TETŐPONTJÁBAN SUGÁRIRÁNYÚ KONCENTRÁLT ERŐVEL TERHELT HETEROGÉN ANYAGÚ SÍKGÖRBE RÚD REZGÉSEI

Átírás

1 Multidiszciplináris tudmányk,. kötet. (0) sz. pp TETŐPONTJÁBAN SUGÁRIRÁNYÚ KONCENTRÁLT ERŐVEL TERHELT HETEROGÉN ANYAGÚ SÍKGÖRBE RÚD REZGÉSEI Kiss László Péter, Szeidl György Dktrandusz, Prfessr Emeritus, Misklci Egyetem, Mechanikai Tanszék 55 Misklc, Misklc-Egyetemvárs, Összefglalás A cikk hetergén anyagú síkgöre rudak rezgéseit vizsgála, feltéve, hgy a teher merev és merőleges a középvnalra. Feltételezzük, hgy (a) a görületi sugár állandó, () a rugalmassági mdulus és a Pissn szám csak a keresztmetszeti krdináták függvénye. Célkitűzéseink: () a vnatkzó Green-féle függvénymátrixk előállítása csuklós megtámasztású rúdra, amennyien a rúd terhelése sugárirányú kncentrált erő, () annak tisztázása, hgyan hat a terhelés a saátfrekvenciákra, () lyan numerikus mdell kidlgzása, amely lehetővé teszi a saátfrekvenciák számítását a terhelés függvényéen. A számítási eredményeket grafikus frmáan kívánuk megeleníteni. Kulcsszavak: síkgöre rúd, hetergén anyag, saátfrekvencia a terhelés függvényéen, Green-féle függvénymátrix Astract This paper is cncerned with the viratins f hetergeneus curved eams under the assumptin that the lad n the eam is a dead ne which is perpendicular t the centerline. It is assumed that (a) the radius f curvature is cnstant and () the Yung mdulus and Pissn numer depend n the crss sectinal crdinates nly. e have the fllwing ectives: () t determine the Green functin matrices fr pinned-pinned eams prvided that the eam is suected t a radial lad; () t clarify hw the lad affects the natural frequencies if the eam is suected t a radial frce (a vertical frce) at the crwn pint; () t develp such a numerical mdel which makes it pssile t determine hw the natural frequencies are related t the lad. e shall present the cmputatinal results in a graphical frmat. Keywrds: curved eam, hetergenus material, natural frequency as a functin f the lad, Green functin matrix. Bevezetés Napainkan igen gyakri a görült középvnalú rudak mérnöki alkalmazása. Gndlunk például az ívelt kialakítású hídszerkezetekre, egyes tetőszerkezetekre vagy a repülőgépek iznys merevséget növelő alkatrészeire. Az ilyen rudak mechanikai viselkedésével kapcslats vizsgálatk már a 9. századan megkezdődtek lásd pl. Lve [] könyvét. Száms dlgzat témáa a síkgöre rudak szaadrezgéseinek vizsgálata. Ide srlható,

2 Kiss L. P., Szeidl Gy. eredményeket összegező ellege miatt Márkus és Nánási [] cikke, valamint Chidampram és Lessia [] műve is. Érdemes tváá megemlíteni Szeidl [] PhD értekezését is, amelyen a szerző a lineáris elmélet keretein elül azt vizsgála, hgyan eflyásla a középvnal hsszváltzása az állandó nagyságú, iránytartó megszló erővel terhelt körívalakú síkgöre rudak szaadrezgéseit és stailitását. A saátkörfrekvenciák meghatárzására különöző numerikus módszerek segítségével került sr. Ezek egyike a vnatkzó peremérték feladatk Green-féle függvénymátrixainak megknstruálásán alapul. Sanálatsan ezen eredmények angl nyelvű pulikálására annak ideén nem került sr. Lawther [5] cikke a terhelés frekvenciákra gyakrlt hatására frdíta a figyelmét. Véges szaadságfkú, töparaméteres saátérték feladatk vizsgálatai alapán arra a következtetésre ut a szerző, hgy az ilyen ellegű prlémáknál a megldás saátértékre vnatkzó részét egymással kölcsönhatásan álló görék írák le a saátértékek teréen és minden ilyen saátérték feladatnak van vnatkzó saátvektra is. Ha egy göre mentén minden egyes pnthz ugyanaz a saátvektr tartzik, akkr az szükségszerűen egy egyenes vnal, de ha ez nem áll fenn, akkr a kérdés skkal nylultaá válik. Lawther eredményeinek fényéen felvetődik a kérdés, hgyan váltznak a saátfrekvenciák, ha a göre rudat a krnapntan működő sugárirányú kncentrált erő terheli. Vizsgálataink srán feltételezzük, hgy a rúd anyaga hetergén, iztróp és lineárisan rugalmas. A rugalmassági mdulus tetszőlegesen váltzhat a rúd síkára szimmetrikus és állandónak tekintett keresztmetszet felett, de az elszlás nem függhet az (E-vel súlyztt) középvnal mentén mért krdinátától azns minden keresztmetszeten. Megegyezzük, hgy ez eseten keresztmetszeti hetergenitásról van szó. E fgalm evezetése pl. a [6] tanulmányhz kötödik. A fenti rövid áttekintés alapán az alái célkitűzéseket fgalmazzuk meg: () a sugárirányú merev terhelés rezgésekre gyakrlt hatásának figyelemevételére alkalmas mdell előállítása ez egy saátérték feladat, melynek megldása természetesen függ a peremfeltételektől. () A saátérték feladatt meghatárzó differenciál-egyenletrendszer (tváiakan DER) Green-féle függvénymátrixának megknstruálása két végén csuklóval megtámaszttt göre rúd esetén, mert ennek segítségével az eredeti saátérték feladat Fredhlm-féle integrálegyenletekkel (röviden IE) meghatárztt saátérték feladattá alakítható át. () Az utói saátérték feladat véges szaadságfkú algerai saátérték feladattal történő helyettesítése és ennek a feladatnak megldása alkalmas numerikus elárással. () Az eredmények részint grafikus, részint közelítő plinmk segítségével történő megelenítése, illetve előállítása. A cikk szövege tíz szakaszra van taglva. A. szakasz az alapvető összefüggések ismertetése. A Green-féle függvénymátrix definícióa után áttekintük azt is a. szakaszan, hgyan helyettesíthető egy hmgén DER-rel kapcslats saátérték feladat egy hmgén Fredhlm-féle integrálegyenletekkel kapcslats saátérték feladattal. A megldási algritmusról a. szakasz nyút egy rövid összefglalást. A Green-féle függvénymátrixkra vnatkzó számításk az 5. szakaszan lvashatók. A középvnal menti falags nyúlás és a krnapnteli erő között fennálló összefüggés 6. feezeten található, amely a kritikus nyúlás frmuláát is tartalmazza. A számítási eredményeket a 7. szakasz ismerteti. A tanulmányt az eredmények rövid összegzése, köszönetnyilvánítás és végül az irdalmegyzék zára le. 68

3 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései. Alapvető összefüggések.. Megszló erőrendszerrel terhelt rúd alapegyenletei Jelen szakaszan a [7] cikk alapán fglaluk össze a legfntsa összefüggéseket. Az.a. árán a vizsgált rúd egy szakasza, valamint az alkalmaztt görevnalú ( = s,, ) krdináta-rendszer látható. Az.. ára egy csuklóval megtámaszttt és a krnapntan nymtt rúdat szemléltet. A Yung mdulus, amint arra fent rámutattunk, csak a keresztmetszeti krdináták függvénye: E(, ) = E(, ).. ára. (a) A krdináta rendszer () Csuklós megtámasztású rúd A = s tengely egyeesik az úgynevezett (E-vel súlyztt) középvnallal, amely a C pntan döfi a kiragadtt keresztmetszetet. A középvnal helyzete az () feltételi egyenletől származtatható: Itt zérus kell legyen a keresztmetszet S E-vel súlyztt stati- () Se = E(, ) d A = 0, A = E (, )d, = (, ) d A e A I E A A e A kai nymatéka az tengelyre. A későiek kedvéért kerültek evezetésre az (), mennyiségek, melyek rendre az E-vel súlyztt területet, valamint az E-vel súlyztt másdrendű nymatékt értelmezik. A tváiakan megkülönöztetük a terhelés kzta és egyéként időtől független mechanikai mennyiségeket, azktól, amelyek a rúd rezgéseihez tartznak. Utóiak valóáan az időtől függő növekmények és ezeket alsó index-szel különöztetük meg. Legyen tváá u, w és R rendre a rúd középvnalának érintő-, sugárirányú elmzdulása és a középvnal állandó nagyságú görületi sugara. Az s ívkrdináta és a szögkrdináta között az s= R összefüggés érvényes. A középvnal tengelyirányú falags nyúlása, valamint ugyanitt a szögelfrdulás megadható az u, w elmzduláskrdinátákkal: du w =, u dw =. () ds R R ds A virtuális munka elv segítségével (itt teredelmi kk miatt nem részletezett átalakításk eredményeképpen) a dn dm M d dm M N N ft = 0, ds R ds R N fn =0 ds ds R () R egyensúlyi egyenleteket vezethetük le az N rúderő és az M halítónymaték vnatkzásáan. A megszló terhelés tangenciális és nrmál irányú sűrűségét f t, illetve f n e 69

4 Kiss L. P., Szeidl Gy. elöli. A első erők és az alakváltzásk közötti kapcslat a Hke törvénnyel adható meg [7]: Ie M M d w w Ae R N = m, =, ahl =. Ae M Ie m () R R R ds R Ie Késői megfntláskól vezessük e a nagy etűvel szedett dimenziómentes elmzduláskat és egy, a deriváltak tömöre kifeezésére alkalmas írásmódt: n u w ( n) d ( ) U =, = ; ( ) =, n = 0,,,. (5) n R R d A () Hke-törvény és a () kinematikai mennyiségek () egyensúlyi egyenleteke való helyettesítésével a () () () 0 0 U m U m U U R ft = 0 0 m m 0 0 m I f e n DER-re utunk. Amennyien elhanyagluk a nyúlás egyensúlyi helyzetre gyakrlt hatását (azaz élünk az =0 egyszerűsítéssel) akkr kapuk, hgy () () () m m R t 0 0 U 0 U 0 U 0 0 U f =. 0 0 m 0 0 m Ie f n. A növekményekre vnatkzó alapegyenlet A nyúlás és a szögelfrdulás növekménye a () egyenletekhez hasnló u dw du w m =, =, = R ds ds R (7) képletekkel számítható. Igazlható az is, hgy a rúderő és a halítónymaték megváltzására a d M M N N ft = 0, ds R R R d M N d M M N =0 N fn ds R ds R R (8) egyensúlyi egyenletek érvényesek. Mivel a növekményekkel kapcslats flyamat dinamikai ellegű (feltételezve, hgy az eredeti terhelés elen eseten a P erő maga váltzatlan), az f t és f n terhelésnövekmények tehetetlenség erők, azaz u w ft = a A, f =, n a A (9) t t ahl A a keresztmetszet területe, a pedig a keresztmetszet átlags sűrűsége. Ezen felül a növekményekkel kapcslats Hke-törvény Ie M d w w M I e N = m, =, = M Ie N m (0) R R ds R R R alakú. A (7), (8) és (0) egyenletek egymása történő helyettesítésével a (6) 70

5 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései () () () 0 0 U 0 m U 0 m U 0 0 m m U R ft = 0 m I f () e n mzgásegyenletek adódnak. Vegyük észre, hgy a frmális deriválásk srán linearizáltuk a feladatt: (a) elhanyagltuk a kvadratikus tagt a (8) kifeezésen; () éltünk az () ( ) és egyenlőtlenségek adta egyszerűsítési lehetőségekkel (8) - en. Amennyien feltételezzük, hgy harmnikus rezgéseket végez a rúd, a dimenziómentes U ˆ és ˆ elmzdulás amplitúdókra nézve írhatuk, hgy () () () 0 0 Uˆ 0 ˆ 0 ˆ m U m U 0 ˆ 0 m ˆ m 0 ˆ 0 0 Uˆ ˆ U = 0 m ˆ ˆ ahl = ( AR ) / a keresett saátérték és az ismeretlen saátfrekvencia. a Ie Terheletlen rúdra tehát ha =0 visszakapuk a vnatkzó rúd szaadrezgéseit leíró mzgásegyenleteket vesd össze a [8] cikken közölt () képlettel: () () () 0 0 Uˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 0 ˆ ˆ m U m U U U =. 0 ˆ 0 ˆ m 0 ˆ 0 m () ˆ ˆ A () (avagy ()) DER-ek a vnatkzó hmgén peremfeltételekkel együtt egy, a - ra vnatkzó saátérték feladatt határznak meg. A () egyenlet átírható a 0 () () () (0) T K, = = = ˆ ˆ U y Py Py Py Py y y () tömör alaka. Megegyezzük, hgy az i-edik ( i=,,, ) i saátfrekvencia az nyúlásn keresztül függ a kncentrált P, vagy ami lényegéen ugyanaz, a dimenziómentes hetergenitás az m, Ie és = PR / ( I e ) () erőtől: = ( ). Azt is megemlítük, hgy a a mennyiségeken keresztül elenik meg a () egyenleten.. A Green-féle függvénymátrix értelmezése Vegyük észre, hgy elfauló a () DER, mivel nem invertálható a P mátrix. Tekintsük a ( ) K( y) = P( ) y ( ) = r( ), P ( ) = 0 (5) =0 inhmgén DER-t (a ldalt alktó r ( ) a középvnaln megszló terhelésnek felel meg), valamint a csuklós megtámasztás esetén érvényes ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ () ˆ () U ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (6) 7

6 Kiss L. P., Szeidl Gy. hmgén peremfeltételek által meghatárztt peremértékfeladatt. A Ky ( ) = 0 hmgén DER megldása függ az nyúlás előelétől, vagyis a terhelő erő irányától. Legyen A hmgén egyenletnek = m ha < 0 m ha > 0 és m >. (7) y = Yi Ci e (8) ( ) i= alakú a megldása, ahl Y cs 0 sin 0 cs sin =, =, =, = sin 0 Y cs 0 Y sin Y cs 0, (9) ha <0. Könnyen ellenőrizhető, hgy Y és Y megváltzik, ha >0 és m >: Y csh sinh =, =. sinh Y csh 0 (0) A (8) alatti megldásan tetszőleges állandó a C mátrix és ugyancsak tetszőleges állandó az e szlpmátrix. Emellett =(m+)/[m(+ )]. A (5), (6) peremérték feladat megldását az G (, ) G (, ) y( ) = G(, ) r( )d, G (, ) = a G(, ) G (, ) () alakan keressük, ahl a G (, ) Green-féle függvénymátrixt az alái tuladnságk határzzák meg []:. A Green-féle függvénymátrix flytns függvénye -nek és -nek a és hármszög tartmánykn. A G (, ), G (, ) G (, ), G (, ) i () függvények (-szer) [-szer] differenciálhatók szerint. Maguk a G(, ) ( ) Gi (, ) ( ) = G (, ) =,, = Gi (, ) x x =,,; i=, () deriváltak pedig flytns függvényei -nek és -nek.. Legyen a [, ] tartmányan. Annak ellenére, hgy a G (, ), G (, ), G (, ) ( =,,), G (, ) ( =,) () () ( ) ( ) függvények és deriváltak flytnsak = esetén, a deriváltaknak ugyanitt véges szakadása van: 0 () () ( 0, ) ( 0, ) = / ( ), lim G G P G () (, ) és G () (, ) () () lim ( 0, ) ( 0, ) = / G G P ( ). (5) 0. Legyen egy tetszőleges állandó vektr. Rögzített [, ] mellett a G(, ) vektr, mint ( ) függvénye ki kell elégítse a hmgén differenciálegyenletet: 7

7 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései KG(, ) = 0.. A G(, ) vektr, mint függvénye köteles telesíteni a (6) peremfeltételeket. Igazlható a Green-féle függvénymátrix egzisztenciáa, ami ha fennáll, akkr a () vektr kielégíti a (5) DER-t és a vnatkzó peremfeltételeket. Tekintsük a K[ y] = y (6) DER-t, ahl Ky [ ]-t a () képlet értelmezi, a pedig egy skalárparaméter. A (6) DER, valamint a hmgén lineáris (6) peremfeltételek egy, a paraméterre, mint saátértékre vnatkzó saátérték feladatt határznak meg. T T = u u v = v v vektrk kmparatív vektrk, ha különöznek Az u és zérustól, kielégítik a (6) peremfeltételeket és kellő renden flytnsan deriválhatók. T Önadungált a (6), (6) saátérték feladat, ha kmmutatív az ( u, v) = u Kv d szrzat, vagyis ha a kmparatív vektrkra nézve telesül az ( u, v) = ( v, u ) reláció. Pzitív definit a saátérték feladat, ha emellett az ( uu, ) K > 0 egyenlőtlenség is fennáll tetszőleges u mellett. Ha önadungált a (6), (6) saátérték feladat, akkr keresztszimmetrikus a T Green-féle függvénymátrix: G(, ) = G (,,).. A saátérték feladat numerikus megldása Helyettesítsünk y -t a megldást adó () képleten r helyére. Az K K y( ) = G(, ) y ( )d (7) eredmény egy hmgén Fredhlm típusú integrálegyenlet rendszer (tváiakan IER). A fenti IER numerikus megldására a numerikus integrálási elárásk segítségével nyílik lehetőség [9]. Tekintsük a n J( ) = ( )d w( ), (8) =0 integrál frmulát, ahl a ( ) vektr és a w súlyk ismertek. Az integrál frmula alkalmazásával a n w G(, ) y( ) = y ( ) = / (9) =0 egyenletet kapuk a (7) IE-ől. Az utói egyenlet megldásával adódnak a = / közelítő saátértékek és a hzzáuk tartzó y ( ) közelítő saátfüggvények. Az elárás a következő: ha a fenti egyenleten helyére rendre i ( i= 0,,,, n) -et írunk, akkr a n w G(, i ) y( ) = y ( i ) = / i,, i =,, n, (0) =0 vagy ami ugyanaz a = alakú hmgén, lineáris egyenletrendszerre utunk, ahl K 7

8 Kiss L. P., Szeidl Gy. = diag( w,, w w,, w ), a G (, ) szimmetrikus, ha a prléma 0 0 l n l n T T T T önadungált és = [ y ( 0) y ( ) y ( n )]. A (0) algerai saátérték feladat megldása után megkapuk a r közelítő saátértékeket és r saátvektrkat, míg a vnatkzó saátfüggvények a saátértékek és saátvektrk (9)-e történő helyettesítésével adódnak: n r r r =0 i y ( ) = w G(, ) y ( ) r = 0,,,, n. () Osszuk fel a, intervallumt egyfrma hsszúságú részintervallumkra és alkalmazzuk az integrál frmulát minden egyes részintervallumra. Megismételve a ()-re vezető gndlatmenetet könnyen elátható, hgy az így kaptt algerai saátérték feladat azns szerkezetű, mint (). Az is lehetséges, hgy a (7) IE-et úgy kezelük, mint egy peremintegrál egyenletet és izparametrikus közelítést alkalmazzunk a részintervallumk felett. Ez eseten az e-edik elem felett e e e e y = N ( ) y N ( ) y N ( ) y () a saátfüggvények közelítése (az e-edik részintervallumt az, tartmányra képezzük le és az utóit Le -vel elölük a tváiakan.) Kvadratikus apprximáció esetén N i = diag( Ni), N = 0.5 ( ), N =, N = 0.5 ( ), az y i, ( i =,,) pedig az y saátfüggvény a részintervallum kezdő, középső és végpntáan vett értékeit elöli - ezek az ismeretlenek. A () közelítést helyettesítve a (7) IE-e az e y n e e y( ) = G ( x, ) [N( ) N( ) N( )] d y () L e= e e y összefüggést kapuk, ahl n e az elemek (részintervallumk) száma. A () egyenlettől megismételve a ()-re vezető gndlatmenetet, ismét egy algerai saátérték feladatt kapunk. 5. A Green-féle függvénymátrix számítása 5.. Bevezető megegyzések A. szakaszan részletezett definíció alapán tekintük át een a szakaszan a Green-féle függvénymátrix meghatárzását. Tételezzük fel, hgy a Green-féle függvénymátrix G(, ) = Y ( ) A ( ) B ( ) () () = alakú ezzel a választással telesül a. alatti tuladnság ahl (a) az előel e 7

9 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései [pzitív](negatív), ha [ ]( ) ; () az A és szerkezetűek: B mátrixk pedig az alái A A B B A = =, = = =,,; A A B B B (5) A A B B (c) a B együtthatók függetlenek a peremfeltételektől. Mivel (ahgyan az már a. szakaszan is szerepelt) az Y és Y mátrixk eltérőek ha >0 (negatív a P ) és ha > 0, m > (pzitív a P ), ezért ezt a két esetet külön-külön kell áttekinteni. 5.. A Green-féle függvénymátrix, ha <0 Az egyszerű írásmód kedvéért vezessük e az a = B, = B, c = B, d = B, e = B, f = B i i i i i i elöléseket. Nem nehéz elátni tváá, hgy B = B = B = B = 0. Az a,,f ismeretlenekre vnatkzó egyenletrendszer a Green-féle függvénymátrix. és. alatti tuladnságainak (flytnssági és szakadási feltételek) felhasználásával adódik. Valóan, ha = a ()-(5) képletek alapán i = esetén írhatuk, hgy 0 cs sin cs sin a sin cs sin cs 0 0 sin cs sin cs 0c = cs sin cs 0 sin 0 d m, (6) 0 sin cs sin 0 cs 0e 0 cs sin cs 0 sin 0 f 0 ahnnan sin cs a B B m = =, = =, m sin c B d B = =, = =, m cs e B f B = =, = =. Ha i =, akkr pedig m m m (7) 75

10 Kiss L. P., Szeidl Gy. 0 cs sin cs sin a sin cs sin cs sin cs sin cs 0c = cs sin cs 0 sin 0 d 0 sin cs sin 0 cs 0e 0 cs sin cs 0 sin 0 f a megldandó egyenletrendszer, a megldásk pedig cs sin cs a = B =, = B =, c = B =, Az sin d = B = 0, e = B =, f = B =. A állandók közül A i A i A i Ai A i Ai i ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) =,;, az ismeretlenek (mivel A = A = A = A = 0!). A. tuladnság szerint telesülne kell (6) peremfeltételeknek. Innen a Ai cs sin cs sin Ai cs sin cs sin sin cs sin cs 0 Ai sin cs sin cs 0 = Ai sin cs sin 0 cs 0 sin cs sin 0 cs 0 A i A i a cs sin c cs d esin f a cs sin c cs d esin f asin cs c sin d e cs =. asin cs c sin d e cs asin cs c sin e cs asin cs c sin e cs egyenletrendszer következik. Legyen = cs sin sin cs cs cs két alkalmas állandó. Ezekkel a megldásk: = sin, = sin, (8) (9) (0) () 76

11 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései Ai = cs d, Ai a a a c f i Ai d e A a c f cs, = cs cs cs cs, cs cs sin cs sin sin cs, Ai a c c f Ai sin dm sin sin d cs sin sin cs sin sin sin cs cs cs, 5.. A Green-féle függvénymátrix, ha >0 d e e sin cs sin sin. és > m A Bi,, B i állandókat ugyanúgy kell számlni, mint az előző eseten, de mst a (0) képlet ada B és B értékét. Ha i = kapuk hgy 0 cs sin csh sinh a sin cs sinh csh 0 0 sin cs sinh csh 0 c = cs sin csh 0 sinh 0 d m 0 sin cs sinh 0 csh 0 e 0 cs sin csh 0 sinh 0 f 0 ahnnan sin cs a B B m = =, = =, m sinh c B d B = =, = =, m csh e = B =, f = B = a keresett megldás. Ha i = m m m () () 77

12 Kiss L. P., Szeidl Gy. 0 cs sin csh sinh a sin cs sinh csh sin cs sinh csh 0 c = cs sin csh 0 sinh 0 d 0 sin cs sinh 0 csh 0 0 e cs sin csh 0 sinh 0 f a megldandó egyenletrendszer. A megldásk pedig Az cs sin csh a = B =, = B =, c = B = sinh d = B = 0, e = B =, f = B =. A mátrixk elemei a (6) peremfeltételek felhasználásával adódó A cs sin csh sinh A cs sin csh sinh sin cs sinh csh 0A sin cs sinh csh 0 A sin cs sinh 0 csh 0 sin cs sinh 0 csh 0 A A i a cs sin c csh d esinh f a cs sin c csh d esinh f asin cs c sinh d e csh =. asin cs c sinh d e csh asin cs c sinh e csh asin cs c sinh e csh egyenletrendszer megldásai. A állandók evezetésével M = sin, = sinh = cs sinh sin csh cs csh i i i i i = () (5) (6) (7) 78

13 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései Ai = cs d, Ai = a cs csh a sin csh Ai = d e csh, = csh cs cs csh, Ai a c f a c f sin sinh csh, Ai = a c cs sinh Ai d c sin sinh cs csh f cs, = sinh sin sinh sin a megldásk alaka. d d e cs sinh sin csh sin (8) 6. Az = függvény. A falags nyúlás kritikus értéke 6.. Falags nyúlás az erő függvényéen A későiek miatt ismernünk kell a középvnaln mért falags nyúlás és a terhelő erő közötti kapcslatt. Megegyezzük, hgy a elen tanulmányan megmaradunk a lineáris elmélet keretei között. A keresett összefüggés ez eseten a (6) DER megldását igényli, ha f t = f n = 0. A [,0) és (0, ] intervallumkra vnatkzó megldáskat aznan illeszteni kell az falags nyúlás aznan állandó és ugyanaz mindkét intervallum felett. Az U = = M = 0 peremfeltételek, valamint a =0 helyre vnatkzó U = U, =, =, = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 dm dm N = N, M = M, P = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 ds ds = 0 = 0 kntinuitási és diszkntinuitási feltételek felhasználásával a részleteket illetően a [0] MSc diplmatervre utalunk kapuk, hgy cs tan cs P =, =, (50) m cs m msin cs I ahl a dimenziómentes erő ha [negatív] (pzitív), akkr is [negatív] (pzitív). e (9) 79

14 Kiss L. P., Szeidl Gy. 6.. A falags nyúlás kritikus értéke Ha növelük, értékét ( <0), akkr elő, vagy utó elveszti a rúd a stailitását. Tegyük fel, hgy a stailtásvesztéshez tartzó (sugárirányú) [érintőirányú] elmzdulásnövekmény (páratlan)[párs] függvénye a -nek. Ez eseten a kritikus falags nyúlás számítása a -re, mint saátértékre vnatkzó és a DER, valamint az K y, = 0, = m (5) U () = = = 0 hmgén peremfeltételek által meghatárztt saátérték feladat megldását igényli. Figyeleme véve, hgy a megldásk = A A cs A sin A5 cs A6 sin, (5) U = A A A sin A cs A sin A cs 5 6 alakúak az A i (i =,,,6) integrációs állandók számítására a peremfeltételek alapán felírt hmgén lineáris ER-nek csak akkr van triviálistól különöző megldása, ha zérus a determinánsa. Eől a feltételől kapuk (a részleteket ismét elhagyva), hgy =. Következésképp crit = = (5) m m a kritikus falags nyúlás értéke. 7. Számítási eredmények Frtran90 nyelven prgram készült a Fredhlm IER-rel meghatárztt saátérték feladat megldására. Az így kaptt numerikus eredményeket ugyanazn rúd szaadrezgéseinek sátfrekvenciáival hasnlítuk össze utóiakkal kapcslats eredményeket illetően ismét a [0] munkára utalunk. (5). ára. Számítási eredmények csuklós rúdra 80

15 Tetőpntáan kncentrált erővel terhelt síkgöre rúd rezgései A. ára az / szaad hányadst árázla az / crit hányads, mint független váltzó függvényéen két végén csuklóval megtámaszttt rúdra és mindkét terhelési esetre. Tegyük fel, hgy [0, ;,5] és m 0000]. A számítási eredmények szerint ilyenkr független az / szaad hányads értéke az m paramétertől és lineáris a vnatkzó függvénykapcslat. Az = , P < 0 szaad crit crit (55) = , P > 0 szaad crit crit egyenesek gyakrlatilag pntsan illeszkednek az eredményül kaptt pntsrra. 8. Összefglalás A evezetésen megfgalmaztt célkitűzéseinkkel összhangan keresztmetszeti inhmgenitású síkgöre rudak rezgéseit vizsgáltuk feltéve, hgy a rudat a krnapntan működő kncentrált erő terheli. Levezettük azt a peremérték feladatt, melynek segítségével tisztázható, hgyan függenek a rezgések saátfrekvenciái a terhelő erőtől. Megknstruáltuk a csuklóval megtámaszttt rúd Green-féle függvénymátrixait pzitív és negatív terhelés esetére egyaránt. A Green-féle függvénymátrix-szal a saátfrekvenciák meghatárzására irányuló saátérték feladatt Fredhlm IER-rel leírható saátérték feladatra vezettük vissza. Ezt a saátérték feladatt numerikusan megldttuk. A számítási eredmények szerint az első saátfrekvenciák négyzete lineárisan függ a középvnal falags nyúlásától. Az = függvény ismeretéen kiszámítható, hgy adtt terheléshez mekkra falags nyúlás tartzik és utána számítható a vnatkzó saátfrekvencia is. 9. Köszönetnyilvánítás A kutató munka a TÁMOP-...B-0/ elű prekt részeként az Ú Magyarrszág Felesztési Terv keretéen az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális Alap társfinanszírzásával valósul meg. A kutatás a TÁMOP...A/ aznsító számú Nemzeti Kiválóság Prgram - Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támgatást iztsító rendszer kidlgzása és működtetése knvergencia prgram című kiemelt prekt keretéen zaltt. A prekt az Európai Unió támgatásával, az Európai Szciális Alap társfinanszírzásával valósul meg. 0. Irdalm [] A.E.H. Lve. Treatese n the mathematical thery f elasticity. New Yrk, Dwer, 9. [] S. Márkus, T. Nánási. Viratin f curved eams. Shck. Vi. Dig. ():-, 98. [] P. Chidamparam, A.. Leissa. Viratins f planar curved eams, rings and 8

16 Kiss L. P., Szeidl Gy. arches. Applied Mechanics Review, ASME, 6(9):67-8, 99. [] Szeidl Gy. A súlypnti szál hsszváltzásának hatása a körívalakú rúd stailitására és szaadrezgéseinek saát frekvenciáira. PhD disszertáció, Misklci Egyetem, Mechanikai Tanszék, 975. [5] Ray Lawther. On the straightness f eigenvalue iteratins. Cmputatinal Mechanics, 7:6-68, 005. [6] A. Baksa, I. Ecsedi. A nte n the pure ending f nnhmgenus prismatic ars. Internatinal Jurnal f Mechanical Engineering Educatin, 7():8-9, 009. [7] Gy. Szeidl, L. Kiss. A nnlinear mechanical mdel fr hetergeneus curved eams. Prceedings f the th Internatinal Cnference n Advanced Cmpsite Materials Engineering, COMAT 0, vlume, pp , 8-0 Octer 0, Brasv. [8] Kiss L. P. Hetergén anyagú síkgöre rúd szaadrezgéseinek saátfrekvenciái. GÉP, LXIV(5):6-, 0. [9] C. T. H. Baker. The Numerical Treatment f Integral Equatins Mngraphs n Numerical Analysis. Clarendn Press, Oxfrd, 977. [0] Kiss L. Hetergén anyagú síkgöre rudak egyes feladatainak megldása. MSc Diplmamunka, Misklci Egyetem, Mechanikai Tanszék, 0. 8