12. előadás: Gauss Krüger vetület

Átírás

1 . előadás: Gauss Krüger vetület. előadás: Gauss Krüger vetület A vetület elvei és vetületi srai A Gauss Krüger-féle ábrázlási mód (vetület) a Gauss-féle szögtartó síkvetület elveit alkalmazza az ellipszidra mint alapfelületre. A Gauss Krüger vetületen az x krdináta megegezik az ellipszid Sldner-féle krdináta-rendszerének x krdinátájával az pedig a Sldner-féle krdinátáhz képest úg váltzik hg a vetület szögtartó legen. Végeredménben tehát a Gauss Krüger vetület nem más mint az ellipszid egenlítői elhelezésű érintő szögtartó hengervetülete.. ábra: Gauss Krüger-vetület keletkezése A Gauss Krüger vetület úg keletkezik hg az ellipszidhz lan hengert rendelünk amelnek az egenlítő síkjában fekvő tengele átmeg az ellipszid középpntján (transzverzális elhelezés) és a képzeletbeli hengernek a tengelére merőleges síkmetszete lan ellipszis amel teljesen tehát alakra és méretre is megegezik az ellipszid meridián-ellipszisével (ábra). Ebben az esetben a henger és az ellipszid közös vnala az érintési meridián a trzulásmentes vnal tehát az m 0 vetületi méretarán-ténező az egséggel egenlő. Miután a hssz- és területtrzulás az előbbi meridiántól távldva nő a trzuláskra az ábrázlás kívánalmai szerint megszabtt határnak megfelelően eg vetületi rendszer az érintési meridiántól csak eg bizns földrajzi hsszúságkülönbségig használható. Az ábrán feltüntetett két ún. szegélmeridián a vetületi rendszer illetve ahg ennél a vetületnél nevezik vetületi sáv határait jelöli ki. Az eges vetületi sávkhz tartzó képzeletbeli hengerek palástja természetesen mindig az illető sáv középmeridiánja mentén érinti az ellipszidt. Az érintési vnal képe az x tengel pzitív ága észak felé mutat és ennek megfelelően az tengel (az egenlítő képe) pzitív ága kelet felé iránul. A síkkrdináta-rendszer kezdőpntját általában alkalmasan megválaszttt X 0 és Y 0 értékkel úg tlják el hg eg adtt területen minden krdináta pzitív előjelű legen és ne kelljen túl nag abszlút értékű síkkrdinátákkal számlni. -

2 Óravázlat a Vetülettan előadásaihz. ábra: Gauss Krüger vetületi sávk A vetületi srk a szögtartóság alapegenletéből vezethetők le. Az alábbiakban a vetület általáns redukált elhelezés esetén is érvénes összefüggéseit mellékeljük. Az eltlt Gauss Krüger síkkrdináták az X = X + m x = X + B + A Λ + A Λ + Y = Y + m = Y + A Λ + A Λ + A Λ + srkból számíthatók. A srk egütthatói közül pl. az A jelentése: ( 8 tan Φ + Φ) N m A = cs Φ tan. 0 ρ B 0 a meridiánív hsszát jelenti az egenlítőtől számítva a pntn átmenő Φ földrajzi szélességű paralelkörig. Λ -val a pnt középmeridiánra vnatkzó földrajzi hsszúságát jelöljük: Λ = Λ Λ K ahl ΛK a sáv középmeridiánjának földrajzi hsszúsága. Az η ellipszidi segédmenniség. Síkkrdinátákból a földrajzi krdináták számítása: x = X X = Y Y Φ = Φ T + B + B + Λ = B + B + B Λ = Λ K + Λ. Pl. a B jelentése: + -

3 B ρ ( + 8tan Φ + Φ ) = T tan 0 N T m csφt. előadás: Gauss Krüger vetület Φ T a kérdéses pntból a középmeridiánra merőleges gedéziai vnal középmeridiánn levő talppntjának földrajzi szélessége. A B és az A A valamint B B értékek az ellipszid méreteitől és a pnt földrajzi szélességétől függő állandók. Az állandókat a földrajzi szélesség kerek értékeire pl. annak minden percére a Φ T értéket pedig az x krdináta kerek értékeire pl. kilméterenként táblázatba fglalhatjuk és a közbeeső egütthatókat a táblázati értékek között interpláljuk. (A B B értékeket ΦT -hez a többieket Φ -hez kell interplálni.) Az m vetületi méretarán-ténező azért szerepel az összefüggésben hg azk redukált egenlítői elhelezésű hengervetületre is érvénesek legenek. A Gauss Krüger vetületen az m természetesen az egséggel egenlő. A mellékelt összefüggések felhasználásával az eredméneket közvetlenül szlgáltató számítógépi prgramk készíthetők. A vetületi meridiánknvergencia és a lineármdulus srai A vetületi meridiánknvergencia éppúg mint a lineármdulus mind a földrajzi- mind a vetületi síkkrdinátákból (nem az eltlt X Y-ból) számítható. A vetületi meridiánknvergencia sra: µ = C + Λ + C Λ + C Λ = K + K K ahl C C C egütthatók a földrajzi szélességtől K K K pedig a ΦT -től függnek. A képletből µ -t előjelhelesen kapjuk ha figelembe vesszük hg a földrajzi szélesség is előjeles menniség (az egenlítőtől északra pzitív délre negatív). A kaptt előjel szemlélet alapján is können ellenőrizhető mert a vetületi meridiánknvergencia előjele az északi féltekén a középmeridiántól keletre (a keleti fél sávban) mindig pzitív a nugati fél sávban pedig mindig negatív azaz megegezik a vetületi (eltlás nélküli) krdináta előjelével. A déli féltekén ezzel ellentétes az előjelek alakulása. A lineármdulus srai pedig: l = m + H Λ + H Λ = m + T + T Ahl H és H a földrajzi szélességtől függnek és = R m T = k R m. k T R k a kérdéses pnt földrajzi szélességéhez tartzó közepes sugarú gömb sugarát jelenti. A C H K és T egütthatók is táblázatba fglalhatók. A C és H egütthatókat a Φ K és T egütthatókat pedig a Φ T értékhez kell interplálni. Természetesen készíthetők a végeredméneket közvetlenül adó számítógépi prgramk is. Hssztrzulási ténező és iránredukció A hssztrzulási ténező képlete: m m + e k + f + = g k T. -

4 Óravázlat a Vetülettan előadásaihz ahl = R m k e = g =. R k m R k m f + k = = R k a vnaldarab közepéhez tartzó simulógömb sugara és pedig a vnaldarab két végpntjának krdinátái. Az iránredukciók képlete: " = a k x + b x + c k x d k " = a k x + b x c k x + d k ahl a (6.8) alatt megadtt értékeken kívül és x = x x ρ" ρ" ρ" a = b = c = R k m R k m 6 R k m d ρ" = tan Φ k ηk. R k m A Gauss Krüger vetület sávbesztása A lineármdulus képletéből látható hg a hssztrzulás lénegében a középmeridián képével azns x tengeltől számíttt távlság négzetével aránsan nő. A sr harmadik tagjának elhagása és m 0 = behelettesítése után a Gauss Krüger vetület alkalmazási határát az l + T = + R összefüggés határzza meg melben l a megengedett legnagbb lineármdulus. Ebből: ( ) = R l. Ha km-enként /0 000 mértékű hssznövekedést engedünk meg akkr (l -) = 0000 és = R 000 = 00R. R helébe Magarrszág közepes földrajzi szélességéhez tartzó simulógömb sugarát helettesítve: 90km ami az előbbi földrajzi szélességen -

5 . előadás: Gauss Krüger vetület Λ középmeridiánra vnatkzó hsszúságnak felel meg. Magarrszágn tehát a középmeridiánhz szimmetrikusan elhelezkedő x = szélességű sáv szegélmeridiánjain éri el a hssztrzulás az /0 000 értéket. Nagméretaránú térképezés céljára -s vag -s sávbesztást alkalmaznak. Magarrszágn a -s sáv szélein a lineármdulus: l = a -s sáv szélein pedig: l = 0008 Tpgráfiai térképek szerkesztéséhez a nemzetközi besztás 6 -s sávszélességet állapít meg. A 6 -s sávk szélein l = Magarrszágn a Gauss Krüger vetületet csak 6 -s sávszélességgel alkalmazzák. Az előbbiekből kitűnik hg a Gauss Krüger vetületen csak kelet-nugati iránban krlátztt kiterjedésű terület ábrázlható egbefüggően. A sávbesztás legen az S sávszélesség akár vag akár 6 az ellipszidt egmással S nagságú szöget bezáró meridiánkkal határlt kétszögekre vetületi sávkra sztja. Ezeket a meridiánkat szegélmeridiánknak nevezzük. Minden eges vetületi sávhz a síkn eg-eg krdináta-rendszer tartzik. A kétszög középmeridiánjának egenesként jelentkező képe a vetületi sáv krdináta-rendszerének x tengele. Ennek pzitív ága észak felé mutat. Az egenlítő képe a középmeridián képére merőleges egenes: ez az tengel amel északkeleti tájékzású krdináta-rendszerben kelet felé iránul. A krdináta-rendszereket az kapcslja egbe hg az tengelek eg egenesbe esnek. A krdináta rendszer kezdőpntja a középmeridián és az egenlítő metszéspntjának képe. A szmszéds sávk szegélmeridiánjai az egenlítőnél érintik egmást. A nemzetközi 6 -s sávrendszer kialakításáhz átvették az : méretaránú világtérkép meridián iránú besztását. Az ellipszid felületét az átellenes meridiántól kezdve 60 darab 6 -s sávra szttták és ezeket a sávkat kelet felé haladva arab számkkal (zónaszám) jelölték. Íg a greenwichi meridián a 0. sávt zárja. Magarrszág amelnek területe nugat-keleti iránban 6 földrajzi hsszúságtól a földrajzi hsszúságig terjed a. és. sávba esik. Ezeknek a sávknak a középmeridiánja a és földrajzi hsszúságú meridián a szegélmeridiánk földrajzi hsszúsága pedig és 8 illetve 8 és. A nagméretaránú térképezésre szlgáló -s illetve -s sávrendszert célszerű úg kialakítani hg a 6 sávk középmeridiánjai egúttal keskenebb sávk középmeridiánjai is legenek. Íg Magarrszág számára nha nugat-keleti kiterjedése csak 7 nég -s sávra ( 8 földrajzi hsszúságú középmeridiánkkal) illetve ugancsak nég -s sávra (7 9 és földrajzi hsszúságú középmeridiánkkal) van szükség. A Gauss Krüger ábrázlási módt a Föld rszágainak többsége bevezette és alkalmazza gedéziai és tpgráfiai munkálataihz. Gauss Krüger vetületet vezetett be katnai célkra a vlt Varsói Szerződés tagállamaival egütt Magarrszág is. Az összekapcslt és közösen kiegenlített hármszögelési hálózatt a Kraszvszkij ellipszidn mint alapfelületen helezték el. -

6 Óravázlat a Vetülettan előadásaihz A negatív előjelű síkkrdináták kiküszöbölésére az vetületi krdinátákhz mindegik sávban Y 0 = m-t adtak hzzá: Y = + Y 0. Az x krdináta mindig pzitív ezért nem kell eltlást alkalmazni: X = x + X 0. Az X 0 zérus is lehet. A vetületi egenletekből nem tűnik ki hg eg kérdéses pnt melik 6 -s sávban van hiszen Y 0 = m mindegik sávban ezért a zónaszám másdik számjegét (a. sávban -at a. sávban -et) a Y krdináta elé írják. Az Universal Transverse Mercatr (UTM) vetület A vetület egenlítői elhelezésű (transzverzális) univerzális hengervetület angl nelvű elnevezésének (Universal Transverse Mercatr prjectin) kezdőbetűiből kapta a nevét. Ezt a vetületfajtát különböző alapfelületekhez - a világ száms rszágában alkalmazzák tpgráfiai célkra. Az UTM vetület alapfelülete Németrszágban pl. a Hafrd ellipszid Nag Britanniában az Air ellipszid az Amerikai Egesült Államkban és a kelet európai új NATO tagállamkban íg Magarrszágn is a WGS8 ellipszid. A sávbesztás megegezik a Gauss Krüger vetületnél megismerttel az ellipszid teljes felületének ábrázlásra itt is 60 db 6 s sávra van szükség. A képfelület egenlítői elhelezésű hengerpalást srzat. Mindegik hengerpalást az adtt sáv középmeridiánjára szimmetrikusan elhelezkedő két nrmálellipszis mentén metszi az ellipszidt. E két ellipszis trzulásmentes; a közöttük levő területen a hsszak rövidülnek a nrmálellipszisek és a szegélmeridiánk közötti területen pedig növekednek (. ábra). Az UTM vetület tehát az előbb felsrlt ellipszidkhz alkalmaztt redukált Gauss Krüger vetület. Ennek értelmében vetületi összefüggései megegeznek a Gauss Krüger vetület általáns (redukált elhelezésre is érvénes) egenleteivel csak más betűjelzéseket használnak. A sáv középmeridiájának képe pl. a N az egenlítő képe pedig a E tengel. A vetületi méretarán-ténező: m 0 = cs Λ n =09996 ahl Λ n a nrmálellipszis és az egenlítő metszéspntjának a középmeridiántól mért földrajzi hsszúsága. A vetületi srk egütthatói az alapfelületet adó ellipszidhz készített táblázatkból interplálhatók. A vetületi számításk megkönnítésére számítógépi prgramkat is készítettek. Vegük figelembe hg a földrajzi krdináták is előjeles menniségek (a Φ az egenlítőtől északra a Λ Greenwichtől keletre pzitív). -6

7 . előadás: Gauss Krüger vetület. ábra: UTM vetület A negatív előjelű síkkrdináták kiküszöbölésére az UTM vetületnél is segéd krdináta-rendszert alkalmaznak. Észak-dél iránban FN (False Nrthing) kelet-nugati iránban FE (False Easting) az eltlás jelölése: N = N + FN ahl E = E + FE FN = 0000 m az északi féltekén FN = m a déli féltekén FE = m mindegik sávban.. ábra: Segéd krdináta-rendszer UTM vetületen -7

8 Óravázlat a Vetülettan előadásaihz Az eddigiek alapján eg adtt pnt (N E) bármelik vetületi sávban lehetne ezért a pntt tartalmazó 6 x 8 kiterjedésű ellipszidi aznsítóját az E krdináta elé írják (Magarrszág területén T U T U) (ábra).. ábra: A 6 x 8 kiterjedésű ellipszidi négszögek aznsítása Az UTM vetületet a földrajzi szélesség - 80 <Φ < + 8 tartmánában alkalmazzák a pólusk körüli területek ábrázlására az ellipszid két nrmális elhelezésű redukált szteregrafikus vetülete (UPS Universal Plar Steregraphic) szlgál. Az UTM vetület a 6 -s sávszélesség miatt csak tpgráfiai célkra alkalmas hiszen a sáv középmeridiánján végig 0 cm-rel rövidülnek a hsszak km-enként (l = m 0 = 09996). Nagméretaránú felmérésre 6 -s sávszélességet alkalmaznak pl. m 0 = vetületi méretarán-ténezővel. A -s sávkat itt is úg alakítják ki hg közülük minél több essen egbe 6 -s sávk középmeridiánjaival. Ilenkr a sávk között nem kell vetületi átszámítást végezni mert közös a síkkrdináta-rendszerük. Magarrszágn az UTM vetület kilméter hálózati vnalait (krdináta-tengelekkel párhuzams egenesek) a krábbi Gauss Krüger szelvénekre lila színnel ránmtatják. Az új felmérésű UTM lapk is a Gauss Krüger szelvénezésnek megfelelően készülnek. Az ellipszid egenlítői elhelezésű hengervetületeinek jelentősége Az ellipszid egenlítői elhelezésű hengervetületei (Gauss Krüger UTM) a Föld teljes felszínének ábrázlásáhz visznlag kevés krdináta-rendszert igénelnek (60 db 6 -s sáv és két szteregrafikus vetület). A sávk egmással egbevágóak azaz csak egetlen sávra kellett a vetületi számításkhz szükséges táblázatkat elkészíteni mert azk valamenninél használhatók. A táblázatk elkészítését az is megkönnítette hg a sávk egenlítővel határlt két fele szimmetrikus egmással és ugancsak szimmetrikusak a középmeridiánnal határlt fél sávk is. Ennek megfelelően a táblázat adatait csak eg neged sávra kellett kiszámítani a többi negedre az adatk abszlút értéke uganaz csupán eges adatk előjele különbözik. Tvábbi előne a vetületeknek hg a sávk csatlakztatása egszerű mert az azns szélességű sávk szegélmeridiánjain a hssztrzulás egfrmán alakul. -8

9 . előadás: Gauss Krüger vetület Míg az egéb gedéziai vetületek elhelezésük következtében csupán heli rendszereknek tekinthetők addig az ellipszid egenlítői elhelezésű hengervetületei nemzetközi jellegűek. A Gauss Krüger (UTM) ábrázlási módt a világ rszágainak többsége bevezette és alkalmazza gedéziai és tpgráfiai munkálataihz. Vetületnélküli rendszerek Magarrszág eges területrészeiről ahl a 9. század közepe óta részletes felmérést még nem végeztek még ma is csak a krábbi időkből származó lan nagméretaránú ( : 880) térképeink vannak amelek közvetlenül az ellipszidi adatkból síkra vetítés nélkül készültek (98-ben az rszág területének %-án). Ebben az ún. vetületnélküli rendszerben az alapfelületi hsszakat és a szögeket redukciók nélkül vitték át a síkra. Az alakzatknak ilen módn való csatlakztatása természetesen képletekkel ki nem fejezhető trzuláskkal jár. Az ábrázlás kis körnezetben megközelítőleg területtartó. Magarrszágn hárm vetületnélküli rendszer vlt:. Budapesti rendszer. Kezdőpntja a Gellért-heg felsőrendű hármszögelési pnt.. Nagszebeni rendszer. Kezdőpntja a Vízaknai-heg felsőrendű hármszögelési pnt.. Ivanicsi rendszer. Kezdőpntja az Ivanics (Ivanić) felsőrendű hármszögelési pnt. A síkkrdináta-rendszer x tengelének pzitív ága mindhárm rendszerben a kezdőpnt meridiánjának déli ága felé mutat az tengel a kezdőpntban az x tengelre merőleges egenes pzitív ága nugat felé iránul. A kezdőpntk egbeesése és a krdináta-tengelek hasnló tájékzása miatt a budapesti szteregrafikus és a budapesti vetületnélküli krdináták általában csak néhán méterrel különböznek egmástól ezért können összetéveszthetők. -9