenletrendszereket: c. 0 a. b. 7 c. d. 8 e. 9 f. 6

17 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II Oldd meg a következő egenletrendszert az halmazon! 7 7. A következő egenletrendszereknél add össze, vag vond ki egmásból a két egenletet, hog a kapott egenletben már csak eg ismeretlen szerepeljen! Ha kell, szorozd meg az egenleteket eg alkalmas számmal, hog valamelik változó EGYÜTTHATÓJA EGYENLŐ, vag ellentettje legen egmásnak a két egenletben! a. 6 7 b. 9 c. 9 d e. 6 f. 7. Oldd meg az egenlő egütthatók módszerével a következő egenletrendszereket a. b. 0 8 c. 0 d. 0 0 e. 76. A következő egenletrendszerekben, lehet, hog egszerűbb alakra jutsz, ha ÚJ ISMERETLENEKET vezetsz be. Próbáld megoldani ezzel a módszerrel a következő egenletrendszereket! a., ) 6( ) ( ) ( ) ( b. ) (6 ) ( ) 9(6 ) ( c. 8 7 d e **Nézzünk eg kicsit bonolultabbakat! ) ( 6 ) ( 9,

18 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 8 Foglald össze a tapasztalatokat: Az egenletrendszerek megoldási módszerei: : Grafikus :Behelettesítés :Egenlő egütthatók : Új ismeretlen A következő egenletrendszerek megoldásánál gakorold a különböző eljárásokat! Mielőtt hozzáfogsz, gondold át, hog milen módszert érdemes alkalmazni! a. 9 b. c d Mel,-ra igazak? a. 7 0, b. 8 6 c. d. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Űrlének két faja érkezett a földre. Az egik fajnak feje és 7 lába, a másiknak feje és eg lába van. Összesen 6 fejük és 89 lábuk van. Hán űrlén érkezett az eges fajokból? 8. Oldd meg a következő egenletrendszert behelettesítő módszerrel! 7

19 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 8. Oldd meg a következő egenletrendszert behelettesítő módszerrel! ALGEBRA II Oldd meg a következő egenletrendszert az egenlő egütthatók módszerével! Ádám nég évvel ezelőtt háromszor anni idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig kétszer anni idős lesz. Hán évesek most? 8. Oldd meg a következő egenletrendszert az egenlő egütthatók módszerével! A piacon valaki kg krumplit és kg hagmát vásárolt 0 Ft-ért. A sorban mögötte álló kg hagmáért és kg krumpliért 00 Ft-ot fizetett. Mennibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagma? 87. Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 7 darabot vásárolt a boltban 8 Ft értékben. A kék tollak Ft, a fekete tollak Ft-ba kerülnek. Hán darabot vett Brigi a kék illetve a fekete tollakból? 88. Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni évvel korábban született, és íg négszer anni idős, mint Fáncsi. Hán évesek az elefántok? 89. Eg ana évvel idősebb a germekénél. év múlva -szer anni idős lesz, mint germeke. Menni idős az ana és a germeke most? 90. Az ókorból maradt ránk az alábbi feladat (a hagomán szerint Eukleidész görög matematikustól származik): A ló és az öszvér egmás mellett mentek, hátukon zsákokkal, mikor a ló panaszkodni kezdett nehéz terhére. Erre az öszvér azt mondta: Ha eg zsákot átveszek a hátadról, akkor az én csomagom kétszer nehezebb lesz, mint a tied. Ha azonban te vennél át eg zsákot az én hátamról, akkor a te csomagod még mindig csak olan nehéz lenne, mint az eném. Hán (egenlő nehéz) zsákot vitt a ló és az öszvér? 9. Eg kertben csirkék és nulak vannak. A fejek száma összesen, a lábaik száma 66. Núl vag csirke van több a kertben? 9. Eg kollégiumban -, illetve -ágas szobák vannak, összesen 7. Melikből hán darab van, ha a férőhelek száma 76? 9. Melik az a két szám, amelekre teljesül, hog egrészt a nagobbik 0%-a -vel több, mint a kisebbik 6 része; másrészt a nagobbik szám kétszerese éppen 80-nal nagobb a kisebbik szám háromszorosánál? 9. Két szám összege,. Ha az első számot tízzel elosztjuk, akkor a második kétszeresét kapjuk. Melik ez a két szám? 9

20 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 9. ***Határozd meg azt a kétjegű számot, amelik 7-tel nagobb, mint a számjegei összegének a kétszerese! 96. *** Eg szigeten 00 lakosra jut eg kuta. A kuták száma évente %-kal növekszik, a lakosok száma évente %-kal csökken. Két év múlva hán lakosra jut eg kuta? 97. *** Három szám közül a középső uganannival nagobb a legkisebbnél, mint a legnagobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 8, a két nagobbé. Melek ezek a számok? 98. *** Eg háromszög oldalainak hossza cm, 9 cm és 6 cm. Rajzoljunk köröket a háromszög mindhárom csúcsa körül úg, hog ezek a körök páronként érintsék egmást. Mekkorák a körök sugarai? 99. *** Babiloni ékírásos cseréptáblán maradt fenn az alábbi feladat Kr. E. 000 körüli időkből. (A feladatot átírtuk mai mértékegségekre): Az egik területről négzetméterenként kg búzát arattam. A másik földem minden négzetméterén kg búza termett. A két terület terméshozama között a különbség 00 kg. A két földterület összesen 800 m. Hán négzetméter a két földem külön-külön? 0

21 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. Ismétlés II. (Nevezetes azonosságok) 00. Végezd el a következő műveleteket! a. ( ) 6 b a b. ( ) 0 b a c. ( ) 8 d. ( ) 7 e. ( ) 9b a f. ( ) b a g. 7 b a h Végezd el a következő műveleteket! a. ( )( ) b. ( )( ) b a b a c. 7 7 d. ( )( ) a a 6 6 e. ( )( ) 9, 9, f. ( )( ) 8 8 g. ( ) b a b a, 0, h. 0, 6, 0. A zárójelek felbontása után hozd a lehető legegszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a. ( )( ) ( ) ( )( ) b. ( ) ( )( ) ( ) a a a a c. ( )( ) ( ) ( ) 7 d. ( ) ( ) ( )( ) e. ( ) ( )( ) ( ) ( ) f. a a a a g. ( ) ( )( ) ( ) ( ) b b b b b

22 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET h. ( ) ( )( ) ( ) ( ) i. 0. Alakítsd át egszerűbb alakúra a kifejezéseket! Vizsgáld meg, hog milen alaphalmazon lehet értelmezni őket! a. e. z 6z b a ab b a b 0 b. f. c. ( a b ) d. ( a b ) a b g. ( a )( a ) a h. a b a b a b i. a b j. a b 6 k. 6a 6ab b a b l m. ( ) n. 6 ( ) o p Úg egészítsd ki, hog azonosság legen! a ( ) b ( ) c ( ) d.... ( )( ) f ( ) e ( )( ) 0. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úg, hog eg kéttagú kifejezés négzetével legenek egenlők! a. d cd... ( ) b. 9 a 6ab... ( ) c ( ) d. a ab... ( ) 6 e.... ( ) f. a ab... ( ) g a ( ) h.... a ( ) i.... a ( ) j a ( ) 6 9 k. b... a ( ) l. ( ) m (... ) n. ( )... a

23 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. 06. Úg egészítsd ki, hog az egenlőségjel után valamelik algebrai kifejezés négzete álljon! a.... b c. 9 z... d Emlékeztető Az előző feladatokban három nevezetes azonosságot használtál, ezek: I. ( A B) A AB B II. ( ) A B A AB B III. ( A B)( A B) A B 07. Alakítsd szorzattá a nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! a b c. 9a 9b d. a b 9 e. 9a 8a b b f. 6a 9 6 g. 6a b 60a b h Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a. ( ) b. ( a b) ( c d ) c. ( ) ( z) d. ( ) z 9 e. ( a b) 6 f. ( ) g. ( a b) h. ( ) ( ) a b a b i. ( a b) ( a b) j. ( b c) 9( b c) k. ( ) ( ) l. 6( ) ( ) m. ( ) ( ) 6

24 ALGEBRA II. Teljes négzetté alakítás NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 09. Úg egészítsd ki, hog azonosságot kapjál! a. a a ( a ) / b. 0 0 ( ) / c. b 7b ( b,) / d. 8 ( ) / 0. Úg írd át a következő algebrai kifejezéseket, hog az egenlőségjel után valamelik kifejezés négzete és eg / szám álljon! (Teljes négzetté alakítás.) a. a 6a b. c. u u d. Másodfokú egenletek Emlékezz és jegezd meg! a.. Milen -re igaz? a -nak nevezzük azt a nem negatív számot, amelnek a négzete a. 9 b. 8 c. 7 d. ( ) e. ( ) 6 f. ( ) g. ( ) 8 h. ( ) i. (0 7 ) j. k. ( ) l. ( ). Mel -re igazak a következő egenletek? Alakítsd át úg, hog az egik oldalon eg teljes négzet és /- eg szám álljon, a másik oldalon nulla! Ábrázold grafikusan! Mit kell leolvasni, hog az egenlet gökét kapd? a. ( ) 8 b c d. 0 e. 0 0 f g. 6 0 h. 0 0 i. 9 0 j. 8 0

25 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Néhán másodfokú egenlethez vezető probléma ALGEBRA II.. Próbáld meg felírni az egenleteket és megoldani a teljes négzetté alakítás módszerével, vag grafikusan, vag próbálkozva! a. Gondoltam eg számra. Négzetre emeltem, hozzáadtam az eredeti szám tízszeresét és íg 9-et kaptam. Mire gondoltam? b. Szabadesésénél a leeső tárg 0 m/s gorsulással mozog. Hán másodperc alatt esik le eg 00 m magas toronház tetejéről a cserép? ( ) c. Eg négzet alakú asztal vendéglapját, ami cm széles felhajtjuk. Íg eg,7 m területű téglalapot kapunk. Mekkora a négzet oldala? d. Két szomszédos szám szorzatából az összegüket kivonva 70-et kapunk. Mel számokra igaz ez? Sok esetben a szöveges feladatokból felírható egenletek másodfokúra vezetnek, ez azt jelenti, hog az ismeretlen fokszáma kettő lesz. Az egenletet rendezhetjük, hog az egik oldalára fokszám szerint csökkenő sorrendben a tagokat, íg eg összeg lesz itt, a másik oldalára pedig nulla kerül. Megoldásként azon számokat keressük, amik kielégítik az egenletet. Az előző példákból látható, hog sokszor a másodfokú egenletnek két megoldása van. Sokszor a másik megoldást a szöveg kizárja. Írd be az a, b és c betűket, hog a másodfokú egenlet általános alakját kapjuk! Milen számokat jelölhetnek az eges betűk, hog a másodfokú egenlet általános alakját kapjuk? a b c. Olvasd le a megfelelő értékeket az egenletekből! a. 7 0 a b c b a b c c. 6 0 (Vigázz!!) a b c d. (Át kell rendezni!) a b c e a b c 0 f. 6 ( ) 0 a b c g. ( )( ) 8 a b c h. ( ) a b c

26 ALGEBRA II. Másodfokú egenlet megoldó képlete NEGYEDIK EPOCHAFÜZET. Találjuk ki a másodfokú egenlet megoldó képletét! Könnebben meg a feladat, ha egszerre oldunk meg eg konkrét feladatot, és mellette az általános egenlettel is elvégezzük ugan azon lépéseket! A konkrét egenlet: A paraméteres egenlet: 6 0 a b c 0, ahol a,b,c R és a 0. lépés: végigosztom az egenletet -mal végigosztom az egenletet a-val b c 0 0 a a. lépés: ( ) ( ) 0. lépés: ( ) 6 vagis tehát ±, ± 6, Írd le a másodfokú egenlet megoldó képletét!, A megoldó képletben a gök alatti kifejezést diszkriminánsnak hívjuk, jele a nag D. D Ha a diszkrimináns negatív nem értelmezhető a gökjel miatt, íg az egenletnek nincs megoldása. Ha a diszkrimináns nulla, akkor ebből gököt vonva is nullát kapunk, íg az egenletnek eg megoldása lesz. Ha a diszkrimináns pozitív, akkor ez két számnak is lehet a négzete, ezt fejezi ki a gökjel előtti /-, íg az egenletnek két megoldása lesz. 6

27 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. 6. Helettesítsd be a megoldó képletbe a 9. feladat egenleteinek paramétereit! Add meg az egenletek megoldását! (Végezd el az ellenőrzést is!) a., Ell: b., Ell: c., Ell: d., Ell: e., Ell: f., Ell: 7

28 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 7. Gakorolj! Oldd meg a másodfokú egenleteket a megoldó képlet segítségével! A füzetbe dolgozz! (Ellenőrizd a megoldásaidat!) Utána alakítsd át teljes négzetté és grafikusan is ábrázold! a. 0 0 b c. d Az egenletek kiszámolása nélkül mondd meg, hog hán megoldása van az egenleteknek a b c d Grafikusan oldd meg az egenleteket! a. 0 b. 0 c. ( ) 0 d. 0 e. 0 f. ( ) 0 g. ( ) 0 h. 0 i. 0 j Írj fel olan másodfokú egenleteket, amelnek a gökei a. (;8) b. (-;-) c. d.. **Milennek válaszuk k értékét, hog a. 7 0 egenlet egik göke - b. 0 egenlet egik göke c. 9 0 egenlet egik göke d és egik göke -0,. **Határozzuk meg c-t úg, hog a 8 0 egenletnek a. két egenlő göke legen b. két pozitív göke legen c. eg pozitív és eg negatív göke legen d. 0 az egik göke legen e. ne legen valós göke 8

29 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Hiános másodfokú egenletek ALGEBRA II.. A hiános másodfokú egenleteket nem a megoldó képlettel szoktuk megoldani. Nézd át a kidolgozott mintát, majd oldd meg a feladatokat! I. Ha az egenletben nincs első fokú (-es) tag, b 0. (Általános alakja: a c 0 ) Minta: 0 / / : tehát, Feladatok: e. 0 f. 8 0 g. 7 h. 6 0 i. 8 0 j. 7 0 k. 0 l. 0 II. Ha az egenletben nincs nulladfokú ( számos ) tag, c 0. (Általános alakja: a b 0 ) Minta: / nullára rendezés Feladatok: 0 / kiemelés ( ) 0 Eg szorzat csak akkor lehet 0, ha egik ténezője 0, tehát 0, a. 0 0 b. c. 0 d. 7 0 e. 0 f. 0 9

30 ALGEBRA II. Veges feladatok NEGYEDIK EPOCHAFÜZET. Oldd meg az alábbi egenleteket, majd feladatonként a gököket növekvő sorrendbe írd be a lenti táblázatba! Ha növekvő sorrendbe teszed az összes gököt, kiolvashatod a megoldást! a b. 0 c. 0 0 d. 7 0 e. 7 f. 0 7 g. h. G S Ü O L Á S L E T Y Á E Z N M. Itt már vegesen jönnek a másodfokú egenletek. Lég üges, hogan egszerűbb megoldanod?karikázd be, azokat, ameleknek nincs megoldása! a. 6 b. ( ) c. 0 d. ( ) 8 e. 7 0 f g. h. 0 i. ( ) 6 j. ( ) ( ) 0 k. 8 9 l. ( ) m. 6 0 n Oldd meg az alábbi egenleteket majd a gökeiket add össze. Az íg kapott összegeket párosítsd a táblázatban szereplő betűkkel az összeg. Ha a betűket egmás mellé írod a feladat sorrendjében a megoldás! a. 6 0 b. ( ) 6 c. 0 d. ( ) e. 8 0 f. 0 g. ( ) 9 0 h.,8 9,6 i. 0,, j. 0 k. 0 0 l., 0 m. 9 6 M L A H I S Z G -0-0, 6 0 0

31 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 7. Gakorolj! Mel -ekre igaz, hog ALGEBRA II. a. ( )( ) 0 b. ( ) ( ) ( ) 8 c. e. ( ) 7 8 6, f. 8. Gakorold a másodfokú egenlet megoldását! d. ( ) ( )( ) a. ( ) 6 b. ( )( ) ( ) 7 0 c. ( ) ( ) ( 7)( 7) 0 e. ( ) ( 9) ( ) g. 9 d. f. h. ( ) 7 0 i. k. ( 7) j. l. 7 8 Szöveges feladatok 9. Két egmás után következő természetes szám szorzata. Melik ez a két szám? 0. Eg ballagó osztálban mindenki megajándékozta minden osztáltársát a saját fénképével. Menni volt az osztállétszám, ha 06 fénkép cserélt gazdást?. Bontsuk fel a 0-et két olan ténezőre, amelek összege!. Eg tört számlálója -vel kisebb, mint a nevezője. Ha ehhez a törthöz hozzáadjuk a reciprok értékét, akkor -öt kapunk. Melik ez a törtszám?. Eg tört nevezője -gel nagobb a számlálójánál. Ha a számlálót -mal csökkentjük és a nevezőt uganannival növeljük, a törté értéke felére csökken. Melik ez a tört?. Hán oldalú sokszögnek van anni átlója, mint ahán oldala?. Eg téglalap területe 9 cm, kerülete 6 cm. Mekkorák a téglalap oldalai? 6. Eg téglalap kerülete cm, átlója cm. Mekkorák az oldalai?

32 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 7. Eg derékszögű háromszög egik befogója háromszor akkora, mint a másik, a területe pedig 7, cm. Mekkorák a háromszög oldalai? 8. Két szám szorzata, különbségük. Melik ez a két szám? 9. Az ábrán eg téglalap alakú parkot és a szélén körbe vezető sétautat látjuk. A park oldalai 0 m és 0 m. A körbe vezető sétaút szélessége mindenütt ugananni. Mekkora legen a sétaút szélessége, ha a beültetett kert a teljes park területének 80%-a? 0. Három egmást követő pozitív egész szám négzetének összege 7-tel nagobb, mint a legkisebb és legnagobb szám szorzata. Melek ezek a számok?. Eg derékszögű háromszög területe 0 cm. A háromszög köré írható körének a sugara cm. Mekkorák a háromszög oldalai?. Az ábrán eg olan kertet látunk, melnek alakja: két négzet egmás mellé helezve az ábrán látható módon. A kert területe 00 m. A bekerítéséhez összesen 0 m kerítésre volt szükség. Mekkorák az eges négzetek oldalai?. ** Eg kétjegű szám számjegeinek az összege 9. Ha a számjegeket felcseréljük és az íg kapott számot az eredetivel megszorozzuk, szorzatul 68-at kapunk. Melik ez a szám?. ** Két munkás egütt dolgozva 8 óra alatt tud befejezni eg munkát. Menni idő alatt lenne készen egedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az utóbbinak órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek?. ** Két folóparti város távolsága 0 km. Ezt az utat a menetrend szerinti hajó odavissza óra alatt teszi meg. Mekkora sebességgel haladna ez a hajó állóvízben, ha a foló km/h sebességgel folik? 6. **Két szám összege 6. Hogan válasszuk meg ezt a két számot, hog szorzatuk a lehető legnagobb legen? Írd fel függvénnel és ábrázold! 7. **Eg alkalommal elutaztunk Budapestről a 70 km távolságra levő Münchenbe. Visszafelé az utat km/h-val nagobb sebességgel tettük meg, és íg órával rövidebb idő alatt tettük meg az utat, mint odafelé. Mekkora volt az odafelé úton a sebességünk?

33 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. Feladatgűjtemén Szöveges feladatok F F F Eg árkot Pista óra alatt, Józsi óra alatt ássa ki egedül. Menni idő alatt végeznek, ha egütt dolgoznak? A tengervíz % sót tartalmaz oldott állapotban. Menni édesvizet kell 0 liter tengervízhez önteni, hog a keverékben % só legen? A tej tömegének 7,%-a tejszín. A tejszín tömegének 7%-a vaj. Hán kg tejből készíthető kg vaj? F Eg hordóba csapon engedhetjük a sört, az egeken keresztül óra alatt, a másikon 6 óra alatt lenne teli a hordó. A palackozóhoz vivő csövön keresztül óra alatt ürül ki a hordó. Mikor lesz teli a hordó, ha mind három csapot megnitjuk? F F6 F7 F8 F9 %-os és 8%-os szilvapálinkát összekevertünk. A keverékem 80 liter 9%-os pálinka lett. Hán litert használtunk fel a ill. 8%-os pálinkából? liter 8% és 8 liter %-os sósavoldatot összekeverünk. Hán %-os lett a keverék? Lili most hatszor olan idős, mint Mati. Eg év múlva már csak 8/ lesz kettejük korának arána. Melikük hán éves most? Gondoltam eg számot. Ha a szám -szorosából kivontunk -öt, a különbséget osztjuk -gel és a hánadoshoz hozzáadjuk a gondolt szám kétszeresét, akkor 8-at kapunk. Melik számra gondoltunk? András 9m-t Béla m-t tud átlagosan korcsolázni eg másodperc alatt. Eg versen alkalmával Béla Andrásnak 00m előnt adott. Hán másodperc alatt éri utol Béla Andrást? F0 A Mikulás mogorót rejteget a zsebében. Annit elárult, hog a két zsebében egütt db mogoró van, és ha a bal zsebéből áttesz db-ot a jobba, akkor mind a két zsebében ugananni mogoró lesz. Hán darab mogoró van a bal, illetve a jobb zsebében? Lineáris egenletrendszerek F Ábrázold közös koordinátarendszerben az és az 6 függvének grafikonját! Olvasd le az egenletrendszer megoldását! A leolvasott 6 értékek helességét ellenőrizd, mindkét egenletbe való visszahelettesítéssel!

34 ALGEBRA II. F Oldd meg grafikusan az egenletrendszereket! NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 6 a. b. c. 7 0 d. e. f. * F Oldd meg a következő egenleteket az egenlő egütthatók vag a behelettesítés módszerével! a. b. c ( ) ( ) d. ( ) 6( ), e. 6 f. * ( ) ( ) 0 F Két testvér a bérletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonaljegért és eg átszállójegért 60 Ft-ot, a másik 6 vonaljegért és átszállójegért 80 Ft-ot fizet. Mennibe kerül eg vonaljeg és eg átszállójeg? F Ádám nég évvel ezelőtt háromszor anni idős volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig kétszer anni idős lesz. Hán évesek most? F6 A piacon valaki kg krumplit és kg hagmát vásárolt 0 Ft-ért. A sorban mögötte álló kg hagmáért és kg krumpliért 00 Ft-ot fizetett. Mennibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagma? F7 Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 7 darabot vásárolt a boltban 8 Ft értékben. A kéktollak Ft, a fekete tollak Ft-ba kerülnek. Hán darabot vett Brigi a kék illetve a feketetollakból? F8 Az állatkert két elefántja Fáni és Fáncsi. Fáni évvel korábban született, és íg négszer anni idős, mint Fáncsi. Hán évesek az elefántok? F9 Eg ana évvel idősebb a germekénél. év múlva -szer anni idős lesz, mint germeke. Menni idős az ana és a germeke most? F0 *** Eg háromszög oldalainak hossza cm, 9 cm és 6 cm. Rajzoljunk köröket a háromszög mindhárom csúcsa körül úg, hog ezek a körök páronként érintsék egmást. Mekkorák a körök sugarai? F *** Három szám közül a középső uganannival nagobb a legkisebbnél, mint a legnagobb a középsőnél. A két kisebb szám szorzata 8, a két nagobbé. Melek ezek a számok? F Eg szám 0-nel nagobb eg másiknál. A két szám összegét -mal megszorozva pedig 0-et kapunk. Melik ez a két szám? F Két testvér egütt éves, a korkülönbség köztük év. Melikmenni idős?

35 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. F Eg gép lefestéséhez 7 doboz festék kell. Ha doboz sárga és doboz kék festéket veszünk, az 780 Ft-ba kerül, ha doboz sárgát és kéket veszünk, az 800 Ft-ba kerül. Mennibe kerül eg-eg doboz festék? F Hán kilogramm %-os és 6%-os sóoldatot kell összekeverni, hog 0 kilogramm 7%-os oldatot kapjunk? F6 Eg előadóteremben eg csoport tanuló szeretne helet foglalni. Ha minden asztalhoz csak 8 tanuló ülhetne, akkor kilencüknek nem jutna hel. Ha minden asztalnál 0 ülőhel volna, akkor pedig hel üresen maradna. Hán asztal van az előadóban, és hán személből áll a csoport? F7 Azt mondja eg apa a fiának: évvel ezelőtt én 9-szer olan idős voltam, mint te, viszont 6 év múlva -szer anni éves leszek, mint te voltál évvel ezelőtt. Hán éves most az apa és a fia? F8 00 Ft-ért kétfajta konzervet akarunk vásárolni. Az egik fajta darabja 80 Ft, a másiké 00 Ft. Árleszállítás foltán az első árát 0%-kal a másodikét 0%-kal csökkentik, íg 80 Ft-tal kevesebbet költöttünk. Hán konzervet vettünk az eges fajtákból? F9 Két természetes szám összege 6. Ha a nagobbikat elosztjuk a kisebbikkel, akkor hánadosul 8-at, maradékul pedig -at kapunk. Melek ezek a számok? F0 Melik az a szám, ameliket ha 7-tel osztunk, marad, ha pedig -tel, a maradék 6 lesz? Tudjuk továbbá, hog az eső hánados úg aránlik a másodikhoz, mint 7:. F Eg hajó a Tiszaalsó és Bodrogfelső közti 990 km-es távot a folón felfelé óra perc alatt teszi meg. Másnapra a hóolvadás miatt a foló megárad, és kétszer akkora sebességgel folik, íg a hajó óra alatt ér vissza. Mekkora a hajó sebessége állóvízben, és mekkora a foló (eredeti) sebessége? F Oldd meg a következő egenletrendszereket! g. i. k. m. o., 7, h. j. l. n. p. 0,

36 ALGEBRA II. q. s. ( ) ( ) ( ) 6( ), 0, 7 r. t. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ( ) 9( 6 ) ( ) ( 6 ) Másodfokú egenletek F A következő másodfokú kifejezéseket egészítsd ki teljes négzetté! a. b. 8 c. 7 d e. 6 6 f. 0 F Oldd meg a következő egenleteket! Használd a megoldó képletet! a. 7 0 b. 6 0 c. 8 0 d. 8 0 e f g. ( )( ) 6 h. ( ) 6 i. 8 ( ) ( ) 0 j. ( )( ) 9 F Oldd meg a következő egenleteket! a. b. ( 7) 6 c. d. 8 ( ) ( ) e. ( )( ) 9 F6 Oldd meg a következő egenleteket! Ellenőrizz! a. 0 b , 8, 9, 76 7, 8, 6

37 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET ALGEBRA II. c. 7 0 d. ( ) ( ) 9 e. ( ) ( ) g. ( ) 6 h. f.,, 7, 7,, i. k. ( ) ( 7) 6 j. l m. F7 Két egmás utáni páratlan szám szorzata 99. Add meg a két számot! (Lehetnek negatív számok is!) F8 Eg téglalap alakú kert hosszabb oldala a rövidebb kétszeresénél méterrel nagobb. A kert területe 8 m. a. Milen hosszú a két oldal? b. Hán méterni kerítésre lesz szükség a bekerítésre, ha eg m-es kapu helét kihagják? F9 Eg derékszögű háromszög egik befogója cm-rel hosszabb, mint a másik, területe pedig 6 cm. a. Mekkora a két befogó? b. Számítsd ki az átfogót és a háromszög kerületét is! F0 Két szomszédos pozitív számot összeszorozva a szorzat 79-cel lesz nagobb a két szám közül a kisebbiknél. Melik volt a két szám? F Eg társaság karácsoni partit rendezett. Mindenki apró meglepetéssel készült a társaság többi tagja számára. Összesen 7 ajándék cserélt gazdát. Hánan voltak a partin? F Van-e olan konve sokszög, melnek 90 átlója van? F Eg négzet egik oldalát 6cm-rel megnöveljük, a másikat uganennivel csökkentjük, íg eg 6 cm területű téglalapot kapunk. Mekkora volt az eredeti négzet oldala, és területe? F Eg téglalap egik oldala cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 7 cm. a. Mekkorák az oldalai? b. Számítsd ki a kerületét és a területét! 7

38 ALGEBRA II. NEGYEDIK EPOCHAFÜZET F Három egmást követő természetes szám négzetének összege 70. Melik ez a három szám? F6 Bonts fel a 0-et két olan pozitív egész szám szorzatára, meleknek az összege! F7 Eg négzet egik oldalát cm-rel megnöveljük, a másik oldalát uganennivel csökkentjük. Az íg kapott téglalap területe 7 cm. Mekkora volt a négzet oldala? F8 Két egmást követő pozitív szám szorzata 06. Melik ez a két szám? F9 Két egmás után következő pozitív páratlan szám szorzata 608. Melik ez a két szám? F0 Eg 87 m területű téglalap alakú kert bekerítésére 6 m hosszú drótra van szükség. Mekkorák a kert oldalai? F Eg derékszögű háromszögben az átfogó cm-rel hosszabb az egik befogónál. Kerülete 0 cm. Mekkorák az oldalai? F Eg kétjegű szám számjegeinek összege 9. Ha felcseréljük a számjegeket és az íg kapott számot az eredeteivel megszorozzuk, akkor 9-et kapunk eredménül. Melik ez a kétjegű szám? F Két csap egütt a medencét 8 óra alatt töltené meg. Az egik csapból a medence órával kevesebb idő alatt tölthető meg, mint a másikból. Menni idő alatt töltené meg a medencét a két csap külön-külön? F Két galogos egszerre indul A-ból B-be. Az első, aki óránként km-rel többet tesz meg, mint a másik, éppen eg órával hamarabb ér céljához. Hán kilométert tesznek meg óránként, ha B A-tól km-re van? 8

39 NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Gondolkodtató ALGEBRA II... RHIND 79. feladat: Ha van 7 ház, minden házban 7 macska, minden macska megeszik 7 egeret, minden egér megeszik 7 kalászt, és minden kalászban 7 mag van. Hán mag menekül meg?. Szenkereh mellett talált agagtáblán: Kivontam a négzet oldalát a területéből és íg, 0-at kaptam. Mekkora a négzet oldala:. Eg osztálban az osztállétszám 8 fő. Év végén matematikából senki nem bukott meg, hárman kaptak -es osztálzatot. Igazoljuk, hog volt legalább 9 tanuló, akik uganolan osztálzatot kaptak!. Nagmamánál a kamrában elromlott a világítás. A polcon van üveg körte, üveg alma és üveg meggbefőtt. a. Hán üveg befőttet kell kihoznunk a sötétből, hog a kihozottak között legen mindhárom fajtából? b. Hán üveg befőttet kell kihoznunk a sötétből, hog a kihozottak között legen két egforma befőtt?. Eg osztálban van három olan diák, akik uganabban a hónapban ünneplik a születésnapjukat. Mit mondhatunk az osztállétszámról? 6. Eg konve hatszög minden oldalát és minden átlóját kiszíneztük pirosra vag kékre. Igazoljuk, hog ekkor lesz a rajzunkon olan háromszög, melnek minden oldala azonos színű! 7. Eg matematikaversen első 7 helezettjét megjutalmazták. A 7 nertes között volt fiú és lán. A jutalomátadást követően eg csoportkép készült róluk, melhez a diákokat sorba állították. Hánféleképpen állhattak sorba a gerekek, ha a fotós azt akarta, hog a lán középen és - fiú a két szélen álljon? 8. Adott 00 láda mindegikben 000db grammos forintos, kivéve eget, amiben grammosak az forintosok. Legkevesebb hán mérésből tudjuk eldönteni, hog melik ládában vannak a selejtes eg forintosok, ha minden láda uganúg néz ki, és csak eg egkarú mérlegünk van. 9. A gazdag tevekereskedő mielőtt meghalt magához hívta fiát és elmondta nekik, hog rájuk hagja N db tevéjét. A tevék K-ad részét a legidősebb, L-ed részét a középső és M- ed részét pedig a legkisebb fia kapja. A kereskedő halála után a fiúk bajban voltak, mert az N szám K, L, M egikével sem volt osztható. Szerencsére éppen eg tevekaraván haladt át a falun és a legkisebb fiúnak támadt eg ötlete. Kölcsönkért eg tevét a karavánból. Íg az N tevét el tudták osztani egmás között a végakaratnak megfelelően és még maradt is teve, amit visszaadtak a tulajdonosának. Milen K, L, M, N számokra teljesíthető a fenti felosztás? ( K < L < M < N pozitív egész számok!) 0. Az ABC egenlő szárú háromszög AB alapon fekvő szögei 80 fokosak. A-ból az alappal 60 fokos szöget bezáró egenes a BC szárat E pontban, B-ből az alappal 70 fokos szöget bezáró egenes az AC szárat D pontban metszi. Mekkora az EDB szög?. A foló egik partján áll kannibál és fehérember. Eg kétszeméles csónakjuk van, és úg kell átkelniük a folón, hog egik parton sem lehetnek többségben a kannibálok, mert akkor megeszik a fehérembereket. A csónakban ülő partot érő emberek már parton lévőnek számítanak. Milen sorrendben keljenek át, hog senkit se egenek meg a kannibálok? 9