3. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK GRAFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS REALIZÁLÁSA

Átírás

1 3. LOGIKI FÜGGVÉNYEK GRFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS RELIZÁLÁS tananyag célja: a többváltzós lgikai függvények grafikus egyszerűsítési módszereinek gyakrlása. Elméleti ismeretanyag: r. jtnyi István: igitális rendszerek I fejezet. Elméleti áttekintés 3.. Mi a lgikai függvények egyszerűsítésének a célja? 3.2. Milyen algebrai összefüggéseken alapul a diszjunktív, ill. knjunktív alakban történő egyszerűsítés? 3.3. Egyszerűsítse algebrai módszerrel az alábbi függvényt: F = Ábrázlja a fenti függvényt KV táblán, ill. kmbinációs táblán Milyen következtetést vn le a KV tábla egyeseinek elhelyezkedésére vnatkzóan az összevnási lehetőségek szempntjából? 3.6. Mit ért algebrailag szmszéds mintermeken? 3.7. Hgyan helyezkednek el az algebrailag szmszéds mintermek a KV táblán? 3.8. z előzőek alapján miért előnyösebb a KV táblás megadási módszer, mint a kmbinációs tábla? 3.9. Miért van szükség mégis a kmbinációs táblára? szavakban definiált vezérlési feladatt meg tudjuk-e adni közvetlenül KV táblán? 3.0. Miért nehézkes az algebrai egyszerűsítési módszer? 3.. Mit értünk egy lgikai függvény implikánsán, ill. primimplikánsán? 3.2. Mit értünk nélkülözhetetlen, ill. szükséges primimplikánsn? 3.3. Hgyan történik a primimplikánsk keresése a grafikus egyszerűsítésnél? 3.4. Miért a lehető legnagybb tömböt kell kialakítani? 3.5. Mi a követelmény az egyszerűsítésnél a kiinduló, ill. egyszerűsített függvénnyel szemben a függvény, ill. 0 helyeire vnatkzóan? 3.6. Hgyan történik a nélkülözhetetlen, ill. szükséges primimplikánsk kiválasztása? 3.7. Mely primimplikánsk lesznek nélkülözhetetlenek? 3.8. Miért célszerű megjelölni azn mintermeket, amelyeken csak egy hurk megy keresztül? 3.9. Hgyan történik a nem teljesen határztt függvények primimplikánsainak keresése?

2 3.20. Milyen értékeket célszerű az érvénytelen kmbinációkhz rendelni a, diszjunktív b, knjunktív alakbani egyszerűsítésnél? 3.2. Van-e értelme csupán X-ket tartalmazó tömböt kialakítani? Igen? Nem? Miért? Hány váltzóig használható a síkbeli KV tábla? Milyen prbléma lép fel 4 váltzó felett a KV táblán? Hgyan készíthető öt-, ill. hatváltzós térbeli KV tábla? Hat lgikai váltzó fölött milyen módszerrel végezhető el az egyszerűsítés? Milyen hálózatkat tekintünk kétszintű, ill. többszintűnek? Milyen kapcslatban van a kétszintű realizálás a diszjunktív, ill. knjunktív alakbani egyszerűsítéssel? Hányféleképpen realizálható egy lgikai függvény kétszintű hálózattal? Miért előnyös a NN/NN, ill. NOR/NOR alakbani realizálás? Mit tekintünk ekvivalens megldásknak? 3.3. Milyen pótlólags egyszerűsítési lehetőségek vannak érintkezős hálózatk esetén? 3.. Példa Jelölje be a 3.. ábrán egy-egy választtt minterm valamennyi szmszédját és ellenőrizze a megldást a válaszk megtekintésével. 3.. ábra 2

3 3.2. Példa Végezze el a 3.2. ábrán látható valamennyi KV tábla egyeseinek tömbösítését. Írja be a lelvastt eredményeket, majd ellenőrizze a megldást ábra 3

4 3.3. Példa Egyetlen tömbbel fedje le a 3.3. ábra KV tábláinak valamennyi -esét, majd a tömbök lelvasása és beírása után ellenőrizze válaszait ábra 4

5 3.4. Példa Végezze el a 3.4, 3.5 és 3.6. ábrákn adtt függvények tömbösítését és lelvasását. helyes választ csak valamennyi megldás után nézze meg ábra Eredmények: X: Y: V: Z: X2: Y2: V2: Z2: X3: Y3: V3: Z3: 5

6 3.5. ábra Eredmények: X: Y: V: Z: X2: Y2: V2: Z2: X3: Y3: V3: Z3: 6

7 2 3 X Z V Y 3.6. ábra Eredmények: X: Y: V: Z: X2: Y2: V2: Z2: X3: Y3: V3: Z3: 7

8 3.5. Példa Egyszerűsítse az F (,,, ) = (0,,3,4,5,6,7,,4,5) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban. Megldás Ábrázlja a függvényt a 3.7. ábrán megadtt KV táblán! 3.7. ábra Végezze el a tömbösítést (öt négyes tömb van)! v Pnttal jelölje meg azn mintermeket, amelyek csak egyetlen tömbbel vannak lefedve! Ezek: m?4, m?4, m? Olvassa le azn tömböket, amelyek a fenti mintermeket lefedik! Tömb (primimplikáns) Minterm 4. m0 4. m 4. m v. Vnalkázza be ezen tömböket a 3.8. ábrán! 8

9 3.8. ábra v. Maradt-e lyan minterm, amelyet a lényeges primimplikánsk nem fednek le? v. Mely tömbök redundánsak? v. Fentiek alapján a függvény minimalizált diszjunktív alakja: F= knjunktív minimál alak előállításáhz tömbösítse a függvény 0 helyeit a 3.9. ábrán! (Egy 4-es és két kettes tömb van)! 3.9. ábra v. Pnttal jelölje meg azn 0 helyeket, melyeken valamennyi tömb bejelölése után egyetlen hurk megy keresztül! Ezek: m?4, m?4, m?4, m? Írja be a fenti mintermek alá, mely primimplikáns tartalmazza! Vnalkázza be ezen nélkülözhetetlen tömbök által lefedett területet! Igen? Nem? Melyik? Van-e redundáns tömb? Igen? Nem? Melyik? v. Fentiek alapján a függvény knjunktív minimál alakja: F= 9

10 3.5.5.v. Egészítse ki a 3.0. ábrát a függvény diszjunktív, ill. knjunktív minimál alakjának megfelelő hálózattá ábra függvény NN/NN alakzatbani megvalósításáhz induljn ki a kétszer tagadtt diszjunktív minimál alakból és bntsa fel a belső tagadás jelet a e Mrgan szabály felhasználásával! F = F = NOR/NOR alakzatbani realizációhz induljn ki a kétszer tagadtt knjunktív alakból és bntsa fel a belső tagadás jelet a e Mrgan szabály ismételt felhasználásával! ( F = ) ( ) v. Egészítse ki a 3.. ábrát a függvény NN/NN, ill. NOR/NOR alakjának megfelelően! 3.. ábra v. z érintkezős megvalósításhz induljn ki a függvény diszjunktív minimál alakjából. Egészítse ki a 3.2. ábrát ennek megfelelően! 0

11 3.2. ábra v. Milyen tvábbi egyszerűsítéseket tud végezni az érintkezős hálózatn? Állapítsa meg az érintkező megtakarítást az egyszerűsítés nélküli teljes diszjunktív nrmál alakhz képest! v. Készítse el a függvény diszjunktív, ill. knjunktív alakjának flyamatábráját a 3.3. ill ábrák kiegészítése révén! KI: KI: 0 KI: KI: 0

12 3.3. ábra 3.4. ábra 3.6. Példa Egyszerűsítse az F (,,, ) = ( 0,,,2,3,4,5 ) x (5,6,7,8,9,0 ) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban. Megldás Ábrázlja a függvényt a 3.5. ábrán! 3.5. ábra Végezze el a tömbösítést! Hány tömböt képzett? 2-es tömb db 4-es tömb db 8-as tömb db Pnttal jelölje meg azn mintermeket, amelyeken csak egy hurk meg keresztül! Ezek: m?4, m?4, m?4. Írja a fenti mintermek alá a hzzátartzó nélkülözhetetlen primimplikánst! v. Vnalkázza be az ezen tömbök által lefedett területet! v. függvény diszjunktív minimál alakja: F= 2

13 knjunktív minimál alak előállításáhz végezze el a tömbösítést a kiegészített 3.6. ábrán ábra 3

14 Hány tömböt képzett? 2-es tömb db 4-es tömb db 8-as tömb db v. Pnttal jelölje meg azn mintermeket, amelyeken egy hurk megy át: Ezek: m?4, m?4, m? v. knjunktív minimál alak: F= v. Rajzlja meg az egyszerűsített függvény diszjunktív (a), ill. knjunktív (b) alakjának érintkezős megfelelőjét (ld ábra). a, b, 3.7. ábra 4

15 3.7. Példa Egyszerűsítse az F (,,, ) = ( 3,4,3,4 ) x ( 2,5,7,9,5) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban! 3.7..v. Ábrázlja a függvényt és végezze el a tömbösítést a 3.8. ábrán! 3.8. ábra nélkülözhetetlen primimplikánsk: az m?4 miatt: 4 az m? miatt: Lefedik-e a függvény valamennyi -essel jelölt mintermjét a nélkülözhetetlen primimplikánsk? Ábrázlja ismét a függvényt a 3.9. ábrán és vizsgálja meg, hgy a fennmaradt -esek lefedésére hány lehetőség van! Melyik előnyösebb? m34 Melyik előnyösebb? 4 m ábra 5

16 3.7.5.v. Fentiek alapján megldáskkal: a függvény minimál diszjunktív alakja az ekvivalens F= F= Melyik megldáshz kell több inverter? v ben a szükséges primimplikáns kiválsztása spekulatív útn történt. Végezze el a segédfüggvény (g) felírásával! E célból fglalja táblázatba a le nem fedett mintermeket és a hzzájuk tartzó primimplikánskat (3.20. ábra) ábra v. Végezze el a kijelölt műveletet! g= Figyelje meg, hgy a két szóban frgó minterm (3, 3) lefedése bármelyik, a segédfüggvényben együtt szereplő két primimplikánssal lehetséges. választás szempntjai: a, legkevesebb betűt tartalmazó szrzat, b, kevesebb váltzót tartalmazó primimplikáns lkalmazza a fenti két feltételt a kaptt g segédfüggvényre! v. b, szempnt szerint választtt szrzatk: F= F= Hasnlítsa össze a ben kaptt eredménnyel! 6

17 3.7..v. Végezze el a knjunktív alak tömbösítését a 3.2. ábrán! 3.2. ábra Nélkülözhetetlen primimplikáns az m? miatt? Vnalkázza be a ábrán, a nélkülözhetetlen tömbök által lefedett területet! Elemezze végig valamennyi fennmaradó mintermet, hgy melyik tömb választása előnyösebb, s ez alapján válassza ki a szükséges primimplikánskat: m0 = m : m6 : m0 : m : v. Mely minteremknél dönthető el egyértelműen a választás? Vnalkázza be a választtt primimplikánsk által lefedett területet a ábrán. knjunktív alakban egyszerűsített függvény (ekvivalens megldásk): F= F= ábra v. Egészítse ki a ábrát a diszjunktív alakú megldásnak megfelelően. 7

18 3.23. ábra 3.8. Példa Egyszerűsítse az F ( E,,,, ) = ( 0,,2,5,7,8,3,8,23,25,29 ) x ( 9,5,2,24,3) függvényt diszjunktív és knjunktív alakban! megldást az ismert lépésekben végezze el a ábrán! Eredmény: F= E=0 E= ábra 8

19 3.9. Példa Egyszerűsítse a ábrán grafikusan adtt ötváltzós függvényt diszjunktív alakban! X4 - X X3 - X2 X3 - X ábra 3.0. Példa Egyszerűsítse a ábrán grafikusan adtt hatváltzós függvényt diszjunktív alakban! Végezze el a tömbösítést a 4 váltzós táblákn, majd a szmszéds táblák között! Jelölje be az összefüggő tömböket! Eredmény: F= X X F X X E X X ábra 9

20 3.. Példa Állapítsa meg, hgy a ábrán látható lgikai hálózat a legegyszerűbben van-e realizálva! választól függően krrigálja a kapcslást és ellenőrizze az eredményt! a b & F c c d 4X& ábra 3.2. Példa Állapítsa meg, hgy a ábrán vázlt érintkezős hálózatról a mellékelt KV tábla felhasználásával, hgy jól van-e egyszerűsítve! Krrigálja a kapcslást, majd rajzlja meg az MSz jelképet, ill. flyamatábrát! KI: KI: ábra Gyakrló feladatk Egyszerűsítse az alábbi függvényeket a, diszjunktív b, knjunktív alakban a mellékelt KV táblák felhasználásával (3.29. ábra). 20

21 3.. F (,,, ) = ( 2,3,5,7,8,2,4 ) 3.2. F (,,, ) = (,4,6,7,0,2,3,4 ) X (3,5,5) 3.3. (0,,2,3,4,6,8,9,0,) F (,,, ) = 3.4. F ( X, Y, Z,V ) = (,3,7,9,2,3,4,5) X ( 4,) 3.5. F (,,, ) = ( 2,5,6,9,3,4) X ( 0,7,8,0,5) 3.6. F (,,, ) = ( 4,0,,3) X ( 0,2,5,5) 3.7. F ( P,0, R, S ) = ( 2,6,7,8,0 ) X ( 0,2,3,5) 3.8. F ( X, Y,V, Z ) = (,4,6,8,,2) X ( 2,5,3,5) 3.9. (3,0,2,7,22,3) F,,,, É = ( ) (2,3,4,5,6,0,,2,3,4) 3.0. F ( X, Y, Z,V ) = 3.. F ( X, Y, Z,V ) = ( 2,3,4,5,6,,,3, ) X (0,2,4 ) 3.2. F (,,, ) = (0,,2,4,7,9,0,2,5) 3.3. F (,,, ) = (,3,5,7,8,0,,2,4 ) 3.4. F (,,, ) = (3,6,8,0,,3,4,5) 3.5. F (,,, ) = (0,2,3,4,5,8,0,,2,3,4,5) 3.6. F ( E,,,, ) = ( 2,3,4,5,6,7,3,22,23,30,3) 3.7. F (,,, ) = (,5,6,7,,2,3,5) 3.8. F (W, X, Y, Z ) = ( 4,5,7,2,4,5) X ( 3,8,0) 3.9. Y (,,,, ) = ( 0,2,4,7,,3) X (,5,8,0,4 ) Y (,,,, ) = ( 0,2,4,7,,3) X (,5,8,0,4 ) 3.2. Y (,,,, ) = ( 0,,4,7,,3) X ( 2,5,8,0,4 ) Y (,,,, ) = ( 0,2,4,7,,4 ) X (,5,8,0,3) Y (,,,, ) = ( 0,2,4,8,,3) X (,5,7,0,4 ) 2

22 3.29. ábra 22

23 Válaszk, megldásk 3.. Példa: lásd a 3..v. ábrát! 3..v. ábra 3.2. Példa: a megldáskat a 3.2. ábra szerinti elrendezésben adjuk meg. X : F = Y : F = V : F = Z : F = W : F = K : F = X 2 : F = X 3 : F = Y 2 : F = V 2 : F = Z 2 : F = W 2 : F = K 2 : F = Y 3 : F = V 3 : F = Z 3 : F = W 3 : F = K 3 : F = 3.3. Példa: X : F = = Y : F = X 2: F = X 3 : F = Y 2 : F = Y 3 : F = 3.4. Példa a 3.4. ábra jelölésével: X : F = = Y : F = X 2 : F = X 3 : F = Y 3 : F = = ( V : F = Y 2 : F = V 2 : F = V 3 : F = Z : F = Z 2 : F = Z 3 : F = ) 23

24 3.5. ábra jelölésével: X : F = Y : F = V : F = X 2 : F = Y 2 : F = Z : F = V 2 : F = X 3 : F = Y 3 : F = V 3 : F = Z 3 : F = Z2: F = 3.6. ábra jelölésével: X: F = X 2 : F = X 3: F = Y 2 : F = Y : F = V 2: F = V : F = Z 2 : F = Y3: F = V 3 : F = Z3: F = Z : F = 3.5. Példa Lásd a 3.7.v. ábrát! 3.7.v. ábra Lásd a 3.8.v. ábrát. 3.8.v. ábra Redundáns tömbök:, 24

25 F = Lásd a 3.9.v. ábrát! ( F = ) ( ) 3.9.v. ábra Lásd a 3.0.v. ábrát! 3.0.v. ábra Lásd a 3..v. ábrát! 3..v. ábra Lásd a 3.2.v. ábrát! 25

26 3.2.v. ábra Lásd a 3.3.v. ill. 3.4.v. ábrát! 3.3.v. ábra 3.4.v. ábra 3.6. Példa Lásd a 3.5.v. ábrát! 3.5.v. ábra F = 26

27 Lásd a 3.6.v. ábrát! ( F = ) ( ) 3.6.v. ábra Lásd a 3.7.v. ábrát. 3.7.v. ábra 3.7. Példa Lásd a 3.8.v. ábrát. 3.8.v. ábra F = F = 27

28 g = ( a c ) ( b d ) g = ab bc ad cd ab, bc Lásd a 3.22.v. ábrát! 3.20.v. ábra v. ábra m, m ( )( ) = ( )( ) ( )( ) F = ( )( ) F Lásd a 3.23.v. ábrát! 3.23.v. ábra 3.8. Példa 3.24.v. ábra alapján: F = E 28

29 3.24.v. ábra 3.9. Példa 3.25.v. ábra alapján: F = X 2 & X 4 X 3 & X 5 X 2 & X v. ábra 3.0. Példa 3.26.v. ábra alapján: Y = F F 29

30 3.26.v. ábra 3.. Példa 3.27.v. ábra szerinti tömbösítéssel: F = 3.27.v. ábra 30