Matematikai geodéziai számítások 9.

Átírás

1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 9 MGS9 modul Szabad álláspont kiegyenlítése SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

2 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért projekt keretében készült A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Dr Benedek Judit Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

3 Tartalom 9 Szabad álláspont kiegyenlítése 91 A feladat megfogalmazása 92 Szabad álláspont meghatározása 93 Számpélda

4

5 9 fejezet - Szabad álláspont kiegyenlítése 91 A feladat megfogalmazása 1 ábra Az ábrán látható hálózatban adottak az A és B pontok vetületi koordinátái Mértük az távolságokat, valamint ismerjük a mérési eredmények előzetes középhibáit, a irányokat és a és a értékeket Meghatározandók: a P pont koordinátái és a z tájékozási szög közelítő értékei, a javítási egyenletrendszer, a mérési eredmények súlymátrixa, a normálegyenlet rendszer együtthatómátrixa és a tisztatag vektor, a P pont koordinátái és a tájékozási szög kiegészítő értékei, a P pont kiegyenlített koordinátái m-ben és a tájékozási szög kiegyenlített értéke, a mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények, a súlyegység középhibája és az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái A normál-egyenletrendszer megoldásához szükséges inverz mátrixot az adjungált mátrix segítségével kell meghatározni Dimenziók: szögmásodpercben: részben a javítási egyenletek tisztatagjai, a tájékozási szög kiegészítő értéke, mm-ben: részben a javítási egyenletek tisztatagjai, mérési javítások, a P pont koordinátáinak kiegészítő értékei, a kiegyenlített ismeretlenek középhibái, m-ben: a P pont koordinátáinak közelítő értékei és kiegyenlített koordinátái Az itt fel nem sorolt mértékegységek megtalálhatók a mintapéldában

6 Matematikai geodéziai számítások Leadandók különálló borítólapba foglalva: A feladatkiírás és a kiinduló adatok (feladatlapba foglalva), Számítások listája a rész- és végeredményekkel együtt, A feladatot, a felhasznált képletekkel és tájékoztató szöveges információkkal együtt különálló borítólapba foglalva - kézzel írott, vagy Microsoft Word formátumban kell leadni 92 Szabad álláspont meghatározása Tudjuk, hogy a szabad álláspont meghatározásakor a meghatározandó ponton a mérőállomással belső irányokat és távolságokat mérünk az ismert pontokon felállított prizmákra Ha csak belső irányokat mérnénk, legalább 3 belső irány esetén hátrametszésről, 2 belső irány és 2 távolság esetén pedig a beillesztett sokszögvonal egy speciális esetéről beszélnénk, nevezetesen arról, amikor a 2 adott pont közötti egyetlen sokszögpontról mérünk irányt és távolságot a sokszögvonal kezdő- és végpontjára (ábra) Természetesen, a szabad álláspontnak még egyéb variációi is elképzelhetők A szabad álláspont koordinátáit a mérőállomás mikroszámítógépe számítja, a felhasználó már csak a kész eredményeket olvassa le, ill rögzíti 2 ábra: Beillesztett sokszögvonal 2 sokszögoldallal 3 belső irány esetén nincs fölös mérésünk, 2 belső irány és 2 távolság esetén a mérési eredmények száma n = 4, a meghatározandó ismeretlenek száma pedig m = 3, a pont két koordinátája és a tájékozási szög A fölös mérések száma n m = 1, tehát fennáll a kiegyenlítés feltétele Válasszuk mintapéldaként ezt az egyszerű esetet! Fejezzük ki a mérési eredményeket a meghatározandó ismeretlenek függvényében! Közvetítő egyenletek az iránymérésekre: Közvetítő egyenletek a távolságmérésekre: MGS9-2

7 Dr Bácsatyai László Szabad álláspont kiegyenlítése A fenti egyenletekben ismeretlenek az álláspont koordinátái és a z tájékozási szög Legyenek még adottak a mérési eredmények és előzetes középhibái, azaz eltekintünk attól, hogy az elektronikus távmérés pontossága függ a mért távolságtól A koordináták közelítő értékeit a fenti ábra alapján, a beillesztett sokszögvonal számításának megfelelően kapjuk A sokszögvonal AB záróoldalának irányszöge: induló irányszöggel számítjuk a sokszögvonalat, ill a sokszögoldal összegek tengely-irányú komponenseit az y, x segédkoordináta-rendszerben, majd meghatározzuk az α szöget: A irányszög: 3 ábra: A irányszög számítása A irányszög: A irányszög: A koordináták közelítő értékei: A sorba fejtés korlátai miatt itt feltétlenül szükséges jó közelítő értékek bevezetése! MGS9-3

8 Matematikai geodéziai számítások 9 A z tájékozási szög közelítő értéke: 2010 Képezzük az alábbi parciális deriváltakat: A javítási egyenletek: MGS9-4

9 Dr Bácsatyai László Szabad álláspont kiegyenlítése A javítási egyenletek tiszta tagjai: A megoldás:, ahol az ismeretlenek kiegészítő értékeit a keresett ismeretleneket pedig az ismeretlenek közelítő értékeit MGS9-5

10 Matematikai geodéziai számítások a javítási egyenletek tisztatagjait tartalmazza Továbbá a javítási egyenletrendszer együttható mátrixa a súlymátrix a normálmátrix mérési eredmények egymástól függetlenek a tisztatagok vektora A P mátrixról feltételezzük, hogy az egyes Megbízhatósági mérőszámok: Kofaktor-, vagy súlykoefficiens mátrix: Kovariancia-mátrix: A keresett ismeretlenek utólagos középhibái: j = 1, 2, 3, a mátrix j - ik főátló-beli eleme, a μ0 pedig a súlyegység utólagos középhibája A mátrix nem diagonális, hiszen a matematikai megoldás az ismeretlenek között korrelációkhoz vezet A súlyegység középhibája: MGS9-6

11 Dr Bácsatyai László Szabad álláspont kiegyenlítése, mert most f = 4 3 =1 a fölös mérések száma A μ0 értékének számításához szükség van a számítása a vektorra Ennek vektor ismeretében a javítási egyenletrendszer figyelembe vételével történhet 93 Számpélda Adott pontok koordinátái: Pontszám y (m) x (m) A , ,79 B , ,24 Mérési eredmények: A mérési eredmények előzetes középhibái: 1 Közelítő értékek számítása: MGS9-7

12 Matematikai geodéziai számítások A koordináták közelítő értékei: A z tájékozási szög közelítő értéke: 2 A javítási egyenletrendszer együttható mátrixa: Az mátrix A(1,1), A(1,2), A(2,1) és A(2,2) elemeinek dimenziója /mm, ha a távolságokat mm-ben helyettesítjük be A többi elemnek nincs dimenziója 3 A javítási egyenletrendszer tisztatagjai: MGS9-8

13 Dr Bácsatyai László Szabad álláspont kiegyenlítése Az l1 és l2 elemek dimenziója szögmásodperc ( ), az l3 és l4 elemek dimenziója mm 4 A javítási egyenletek: A megállapodott dimenzióknak megfelelően az első két egyenlet tagjai, a 3 és 4 egyenlet tagjai mm dimenziójúak 5 A súlymátrix: A súlyok meghatározásánál a súlyegység középhibájának De -öt választottunk, ahonnan, ezért a súlymátrix főátlójának első két eleme távolságmérés előzetes középhibája A főátló utolsó két eleme ekkor - A mellett - 6 A normál egyenletrendszer együttható-mátrixa és a tisztatag vektor: 7 A normál egyenletrendszer megoldása: 8 Adjungált mátrix képzése: a) Az mátrix elemeihez tartozó aldeterminánsok: MGS9-9

14 Matematikai geodéziai számítások b) Az aldeterminánsokból képzett mátrix: c) Az eredeti mátrix determinánsa: d) Az inverz mátrix: 9 A keresett ismeretlenek kiegészítő értékei: A két első kiegészítő érték dimenziója mm, a harmadiké szögmásodperc 10 Kiegyenlített ismeretlenek (a P pont koordinátái m-ben és a tájékozási szög -ben): 11 Mérési javítások és kiegyenlített mérési eredmények: MGS9-10

15 Dr Bácsatyai László Szabad álláspont kiegyenlítése Az 1 és 2 mérési javítás, a 3 és 4 mérési javítás mm dimenziójú 12 Megbízhatósági mérőszámok: A súlyegység középhibája: Az ismeretlenek kiegyenlítés utáni középhibái: Irodalomjegyzék Bácsatyai László: Kiegyenlítő számítások, elektronikus jegyzet pdf formátumban, NYME Geoinformatikai Kar, Székesfehérvár, MGS9-11

16