VETÜLETTAN. Bácsatyai László

Átírás

1 VETÜLETTAN Bácsatyai László SZÉESFEHÉRVÁR, 8

2 Bevezetés Jelen jegyzet alapját a Magyarrszági vetületek c, a Szaktudás iadóháznál 6-ban megjelent tankönyv képezi A tárgyalt vetületi rendszerek tekintetében nem törekszik teljességre, kizárólag a Magyarrszágn alkalmaztt vetületi rendszerekkel fglalkzik A bevezetı általáns fgalmak után srrendben a vetületi trzuláskat és redukciókat, majd a kizárólag Magyarrszágn kidlgztt, a mindenkri magyarrszági területi sajátsságkat magukn hrdzó, a magyarrszági térképezés céljára kiválaszttt gedéziai vetületeket tárgyalja A következı részek a Gauss-féle szögtartó gömbi vetületet, a Magyarrszágn is használt nemzetközi vetületeket, a Gauss-rüger és az UTM vetületet tartalmazzák A könyv utlsó fejezetének tárgya a vetületi rendszerek közötti átszámításk E jegyzet nem pótlhatja és nem is helyettesítheti Hazay Istvánnak a gedéziai vetületek terén Magyarrszágn mindmáig alapmőnek tekinthetı munkásságát és nem versenytársa, hanem kiegészítıje kíván lenni az e témában eddig megjelent irdalmaknak Ezek közé tartznak Varga Józsefnek a BME földmérı és térinfrmatika szaks hallgatói, ill Németh Gyulának az NyME Geinfrmatikai ara hallgatói számára írt jegyzetei Törekedtem arra, hgy a számítástechnika mai színvnalának megfelelı anyagt állítsak öszsze Ezért többek között a Gauss-rüger és az UTM vetületek kivételével mind a vetületi egyenleteknél, mind a vetületi redukcióknál elhagytam a vetületi srkat és a legtöbb esetben számítógépen különösebb nehézségek nélkül prgramzható zárt képleteket fgalmaztam meg Az egyes anyagrészeket számítási példákkal egészítettem ki A vetületi rendszerek közötti átszámításk felfgásmódját a GIS és a GS technika mai fejlettségi szintjéhez igazítttam, bemutatva, hgy az átszámításkat a térben kell elvégezni: a GS mérésekbıl a térben 3 krdinátát kapunk egy, középpntjával a Föld tömegközéppntjába helyezett vnatkztatási ellipszid térbeli, ill ellipszidi földrajzi krdinátarendszerében A különbözı rszágk vetületi (és magassági) rendszereinek összekapcslása ezen keresztül lehetséges A térben megszerkesztett ábrák a síkban, sajns, nem mindig azt mutatják, amit térben látni lehetett, a síkban, a jegyzet ábrájaként sajns szegényebbé válnak Remélem aznban, hgy a jegyzetet kiegészítı pwerpints bemutató animált ábráinak megtekintése után - az ábrák megfelelı figyelemmel jbban követhetık A jegyzetben alkalmaztt jelölések több helyen különböznek a Magyarrszági vetületek c tankönyv jelöléseitıl Ennek fı ka, hgy elkerülni igyekeztem az átfedéseket, esetleges ellentmndáskat a Felsıgedézia tantárgyban követett jelölésrendszerrel A jelölések módsítására elsısrban az ellipszidi és gömbi földrajzi szélesség és hsszúság, a geidunduláció és a harántgörbületi sugár vnatkzásában vlt szükség Így is elıfrdul, hgy különbözı fgalmakat azns betővel jelöltem A geidunduláció mellett pl U-val jelölöm a hssztrzulást és

3 a jegyzet utlsó fejezetében a nrmálptenciált is Ugyanazn fejezetben visznt azns jelölés nem frdul elı, úgyhgy értelmezési prblémák remélhetıleg nem lesznek majd A jegyzet a tankönyvvel ellentétben nem tartalmaz levezetéseket, a közölt képletek többsége részben a szemléletesség kedvéért, részben azért, hgy a gyakrlati feladatk megldásában segítsen, szerepel a jegyzetben A képletek memrizálása szükségtelen, elvárható visznt, hgy a számnkérés srán a hallgatók a képletek helyét és szerepét, a bennük szereplı jelöléseket felismerjék A jegyzet alapjául szlgáló könyv megírásakr kmly támgatást és segítséget kaptam Ádám József egyetemi tanár, akadémikustól, aki tanácsaival végig segítette munkámat Hálámat fejezem ki könyvem lektrainak, Varga József egyetemi adjunktusnak és Csepregi Szablcs fıisklai tanárnak, akik részletekbe menı, helyenként szigrú ítéletükkel remélhetıleg megakadályzták, hgy könyvemben, s így remélhetıleg e jegyzetben se maradjanak tisztázatlan fgalmak, definíciók Sajns, Csepregi tanár úr már nem lehet közöttünk, hgy a Vetülettan ktatásában esetleg felmerülı prblémák megldásában segítsen, remélhetıleg minden vnatkzásban számíthatk visznt Németh Gyula fıisklai tanár úr közremőködésére, aki arunkn a tantárgy eddigi gndzója vlt A tantárgy gyakrlati fglalkzásait is az ı eddigi gyakrlatainak felhasználásával készítettem elı Székesfehérvár, 8 szeptember Bácsatyai László 3

4 Alapfgalmak A földfelszín megismerésének egyik legfntsabb segédeszköze és a mérnöki tervezés alapja a térkép Szó szerinti értelemben a térkép a térnek a képe, lyan síkbeli alktás, amely a valós földfelszín mdellezésének végterméke és a körülöttünk lévı hármdimenziós világt, illetve annak kisebb-nagybb részeit különbözı mértékő kicsinyítésben ábrázlja A földfelszín térképi végtermék célú mdellezésének flyamatát az alábbi ábrán követhetjük végig Felsıgedézia Z geid X Y Térbeli (3D, gecentrikus) mdell Vízszintes (D) mdell Földünk a valós világ Vetülettan Magassági (D) mdell Ellipszid, gömb: kis területen legjbban illeszkedik icsinyítve: térkép alapfelület: ellipszid, vagy gömb A térképezés felülete: képfelület Vetület síkja A földfelszín mdellezésének flyamatábrája A valós világ pntjai értelmezhetık egy, rigójával a Föld tömegközéppntjába helyezett (gecentrikus) térbeli derékszögő krdinátarendszerben Gyerekkrunk óta kialakult szemléletmódunknak megfelelıen a valós világ pntjait vízszintes (D, kétdimenziós mdell), függıleges (D, egydimenziós magassági mdell) helyzetükkel adjuk meg A Föld vízszintes, kétdimenziós mdelljét több lépésben (közelítésben) állítjuk elı: Geid: a Föld nehézségi erıteréhez kapcslódó, zárt matematikai frmában nem leírható, idealizált térbeli felület, a nyugalmban lévı közepes tengerszint felülete Nem alkalmas arra, hgy egy matematikailag szigrúan megalapztt térképrendszert érthetı frmában ráépítsünk Alapfelület: matematikailag visznylag egyszerően leírható, szabálys térbeli felület, frgási ellipszid, vagy gömb 3 épfelület: az alapfelülethez illesztett sík, vagy síkba fejthetı felület Az alapfelület és a képfelület egy lehetséges kapcslódását mutatja be az alábbi ábra: 4

5 alapfelület képfelület 4 Vetület: a képfelület síkba terítésével jön létre 5 Térkép: a vetület szükség és cél szerinti kicsinyítése A kicsinyítés mértékszáma a térkép méretaránya: M = térképi méretarány= térképi hssz vetületi hssz Az egydimenziós magassági mdell kétféleképpen értelmezhetı: A geidhz képest: középtengerszint feletti magasság, H Az ellipszidhz képest: ellipszidi magasság, h A két fajta magasság különbsége a geidunduláció: U = h H A dmbrzatábrázlást is tartalmazó (szintvnalas) térképek a geidhz képest értelmezett magassági mdellre épülnek A valós földfelszínrıl az alapfelületre (ellipszidra) történı áttérés fizikai és matematikai törvényszerőségeivel a Felsıgedézia, az alapfelületrıl a vetületre való áttérés matematikaigemetriai összefüggéseivel, jellemzı tulajdnságaival pedig a Vetülettan fglalkzik A vetítés Az alapfelületrıl a képfelületre vetítéssel térünk át A vetítés matematikai összefüggésekkel történhet gemetriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı, gemetriailag nem szemléltethetı módn Az elsı esetben a vetítést valamilyen vetítési középpntból végezzük és vetítısugarakkal közvetítjük Ha a vetítési középpnt a végtelenben van és a vetítısugarak a képfelületre merılegesek, rtgnális, vagy derékszögő vetítésrıl (a ábra), ha a vetítısugarak párhuzamsak, de 5

6 a képfelületre nem merılegesek, klingnális, vagy ferdeszögő vetítésrıl (b ábra) beszélünk Ha vetítési középpnt a végesben van, a vetítés centrális (c ábra) C e e e e e e Vetítés vetítısugarakkal a) rtgnális vetítés, b) klingnális vetítés, c) centrális vetítés A másdik esetben a vetítési középpnt és a vetítısugarak helyzete gemetriailag nem szemléltethetı, a vetített pntk gemetriailag nem szerkeszthetık Alap- és képfelületek A frgási ellipszid a) b) c) A Föld tengelykörüli frgása következtében létrejövı centrifugális erı a Földet a frgástengelyére merılegesen széthúzza Ez kzza a Föld lapultságát, ami a kétdimenziós mdellalktás lépésében kéttengelyő, ún frgási ellipszidt eredményez (ábra) frgástengely b q a meridián-ellipszis a Egyenlítı A frgási ellipszid paraméterei Ha az ellipszidt a frgástengelyén áthaladó síkkal elmetsszük, a meridián-ellipszishez jutunk A földi ellipszid méretét és alakját az ellipszid fél nagytengelyével, a-val és fél kistengelyével, b-vel adják meg Az a és b értékekbıl levezethetı a frgási ellipszid lapultsága: 6

7 f a b = a Meghatárzásuk idejétıl, helyétıl és módjától függıen az egyes frgási ellipszidk méretei különböznek egymástól Az alábbi táblázatban összefglaljuk a Magyarrszágn is használats ellipszidk a, b és f paramétereit Az ellipszid özlésének a (m) b (m) f neve éve Bessel , ,963 :99,53 raszvszkij ,9 :98,3 IUGG/ ,56 :98,47 WGS ,34 :98,57 Az alábbi ábrán a frgási ellipszidhz tartzó térbeli derékszögő és a felületi krdinátákat mutatjuk be A két rendszer között az átszámítás zárt képletekkel történik Z ellipszidi nrmális (ϕ, λ, h) ezdı-meridián O N ϕ λ h Q α ellipszidi azimut A pnt ellipszidi meridiánja Y X Ellipszidi egyenlítı síkja Az X, Y, Z ellipszidi térbeli rendszer rigója az ellipszid középpntja Az ellipszid felületébıl az ellipszid frgástengelyén átfektetett síkk a meridiánkat, az Egyenlítı síkjával párhuzams síkk a szélességi köröket metszik ki Valamely pnt ϕ ellipszidi szélességén a pnt nrmálisának (amely a póluskban és az Egyenlítı pntjain emelt nrmálisk kivételével - nem megy át az ellipszid középpntján) az ellipszidi egyenlítı síkjával bezárt szögét, λ ellipszidi hsszúságán a pntn átmenı meridiánnak a kezdı-meridiánnal bezárt szögét értjük A kezdı-meridián elvileg tetszıleges lehet, rendszerint a Greenwich-i meridiánnal egyezik meg α - ellipszidi azimut, a Q ellipszidi ív érintıjének a pnt meridiánjának pntbeli érintıjével közbezárt szöge Az ábrán még N az ellipszid harántgörbületi sugara a pntban, h az ellipszidi magasság A gömb isebb rszágk térképi ábrázlásánál az ellipszidt gömbbel is helyettesíthetjük Ekkr a meridiánk is hsszúsági körök lesznek és a számításk összefüggései is lényegesen leegyszerősödnek, mivel a gömbi nrmálisk a gömb középpntján mennek keresztül Az alábbi ábrán a gömbhöz tartzó gömbi derékszögő és a gömbi felületi krdinátákat mutatjuk be: ϕ gömbi szélesség, λ gömbi hsszúság, φ - pólustávlság 7

8 Z (ϕ, λ) gömbi nrmális Gömbi kez- dı- φ ϕ λ R h α gömbi azimut Q A pnt gömbi meridiánja Y X Gömbi egyenlítı síkja Az alábbi táblázatban az ellipszid és a gömb fnts paramétereit, valamint a derékszögő és a felületi krdináták közötti átszámítás összefüggéseit fglaljuk össze Megnevezés Ellipszid: jelölések és összefüggések Gömbi megfelelı (R a gömb sugara) az alapfelület fél nagytengelye a R az alapfelület fél kistengelye b R lapultság (arányszám) f = ( a b) / a = /α ( α = a /( a b) ) elsı excentricitás négyzete e = ( a b ) / a másdik excentricitás négyzete e = ( a b ) / b harántgörbületi sugár (meridiánra merıleges irányú) N a ( e sin ϕ) = / R a( e ) meridián irányú görbületi sugár M = 3 / R ( e sin ϕ) derékszögő krdináták számítása a felületi krdinátákból felületi krdináták számítása a derékszögő krdinátákból X = ( N + h) csϕ cs λ Y = ( N + h) csϕ sin λ ( b N + ) sinϕ Z = h a p = X + Y θ = arctan Z a p b Z + e b sin = arctan p e a cs ϕ 3 Y λ = arctan, X p h = N csϕ 3 θ θ - X = ( R + h) csϕ cs λ Y = ( R + h) csϕ sin λ Z = ( R + h) sinϕ p = X + Y - Z ϕ = arctan p Y λ = arctan X p h = R csϕ 8

9 Földrajzi krdináták A tvábbiakban az ellipszidi és a gömbi jelzık helyett a földrajzi hsszúság, földrajzi szélesség, földrajzi azimut kifejezéseket fgjuk használni akkr, amikr tárgyalásunk mind az ellipszidra, mind a gömbre vnatkzhat A földrajzi szélesség és földrajzi hsszúság fgalmakat a földrajzi krdináták kifejezésben fglaljuk össze A sík A földfelszíni pntk térképi ábrázlásánál az alapfelületi pntkat a vetület síkjában adjuk meg és a számításkat a vetületi síkban definiált krdinátarendszerben (vetületi krdinátarendszer) hajtjuk végre +x A fenti ábrán ún délnyugati, ill északkeleti tájékzású vetületi krdinátarendszert látunk, azaz a rendszer +x tengelye délre, ill északra, +y tengelye nyugatra, ill keletre mutat A fenti ábra jelölései: y, x sík derékszögő krdináták, y = y y, x = x x - krdinátakülönbségek, Q +y δ Q δ irányszög y Q Q d y Q δ Q x Q a) Q y x x Q +x x Q x x Q δ Q y y Q d b) Q δ Q y Q +y +x É f É t µ Meridián képe δ Q α +y A vetületi krdinátarendszerben értelmezzük még az alábbi fgalmakat: α - földrajzi azimut (szögtartó vetületeknél), δ - irányszög, µ vetületi meridiánknvergencia, Az É f és É t jelölések az alapfelületi és a vetületi (térképi) északi iránykat jelentik 9

10 Vetületi egyenletek Az alap- (ellipszid, gömb) éss a képfelület (vetület) között a kapcslatt a vetületi egyenletek teremtik meg Utóbbiak az y és x vetületi krdinátákat fejezik ki a ϕ földrajzi szélesség és a λ földrajzi hsszúság függvényében Szimblikus jelöléssel: y = f x = f ( ϕ, λ) ( ϕ, λ) A vetületi egyenletekkel szemben az alábbi feltételeket kívánják meg: az alapfelület minden pntjának csak egy és csakis egy pnt feleljen meg a képfelületen, a vetületi egyenletek flytnsak és differenciálhatók, deriváltjaik szintén flytnsak le- függvényé- gyenek, kielégítsék a (vetületi) trzuláskra megadtt követelményeket Frdítva, a ϕ és λ földrajzi krdinátákat kifejezhetjük a vetületi krdináták ben: ϕ = fϕ ( y, x) λ = f y, x Utóbbiak az ún inverz vetületi egyenletek A vetületi egyenleteket nem minden térképezendı pntra használják rlátztt számú pnt földrajzi krdinátái és a szmszéds pntk közötti földrajzi azimutk meghatárzása után azkat a vetületi egyenletek segítségével számítják át vetületi krdinátákká és irányszögekpntt már a sík de- ké Az ily módn definiált vetületben tvábbi, immár tetszıleges számú rékszögő krdinátarendszerben érvényes összefüggések felhasználásával határznak meg, a vetületi egyenletek alkalmazása nélkül Vetületi trzulásk és redukciók y x λ ( ) Az alapfelületi alakzatk trzulnak a síkban Az alapfelületi görbe vnalak és felületek képfelületre vetítésekr nem elhanyaglható trzu- és a síkban áb- lásk lépnek fel A térképalktás srán arra kell törekednünk, hgy a síkrajzt rázlt dmbrzatt alktó természetes és mesterséges tereptárgyakat lehetıleg valódi alakjuk-

11 ban vagy ahhz minél közelebb mutassuk be Ebbıl a szempntból a trzulásk annál nagybbak, szembetőnıbbek és zavaróbbak, minél nagybb az alapfelületnek az a része, amelyet a térképen ábrázlni akarunk Szélsı esetben, ha például az egész Földet egy térképen kívánjuk ábrázlni, a fenti ábrán vázlt helyzet állhat elı, amikr az egyes földrészek térképi területe jelentıs mértékben ellentmnd a valóságs területi adatknak Frdítva, minél kisebb a térképen ábrázlni kívánt felület, annál kisebbek a trzulásk, míg végül eljutunk egy akkra területhez, amelynek térképi ábrázlásakr a térképezési gyakrlat szempntjából a trzulásk mértéke már elhanyaglható E terület nagysága a térkép méretarányától és a térképi ábrázlás elıírt megbízhatóságától függ, s emiatt relatív Határzzuk meg azt a - méretaránytól függı - legnagybb területet, amelyen belül a trzulásk figyelmen kívül hagyhatók A területi krlátk betartása esetén vetítésre nincs szükség Induljunk ki abból, hgy a grafikus térképen az egymáshz, mm-nél közelebb esı pntkat már nem tudjuk egymástól megkülönböztetni Ez pld : méretarány esetén a vetületben,mm = mm = m -nek felel meg A trzulás mértéke a felület nagyságától függ Az alapfelület R sugara mintegy 638 km A γ az s alapfelületi hsszhz tartzó középpnti szög Az s hssznak az érintési síkra, más szóval, a pnt vízszintes síkjára vetített értéke d A kettı különbsége az s hssz trzulásának a vetületben megengedhetı mértéke, esetünkben m =, km Az ábrából s s = R sin s, R s, = 638 sin s 638 A fenti egyenletet az s = 5 km érték elégíti ki, azaz a trzulást a pnt környezetében mintegy 5 km-es sugarú körben hagyhatjuk figyelmen kívül isebb méretaránynál s értéke nagybb, nagybb méretaránynál kisebb ld nagybb, : méretaránynál s = 3 km Vetületi trzulásk s = d s = R sin γ s, Az alábbi ábra a) balldali része az alapfelület végtelen kis részét, b) jbbldali része a képfelület megfelelı végtelen kis részét mutatja be A balldali elemi kis hármszög α földrajzi azimut melletti befgója M dϕ, szemközti befgója r dλ, az átfgó ds M a meridián irányú görbületi sugár, r = N csϕ, ahl N a haránt irányú görbületi sugár Az alapfelületi

12 M dϕ befgónak a dx, az r dλ befgónak a dy, a ds átfgónak a dd, az α azimutnak a β, a df elemi kis területnek a dt, a ϕ,λ pntnak az x, y pnt felel meg a vetületben A vetületek többségében a vetület x tengelye az alapfelületi meridián képe, az y tengely erre merıleges ϕ + M dϕ r dλ ϕ + M ϕ, λ + r d dλ x + dx dy y + dy, x + dx M dϕ α ds ϕ,λ dx dd a) y, x b) Végtelen kis felületek az alapfelületen és a képfelületen A fenti ábrabeli két hármszög hsszban, szögben és területben jelentkezı eltérései a vetületi trzulásk A vetítés srán a hsszak és területek trzulásával általánsságban a szögek is trzulnak A vetületi egyenletek aznban megválaszthatók úgy, hgy valamelyik mennyiség a másik rvására a vetítéssel ne váltzzn Lineármdulus A hsszak el nem kerülhetı váltzása a vetületen azt jelenti, hgy a vetítéskr az alapfelületi méretek pntról pntra a helytıl függıen különbözı méretekben képzıdnek le a képfelületen Ezt a váltzást a hsszak trzulását jellemzı lineármdulussal értelmezzük: dd l = ds A lineármdulus kifejezi, hgy egy alapfelületi s hssz végtelen kis ds váltzásának a vetületi d hssz (ábra) mekkra végtelen kis dd váltzása felel meg Általáns esetben dd ds A lineármdulus fenti összefüggésébıl kiindulva az alábbi összefüggés vezethetı le: Az összefüggés jelölései: Az l = cs α + Q sin α + T sin α E =, M F G Q =, T = M r r x y E = +, ϕ ϕ x x y y F = +, ϕ λ ϕ λ x G = λ y + λ parciális deriváltakból álló mennyiségek az ún Gauss-féle állandók, α a földrajzi azimut β

13 élda: A gömbre, mint alapfelületre vnatkzó vetületi egyenletek legyenek az alábbiak: Határzzuk meg a lineármdulust! épezzük az alábbi parciális deriváltakat: Tvábbá mert a földgömbre y = R λ x = R ϕ y y x x = R; = ; = R; = λ ϕ ϕ λ E = = R ; F = ; G R, = ; Q = ; T =, cs ϕ M = R, N = R, r = R csϕ, R a földgömb sugara A lineármdulus összefüggésébe helyettesítve, írhatjuk: l = cs α + sin α cs ϕ Számítsuk ki az l lineármdulusnak a gömbi meridián és a gömbi szélességi kör irányába esı m, ill n értékeit! g A gömbi azimut a meridián irányában α = értékeit az l képletébe helyettesítve, kapjuk:, a szélességi kör irányában l ( ) = m =, l α ( α 9 ) = n = = = csϕ g α = 9 A gömbi meridián hssza a vetületben nem szenved trzulást, a szélességi kör hssza az egyenlítıtıl való távlság függvényében -tıl -ig váltzik Vetületi fıirányk Az alapfelület minden egyes pntjánál van két egymásra merıleges vnal, amelyek vetületei is merılegesek Ezek az irányk a vetületi fıirányk, az I és a II vetületi fıirány A vetületi fıiránykba esı lineármdulusk mindig extremálisak, azaz lmax maximális, vagy l min minimális értéket vesznek fel Trzulási ellipszis (Tisst-féle indikatrix) Az alapfelület tetszıleges pntjába helyezett, végtelen kis kör képe a vetület megfelelı pntjában ellipszis, az ún trzulási ellipszis, vagy a Tisst-féle indikatrix Mivel, mint mndtuk feljebb, a vetületi fıiránykba esı lineármdulusk extremálisak, a trzulási ellipszis a és b féltengelyei a vetületi fıiránykkal esnek egybe Ábránkn a kör sugarát egységnyinek választttuk! Az g α 3

14 ϕ x ϕ ϕ Vetület m a λ b x n λ y Az alapfelületen végtelen kis sugarú kör képe a vetületen a trzulási ellipszis (Tisst-féle indikatrix) Az ábrán y, x az alapfelület ϕ,λ ellipszidi krdinátájú pntjának vetületi krdinátái, m a meridián irányú és n a meridiánra merıleges (haránt-) irányú lineármdulus Szögeltérés λ A szögek trzulását a a) b) γ = γ γ szögeltéréssel, s annak υ = γ max maximális értékével jellemezzük (ábra) y γ γ Tetszıleges alapfelületi γ szög képe γ' A fenti összefüggésben γ két tetszıleges irány közbezárt szöge a képfelületen, γ a megfelelı irányk által bezárt szög az alapfelületen A maximális szögeltérés értéke a vagy a összefüggésbıl fejezhetı ki Azimut eltérése a képfelületen a b sin υ =, () a + b a b tan υ = () a b A lineármdulus általáns egyenlete c fejezet ábrája szerint az α földrajzi azimutnak a képfelületen a β szög felel meg A β értékére α függvényében az alábbi összefüggések vezethetık le: M H tan β =, r E ctα + M F 4

15 vagy tan β = M H tanα r E + M F tanα A földrajzi azimut képe és a földrajzi azimut egymástól az alábbi összefüggés szerint térnek el: A tan ( α ) = ( M H r E) tan β és tan α szögek hányadsa: tanα M F tan α () r E + M F tanα + M H tan α β tan β M H = () tanα r E + M F tanα A már ismert jelöléseken túl a fenti összefüggésekben élda: H = E G F Számítsuk ki a Lineármdulus c fejezet példájában szereplı gömbi vetületre a gömbi azimut eltérését! tvábbá R a földgömb sugara E = = R ; F = ; G R, Az () összefüggésbe helyettesítve, írhatjuk: tan ( α ) Számítsuk ki ( β α ) y = R λ, x = R ϕ H = = E G F R, r = R csϕ, 3 3 ( M H r E) tanα M F tan α ( R R csϕ) csϕ + R tanα tan α β = 3 3 = r E + M F tanα + M H tan α R tan, valamint ( α ) ( csϕ) tanα = csϕ + tan α β tan β tanα A tan ( β α ) képletébe helyettesítve, kapjuk: g értékétα csϕ = 45 mellett! tan β ( β α ) ( α = 45 ) =, = + csϕ tanα csϕ tan ϕ = - nál : tan = 45 α = ϕ ( β α ) ( ) = = ; ( β α ) ( ) =, = tan β tanα α 45, tan β tanα ( β α ) ( ) = = ; ( β α ) ( ) = 45, = = 9 - nál : tan α = 45 α = 45 5

16 Fkhálózati vnalak merılegességének feltétele A meridiánk és a szélességi körök az alapfelületen egymásra merılegesek A meridiánknak és a szélességi köröknek a vetületben megfelelı vnalak a fkhálózati vnalak képei Utóbbiak akkr merılegesek egymásra, amikr Területi mdulus x x y y F = + = ϕ λ ϕ λ A vetületen lévı végtelen kis dt terület és a megfelelı alapfelületi df felület hányadsát területi mdulusnak nevezzük τ = dt df d s m df d s p Vetület d d m χ dt d d p Az alapfelületi végtelen kis felületnek végtelen kis vetületi terület felel meg Az ábrából: dt dd = m p χ, df = ds m dd ds p sin dt τ = df dd = dd p sin χ dd = ds ds ds m m p m m dd ds p p sin χ A képletekben m d p d s, ds a meridián és a szélességi körök végtelen kis ldalai az alapfelületen, m d d, d a megfelelı ldalak a vetületben Az dd m d s m = és m p dd p n = a meridián-, ill a szélességi kör menti lineármdulusk, ezért ds p τ = m n sin χ Φ a m χ n b 6

17 Az ábra és Apllnius tétele szerint A szélességi körön, α = 9 -nál τ = a b E G H H τ = m n sin χ = = () M r E G M r A hsszak, szögek és területek fenti trzulásainak mértékszámai minısítik a vetületek használhatóságát, alkalmazásuk feltételeit Az alapfelület ábrázlása a képfelületen Az alapfelület szögtartó ábrázlása Az alapfelület szögtartó (knfrm) ábrázlása srán egy végtelen kis alapfelületi idm alakja a vetületben hasnló marad és a υ maximális szögeltérés zérus A Lineármdulus c fejezetben megadtt l = cs α + Q sin α + T sin α függvénynek tt van szélsıértéke, ahl az α szerinti elsı derivált : ( csα sinα + Q cs α + T sinα csα ) dα l dl = dl = Q cs α + α dα ( T ) sin = Ebben az összefüggésben az egyenlıség akkr áll fenn, ha Q = és T = F G Q = és T = jelöléseket A fkhá- M r r E Ugyanebben a fejezetben ismertettük a =, M lózati vnalak képeire vnatkzó x x y y F = + = ϕ λ ϕ λ F merılegességi feltétel teljesülése esetén Q = =, ekkr a T = kifejezésbıl M r E G = M r A lineármdulus l = cs α + Q sin α + T sin α E G képlete alapján α = mellett m = l α = = és n = l = 9 M α =, ezért r m = n Ebbıl következik a szögtartó ábrázlás alábbi szükséges és elégséges feltétele: 7

18 m = n, azaz a lineármdulus minden irányban egyenlı A szögtartó ábrázlás feltételei: 3 a = b = m = n = l τ = a υ = Az alapfelület ekvivalens és területtartó ábrázlása Az alapfelület ekvivalens ábrázlásakr egy végtelen kis vetületi terület és a megfelelı alapfelületi felület aránya megmarad: dt τ = = κ d F Területtartó vetületeknél κ =, vagyis τ = Írjuk fel a területi mdulusra vnatkzó alábbi összefüggéseket: τ = a b = τ = m n sin χ = H τ = = M r A területtartóság feltétele az utlsó összefüggésbıl: H = M r Tekintettel a Szögeltérés c fejezet () képletére is, a területtartó ábrázlás feltételei az alábbiak: a = ; b τ = Az alapfelület általáns trzulású ábrázlása 3 b = a υ a b tan = Az általáns trzulású vetületeknél a szögek és a területek is trzulnak Ilyen vetület pld a meridián mentén hssztartó vetület, amelynél a meridián-menti lineármdulus egységnyi: a b; b = ; υ ; τ 8

19 Trzulási ellipszisek különbözı trzulású vetületekre A különbözı trzulású vetületeknél az alapfelület tetszıleges pntjaiban felvett azns mérető végtelen kis kör képe általában más-más alakú, mérető és elhelyezkedéső ellipszis lesz Az alábbi ábrán néhány különbözı trzulású vetület trzulási ellipsziseit láthatjuk a földrajzi szélesség függvényében A vetületi fıirányk egybeesnek a meridiánkkal és szélességi körökkel, vagyis a trzulási ellipszis b fél kistengelye a meridián, az a fél nagytengelye a szélességi körök irányába esik A vetületek kezdıpntja az Egyenlítı és egy tetszıleges meridián metszéspntja A meridiánra merıleges irányú lineármdulus legyen mind a hárm típusú vetületnél a = csϕ 6 3 a = b = a =,5 b =,5 9 6 a = b = a = a =,5 9 b =,5 6 3 b =,86 3 a = b = a = b = a =,5 b = a = b = a = b = a = b = -3 a =,5 b =,5-3 a =,5-3 b =,86-6 a = - 6 b =,5 a =,5 b = a = b = - 6 a = b = -9 a = b = -9 a = b = a = b, υ = a b, υ a b, b = τ = a τ = υ, τ Szögtartó vetület Területtartó vetület Meridián mentén hssztartó vetület Trzulási ellipszisek A szögtartó vetületeknél a trzulási ellipszis a = b miatt a vetületen is kör lesz, alakja és elhelyezése állandó, mérete pedig a vetület tulajdnságainak megfelelıen váltzik Olyan vetület, 9

20 amely minden távlságt a vetület minden pntjában helyesen tudna rögzíteni, nem létezik Létezhet aznban lyan vetület, amely biznys pntkban, ill vnalak mentén hssztartó, sıt, akár egyidejőleg és ugyantt szögtartó is lehet (pl a Marinus-féle két szélességi kör (ϕ, ϕ ) mentén hssz- és szögtartó vetület) ϕ ϕ Vetületek csprtsítása Marinus-féle két szélességi kör mentén hssz- és szögtartó vetület A trzulás szerinti megkülönböztetésen túl a vetületeket más szempntk szerint is csprtsítják Valódi és képzetes vetületek A valódi és a képzetes vetületeket a fkhálózat képének alakulása különbözteti meg egymástól Valódi vetületrıl beszélünk, ha a fkhálózati vnalak képei merılegesek, ellenkezı esetben a vetület képzetes Utóbbiak között nincs szögtartó vetület Mindkét típusú vetületnél lehetnek gemetriailag megszerkeszthetı és szemléltethetı, ill gemetriailag nem szemléltethetı vetületek Csprtsítás a képfelület alakja szerint A képfelület alakja szerint megkülönböztetünk henger, kúp és azimutális vetületeket Hengervetület úpvetület Vetületek alakjuk szerint Azimutális(sík) vetület

21 Csprtsítás a képfelület Földhöz visznyíttt elhelyezése szerint A Föld póluskat összekötı átmérıjéhez képest a képfelület tengelyét hármféleképpen helyezhetjük el Sík esetében mst tengely alatt egy síkra merıleges egyenest értünk Eszerint megkülönböztetünk nrmális (pláris) transzverzális (ekvatriális) és ferde tengelyő vetületeket Nrmális elhelyezéső vetületnél a képfelület tengelye a Föld frgástengelye, transzverzális vetületnél a képfelület tengelye az egyenlítı síkjában van Ferde tengelyő vetületnél a a képfelület tengelye átmegy az alapfelület (ellipszid, gömb) középpntján Nrmális Transzverzális Ferde tengelyő Érintı és süllyesztett vetület Vetületek a Földhöz visznyíttt elhelyezésük szerint Érintı vetületnél az alapfelület érinti, süllyesztett (metszı) vetületnél metszi a képfelületet Érintı henger- és kúpvetületeknél az alapfelület a képfelülettel egy képfelületi vnal mentén, azimutális vetületnél egy képfelületi pntban találkzik, süllyesztett vetületnél a találkzás mindig az alapfelület és a képfelület metszésvnala Érintı Süllyesztett özvetlen és közvetett vetítéső vetület Érintı és süllyesztett vetület Egy vetületet közvetlen vetítésőnek mndunk, ha az ellipszidról a vetítés közvetlenül a síkra, vagy síkba fejthetı felületre (henger, kúp) történik özvetett vetítéső a vetület akkr, ha a ve-

22 títés kettıs, vagyis ha a vetítést elsı lépésben az ellipszidról gömbre (Gauss-gömb), másdik lépésben a Gauss-gömbrıl a síkra végezzük el Vetületi redukciók A képfelületen jelentkezı trzulásk miatt a térképi ábrázláskr az alapfelületi (a földfelszínrıl az alapfelületre redukált) távlságkat, szögeket és területeket krrigálnunk kell A krrekcióra szlgáló mennyiségeket vetületi redukcióknak nevezzük meridiánjának képe É f É t Q meridiánjának képe É f É t +x µ β Q δ Q Q ged vnal képe s Q d Q Q µ Q Q δ Q β Q +y Helymeghatárzó adatk a vetületben A fenti ábrán a földrajzi helymeghatárzó adatk képeit és a megfelelı vetületi helymeghatárzó adatkat fglaljuk össze Az ábrán a és Q az alapfelületi pntk megfelelıi, β Q és β Q az α Q és α Q a földrajzi azimutk képei, amelyek szögtartó vetületben megegyeznek a földrajzi azimutkkal: β = α É f földrajzi észak, az alapfelületi meridiánk képeihez a vetületi és Q pntkban szerkesztett érintık iránya Az alapfelületi meridiánknak a vetületi krdinátarendszer +x tengelyével párhuzams egyenesek (szkáss nevük: térképi észak, jelölésük É t ), az alapfelületi legrövidebb vnalnak, a gedéziai vnalnak a vetületi krdinátarendszerben a síkbeli legrövidebb vnal, a d Q egyenes szakasz, az α Q földrajzi azimutnak a δ Q irányszög, az α Q földrajzi azimutnak a δ Q irányszög felel meg Az ellipszidi adatkat a vetületre való áttérésnél az alábbi vetületi redukciókkal kell módsítanunk elsı irány- és szögredukció, hssztrzulási tényezı és hsszredukció, területtrzulási tényezı és területi redukció, másdik irány- és szögredukció, gömbi szögfölösleg, vetületi meridiánknvergencia Elsı irány- és szögredukció Az iránymdulus Azimutredukció: A β vetületi azimut és a megfelelı α földrajzi azimut különbsége:

23 = β α α Αz azimutredukciót számíthatjuk az Azimut eltérése a képfelületen c fejezet tan( β α ) -ra felírt () összefüggésébıl Egy tetszıleges alapfelületi irány vetületbeli azimutját megkapjuk, ha az α alapfelületi azimuthz az azimutredukció értékét hzzáadjuk: ΙΙ β = α + α ΙΙ α ω Vetület b β ω Ι a Ι Az I és II vetületi fıirány A fenti ábrán a trzulási ellipszis szélességi kör irányába esı a féltengelyének iránya legyen az I, a meridián irányába esı b féltengelyének iránya a II vetületi fıirány Jelöljük ω = 9 α - val és ω = 9 β -val egy tetszıleges alapfelületi iránynak, ill a megfelelı vetületi iránynak a I vetületi fıiránnyal bezárt szögeit Elsı irányredukció alatt definíciószerően a különbséget értjük A tvábbiakban = ω ω = α, β = α Az elsı szögredukció két irányra vnatkzó elsı irányredukciók különbsége: Az hányads az iránymdulus A tvábbiakban sz = tan ω i = tanω tan ω = ; tanω = tan β tanα miatt és az Azimut eltérése a képfelületen c fejezet () képletét figyelembe véve 3

24 i = tanω = tanω tanα = tan β r E + M F tanα M H A jegyzetben tárgyalt vetületek mind szögtartóak, így mind az elsı irányredukció, mind az elsı szögredukció értéke zérus, a = b, i = Hssztrzulási tényezı és hsszredukció Az alapfelület két pntjának képét a vetület síkjában összekötı vnal a d egyenes szakasz A d hssz és az alapfelületi pntk közötti legrövidebb s vnal hsszának hányadsát hssztrzulási tényezınek, különbségüket hsszredukciónak nevezzük: Hssztrzulási tényezı: d képfelületi hssz m = = () s alapfelületi hssz Hsszredukció: s = d s = képfelületi hssz alapfelületi hssz Írjuk fel az () összefüggést az d m = = m + U () s alakban A () képletben m egy elıre megválaszttt knstans érték, neve a redukálás mértéke, az U érték a hssztrzulás A hssztrzulás értékét Magyarrszágn szkás U = - ben megszabni, de ezt követelményt csak a ferdetengelyő érintı hengervetületeknél sikerült betartani Ha m =, érintı vetületrıl beszélünk Az alapfelület és a képfelület találkzásánál nyilvánvalóan a hssztrzulás, bárhl máshl pzitív (a) ábra) A hssztrzulás értékét csökkenteni, s ezzel a vetület használhatósági tartmányát növelni lehet úgy, ha m < Ez azt jelenti, hgy a vetületi egyenletekkel meghatárztt valamennyi krdinátát az -nél valamivel kisebb számmal megszrzunk, azaz az vetületi egyenletek az y = x = y = m x = m f f y x f f ( ϕ, λ) ( ϕ, λ) y x, ( ϕ, λ), ( ϕ, λ) alakt öltik Ez esetben a vetület süllyesztett, az ábrázlás méretaránya váltzik úgy, hgy a vetületi számításkból kaptt távlságk a (3) képlet szerint rövidülnek Süllyesztett vetületnél a hssztrzulás értelemszerően pzitív és negatív is lehet A b) ábrán a képfelület metszi az alapfelületet, az alapfelületen belül a hssztrzulás negatív, a képfelületi hsszak rövidülnek, azn kívül pzitív, a képfelületi hsszak csak kisebb mértékben nagybbdnak A trzulásmentes helyek az alap- és képfelület metszésvnalai (ábránkn körív és egyenes metszéspntjai) (3) 4

25 A m szám megválasztásánál ügyelni kell arra, hgy a hssztrzulás mst ellenkezı (rövidülı) értelemben ne lépje túl a megengedett értéket Süllyesztett vetületek pld az Egységes Országs Vetület és az UTM vetület d s zitív és negatív elıjelő hssztrzulás A süllyesztés következtében az alapfelületi távlságk egy redukált alapfelületen értelmezhetık, a () képlet az d U m = = + = + U (4) m s m alakban írható fel A (4) ben m s a redukált távlság, U a redukált alapfelületen értelmezett hssztrzulás A (4) bıl a süllyesztett vetület hssztrzulása A tvábbiakban a () összefüggésbıl U = m U ( m U ) d = s + Az () összefüggés figyelembe vételével m = esetén m <, azaz süllyesztett vetület esetén ( + U ) s = s + s U s = U s s = d s = s, (5) ( m + U ) s = m + U s ( s = d s = s ) A hsszredukcióval redukált távlság m = esetén: + vetület alapfelület + s + m a) b) - s d d = s + s = s + U s (6) Végül, a hsszredukcióval redukált távlság az m < esetén: d = s + s = s + s( m + U ) Az U hssztrzulás az alapfelület méreteinek és a vetületi krdináták függvénye Minden vetületben van legalább egy pnt, vagy vnal, ahl a hssztrzulási tényezı értéke, a hsszredukcióé zérus Ezek a pntk, vagy vnalak: az alapfelület és a vetület érintkezési pntja, vagy vnala, ill metszésvnala A hssztrzulás értéke ezektıl távldva nı 5

26 Területtrzulási tényezı és területi redukció A hssztrzulási tényezı és hsszredukció mintájára a területtrzulási tényezıt és a területredukciót az alábbiak szerint definiálják: Területtrzulási tényezı: Területi redukció: T képfelületi terület f = = F alapfelületi terület T = T F = képfelületi terület alapfelületi terület A területtrzulási tényezı és a területi redukció a hssztrzulási tényezıtıl és a hsszredukciótól függ, e jegyzetben nem tárgyaljuk Másdik irány- és szögredukció Másdik irányredukció: A Vetületi redukciók c fejezet elsı ábráján a Q szög a vetületi síkbeli Q iránynak a megfelelı alapfelületi vnal pntnként vetített vetületbeli képéhez húztt érintıjével bezárt szöge A Q pntban fellépı másdik irányredukció értéke ettıl általában mind nagyságban, mind elıjelben különbözik Q R R s R d R ψ ψ Q d Q s Q Q Másdik szögredukció Másdik szögredukció: Szögtartó vetületben két, ugyanazn pntból kiinduló gedéziai vnal vetületbeli képéhez húztt érintık közbezárt ψ szögének és a képfelületen a megfelelı egyenes szakaszk közbezárt ψ szögének különbsége (ábra): sz = ψ ψ A másdik irány- és szögredukció értéke az alapfelület méreteitıl, a vetületi krdinátáktól és a földrajzi szélességtıl függ, nagyságuk vetületenként váltzó, szögmásdperc nagyságrendő Gömbi szögfölösleg Az alábbi ábrán a QR hármszög ldalai az d, d és d egyenes szakaszk Q R QR s, s és s képfelületi görbe vnalak és a Q R QR 6

27 s R d R R ψ ψ R R d QR s QR ψ Q ψ d Q s Q ψ Q Q ψ Q Q Másdik szögredukciók és a gömbi szögfölösleg A görbékkel határlt hármszög szögeinek összege ψ = ψ + ψ Q + ψ R Az egyenes szakaszkkal határlt hármszög szögeinek összege = + + = 8 ψ ψ ψ Q ψ R Az alapfelületet gömbnek, a képfelületi görbe vnalak alktta hármszöget megengedhetı közelítéssel gömbhármszögnek tekintjük Ismeretes, hgy a gömbhármszög szögeinek öszszege mindig nagybb 8 -nál Ekkr az különbség a gömbi szögfölösleg De ε = ψ ψ > =, ε ψ ψ = + + vagyis a gömbi szögfölösleg a hármszög csúcspntjaira vnatkzó másdik szögredukciók összege A gömbi szögfölöslegnek a vetületek másdik irányredukcióinak számításánál megkülönböztetett jelentısége van A gömbi szögfölösleg értéke megengedhetı közelítéssel a T ε = ρ R összefüggéssel fejezhetı ki, ahl ρ az radián az ε kicsinységét figyelembe véve szögmásdpercekben kifejezett értéke: ρ = 664, 8, T a gömbi hármszögnek megfelelı vetületi hármszög területe Az ellipszidi szögfölösleget a gömbi szögfölösleggel értelmezzük A gömb sugara az R = M N összefüggéssel számítható A képletben N a haránt-, M a meridián irányú görbületi sugár A gömbi szögfölösleg értéke km - es hármszögfelület esetén mindössze ε,5, km esetén, 5 ε és csak sz km -nél éri el az ε Q sz -et R sz 7

28 Vetületi meridiánknvergencia Vetületi meridiánknvergencia: Az alapfelületi meridián képéhez a vetület pntjában húztt érintınek az +x tengellyel e pntban párhuzams iránnyal bezárt szöge, jelölése µ ( Vetületi redukciók c fejezet elsı ábrája) Értéke a földrajzi, vagy a vetületi krdinátáktól és a Föld sugarától függ, a vetületek szélein eléri a szögfks nagyságrendet Az x tengelyen lévı pntkban a µ értéke zérus, mivel a térképi és a földrajzi északi irány egybeesik, az x tengely a kezdı-meridián képe Minél jbban eltávldunk mindkét irányban az x tengelytıl, annál nagybb a meridiánknvergencia értéke, vagy frdítva, minél inkább közeledünk az x tengelyhez, annál jbban tart (knvergál) a meridián képe az x tengelyhez A vetületi meridiánknvergencia elıjelét a fenti ábra szerint értelmezzük, azaz pzitívnak tekintjük akkr, ha a térképi északi irány a µ szög jbb ldali szára _ +x É f É t + µ É t = É f A vetületi meridiánknvergencia váltzása A vetületi krdináta-rendszerbeli δ Q irányszög a másdik irányredukció és a vetületi meridiánknvergencia figyelembe vételével szögtartó vetületekre (α = β) az alábbi összefüggésbıl számítható (( Vetületi redukciók c fejezet elsı ábrája): δ = + Q α Q Q µ +y 8

29 Magyarrszág saját vetületei Magyarrszág saját vetületei alatt a kizárólag Magyarrszágn kidlgztt, a mindenkri magyarrszági területi sajátsságkat magukn hrdzó, a magyarrszági térképezés céljára kiválaszttt vetületeket értjük A vetületek szögtartóak és vagy érintik, vagy metszik az alapfelületet A fejezetben keletkezésük srrendjében az alábbi vetületeket tekintjük át: - Szteregrafikus vetület, - Ferdetengelyő hengervetületek, - Egységes Országs Vetület (EOV) A szteregrafikus és a ferdetengelyő hengervetületek a történelmi Magyarrszág vetületei, kialakításuknál az rszág akkri területébıl indultak ki Mindkettı vnatkztatási ellipszidja a Bessel-ellipszid (84) A vetületek közvetett vetítésőek, vagyis a vetítést két lépésben hajtják végre: az ellipszidról elıször egy, az ellipszidt helyettesítı gömbre, a Gauss-gömbre (sugara R = 63785,966 m ) vetítenek, s csak utána a síkra, ill hengerre, mint síkba fejthetı felületre A vetületek valódiak, azaz a fkhálózati vnalak képei egymásra merılegesek Az EOV képfelülete süllyesztett henger, a vetület szintén közvetett és valódi, vnatkztatási ellipszidja az IUGG/967 elnevezéső ellipszid, Gauss-gömbjének sugara R = ,m A felsrlt vetületek : : méretaránya mellett az rszágt a térképlapk kezelhetetlen nagysága miatt egy térképen nem lehet ábrázlni Emiatt a gedéziai felmérés eredményeit több, egymáshz csatlakzó térképlapn, más néven szelvényen, vagy szelvénylapn ábrázljuk Abból a célból, hgy a választtt vetületi rendszerben a szelvények összefüggését biztsítsuk, azkat a szelvényhálózatban helyezzük el úgy, hgy a csatlakzó hálózati vnalak mentén a térképi ábrázlás az egyes szelvénylapkn átfedés és hézagmentes legyen A térképi tartalm hely szerinti aznsítása, az egyes szelvények egymástól való elkülönítése céljából az egyes szelvénylapkat számzzák, rajtuk feltüntetik a vetületi krdinátatengelyekkel párhuzams egyeneseket, esetleg a fkhálózati vnalak képeit A szteregrafikus és a ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózata öl-, ill méterrendszerő A méterrendszer bevezetése elıtt a hazánkban alkalmaztt mértékegység a bécsi ölrendszeren alapuló öl (a széttárt kark ujjvégei közötti távlság) vlt A bécsi öl tvábbsztása a 6-s rendszerben történt: öl = 6 láb, láb = hüvelyk, hüvelyk = vnal A területmértékek közötti összefüggések pedig az alábbiak: négyszögöl = öl, kataszteri hld = 6 öl, négyzetmérföld = 4 öl 4 öl = kataszteri hld A mértékegység a méretarányt beflyáslja: az ölrendszer az alapja a térképek régi, ún kataszteri méretarányának, amelyet úgy választttak meg, hgy a térképen ábrázlt hüvelyk nek kataszteri hld feleljen meg Mivel hüvelyk = /7 öl és hld = 6 öl = 4 öl, s a kettı aránya adja a méretarányt, kapjuk: öl : 4 öl = : (7 4) = :

30 A szteregrafikus vetület A magyarrszági szteregrafikus vetület az elsı matematikai értelemben szigrúan kidlgztt vetület, keletkezésének idıpntja 863 A vetület a tárgyalt csprtsítási szempntk szerint valódi, érintı, azimutális, ferde tengelyő E pntban vetítés másdik lépcsıjét, a Gauss-gömbrıl egy vízszintes érintı síkra történı vetítést mutatjuk be A Gauss-gömböt késıbb ismertetjük A szteregrafikus vetület képfelülete egy Gauss-gömbi meridiánn a vetület kezdıpntjának választtt pnthz tartzó érintısík (ábra) Az x tengely a kezdıpntn áthaladó gömbi meridián vetületben egyenesként jelentkezı képe, pzitív ága dél felé mutat, az y tengely a kezdıpntban a meridiánra merıleges gömbi fıkör vetületben szintén egyenesként jelentkezı képe A vetítés a meridián kezdıpntjával ellentétes, az érintı gömbi körön lévı C pntjából centrálisan történik, a vetületi krdinátarendszer délnyugati tájékzású É S + y O + x Gömbi egyenlítı C ezdıpnt gömbi meridiánja D A magyarrszági szteregrafikus vetület Az U hssztrzulás a kezdıpnttól 7 km-es sugárral húztt körön éri el az U = értéket, gedéziai vetületnek elvileg e körön belül használható A történelmi Magyarrszág területe ennél jóval nagybb vlt, ezért az rszág területét hárm szteregrafikus vetülettel fedték le: A budapesti rendszer ezdıpntja a Gellérthegy nevő felsırendő alappnt gömbi megfelelıje A marsvásárhelyi rendszer ezdıpntja a esztejhegy nevő felsırendő alappnt gömbi megfelelıje E rendszerben ábrázlták az erdélyi és a kelet-magyarrszági területeket 3 Az ivanici rendszer A rendszert a délnyugati, tengerparti területek felmérésére hzták létre ezdıpntja a Zágrábtól mintegy 3 km-re keletre fekvı Ivaničgradn lévı Ivanič nevő (Zárdatrny) felsırendő hármszögelési pnt gömbi megfelelıje 3

31 A történelmi Magyarrszág hárm szteregrafikus vetülete A szteregrafikus vetületi krdináták ma a budapesti rendszerben értelmezettek A Gellérthegy földrajzi krdinátái a Gauss-gömbön: Vetületi egyenletek A kezdıpnt földrajzi szélessége: ϕ 47 = 6,37 A kezdıpnt földrajzi hsszúsága: λ =, +z +z S + y R + y O R φ λ x + x y R csϕ (x, y) ( ϕ, λ ) R sinϕ Vetítési centrum: C R csϕ csλ y = R csϕ sin λ D + x 3

32 Gömbi földrajzi és szteregrafikus vetületi krdináták A szteregrafikus vetület gemetriailag szemléltethetı, tisztán perspektív vetület, vetületi, ill inverz vetületi egyenletei a fenti ábrából kiindulva vezethetık le és kapcslatt teremtenek a gömbi földrajzi és a szteregrafikus vetületi krdináták között: csϕ sin λ y = R, + csϕ cs λ csϕ + sinϕ sinϕ csϕ cs λ sinϕ sinϕ csϕ + csϕ cs λ csϕ + sinϕ sinϕ x = R A fenti képletekben a λ -t a pnt gömbi meridiánjától keletre tekintjük pzitívnak, vagyis a gömbi földrajzi hsszúság növekedési iránya ellentétes az y krdináta növekedési irányával élda: Számítsuk ki a ϕ = ,5 gömbi földrajzi szélességő és a λ = 9,38 gömbi földrajzi hsszúságú pnt y, x budapesti szteregrafikus vetületi krdinátáit! A kezdıpnt földrajzi szélessége: ϕ 47 = 6,37 A Gauss-gömb sugara: Az eredmények: R = 63785,966 m y = -9,77 m; x = 9739,376 m Az inverz vetületi egyenletekre a vetületi redukciók számításánál és a vetületi rendszerek közötti átszámításknál lesz szükség: ct λ x sinϕ y d + R csϕ 4 R = d sinϕ = cs sin x ϕ + R 4 ϕ d R R + 4 R élda: Ellenırizzük az elızı példa számításának helyességét! y = -9,77 m; x = 9739,376 m A kezdıpnt földrajzi szélessége: ϕ 47 = 6,37 A Gauss-gömb sugara: R = 63785,966 m d = x + y = 37999,8337 m A ϕ és a λ értékei, élességgel megegyeznek az elızı példa bemenı adataival: ϕ = ,5 λ = 9,38 3

33 A szteregrafikus vetület redukciói A redukciók számításánál az alábbiakat fgadják el: a szögtartóság miatt a vetületen lévı szögek megegyeznek a megfelelı alapfelületi (gömbi) szögekkel, a kezdı-meridián képe egyenes, a vetületi kezdıpntn át nem menı gömbi körök képei körök, amelyek mindig a hmrú ldalukat mutatják a vetületi kezdıpnt felé, a vetületi kezdıpntn átmenı gömbi körök képei a vetületen egyenes szakaszk A szteregrafikus vetület U hssztrzulását a vetület lineármdulusából kiindulva, véges szakaszra vnatkzó határztt integrál képzésével határzzák meg A hssztrzulás nagysága a perspektív vetítés sajátsságainak megfelelıen az x és y krdinátákra szimmetrikus, s az alább összefüggésbıl határzható meg: ( x + x x + x + y + y y y ) U = + () R Mivel a Magyarrszágn bevezetett szteregrafikus vetület érintı, a Hssztrzulási tényezı és hsszredukció c fejezet () képletében m =, így a hssztrzulási tényezı az d m = = + U () s összefüggésbıl számítható Ugyancsak e fejezet (5) képlete szerint a hsszredukció a a hsszredukcióval krrigált távlság pedig a képletbıl számítható s = d s = U s, s = d + s A () összefüggésbıl látszik, hgy, mivel U pzitív, a hsszredukció is pzitív, azaz, amint az egyébként is könnyen belátható, a szteregrafikus vetületi távlságk nagybbak a gömbi távlságknál A kezdıpntban a hssztrzulás, attól távldva, az () összefüggés szimmetrikussága miatt, a hssztrzulás a pnt körüli kncentrikus körök mentén nı A mért távlság környezetében célszerő átlags x, y krdinátákkal számlni, hiszen a távlságméréskr a végpntk krdinátáit többnyire még nem ismerjük Az () képletben ezért x + x y + y helyettesítsünk x = -et és y = -ıt Ekkr d ( x ) + y = U = 4 R 4 R A hssztrzulás számításakr a krdinátákat és a Gauss-gömb R sugarát elegendı kerekítve,, km-es élességgel behelyettesíteni Vizsgáljuk meg, hgy a kezdıpntból kiindulva U hl éri el az U = értéket? A Gauss-gömb sugarát R 638 km -nek véve, az U hssztrzulás x = 9 km és y = 9 km, 33

34 azaz d = x + y = 7,3 km mellett éri el az -et Ez azt jelenti, hgy a vetületi kezdıpnt körül 7,3 km sugarú körön kívül az U értéke már meghaladja azt élda: Számítsuk ki az s = 85,346 m nagyságú gömbi távlság kezdıpnttól vett d távlságát, U hssztrzulását, a s hsszredukciót és a hsszredukcióval krrigált d távlságt az y = -9,77 m és 9739,376 m x = krdinátájú pnt környezetében! A krdináták és a Gauss-gömb sugara km élességgel: y = -, km, x = 9,7 m, R = 6378,5 km k d = 37,979 km, U =,6984, s =,33 m, d = 85,677 m A hsszredukció a vetületi kezdıpnttól távl dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja a távlságmérı mőszerek pntsságát, ezért nem hanyaglhatjuk el A másdik irányredukció számítható az ε T x yq x = = ρ = R 4 R Q Q y ρ összefüggésbıl Mint látjuk, a redukció értéke az ε gömbi szögfölösleg fele élda: Számítsuk ki a Q hármszög területét és a Q irányra vnatkzó Q másdik irányredukciót! A krdináták: A Gauss-gömb sugara: Az eredmények: y = -9,77 m, x = 9739,376 m y - 99,3 m, x = 93,435 m Q = R = 63785,966 m T = ,5438 m, = +,963 Q A két pnt távlsága 58,63 m A vetületi meridiánknvergencia legegyszerőbben az alábbi ábra szerint, a ( λ + δ ) µ = δ λ δ = képletbıl kapható meg A λ a gömbi földrajzi hsszúság, É a gömbi északi pólus, a É vetületi ív a pnt gömbi meridiánjának képe, λ a gömbi földrajzi hsszúság, δ = 36 δ, y δ = arctan, x x az É irány irányszöge, a a másdik irányredukció Az É pnt szteregrafikus vetületi krdinátái: É 34

35 y =, csϕ x = R = , 83 m É É + sinϕ δ É S -δ λ É t x É µ + y x B - y -δ + x Vetületi meridiánknvergencia a szteregrafikus vetületben élda: A pnt krdinátái: y = 9, 77 m, x = 9739, 376 m Számítsuk ki a pntbeli vetületi meridiánknvergenciát! tanδ = y = ; x = , 83 m É y x x É 9,77 =, ahnnan 9739, É, δ = 9 3,99, Tvábbá δ = 8 47,98 és az inverz vetületi egyenletek fenti példájából λ = 9,38 A vetületi meridiánknvergencia: ( λ + ) = ( 9, ,98 ) = 58 38,6 µ = δ 35

36 A szteregrafikus vetület szelvényhálózatai A budapesti szteregrafikus rendszer szelvényhálózata öl, illetve méter rendszerő A délnyugati tájékzású krdinátarendszerben az x tengellyel párhuzamsan helyezkednek el az szlpk, az y tengellyel párhuzamsan a rétegek Az öl-rendszerő szelvényhálózat besztásának alapja a négyzetmérföld Egy négyzetmérföld szelvényre szlik, az egyes szelvények y tengellyel párhuzams ldala öl, x tengellyel párhuzams ldala 8 öl Egy, a 4- ábrán sötétítéssel jelölt öl 8 öl mérető szelvény méretaránya :88 A jbbldali ábrán látható :88 méretarányú öl * 8 öl nagyságú területet ábrázló kataszteri térkép méteres rendszerben kifejezett méretei: - az y tengellyel párhuzamsan: ( öl : 88), cm - az x tengellyel párhuzamsan: ( 8 öl : 88), cm,, amely még visznylag könnyen kiteríthetı, illetve használható papírlap méret 3 II I I II N (nyugati szlp) (keleti szlp) 3 öl ~66 cm + y e f g h i d c b a 4 öl 4 öl 8 öl ~53 cm NI34bh M = :88 + x A szteregrafikus vetület öl rendszerő szelvényhálózata A budapesti rendszerben az egyes kataszteri szelvények számzása minden síknegyedben keletrıl nyugat felé az a, b, c, d betőkkel és minden síknegyedben északról délre az e, f, g, h, i betőkkel történik A sötétítéssel jelölt szelvény száma: NI34bh, vagyis a szelvény a nyugati I szlp és 34 réteg találkzásánál lévı 4 öl 4 öl = négyzetmérföld mérető szelvény b szlpában és h srában található Megjegyezzük, hgy a rétegek számzását a történelmi Magyarrszág északi szélétıl kell érteni A méteres rendszerben a szelvénybesztás az ún szelvénycsprtkn alapszik Egy-egy, az szlpk és rétegek határvnalaival kimetszett szelvénycsprt mérete 8 m 6 m, területe 4,8 m = 48 ha (hektár) 7 Az egyes szelvénycsprtk helyét az szlpkban nyugatra és keletre is római, a rétegekben arab számkkal jelöljük A számzás mindkét esetben a budapesti rendszer krdinátatengelyeitıl kiindulva növekszik Egy-egy szelvénycsprt 5 db 6m*m területő, : méretarányú szelvénybıl áll Az egyes térképlapk cm-ben kifejezett méretei: - az y tengellyel párhuzamsan: 6 m : =,8 m = 8 cm, - az x tengellyel párhuzamsan: m : =,6 m = 6 cm 36

37 A térképlap mérete már a használhatóság határán van Az alábbi ábrán sötétítéssel jelölt szelvény száma: DIIdh A D a délkeleti sík-negyedet, a II a másdik szlpt, a a másdik réteget jelenti A kisbetős jelölések sík-negyedenként (ÉNY, É, DNY, D), a krdináta-tengelyektıl távldva, az ábécé srrendjében követik egymást +y II I I II e d c b a e d c b a k i h g f f g h i k ÉNY DNY É D a b c d e 8 m 6 m a b c d e k i h g f f g h i k 6 m 8 cm DIIdh M = : m 6 cm +x A szteregrafikus vetület méter-rendszerő szelvényhálózata 966-tól 975-ig (az Egységes Országs Vetület EOV megjelenéséig) plgári használatra az M = : méretarányú, valójában Gauss-rüger vetülető és szelvényezéső tpgráfiai térképekre a budapesti katnai szteregrafikus rendszer kilméter-hálózati vnalait nymtatták, a szelvényeket kétszer hárm számjegybıl álló számzással látták el, pld

38 A ferdetengelyő hengervetületek A magyarrszági hengervetületek az Osztrák-Magyar Mnarchián belüli alaphálózati és térképezési önállósdási törekvések eredményeképpen ben kerültek bevezetésre A vetület a tárgyalt csprtsítási szempntk szerint valódi, érintı, ferde tengelyő hengervetület A vetület szögtartó, a szteregrafikus vetülethez hasnlóan - a vetítés kettıs, elıször a Bessel-ellipszidról a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a gömböt egy legnagybb gömbi kör mentén érintı hengerre történik a vetítés Mindhárm hengervetület x tengelye a gellérthegyi meridián, y tengelye a legnagybb gömbi kör egyenesként jelentkezı képe Az x tengely pzitív ága délnek, az y tengely pzitív ága pedig nyugatnak mutat, tehát a vetületi krdinátarendszer délnyugati tájékzású Egy hengervetület kezdıpntja sem egyezik meg a budapesti szteregrafikus rendszer kezdıpntjával, a HÉR kezdıpntja a Gellérthegytıl északra mintegy 37 km-re, a HR kezdıpntja a Gellérthegytıl délre mintegy 38 km-re helyezkedik el A hengervetületek U hssztrzulása az y tengely mentén zérus (az y tengely az érintı gömbi kör képe), az értéket az y tengelytıl számítva az x tengellyel párhuzamsan x = ± 9 km-nél éri el A történelmi Magyarrszág területét hárm hengervetületi sávban ábrázlták: HÉR - Hengervetület Északi Rendszere HR - Hengervetület özépsı Rendszere HDR - Hengervetület Déli Rendszere Mindhárm hengervetület kezdıpntjának földrajzi hsszúsága: λ =, HÉR HR HDR É A hárm ferdetengelyő hengervetület A hengervetület északi rendszere (HÉR) ábrázlja az rszág ϕ = Gauss-gömbi földrajzi szélességtıl északra esı, a mai Szlvákia egész területét, kezdıpntjának gömbi földrajzi szélessége: ϕ 48 = 4, 38

39 A hengervetületek elhelyezkedése a történelmi Magyarrszág területén A hengervetület középsı rendszere (HR) ábrázlja az rszág ϕ = és a ϕ = 46 Gauss-gömbi földrajzi szélességek közötti területét A kezdıpnt gömbi földrajzi szélessége: ϕ 47 = 6 A hengervetület déli rendszere (HDR) ábrázlja az rszág ϕ = 46 Gauss-gömbi földrajzi szélességtıl délre esı területét A kezdıpnt gömbi földrajzi szélessége: ϕ 45 = 3 59 A budapesti szteregrafikus rendszer kezdıpntjával egy hengervetület kezdıpntja sem esik egybe, hiszen a Gellérthegy Gauss-gömbi földrajzi szélessége más Vetületi egyenletek A számítás két lépésben történik, elıször az eredeti ϕ, λ rendszerrıl egy ϕ, λ ún segédföldrajzi krdinátarendszerre (ábra), majd nnan az y, x vetületi krdinátarendszerre térnek át A vetületi egyenleteket ebben a segédrendszerben (x, y, z, ϕ, λ ) írják fel Az x, y, z, ϕ, λ segédrendszerben a kezdıpnt földrajzi szélessége ϕ =,, a λ λ = λ =, és földrajzi hsszúságk pedig mindkét rendszerben λ Az átszámítás összefüggései: lépés: sinϕ = sinϕ csϕ - csϕ cs λ sinϕ, csϕ sin λ sin λ = csϕ () 39

40 +z É + z g µ É ( ϕ, λ ) ϕφ ϕ + x λ y g,y ϕ λ +x g C Segédegyenlítı D D ezdı-meridián Ferde tengelyő hengervetület és segédrendszere A lineármdulus értéke az I vetületi fıirányban (a segéd szélességi kör iránya) l l ( α ω ) = a = = 9, csϕ e =, = a II vetületi fıirányban (a segéd meridián iránya) pedig: l l ( α ω ) = b = =, 9 cs ϕ m =, = emiatt a szögtartó ábrázlás a = b = m = n = l feltétele nem teljesül A szögtartó ábrázlás érdekében a segéd meridián menti lineármdulust a segéd szélességi kör menti lineármdulussal teszik egyenlıvé: l m = l e = csϕ Ekkr a vetület gemetriailag már nem értelmezhetı: a henger csak szimbólum E meggndláskkal a vetületi egyenletek az alábbiak lépés: y = R λ, ϕ π x = R ln tan +, 4 vagy, trignmetriai átalakítás után 4

41 élda: R + sinϕ x = ln sinϕ Számítsuk ki a hengervetület középsı rendszerében a ϕ = ,3 földrajzi szélességő és a λ = ,8 földrajzi hsszúságú pnt hengervetületi krdinátáit A kezdıpnt földrajzi szélessége ϕ 47 = 6, a Gauss-gömb sugara R = 63785,966 m Az eredmények: ϕ = 33,834, λ = 7 5,936 y = 44443,573 m, x = 6935,473 m A ϕ és λ gömbi földrajzi krdináták számítása az y, x hengervetületi krdinátákból szintén két lépésben történik lépés (inverz vetületi egyenletek a segédrendszerben): ϕ = arctan y λ = R e R x π, Aϕ elıjele negatív, mert növekedési iránya ellentétes az x növekedési irányával lépés: élda: y = 44443,573 m, x = 6935,473 m vetületi k- Ellenırizzük az elızı példában számíttt rdinátákat! Eredmények: sinϕ = sinϕ csϕ + csϕ cs λ sinϕ, csϕ sin λ sin λ = csϕ ϕ = ,3, λ = ,8 A ferdetengelyő hengervetületek redukciói A hssztrzulási tényezı és hsszredukció számításánál itt is a lineármdulusból indulunk ki Az y tengely (a segédegyenlítı képe) mentén a = b =, vagyis nincs hssztrzulás, az y tengellyel párhuzamsan pedig a hssztrzulás azns, vagyis értéke csak az x krdinátától függ: U = ( x + x x + x ) () 6 R A hssztrzulási tényezı, a hsszredukció és a hsszredukcióval krrigált távlság képletei a szteregrafikus vetületnél tárgyalt összefüggésekkel egyeznek meg A hssztrzulás mértéke az x 9 km mellett éri el az U = -t 4

42 A mért távlság környezetében a számításkat közelítı, vagy átlags x krdináta bevezetésével itt is egyszerősíthetjük Az () képlet ekkr az U = 6 R 3 x x ( x ) + x + x = = 6 R R alakt ölti A hssztrzulás számításakr az x krdinátát és a Gauss-gömb R sugarát elegendı kerekítve,, km élességgel behelyettesíteni élda: Számítsuk ki az s = 48,56 m nagyságú gömbi távlság U hssztrzulását, az m hssztrzulási tényezıt, a s hsszredukciót és a hsszredukcióval krrigált d távlságt az y = -863,5 m és az x = 854,3 m krdinátájú pnt környezetében! A hssztrzulás nem függ az y-tól Az x krdináta és a Gauss-gömb sugara, km élességgel: x = 8,5 km, R = 6378,5 km Az eredmények: d U =,83645, m = + U = +,83645 =,83645, s s = d s = U s =,358 m, d = s + s = 48,864 m A hsszredukció itt is dm-es nagyságrendő, jóval meghaladja a távlságmérı mőszerek pntsságát, ezért nem hanyaglhatjuk el A másdik irányredukció számításánál felhasználjuk, hgy a segédmeridiánk valódi (pntnként vetített) képei a henger palástjának alktói, tehát a vetületi krdinátarendszerben az x tengellyel párhuzams egyenesek Ezekben az iránykban a vetületi síkn a másdik irányredukció értéke Az y tengellyel párhuzamsan a két irányredukció nagyságra egyenlı, az öszszes többi irányban visznt Fgadjuk el, hgy a gömbi pntkat összekötı gömbi Q Q ívek valódi képei hmrú ldalukkal az y tengely felé néznek Ez azt is jelenti, hgy a segédegyenlítıt metszı gömbi körívek valódi képének az y tengelyben inflexiós pntjuk van Ez utóbbi esetben elıfrdulhat, hgy a két irányredukció egyenlı elıjelő (ábra) +y +x 4

43 A gyakrlatban elıfrduló esetekben kielégítı eredményt adnak a Q k ( yq y ) b ( xq x ) ( yq y ) ( y y ) b ( x x ) ( y y ) Q = + a xk, = a x összefüggések, ahl x k a és Q pntk közepes x krdinátája, a = ρ ρ, b = R R példa: A és Q pntk ferdetengelyő hengervetületi krdinátái: Q y = -863,5 m, x = 854,3 m ; y = ,4 Q m, x = 944,8 m Q Számítsuk ki a másdik irányredukciókat! Eredmények: Q =,394,366 =,436 = +,394,366 = +,3574 példa: Q Lássunk példát egy szélsı esethez közeli helyzetre, amikr a és Q pntk x krdinátái az y tengely különbözı ldalaira esnek: y = -863,5 m, x = 3,4 m ; y = ,4 Q m, x +745,8 m Q = Számítsuk ki a másdik irányredukciókat! Q Q =,748 +,359 = +,6 = +,748 +,359 = +,7 Látjuk, hgy az ellentétes irányredukciók abszlút értékre különböznek, elıjelre visznt megegyeznek A vetületi meridiánknvergencia a Vetületi egyenletek fejezet elsı ábráján a pntnál a pnt eredeti, valamint segédmeridiánja által bezárt µ-vel jelölt kis szögérték Csak ferdetengelyő hengervetületnél jelentkezik, mert az eredeti és a segédmeridiánk nrmális elhelyezéső (a gömböt az egyenlítı mentén érintı) hengervetületnél egybeesnek A vetületi meridián-knvergencia a földrajzi krdináták, ill a vetületi kezdıpnt földrajzi szélességének függvényében a sinϕ sin λ tan µ =, () csϕ csϕ + sinϕ sinϕ cs λ a vetületi krdináták függvényében pedig a összefüggésbıl fejezhetı ki A () képletben x y ch sin tan µ = R R () x y ctϕ + sh cs R R Q Q 43

44 élda: sh x R x R x x R R e e x e + e =, ch = R x R A ferdetengelyő hengervetület középsı rendszerében (HR) a pnt krdinátái: y = 44443,574 m, x = 6935,475 m Számítsuk ki a vetületi meridiánknvergenciát! A kezdıpnt földrajzi szélessége ϕ 47 = 6, a Gauss-gömb sugara R = 63785,966 m Eredmény: = ,3697 µ A meridiánknvergencia elıjelét akkr tekintjük pzitívnak, ha pntunk a kezdı-meridiántól keletre helyezkedik el A ferdetengelyő hengervetületek szelvényhálózatai Hasnlóan a szteregrafikus vetület szelvényhálózataihz, a hengervetületeknél is öl és méter rendszerő szelvénybesztást különböztetünk meg A méter rendszerő szelvénybesztás teljes mértékben megegyezik a szteregrafikus vetület méteres szelvénybesztásával Az öl rendszerő besztás hasnlít a szteregrafikus vetület öl rendszerő szelvényhálózatáhz, azzal a különbséggel, hgy a négyzetmérföldek számzása lyan, mint a méter rendszerő besztásé Az alábbi ábrán jelzett kataszteri szelvény száma e szerint a számzás szerint DNIbh A kisbetős jelölések minden síknegyedben az ábécé srrendjében a délnyugati síknegyedhez hasnlóan követik egymást II I I II N (nyugati szlp) (keleti szlp) + y e f g h i ÉN DN d c b a É D + x A ferde tengelyő hengervetületek öl rendszerő szelvényhálózata 44

45 Egységes Országs Vetület ~38, km Részben a többfajta vetületi rendszer (eddig még nem szóltunk a Gauss-rüger vetületi rendszerő katnai tpgráfiai térképekrıl) plgári célú egységesítése, részben pedig a miatt, hgy a hssztrzulás értéke az rszág egész területén minél kisebb mértékben térjen el az - tıl, 975-ben plgári célkra új vetületi rendszert vezettek be, az Egységes Országs Vetületet, rövidítve, az EOV-t Vnatkztatási ellipszidja az IUGG/967 ellipszid Az EOV az eddig tárgyalt vetületektıl egyebek mellett abban is különbözik, hgy a szelvényezés rendszere (Egységes Országs Térképrendszer EOTR) a kis méretarányktól kezdve a legnagybb méretarányig számzásban is egységesen átfgja az eddig tárgyalt térképfajtákat Az egységesítési törekvés egészen természetes, ha meggndljuk, hgy 975-ig és még jóval utána is, az rszág különbözı területeirıl különbözı vetülető és szelvényezési rendszerő térképek álltak rendelkezésre Ez flyamatsan megkövetelte az egyes vetületi rendszerek közötti a számítástechnika akkri szintje mellett kényelmetlen átszámításkat Természetes törekvés vlt az is, hgy a plgári térképészet igyekezett elszakadni a katnaitól, nem utlsó srban utóbbi akkri szigrú titkssága miatt Az egységesítés célja vlt tvábbá, hgy mind a földmérési, mind a tpgráfiai alaptérképek vetületi rendszere és szelvényhálózata azns legyen, eltérıen attól a helyzettıl, hgy a szteregrafikus és hengervetületi rendszerek elsısrban a földmérési, míg a Gauss-rüger vetületi rendszer a tpgráfiai térképek vetülete vlt (beleértve az : méretarányú budapesti szteregrafikus rendszer krdináta vnalaival elláttt Gauss-rüger vetülető tpgráfiai térképeket) Fentiek mellett kmly szakmai érv vlt a hssztrzulás értékének csökkentése az rszág egész területén A hssztrzulásra megkívánt -es határ kmly kötöttséget jelent a vetületek alkalmazhatóságát illetıen, hiszen ezt a szteregrafikus vetületnél a kezdıpnt körüli 7 km-es sugarú kör, a ferdetengelyő hengervetületeknél pedig az y tengelytıl két irányban 9-9 km-es sáv maximálta E mellett a szögtartó szteregrafikus és hengervetületeknél a trzulásmentes helytıl eltekintve a képfelületi hsszak mindig nagybbak, mint az alapfelületiek Gellérthegy ~75,48 km 47 6 EOV - ferde tengelyő, redukált hengervetület 45

46 A bemutattt módszerrel az EOV-ben egész Magyarrszág területe egy (ferde tengelyő) hengervetületi sávn ábrázlható anélkül, hgy a hssztrzulás értéke az x tengely mentén az értéket meghaladná Ezt azzal érték el, hgy a képfelület metszı, vagy süllyesztett henger, amely párhuzams gömbi körben metszi a Gauss-gömböt A két gömbi kör között a hssztrzulás negatív, a gömbi körökön kívül pzitív irányú, a körökön pedig zérus Fentiek miatt az EOV-t redukált hengervetületnek is nevezik A henger elhelyezkedése megegyezik a HR rendszer elhelyezkedésével A kezdı-meridián áthalad a Gellérthegy nevő felsırendő alappntn, de utóbbi a hengervetület középsı rendszeréhez hasnlóan nem azns a vetület kezdıpntjával A vetület a tárgyalt csprtsítási szempntk szerint valódi, süllyesztett, ferdetengelyő hengervetület A vetület szögtartó, a szteregrafikus és ferdetengelyő hengervetületekhez hasnlóan - a vetítés kettıs, elıször az ellipszidról a Gauss-gömbre, majd a Gauss-gömbrıl a gömböt két gömbi kör mentén metszı hengerre történik a vetítés A Gauss-gömb sugara a ferdetengelyő hengervetületektıl eltér: R = ,m A vetületi kezdıpnt ellipszidi földrajzi krdinátái: Gauss-gömbi krdinátái * : ϕ = ,874 és λ = 9 54,8584, g g ϕ = 47 6, és λ =, A Gauss-gömb a ϕ g = 47 7,578 gömbi földrajzi szélességő pntjában (ellipszidi földrajzi szélessége ϕ = 47, ) simul az ellipszidhz, ami nem egyezik meg a vetületi kezdıpnt földrajzi szélességével Vetületi egyenletek Mind a vetületi, mind az inverz vetületi egyenletek számítása a ferdetengelyő hengervetületeknél leírtak mintájára történik, azzal a különbséggel, hgy a süllyesztés miatt a redukálás mértékét, az m mennyiséget figyelembe kell venni Az EOV esetében m =, A süllyesztés az EOV vetületi egyenleteit általánsságban az y = m x = m f f x ( ϕ, λ) ( ϕ, λ) y, képletek szerint módsítja A fenti és a tvábbi képletekben ϕ, λ a gömbi földrajzi krdináták Belılük a segédföldrajzi ϕ, λ krdinátákat ugyanúgy számítjuk, mint a ferdetengelyő hengervetületeknél Mivel az EOV a ferdetengelyő hengervetületektıl eltérıen - északkeleti tájékzású, a vetületi egyenletek jbbldalai pzitív elıjelőek: * Eddig mind az ellipszidi, mind a gömbi földrajzi krdinátákat egyfrmán jelöltük: ϕ, λ Ha az ellipszidi és a gömbi krdináták egyidejőleg szerepelnek, a gömbi krdinátákat a g felsı index-szel látjuk el 46

47 y = m R λ vagy, ha λ szögfkban adtt: valamint vagy λ y = m R, ρ ϕ π x = m R ln tan +, 4 R + sinϕ x = m ln sinϕ A fenti képletekben a ϕ a segédföldrajzi szélesség, a λ a segédföldrajzi hsszúság A segédegyenlítı segédföldrajzi szélessége ϕ = élda: Számítsuk ki a ϕ = ,494 Gauss-gömbi földrajzi szélességő és a λ = 33,37 földrajzi hsszúságú pnt EOV krdinátáit! A kezdıpnt földrajzi szélessége ϕ 47 = 6, a Gauss-gömb sugara R = , m A segédföldrajzi krdináták az alábbiak: Az eredeti EOV krdináták: Az eltlt EOV krdináták: ϕ = 4,59, λ = - 9 3,533 y = ,6 m, x = 3583, m Y = 48444,394 m, X = 3583, m Az inverz vetületi egyenletekbe helyettesítés elıtt elıbb az eltlt krdinátarendszerrıl vissza kell térnünk az eredeti vetületi krdinátákra: Az inverz vetületi egyenletek az alábbiak: és y = Y 65 m, x = X m y λ = m R R π ϕ = arctan e x m 47

48 A Gauss-gömbi ϕ földrajzi szélesség és λ földrajzi hsszúság itt is a ferdetengelyő hengervetületeknél leírtak szerint, a segédföldrajzi krdinátákból számíthatók élda: Számítsuk ki az Y = 48444,394 m, X = 3583, m EOV krdinátájú pnt Gaussgömbi földrajzi krdinátáit! Az eredeti EOV krdináták: A segédföldrajzi krdináták: A Gauss-gömbi földrajzi krdináták: Visszakaptuk az elızı példa kiinduló adatait y = ,6 m, x = 3583, m ϕ = 4,59, λ = - 9 3,533 ϕ = ,494, λ = 33,37 A metszı gömbi körök és a Gellérthegy pnt elhelyezése A henger a Gauss-gömbbıl az r m m ( ϕ ) = R cs ϕ = R cs sugarú ϕ és ϕ gömbi földrajzi szélességő gömbi köröket metszi ki (ábra) É D +x m r m +y r m ϕ = É ϕ m R ϕ 47 = 6 φ γ s e s e ϕ 46 D = 5 9 Segédegyenlítı A redukált hengervetület az r m sugarú gömböt érinti 48

49 A süllyesztés következtében a Gauss-gömb egy r m sugarú gömbbé redukálódik, innen a redukált hengervetület elnevezés A segédegyenlítı egy tetszıleges se íve az r m sugarú gömbön rövidül Az ábrából beláthatóan e m s e = R γ, s = r γ = R cs ϕ γ = s csϕ A csϕ m értéke a ϕ m = eset kivételével mindig kisebb -nél, tehát valóban rövidülés következik be A gyakrlati számításk egyszerősítése érdekében a krdináta-tengelyeket a vetület síkjában önmagukkal párhuzamsan eltlták úgy, hgy az rszág egész területén minden krdináta pzitív legyen Az eltlás mértékét úgy választtták meg, hgy a krdinátákat ne lehessen felcserélni, az X krdináta mindig kisebb, az Y krdináta mindig nagybb, mint 4 m A vetületi krdináták és a krdinátatengelyek eltlásával nyert krdináták közötti összefüggések az alábbiak: Y = y + 65 m, m X = x + m, vagyis az x tengely nyugatra 65 km-rel, az y tengely pedig dél felé km-rel van eltlva Legyen a tvábbiakban m csϕ,99993 = m = Innen a metszı gömbi körök földrajzi szélességei: ϕ m m = ϕ = 4 4,5734 A kezdıpnt gömbi földrajzi szélessége ϕ = 47 6, ezért a kezdıpnttól északra lévı gömbi kör földrajzi szélessége: ϕ = ,5734 = ,573, É e m a délre lévıé pedig: ϕ D = ,5734 = ,477 A metszı gömbi körök vetületi kezdıpnttól számíttt távlsága a gömbön s 4 4,5734 = , ρ 57,9578 ϕ = É s D = R m = 75486,578 m, ahl 8 = = 57,9578 π ρ és x 4 4,5734, , ln tan ρ π + 4 = xd = = É a vetületen, vagyis a gömbi ívnél rövidebb 75483,54 m 49

50 A Gellérthegy nevő alappnt gömbi földrajzi szélessége az EOV Gauss-gömbjén ϕ = ,574 Innen a vetületi kezdıpnt távlsága a Gellérthegytıl délre: G a gömbön és a vetületen x Az EOV redukciói s ϕ ϕ 3,574 = , ρ 57,9578 G G = R = 3,574, , ln tan ρ π + 4 G = = Az m -nak megfelelıen módsul az 387,65 m 384,75 m lineármdulus: dd l = ds = csϕ m l = cs ϕ A ferdetengelyő hengervetületek mintájára a hssztrzulás a redukált gömbön m ( x + x x + x ) = ( x + x x + x ) U =, 6 r 6 m R mert r ϕ m = R cs m és = cs m m ϕ Az összefüggést figyelembe véve: U m U = azaz az EOV hssztrzulása ( x + x x x ) U = m +, 6 m R ( x + x x x ) U = 6 m R + A hssztrzulási tényezı ismeretesen d m = = m + U, s a hsszredukció pedig s = d s = ( m + U ) s ϕ az EOV Gauss-gömbjén a ,7535 A G IUGG/967 ellipszidi földrajzi szélességbıl számítható 5

51 Az y tengelyen a hssztrzulási tényezı értéke m =, 99993, -nél kisebb, a hsszredukció negatív Egy, az y tengely mentén km-es távlság a fenti összefüggés szerint a s = ( m ) s =,7 cm = 7 cm értékkel rövidül (az y tengely mentén U = ) A hssztrzulás, ill a hsszredukció csak az x-tıl függ, az y tengelytıl észak és dél felé távldva a hssztrzulási tényezı értéke közeledik -hez, ill a hsszredukció értéke a zérushz, majd a metszı gömbi körökben, ahl az alap- és a képfelület egybeesnek, -gyel, ill zérussal egyenlık Tvább távldva észak, ill dél felé, a hssztrzulási tényezı értéke -nél nagybbá, a hsszredukció pedig pzitívvé válik A hssztrzulás még így is nagy területen jelentısen meghaladja az értéket, leginkább Baranya megye déli és Brsd-Abaúj-Zemplén megye északi részén A másdik irányredukciót és a vetületi meridiánknvergenciát is a ferdetengelyő hengervetületeknél megismert módn számítjuk A ferdetengelyő hengervetületeknél megismert Q k ( yq y ) b ( xq x ) ( yq y ) ( y y ) b ( x x ) ( y y ) Q = + a xk, = a x Q összefüggésekben az a és b együtthatókban figyelembe kell venni az m tényezıt az alábbiak szerint: ρ a = m R =, ", m Az a és b együtthatókban szereplı állandók: Q ρ b = m R Q = 4,375 ρ = 664,8 ; R = , m; m =,99993 A vetületi meridián-knvergencia földrajzi krdinátákból való számítását csak a henger elhelyezkedése beflyáslja, mérete nem, a vetületi krdinátákból történı számításkr visznt figyelembe kell venni a redukálás m mértékét Ezért az EOV-re használható alábbi képletben az R helyett = m R helyettesítendı: r m x y ch sin m R m R tan µ = x y ctϕ sh cs m R m R A ferdetengelyő hengervetületekhez képest a számlálóban és a nevezıben jelentkezı elıjelváltás ka, hgy az EOV északkeleti tájékzású - " m 5

52 példa: Számítsuk ki a ϕ = ,494, λ = 33,37 Gauss-gömbi földrajzi krdinátájú pntban a vetületi meridiánknvergenciát! sinϕ sin λ tan µ = csϕ csϕ + sinϕ sinϕ cs λ Behelyettesítve, ϕ 47 = 6, mellett kapjuk: példa: µ = - 36,44697 Számítsuk ki a pntból a Q pnt felé menı irányra mindkét végpntban a másdik irányredukciót és a hssztrzulási tényezıt! A pnt eltlt EOV krdinátái: A Q pnt eltlt EOV krdinátái: Az eredeti EOV krdináták: A másdik irányredukciók: A hssztrzulás: A hssztrzulási tényezı: Az EOV szelvényhálózata Y = 48444,394 m, X = 3583, m Y = 94,53 m, X 487,89 m Q 5 Q = y = 65557,66 m, x 3583, m, - = y = 4795,47 m, x 487,89 m Q - Q = Q = +,4853, Q = -,8675 U =,63838 m =, Az Egységes Országs Térképrendszer (EOTR) szelvényezésének alapját az y irányban 48 m, az x irányban pedig 3 m nagyságú : méretarányú szelvények képezik Az : méretarányú szelvények száma a szelvénysrk, illetve a szelvényszlpk -tól induló srszámaiból tevıdik össze Az ábra sarkpntjainak krdinátái a krdinátarendszer eltlása miatt: X Y alsó bal = 3 m, = 384 m, Y X jbb felsı = 384 m, = 96 m 5

53 384 m x m m y 96 m Az EOTR szelvényhálózata Az : méretarányú szelvények M=: M=: 3 m 3 48 m m m 6 m 75 m M=: a) b) 75 m 75 cm 5 m 5 cm c) Az EOTR különbözı méretarányú szelvényei a) :, b) :, c) : Az : méretarányú szelvényekbıl az :5, :5 és : méretaránysr térképlapjait mindig a sr -gyel lejjebb lévı méretarányú szelvényébıl, annak negyedelésével kapjuk (a) ábra) A szelvények számzása az ábrából követhetı nymn Az : méretarányú szelvények számzására példát b) ábrán látunk Az : méretarányú szelvények 53