3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}

Átírás

1 3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi érték: attól függ, hogy a szám melyik pozíción áll Példa: = 5 * * * 1 = 5 * * * = 5 * * * 1 = 5 * * * 16 0 Számrendszerek közötti konverzió: =? * * * 1 = =? = 4096, 16 2 = 256, 16 1 = 16, 16 0 = / 256 = / 16 = / 1 = = =? = 1024, 2 9 = 512, 2 8 = 256, 2 7 = 128, 2 6 = 64, 2 5 = 32, 2 4 = 16, 2 3 = 8, 2 2 = 4, 2 1 = 2, 2 0 = / 512 = / 256 = / 128 = / 64 = / 32 = / 16 = / 8 = / 4 = / 2 = / 1 = =

2 Másik megoldás: (jegyzet) =? =? 16 /2 Maradék /16 Maradék = = =? = = 50 Törtek konvertálása =? 2 /2 Maradék egész * Nem biztos, hogy véges tizedes tört binárisan is véges lesz! Horner elrendezés: Hogy néz ki a szám Horner elrendezésben? (((2 * ) * ) Hogy néz ki a szám Horner elrendezésben? (((5 * 8 + 7) * 8 + 2)

3 Összeadás: Mi a és a számok összege? Mi a 14AA5 16 és a F32 16 számok összege? 14AA5 + F D7 Előjeles fixpontos számok ábrázolásai: Előjeles abszolút érték: balról az első bit az előjel: 0, ha a szám pozitív, 1, ha negatív a 0 kétféleképpen ábrázolható: , a legkisebb szám -127, a legnagyobb 127 Egyes komplemens: az első bit az előjel (0, ha pozitív; 1, ha negatív) A szám -1-szerese úgy kapható meg, hogy minden bitjét ellenkezőjére állítjuk. a 0 kétféleképpen ábrázolható: , Kettes komplemens: az első bit az előjel, 0: pozitív, 1: negatív a pozitív szám negáltja úgy kapható meg, hogy az egyes komplemenshez hozzáadunk 1-et. a legkisebb szám a -128, a legnagyobb 127 a nulla egyértelműen ábrázolható Feladat: számoljuk ki a kettes komplemensét. Megoldás: = (pozitív szám kettes komplemense önmaga, ha <= 127) Feladat: számoljuk ki a kettes komplemensét. Megoldás: a gyakorlaton = (pozitív szám kettes komplemense önmaga, ha <= 127) = (ez már kettes komplemens) Többletes számábrázolás: a szám és a többlet összegét ábrázoljuk előjel nélkül, m bites szám esetén a többlet 2 m-1 vagy 2 m-1-1 pl.: = többletes érték: = többletes érték: = 93 a legkisebb szám -128, a legnagyobb 127, a nulla egyértelműen meghatározható a 2 m-1 többletes ábrázolás azonos a kettes komplemenssel fordított előjellel. lebegőpontos számok kitevő-részénél használják

4 BCD (Binary Coded Decimal) ábrázolás: minden decimális számjegyet négy biten ábrázolunk. a negatív számokat 9-es vagy 10-es komplemens kóddal ábrázoljuk. Megjegyzés: A 9-es és 10-es komplemens ahhoz kell, hogy tudjunk negatív számokat ábrázolni. A 10-es komplemens úgy állítható elő, hogy balról az első BCD szám (4 bit) értéke dönt abban, hogy mi lesz az előjel. Ha ennek értéke 0,... 4, akkor a szám pozitív, ha 5,..., 9 akkor negatív. Ezen kívül, a szám többi részét hozzá kell adnunk, talán könnyebben megérthető az alábbi táblázat alapján. Tehát pl. ha kétjegyű BCD számunk van, akkor 00 a 0-t jelenti, a 49 még a 49-et, de 50 már -50-et, mert kétjegyű számmal 100 különböző értéket tudunk ábrázolni, -50-től 49-ig. A komplemens arra utal, hogy negatív számok esetén -50-hez kell hozzáadni a második számjegy értékét. BCD Decimális érték ( ) ( ) ( ) A 9-es komplemens annyiban különbözik a 10-es komplemenstől, hogy le kell vonni belőle 1-et. Az előadásjegyzetben szereplő és számok a következő módon ábrázolhatóak BCD kóddal (most binárisan) = BCD (BCD) = BCD (BCD 9-es komplemens) = BCD (BCD 10-es komplemens) Ez azért van így, mert három számjeggyel 1000 különböző érték ábrázolható = 699, vagyis, a 10-es komplemens értéke így jön ki. A 9-es komplemens meg eggyel kevesebb. A BCD számoknál megkülönböztetünk pakolt és pakolatlan számokat. Mivel minden decimális számjegy ábrázolásához elegendő 4 bit (0000,..., 1001), így egy bájton ábrázolhatunk két BCD számjegyet. Ha egy bájton két BCD számjegyet ábrázolunk, akkor ezt pakolt BCD számábrázolásnak nevezzük. Ha minden BCD számjegyet egy bájton ábrázolunk (a felső 4 bit csupa 0), akkor ezt az ábrázolási módot pakolatlan BCD számábrázolásnak nevezzük. Feladat: ábrázoljuk pakolt BCD kóddal a et. Megoldás: BCD Feladat: ábrázoljuk pakolt BCD kóddal a et. Használjunk 9-es komplemenst. Megoldás: = = BCD (BCD)

5 Lebegőpontos számok: Általában normalizált alakban ábrázoljuk. A nulla általában csupa 0-ból áll, meghatározható a legkisebb és legnagyobb ábrázolható szám, valamint a legkisebb és legnagyobb hiba. Az IEEE 754 standard szerint single: 32 bit: előjel (1 bit), kitevőrész (8 bit 127-többletes), a törtrész abszolút értéke (23 bit) double: 64 bit: előjel (1 bit), kitevőrész (11 bit 1023-többletes), a törtrész abszolút értéke (52 bit) Normalizált számok: kitevőrész = kitevő (-126,..., 127). Közvetlenül a törtrész elé kell képzelni egy 1-est (implicit bit) és a bináris pontot. pl.: 1 = előjel kitevőrész 1. törtrész 0.5 = előjel kitevőrész 1. törtrész Normalizálatlan számok: ha a kitevőrész = 0, ilyenkor a kitevő = -126 nem 127 a bináris pontot implicit 0 előzi meg, ami nincs ábrázolva pl.: = = Ha a kitevőrész = 255, akkor vagy túl nagy számokról, vagy NaN-ról beszélünk. Bájtsorrend: nagy endián a legmagasabb helyértékű bájt a szóban a legalacsonyabb címen kis endián a legmagasabb helyértékű bájt a szóban a legmagasabb címen Hamming kód, hibajavító kód: Két kódszó Hamming-távolsága az eltérő bitek száma. A biteket 1.-től számozzuk. A kódszóba paritás biteket helyezünk el, amelyek azt mutatják, hogy az általuk ellenőrzött pozíciókon páros vagy páratlan számú 1-es van. A paritásbiteket a 2-hatvány pozíciókra helyezzük el. A k-adik bitet azok az k 1, k 2,..., k j paritásbitek ellenőrzik, amelyek összege k, vagyis k 1 + k k j = k. Pl.: a 7. bitet az 1. a 2. és 4. bit ellenőrzi. Ha egy bit elromlik, akkor a paritásbitek alapján ki lehet számolni, hogy melyik bit romlott el. Megjegyzés: A paritásbitek által ellenőrzött pozíciók megkaphatók, ha felírjuk a pozíciók bináris alakját.

6 1. bit: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, bit: 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, bit: 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31, bit: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, bit: 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, Példa: A paritás biteket úgy állítjuk be, hogy az ellenőrzött pozíciókon az 1-esek száma páros legyen eredeti adat: eredeti adat paritás bitekkel: pozíciók elrontott adat paritás bitekkel (a 10. bit romlott el): A paritásbitekkel ellenőrizhetjük, hogy melyik pozíción romlott el a bit értéke. Az 1. pozíción lévő paritásbit jó, tehát a 1., 3., 5., 7., 9., 11. pozíciókon lévő bitek jók A 2. pozíción lévő paritásbit nem jó, tehát a 2., 3., 6., 7., 10., 11. pozíción lévő bitek egyike rossz A 4. pozíción lévő paritásbit jó, tehát a 4., 5., 6., 7. pozíción lévő bitek értékei jók lehetnek. A 8. pozíción lévő paritásbit nem jó, tehát a 8., 9., 10., 11. pozíciókon lévő bitek egyike rossz. Tehát összesítve az 2., 3., 6., 7., 8., 9., 10., 11. valamelyike rossz. Azt láttuk, hogy a 3., 6., 7., 9., 11. pozíciókon jó bitek állnak. Marad a 8-as és a 10-es pozíció. A 8-as bit értéke még nem ad információt, viszont a 2-es bit értéke rossz, és e kettő közül csak a 10. bitpozíciót ellenőrzi a 2. bit, vagyis ez romlott el. Feladat: A adatot lássuk el paritásbitekkel. Megoldás: a gyakorlaton Feladat: Melyik bitje sérült a szónak? Megoldás: a gyakorlaton A 1. bit értéke rossz: a 1., 3., 5., 7., 9., 11., 13. bit valamelyike rossz A 2. bit értéke jó, tehát a 2., 3., 6., 7., 10., 11. bit értéke jó A 4. bit éréke rossz, tehát a 4., 5., 6., 7., 12., 13. bit jó A 8. bit értéke rossz, tehát a 8., 9., 10., 11., 12., 13. bit valamelyike rossz Tehát az 1., 9., valamelyike rossz. Ha a 9. bit rossz, akkor a 8.-nak is rossznak kell lennie.