Digitális Rendszerek (BSc)

Átírás

1 Pannon Egyetem Képfeldolgozás és Neuroszámítógépek Tanszék Digitális Rendszerek (BSc) 2. előadás: Logikai egyenletek leírása II: Függvény-egyszerűsítési eljárások Előadó: Vörösházi Zsolt

2 Jegyzetek, segédanyagok: Könyvfejezetek: -> Oktatás -> Tantárgyak -> Digitális Rendszerek (BSC). (_chapter.pdf) Fóliák, óravázlatok.ppt (.pdf) Feltöltésük folyamatosan 2

3 Függvényminimalizálás Általánosan: Függvényminimalizálást a szomszédos mintermek megkeresésével tehetjük meg. A szomszédosság megállapítása után egyszerűsítünk. Minterm implikáns (egyszerűsíthető) prímimplikáns (tovább nem egyszerűsíthető) 3

4 Függvényegyszerűsítési eljárások.) Algebrai módszer (Boole algebrai azonosságokkal) 2.) Kifejtési módszer 3.) Grafikus módszer: (Karnough tábla, igazság tábla) 4.) Normálformák: DNF: Diszjunktív Normál Forma KNF: Konjunktív Normál Forma 5.) Számjegyes minimalizálás: Quine-McCluskey 4

5 .) Algebrai módszer A Boole-algebra azonosságait használjuk fel az egyszerűsítéshez: F(A,B,C) = A B C+ A B C+ A B C+ A B C= = AC(B + B) + AC(B + B) = AC + AC = = C(A + A) = C 5

6 2.) Kifejtési módszer: Komplexebb függvények esetén egy adott változó értékét először ponáltnak, majd negáltnak definiáljuk, végül pedig az így kiszámított két logikai kifejezést összeadjuk. Ezáltal leegyszerűsödik a függvényminimalizálási feladat. 6

7 Példa: kifejtési módszer Legyen F függvény a következő: F( A, B, C) = A B C+ A B C+ A B C+ A B C Ha A:= F(, B, C) = B C + BC + BC + BC = BC + BC = C ( B+ B) = C Ha A:= F(, B, C) = B C+ B C+ B C + BC = BC + BC = B ( C+ C) = B Végül összeadjuk a kettőt (egyszerűsített alak): F( A, B, C) = A F(, B, C) + A F(, B, C) = = AC + AB 7

8 Az egyszerűsített függvény logikai áramköri realizációja A F( A, B, C) = A C+ A B B F C Inverter szint ÉS kapuk szintje VAGY kapuk szintje 8

9 3.) Grafikus módszer Karnough (Veicht) diagramm Példa: Tömbösítés szabályainak betartása! C BC A B 3 2 A B C+ B C = C ( B + B) C Lehetséges, de nem tömör összevonások Legtömörebb összevonás 9

10 Példa : 7-szegmenses dekóder áramkör tervezése Számjegyek (-9) és spec. hexadecimális karakterek megjelenítésére ( ) nemzetközi elnevezései a szegmenseknek: (a, b, c, d, e, f, g) 6 érték (4 biten ábrázolható): F(X,Y,Z,W) a f e g d b c

11 Példa: 7-szegmenses dekóder tervezése (folyt) Igazságtábla (f szegmensre) Karnough tábla: ZW XY X Kapott f kimeneti függvény: W Z Y sor X Y Z W f f ( X, Y, Z, W) = Z W + X Y + Y W + X Z + X Y Z

12 Példa : A 7-szegmenses dekóder logikai áramköri realizációja X Y Z f W f ( X, Y, Z, W) = Z W + X Y + Y W + X Z + X Y Z 2

13 Példa 2: 7-szegmenses dekóder áramkör tervezése Csak számjegyeket (-9) megjelenítésére BCD: Binárisan kódolt decimális számokra Nemzetközi elnevezései a szegmenseknek: (a, b, c, d, e, f, g) érték (4 biten ábrázolható): F(A,B,C,D) NTSH: használjunk Nem Teljesen Specifikált Hálózatot (igazságtábla kimeneti függvényértékeiben lehetnek don t care - definiált állapotok) n Feladat: n= 4 2 F = (,,3, 4,5,6,7,8,9) x :,,2,3,4,5 i= f e a g d 3 b c

14 Példa 2: 7-szegmenses dekóder tervezése (folyt) Igazságtábla (c szegmensre) Karnough tábla: CD AB A - / Kapott c kimeneti függvény: D C / - / - / - / / 8 9 B sor A B C D c cabcd (,,, ) = A+ B+ C+ D 4

15 Példa 2: 7-szegmenses dekóder logikai áramköri realizációja (BCD) A B c C D cabcd (,,, ) = A+ B+ C+ D 5

16 4.) Normálformák (NF) DNF: Diszjunktív Normál Forma mintermek (szorzattermek) VAGY kapcsolata KNF: Konjunktív Normál Forma Maxtermek (összegtermek) ÉS kapcsolata 6

17 Példa : Diszjunktív Normál Forma Legyen: n= 4 Karnough tábla: n 2 F = (,,3, 7,,2,4,5) i= CD AB C 3 2 Kapott F függvény: A D F(A,B,C,D) = C D + A B C + A B D B 7

18 Példa 2: Konjunktív Normál Forma Legyen: n= 4 Karnough tábla: n 2 F = (2, 4,5, 6,8,9,,3) i= CD AB C 3 2 Kapott F függvény: A B F(A,B,C,D) = (A + C + D) (A + B + C) (A + C + D) (A + B + D) D 8

19 5.) Számjegyes minimalizálás (Quine-McCluskey módszer) Szomszédosság szükséges feltételei: Decimális indexek különbsége 2^n kell legyen (szükséges, de nem elégséges feltétel!) Pl: i: 6-2=4 (szomszédos), de i:-6=4 (nem szomszédos) Bináris súlyuk különbsége. (Hamming távolság) Pl: (7) vagy (9) (3) (7) jó x xxx rossz (szükséges, de nem elégséges feltétel!) A nagyobb decimális indexűnek kell nagyobb bináris súllyal szerepelnie! (szükséges, de nem elégséges feltétel!) Y Y 4 Y Y 5 Y 2 Y 3 Y 8 Y 9 Y 3 Y 7 9 Y 2 Y 6 Y 5 Y 4 Y Y

20 Példa: Számjegyes minimalizálásra (Quine-McCluskey módszer) Oldjuk meg a következő feladatot a Quine- McCluskey módszerrel Ha adott az F függvény DNF alakban: n= 4 n 2 F = (,,3, 7,,2,4,5) i= CD AB C 3 2 Karnough tábla: A B D 2

21 Számjegyes minimalizálás Quine-McCluskey módszer I.lépés Csoportosítás bináris súlyuk szerint: ahol a kimeneti értékük -s volt. [ bináris súly] [ bináris súly] 3 [2 bináris súly] 2 7 [3 bináris súly] 4 5 [4 bináris súly] bináris súly szerinti csoportképzések 2

22 Számjegyes minimalizálás Quine-McCluskey módszer II.lépés II. Összes létező szomszédos kételemű lefedő tömb összevonása (Karnough tábla alapján) Minterm Decimális különbség, (),3 (2) 3,7 (4) 3, (8) 2,4 (2) 7,5 (8),5 (4) 4,5 () CD AB A C B D 22

23 Számjegyes minimalizálás Quine-McCluskey módszer III.lépés III. Összes létező szomszédos kettesekből képzett négyelemű lefedő tömb összevonása Minterm (Karnough tábla alapján), (),3 (2) 3,7 (4) 3, (8) Decimális különbség Négyes Összevonás 2,4 (2) 3,7,,5 (4,8) 7,5 (8),5 (4) 4,5 () CD AB A D C B

24 Számjegyes minimalizálás Quine-McCluskey módszer IV.lépés IV. Prímimplikáns tábla felírása a megmaradt összevonásokkal (III. lépés alapján) sor *, () * *,3 (2) * * * 2,4 (2) * * 4,5 () * * * 3,7,,5 (4,8) * * * * * : ahol egy adott mintermhez tartozó oszlopban csak egy * van, az a sor jelöli a lényeges prímimplikánst (ahol az implikáns tovább már nem egyszerűsíthető!). Az a sor nem elhagyható! 24

25 Számjegyes minimalizálás Quine-McCluskey módszer V.lépés V. Prímimplikánsokból képzett kimeneti függvény megadása (IV. lépés alapján): (,): (2,4): (3,7,,5): A mintermen belüli egyszerre / tagok kiesnek! Tehát a kimeneti minimalizált F függvény a következő: F= + + F= A B C+ A B D+ C D 25

26 Ajánlott: fejezetek végén a feladatok (Exercises) részek áttekintése. 26