Feszültségek heterogén anyagú síkgörbe rúdban (A klasszikus képletek általánosításai)

Átírás

1 MISKOLI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMTIKI KR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZT Feszültségek hetergén anyagú síkgörbe rúdban klasszikus képletek általánsításai Kiss László I. éves MSc gépészmérnöki hallgató Knzulens: Szeidl György egyetemi tanár ME Mechanikai Tanszék Misklc, 00

2 Tartalmjegyzék. Bevezetés. Egyszerűsítő feltevések 3. lapvető összefüggések 3.. z alkalmaztt krdináta-rendszer. 3.. z elmzdulásvektr lakváltzási visznyk lakváltzási tenzr feszültségek számítása nrmálfeszültség számítása zérusvnal helyzete nrmálfeszültség számítása másként nyírófeszültség számítása egyensúlyi egyenletből görbületi visznyk, alakváltzási energia 6.. görbületi visznyk megváltzása. 6.. lakváltzási energia Képletek hmgén iztróp anyagú rúd esetére lakváltzási állapt Feszültségi állapt görbület megváltzása Téglalap keresztmetszetű hetergén rúd legfntsabb adatk z E-vel súlyztt középpnt helye z E-vel súlyztt redukált terület Másdrendű nymaték, redukált másdrendű nymaték Számpélda Következtetések 0 Hivatkzásk

3 . Bevezetés Gyakran alkalmaznak görbe rudakat különböző szerkezetekben gépészeti, avagy repülőmérnöki feladatkban. Példaként említhetők többek között a tetőszerkezetek, rugók vagy repülőgépek egyes, a merevséget növelő szerkezeti merevítő elemei. görbe síkgörbe rudakkal kapcslats mechanikai vizsgálatk már a múlt században elkezdődtek [, 994]. Érdemes ehelyütt két összefglaló jellegű tanulmányt is említeni: [, 3, 98,993]. Ez a két dlgzat több mint ötszáz, a témakörbe vágó szakcikket idéz. szakirdalmnak jelentős része hmgén iztróp anyagú rudakkal fglalkzik. z elemi szilárdságtan keretei között elvégzett mérnöki számításk a Grashff-féle frmulán [lásd [4] összefüggés, vagy, [5] ], illetve egy ezzel egyenértékű képleten lásd [6], 4.., 4.70, 4.7 összefüggések alapulnak. Egyenes tengelyű, keresztmetszeti inhmgenitással rendelkező hetergén anyagú prizmatikus rudak esetén a [7] tanulmány adta meg a szilárdságtan egyes klasszikus eredményeinek egy lyan általánsítását, amely közvetlenül alkalmazható a mérnöki számításkban az idézett tanulmány eredményei magyarul is fellelhetők az [5] kézirat 5.5. szakaszában. jelen dlgzat fő célkitűzése ezen eredmények általánsítása síkgörbe rudak esetére. Skszr előfrdul a gyakrlatban, hgy a rúd több, külön-külön hmgén és iztróp anyagból épül fel ly módn, hgy az anyagjellemzők csak a keresztmetszeti krdinátáktól függenek, azaz a rúd hssza mentén nem váltznak. z. ábra a jelű részlete szendvicsszerkezetű, téglalap keresztmetszetű rúd keresztmetszetét szemlélteti E a két külső réteg, E a mag rugalmassági mdulusa; a b jelű ábrarészlet valamilyen vasalással elláttt betngerenda keresztmetszete, a vasalás a gerenda alján húzódik végig; a c jelű a b c E E betn E mátrix E E acél E szál E. ábra ábrarészlet pedig kör keresztmetszetű szálerősített műanyag rúd keresztmetszetét szemlélteti a mátrixba műanyagba ágyaztt karbn szálak kör keresztmetszetűek. tvábbiakban feltételezzük, hgy a tekintett hetergén prizmatikus rúd rugalmassági mdulusa és Pissn száma, összhangban az előzőekkel, csak az η, ζ keresztmetszeti krdináták függvénye: E = Eη, ζ, ν = νη, ζ. Ezek a függvények vagy flytnsak, vagypedig résztartmánynként flytnsak a keresztmetszet felett az. ábrán szemléltetett esetek mindegyikén résztartmánynként állandó az E és a ν. z inhmgenitás hetergenitás ilyen típusát tömören keresztmetszeti inhmgenitásnak fgjuk nevezni.

4 . Egyszerűsítő feltevések. z elmzdulásk és alakváltzásk kicsik;. a rúd anyaga inhmgén, azaz a rugalmassági állandók a rúdkeresztmetszet helykrdinátáinak függvényei, de függetlenek a rúd középvnala mentén mért krdinátától keresztmetszeti inhmgenitás esete frg fenn a függvénykapcslat pnts definícióját később adjuk meg megjegyezve, hgy a rúd anyaga speciális esetben hmgén is lehet; 3. a rúd középvnalának síkja tartalmazza a rúdszelvény egyik tehetetlenségi főtengelyét; 4. a rúd középvnala az alakváltzás srán saját síkjában marad; 5. a középvnal irányú nrmálfeszültség eleget tesz a σ ξ σ η, σ ζ relációnak ez a feltevés általáns rúdszerű testek mechanikai vizsgálataiban; 6. elhanyaglható a τ nyírófeszültségek munkája a σ ξ feszültség munkája mellett; 7. a rúd állandó keresztmetszetű; 8. a rúd síkjában fekvő erőrendszer vagy megszló, vagy speciális esetben kncentrált erőkből állhat. 3. lapvető összefüggések 3.. z alkalmaztt krdináta-rendszer. e e P S e s. ábra. ábra a rúd középvnaláhz kötött és célszerűen választtt krdináta-rendszert szemlélteti. z ábrán e ξ a rúd középvnalának érintő egységvektra; e η a rúd középvnalának síkjára merőleges egységvektr; az E rugalmassági mdulus feltevés szerint csak az η, ζ krdináták függvénye: Eη, ζ = E η, ζ. a rúd E vel súlyztt középvnala vagy röviden középvnala a rúd szimmetriasíkjában fekszik, helyét pedig az S eη = Eη, ζ ζ d = 0 feltétel határzza meg a képletben S eη az E-vel súlyztt statikai nymaték az η tengelyre; a rúd E-vel súlyztt középvnalának görbületi sugara; s a rúd középvnala mentén mért ívkrdináta; középvnal fgalmának pnts definícióját a jelen ldal közepe alatt álló lista ötödik eleme ismerteti.

5 összhangban a fentebb mndttakkal a rúd kiragadtt keresztmetszetének E-vel súlyztt középpntja, itt döfi az s ívkrdináta a rúd kiragadtt keresztmetszetét S a keresztmetszet, mint síkidm gemetriai középpntját jelöli; P a rúd kiragadtt keresztmetszetének tetszőleges, de rögzítettnek gndlt pntja. Lelvasható a. ábráról, hgy zérus az η és ζ krdináták értéke a középvnaln. Elemi átalakításkkal adódik, hgy 3 de ξ ds = e ζ ; de ζ ds = e ξ. perátr felvett vnatkztatási rendszerben érvényes, s későbbi számításkban előnyösnek biznyuló alakja: = e s ζ ξ η e η ζ e ζ. 3.. z elmzdulásvektr. rúd egy tetszőleges pntjának elmzdulásvektra az 3 u = u ψ η ζe ξ v e η w e ζ = v e η w w e ζ u ψ η ζe ξ alakban írható fel. Úgy tekintjük, hgy v = v ξ, η, ζ = v ξ, η, ζ, w = w ξ, η, ζ = w ξ, η, ζ, azaz a ζ tengely szimmetriatengelynek vehető v és w elmzdulásk tekintetében is lásd a 3. ábrát. w w v S v 3. ábra rúd bármely pntjában ψ = u

6 4 a merevtestszerű szögelfrdulás értéke. Behelyettesítve ide 3-t, illetve a perátr alatti értelmezését a { ψ = u = v e η ζ s e ξ ζ e ζ η e η ρ w w e ζ ζ s e ξ ζ e ζ η e η ρ } 4 u ψ η ζe ξ ζ s e ξ ζ e ζ η e η egyenletet kapjuk, ami a [ 5 ψ = v ζ s e ζ v ζ e ξ ζ w ζ w e ξ e ξ ρ }{{} ζ u ζψ η e η 0 s w w e η η w w u ζψ η ζ e ξ e η u ζψ η ] e ζ η alakban írható a vektriális szrzásk elvégzése után. rúd középvnalán a ψ η szögelfrdulás η = 0; ζ = 0 a 6 ψ η = ψ e η = w s w u ψ η }{{} s módn számítható. Még egyszerűbb alakban: 0 ζ=0;η=0 7 ψ η = u dw ds. 4. lakváltzási visznyk 4.. lakváltzási tenzr. z alakváltzási tenzr = u u értelmezéséből adódóan ε ξ = e ξ u u e ξ a ξ irányú fajlags nyúlás képlete, azaz ε ξ = u e ξ s ζ ζ ρ 8 = u ζ s e ξ = ρ ζ u e ξ = s du ds w dψ η ds ζ.

7 5 Mivel a középvnaln ζ = 0, ugyanitt 9 a fajlags nyúlás, és 0 dψ η ds ε ξ = du ds w = κ = d ds dw ds u a középvnal görbülete. Felhasználva ezeket az összefüggéseket, a fajlags nyúlás képlete ε ξ = [ du ζ ds w ζ d dw ρ ds ds u ] = ε ζ ξ ζκ alakban írható. 5. feszültségek számítása 5.. nrmálfeszültség számítása. Mivel σ ξ σ η, σ ζ, alkalmazható az egyszerű Hke-törvény, azaz fennáll a σ ξ = Eη, ζε ξ egyenlet. Ha az igénybevétel tiszta hajlításból áll, akkr az N rúderő zérus értékű, azaz fennáll az N = 0 = σ ξ d egyenlet. Behelyettesítve ide a összefüggést, az eredmény az N = 0 = ε ξ ζ Eη, ζd κ Eη, ζζd ζ alakban adódik. Legyen 3 er = az E-vel súlyztt redukált terület, és 4 S er = Eη, ζd ζ Eη, ζζd ζ az E-vel súlyztt redukált statikai nymaték. hajlítónymatékt az M = ζσ ξ d összefüggésből számítjuk: 5 M = ε ξ Itt legyen 6 I er = ζ Eη, ζζd κ ζ Eη, ζζ d. ζ Eη, ζζ d az E-vel súlyztt redukált másdrendű nymaték. Közelítő eredményekhez alkalmas srfejtéssel lehet eljutni 7 er = ζρ ζ... Eη, ζd = Eη, ζd e ; ρ

8 6 ahl e a keresztmetszet E-vel súlyztt területe, és az 8 S er = ζρ ζ... ζeη, ζd ρ = ζeη, ζd ζ Eη, ζd ρ }{{} }{{} illetve 9 I er = ζρ ζ ρ S eη... ζ Eη, ζd = I eη közelítéseiben I eη az E-vel súlyztt másdrendű nymaték. mint azt már a. ldaln említettük, úgy célszerű megválasztani a rigót, hgy tt S eη = 0 értékű legyen. 4. ábrán néhány később felhasznált jelölés is szerepel lásd a 30 képletet. I eη 4. ábra Visszaírva a 3, 4 és 6 képleteket a, 5 egyenletekbe, áttekinthető szerkezetben kapjuk a rúderőt és a hajlítónymatékt: 0a 0b N = ε ξ er κ S er ; M = ε ξ S er κ I er. z ε ξ és κ alakváltzási jellemzők számításáhz először szrzzuk meg 0a-t I er -rel, 0b-t pedig S er -rel, ezt követően pedig vnjuk ki előbbi összefüggésből az utóbbit. z NI er MS er = ε ξ er I er SeR eredményből aznnal adódik a fajlags nyúlás a középvnaln: ε ξ = S er eri er MS er NI er. Ezt követően szrzzuk 0a-t S er -rel és 0b-t I er -rel, majd vnjuk össze a két egyenletet: 3 NS er M er = κ S er er I er.

9 Innen 4 κ = S er eri er NS er M er a görbület értéke a középvnaln. ξ irányú nrmálfeszültségre így a gemetriai jellemzők tekintetében az elhanyaglásmentes 5 σ ξ = Eη, ζε ξ = Eη, ζ ζ S er eri er [MS er NI er ζ NS er M er ] képletet kapjuk. lakítsuk ezt tvább az SeR eri er egyenlőtlenség kihasználásával a négyzetes tag elhanyaglásával, illetve az er I er S er = er I er I eη I er er ρ er I er IeR er I er ρ er 7 egyszerűsítés felhasználásával: er I er er IeR 3 ρ }{{ er } 0 er I er I er ζs er M er MS er 6 σ ξ = Eη, ζ N Eη, ζ ζ Eη, ζ. ζ er I er ζ er I er ζ er I er Ha ezen túlmenően figyelembe vesszük az S er I er I eη I er és az M M ζ er er egyszerűsítéseket, akkr a 6 képlet alapján 7 σ ξ = Eη, ζ ζ azaz I er ζ I er 8 σ ξ = Eη, ζ I eη N M Eη, ζ Eη, ζ M er ζ ρ er I er I er N = Eη, ζ M er N er M M er I er ζ ζ er M I er ζ ζ = ζ ζ a nrmálfeszültség képlete. Ez az összefüggés a Grashff-féle képlet általánsítása keresztmetszeti hetergenitású körívalakú rúdra. 5.. zérusvnal helyzete. tvábbiakban az a célunk, hgy tiszta hajlítás feltételezése mellett ez esetben zérus a rúderő, azaz fennáll az N = 0 egyenlet megkeressük a zérusvnal helyét. Mivel a ζ krdinátájú zérusvnaln eltűnik a nrmálfeszültség, a 5 képlet alapján írható, hgy 9 σ ξ = 0 = Eη, ζ ζ S }{{} er MS er ζ M er, eri er r ;

10 8 ahl bevezettük az r = ζ jelölést. Innen aznnal adódik, hgy 30 S er = ζ er. zérusvnal helyét a görbületi középpnthz képest megadó ρ sugarat a ρ = ζ képlet értelmezi. Ezt a képletet kihasználva átírható a 30 egyenlet: 3 S er = ζ er = ρ er = ρ er er, ahnnan a 3 ρ = S er er érték következik. Helyettesítsük ezután az er és S er értelmezését adó 3, valamint 4 frmulákat és végezzünk azns átalakításkat: ρ = Eη, ζζ d r Eη, ζd = Eη, ζζ d r Eη,ζ r d = Eη, ζζ d r ρ Eη,ζ d r = Eη,ζ ρ r d r ρ ρ = Eη, ζζ d ρ Eη,ζ r d r Eη, ζd = Eη,ζ Eη,ζ d d. r r kaptt eredmény szerint Eη, ζd 33 ρ = a zérusvnalhz tartzó görbületi sugár. Eη,ζ d r 5.3. nrmálfeszültség számítása másként. Tvábbi célunk a nrmálfeszültséget zárt alakban megadó, a Grashff-féle 8 képlettel egyenértékű, de attól frmailag különböző frmula előállítása tiszta hajlításra. pnts 5 frmula alapján kapjuk, hgy 34 σ ξ = Eη, ζ ζ SeR S er ζ er M. eri er Felhasználva az SeR eri er egyenlőtlenséget, átírható ez a képlet a 35 σ ξ = Eη, ζ r M ρ [ ] r Eη, ζd ζeη, ζd er I er ζ ζ Eη, ζ r M ρ [ ] r er Eη, ζd er I er }{{} alakba, ahl kihasználtuk, hgy 36 r Eη, ζd ζeη, ζd = ζ ζ = r Eη, ζd ζ }{{} valamint azt, hgy a 33 képlet szerint 37 Eη, ζd = ρ er ζ Eη, ζd = ρ er. ρ er ζ Eη, ζd,

11 9 Tvább alakítva a nrmálfeszültség 35 alatti összefüggését kapjuk, hgy 38 σ ξ = Eη, ζ r M er I er r ρ er = Eη, ζ r M I er r ρ. z utlsó nyittt kérdés a fenti képletben álló I er tag alkalmas átalakítása. Ehhez szükség lesz az alábbi levezetésre: 39 I er = Eη, ζ ρ ζ r ζ d = Eη, ζ ζd = r r = Eη, ζ ζd = Eη, ζζd Eη, ζρ r r r d = = S }{{ eη Eη, ζρ } r r d = ρ Eη, ζd ρ 3 Eη, ζ d = r 0 = ρ e ρ 3 Eη, ζ ρ 3 d = e r ρ ρ = ζ {}}{ = e ρ ρ ρ = e ρ ρ ρ = ρ e ρ ζ. Mivel a ζ < 0 érdemes bevezetni a e = ζ jelölést. Visszahelyettesítve a kaptt eredményt a nrmálfeszültség képletébe, aznnal adódik annak végleges alakja: 40 σ ξ = Eη, ζ M r r ρ e e. Ez az összefüggés a [6] könyv 4.7 képletének 4.. általánsítása keresztmetszeti inhmgenitással rendelkező síkgörbe rúdra nyírófeszültség számítása egyensúlyi egyenletből. tvábbiakban az a célunk, hgy a mindennapi alkalmazáskat is megkönnyítve zárt alakú képletet vezessünk le a nyírófeszültségek számítására egyensúlyi egyenletek felhasználásával. Ennek a megközelítésnek a visznylags egyszerűség az előnye, hátránya pedig az, hgy nem teljesülnek maradéktalanul az alakváltzási egyenletek. gndlatmenet alapötlete ismert az egyenes rudak elméletéből: egy alkalmasan választtt rúdszakaszt sztunk fel két részre, és az egyik kiragadtt rész egyensúlyából indulunk ki. B Ë s Ë s B s 5. ábra

12 0 Tekintsük az 5. ábrát. Ez feltünteti a keresztmetszeti inhmgenitású rúd egy véges szakaszát. tekintett rúdszakasz balldali s B ívkrdinátájú keresztmetszetének helye rögzített s B = állandó, a rúdszakasz jbbldali végének helyét pedig a paraméternek tekintett s > s B ívkrdináta határzza meg. Ezt az E-vel súlyztt középvnal mentén mérjük. Feltételezzük az eddigieken túlmenően, hgy a rúd valamely keresztmetszetében a ζ = ˆζ = állandó egyenesen a τ ξ = τ ηξ e η τ ζξ e ζ nyírófeszültségek hatásvnalai egy pntn metszik egymást; a kérdéses pntt a keresztmetszet kntúrja és a ζ = ˆζ = állandó egyenesek metszéspntjaiban a kntúrhz rajzlt érintők metszése adja. Ennek az a következménye, hgy fennáll a τ ηξ η = τ ηξ η egyenlet páratlan függvénye az η-nak a τ ηξ ; állandó a τ ζξ nyírófeszültség, ha állandó a ζ; a hajlítónymaték és a nyíróerő között fennáll a dm 4 ds = T egyenlet ez csak tiszta hajlítás esetén érvényes; a σ ξ nrmálfeszültség a 8 képlettel számítható N = 0 esetén: M 4 σ ξ = Eη, ζ M er I er ζ ζ. Ez azt jelenti, hgy nincs hatással a nyírófeszültség-elszlás a nrmálfeszültségelszlásra. keresett τ ζξ számítására a vázlt rúdszakasz egy részének egyensúlyát használjuk fel. kérdéses részt a két véglap síkja, a ˆζ sugarú hengerfelület, végül pedig a rúd palástjának a hengerfelület felett fekvő része határlja. határlófelület véglapk síkjába eső és egymással egybevágó részeit B illetve jelöli. mi a vizsgált rúdszakasz kérdéses részének egyensúlyát illeti, feltételezzük, hgy a külső palást terheletlen. nyírófeszültségek számításáhz tekintsük az 43 σ ξ e ξ τ ξ d σ ξ e ξ τ ξ d B s s B ˆζ vˆζτ ξζ ˆζe ξ ξdξ = 0 egyensúlyi egyenletet. Ha figyelembe vesszük, hgy a ˆζ sugarú hengerfelületen τ ξζ ˆζe ξ s a feszültség τ ξζ ˆζ = állandó és, hgy ugyanitt ˆζ vˆζdξ = d a felületelem, akkr nem nehéz belátni, hgy a 43 képletben az utlsó integrál a hengerfelületen ébredő nyírófeszültségek eredője. Deriváljuk a 43 egyenletet s szerint. Kapjuk, hgy dσ ξ ds e ξd e ζ d d τ ηξ e η d ds } {{} σ ξ =0 dτζξ ds e ζ τ ζξ e ξ d ˆζ vˆζτ ξζ ˆζe ζ s = 0,

13 ha figyelembe vesszük a következőket: a beírjuk a képletekbe az e ξ és e ζ deriváltjait az s szerint, b az B -n vett integrál állandó és így zérus a deriváltja, c τ ηξ páratlan függvénye az η-nak és ezért zérus az integrálja, d az integrál felső határ szerinti deriváltja maga az integrandusz. Ezután szrzzuk meg ez utóbbi egyenletet e ξ -vel. z eredményt az alábbiak részletezik: dσ ξ 44 ds d τ ζξ d ˆζ vˆζτ ξζ ˆζ = 0. ρ Legyen e max a szélső szál távlságának maximuma a pnttól. Ez mindig kisebb, mint. z terület felírható a vˆζhˆζ szrzat alakjában, ahl hˆζ mindig kissebb, mint e max. Ennek alapján a képletben álló középső integrálnak az τ ζξ d hˆζvˆζτ ξζ ˆζ, hˆζ egy felső krlátja, mivel a nyírófeszültséget nem az tartmány belső pntjában, hanem a ˆζ egyenesen felvett értékével helyettesítettük. Ennek a becslésnek alapján elhanyaglható ez a tag a harmadik mellett. Következésképp az dσ ξ 45 ds d = ˆζ vˆζτ ξζ ˆζ ρ képlet szlgál a τ ξζ ˆζ számítására, vagyis ezt átrendezve kapjuk, hgy 46 τ ξζ ˆζ = ρ dσ ξ ˆζ vˆζ ds d. Helyettesítsük ebbe a képletbe 4 felhasználásával a nrmálfeszültséget. Kapjuk, hgy 47 τ ξζ ˆζ = ρ [ d M ˆζ Eη, ζ M ] vˆζ ds ρ er I er ζ ζ d. Tvább alakítva ezt az egyenletet a τ ξζ ˆζ = ρ dm Eη, ζ Eη, ζ ˆζ vˆζ ds ρ er I er ζ ζ d = = ρ dm I er ˆζ Eη, ζd vˆζ ds I er ρ er ζeη, ζd ζ összefüggésre jutunk. Vezessük be az 48 α e = I er ; S ρ eη = Eη, ζ er ρ ζ ζd illetve az 49 Eη, ζd = e jelöléseket és vegyük figyelembe, hgy az M hajlítónymaték ívkrdináta szerinti deriváltja a nyíróerő ellentettje. z utóbb mndttak alapján 50 τ ξζ ˆζ = ˆζ T I er vˆζ ρ α e e S η a nyírófeszültség képlete. Ez az eredmény a klasszikus frmula általánsítása lásd [4]

14 6. görbületi visznyk, alakváltzási energia 6.. görbületi visznyk megváltzása. görbületi visznyk váltzásának vizsgálata a lenti ábrán alapul. Ez az ábra a rúd E-vel súlyztt középvnalát, a középvnal pntját, valamint pntbeli érintőjének a helyzetét vázlja 6. ábra az alakváltzás előtt φ illetve után ψ η. z ábra alapján a súlyztt középvnal menti fajlags nyúlást értelmező 5 ε ξ = ds ds K ds K képletből s K a kezdeti állapthz tartzó ívkrdináta ebben a szakaszban a 5 ds = ε ξ, ds K = ds ds K ε ξ összefüggések következnek. Ezt is kihasználva, a görbület megváltzását az 53 ρ = d φ ψ η dφ = dφ ψ η dφ ds ds K ds ds ε ξ = dψ η ds módn számíthatjuk, ahl dφ 54 ε ξ ds = ε dφ dφ ξ ε ξ = ε ξ = ε ξ. ds K ds K 0, 53 és 54 képletek egybevetéséből az 55 ρ = κ ε ξ ε dφ ξ ds közelítést kapjuk és a κ -t adó 4 képletet is ide helyettesítve vegyük figyelembe, hgy tiszta hajlítást tételezünk fel, azaz N = 0, valamint, hgy SeR eri er az ρ M = SeR er S er M er M er = M ; eri er ρ }{{} er I er SeR er I er I er 0 vagyis az 56 ρ = M I er végképlet következik.

15 6.. lakváltzási energia. z alábbiakban az alakváltzási energia számításával fglalkzunk. Nem nehéz belátni az 56 képlet alapján, hgy a hajlítónymaték kzta dψ elemi szögváltzás a 57 dψ = ds ρ ds K ds ρ ds = M ds I er képletből számítható. Ezen a szögváltzásn 58 du = Mdψ = M ds I er az elemi rúdszakaszn működő hajlítónymaték munkája ez megegyezik az elemi rúdszakaszban felhalmzódtt alakváltzási energiával. Jelölje L az E-vel súlyztt középvnal hsszát magát a középvnalat. Ezzel integrálás után az 59 U = L M I er ds módn számíthatjuk a teljes alakváltzási energiát. Vegyük észre, hgy a képlet a a ds = ds K feltevéssel került levezetésre, és b csak a hajlításból származó alakváltzási energiarészt adja meg. 7. Képletek hmgén iztróp anyagú rúd esetére 7.. lakváltzási állapt. z alakváltzási tenzr egyes elemeit adó 8, 9, 0 és gemetriai egyenletek váltzatlan alakban érvényesek, mivel függetlenek az anyagjellemzőktől. 7.. Feszültségi állapt. Mst pedig határzzuk meg hmgén anyagú rúd esetén a nrmál-, illetve nyírófeszültséget, tvábbra is tiszta hajlítás feltételezése mellett. Figyelembe véve, hgy ez esetben 60a a redukált terület értéke és 60b er = E I er = E ζ d } {{ } R ζ ζ d } {{ } I R = E R = E I R itt I R a redukált másdrendű nymaték a 8 képlet hmgén iztróp rúdra a 6 σ ξ = M M R I R ζ ζ, alakban írható. Behelyettesítve az utóbbi összefüggést a nyírófeszültséget adó 46 képletbe kapjuk, hgy 6 τ ξζ ˆζ = dm ˆζ ds Tvábbi átalakításkkal pedig 63 τ ξζ ˆζ = dm ˆζ ds vˆζ vˆζ I R R I R ζ ζ d. IR ρ ρ ρ R ζ ζ d 3

16 4 lesz az eredmény. 48 alatti mennyiségek analgnjait az 64 α = I R ; S ρ η = R illetve ζ ζd 65 d = módn értelmezzük. Ha emellett kihasználjuk a hajlítónymaték és a nyíróerő közötti 4 összefüggést, akkr megkapjuk a 66 τ ξζ ˆζ = ˆζ T I R vˆζ ρ α S η nyírófeszültség képletét hmgén iztróp rúd esetére lásd [4] nrmálfeszültség másik, 40 alatti kifejezését úgy alakíthatjuk át hmgén esetre, ha a benne szereplő E-vel súlyztt terület e helyett E-t írunk lévén a rugalmassági mdulus értéke állandó a teljes kntinuumban, így pedig a 67 σ ξ = E M r összefüggés adódik. r ρ E e = M r r ρ e 7.3. görbület megváltzása. 6. szakaszban vázlt gndlatmenet érvényes jelen esetre is, a számításbeli különbségek az 55 egyenletbe való behelyettesítésnél adódnak, ugyanis er helyett R E, S er helyett S R E, I er kiváltására pedig I R E írandó, azaz ρ = ESR RI R R S R ρ M ESR RI R R IE M ρ 3 E R I R SR RM M I R E. görbület megváltzását tehát az 68 ρ = M I R E frmulával tudjuk számítani.

17 8. Téglalap keresztmetszetű hetergén rúd 8.. legfntsabb adatk. vizsgálat tárgyát egy állandó görbületi sugarú és téglalap-keresztmetszetű rúd képezi. 7. ábra a rúd keresztmetszetét, illetve annak két, ugyancsak téglalap alakú szelvényét tünteti fel: az és jelű szelvénynek, b és b a magassága, S és S a súlypntja, tvábbá a az alapja. z egyes szelvényeken belül hmgén, de a két szelvényben egymástól eltérő jellemzőjű a rúd anyaga: E, ν, tvábbá z 5 b E S b k M b S z E a O y 7.ábra E, ν jelöli a vnatkzó rugalmassági mduluszkat és a Pissn számkat. z yz krdinátarendszernek O az rigója. z ηζ krdinátarendszer rigója pedig az E-vel súlyztt középpnt. rúd, feltevés szerint, tiszta hajlításnak van igénybevéve. 8.. z E-vel súlyztt középpnt helye. pnt helyét adó z krdináta abból a feltételből adódik, hgy zérus az E-vel súlyztt statikai nymaték az η tengelyre: 69 S eη = z z Ey, zd = zeη, ζd z }{{} Ey, zd = S ey z e = 0 ζ }{{} Nyilvánvaló, hgy 70 z = S ey, e ahl egyrészről S ey = másrészről pedig Eη, ζzd = E zd E S ey zd = E b ab }{{} E 7 e = E ab E ab = a E b E b. Behelyettesítve ezen eredményeket a 70 képletbe, adódik, hgy 7 z = E b E b b E E. b b ab }{{},

18 z E-vel súlyztt redukált terület. redukált és E-vel súlyztt terület a 3 képlet felhasználásával számítható. Vegyük figyelembe, hgy a d = a dζ; b külön kell integrálnunk az -es és jelű szelvények résztartmányk felett; c az integrálási határkat a 7. ábra alapján helyettesítjük: ζ = z, ζ k = b z, ζ = b b z ; d állandó a görbületi sugár, és így az kiemelhető; e érdemes kihasználni az ln ζ = ln ζ = ln ln ζρ felbntást. fentiek figyelembevételével kapjuk, hgy: ζ ζ 73 er = Eη, ζ d = ζ ζ = Eη, ζ d }{{} e ζ E a ζ = e E aζ ln ζ ζ k ζ = e E aζ ln ζρ ζ k ζ Eη, ζ }{{} d = adζ ζ ζ dζ E a ζ ζ k ζ ζ dζ = E aζ ln ζ ζ ζ k = E aζ ln ζρ ζ = e a [ ] E E ζ k E ζ E ζ [ a E E ln ζ k E ln ζ z utóbbi képlet és a 7 frmula egybevetése alapján képezhető az 74 er e = E E ζ k ln ζ k = ] E ln ζ ζ k ρ E ζ ln ζ ρ E ζ ln ζ ρ E b E b hányads. Nem nehéz megállapítani az ln x = x; x képlet értelemszerű felhasználásával, hgy összhangban a 7 képlettel fennáll a. egyenlet. er lim = e 8.4. Másdrendű nymaték, redukált másdrendű nymaték. tvábbiakban első lépésben Steiner tételét is felhasználva meghatárzzuk az E-vel súlyztt I eη másdrendű nymatékt az értelmezést illetően lásd a 8 képlet jbbldalát: 75 I eη = Eη, ζζ d = E ζ d E [ ab 3 = E z b ζ d = ] [ ab 3 ab E b z b ] ab.

19 Másdik lépésben a 6 egyenlet alapján kiszámítjuk az E-vel súlyztt redukált másdrendű nymatékt: 76 I er= = ζ ζ Eη, ζd = ζ ζ ζ ζ Eη, ζd = I eη ζ 3 ζ 3 Eη, ζd = ζ ζ =b z b ζ 3 ζ k =b z ζk =b z = I eη ae ζ = z ρ ζ dζ ae ζ dζ. }{{} I er Elvégezve a kijelölt integráláskat kapjuk, hgy ebben a képletben 77 I er = ae [ρ ζ ζ ρ 3 ln ζρ 3 ] ζk ζ3 ζ ae [ρ ζ ζ ρ 3 ln ζρ 3 ] ζ ζ3 [ = a E E ρ ζ k ζk ρ 3 ln ζ k ae [ρ ζ ρ ζ ρ 3 ln ζ ζ k = 3 ζ3 k 3 ae [ρ ζ ζ ρ 3 ln ] ] ζ 3 ζ ] ζ 3 3 Nem túl nehéz ellenőrizni az ln x x x 3 x3 ; x képlet értelemszerű felhasználásával, hgy fennáll a egyenlet. Következésképp fennáll a összefüggés is. I er lim I eη lim I er = 0 = lim I er = I eη 8.5. Számpélda. Tételezzük fel, hgy a vizsgált rúd keresztmetszeti jellemzőit a 8. ábra szemlélteti. keresztmetszet felső acél szelvényén, illetve az alsó alumínium szelvényen rendre E = MPa és E = MPa rugalmassági mdulus. keresztmetszet igénybevétele pedig M = 00 Nm hajlítónymaték. Keressük az er / e illetve I er /I eη hányadsk értékét, valamint a rúdirányú nrmálfeszültség-elszlást. 7 és 7 képletekből az anyagjellemzők és a 8. ábra gemetriai adataival kapjuk, hgy 78 e = a E b E b = = 3, , =, N,. 7

20 8 alumínium 6mm S 6mm E acél S k M E 3mm 8 mm 8. ábra és, hgy 79 z = E b E b b E E = =, , , , = mm z ismeretében aznnal adódnak a ζ, ζ k és ζ krdináták az ábráról: 80 ζ = z = mm, ζ k = 4 mm, ζ = 0 mm. Ezekkel felírható a 74 képlet alapján az 8 er e = E E, 4 = ζ k ln ζ k ρ E ζ ln ζ ρ E ζ ln ζ ρ = E b E b 4 ln 4, ρ =, ln 4 8 hányads. Következésképp ln, 6 0, 7 6, 8 ln 8, 6 0, 7 6 0, 7 0 ln 0 0, ln 0 8 =, = = er =, e =, , =, N.

21 Tvábbá behelyettesítve a 75, illetve 77 képletekbe, az [ I eη = [ ] ] = 9, Nmm, valamint a I er = [ ln 4 3 ] , 0 [ ln 3 ] , 7 0 [ ln 0 3 ] 8 03 = = 4, Nmm értékek adódnak jelen esetre. znnal látszik innen, hgy I er jóval kisebb értékű I eη -nál, ezért ettől a tagtól el lehet tekinteni a tvábbiakban. Következésképp 9 8 I er I eη = I eη I er I eη = I er I eη és így 83 I er = I eη I er I eη = 9, Nmm. Immárn minden adat behelyettesíthető a rúdirányú nrmálfeszültséget kifejező 8 képletbe. Ábrázljuk tehát a σ ξ elszlását a ζ függvényében. z eredményt a 9. ábra szemlélteti. rúdban σ ξ, max ζ = = 7, 93 MP a a legnagybb abszlutértékű feszültség és a zérusvnal helye ζ = ζσ ξ = 0 = 0, 8 88 mm-nél van. mm alumínium acél MPa 9. ábra

22 0 Végezetül a görbületi sugár váltzása hatásának szemléltetésére közlünk két diagramt. z első az er / e, hányadst, a másdik pedig az I er /I eη hányadst szemléleti az adtt keresztmetszetre a sugár függvényében: er e mm b 0. ábra I er I e mm. ábra 9. Következtetések Összhangban a Bevezetésben megfgalmaztt célkitűzéssel, keresztmetszeti inhmgenitású hetergén anyagú és állandó görbületű síkbeli rúd esetén tiszta hajlítás feltételezése mellett. levezettük a Grashff-féle képlet általánsítását;. levezettük a Grashff-féle képlettel egyenértékű és az angl nyelvű szakirdalmban általánsan használt frmula általánsítását; 3. meghatárztuk egyensúlyi egyenletek felhasználásával a nyírófeszültségek képletét; 4. tisztáztuk a görbületi visznyk megváltzását; 5. azt is megmutattuk, hgy az új összefüggések határesetben visszaadják a hmgén iztróp anyagú rúdra vnatkzó frmulákat; 6. a fentiekhez csatlakzva megadtuk egy téglalap keresztmetszetű hetergén rúdra az alapvető szilárdságtani összefüggéseket is; 7. végül ezek alkalmazhatóságát számpéldával illusztráltuk.

23 Hivatkzásk..E.H. Lve. Treatese n the mathematical thery f elasticity. New Yrk, Dwer, S. Márkus and T. Nánási. Vibratin f curved beams. Shck. Vib. Dig., 34:3 4, P. hidamparam and.w. Leissa. Vibratin f planar curved beams, rings and arches. ppl. Mech. Review., 469: , M. sizmadia Béla és Nándri Ernő. Mechanika mérnököknek. Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó, Kzák Imre és Szeidl György. Fejezetek a Szilárdságtanból. Misklci Egyetem, F. P. Beer and E. R. Jhnstn. Mechanics f Materials. Mc Graw Hill, Metric editin, Baksa ttila és Ecsedi István. nte n the pure bending f nnhmgenus prismatic bars. Internatinal Juurnal f Mechanical Engineering Educatin, 37:8 9, 009.