A számrendszerekrl általában

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A számrendszerekrl általában"

Átírás

1 A számrendszerekrl általában Készítette: Dávid András

2 A számrendszerekrl általában Miért foglalkozunk vele? (Emlékeztet) A mai számítógépek többsége Neumann-elv. Neumann János a következ elveket fektette le:. A számítógép legyen univerzális (több célra felhasználható programvezérelt)! 2. A programot az adatokhoz hasonlóan tároljuk a gépben! Adat és program memória szükségessége, 3. A gép mködésének alapja a bináris (kettes) számrendszer legyen. Egyszerbb áramköri megvalósítás, két állapot. Az eladás témája Eladásunk témája a Neumann-elv 3. pontja értelmében a számrendszerek és a számrendszerek közötti átváltások, valamint az egész és a valós számok ábrázolása. Késbbi tanulmányaink során (pl. digitális technika, programozás) találkozni fogunk a számrendszerekrl tanultakkal. Alapismeretek Eddigi matematikai tanulmányaink során két fogalommal már találkoztunk. Ez az alaki- és a helyi érték.. Az alaki érték: Az információt a számjegy alakja hordozza. Pl. az 5 jelenthet 5 db labdát, 5 db számítógépet, stb. 2. A helyi érték: Az információt a számjegy adott számban elfoglalt helye hordozza. Pl. -es számrendszerben a 23-ban az -es számjegy a százas helyi értéken, a 2- es a tízes helyi értéken, a 3-as az egyes helyi értéken szerepel. Maga a szám: *+2*+3*=23. A számítástechnikában a 2-es, a 8-as és a 6-os számrendszer használatos. A 2-es számrendszerben a számjegyeket szokás bit-nek, 8 bit-bl álló számot bájtnak nevezni. A biteket jobbról -val kezdve indexeljük helyi értékek bit bitek sorszáma bájt a legnagyobb a legkisebb helyi érték bit 2

3 A számrendszerekrl általában Érdekes kérdés, hogy az egyes számrendszerekben hány db számjegyünk van, és melyek ezek. A tízes számrendszerben tudjuk, hogy db számjegy van (-9). A kettes számrendszerben 2 db számjegy létezik, ez a és az. A nyolcasban 8 db, (-7), a tizenhatosban 6 db, (-9 és A-F). Minden helyi értéken csak egy db számjegy lehet, ezért a 9 utáni számjegyeket az angol ábécé nagybetivel jelöljük. A -nek az A, a -nek a B, a 5-nek az F felel meg. Következésképpen egy adott számrendszerben a számjegyek száma egyenl a számrendszer alapjával, a számjegyek pedig -tól számrendszer alapja-- ig terjednek. Számrendszerek közötti átváltások, konverziók. Tízes számrendszer más számrendszer Mi a tízes számrendszerben nttünk fel, így els lépésként vizsgáljuk meg, hogyan tudunk tízes számrendszerben felírt számot átváltani más számrendszerbe. Két módszert említünk meg... Osztásos módszer. Az átváltandó számot osztjuk az új számrendszer alapjával, a maradékot feljegyezzük (ez lesz az új számrendszerbeli szám egy számjegye). A hányadost ismét osztjuk az új számrendszer alapjával, a maradékot feljegyezzük. Ezt a mveletet ismételten addig végezzük, amíg -át nem kapunk hányadosként. A maradékokat visszafelé olvasva megkapjuk az átváltandó szám új számrendszerbeli alakját. Példaként írjuk fel az 553, mint -es számrendszerben felírt szám 2-es, 8-as, 6-os számrendszerbeli alakját! a) Tízes számrendszer kettes számrendszer konverzió (ismételten osztunk 2-vel) Az eredmény: 553 = 2 3

4 A számrendszerekrl általában b) Tízes számrendszer nyolcas számrendszer konverzió (ismételten osztunk 8-al) Az eredmény: 553 =5 8 c) Tízes számrendszer tizenhatos számrendszer konverzió (ismételten osztunk 6- al) Az eredmény: 553 = Helyi értékes módszer. Írjuk fel az új számrendszer helyi értékeit. Az átváltandó számban keressük meg az új számrendszer legnagyobb helyi értékét, amellyel osztható az átváltandó szám. Osszuk el a számot a megtalált legnagyobb helyi értékkel, a hányadost írjuk be a megfelel helyi értékre. Az átváltandó számot csökkentsük a hányados*helyi érték értékével. Az eredményre alkalmazzuk a módszert mindaddig, amíg -t nem kapunk eredményül. Példaként írjuk fel az 553, mint tízes számrendszerbeli szám nyolcas számrendszerbeli alakját! A nyolcas számrendszer helyi értékei 8 =; 8 =8; 8 2 =64; 8 3 =52; stb Az 553-ban az 52 mint legnagyobb helyi érték megtalálható, így az 553:52 osztás hányadosát () beírjuk az 52-es helyi értékre Az átváltandó számot csökkentjük *52-vel. Így 4-et kapunk. A 4-ben 8 mint legnagyobb helyi érték megtalálható, így a 4:8 osztás hányadosát (5) beírjuk a 8-as helyi értékre

5 A számrendszerekrl általában Az átváltandó számot csökkentjük 5*8-al. Így -et kapunk. Az -ben mint legnagyobb helyi érték megtalálható, így az : osztás hányadosát () beírjuk az -es helyi értékre Az -et csökkentjük -el. -át kapunk, így végeztünk az átváltással. A nem kitöltött helyi értékekhez értelemszeren -át írunk. Az eredmény: 553 =5 8 A helyi értékes módszer gyorsabb, a gyakorlatban mégis az els (osztásos) módszert alkalmazzák gyakrabban, mivel könny rá számítógépes algoritmust írni. A gyakorlaton ezt mi is meg fogjuk tenni. 2. Bármely számrendszer tízes számrendszer 2.. Helyi érték*alaki érték módszere Az átváltás lényege, hogy az átváltandó szám számrendszerében a megfelel alaki értékek és helyi értékek szorzatát összegezzük. Példaként ellenrizzük az -es pontban végzett konverzióink helyességét! Írjuk fel az 2 szám tízes számrendszerbeli megfeleljét! helyi értékek *2 9 + *2 8 + *2 7 + *2 6 + *2 5 + *2 4 + *2 3 + *2 2 + *2 +*2 = 553 Az eredmény: 2 = 553 Írjuk fel az 5 8 szám tízes számrendszerbeli megfeleljét! *8 3 + * *8 + *8 = 553 Az eredmény: 5 8 = 553 Írjuk fel a szám tízes számrendszerbeli megfeleljét! * *6 + 9*6 = 553 Az eredmény: = 553 5

6 A számrendszerekrl általában Horner séma A konverzió során kiindulunk az átváltandó szám legbaloldalibb (legnagyobb helyi érték) számjegyébl. Megszorozzuk az átváltandó szám számrendszerének alapjával, majd hozzáadjuk a következ számjegyet. Ezt a módszert addig ismételjük, amíg el nem fogy az átváltandó szám. Írjuk fel az 2 szám tízes számrendszerbeli megfeleljét! helyi értékek ((((((((*2+)*2+)*2+)*2+)*2+)*2+)*2+)*2+)*2+=553 Az eredmény: 2 = 553 Írjuk fel az 5 8 szám tízes számrendszerbeli megfeleljét! ((*8+)*8+5)*8+=553 Az eredmény: 5 8 = 553 Írjuk fel a szám tízes számrendszerbeli megfeleljét! (2*6+2)*6+9=553 Az eredmény: = 553 6

7 A számrendszerekrl általában 3. Kettes alapú számrendszerek közötti gyors konverziók A számítógépek kettes számrendszerbeli számokkal dolgoznak. Talán már I az eddigiek alapján I feltnt, hogy a kettes számrendszerbeli számok hosszúak, terjedelmesek, nehéz ket leírni. Oldjuk meg, hogy tömörebben leírhatók legyenek ezek a számok! Erre olyan más számrendszerek kellenek melyek könnyen átválthatók kettes számrendszerbe. A számítástechnika területén a nyolcas és a tizenhatos számrendszer terjedt el. A gyors konverzió megértéséhez nézzük meg, hogy a 8-as illetve a 6-os számrendszer számjegyei milyen kettes számrendszerbeli számokkal írhatók le! 8-as számrendszerbeli számjegy 2-es számrendszerbeli megfelel 6-os számrendszerbeli számjegy 2-es számrendszerbeli megfelel A B C D E F Megfigyelhetjük, hogy minden egyes 8-as számrendszerbeli számjegy felírható 3 bites 2-es számrendszerbeli számmal, illetve minden egyes 6-os számrendszerbeli számjegy felírható 4 bites 2-es számrendszerbeli számmal. Az átalakítás elve a csoportosítás es számrendszerbeli szám átalakítása 8-as, illetve 6-os számrendszerbe Az átalakítás során az átváltandó szám bitjeit a legkisebb helyi értéktl (jobbról) kezdve 3 bites (8-as számrendszerbe átalakítás), illetve 4 bites (6-os számrendszerbe való átalakítás) csoportokba foglaljuk. Az egyes csoportokat helyettesítjük az adott csoportnak megfelel 8-as, illetve 6-os számrendszerbeli számjeggyel. 7

8 Írjuk fel a 2 számot 8-as illetve 6-os számrendszerben! A számrendszerekrl általában hármas csoportok a hármas csoportoknak megfelel# 8-as számrendszerbeli számjegyek A megoldás: 2 = C 5 négyes csoportok a négyes csoportoknak megfelel# 6-os számrendszerbeli számjegyek A megoldás: 2 = 4C as, illetve 6-os számrendszerbeli szám átalakítása 2-es számrendszerbe Az átalakítás során egyszeren helyettesítjük a 8-as illetve a 6-os számrendszerbeli számjegyeket a neki megfelel 3, illetve 4 bites kettes számrendszerbeli megfeleljükkel. Írjuk fel 235 8, illetve a 4C5 6 kettes számrendszerbeli megfeleljét! as számrendszerbeli számjegyek 4 C 5 6-os számrendszerbeli számjegyek a megfelel# 2-es számrendszerbeli számok a megfelel# 2-es számrendszerbeli számok A megoldás: = 2 4C5 6 = 2 8

9 A számrendszerekrl általában Gyakorló feladatok Végezze el az alábbi konverziókat! -es 2-es 8-as 6-os számrendszer AC A2F ACF ADC ACF A2 9

10 A számrendszerekrl általában Mveletek tízestl eltér számrendszerbeli számokkal Ebben a részben elssorban a kettes és a tizenhatos számrendszerbeli számok közötti mveleteket vizsgáljuk meg, de az elmondottak érvényesek bármely alapú számrendszerre. Foglalkozzunk egyelre a pozitív számokkal!. Összeadás Példaként végezzük el a mveletet kettes, nyolcas és tizenhatos számrendszerben! = 8 2 = = = 7 3 B B B 6 2. Kivonás Példaként végezzük el a mveletet kettes, nyolcas és tizenhatos számrendszerben! = 6 4 = = = B B 3. Szorzás, osztás A szorzás és az osztás mveletére bonyolultsága miatt nem térünk ki. A mveletek egyszersítése A Neumann-elv számítógépek kettes számrendszerben dolgoznak. A számítógép aritmetikai egységének fejleszti törekedtek arra, hogy minél olcsóbb áramköri egységeket hozzanak létre. Ezért pl. sok processzor I az els processzorok, kivéve a matematikai társprocesszorokat I csak összeadni tud. Hogyan tudjuk akkor végrehajtani a kivonást, szorzást, és a többi mveletet? A megoldás az, hogy minden mveletet visszavezetünk összeadásra. A kivonás nem más, mint a kisebbítend és a kivonandó ellentettjének az összege. A fenti példa esetén a mvelet helyettesíthet a 23+(-59) mvelettel. A megoldandó probléma a -59 felírása kettes, nyolcas, tizenhatos számrendszerben. A szorzás visszavezethet sorozatos összeadásra (pl. 3*59= ), az osztás pedig sorozatos kivonásra.

11 A számrendszerekrl általában Számok ábrázolása A továbbiakban csak kettes számrendszerben felírt számokkal foglalkozunk. A számítógépek processzorának regiszterei illetve az operatív memória egységei csak fix hosszúságú számokat képesek tárolni, illetve a processzor mveletvégz egységei csak fix hosszúságú számokkal képesek dolgozni. Pl. 8 bit = bájt, 6 bit = 2 bájt. Az egyszerség kedvéért a továbbiakban bájtos adatokkal dolgozunk. A pozitív számokat egyszer kettes számrendszerbeli számként tároljuk. A kérdés, hogy a negatív számokat hogyan ábrázoljuk. Az egyik megoldás lehet I a leggyakrabban ezt alkalmazzák I, hogy az eljel számára kijelölnek egy bitet. el#jelbit legkisebb helyiérték bit Az eljelbit nem rendelkezik helyi érték információval, feladata csupán az ábrázolt szám eljelének tárolása. Megállapodás szerint, ha az eljelbit, akkor az ábrázolt szám pozitív, ha, akkor negatív. A szám abszolút értékét ezek után ábrázolhatnánk egyszer kettes számrendszerbeli számként, de a legtöbbször mégsem ezt tesszük. Mint említettük minden mveletet igyekeznek összeadásra visszavezetni. Hogy ez minél egyszerbben megtehet legyen a negatív számokat ún. kettes komplemens kódban ábrázolják. A kettes komplemens kód nem más, mint az additív inverz. Ha egy számhoz hozzáadjuk a kettes komplemensét I additív inverzét I, akkor -át kapunk eredményül. Egy kettes számrendszerbeli szám kettes komplemens kódját az alábbi két módszer valamelyikével képezhetjük: a) A legjobboldalibb (legkisebb helyi érték) bittl indulva minden bitet ellenkezjére ( helyett -et, helyett -át írva) változtatunk (egyes komplemens), majd a legkisebb helyi érték bithez hozzáadunk -et. b) A legjobboldalibb (legkisebb helyi érték) bittl indulva az els -ig minden bitet változatlanul leírunk (beleértve magát az els -est is), majd a többi bitet ellenkezjére változtatjuk. Példaként végezzük el a mveletet, úgy, hogy összeadást végzünk. A megoldás értelmében a 23+(-59) mveletet fogjuk elvégezni. A -59-et az 59-es szám kettes komplemens kódjával fogjuk ábrázolni. (A negatív számokat mindig kettes komplemens kódban ábrázoljuk!)

12 A számrendszerekrl általában 3 2 el#jelbit helyi értékek el#jelbit helyi értékek + = az 59 kettes komplemens kódja negatív szám: -59 További kérdés, hogy egy negatív szám abszolút értékét hogyan tudjuk meghatározni. A negatív számokat kettes komplemens kódban tároljuk, így az abszolút értéküket a kettes komplemens képzés szabályának újabb alkalmazásával tudjuk meghatározni. Ábrázolási tartomány A számítástechnikában, programozási gyakorlatban eljeles és eljel nélküli számokkal dolgozunk. Mekkora a legkisebb és a legnagyobb ábrázolható szám? A válasz természetesen függ attól, hogy hány biten tároljuk az adatokat. Néhány példa: Eljel nélküli bájtos adat. 8 bit áll rendelkezésünkre, 8 biten 2 8 azaz 256 különböz számot ábrázolhatunk. A legkisebb szám a (minden bit ), a legnagyobb szám a 2 8 -, vagyis 255 (minden bit ). Eljel nélküli 2 bájtos adat. 6 bit áll rendelkezésünkre, 6 biten 2 6 azaz különböz számot ábrázolhatunk. A legkisebb szám a (minden bit ), a legnagyobb szám a 2 6 -, vagyis (minden bit ). Eljeles bájtos adat. A legbaloldalibb bit (7. bit) eljelbit, így adattárolásra 7 bit áll rendelkezésünkre. A legkisebb szám a -2 7, azaz -28 (), a legnagyobb szám a 2 7 -, vagyis 27 (). A alakja, a --nek a felel meg. Eljeles 2 bájtos adat. A legbaloldalibb bit (5. bit) eljelbit, így adattárolásra 5 bit áll rendelkezésünkre. A legkisebb szám a -2 5, azaz (), a legnagyobb szám a 2 5 -, vagyis (). 2

13 A számrendszerekrl általában Gyakorló feladatok Végezze el az alábbi mveleteket! -es 2-es 8-as 6-os Számrendszer AC4+B AC4-B C45+4F C45-4F A2+FF A2+FF 3

14 A számrendszerekrl általában Néhány érdekes feladat Végezzük el a mveletet kettes számrendszerben bájtos eljel nélküli adatokkal! Mit tapasztalunk? Kikötöttük, hogy az adataink bájtosak. Megfigyelhetjük, hogy a 7. bitek összeadásakor keletkezik átvitel. Mi történik az átvitellel? Ebben az esetben elveszik. Azt mondhatjuk, hogy az eredmény túlcsordult. Az eredmény 36. Rossz eredményt kaptunk, aminek az oka, hogy az összeg nem fér el bájton. Erre valahogy figyelmeztetni kell a programozót! Erre és más események jelzésére szolgálnak a processzorban lev flag regiszter különböz bitjei (jelen esetben a túlcsordulás bit ). Végezzük el a 2+53 mveletet kettes számrendszerben bájtos eljeles adatokkal! Mit tapasztalunk? el#jelbit Az eredmény -83. Két pozitív számot adunk össze (az eljelbit ), az eredmény negatív (az összeg eljelbitje ). Hogy lehetséges ez? Ha megfigyeljük, akkor a 6. bitek összeadásakor átvitel keletkezik. Ez az átvitel elrontja az eljelbitet. Az elbb említett flag regiszter tartalmaz egy eljeljelz bitet is, melyet a programozó lekérdezve megkapja az eredmény eljelét. Hasonló hiba elfordulhat oly módon, hogy két negatív szám összegére pozitív eredményt kapunk. Tanulságként megfogalmazható, hogy figyelnünk kell az ábrázolási tartományra. Mindkét példa esetén a hibát az okozta, hogy az eredmény nem fért el a rendelkezésre álló helyen. 4

15 A számrendszerekrl általában Egy kis digitális technika Hogyan mködik a 3 bites összeadó? B A Ci- Ci 5

16 A számábrázolásról

17 Egész típus Egész típus Az egész típus bemutatása A programozási gyakorlat egyik gyakran használt elemi adattípusa az egész típus, melyet leggyakrabban 2 bájton ábrázolnak kettes komplemens kódban. Az egész típus jellemz#i Értékhalmaz: Általánosan: Min Egész Max Egész. Mveletek: +, -, *, Div (egészosztás/hányadosképzés), Mod (maradékképzés), ^ (pozitív egész kitevs hatványozás), ~ unáris mínusz. Relációk: =, U, <, W, >, Y. Ábrázolás: 2 bájtos, kettes komplemens kód. Az egész számokat kettes számrendszerben valahány bites (bájtos) kettes komplemens kóddal ábrázoljuk. A feladatok során az egész számokat 2 bájton tároljuk. Az egész típus ábrázolása Az ábrázolás lépései:. lépés: Az ábrázolandó szám abszolút értékét átváltjuk kettes számrendszerbe, és ha szükséges kiegészítjük 6 bit hosszúságúra. 2. lépés: Az ábrázolás során a legbaloldalibb bitet eljelbitként kezeljük. Az eljelbit, ha a szám pozitív,, ha negatív. Az ábrázolás módja: A pozitív számokat szokásos bináris számként tároljuk. A negatív számokat hogy a lehet legegyszerbb legyen velük a mveletvégzés kettes komplemens kódban (additív inverz) ábrázoljuk. Az additív inverz jelentsége, hogy ha az eredeti számhoz hozzáadjuk a kettes komplemens kódját elfeledkezve az eljelbit különleges jelentésérl akkor -át (azaz csupa bitbl álló számot) kapunk. 7

18 Egész típus Egy bináris szám kettes komplemens kódját az alábbi két módszer valamelyikével képezhetjük: a) A legjobboldalibb (legkisebb helyi érték) bittl indulva minden bitet ellenkezjére ( helyett -et, helyett -át írva) változtatunk (egyes komplemens), majd a legkisebb helyi érték bithez hozzáadunk -et. b) A legjobboldalibb (legkisebb helyi érték) bittl indulva az els -ig minden bitet változatlanul leírunk (beleértve magát az els -est is), majd a többi bitet ellenkezjére változtatjuk. 3. lépés: A logikai sorrendhez képest (magas-, alacsony helyi érték bájt) a memóriában való ábrázoláskor bájtcsere történik. Az alábbi ábra a logikai sorrendet mutatja: el#jelbit legkisebb helyi érték bit magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt A memóriában fizikailag a magasabb és az alacsonyabb helyi érték bájt helyet cserél. alacsonyabb helyi érték bájt magasabb helyi érték bájt További jellemz#k Az egész típus alapveten megegyezik a matematikában használt egész számokkal, gyakorlatilag azonban a számítógép véges számábrázolása miatt az egész számkörnek csak egy véges tartományát tartalmazza. Emiatt az egész számok köre az elemi aritmetikai mveletekre (+,-,*) nem zárt, így aritmetikai mveletek közben egész túlcsordulás fordulhat el. A zártság hiánya miatt a számítógépes egész számok mveleteire nem mindig teljesül az asszociativitás és a disztributivitás. Az egész számoknak a programozásban sokféle változata létezik. Ezek egymástól a Min Egész és a Max Egész értékben, illetve eljeles, nem eljeles tulajdonságban különböznek. Hosszú egész: Min Egész=-2 3, Max Egész=2 3 -, eljeles Bájt: Min Egész=, Max Egész=2 8 -, eljel nélküli Szó: Min Egész=, Max Egész=2 6 -, eljel nélküli 8

19 Egész számok ábrázolása Egész típus Mintafeladatok. Feladat Egy példán keresztül ismertesd az egész számok ábrázolásáról tanultakat! Az egész számokat kettes számrendszerben valahány bites (bájtos) kettes komplemens kóddal ábrázoljuk. A feladatok során az egész számokat 2 bájton tároljuk. Az ábrázolás lépései:. lépés: Az ábrázolandó szám abszolút értékét átváltjuk kettes számrendszerbe, és ha szükséges kiegészítjük 6 bit hosszúságúra. 2. lépés: Az ábrázolás során a legbaloldalibb bitet eljelbitként kezeljük. Az eljelbit, ha a szám pozitív,, ha negatív. Az ábrázolás módja: A pozitív számokat szokásos bináris számként tároljuk. A negatív számokat hogy a lehet legegyszerbb legyen velük a mveletvégzés kettes komplemens kódban (additív inverz) ábrázoljuk. Az additív inverz jelentsége, hogy ha az eredeti számhoz hozzáadjuk a kettes komplemens kódját elfeledkezve az eljelbit különleges jelentésérl akkor -át (azaz csupa bitbl álló számot) kapunk. Egy bináris szám kettes komplemens kódját az alábbi két módszer valamelyikével képezhetjük: a) A legjobboldalibb (legkisebb helyi érték) bittl indulva minden bitet ellenkezjére ( helyett -et, helyett -át írva) változtatunk (egyes komplemens), majd a legkisebb helyi érték bithez hozzáadunk -et. b) A legjobboldalibb (legkisebb helyi érték) bittl indulva az els -ig minden bitet változatlanul leírunk (beleértve magát az els -est is), majd a többi bitet ellenkezjére változtatjuk. 3. lépés: A logikai sorrendhez képest (magas-, alacsony helyi érték bájt) a memóriában való ábrázoláskor bájtcsere történik. 9

20 Az alábbi ábra a logikai sorrendet mutatja: Egész típus el#jelbit legkisebb helyi érték bit magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt A memóriában fizikailag a magasabb és az alacsonyabb helyi érték bájt helyet cserél. alacsonyabb helyi érték bájt magasabb helyi érték bájt Példaként határozzuk meg a -553 egészszám memóriabeli alakját! Megoldás:. lépés: A szám abszolút értékét átváltjuk kettes számrendszerbe (osztunk kettvel közben a maradékot feljegyezzük amíg -át nem kapunk hányadosként), és ha szükséges a kapott bináris számot kiegészítjük 6 bit hosszúságúra A szám abszolút értéke kiegészítve 6 bitre: 2. lépés: Mivel a szám negatív, így képezzük a kettes komplemens kódot. magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt 2

21 3. lépés: A memóriabeli fizikai elhelyezkedésben a logikai alakhoz képest bájtcsere történik. Egész típus alacsonyabb helyi érték bájt magasabb helyi érték bájt 2. Feladat Határozd meg a -234 egészszám memóriabeli alakját! Megoldás:. lépés: A szám abszolút értékét átváltjuk kettes számrendszerbe és ha szükséges a kapott bináris számot kiegészítjük 6 bit hosszúságúra A szám abszolút értéke kiegészítve 6 bitre: 2. lépés: Mivel a szám negatív, így képezzük a kettes komplemens kódot. magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt 3. lépés: A memóriabeli fizikai elhelyezkedésben a logikai alakhoz képest bájtcsere történik. alacsonyabb helyi érték bájt magasabb helyi érték bájt 2

22 Egész típus 3. Feladat Határozd meg az alábbi egész szám értékét az ábrán látható memóriabeli alakjából! Megoldás:. lépés: A memóriabeli alakhoz képest bájtcserét kell alkalmazni a logikai sorrend elállításához. magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt 2. lépés: Mivel a legbaloldalibb bit -es, így negatív számról van szó. A szám abszolút értékének megállapításához alkalmaznunk kell a kettes komplemens képzés szabályát. A fenti alak kettes komplemens kódja: 3. lépés: Elállítjuk a szám abszolút értékét decimális számrendszerben. Z = = = lépés: Az ábrázolt szám: Feladat Mely egész szám memóriabeli alakja a következ? Megoldás:. lépés: A memóriabeli alakhoz képest bájtcserét kell alkalmazni a logikai sorrend elállításához. magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt 22

23 Egész típus 2. lépés: Mivel a legbaloldalibb bit -es, így negatív számról van szó. A szám abszolút értékének megállapításához alkalmaznunk kell a kettes komplemens képzés szabályát. A fenti alak kettes komplemens kódja: 3. lépés: Elállítjuk a szám abszolút értékét decimális számrendszerben. Z = = = lépés: Az ábrázolt szám: Feladat Határozd meg a egészszám memóriabeli alakját, majd ellenrizd az ábrázolás helyességét! Megoldás:. lépés: A szám abszolút értékét átváltjuk kettes számrendszerbe és ha szükséges a kapott bináris számot kiegészítjük 6 bit hosszúságúra A szám abszolút értéke kiegészítve 6 bitre: 23

24 Egész típus 2. lépés: Képezzük a 2-es komplemens kódot, mivel az ábrázolandó szám negatív. magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt 3. lépés: A memóriabeli fizikai elhelyezkedésben a logikai alakhoz képest bájtcsere történik. Az adott szám memóriabeli alakja a következ: alacsonyabb helyi érték bájt magasabb helyi érték bájt Ellenrizzük a megoldásunk helyességét!. lépés: A memóriabeli alakhoz képest bájtcserét kell alkalmazni a logikai sorrend elállításához. magasabb helyi érték bájt alacsonyabb helyi érték bájt 2. lépés: Mivel a legbaloldalibb bit -es, így negatív számról van szó. A szám abszolút értékének megállapításához alkalmaznunk kell a kettes komplemens képzés szabályát. A fenti alak kettes komplemens kódja: 3. lépés: Elállítjuk a szám abszolút értékét decimális számrendszerben. Z = = = lépés: Az ábrázolt szám: -3958, vagyis a megoldásunk helyes. 24

25 Egész típus Gyakorlófeladatok. Határozd meg az alábbi két bájtos egész számok memóriabeli alakját! 236, -236; 32, -32; 36, -36; 5, -5; 5, -5; Ellenrizd a megoldásod! 2. Határozd meg a megfelel egész számokat az alább látható memóriabeli alakjukból! a) b) c) d) e) 3. Határozd meg a legkisebb két bájtos egész szám memóriabeli alakját! 4. Határozd meg a legnagyobb két bájtos egész szám memóriabeli alakját! 5. Ábrázold az alábbi számokat kettes számrendszerben 2 bájton! (A negatív számokat kettes komplemens kódban ábrázoljuk.) (255, -845); (22322, 54); (-32, -54) a) Add össze a zárójelbe tett számokat a kettes számrendszerbeli ábrázolás szintjén! b) Ellenrizd megoldásod helyességét! c) Írd le és indokold tapasztalataidat! 25

26 Valós típus Valós típus A valós típus bemutatása A programozási gyakorlat egyik gyakran használt elemi adattípusa a valós típus, melyet leggyakrabban 6 bájton ábrázolnak ún. lebegpontos, normalizált, eltolt nullapontú alakban. A valós típus jellemz#i Értékhalmaz: nem definiálható a Min Valós..Max Valós tartomány, mivel nem igaz, hogy a valós számok értékhalmaza az e két érték közötti összes valós értéket tartalmazza. Mveletek: +, -, *, /, ^ (pozitív egész kitevs hatványozás), ~ unáris mínusz. Relációk: =, U, <, W, >, Y. Ábrázolás: általában 6 bájton, ún. lebegpontos, normalizált, eltolt nullapontú alakban. A valós típus ábrázolása A valós számokat kettes számrendszerben, lebegpontos, normalizált, eltolt nullapontú alakban ábrázoljuk. Egy valós számot X = m * 2 k alakban írhatunk fel, ahol m a mantissza, k a karakterisztika. Ez még végtelen sok felírást jelenthet, így kikötjük, hogy a mantisszára teljesülnie kell az / 2 m < feltételnek (normalizált alak). A mintafeladatok során a valós számokat 6 bájton I 5 bájton a mantisszát és bájton a karakterisztikát I fogjuk ábrázolni. Az ábrázolás lépései:. lépés: Az ábrázolandó valós szám abszolút értékét (külön az egészrészt és a törtrészt) átváltjuk kettes számrendszerbe. Ez lesz a mantissza abszolút értéke. 2. lépés: A mantissza abszolút értékét megszorozzuk egy alkalmas kett hatvánnyal, hogy teljesítse az elírt feltételt ( / 2 m < ). Ezt hívjuk normalizálásnak. Az alkalmazott kett-hatvány kitevjének ellentettje lesz a karakterisztika értéke. A normalizálás következtében a mantissza 2 - helyi érték bitje mindig -es érték, így ez a bit új információt nem hordoz. Emiatt nem is tároljuk, hanem ezt a bitet kijelöljük eljelbitnek (, ha a szám pozitív,, ha negatív). Tároljuk tehát a mantissza abszolút értékét kettes számrendszerben a 2 - helyi érték bitet eljelbitként kezelve. Ezt az ábrázolási módot szokás majdnem kettes komplemens kódú ábrázolásnak is nevezni. 26

27 Valós típus 3. lépés: A karakterisztika is eljeles szám, így meg kell oldanunk a karakterisztika eljelének a tárolását. Lefoglalhatnánk egy bitet erre a célra, de ez az ábrázolható értékhalmaz felezését vonná maga után, így emiatt nem ezt a megoldást választjuk. A rendelkezésre álló memória terület felén negatív, felén pedig nem negatív értékeket ábrázolhatunk. A karakterisztikát az ábrázolható legkisebb karakterisztika abszolút értékével növeljük, majd egyszeren átváltjuk kettes számrendszerbe. Ezt az ábrázolási módszert szokás eltolt nullapontú ábrázolásnak nevezni. A mintafeladatok során a valós számot 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk, ahol 5 bájton ábrázoljuk a mantisszát, bájton a karakterisztikát, így az eltolt nullapontú ábrázolás azt fogja jelenteni, hogy a karakterisztikához 28-cat kell hozzáadni. 4. lépés: Logikailag elször a mantissza bájtjai, helyi értékük szerint csökken sorrendben, majd a karakterisztika következnek. A fizikai (memóriabeli) sorrend a logikai sorrend megfelel bájtjainak cseréjével alakul ki. További jellemz#k A valós típus a matematikában használt valós számoknak megfelel típus. A számítógépes számábrázolás véges volta miatt valós túlcsordulás léphet fel, a túlcsordulás miatt nem mindig teljesül az asszociativitás és a disztributivitás. További korlátozás, hogy ezek a számok csak a nevükben valósak, valójában racionális számok, méghozzá véges sok számjeggyel leírható tizedes illetve kettedes törtek. A mveletek elvégzése után az eredmény is csak adott pontossággal ábrázolható. Ha a mveletben szerepl két szám ersen eltér nagyságrend, akkor az eredmény kiszámítása közben alulcsordulás lép fel. Elképzelhet, hogy egy nagy számhoz hozzáadva egymás után több kisebb számot, az eredmény egyszer sem változik, a kis számok összeadása viszont már eredményezhet olyan nagyobb számot, amely az els helyen szerepl nagy számhoz hozzáadva már nem csordul alul. Ennek következménye, hogy az asszociativitás és a disztributivitás több esetben sérülhet, mint az egész számok körében. Valós számok decimális kiírásakor nem a pontos értéket látjuk, hanem egy kerekítettet. Ennek következménye, hogy a képernyn látható A=B-bl nem következik, hogy A valóban egyenl B-vel. Emiatt két valós szám egyenlségét soha nem érdemes vizsgálni, csupán azt nézhetjük meg, hogy a különbségük elég kicsi-e. 27

28 Valós számok ábrázolása Valós típus Mintafeladatok. Feladat Egy példán keresztül ismertesd a valós számok ábrázolásáról tanultakat! A valós számokat kettes számrendszerben, lebegpontos, normalizált, eltolt nullapontú alakban ábrázoljuk. Egy valós számot X = m * 2 k alakban írhatunk fel, ahol m a mantissza, k a karakterisztika. Ez még végtelen sok felírást jelenthet, így kikötjük, hogy a mantisszára teljesülnie kell az / 2 m < feltételnek (normalizált alak). A mintafeladatok során a valós számokat 6 bájton I 5 bájton a mantisszát és bájton a karakterisztikát I fogjuk ábrázolni. Az ábrázolás lépései:. lépés: Az ábrázolandó valós szám abszolút értékét (külön az egészrészt és a törtrészt) átváltjuk kettes számrendszerbe. Ez lesz a mantissza abszolút értéke. 2. lépés: A mantissza abszolút értékét megszorozzuk egy alkalmas kett hatvánnyal, hogy teljesítse az elírt feltételt ( / 2 m < ). Ezt hívjuk normalizálásnak. Az alkalmazott kett-hatvány kitevjének ellentettje lesz a karakterisztika értéke. A normalizálás következtében a mantissza 2 - helyi érték bitje mindig -es érték, így ez a bit új információt nem hordoz. Emiatt nem is tároljuk, hanem ezt a bitet kijelöljük eljelbitnek (, ha a szám pozitív,, ha negatív). Tároljuk tehát a mantissza abszolút értékét kettes számrendszerben a 2 - helyi érték bitet eljelbitként kezelve. Ezt az ábrázolási módot szokás majdnem kettes komplemens kódú ábrázolásnak is nevezni. 3. lépés: A karakterisztika is eljeles szám, így meg kell oldanunk a karakterisztika eljelének a tárolását. Lefoglalhatnánk egy bitet erre a célra, de ez az ábrázolható értékhalmaz felezését vonná maga után, így emiatt nem ezt a megoldást választjuk. A rendelkezésre álló memória terület felén negatív, felén pedig nem negatív értékeket ábrázolhatunk. A karakterisztikát az ábrázolható legkisebb karakterisztika abszolút 28

29 Valós típus értékével növeljük, majd egyszeren átváltjuk kettes számrendszerbe. Ezt az ábrázolási módszert szokás eltolt nullapontú ábrázolásnak nevezni. A mintafeladatok során a valós számot 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk, ahol 5 bájton ábrázoljuk a mantisszát, bájton a karakterisztikát, így az eltolt nullapontú ábrázolás azt fogja jelenteni, hogy a karakterisztikához 28-cat kell hozzáadni. 4. lépés: Logikailag elször a mantissza bájtjai, helyi értékük szerint csökken sorrendben, majd a karakterisztika következnek. A fizikai (memóriabeli) sorrend a logikai sorrend megfelel bájtjainak cseréjével alakul ki. Példaként határozzuk meg a memóriabeli alakját! Megoldás:. lépés: A szám abszolút értékének egészrészét és törtrészét külön-külön átváltjuk kettes számrendszerbe. a) Átváltjuk a 23-at kettes számrendszerbe. Osztunk kettvel a maradékot feljegyezzük amíg -át nem kapunk hányadosként A mantissza egész része: b) Átváltjuk a.8-det kettes számrendszerbe! A konverzió során a törtrészt ismételten 2-vel szorozzuk miközben a szorzat egészrészét feljegyezzük. Ez 2 - -nel való ismételt maradékos osztásnak felel meg. A tizedespont eltt keletkez számjegyet, mely biztosan vagy, mindig hozzáírjuk a törtrész kettes számrendszerbeli alakjához. Ha ennek során a törtrész tízes számrendszerbeli alakja egy korábbi állapotot vesz fel (ismétldés), akkor e két állapot között keletkezett bitsorozattal ismételten növeljük a törtrész kettes számrendszerbeli alakját, mígnem kitöltjük a rendelkezésre álló helyet. Ha a törtrész tízes számrendszerbeli alakja -vá válik, a kettes számrendszerbeli alakot -val egészítjük ki. 29

30 A törtrész átváltása: Ismétldés Valós típus A mantissza törtrésze: A mantissza normalizálás eltt m =., míg a karakterisztika k =. 2. lépés: Következik a normalizálás. A mantisszát 2-7 -el kell szorozni, így a karakterisztika 7 lesz. A mantissza normalizálás után m =., a karakterisztika k = 7 Mivel a 2 - helyi érték bit mindig -es, így ezt nem tároljuk, helyette a szám eljelét ábrázoljuk ezen a helyen (, ha szám pozitív,, ha negatív). Az ábrázolandó szám negatív, így a 2 - helyi értéken lev bit -es lesz. A mantissza m =., a karakterisztika k = 7 3. lépés: A karakterisztika 7. A karakterisztikát bájton eltolt nullapontú ábrázolással tároljuk. Ez azt jelenti, hogy a karakterisztikához hozzáadjuk a legkisebb ábrázolható karakterisztika (-28) abszolút értékét, így 35-öt kell kettes számrendszerben tárolnunk A karakterisztika: 4. lépés: Logikailag elször a mantissza bájtjai, helyi értékük szerint csökken sorrendben, majd a karakterisztika következnek. A fizikai (memóriabeli) sorrend a logikai sorrend megfelel bájtjainak cseréjével alakul ki. 3

31 Valós típus A logikai sorrend: mantissza mantissza2 mantissza3 mantissza4 mantissza5 karakterisztika A fizikai sorrend: karakterisztika mantissza5 mantissza4 mantissza3 mantissza2 mantissza 2. Feladat Határozd meg a memóriabeli alakját! Megoldás:. lépés: A szám abszolút értékének egészrészét és törtrészét külön-külön átváltjuk kettes számrendszerbe Ismétldés A mantissza egész része:, törtrésze: A mantissza normalizálás eltt m =., a karakterisztika k =. 3

32 2. lépés: Valós típus Következik a normalizálás. A mantisszát 2 - -el kell szorozni, így a karakterisztika lesz. A mantissza normalizálás után m =., a karakterisztika k =. A szám negatív, így a 2 - helyi értéken lev bit (eljelbit) -es lesz. A mantissza m =., a karakterisztika k =. 3. lépés: A karakterisztika. Ehhez hozzá kell adnunk 28-at, így kapjuk meg a karakterisztika tárolandó értékét A karakterisztika: 4. lépés: A logikai sorrend: mantissza mantissza2 mantissza3 mantissza4 mantissza5 karakterisztika A fizikai sorrend: karakterisztika mantissza5 mantissza4 mantissza3 mantissza2 mantissza 32

33 Valós típus Feladat Mely valós szám memóriabeli alakja a következ? Megoldás: Alkalmazzuk visszafelé a valós számok memóriabeli alakját elállító algoritmust!. lépés: Állítsuk el bájtcserével a logikai sorrendet! A fizikai sorrend: mantissza mantissza2 mantissza3 karakterisztika mantissza5 mantissza4 A logikai sorrend: mantissza mantissza2 mantissza3 mantissza4 mantissza5 karakterisztika 2. lépés: Határozzuk meg a karakterisztikát! A karakterisztika bináris alakja eltolt nullapontú kódot jelent. Eszerint kettes számrendszerben ábrázolt pozitív egész szám decimális alakját kell meghatározni, majd levonni belle az eltolás mértékét, amely esetünkben 28. Tehát az eltolt karakterisztika: k = =2+8+28=38. A valódi karakterisztika: k=k -28=.

34 3. lépés: Valós típus Írjuk fel az ábrázolt szám valódi bináris alakját! Ehhez a normalizált mantisszát megszorozzuk a karakterisztikával azonos kitevj kett-hatvánnyal. A mantissza m =. Ne felejtsük el a 2 - helyi értéken lev bit jelentését! Itt -es áll, ami azt jelenti, hogy az ábrázolt szám negatív. Ha lenne ez a bit, akkor jelentés szerint pozitív a szám, de az abszolút érték megállapításához természetesen -esként kell figyelembe venni, hiszen ezen a helyi értéken mindig -esnek kell állnia a normalizálás miatt. A normált mantissza m =., a karakterisztika k =. A szám abszolút értékének kettes számrendszerbeli alakja: X =. 4. lépés: Számítsuk ki a szám tízes számrendszerbeli alakját! A szám abszolút értékének egész része: [ X ] = = =2 A szám abszolút értékének törtrésze: { X } = =/8+/6+/64=.2325 Tehát X = lépés: Mivel a mantissza eljelbitje volt, így az ábrázolt szám: X= Feladat Mely valós szám memóriabeli alakja a következ? 34

35 Valós típus Megoldás:. lépés: Állítsuk el bájtcserével a logikai sorrendet! A fizikai sorrend: karakterisztika mantissza5 mantissza4 mantissza3 mantissza2 mantissza A logikai sorrend: mantissza mantissza2 mantissza3 mantissza4 mantissza5 karakterisztika 2. lépés: Határozzuk meg a karakterisztikát! Az eltolt karakterisztika: k = = =22. A valódi karakterisztika: k=k -28=22-28=-6 3. lépés: Írjuk fel az ábrázolt szám valódi bináris alakját! A mantissza m =.. A mantissza 2 - helyi értékén lev bit. Ez azt jelenti, hogy az ábrázolt szám pozitív, de az abszolút érték kiszámításakor -es értékként kell figyelembe venni, hiszen normalizált esetben itt mindig -es áll. A normalizált mantissza m =., a karakterisztika k = 6 A szám abszolút értékének kettes számrendszerbeli alakja: X =. 35

36 Valós típus 4. lépés: Számítsuk ki a szám tízes számrendszerbeli alakját! A szám abszolút értékének egész része, A szám törtrészének értéke: { X } = = /28+/256+/52+/496+/32768+/26244+/ /4943= = lépés: A szám eljelbitje volt, így az ábrázolt szám értéke: X= Feladat Határozd meg az ábrázolható legkisebb pozitív valós szám memóriabeli alakját! Megoldás: Az X=m*2 k alakú szám annál kisebb minél kisebb a mantissza és a karakterisztika értéke. Ezért megkíséreljük egymástól függetlenül a lehet legkisebbre csökkenteni ket.. lépés: Elször a mantisszát minimalizáljuk. Az m a legkisebb, ha /2, hiszen normalizált alakban ábrázolunk. Ennek bináris alakja: mantissza mantissza2 mantissza3 mantissza4 mantissza5 Itt az eljelbit, hiszen pozitív számról van szó. 2. lépés: Legkisebb a k, ha -28. Mivel a csupa bit mantissza értéke /2, nincs érték mantissza. Így a ábrázolása nem múlhat a mantisszán. Ezért a -28 érték9 karakterisztika tetszleges mantisszával definíció szerint jelenti a -át. Így a legkisebb használható karakterisztika a -27. Ezt eltolva 28-cal -et kapunk. Ezt átváltva kettes számrendszerbe kapjuk a karakterisztika bináris alakját: 36

37 Valós típus lépés: Következésképpen az ábrázolható legkisebb pozitív valós szám X=/2*2-27. Ennek bináris alakja: mantissza mantissza2 mantissza4 mantissza3 mantissza5 karakterisztika 4. lépés: Végül a fizikai sorrend a következ: mantissza mantissza2 mantissza3 karakterisztika mantissza5 mantissza4

38 Valós típus 38 Gyakorlófeladatok. Határozd meg az alábbi valós számok memóriabeli alakját! -.45; ; 236.5; ; ; ; 5.75; -.35; Határozd meg a megfelel valós számokat az alább látható memóriabeli alakjukból! a) b) c) d) e) 3. Határozd meg az ábrázolható legnagyobb valós szám memóriabeli alakját! 4. Határozd meg az ábrázolható legkisebb valós szám memóriabeli alakját! 5. Határozd meg az ábrázolható legnagyobb negatív valós szám memóriabeli alakját!

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek

Harmadik gyakorlat. Számrendszerek Harmadik gyakorlat Számrendszerek Ismétlés Tízes (decimális) számrendszer: 2 372 =3 2 +7 +2 alakiérték valódi érték = aé hé helyiérték helyiértékek a tízes szám hatványai, a számjegyek így,,2,,8,9 Kettes

Részletesebben

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva:

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva: Tartalom 1. Számrendszerek közti átváltás... 2 1.1. Megoldások... 4 2. Műveletek (+, -, bitműveletek)... 7 2.1. Megoldások... 8 3. Számítógépes adatábrázolás... 12 3.1. Megoldások... 14 A gyakorlósor lektorálatlan,

Részletesebben

Assembly programozás: 2. gyakorlat

Assembly programozás: 2. gyakorlat Assembly programozás: 2. gyakorlat Számrendszerek: Kettes (bináris) számrendszer: {0, 1} Nyolcas (oktális) számrendszer: {0,..., 7} Tízes (decimális) számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális

Részletesebben

SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA

SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA SZÁMRENDSZEREK KÉSZÍTETTE: JURÁNYINÉ BESENYEI GABRIELLA BINÁRIS (kettes) ÉS HEXADECIMÁLIS (tizenhatos) SZÁMRENDSZEREK (HELYIÉRTÉK, ÁTVÁLTÁSOK, MŰVELETEK) A KETTES SZÁMRENDSZER A computerek világában a

Részletesebben

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez

Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu

Részletesebben

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva:

Bevezetés az informatikába gyakorló feladatok Utoljára módosítva: Tartalom 1. Számrendszerek közti átváltás... 2 1.1. Megoldások... 4 2. Műveletek (+, -, bitműveletek)... 7 2.1. Megoldások... 8 3. Számítógépes adatábrázolás... 10 3.1. Megoldások... 12 A gyakorlósor lektorálatlan,

Részletesebben

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA

ÁTVÁLTÁSOK SZÁMRENDSZEREK KÖZÖTT, SZÁMÁBRÁZOLÁS, BOOLE-ALGEBRA 1. Tízes (decimális) számrendszerből: a. Kettes (bináris) számrendszerbe: Vegyük a 2634 10 -es számot, és váltsuk át bináris (kettes) számrendszerbe! A legegyszerűbb módszer: írjuk fel a számot, és húzzunk

Részletesebben

LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS

LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS LEBEGŐPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS A fixpontos operandusoknak azt a hátrányát, hogy az ábrázolás adott hossza miatt csak korlátozott nagyságú és csak egész számok ábrázolhatók, a lebegőpontos számábrázolás küszöböli

Részletesebben

Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2

Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2 Dr. Oniga István DIGITÁLIS TECHNIKA 2 Számrendszerek A leggyakrabban használt számrendszerek: alapszám számjegyek Tízes (decimális) B = 10 0, 1, 8, 9 Kettes (bináris) B = 2 0, 1 Nyolcas (oktális) B = 8

Részletesebben

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat.

Számrendszerek. A római számok írására csak hét jelt használtak. Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat. Számrendszerek A római számok írására csak hét jelt használtak Ezek segítségével, jól meghatározott szabályok szerint képezték a különböz számokat Római számjegyek I V X L C D M E számok értéke 1 5 10

Részletesebben

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember 10-i óra anyaga. 1. Számrendszerek A számrendszer alapja és a számjegyek

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember 10-i óra anyaga. 1. Számrendszerek A számrendszer alapja és a számjegyek Egész számok ábrázolása (jegyzet) Bérci Norbert 2015. szeptember 10-i óra anyaga Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 1 1.1. A számrendszer alapja és a számjegyek........................ 1 1.2. Alaki- és

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F}

3. gyakorlat. Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} 3. gyakorlat Számrendszerek: Kettes számrendszer: {0, 1} Tízes számrendszer: {0, 1, 2,..., 9} 16-os (hexadecimális számrendszer): {0, 1, 2,..., 9, A, B, C, D, E, F} Alaki érték: 0, 1, 2,..., 9,... Helyi

Részletesebben

Kedves Diákok! A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük.

Kedves Diákok! A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük. Kedves Diákok! Szeretettel köszöntünk Benneteket abból az alkalomból, hogy a Ceglédi Közgazdasági és Informatikai Szakközépiskola informatika tehetséggondozásának első levelét olvassátok! A tehetséggondozással

Részletesebben

Fixpontos és lebegőpontos DSP Számrendszerek

Fixpontos és lebegőpontos DSP Számrendszerek Fixpontos és lebegőpontos DSP Számrendszerek Ha megnézünk egy DSP kinálatot, akkor észrevehetjük, hogy két nagy család van az ajánlatban, az ismert adattipus függvényében. Van fixpontos és lebegőpontos

Részletesebben

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003

The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 . Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,

Részletesebben

2. Fejezet : Számrendszerek

2. Fejezet : Számrendszerek 2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College

Részletesebben

Informatikai Rendszerek Alapjai

Informatikai Rendszerek Alapjai Informatikai Rendszerek Alapjai Egész és törtszámok bináris ábrázolása http://uni-obuda.hu/users/kutor/ IRA 5/1 A mintavételezett (egész) számok bináris ábrázolása 2 n-1 2 0 1 1 0 1 0 n Most Significant

Részletesebben

Bevezetés az informatikába Tételsor és minta zárthelyi dolgozat 2014/2015 I. félév

Bevezetés az informatikába Tételsor és minta zárthelyi dolgozat 2014/2015 I. félév Bevezetés az informatikába Tételsor és minta zárthelyi dolgozat 2014/2015 I. félév Az informatika története (ebből a fejezetből csak a félkövér betűstílussal szedett részek kellenek) 1. Számítástechnika

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása

4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása 4. Fejezet : Az egész számok (integer) ábrázolása The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson

Részletesebben

DIGITÁLIS TECHNIKA I BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr.

DIGITÁLIS TECHNIKA I BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr. 26..5. DIGITÁLIS TEHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet INÁRIS SZÁMRENDSZER 5. ELŐDÁS 2 EVEZETŐ ÁTTEKINTÉS 6. előadás témája a digitális rendszerekben

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

Aritmetikai utasítások I.

Aritmetikai utasítások I. Aritmetikai utasítások I. Az értékadó és aritmetikai utasítások során a címzési módok különböző típusaira látunk példákat. A 8086/8088-as mikroprocesszor memóriája és regiszterei a little endian tárolást

Részletesebben

I+K technológiák. Számrendszerek, kódolás

I+K technológiák. Számrendszerek, kódolás I+K technológiák Számrendszerek, kódolás A tárgyak egymásra épülése Magas szintű programozás ( számítástechnika) Alacsony szintű programozás (jelfeldolgozás) I+K technológiák Gépi aritmetika Számítógép

Részletesebben

Negatív alapú számrendszerek

Negatív alapú számrendszerek 2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1

Részletesebben

A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük.

A feladatok legtöbbször egy pontot érnek. Ahol ettől eltérés van, azt külön jelöljük. Szeretettel üdvözlünk Benneteket abból az alkalomból, hogy a Ceglédi Közgazdasági és Informatikai Szakközépiskola informatika tehetséggondozásának első levelét olvassátok! A tehetséggondozással az a célunk,

Részletesebben

Gyakorló feladatok. /2 Maradék /16 Maradék /8 Maradék

Gyakorló feladatok. /2 Maradék /16 Maradék /8 Maradék Gyakorló feladatok Számrendszerek: Feladat: Ábrázold kettes számrendszerbe a 639 10, 16-os számrendszerbe a 311 10, 8-as számrendszerbe a 483 10 számot! /2 Maradék /16 Maradék /8 Maradék 639 1 311 7 483

Részletesebben

Programozás II. Segédlet az első dolgozathoz

Programozás II. Segédlet az első dolgozathoz Programozás II. Segédlet az első dolgozathoz 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezető 4 2. Számrendszerek közötti átváltások 5 2.1 Tízes számrendszerből tetszőleges számrendszerbe................. 5 2.1.1 Példa.....................................

Részletesebben

1. forduló. 1.1. Az adat, az információ és a hír jelentése és tartalma. A kommunikáció

1. forduló. 1.1. Az adat, az információ és a hír jelentése és tartalma. A kommunikáció 1. Az információ 1.1. Az adat, az információ és a hír jelentése és tartalma. A kommunikáció A tárgyaknak mérhető és nem mérhető, számunkra fontos tulajdonságait adatnak nevezzük. Egy tárgynak sok tulajdonsága

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

I. el adás, A számítógép belseje

I. el adás, A számítógép belseje 2008. október 8. Követelmények Félévközi jegy feltétele két ZH teljesítése. Ha egy ZH nem sikerült, akkor lehetséges a pótlása. Mindkét ZH-hoz van pótlás. A pótzh körülbelül egy héttel az eredeti után

Részletesebben

5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok

5. Fejezet : Lebegőpontos számok. Lebegőpontos számok 5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda

Részletesebben

5. Fejezet : Lebegőpontos számok

5. Fejezet : Lebegőpontos számok 5. Fejezet : Lebegőpontos The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College Linda

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

Számrendszerek. Bináris, hexadecimális

Számrendszerek. Bináris, hexadecimális Számrendszerek Bináris, hexadecimális Mindennapokban használt számrendszerek Decimális 60-as számrendszer az időmérésre DNS-ek vizsgálata négyes számrendszerben Tetszőleges természetes számot megadhatunk

Részletesebben

S z á m í t á s t e c h n i k a i a l a p i s m e r e t e k

S z á m í t á s t e c h n i k a i a l a p i s m e r e t e k S z á m í t á s t e c h n i k a i a l a p i s m e r e t e k T a r t a l o m Mintafeladatok... 4 Számrendszerek, logikai mőveletek... 4 Gyakorló feladatok... 19 Számrendszerek, logikai mőveletek... 19 Megoldások...

Részletesebben

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember i óra anyaga A számrendszer alapja és a számjegyek Alaki- és helyiérték...

(jegyzet) Bérci Norbert szeptember i óra anyaga A számrendszer alapja és a számjegyek Alaki- és helyiérték... Számábrázolás és karakterkódolás (jegyzet) Bérci Norbert 2014. szeptember 15-16-i óra anyaga Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 1 1.1. A számrendszer alapja és a számjegyek........................ 2 1.2.

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA hét

Digitális technika VIMIAA hét BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 14. hét Fehér Béla BME MIT Digitális technika

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA hét

Digitális technika VIMIAA hét BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK VIMIAA02 14. hét Fehér Béla BME MIT Rövid visszatekintés, összefoglaló

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

Adattípusok. Dr. Seebauer Márta. Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár

Adattípusok. Dr. Seebauer Márta. Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár Adattípusok Dr. Seebauer Márta főiskolai tanár seebauer.marta@roik.bmf.hu Az adatmanipulációs fa z adatmanipulációs fa

Részletesebben

Máté: Számítógép architektúrák

Máté: Számítógép architektúrák Fixpontos számok Pl.: előjeles kétjegyű decimális számok : Ábrázolási tartomány: [-99, +99]. Pontosság (két szomszédos szám különbsége): 1. Maximális hiba: (az ábrázolási tartományba eső) tetszőleges valós

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;

;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ; . A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem

Részletesebben

Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint

Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat írtunk.

Részletesebben

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA

A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése

Részletesebben

Informatika érettségi vizsga

Informatika érettségi vizsga Informatika 11/L/BJ Informatika érettségi vizsga ÍRÁSBELI GYAKORLATI VIZSGA (180 PERC - 120 PONT) SZÓBELI SZÓBELI VIZSGA (30 PERC FELKÉSZÜLÉS 10 PERC FELELET - 30 PONT) Szövegszerkesztés (40 pont) Prezentáció-készítés

Részletesebben

Számrendszerek, számábrázolás

Számrendszerek, számábrázolás Számrendszerek, számábrázolás Nagy Zsolt 1. Bevezetés Mindannyian, nap, mint nap használjuk a következ fogalmakat: adat, információ. Adatokkal találkozunk az utcán, a médiumokban, a boltban. Információt

Részletesebben

Műveletek lebegőpontos adatokkal

Műveletek lebegőpontos adatokkal Budapesti Műszaki Főiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Székesfehérvár Műveletek lebegőpontos adatokkal Dr. Seebauer Márta főiskolai tanár seebauer.marta@roik.bmf.hu Műveletek az IEEE 754

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

Vektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Vektorok. Octave: alapok. A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Vektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Octave: alapok Az octave mint számológép: octave:##> 2+2 ans = 4 Válasz elrejtése octave:##> 2+2; octave:##> + - / * () Hatványozás:

Részletesebben

3. óra Számrendszerek-Szg. történet

3. óra Számrendszerek-Szg. történet 3. óra Számrendszerek-Szg. történet 1byte=8 bit 2 8 =256 256-féle bináris szám állítható elő 1byte segítségével. 1 Kibibyte = 1024 byte mert 2 10 = 1024 1 Mebibyte = 1024 Kibibyte = 1024 * 1024 byte 1

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Programozott soros szinkron adatátvitel

Programozott soros szinkron adatátvitel Programozott soros szinkron adatátvitel 1. Feladat Név:... Irjon programot, mely a P1.0 kimenet egy lefutó élének időpontjában a P1.1 kimeneten egy adatbitet ad ki. A bájt legalacsonyabb helyiértéke 1.

Részletesebben

Alapfogalmak. Dr. Kallós Gábor A Neumann-elv. Számolóeszközök és számítógépek. A számítógép felépítése

Alapfogalmak. Dr. Kallós Gábor A Neumann-elv. Számolóeszközök és számítógépek. A számítógép felépítése Alapfogalmak Dr. Kallós Gábor 2007-2008. A számítógép felépítése A Neumann-elv A számítógéppel szemben támasztott követelmények (Neumann János,. Goldstine, 1945) Az elv: a szekvenciális és automatikus

Részletesebben

Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint

Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint Amit a törtekről tudni kell. osztály végéig Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat

Részletesebben

Hardverközeli programozás 1 1. gyakorlat. Kocsis Gergely 2015.02.17.

Hardverközeli programozás 1 1. gyakorlat. Kocsis Gergely 2015.02.17. Hardverközeli programozás 1 1. gyakorlat Kocsis Gergely 2015.02.17. Információk Kocsis Gergely http://irh.inf.unideb.hu/user/kocsisg 2 zh + 1 javító (a gyengébbikre) A zh sikeres, ha az elért eredmény

Részletesebben

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:

Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl: Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

3. óra Számrendszerek-Szg. történet

3. óra Számrendszerek-Szg. történet 3. óra Számrendszerek-Szg. történet 1byte=8 bit 2 8 =256 256-féle bináris szám állítható elő 1byte segítségével. 1 Kibibyte = 1024 byte mert 2 10 = 1024 1 Mebibyte = 1024 Kibibyte = 1024 * 1024 byte 1

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA02 1. EA

Digitális technika VIMIAA02 1. EA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA02 1. EA Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek

Részletesebben

A racionális számok és a fixpontos processzorok numerikus felületének a kapcsolata

A racionális számok és a fixpontos processzorok numerikus felületének a kapcsolata 7.2.1. A racionális számok és a fixpontos processzorok numerikus felületének a kapcsolata A valósidejű jel- és képfeldolgozás területére eső alkalmazások esetében legtöbbször igény mutatkozik arra, hogy

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA02 1. EA Fehér Béla BME MIT

Digitális technika VIMIAA02 1. EA Fehér Béla BME MIT BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK VIMIAA02 1. EA Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek Számítógép

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK Digitális technika VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek

Részletesebben

2.3. Soros adatkommunikációs rendszerek CAN (Harmadik rész alapfogalmak II.)

2.3. Soros adatkommunikációs rendszerek CAN (Harmadik rész alapfogalmak II.) 2.3. Soros adatkommunikációs rendszerek CAN (Harmadik rész alapfogalmak II.) 2. Digitálistechnikai alapfogalmak II. Ahhoz, hogy valamilyen szinten követni tudjuk a CAN hálózatban létrejövő információ-átviteli

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába Az összeadás, kivonás, szorzás algoritmusai. Prefixumok az informatikában Előjel nélküli egész számok ábrázolása a digitális számítógépeknél. Szorzás, összeadás, kivonás. Előjeles

Részletesebben

Összeadás BCD számokkal

Összeadás BCD számokkal Összeadás BCD számokkal Ugyanúgy adjuk össze a BCD számokat is, mint a binárisakat, csak - fel kell ismernünk az érvénytelen tetrádokat és - ezeknél korrekciót kell végrehajtani. A, Az érvénytelen tetrádok

Részletesebben

Jelátalakítás és kódolás

Jelátalakítás és kódolás Jelátalakítás és kódolás Információ, adat, kódolás Az információ valamely jelenségre vonatkozó értelmes közlés, amely új ismereteket szolgáltat az információ felhasználójának. Valójában információnak tekinthető

Részletesebben

5.1.4 Laborgyakorlat: A Windows számológép használata hálózati címeknél

5.1.4 Laborgyakorlat: A Windows számológép használata hálózati címeknél 5.1.4 Laborgyakorlat: A Windows számológép használata hálózati címeknél Célok Átkapcsolás a Windows Számológép két működési módja között. A Windows Számológép használata a decimális (tízes), a bináris

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Laborgyakorlat Logikai áramkörök számítógéppel segített tervezése (CAD)

Laborgyakorlat Logikai áramkörök számítógéppel segített tervezése (CAD) Laborgyakorlat Logikai áramkörök számítógéppel segített tervezése (CAD) Összeadó áramkör A legegyszerűbb összeadó két bitet ad össze, és az egy bites eredményt és az átvitelt adja ki a kimenetén, ez a

Részletesebben

Digitális technika VIMIAA01

Digitális technika VIMIAA01 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR MÉRÉSTECHNIKA ÉS INFORMÁCIÓS RENDSZEREK TANSZÉK VIMIAA01 Fehér Béla BME MIT Digitális Rendszerek Számítógépek Számítógép

Részletesebben

1. ábra. Repülő eszköz matematikai modellje ( fekete doboz )

1. ábra. Repülő eszköz matematikai modellje ( fekete doboz ) Wührl Tibor DIGITÁLIS SZABÁLYZÓ KÖRÖK NEMLINEARITÁSI PROBLÉMÁI FIXPONTOS SZÁMÁBRÁZOLÁS ESETÉN RENDSZERMODELL A pilóta nélküli repülő eszközök szabályzó körének tervezése során első lépésben a repülő eszköz

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

A továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk

A továbbiakban Y = {0, 1}, azaz minden szóhoz egy bináris sorozatot rendelünk 1. Kódelmélet Legyen X = {x 1,..., x n } egy véges, nemüres halmaz. X-et ábécének, elemeit betűknek hívjuk. Az X elemeiből képzett v = y 1... y m sorozatokat X feletti szavaknak nevezzük; egy szó hosszán

Részletesebben

Távoktatás PROGRAMOZÁSI ALAPFOGALMAK ÉS ALGORITMUSOK

Távoktatás PROGRAMOZÁSI ALAPFOGALMAK ÉS ALGORITMUSOK Budapesti Mszaki Fiskola Regionális Oktatási és Innovációs Központ Távoktatás PROGRAMOZÁSI ALAPFOGALMAK ÉS ALGORITMUSOK Segédlet Készítette: Burián Ágnes Villamosmérnök és mszaki menedzser szak 5. félév

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI

INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI INFORMATIKA MATEMATIKAI ALAPJAI Készítette: Kiss Szilvia ZKISZ informatikai szakcsoport Az információ 1. Az információ fogalma Az érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük.

Részletesebben

IT - Alapismeretek. Feladatgyűjtemény

IT - Alapismeretek. Feladatgyűjtemény IT - Alapismeretek Feladatgyűjtemény Feladatok PowerPoint 2000 1. FELADAT TÖRTÉNETI ÁTTEKINTÉS Pótolja a hiányzó neveket, kifejezéseket! Az első négyműveletes számológépet... készítette. A tárolt program

Részletesebben

OAF Gregorics Tibor : Memória használat C++ szemmel (munkafüzet) 1

OAF Gregorics Tibor : Memória használat C++ szemmel (munkafüzet) 1 OAF Gregorics Tibor : Memória használat C++ szemmel (munkafüzet) 1 Számábrázolás Számok bináris alakja A számítógépek memóriájában a számokat bináris alakban (kettes számrendszerben) ábrázoljuk. A bináris

Részletesebben

DIGITÁLIS TECHNIKA I SZÁMRENDSZEREK HELYÉRTÉK SZÁMRENDSZEREK RÓMAI SZÁMOK ÉS RENDSZERÜK. Dr. Lovassy Rita Dr.

DIGITÁLIS TECHNIKA I SZÁMRENDSZEREK HELYÉRTÉK SZÁMRENDSZEREK RÓMAI SZÁMOK ÉS RENDSZERÜK. Dr. Lovassy Rita Dr. 6..6. DIGITÁLIS TECHNIK I Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet SZÁMRENDSZEREK 8. ELŐDÁS 8. előadás témája a digitális rendszerekben központi szerepet

Részletesebben

DIGITÁLIS TECHNIKA BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr.

DIGITÁLIS TECHNIKA BINÁRIS SZÁMRENDSZER BEVEZETŐ ÁTTEKINTÉS BINÁRIS SZÁMRENDSZER HELYÉRTÉK. Dr. Lovassy Rita Dr. 7.4.. DIGITÁLIS TECHNIK Dr. Lovassy Rita Dr. Pődör álint Óbudai Egyetem KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet INÁRIS SZÁMRENDSZER 3. ELŐDÁS EVEZETŐ ÁTTEKINTÉS 6. előadás témája a digitális rendszerekben

Részletesebben

4. hét: Ideális és valódi építőelemek. Steiner Henriette Egészségügyi mérnök

4. hét: Ideális és valódi építőelemek. Steiner Henriette Egészségügyi mérnök 4. hét: Ideális és valódi építőelemek Steiner Henriette Egészségügyi mérnök Digitális technika 2015/2016 Digitális technika 2015/2016 Bevezetés Az ideális és valódi építőelemek Digitális technika 2015/2016

Részletesebben

Mveletek a relációs modellben. A felhasználónak szinte állandó jelleggel szüksége van az adatbázisban eltárolt adatok egy részére.

Mveletek a relációs modellben. A felhasználónak szinte állandó jelleggel szüksége van az adatbázisban eltárolt adatok egy részére. Mveletek a relációs modellben A felhasználónak szinte állandó jelleggel szüksége van az adatbázisban eltárolt adatok egy részére. Megfogalmaz egy kérést, amelyben leírja, milyen adatokra van szüksége,

Részletesebben

Pásztor Attila. Algoritmizálás és programozás tankönyv az emeltszintű érettségihez

Pásztor Attila. Algoritmizálás és programozás tankönyv az emeltszintű érettségihez Pásztor Attila Algoritmizálás és programozás tankönyv az emeltszintű érettségihez 3. ADATTÍPUSOK...26 3.1. AZ ADATOK LEGFONTOSABB JELLEMZŐI:...26 3.2. ELEMI ADATTÍPUSOK...27 3.3. ÖSSZETETT ADATTÍPUSOK...28

Részletesebben

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter

Matematikai alapok. Dr. Iványi Péter Matematikai alapok Dr. Iványi Péter Számok A leggyakrabban használt adat típus Egész számok Valós számok Bináris számábrázolás Kettes számrendszer Bitek: és Byte: 8 bit 28 64 32 6 8 4 2 bináris decimális

Részletesebben

Bevezetés az informatikába

Bevezetés az informatikába Bevezetés az informatikába 2. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.

Részletesebben

INFO1 Számok és karakterek

INFO1 Számok és karakterek INFO1 Számok és karakterek Wettl Ferenc 2015. szeptember 29. Wettl Ferenc INFO1 Számok és karakterek 2015. szeptember 29. 1 / 22 Tartalom 1 Bináris számok, kettes komplemens számábrázolás Kettes számrendszer

Részletesebben

DIGITÁLIS TECHNIKA I KÓD IRODALOM SZIMBÓLUMKÉSZLET KÓDOLÁS ÉS DEKÓDOLÁS

DIGITÁLIS TECHNIKA I KÓD IRODALOM SZIMBÓLUMKÉSZLET KÓDOLÁS ÉS DEKÓDOLÁS DIGITÁLIS TECHNIKA I Dr. Pıdör Bálint BMF KVK Mikroelektronikai és Technológia Intézet 7. ELİADÁS 7. ELİADÁS 1. Kódok és kódolás alapfogalmai 2. Numerikus kódok. Tiszta bináris kódok (egyenes kód, 1-es

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben