DIGITÁLIS TECHNIKA I LOGIKAI (BOOLE-) FÜGGVÉNYEK LOGIKAI FÜGGVÉNYEK ÉS KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATOK MI A BOOLE (LOGIKAI) FÜGGVÉNY?

Átírás

1 DIGITÁLIS TECHNIKA I Dr. Pıdör Bálint BMF KVK Mikrelektrnikai és Technlógia Intézet. ELİADÁS: LOGIKAI FÜGGVÉNYEK 8/9 tanév. félév LOGIKAI (BOOLE-) FÜGGVÉNYEK. Lgikai függvények: alapfgalmak. Kétváltzós lgikai függvények (összefglaló). Határztt és nem teljesen határztt lgikai függvények és kmbinációs hálózatk. 4. Lgikai függvények kannikus algebrai alakjai, diszjunktív és knjunktív nrmálalakk. 5. Minterm és maxterm fgalma, alkalmazásk. MI A BOOLE (LOGIKAI) FÜGGVÉNY? A Ble algebra egy- és kétváltzós mőveletei egyúttal egy- és kétváltzós függvényeknek is tekinthetık. A függvény fgalma a váltzók számának kiterjesztésével általánsítható. n-váltzós Ble függvény vagy lgikai függvény Z = f(x, X,...X n ) A Z függı váltzó lgikai értékét az n db X i független váltzó értékei határzzák meg. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK ÉS KOMBINÁCIÓS HÁLÓZATOK Minden egyes lgikai függvényhez megadható egy kmbinációs hálózat, illetve minden egyes lgikai feladathz és kmbinációs hálózathz tartzik egy lgikai függvény. A lgikai függvények segítségével egyértelmően leírható a kmbinációs hálózatk mőködése. Ezért célszerő, ha a lgikai függvények tulajdnságaival részletesebben megismerkedünk. 4 EGYVÁLTOZÓS LOGIKAI FÜGGVÉNYEK Egy váltzó esetén négy különbözı lgikai függvénykapcslat állhat fenn. Egy- és kétváltzós lgikai függvények: részletes ismertetés 5 A f (A) f (A) f (A) f (A) Az egyes függvényeket f n i jelöli. Az i index annak a bináris számnak decimális értéke melyet az szlpba írt lgikai értékek mint bináris számjegyek alktnak. _ Két lgikai knstans,, és két igazi függvény A, 6 A.

2 AZ f FÜGGVÉNY A f Az F = f (A) = függvény lgikailag az A és F esemény között lgikailag az azt a kapcslatt írja le, ami szerint az F esemény az A eseménytıl függetlenül shasem következik be. AZ f FÜGGVÉNY A f Az F = f (A) = A függvény lgikailag azt fejezi ki, hgy F értéke mindig megegyezik A értékével, vagyis az A és F esemény egyszerre következik be. Ekkr F lgikai knstans. 7 8 AZ f FÜGGVÉNY A f Az F = f (A) = Ā függvénykapcslat a tagadás (negáció) mőveletét írja le, F = Ā. Szkáss elnevezése negálás, invertálás, kmplementálás. AZ f FÜGGVÉNY A f Az F = f (A) = függvénykapcslat azt fejezi ki, hgy az F esemény az A eseménytıl függetlenül mindig bekövetkezik. Ekkr F lgikai knstans 9 KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI FÜGGVÉNYEK Kétváltzós lgikai függvények sztályzása, Ble algebrai alakja és tulajdnságai Két váltzó esetén a bemeneti kmbinációk száma = 4, és így a lehetséges kétváltzós függvények száma 4 = 6. Mindegyik függvény a váltzókra nézve egy-egy mőveletet vagy összetett mőveletet ír le. Általáns esetben, n váltzó esetén a bemeneti kmbinációk száma k = n, és a lehetséges n- váltzós lgikai függvények száma k, rendkívül gyrsan (expnenciálisan) nı.

3 Hányféle n váltzós Ble függvény van? A kétargumentums mőveletekbıl (a triviális eseteket is beleértve) n különbözı van. = 6 különbözı vlt. Az n váltzós függvényekbıl Ez itt az argumentumk száma n= esetén 56 n=4 esetén n=5 esetén A függvények száma a váltzók számával igen gyrsan növekszik KÉTVÁLTOZÓS LOGIKAI FÜGGVÉNYEK A B f f f... f 8... f 4 f Az egyes függvényeket f n i jelöli. Az i index annak a bináris számnak decimális értéke melyet az szlpba írt lgikai értékek mint bináris számjegyek alktnak, a legfelsıt tekintve a legkisebb helyértéknek. Ld. Rımer 9. ld.,illetve Zsm (I) 7. ld. 4 MEGJEGYZÉS A JELÖLÉSEKRİL Az elıírt jegyzetek (Zsm illetve Rımer féle) azt a jelölést alkalmazzák, mikr az i index annak a bináris számnak decimális értéke melyet az szlpba írt lgikai értékek mint bináris számjegyek alktnak, a legfelsıt tekintve a legkisebb helyértéknek. Lehet ennek frdítttját is használni (a legalsó a legkisebb helyérték), ezt használja pl. az Arató-féle könyv (Mőegyetem), illetve az említett web-es anyag (BMF Székesfehérvár). 5 KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK CSOPORTOSÍTÁSA Függvény neve f(a,b) Lgikai knstansk, Egyváltzós függvények AND, OR, NAND, NOR XOR (A B ), XNOR (A B) A, A, B, B A B, A+B, A B, A+B A B+A B, A B+A B INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A B, B A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETÉS) A B, B B 6 LOGIKAI ÁLLANDÓK A B f f f... f 4 f f Az egymást 5-re kiegészítı indexő függvények egymás negáltjai. null-függvény, váltózó értékétıl függetlenül mindig értékő. f 5 egység-függvény, váltózó értékétıl függetlenül mindig értékő. A táblázatból EGYARGUMENTUMOS FÜGGVÉNYEK f (A,B) = A f (A,B) = A f (A,B) = B f 5 (A,B) = B Ezek nem valódi (kétváltzós) függvények, az egyes váltzók pnált vagy negált értékeit állítják elı. Lényegében egyargumentums függvények. 7 8 Lényegében lgikai knstanskról van szó. Az i és 5-i indexő függvények egymás negáltjai.

4 A B KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK f f f f f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f f f f 4 f 5 ÉS A B VAGY-NEM VAGY B A ÉS-NEM Egyargumentums Egyargumentums Lgikai knstansk 9 LOGIC FUNCTIONS: AND, OR, NAND, NOR A B f... f 7... f 8... f A+B AB AB A+B NOR NAND AND OR NEM-VAGY NEM-ÉS ÉS VAGY NAND, NOR: UNIVERZÁLIS MŐVEKLETEK A NAND és az NOR univerzális mőveletek: mind a NAND mind a NOR kapukból bármilyen lgikai kapcslat, illetve rendszer megvalósítható. Elvileg elég csak NAND vagy csak NOR kapukat tartatni, azkból bármilyen lgikai áramkör felépíthetı. Ennek óriási a gyakrlati jelentısége. NAND KAPU MINT UNIVERZÁLIS ELEM: TTL NAND kapus univerzális rendszer a gyakrlatban elterjedt transistr-transistr-lgic (TTL) lgikai kapurendszer, mely szilícium bipláris tranzisztr, illetve integrált áramkör technlógián alapul. Néhány példa erre már szerepelt, alább megint láthatók: NOR KAPU MINT UNIVERZÁLIS ELEM A NOR kapu is elterjedt mint univerzális elem. Gyakrlati példa az emitter-cupled-lgic (ECL) lgikai áramkörrendszer, illetve a CMOS (cmplementary metal-xide-semicnductr) technlógiájú (integrált) áramkörök, melyek alapeleme a szilícium térvezérléső tranzisztr. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK: ANTIVALENCIA, EKVIVALENCIA Függvény neve f(a,b) Lgikai knstansk, Egyváltzós függvények AND, OR, NAND, NOR XOR (A B ), XNOR (A B) A, A, B, B A B, A+B, A B, A+B A B+A B, A B+A B INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A B, B A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETÉS) A B, B B 4

5 ANTIVALENCIA ÉS EKVIVALENCIA Antivalencia (más neve kizáró vagy) Ekvivalencia Anglul: XOR (A B ), XNOR (A B) antivalency (exclusive-r) equivalency vagy cincidence 5 ANTIVALENCIA (XOR) XNOR EKVIVALENCIA (XNOR) A B f 6 f 9 A két függvény egymás ellen- tetje (negáltja) A B = A B XOR f 6 = A B = A B+A B, XNOR f 9 = A B = A B+A B 6 ANTIVALENCIA, EXCLUSIVE-OR A B f 6 f 6 = A B + A B szkáss jelölése: f 6 = A B EKVIVALENCIA, EXCLUSIVE-NOR A B f 9 f 9 = AB + AB szkáss jelölése: f 9 = A B ANTIVALENCIA más néven KIZÁRÓ-VAGY (EXCLUSIVE-OR), a függvény akkr, ha vagy az egyik, vagy a másik váltzó, és, ha mindkét EKVIVALENCIA (EXCLUSIVE-NOR), a függvény akkr, ha mindkét váltzó egyszerre vagy, és akkr ha az egyik, vagy a másik váltzó. 7 8 váltzó egyszerre vagy. KIZÁRÓ-VAGY ANTIVALENCIA Az EXCLUSIVE-OR megvalósítása történhet a definiáló Ble algebrai egyenlet alapján NEM, ÉS és VAGY kapukkal, vagy megfelelı átalakítás után NAND kapukkal mint univerzális elemmel. A TTL áramköri családban van külön kész EXCLUSIVE-OR kapu is. 9 A B f 6 Az igazságtáblázat szerint a f 6 = A B mővelet egy- ben megvalósítja a két bites maradéknélküli bináris össze- adás aritmetikai mőveletét ( fél összeadó ). Az antivalencia kapu felfgható egy-bites digitális kmparátr -nak is, ha a bemenetére érkezı két bit azns értékő, a kimeneten jelet ad, ha eltérı, akkr -et.

6 EXCLUSIVE-OR, ANTIVALENCIA A B = A B+A B, EXCLUSIVE-OR NEM, ÉS, VAGY KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA Az XOR megvalósítja két bit átvitel nélküli összeadását (fél-összeadó). Funkcinál mint vezérelt inverter (vezérlıjel: A, feldlgzandó jel: B). Funkcinál mint páratlanság-vizsgáló : ha páratlan számú bemeneten van, akkr a kimenet, ellenkezı esetben. Itt már implikáltuk az XOR kiterjesztését több bementre (értelmezés az MSz. Az XOR a Ble-egyenlet szerint megvalósítása.. Az XOR szabványs rajzjele.. Az XOR régebbi rajzjele. szerint, részletes magyarázat Zsm I, ld.!) EXCLUSIVE-OR (ANTIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA EXCLUSIVE-NOR: EKVIVALENCIA A B = A B+A B A B = A B+A B = (A B) (A B) Itt feltételezzük, hgy a negált váltzók rendelkezésre állnak. Az igazságtáblázat szerint az XNOR az XOR negáltja. Több váltzóra való kiterjesztéskr az XNOR függvénynek többféle értelmezése is elıfrdul! Pl. az MSZ szerint hárm váltzó esetén a függvény értéke csak a és az bemeneti kmbinációkra, az összes többire. A másik szkáss értelmezés esetén a függvény értéke akkr, ha a váltzók között párs számú van. 4 EKVIVALENCIA (XNOR) NEM, ÉS, VAGY KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA EXCLUSIVE-NOR (EKVIVALENCIA) NAND KAPUS MEGVALÓSÍTÁSA. Az XNOR a Ble-egyenlet szerinti megvalósítása.. Az XNOR (EKVIVALENCIA) szabványs rajzjele. A NAND kapus realizálás a De Mrgan aznsságk felhasználásával végzett átalakításk eredménye.. Az XNOR régebbi rajzjele. 5 6

7 NOR KAPUS REALIZÁLÁSOK ANTIVALENCIA (XOR) REALIZÁLÁSA NOR KAPUKKAL Természetesen mind az ANTIVALENCIA (XOR) mind az EKVIVALENCIA (XNOR) megvalósítható kizárólag NOR kapuk felhasználásával. 7 8 EKVIVALENCIA (XNOR) REALIZÁLÁSA NOR KAPUKKAL KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK: INHIBÍCIÓ ÉS IMPLIKÁCIÓ Függvény neve f(a,b) Lgikai knstansk, Egyváltzós függvények AND, OR, NAND, NOR XOR (A B ), XNOR (A B) A, A, B, B A B, A+B, A B, A+B A B+A B, A B+A B 9 INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A B, B A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETÉS) A B, B B 4 INHIBÍCIÓ (TILTÁS) IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETLÉS) Ezt a négy függvényt illetve mőveletet itt csak megemlítjük, bıvebb anyag a jegyzetekben található. Szerepük inkább a frmális lgikában van. A négy függvény: A B B A A B B B A TILTJA B-T B TILTJA A-T HA A AKKOR B IS HA B AKKOR A IS 4 A B f f 4 A TILTJA B-T B TILTJA A-T INHIBÍCIÓ, TILTÁS f = A B = A B f 4 = B A = A B 4

8 IMPLIKÁCIÓ, KÖVETKEZTETÉS A B f f HA A AKKOR B IS HA B AKKOR A IS f = A B = A + B f = B A = A + B 4 KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ÖSSZEFOGLALÁSA Függvény neve f(a,b) Lgikai knstansk, Egyváltzós függvények AND, OR, NAND, NOR XOR (A B ), XNOR (A B) A, A, B, B A B, A+B, A B, A+B A B+A B, A B+A B INHIBÍCIÓ (TILTÁS) A B, B A IMPLIKÁCIÓ (KÖVETKEZTETÉS) A B, B B 44 A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK ILLETVE BOOLE MŐVELETEK ÖSSZEFOGLALÁSA A 6 lehetséges, kétargumentums Ble mővelet illetve kétváltzós függvény közül 6 triviálisnak tekinthetı, amelyek közül kettı állandó (lgikai knstans), négy pedig egyváltzós. Az utóbbiak közül kettı a negáció. A nem triviális függvény közül elsısrban kettıt (ÉS, VAGY), illetve negáltjaikat (NEM-ÉS,NAND és NEM-VAGY,NOR), valamint az ANTIVALENCIA (XOR) és EKVIVALENCIA (XNOR) függvényeket LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALGEBRAI ALAKJAI A kmbinációs hálózatk tervezésének kiindulási lépése a lgikai függvény felírása a megldandó feladat alapján. Általában az algebrai alak használats. Egyazn függvény többféle algebrai alakban is megadható. Közöttük kitüntetett szerepük van az ún. nrmalizált vagy kannikus alakknak. tárgyaltuk LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSI MÓDJAI A lgikai függvény többféle módn megadható, illetve ábrázlható. Az alábbi módkat fgjuk alkalmazni.. Igazságtáblázat. Algebrai alak. Grafikus ábrázlás 4. Szimblikus jelölés LOGIKAI FÜGGVÉNY MEGADÁSA IGAZSÁGTÁBLÁZATTAL Egy lgikai függvény egyértelmően megadható, ha a független váltzók összes lehetséges kmbinációjáhz megadjuk a függvénykapcslat által elıírt függvényértéket. Az ilyen függvénydefiníció egyértelmő

9 LOGIKAI FÜGGVÉNY MEGADÁSA IGAZSÁGTÁBLÁZATTAL ILLETVE ALGEBRAI ALAKBAN i A B C Y Y(A,B,C) = ABC + ABC + ABC Egy lgikai függvény egyértelmő megadása: a független váltzók összes lehetséges kmbinációjáhz megadjuk a függvénykapcslat által elıírt függvényértéket. Ez az ún. igazságtáblázat. Az ilyen függvénydefiníció FÜGGVÉNY MEGADÁSA ALGEBRAI ALAKBAN A lgikai függvény megadható ly módn, hgy a lgikai mőveletek szimbólumaival (ÉS, VAGY és NEM) definiáljuk a lgikai függvényt. Egyazn függvény többféle algebrai alakban is megadható. Közöttük kitüntetett szerepük van az un. nrmalizált vagy kannikus alakknak. egyértelmő GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁS A lgikai függvény értékei pl. az igazságtáblázat segítségével grafikusan is szemléltethetık un. függvénytáblázatkn (Karnaugh-táblázatk, ill. Veitch-diagramk). Ez az ábrázlási mód krlátztt független váltzó szám esetén igen szemléletes, és az ún. függvény-minimalizáláskr jól felhasználható. SZIMBÓLIKUS JELÖLÉS Az egyes lgikai mőveleteket szimbólumk jelölhetik (pl. a rajzjelek). Elektrnikus lgikai rendszerekben minden szimbólum egy-egy, a lgikai mőveletet realizáló áramkörre utal. Így a lgikai függvények szimblikus megadása egyúttal az áramköri megvalósításról is infrmációt nyújt. 5 5 KOMBINÁCIÓS HÁLÓZAT ÉS LOGIKAI FÜGGVÉNY Egy kmbinációs hálózatban egyetlen kimeneti pnt esetén minden lgikai feladat megadható egyetlen lgikai függvénnyel. Az egyes bementeti-váltzó kmbinációkhz tartzó függvényérték a hálózat kimeneti váltzójának lgikai értékével azns. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALAKJAI A mst következı anyagt egy hármváltzós, teljesen határztt lgikai függvény igazságtáblázata fgja illusztrálni, az új fgalmakat ennek alapján vezetjük be, és az elméletet is ez alapján építjük fel. A tárgyalásmód Arató Péter (ajánltt) könyvét (Lgikai rendszerek tervezése) követi. 5 54

10 TELJESEN HATÁROZOTT LOGIKAI FÜGGVÉNY (LOGIKAI FELADAT) A B C F Teljesen határztt lgikai függvény megadható azn váltzókmbinációk felsrlásával,amelyekhez F =, vagy azkéval amihez F = tartzik. vagy F(ABC) = A B C + A BC + ABC + ABC F és F egyaránt lgikai szrzatk VAGY kapcslataként adható meg. 55 KÉTSZINTŐ ÉS-VAGY KAPUS REALIZÁLÁS Az egyes bementekre értelemszerően az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek. Analóg módn alakítható ki a csak NAND kapukból álló hálózat is. 56 NEM TELJESEN HATÁROZOTT LOGIKAI FÜGGVÉNY (FELADAT) A B C F Nem teljesen határztt lgikai függvény, van lyan váltzókmbináció, amelyekhez nincs elıírt függvényérték. A táblázat négy lyan egymástól különbözı de teljesen határztt lgikai függvényt definiál, melyekkel - megvalósíttt kmbinációs hálózatk mindegyike megldja az adtt lgikai - feladatt. A két közömbös F érték négyféleképpen tehetı határzttá. A tervezés srán kell kiválasztani a négy hálózat közül a legkedvezıbbet. 57 NEM TELJESEN HATÁROZOTT LOGIKAI FÜGGVÉNY A B C F - - A nem teljesen határztt lgikai függvények algebrai alakjában a közömbös kmbinációknak megfelelı tagkat általában zárójelben írják fel. F(ABC) = A B C + ABC + ABC + ABC + (AB C) + (ABC) 58 LOGIKAI FÜGGVÉNYEK KANONIKUS ALAKJAI A kmbinációs hálózatk tervezésénél célszerő az algebrai alakból kiindulni. Mivel egy lgikai függvénynek több algebrai alakja is van, lyan speciális tulajdnságú alakt kell keresni, mely lyan, hgy a lgikai függvényhez más, ilyen tulajdnságú algebrai alak nem rendelhetı. Az ilyen alak a lgikai függvény nrmál vagy kannikus alakja. 59 DISZJUNKTÍV KANONIKUS ALAK (EXTENDED SUM-OF-PRODUCTS) A lgikai szrzatk lgikai összegeként (ÉS-VAGY) képzett algebrai alak kannikus vagy nrmál alak. A példa szerinti függvényalak tulajdnságai: - mindegyik szrzat egy lyan független-váltzó kmbináció, melyhez F = tartzik; - mindegyik szrzatban az összes független váltzó szerepel pnált vagy negált alakban. A teljesen határztt függvénynek csak egy ilyen algebrai alakja van a diszjunktív kannikus alak. 6

11 MINTERM (DEFINICIÓ) A diszjunktív kannikus alak tagjai neve minterm m i n itt n a független váltzók száma, i a független váltzók adtt kmbinációjának megfelelı bináris szám decimális értéke. (emlékeztetı: () () (4) (6) ) F(ABC) = m + m + m 4 + m 6 más jelölés: KONJUNKTÍV KANONIKUS ALAK F(ABC) = A B C + A B C + A B C + ABC F(ABC) = m + m + m 5 + m 7 A függvény negáltja azkat a mintermeket tartalmazza, melyeket a függvény nem tartalmaz (ez csak a teljesen határztt lgikai függvényekre igaz!) F = Σ (,,4,6) 6 6 KONJUNKTÍV KANONIKUS ALAK () A De Mrgan képletek felhasználásával elvégzett átalakításkkal elıállítható az F függvény knjunktív kannikus alakja, mely az un. maxtermek szrzataként adható meg F(ABC) = F(ABC) = (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) (A + B + C) MINTERMEK ÉS MAXTERMEK KAPCSOLATA Eredeti függvény, diszjunktív nrmálalak F(ABC) = m + m + m 4 + m 6 Negált függvény, diszjunktív nrmálalak (index i) F(ABC) = m + m + m 5 + m 7 Eredeti függvény, knjunktív nrmálalak (index I) F(ABC) = M 7 M 6 M M 6 F(ABC) = M 7 M 6 M M 64 MINTERMEK ÉS MAXTERMEK ELVI LOGIKAI RAJZ A negált függvény mintermjeinek i indexe és a pnált függvény maxtermjeinek I indexei közötti összefüggés (esetünkben hárm váltzós a függvény) n-váltzós függvényre i + I = 7 = - i + I = n - 65 Minden lgikai függvény megadható ÉS, VAGY, NEM mőveletekkel. Eltekintve a bemeneti váltzók negáltját adó NEM kapuktól (INVERTER), a két kannikus alak kétszintő ÉS-VAGY illetve VAGY- ÉS kapuhálózattal realizálható. Mivel az ÉS, VAGY és NEM mőveletek akár kizárólag NAND akár kizárólag NOR kapukkal megvalósíthatók, ezért a diszjunktív nrmálalakból kiindulva bármely lgikai függvény realizálható kétszintő NAND kapus vagy NOR kapus hálózattal. 66

12 AZ F(A,B,C) ÉS-VAGY KAPUS REALIZÁLÁSA AZ F(A,B,C) NAND KAPUS REALIZÁLÁSA F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC Az ÉS kapuk bementeire értelemszerően az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek F(ABC) = ABC + ABC + ABC + ABC A NAND kapuk bemeneteire értelemszerően az egyes pnált vagy negált váltzók kerülnek. LOGIKAI FÜGGVÉNY EGYSZERŐSÍTÉSE: MINIMALIZÁLÁS Lgikai hálózat tervének gazdaságssága:. Felhasznált kapuk számának csökkentése;. Összekötetések számának csökkentése;. Kapukat megvalósító építıelem-fajták ptimális kiválasztása. A. pntbeli feladat megldására nincs általáns módszer, az. és. pntbeli feladatkra adhatók használható eljárásk. Az ptimalizálás (minimalizálás) biznys krlátkkal, mint a kapubementek számának csökkentése (minimalizálása) is megfgalmazható. 69 LOGIKAI FÜGGVÉNY EGYSZERŐSÍTÉSE: ILLUSZTRÁCIÓ kiemelések alkalmazásával = AB(C + C) + AC(B + B) = AB + AC Az eredmény egy jóval egyszerőbb algebrai alak melyet realizálva mind a kapuk, mind az összekötetések száma jelentısen csökken. 7 EGYSZERŐSÍTETT FÜGGVÉNY ÉS-VAGY KAPUS REALIZÁLÁSA LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MINIMALIZÁLÁSA A B C F(A,B,C) = AB + AC mintermek m + m + m 4 + m 6 = AB(C + C) + AC(B + B) = AB + AC Az összevnható mintermek egy helyértékben és csakis egyben térnek el egymástól: () és (), illetve () és () 7 Ez az összevnásk és a minimalizálás kulcsa! 7

13 SZOMSZÉDOS MINTERMEK, MINIMALIZÁLÁS Szmszéds mintermek: egy lgikai váltzó pnált illetve negált, a többi azns. A minimalizálás menete:. A szmszéds mintermeket összevnják, a megfelelı váltzó kiesik.. Az új alakban az esetleges szmszéds termeket megint összevnják.. Az eljárást addig flytatják míg lyan szrzatk összegét kapjuk, melyekbıl már egy váltzó sem hagyható el. Az így kaptt szrzatk, termek a prímimplikáns-k. 7 MINIMALIZÁLÁS, PRÍMIMPLIKÁNSOK A lgikai függvény minimalizált (diszjunktív) alakja tehát prímimplikáns-k összege. F(ABC) = AB + AC itt a prímimplikánsk AB és AC A lgikai függvényt egyszerősítı eljárásk célja a prímimplikánsk megkeresése. Egy függvénynek több ekvivalens legegyszerőbb alakja is lehet! 74 TOVÁBBI ILLUSZTRÁCIÓ F = m + m + m 5 + m 7 = F = Σ (,,5,7) az algebrai alak F(A,B,C) = A BC + ABC + ABC + ABC = AC(B + B) + AC(B + B) () () = AC + AC = C(A + A) = C () 75 MINIMALIZÁLÁS KONJUNKTÍV ALAKBAN Hasnló gndlatmenet érvényes a függvények knjunktív vagy maxtermes alakjára is. Két szmszéds maxterm szintén összevnható egyetlen összeggé, mely nem tartalmazza a két maxtermet megkülönböztetı váltzót. (A + B + C)(A + B + C) = (A + (B + C))(A + (B + C)) = AA + (A + A)(B + C) + (B + C) = B + C 76 FÜGGVÉNYMINIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK. Grafikus (táblázats) minimalizálás: Karnaughtáblázat alapján.. Számjegyes minimalizálás (Quine-McCluskeymódszer). VÉGE. Egzakt algebrai, számítógépre adaptálható algritmusk, pl. irredundás lefedési-algritmus csprt. 4. Egyéb (többnyire heurisztikus) eljárásk