MATEMATIKA A 10. évfolyam

Átírás

1 MATEMATIKA A 10. évfolym 9. modul Hegyesszögek szögfüggvényei Készítette: Vidr Gáor, Lénárt István

2 Mtemtik A 10. évfolym 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei A modul élj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszi Szögfüggvények evezetése hegyesszögek esetén, lpvető trigonometrii feldtok. 10 ór 10. évfolym Hsonlóság, forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. Egyszerű feldtok derékszögű háromszögeken. Zseszámológép iztos hsználtánk elsjátítás. A vlóságos tárgyk méretei, és zok geometrii modellje közötti rány eslése. Síkidomok kerületének, területének, téreli lkztok felszínének eslése. A vlóság tárgyink geometrii modellezéséhez szükséges képességek továfejlesztése. A geometrii feldtok lgeri eszközökkel történő megoldási képességének fejlesztése. Geometrii foglmk segítségével z sztrkiós képesség fejlesztése. A modulhoz kpsolódó érettségi követelmények Trigonometrikus egyenletek Középszint Tudjon definíiók és zonosságok közvetlen lklmzását igénylő feldtokt megoldni Trigonometri Középszint Tudj hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldlrányivl definiálni, ismereteit lklmzz feldtokn. Tudj és lklmzz szögfüggvényekre vontkozó lpvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negtív szög szögfüggvénye, pitgorszi összefüggés. Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásól. Ismerje és lklmzz nevezetes szögek (0, 45, 60 ) szögfüggvényeit.

3 Mtemtik A 10. évfolym 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei Emelt szint Tudjon szögfüggvényeket kifejezni egymásól. Kerület, terület Középszint Ismerje kerület és terület szemléletes foglmát. m Háromszög területének kiszámítás különöző dtokól: t = ; Nevezetes négyszögek területének számítás. Szályos sokszögek kerületének és területének számítás. Kör, körikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feldtok. sin γ t =. Ajánlás A modul sok feldt és lklmzás került. Ez lehetőséget d differeniálásr tnulósoport képességeinek figyelemevételével. H szükséges, tnórák átsoportosíthtók (például. illetve 6 7. ór nygi összevonhtók, és így nyerünk modul végére két feldtmegoldó órát). A középszintű érettségin nem jellemző neheze trigonometrikus feldtok kitűzése, zokt emelt szintre készülő vgy érdeklődő tnulóknk jánljuk. Jvsoljuk Polydron, plexi testek és hsonló szemléltetőeszközök hsználtát tnórákon. Feldhtjuk tnulóinknk projektmunkán, hogy gyűjtsenek kereskedelemen kphtó, nem tégltest lkú somgolásokt, és htározzák meg ezek jellemző szögeit (például lplp és oldllp hjlásszögét).

4 Mtemtik A 10. évfolym 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 4 Támogtó rendszer A modulhoz trtoznk projektor segítségével kivetíthető emuttók, melyek hsználhtók új nyg feldolgozáskor vgy összefogllás során. Fejezetenként egy-egy prezentáió készült, mely trtlmzz z elméleti nygokt és mintpéldákt (megoldássl). Hsználtukkl megoldhtó, hogy tnulói munkfüzetet sk feldtmegoldáshoz hsználjuk, ezért hol modulvázltn tnulói munkfüzet szerepel, ott helyette emuttó is értendő (külön nem tüntettük fel). Csoportmunk során is hsználhtók, mennyien soportoknk feldtkitűzés egyszerre történik. Ezen kívül készíthetünk diákjinknk feldtlpokt tnári nygot felhsználv (egy feldtlpot el is készítettünk z első témkör mintpéldáiól). Óreosztás Órszám Órím 1. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíiói.. Egyszerű feldtok szögfüggvények hsználtár 4. Összefüggések szögfüggvények között 5. Feldtok megoldás 6. Nevezetes szögek szögfüggvényei 7. Feldtok nevezetes szögekre 8. Sokszögekkel kpsoltos feldtok 9. Körrel kpsoltos feldtok 10. Egyenlettel megoldhtó feldtok szögfüggvények lklmzásár

5 Mtemtik A 10. évfolym 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíiói. 1 Bevezetés, ráhngolódás: hsonlóság szögtrtóság, történeti vontkozások) Definíiók A definíiók lklmzás lpfeldtokn (mintpéldák soportmunkán) 4 Feldtok megoldás (soportmunk) Figyelem, rendszerezés, komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Frontális munk. Számolás, komintív gondolkodás, számológép hsznált. Kommunikáió, kooperáió, metkogníió, szöveges feldtok. Tnulók könyve I mintpéld, 9.1 feldtlp 1 8. feldtok közül válogtunk

6 Mtemtik A 10. évfolym 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 6 II. Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között. 1. Az összefüggések megismerése (jvsolt módszer: szkértői mozik, soportmunk) Szöveges feldtok, komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Kooperáió, Tnulók könyve II. kommunikáió, metkogníió, rendszerezés.. Mintpéldák z összefüggések lklmzásár (frontális). Szöveges feldtok, komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás mintpéld. Feldtok megoldás (soportmunk, differeniáltn) 0. feldt III. Nevezetes szögek szögfüggvényei. 1. Az összefüggések megismerése (frontális) Szöveges feldtok, komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Tnulók könyve III.. Mintpéld z összefüggések lklmzásár (frontális). 8. mintpéld. Feldtok megoldás (soportmunk, differeniáltn) Szöveges feldtok, komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. A geometrii feldtok lgeri eszközökkel történő megoldási képességének fejlesztése. A vlóság prolémáink modellezése. Kooperáió, kommunikáió, metkogníió, rendszerezés feldtok közül válogtunk

7 Mtemtik A 10. évfolym 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 7 IV. A szögfüggvények lklmzási. 1. Alpvető lklmzások (jvsolt módszer: szkértői mozik, soportmunk): trigonometrikus területképlet, köré írt kör sugr, szályos sokszögek kerülete, területe, vektorok hjlásszöge.. Feldtok megoldás (soportmunk, differeniáltn) Szöveges feldtok, komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. A geometrii feldtok lgeri eszközökkel történő megoldási képességének fejlesztése. A vlóság prolémáink modellezése. Kooperáió, kommunikáió, metkogníió, rendszerezés. 9., 10., 1., 1. mintpéld feldtok közül válogtunk V. Szögfüggvények gömön (kiegészítő nyg) 1. Oldlk szögfüggvényei. Gömi Pitgorsz-tétel. Feldtok megoldás Komintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Tnulók könyve, gömkészlet

8 8 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ I. Hegyesszögek szögfüggvényeinek definíiói H egy háromszöget ngyítunk vgy kisinyítünk, szögei nem változnk. Az ránytrtás következtéen megfelelő oldlk rány szintén állndó. Eől rr következtethetünk, hogy háromszögen szögek és z oldlk rány között kpsolt vn. A trigonometri (háromszögtn) fogllkozik háromszögek dtink, szögek és oldlk kpsoltávl. A szögek és távolságok kpsoltát már z ókorn is tnulmányozták és hsználták Kín, Indi területén skúgy, mint Egyiptomn z építkezéseknél. Kr. e körül már hsználtk húrtáláztokt, sőt szinusztáláztokt is. Az első évszázdn hegyesszögekhez trtozó húrok hosszát fogllták tálázt, félfokonként, és ismerték két szög összegének és különségének szögfüggvényeire vontkozó képleteket (m z emelt szintű érettségi tnnyg). A trigonometri lpj szögfüggvények definíiói. A hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszögen értelmezzük, és ezeket definíiókt késő kiterjesztjük más szögekre is (nem hegyesszögekre). A hegyesszögek szinusz Egy luljáróól 17 méter hosszú, egyenes rámp vezet fel járd szintjére, és rámp egyenletesen, 6,5 -n emelkedik vízszinteshez képest. Ezekől z dtokól meghtározhtó, hogy milyen mélyen vn z luljáró. Segítségül hívjuk vlóság modelljét: jelen eseten z eredetihez hsonló derékszögű háromszöget. Szerkesszünk egy 6,5 -os derékszögű háromszöget például 5 m-es átfogóvl. A két háromszög szögei páronként egyenlők, ezért két háromszög hsonló, tehát megfelelő oldlik rány egyenlő. H lemérjük z ABC háromszög 6,5 -os

9 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 9 szöggel szemközti efogóját, kkor, m-t kpunk. A keresett oldl hosszát x-szel jelölve: x, 17 =, innen x 7, 5 méter Segítségül ármilyen 6,5 -os derékszögű háromszöget hívhttunk voln, mert szöggel szemközti efogó és z átfogó rány hsonlóság mitt állndó. Ezt hánydost hegyesszög szinuszánk nevezzük, és jelen eseten 4 tizedesjegyre közelítő értéke 0, 446. A szöggel szemközti efogó, z átfogó és hegyesszög között szinusz szögfüggvény teremti meg kpsoltot. A 6,5 -os szög szinusz közelítőleg 0,446. Ez szorzószám dj meg, hogy egy ehhez hsonló háromszögen z átfogót mennyivel kell megszorozni, hogy megkpjuk szöggel szemközti efogót: sin 6,5 =, honnn x 17 x = 17 sin 6,5 7,59 méter. Egy α hegyesszög szinusz z α szögű derékszögű háromszögen z α szöggel szemközti efogó és z átfogó hánydos. 0,446 0,894 1,86 1,7848 sin 6,5 = = = = A szögek szögfüggvényeinek értékét legegyszerűen zseszámológép segítségével tudjuk meghtározni. Számológépet hsználunk kkor is, mikor zt kell meghtároznunk, hogy egy dott szögfüggvényértékhez mekkor szög trtozik. Jelenleg sokféle tudományos számológépet tlálunk pion. Leggykorik normál és DAL típusúk. A normál típusúknál elő számokt visszük e, mjd műveleteket válsztjuk ki megfelelő gomokkl. A DAL típusú klkulátoroknál képleteket olyn módon visszük e gépe, hogyn zt ppírr leírjuk (például kezel törteket, és szorzásjelet sem kell evinni, h zárójeles kifejezést szorzunk).

10 10 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ A DAL típusú számológépeknél műveletet előre jelezzük: sin 6,5 = A normál típusúknál szögfüggvény értékét így htározzuk meg: 6,5 sin Visszkereséshez ugynezeket illentyűket hsználjuk: ndf vgy Shift illentyűvel elérhető második (sin -1 ) funkiójukt: DAL gépen:, normál típusú gépen:. A szögek mértékegységei között számológépen tlálhtó DRG vgy RAD goml válthtunk. Amennyien D üzemmódot jelöl kijelző, megdott dtokt számológép foknk értelmezi. R esetéen rdiánnk, G esetén újfoknk. A hegyesszögek koszinusz A szög szinusz derékszögű háromszögen szöggel szemközti efogót és z átfogót kpsolj össze. Hsonlón egy szög koszinusz összekpsolj szög melletti efogót z átfogóvl. Az 57 méter mgs pisi ferde torony árnyék 5 méter délen. Ezekől z dtokól koszinusz szögfüggvény segítségével kiszámíthtjuk, hogy mekkor szöget zár e tljjl torony. A szemléltetés kedvéért kisit még jon eldöntöttük tornyot. os α = 5 57 Zseszámológéppel számolv: α 85. Egy α hegyesszög koszinusz z α szögű derékszögű háromszögen z α szög melletti efogó és z átfogó hánydos.

11 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 11 A hegyesszögek tngense, kotngense Egy permetező repülőgép olyn helyen áll, hol gyorsítás után fákig 81 méter szd út áll rendelkezésre felszálláshoz. A 81 méter ltt 10 méter mgsr kell emelkednie. A pilótánk felszálláskor z emelkedés szögét e kell állítni. Mekkor kérdéses szög? A feldtn derékszögű háromszög két efogój és hegyesszög közötti kpsoltot tngens szögfüggvény 10 teremti meg: tg α =, honnn α 7, 04. H efogók rányát fordítv írjuk fel, szög kotngensét kp- 81 juk. Egy α hegyesszög tngense z α szögű derékszögű háromszögen z α szöggel szemközti és z α melletti efogó hánydos. Egy α hegyesszög kotngense z α szögű derékszögű háromszögen z α szög melletti és z α szöggel szemközti efogó hánydos. Összefogllv: hegyesszögek szögfüggvényeinek definíiói derékszögű háromszögen: szöggel szemközti efogó sinα = átfogó = szöggel szemközti efogó tgα = = szög melletti efogó szög mellettiefogó osα = = átfogó tgα = szög melletti efogó szöggel szemközti efogó =

12 1 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ A szögfüggvények értékeit áltlán négy tizedesjegyre kerekítjük, fokokn megdott szögeket egy tizedesjegyre. Régeen szinusz- és koszinusz-táláztokól htározták meg szögfüggvények értékét ( függvénytáláztn is tlálunk ilyen jellegű táláztokt), m számológépet (klkulátort) hsználunk. Vegyük észre, hogy szögfüggvényértékeknek nins mértékegysége, hiszen két távolság hánydosként értelmeztük zokt. Mintpéld 1 Htározzuk meg zseszámológéppel 5 1 szögfüggvényeit! Egyes számológépeken nem kell átváltni 1 -et fokká, külön illentyű tlálhtó fokperes dtevitelre (DMS vgy jelzéssel). Akinek nem ilyen számológépe, előtte át 1 kell váltni 1 -et fokká: = 0, ; 1' = 0,, és 5, -ot kell eütnie gépe. 60 A számológép kidj z eredményt: 0, tizedesjegyre kerekítve sin 5 1' = 0, 790. Hsonlón, töi szögfüggvényérték: os 5 1' = 0, 619 ; tg 5 1' = 1, 89. A számológépen ninsen gom, mivel ki tudnánk számolni tg 5 1' értékét. A definíiókól zonn kiderül, hogy egy szög tngense és kotngense egymás reiprok, ezért 1 tg 5 1' = = 0,7757. tg 5 1' Megjegyzések: DAL típusú számológépeken művelet nyomógomj után számok egépelése és z egyenlőségjel hsznált dj szöget. Amennyien szöget ívmértéken (rdiánn) dják meg, RAD illentyűvel állíthtjuk át számológépet ívmértékre. Mintpéld Az emelkedő előtti közlekedési tálár 1%-ot írtk. Ez zt jelenti, hogy vízszintes irányú hldáshoz képest lejtő emelkedése 1%. Hány fokos lejtő emelkedési szöge?

13 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 1 Az dtok felhsználásávl vázltot készítünk. Kérdés: α ngyság. A megdott oldlk és α között kpsoltot tngens szögfüggvény teremti meg: 0,1 x tg α = = 0,1. x Visszkeresve: szög 6,848, kerekítve 6,8. Mintpéld 1 Szerkessz olyn hegyesszöget, melynek koszinusz! Egy szög koszinusz szög melletti efogó és z átfogó hánydos, ezért e két távolság rány 1:. A megoldás z ABC derékszögű háromszög megszerkesztésére vezethető vissz, melynek egyik efogój 1 egység, átfogój pedig egység hosszú. A szerkesztés egyik lehetséges módj: 1. AC = 1 egység felvétele;. AC-re C-en merőlegest állítunk (e);. z A középpontú, egység sugrú kör kimetszi e-ől B súsot. Mintpéld 4 Számítsd ki 55 -os szög kotngensét! Mekkor szögnek kotngense,5? A definíiókól leolvshtó, hogy egy szög tngense és kotngense egymás reiprok: 1 tg α =. Ez zért fontos, mert számológépen ninsen gom szög kotngensének tg α kiszámításár. 55 kotngensét úgy htározzuk meg, hogy kiszámítjuk tngensét, és nnk vesszük reiprokát: tg 55 = 1, 481. Ennek számnk reiprok tg 55 = = 1 tg 55 = 0,700.

14 14 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ tg α =,5 megoldását is úgy kezdjük, hogy szög kotngense helyett tngensét számít- 1 1 juk ki, miől már számológéppel szöget ki tudjuk számítni: tg α = = = 0, 4. tgα,5 Számológéppel α = 1, 8 dódik. Mintpéld 5 A négyzet lpú Ngy Pirmis mgsság 146 méter, lpjánk hossz 0 méter. Mekkor szöget zárnk e z oldllpok tljjl? A vázlt muttj z lplp és z oldllp szögét és zt derékszögű háromszöget, melynek segítségével keresett szög kiszámíthtó. A két efogót tngens szögfüggvény kpsolj össze: tg α = α 51, Módszertni megjegyzés: következő feldtokn távolságokt kell kiszámítni szögfüggvények segítségével, dott szögek mellett. Feldtok 1. Htározd meg következő szögek összes szögfüggvényét számológép segítségével! Figyelj helyes kerekítésre! ) 10 ; ) 0 ; ) 45 ; d) 70 ; e) 0 ; f) 60 ; g) 8,6 ; h) 67,54 ; i) 1 6 ; j) Mekkor z ismeretlen hegyesszög, h ) sin α = 0, 14 ; ) sin α = 0, 40 ; ) os α = 0, 680 ; d) os α = 0, 087 ; e) tg α = 0, 891; f) tg α =, 1445 ; g) tg α = 0, 45; h) tg α =, 110? ) 7,1 ; ) 0,0 ; ) 47,0 ; d) 85,0 ; e) 1, ; f) 65,0 ; g) 7,0 ; h) 17,8.. Igz-e, hogy egy hegyesszög szinusz és koszinusz mindig 1-nél kise szám? Indokold válszt! Elmondhtó-e ugynez hegyesszögek tngensére és kotngensére?

15 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 15 A szinusz és koszinusz egynél kise, mert efogó és átfogó hánydosként értelmezzük. Mivel z átfogó hossz efogónál, rány mindig kise 1-nél. Tn- efogó átfogó gens és kotngens esetén ilyen korlátozást nem tlálunk. 4. Szerkessz hegyesszöget, melynek ) szinusz 0,8; ) szinusz 1 ; ) koszinusz 0,; d) koszinusz 8 ; e) tngense ; f) tngense 4 ; g) kotngense 1,6; h) kotngense 1 5! A. mintpéld lpján, derékszögű háromszög szerkesztésével. 5. Adott derékszögű háromszög két efogój: = 4, m, = 5, 4 m. Mekkorák háromszög szögei? 4, tg α = =, honnn α 8, 5. A másik hegyesszög β = 90 α 51,5. 5,4 6. A derékszögű háromszög 6 m-es efogóján -os szög nyugszik. Mekkor háromszög köré írt körének sugr? r = ; os = 6 6, honnn = 0, 66, sugár r 15, 4m. os 7. Derékszögű háromszög 4 entiméteres mgsság z átfogóól egy entiméteres szkszt vág le. Mekkorák háromszög oldli és szögei? 4 tgβ = β = 5, 1. α = 90 β = 6, 9. 4 = 6,7 sinα m, 4 = ; sin β 5 m, = ; 8, sin α m. Megjegyzés: értéke pontosn 5, hiszen pitgorszi számhárms szerepel feldtn.

16 16 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 8. Egy szimmetrikus trpéz hosszik lpj 18 m, rjt fekvő szögek 45 -osk, szárk hossz 5 m. Mekkor trpéz kerülete és területe? A 45 -os derékszögű háromszög speiális, efogói egyenlők és 5 = m, honnn 5 m =,54 (m). x = 18 m 10, 9(m). A kerület K = 8, 9 m, terület ,9 T =,54 51,1; T 51,1m. 9. ) Egy lejtő hossz 1 méter, hjlásszöge 7 5. Milyen mgsr visz lejtő? ) Egy lejtő hossz, hjlásszögeα. Milyen mgsr visz lejtő? ) h = 1 sin 7 5' 16, 1m; ) h = sinα. 10. Egyenlőszárú háromszög lpj 10 m, z lphoz trtozó mgsság szintén 10 m. Mekkorák háromszög szögei? 10 tg α = = α 6,4. β = 180 α 5, Mekkor fltól tető gerinéig trtó tetőgerendák hossz, h z egyenlőszárú háromszög keresztmetszetű tető szélessége 7 méter, és gerendák hjlásszöge vízszinteshez képest 5?,5 4, 7, keresett távolság 4,7 méter. os5 1. Egyenlőszárú háromszögen szárk hjlásszöge 70, z lp 10,8 m. Mekkor háromszög kerülete és területe? 5,4 A szár hossz 9, 4 m, kerület 10,8 + 9,4 9, 6 m. A háromszög mgsság 7, 7 m, területe 41, 6 m. sin5 5,4 7,7 10,8 tg5

17 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei Egy létr láink távolság tljon 86 m, és 15 -ig hjtottuk szét láit. Hány fokú létr, h fokok 45 m-enként követik egymást? Milyen mgsn vn teteje tljtól számítv, h szétnyitják? 4 A létr hossz l = 9, 4 m. 9 7, 1, vgyis létr 7 fokú. sin 7, = tg75 m = 6,6. A létr teteje k. 7 m mgsn vn. m tg Egy tégllp oldli 10 m és 15 m. Mekkor szöget zárnk e z oldlk z átlóvl? 10 tgα = = α, 7. A keresett szögek,7 és 90,7 = 56, Egy lk méretei: 80 m x 150 m. Mekkor szöget zárnk e z lkr rgsztott, átlósn hldó egyenes rgsztószlg-síkok egymássl? α 40 tg =, honnn α 56, 1 75 mi megegyezik keresett szöggel.. Ez síkok közepén futó egyenesek hjlásszöge, 16. Akdálymentesítéshez egy lépsőre rámpát terveznek. A lépsők mgsság 0 m, hosszuk 0 m, és 5 lépső visz fel járdáról ejárthoz ( 6. ejárt szintje). Milyen hosszú legyen rámp? Mekkor szöget zár e járdávl? 16, m és, Az Eiffel-torony mgsság 6 m, kilengése legngyo szélen sem hldj meg 1m-t. Mekkor torony tetejének függőlegessel ezárt szöge, h kilengés 1m? 0,0.

18 18 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Megjegyzés: ez egy ngyon jó tervezői eredmény. Különöző tornyok kilengését érdeklődő tnulók z interneten is kutthtják. 18. Az Eiffel-toronytól tljon, toronytól 150 méterre áll egy utó. Mekkor szögen látszik torony emeleteiről, h z emeletek 54m, 115m és 74 m mgsn tlálhtók? A keresett szögek 70,, 5,5 és 8, Egy forgáskúp lpkörének sugr 10 m, testmgsság 5 m. Mekkor kúp nyílásszöge? 10 tg ϕ = = keresett szög ϕ 4, Egy pirmisról tudjuk, hogy lpj egy 10 m illetve 150 m oldlhosszúságú tégllp, mgsság 18 m. Mekkor szöget zárnk e z oldllpok z lplppl? Tngens szögfüggvények lklmzásávl keresett szögek 1,5 és 15,5. 1. Mekkor szögen látszik egy 7 m-es húr z 5 m sugrú kör O középpontjáól, és milyen távol vn z O-tól? Mennyi megfelelő körívhez trtozó körikk területe és ívhossz?,5 sinα = α 44, 4, körikk középponti szöge 88,8. A keresett távolság x = 5osα, 6 m. A körikk területe 5 r π α T = 19,4 m rπ α, z ívhossz i = 7, 8m Mekkor szögen látszik egy 10 m-es húr 8 m sugrú kör O középpontjáól, és milyen távol vn z O-tól? Mennyi megfelelő körívhez trtozó körikk területe és ívhossz? 77,4, 6, m, 4, m, 10,8 m.

19 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 19. Egy 6,9 m sugrú kören mekkor szögen látszik z átmérő egyik végpontjáól z 8 m hosszú húr, mely z átmérő másik végpontjáól indul ki? 5,4. 4. Egy romusz egyik átlój 10, m, oldl 6,8 m. Mekkorák szögei? Koszinusz szögfüggvénnyel kiszámíthtó, hogy szögek 8,8 és 97,. 5. Egy romusz átlói 16 m és 1,6 m. Mekkor z oldl, területe és szögei? Felhsználjuk, hogy romusz átlói merőlegesen felezik egymást, és felezik szögeket. A keresett dtok 10,18 m, 100,8 m, 76,4 és 10,6. 6. Egy szimmetrikus trpéz lpji 6 m és 10 m, szári 5 m hosszúk. Mekkorák trpéz szögei? 66,4 és 11,6. 7. Egy szimmetrikus trpéz lpji 16 m és 10 m, szári 8 m hosszúk. Mekkorák trpéz szögei? 68,0 és 11,0. 8. Egy trpéz hosszik lpj 1 m, z ezen fekvő szögek és 44 -osk. A 44 -os szög melletti szár hossz 6 m. Mekkor trpéz kerülete és területe? m = 6 sin 44 4,17 ; m x = 6 os44 4,; d = 7, 87 ; sin y = d os 6,67 ; 1 ( x + y) 10, 01. A keresett értékek: K = 44, 9 m, T = 64, 7 m.

20 0 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ II. Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között Módszertni megjegyzés: Az összefüggéseket megtnulhtjuk soportmunkán, szkértői mozik módszerével. Így tnulók egymást tnítják tnulói munkfüzet segítségével. Összefüggés egy szög tngense és kotngense között Egy szög szögfüggvényei között kpsoltok vnnk. Például mint már láttuk derékszögű háromszögen és tg α =. tg α = Egy hegyesszög tngense és kotngense egymás reiprok: Más lkn felírv z összefüggést: tg α tgα = 1. Pótszögek szögfüggvényei Legyen derékszögű háromszög két hegyesszöge α és β. Írjuk fel z α és β szögek szögfüggvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük! sin α = os α = tg α = tg α = sin β = os β = tg β = tg β = Derékszögű háromszögen két hegyesszög összege 90, ezért β felírhtó β = 90 α lkn. α -t és β -t egymás pótszögének nevezzük. Egy szög és pótszögének szögfüggvényei között következő összefüggések tlálhtók: sin α = os (90 α); os α = sin (90 α); tg α = tg (90 α); tg α = tg (90 α).

21 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 1 Pitgorszi zonosság Láttuk, hogy egy szög tngense és kotngense között egyszerű kpsolt áll fenn: egymás reiproki. Vizsgáljuk meg, mi lehet kpsolt egy szög szinusz és koszinusz között! Legyen 60 -os derékszögű háromszög átfogój egység. Írjuk fel háromszög másik két oldlánk hosszát! Mivel z ABC háromszög fél egyenlő oldlú, ezért AC = 1 efogó Pitgorsz tétele szerint BC = AB AC =., BC 1 1 sin 60 =, os 60 =, négyzetük összege sin 60 + os 60 = + = A kpott összefüggés minden hegyesszögre igz. Egy szög szinuszánk és koszinuszánk négyzetösszege 1. Ezt z összefüggést négyzetes összefüggésnek vgy Pitgorszi trigonometrikus zonosságnk hívjuk. Az ár szerint n derékszögű háromszögen, melynek átfogój 1 egység, z oldlk hossz sinα és os α. Eől könnyen igzolhtó négyzetes összefüggés, ármely hegyesszögre. Módszertni megjegyzés: Vigyázt! Célszerű felhívni tnulóink figyelmét következőre: nem szd zt hiás következtetést levonni, hogysin α + osα = 1. Az összefüggés szögfüggvényértékek négyzetére vontkozik. Például sin 0 0,40, os 0 0, 997, és sin 0 + os 0 1, 817.

22 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ A tngens és kotngens szögfüggvények kpsolt szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy elosztv következőre jutunk: sinα = osα = sin α = és = os α =. Ezeket egymássl, mi éppenα tngense, és számlálót és nevezőt felserélveα kotngensét kpjuk. Fennáll következő két zonosság: Ezeknek z zonosságoknk ngy jelentőségük lesz késő, mikor szögfüggvények értelmezését kiterjesztjük nem hegyesszögekre is. Mintpéld 6 Mennyi következő kifejezések pontos értéke? ) sin 50 + tg10 tg10 os40 50 és 40 egymás pótszögei. A pótszögek szögfüggvényeire vontkozó összefüggések szerint sin 50 = os40, ezért különségük 0. tg α tgα = 1, ezért tg 10 tg10 = 1. A kifejezés értéke 1. ) sin 50 sin 50 os40 + os 40 = + nevezetes zonosság szerint Az ( ) sin 50 sin 50 os40 + os 40 = ( sin 50 os 40 ) = 0 = 0. ) ( sinα + osα ) sinα osα

23 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei A nevezetes zonosság segítségével átlkíthtó kifejezés: ( sinα osα ) sinα osα + = sin α + os α + sinα osα sinα osα = = sin α + os α = 1. Mintpéld 7 Mutssuk meg, hogy minden α hegyesszögre fennáll következő összefüggés: 1 = 1+ tg α. sin α A l oldlt átlkítjuk tnult összefüggések lklmzásávl: os α 1 + tg α = 1+ = sin α sin = α + os α 1 = sin α sin, vgyis teljesül z egyenlőség. α Feldtok 0. Számítsd ki következő kifejezések pontos értékét számológép hsznált nélkül! π π ) sin 0 + os 0 ; ) 1 sin 75 os 75 ; ) 1 sin sin ; 6 π π d) os 6 + os 7 ; e) sin 0 os70 ; f) sin + sin ) 1; ) 0; ) 0; d) 1; e) 0; f). 1. Számítsd ki következő kifejezések pontos értékét számológép hsznált nélkül: ) ( sin 10 + os10 ) + ( sin10 os 10 ) ; ) sin 5 os65 + sin 65 os5 ; ) 1 os sin os58 + os 58. ) ; ) 1; ) 0.

24 4 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ. Igzk-e minden α hegyesszögre következő egyenlőségek: 1 1 sinα ) = 1+ tg α ; ) = ; os α osα 1 os α osα α ; d) tg sinα ) tg ( 90 ) = 1 ) igen; ) nem; ) igen; d) igen. ( 1+ osα )( 1 osα ) =. 1 sin α α. Számítsd ki következő kifejezések pontos értékét: ) ( sin α + osα ) ( sinα osα ) + os α ; ) tg ( 90 α ) 4 tg ) sin α + sin α os α + os α ; d) ) 1; ) 1; ) 1; d) 1. osα ; sinα α( 1+ sinα )( 1 sinα ) ( 1+ osα )( 1 osα ).

25 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 5 III. Nevezetes szögek szögfüggvényei Korán megtnultuk, hogy z oldlú szályos háromszög mgsság, és z ol- dlú négyzet átlój. Ezekkel z ismeretekkel meghtározhtjuk nevezetes szögek, 0, 45 és 60 szögfüggvényeinek pontos értékeit. 0 és 60 szögfüggvényei = 1 sin 0 = = = os60 os0 = = = sin tg0 = = = = = tg60 1 tg 0 = = = tg60 tg0 A számításn kihsználtuk hegyesszögek szögfüggvényeinek definíióját, pótszögek szögfüggvényeire vontkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is. 45 szögfüggvényei 1 sin 45 = = = = os 45 tg45 = = 1 = tg45

26 6 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ A nevezetes szögek szögfüggvényeit tálázt is fogllhtjuk. A szögeket gykrn (például fiziki feldtokn) ívmértéken (rdiánn) dják meg. α sin α os α tgα tgα 0 π π π 1 Mintpéld 8 ) Mennyi következő kifejezés pontos értéke: tg 45 + sin 18 os 0 4os 60 + tg0 + os 18 + sin 70? Alklmzzuk z eddig tnult zonosságokt és nevezetes szögek szögfüggvényeit! Érdemes átsoportosítni kifejezést, hogy jon lássuk z összetrtozó értékeket: 1 = =. ) Milyen szög szinuszávl egyenlő következő kifejezés: π π π π tg os os tg? π π π π tg os os tg = = = 4. Ez π szinusz. Feldtok os derékszögű háromszögen z átfogó hossz 6. Mekkor két efogó pontos hossz? 9 és.

27 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei os derékszögű háromszögen z átfogó hossz Mekkor két efogó pontos hossz? 10 és os derékszögű háromszögen z átfogó hossz. Mekkor két efogó pontos hossz? és. 7. Mekkor z AB, BC és CD szksz hossz, h EB = 1 m? AB = 6 m, AC= 6 10, 9 m, BC= 6( 1) 4, 9 CD = 7,61 m. m, AD = 18 m, 8. Az AD oszlop teteje tljon z A-tól 6 méterre levő B pontól 45 -os szögen látszik. Az AB irányn ddig távolodunk z oszloptól tljon, míg zt 0 -os szögen nem látjuk. Milyen messze vgyunk z oszloptól? AD DAB speiális háromszög, AD = AB = 6. tg 0 =, AC honnn AC = 6 ; AC 10, 9 m. 9. Htározd meg következő kifejezések pontos értékét! ) os60 + sin 0 + tg45 ; ) sin 60 tg45 + sin 0 ; ) tg45 sin 60 + sin0 [ 1] tg60 e) ( os60 + sin 60 ) ),5; ) 0; ) 1; d) 1; e) 1,5. ; d) ( 60 + os0 ) tg0. sin ;

28 8 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertni megjegyzés: következő feldtok speiális háromszögekre vontkoznk. Segítenek elmélyíteni nevezetes szögekkel kpsoltos szögfüggvényértékeket. 40. Egy 10 m sugrú kören milyen messze vnnk egymástól 10 -os és 90 -os középponti szöghöz trtozó, egymássl párhuzmos húrok végpontji, h kör középpontj ) húrok között helyezkedik el; ) nem húrok között helyezkedik el? ) Az árán -vl jelölt szksz hossz = ( ) 1, 6 = 5 5 = 5 m. A húrok közötti távolság , 1m. Pitgorsz-tétellel számíthtó x = 1,6 + 1,1 1, m. hossz 5 5 = 5( + ) 15, 8 + m, Pitgorsz-tételt felírv y = 15,8 + 1,1 19, 9 m. ) Hsonlón megoldhtó feldt. A húrok közötti távolság 5( 1), 1, x =, 6 m, y = 15, 9 m. 41. Egy négyzet lpú gúl lplpjánk és oldllpjánk hjlásszöge 60. Mekkor z oldlél és z lplp hjlásszöge? -vl jelölve gúl lpélének felét és m-mel mgsságát, tg 60 =. A keresett szögre m m tgα = = tg60 = =, honnn ke- resett szög α = 50,8. 1 =

29 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 9 4. Egy négyzet lpú gúl lplpjánk és oldllpjánk hjlásszöge 45. Mekkor z oldlél és z lplp hjlásszöge? Jelölve gúl lpélének felét, és m mgsságát; m =. A keresett szögre m 1 tg α = =, honnn keresett szög 5,. 4. Egy 10 m sugrú kör húrj középponttól 5 m-re tlálhtó. Számítsd ki húrhoz trtozó körszelet kerületét és területét! A középponti szög 10, vgyis hrmdkör területéől kell kivonni 10 -os egyenlőszárú háromszög területét, illetve hrmdkör ívéhez djuk húr hosszát. Az eredmények 8,6 m és 61,4 m. 44. Egy 1 m sugrú kör húrj középponttól 6 m-re tlálhtó. Számítsd ki húrhoz trtozó körszelet kerületét és területét! A középponti szög 45, vgyis negyedkör területéől kell kivonni egyenlőszárú derékszögű háromszög területét, illetve negyedkör ívéhez djuk húr hosszát. Az eredmények 5,8 m és 41,09 m. 45. Egy 0 m hosszúságú húr kör középpontjától 10 m-re tlálhtó. Számítsd ki húrhoz trtozó körszelet kerületét és területét! A középponti szög 60, vgyis htodkör területéől kell kivonni szályos háromszög területét, illetve htodkör ívéhez djuk húr hosszát. Az eredmények 40,94m és 6,m.

30 0 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ IV. A szögfüggvények lklmzási A szögfüggvényeket széles kören lklmzzák mind természettudományok, mind hétköznpi élet területein. A következőken erre látunk példákt, feldtokt. Módszertni megjegyzés: Jvsoljuk szkértői mozik módszerével átvenni 9, 10, 1 és 1. mintpéldákt. Mintpéld 9 Htározd meg háromszög területét, h két oldl 7 m és 10 m, köztük levő szög 8 -os! 1 T = oldl oldlhoztrtozómgsság Az AB oldlhoz trtozó mgsságot z ACT derékszögű háromszögől számítjuk ki: m sin 8 =, honnn m = 7sin T = 10 7 sin 8 16,4 m. A kpott összefüggés áltlánosn is igz, mindenféle háromszögre: háromszög területe kifejezhető úgy is, hogy összeszorozzuk két oldlát közezárt szög szinuszávl, és szorztot kettővel osztjuk. H z és oldlk áltl közezárt szöget γ -vl jelöljük, kkor 1 1 T = m = sin γ. A háromszög trigonometrikus területképlete: m = sin γ, és így Módszertni megjegyzés: z összefüggés teljes körű hsznált kkor válik lehetségessé, h mjd szögfüggvényeket értelmezzük nem hegyesszögekre is. A részleges definíió nem efolyásolj képlet hsználtát.

31 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 1 Mintpéld 10 Fejezzük ki hegyesszögű háromszög köré írt kör sugrát egy oldlánk és egy szögének segítségével! A köré írt kör középpontj z oldlfelező merőlegesek metszéspontj, és egyenlő távol vn súsoktól. Legyen α z A súsnál levő szög. BOC szög kerületi és középponti szögek tétele mittα kétszerese, mit felez BOC háromszög mgsság. BOT derékszögű háromszögensin α = =. Eől köré R R írt kör sugr R =. Ez z összefüggés ármelyik oldlr és vele szemközti szögre felírhtó. Átrendezve ezt z egyenlőtlenséget, = Rsinα, vgyis z R sugrú kören sinα egy húr hossz z átmérő és húrhoz trtozó kerületi szög szinuszánk szorztávl egyenlő. Módszertni megjegyzés: Tompszögű háromszögre is érvényes z összefüggés, sk tompszögek szögfüggvényeit késő értelmezzük. A köré írt kör sugrát felírv tö oldlr szinusztétel (11-edikes nyg) könnyen levezethető. A kpott képlet nem középszintű érettségi nyg, ezért került lklmzásként mintpéldá. Feldtok 46. Htározd meg háromszög területét, h szokásos jelölésekkel ) = 156 m, =, 6 m, γ = 68 ; ) = 4 m, =, 7 m, γ = 9. ) 1,88 m ; ) 4,15 m. Módszertni megjegyzés: A következő feldtn mgsság- és efogótételt lklmzunk 47. Mekkor z r sugrú kören z α középponti szöghöz trtozó körszelet kerülete és területe, h ) r = 5m; α = 70 ; ) r =1, dm; α = 8 ; ) r = 0, m; α = 5? ) 11,84 m;,5 m ; ) 16,17 dm;,60 dm ; ) 5,5 mm; 0,54 mm.

32 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 48. Mekkor z r sugrú kören z α középponti szöghöz trtozó körszelet kerülete és területe? K π α α = r + sin 180, r π α T = sin α Egy l hosszúságú húr x távolságr vn kör középpontjától. Mekkor húr áltl lemetszett kise körszelet kerülete és területe, h ) l = 7 m; x =,5 m; ) l = 1 m; x = m; ) l = 10,9 m; x = 1 m? ) A középponti szög 108,9, sugár 4, m, T = 8,8 m, K = 15, m; ) A középponti szög 14,, sugár 6, m, T = 7,7 m, K = 7,7 m; ) A középponti szög 9,1, sugár 1,7 m, T = 5,08 m, K = 1,9 m. 50. Milyen hosszúk szályos ötszög átlói, h köré írhtó körének sugr ) 1 m; ) 18, dm? ),8 m; ) 4,8 m. 51. Milyen hosszúk szályos ötszög átlói, h oldlánk hossz ) 8 m; ) 11,8 m? ) 1,9 m; ) 19,1 m. 5. Az ötszög 5 átlój egy kise ötszöget zár közre. Mekkor ennek z ötszögnek z oldlhossz, h z eredeti ötszög minden oldl ) 0 m; ) 1, 8 m; )? Kezdjük z utolsó feldttl, és végeredményeket ehelyettesítéssel djuk meg. ) A szimmetriákt kihsználv x = ; sin 54 1 = sin 54 = sin 54. Így végeredmények: ) 7,6 m; ) 4,89 sin 54 sin 54 m.

33 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei Mintpéld 11 Egy kör kerületét eleírt szályos htszög, illetve eleírt szályos htvnszög kerületével közelítjük. Hány százlékos hiávl közelítünk z egyes eseteken? A hi z eltérés és kör kerületének rány százlékn kifejezve. A kör kerülete rπ, π -t vegyük, nek (gépi dt). A eleírt htszög kerülete 6 r, hi rπ 6r 6r 100 = = = 4,51%. rπ rπ π 180 A eleírt htvnszög egy oldl r sin = r sin. A hi 60 rπ 10r sin 60sin 100 = = 0,05%. rπ π Mintpéld 1 Htározd meg szályos tízszög kerületét és területét, h 10 m sugrú kör írhtó köré! A tízszög 10 dr egyevágó háromszögre onthtó súsi húzott sugrkkl. Két szomszédos sugár áltl ezárt szög 6. A terület kiszámíthtó trigonometrikus területképlet segítségével: r sin6 T = 10 9,9 m. A kerület meghtározásához elő kiszámítjuk x hosszát: x = r sin18,1 m, K = 0x 6 m. Feldtok 5. Az r sugrú kör területéől mekkor területű rész mrd ki, h n oldlú szályos sokszöget írunk ele, és ) r = 0 m; n = 8 ; ) r = 15m; n = 10 ; ) r =, 5dm; n = 1? Oldd meg feldtot áltlánosn is! n Áltlánosn T = r 60 KÜL π sin. Végeredmények: ) 15, m ; )45,6 m ; n ) 0,88 dm.

34 4 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 54. A kör területének hány százlék mrd ki, h ele n oldlú szályos sokszöget írunk, és ) n = 6; ) n = 8; ) n = 10; d) n = 16? T O TSOKSZÖG T Áltlánosn keresett rány 100 = 1 SOKSZÖG 100. TO TO ) sin 45 17,% ; ) = ,0% π ; π π 5sin 6 8sin,5 ) ,5% ; d) 100 1,6%. π π 55. Mekkor nnk 1 m oldlhosszúságú szályos sokszögnek területe, melynek oldlszám ) 5; ) 8; ) 1? Áltlánosn n T =. Végeredmények: ) 47,7 m ; ) 695,9 m ; ) 161, m tg n 56. Közelítsük kör kerületét eleírt 0 oldlú, szályos sokszög kerületével! Hány százlékos hiát vétünk? KO K K 6,57r; K o 6,8r. 0, 00414, hi körülelül 0,41%. K O 57. Közelítsük kör területét eleírt 0 oldlú, szályos sokszög területével! Hány százlékos hiát vétünk? 0,18%. 58. Az ókorn kör kerületét, végső soron π pontos értékét köré írt és eleírt, zonos oldlszámú szályos sokszög kerületének átlgávl közelítették. ) Keresd meg zt k(n,r) összefüggést, mely z r sugrú köre írt n oldlú szályos sokszög kerületét dj meg! ) Keresd meg zt K(n,r) összefüggést, mely z r sugrú kör köré írt n oldlú szályos sokszög kerületét dj meg!

35 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 5 k ( n,1) + K( n,1) ) Minél ngyo n értéke, átlg nnál jon megközelíti z 1 egység sugrú kör kerületét, zz π pontos értékét. Milyen n értékétől kezdve közelíti ) meg tört értéke 6,818 értéket úgy, hogy z első tizedesjegy értéke megfelelő? 180 k = n r sin ; ) n 180 K = n r tg ; ) n = 8. n Módszertni megjegyzés: Jvsoljuk z Exel hsználtát vgy rövid progrm írását küszöszám meghtározásához. Exel hsználtkor z A1 ellá írjuk z oldlszámot, és ekkor hsználndó képletek: =*A1*SIN(RADIÁN(180)/A1) illetve =*A1*TAN(RADIÁN(180)/A1), és ezt két ellát átlgoljuk. H iztosn nem fognk informtiki eszközöket hsználni gyerekek, kkor ngyon sok számolást igényel ) megoldás. Ilyenkor élszerű feltenni így kérdést: Mutsd meg, hogy n = 80-tól már z első három tizedesjegy megfelelő, h kerekítést is figyeleme veszszük. A következő feldt nem érettségi nyg. 59. Számítsd ki α szögfüggvényeinek pontos értékét: ) α =15 ; ) α =, 5! Speiális háromszögeken lklmzzuk szögfelező-tételt. ) A szályos háromszög mgsság z oldl - szerese, ezért = ( ). A szögfelező tétel szerint = =. + A 15 -os derékszögű háromszög átfogój Pitgorsz tételével számítv = ( ) 1 tg15 = ;. Innen felírv megfelelő oldlk rányát: sin15 = ; + os15 =. ) A,5 -os derékszögű háromszög oldli 1, = 1, = ( ) érdemes sin,5 értékét kiszámítni, és ól négyzetgyököt vonni. 1 1 tg,5 = 1; sin,5 = ; os,5 = +.. sin esetén

36 6 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 60. Mekkor szöget zárnk e első és külső érintők nnál két körnél, melyek sugr 8 m és m, és középpontjik távolság 16 m? A első érintők hjlásszöge 86,9, külsőké 6, Mekkor szöget zárnk e első és külső érintők nnál két körnél, melyek sugr 8 m és 1 m, és középpontjik távolság 0 m? A első érintők hjlásszöge 8,6, külsőké 15,. Mintpéld 1 Htározd meg z ( ; 5) és (4; 1) vektorok hjlásszögét! Keressünk olyn derékszögű háromszögeket koordinát- -rendszeren, melyek segítenek számításn! Az áráról leolvshtó, hogy keresett szög α β. 1 tgα = α 14 4 tgβ = α 1 5 keresett hjlásszög 15. Feldtok 6. Htározd meg z és vektorok hjlásszögét, h ) (1; 4) és (5; ); ) ( ; 5) és (; ); ) ( 6; ) és (5; 1); d) (; 5) és ( 4; ). ) 54, ; ) 145,5 ; ) 17,9 ; d) 18,4. 6. Htározd meg z ABC háromszög szögeit, h A ( 5;), B(;5), C(; 4)! 61,, 6,1 és 55, Egy ldát 0 -os szögen felfelé donk el, v 0 = 14 m/s kezdőseességgel. Htározd meg v o kezdőseesség-vektor vízszintes és függőleges komponensének ngyságát! v m = vo osα 1, ; v s V 1 m = vo sin α =. s F 7

37 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei A szánkó 170 entiméteres kötelét földtől m mgsságn rögzítették szánkóhoz, és kötél végét földtől 1,0 méter mgsn húzzuk, 10 N erővel. Mekkor húzóerő vízszintes és függőleges komponense? A vízszintes komponens F sinα 69N. F osα 98N, függőleges komponens 66. A vízszintes tljon egy pálát ferdén, α szögen dugtk földe úgy, hogy y hosszúságú drj látszik ki. Mekkor pál árnyék, h rjz szerinti elrendezésen fénysugrk függőlegessel β szöget zárnk e, és ) y = m; α = 0 ; β = 1 ; ) y = 10m; α = 7 ; β = 8. m = y sinα, z = m tgβ = y sinα tgβ. ( osα sinα tgβ ) x = y osα z = y. Az eredmények: ) 151,94 m; ) 99,6 m. 67. Egy hjlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súly 40 N. Számítsd ki, hogy menynyi súlyerőől eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges felületre, gyorsító erő lejtővel párhuzmos. F NY = G osα 7N, F H = G sinα 15N. 68. Egy 48 hjlásszögű lejtőn nyugvó pontszerű test súly 10 N. Számítsd ki, hogy mennyi súlyerőől eredő nyomóerő és gyorsító erő! A nyomóerő merőleges felületre, gyorsító erő lejtővel párhuzmos. F NY = G osα 80N, F H = Gsinα 89N. Módszertni megjegyzés: A következő feldtokn mgsság és efogótételt hsználunk, ezért megoldásukt jvsoljuk.

38 8 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 69. Egy derékszögű háromszögen z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót x és y hoszszúságú szeletekre ontj. Mekkorák háromszög hegyesszögei és oldli, h ) x = 8 m, y = 1 m; ) x = dm; y = 40 m; ) x = 1, m; y = 5,4 m. xy y tg α = =. ) 50,8 ; 9, ; 15,5 m; 1,6 m; 0 m; x x ) 49,1 ; 40,9 ; 5,9m; 45,8 m; 70 m; ),5 ; 56,5 ; 9,8 m; 14,8 m; 17,7 m. 70. Egy derékszögű háromszögen efogójánk z átfogór eső merőleges vetülete p. Mekkorák háromszög hegyesszögei és kerülete, h ) = 10 m; p = 8 m; ) = 0,4 m; p = 18, m? = ; sinα = p ; ) = 1,5 m; = 7,5 m; K = 0 m; 5,1 ; 6,9 ; ) =,9 m; = 10,4 m; K = 5,7 m; 6,1 ; 6, Mekkor szimmetrikus trpéz átlóink hjlásszöge, h lpji 0 m és 14 m, szári 7 m hosszúk? A trpéz mgsság 7 = 40, 40 tgα = α 0, 4. A külsőszög-tétel következtéen keresett szög α 40, Mekkor szimmetrikus trpéz átlóink hjlásszöge, h lpji 14 m és 8 m, szári 5 m hosszúk? m = 4 m; tg α = m α 0,α 40. A keresett szög körülelül A földtől 50 m mgsn lóg egy m hosszú lánr erősített hint. Milyen mgsn vn hint földtől kkor, mikor lán függőlegessel 18 -ot zár e?

39 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 9 y = 00os18 190, m. x = 50 y 59, 8 m mgsn vn hint. 74. ) Egy 76 nyílásszögű spotlámpát egy gerendár rögzítettek 60 m mgsn, és pontosn függőlegesen lefelé irányítottk. Mekkor pdlón megvilágított terület? ) Milyen mgsn legyen lámp, h zt szeretnénk, hogy legfelje egy 8 m -es területet világítson e? ) A megvilágított kör sugr r = 60 tg8 0, 1 m. A kör területe T 1, 96 m. 8 r ) A kör sugr r = 159, 58 m. A lámpát legfelje h = 04 π 8 m mgsr tg kell rkni. Módszertni megjegyzés: A következő feldtokn z ismeretlent képlete kell helyezni, és ki kell fejezni. Az eddigieknél piit nehezeek következnek. 75. Egy félgöm lkú dom szélétől 16 méterre dom vízszintes tljhoz képest 17 os szögen látszik. Mekkor göm sugr? r sin17 = r + 16, honnn r = 6, 61m. 76. Mekkor nnk körnek sugr, melyhez körtől 15 m távolságr levő külső pontól húzhtó érintők hjlásszöge 46? r Az ár jelöléseinek megfelelően sin =, honnn r sin r = 9,6 m. 1 sin

40 40 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 77. Mekkor z és efogójú derékszögű háromszögen eleírhtó és köré írhtó kör sugr, h ) = 0 m, = 40 m; ) = 18 m; = 6 m. Az ár jelöléseit hsználv köré írt kör sugr + R =. honnn tg β =, vlmint β r tg =, r β tg r =. Behelyettesítve z eredmé- β 1+ tg nyek: ) R = 5 m, β 5,1, r 10 m. ) R 15,8 m, β 55,, r 6, m. 78. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 4 m, szárk hjlásszöge 5. Mekkorák háromszög oldli és területe? A kerület K = +. sinα =, honnn K = ( sinα + 1), átrendezve K = + ( sinα 1). A terület sin α T =. Az dtokt ( α = 1,5, K = 4 m) ehelyettesítve 17, m, 7,4 m, T 6, m. 79. Egy egyenlőszárú háromszög kerülete 10 m, z lp és szár hjlásszöge 7. Mekkorák háromszög oldli és területe? 7,8 m, 44,4 m, T 679,5 m. 80. Az lexndrii világítótorony z ókor hét ngy sodájánk egyike volt. Egy r utzó, Aou-Hggg Al-Andloussi tenger egy pontjáról torony tetejét 4,46 -os szögen, egy 7 méterrel lejje eső részét,05 -os szögen látt. Milyen mgs volt torony, és milyen messziről nézte z utzó tornyot?

41 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 41 x tg,05 =, y x + 7 tg4,46 =. Ezekől y-t kifejezve zok y egyenlők, így kpjuk x x + 7 =. Innen x-et kifejezve tg,05 tg4,46 7 tg,05 x = 79,76 m. A torony mgsság k. 117 méter, z utzó 1500 méterről nézte tg4,46 tg,05 tornyot. 81. Egy hegy tetején álló 8 méter mgs kilátó lját egy pontról vízszinteshez képest 15,9 -os, tetejét 16,4 -os szögen látjuk. Milyen mgs hegy? k. 40 m. 8. Egy 6 m mgs oszlopon álló szoor lját 6,9 -os, tetejét 51, -os szögen látjuk. Milyen mgs szoor?,97 m. 8. Egy villnyoszlop tetején jelzőóját,4 -os szögen látjuk. 190 métert közeledve villnyoszlop felé, ez szög 8,81 -r változik. Milyen mgsn vn jelzőój? x tg,4 =, y tg 8,81 ( y ) tg,4 = y tg8,81 = x y. x-et kifejezve, honnn tg,4 y = 190 = 119,81 m és x = y tg 8,81 = 18, 57 m. tg8,81 tg,4 84. Egy 6 m mgsn elhelyezkedő lkól egy f lj 11, -os depressziószögen, teteje 8 -os emelkedési szögen látszik. Milyen mgs f? (A depressziószög megfigyelőtől egy nál lsonyn fekvő pontr irányuló látósugárnk vízszintessel ezárt szöge.) k. m.

42 4 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 85. Egy hngy földtől 6, m mgsságn z sztlról szemközti szekrény lját 1 os depressziószögen, tetejét 18, -os emelkedési szögen látj. Milyen mgs szekrény? 161,5 m. 86.,8 m mgsn, egy lkól htározzuk meg egy utó hosszát, melynek hossztengelye épp merőleges z lk síkjár. Az utó eleje 0,8 -os, hátulj 54,6 -os depressziószögen látszik. Milyen hosszú z utó? 7, m. 87. Az utópály egyenes szksz felett merőlegesen átívelő felüljáróról nézzük 800 m hosszú torlódást. A legelső utót 1,40 -os, legutolsót 0,6 -os depressziószögen látjuk. Milyen mgs felüljáró? k. 1 m mgs. Néhány szó gömi trigonometriáról (olvsmány) Láttuk, hogy síkon hogyn értelmezhetjük szinusz- és koszinuszfüggvényeket. Számítógép és rárjzolhtó gömi modellek segítségével könnyen elképzelhetjük és megszerkeszthetjük gömi árákt. Trigonometrikus számításokt pedig még jo zseszámológéppel is gyerekjáték elvégezni, kár nyol-tíz tizedes jegy pontossággl is. Az láikn, ízelítőül, egyetlen tételt muttunk e gömi trigonometriáól: gömi Pitgorsz-tételt. Ehhez szükséges tisztáznunk vlmit, mi első pillntásr ellentmondásosnk tűnik. Mindeddig élesen megkülönöztettük gömi távolságot gömi szögtől. A gömi távolságot gömi távolságegységeken, gömi lépéseken mértük, és főkör hosszát 60 gömi lépésnek tekintettük. A

43 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 4 gömi szöget gömi szögegységeken, gömi fokokn mértük, és teljesszöget 60 foknk tekintettük. Az ár sötét gumidrj két fogpiszkáló között körülelül 80 gömi lépés hosszúságú főkördrnk, gömi szksznk felel meg. H gömnek nemsk felületét, hnem elsejével együtt z egész gömöt tekintjük, kkor eláthtjuk, hogy gömi távolságot háromdimenziós téren síkeli szögként is felfoghtjuk. Annyit kell sk tennünk, hogy gömi főkördr két végpontját összekötjük göm középpontjávl, téreli egyenes szkszok segítségével. Az lái árán z előző gömi szksz két fogpiszkáló félegyenesei áltl ezárt, körülelül 80 fokos síkeli szögnek felel meg. Ezek szerint gömi távolságot nemsk gömfelületi vonlként, de téreli szögként is felfoghtjuk. Ezért nemsk gömi lépéseken, de szögmérésnél megszokott fokokn is mérhetjük. Eől következik, hogy dott gömi szksz szinuszát vgy koszinuszát is értelmezhetjük. A síkeli Pitgorsz-tétel megfelelőjét keressük gömön. Első gondunk z, hogy gömháromszögnek nem sk egy, hnem két vgy három derékszöge is lehet. Hogyn válszthtjuk ki ilyen eseten három oldl közül z átfogót? Egyetlen értelmes megoldás lehetséges. H háromszögen egynél tö derékszög vn, válsszuk ki z egyik derékszöget, és vele szemeni háromszögoldlt tekintsük átfogónk, másik kettőt efogónk. Erre z átfogór és ezekre efogókr kell teljesülnie gömi Pitgorsztételnek. Természetesen, h másik derékszöget válsztunk ki háromszögen, és újr osztjuk z átfogó és efogó szerepeket, kkor gömi Pitgorsz-tételnek most is teljesülnie kell!

44 44 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ A gömi Pitgorsz-tétel így hngzik: H gömháromszögen tláltunk egy derékszöget, vele szemeni oldlt átfogónk nevezzük, és gömi hosszúságát -vel jelöljük. A másik két oldlt efogóknk tekintjük, és gömi hosszúságukt -vl és -vel jelöljük. -t, -t és -t most síkeli szögekként fogjuk fel, teljesül következő egyenlőség: os os = os Ezt tételt sokféleképpen izonyíthtjuk, de itt ezzel nem fogllkozunk. Feldtok: 88. Hogyn teljesül gömi Pitgorsz-tétel kétszer vgy háromszor derékszögű háromszögekre? Válsszuk ki z egyik derékszöget! A vele szemeni átfogó gömi hossz: = 90 gömi lépés. H ezt z átfogót téreli szögként fogjuk fel, kkor itt os = 0. Een háromszögen zonn két efogó egyike is éppen 90 gömi lépés, vgyis = 90, és os = 0. A gömi Pitgorsz-tétel szerint os os = os, zz een z eseten 0 os = 0. Akármekkor legyen is másik efogó, gömi hossz, ez z egyenlőség mindenképpen teljesül. 89. Bizonyítsuk e gömi Pitgorsz-tétel segítségével, hogy z gömháromszög, melynek két szár 45 gömi lépés, lpj pedig 60 gömi lépés, nemsk egyenlőszárú, hnem derékszögű is! 1 os 45 os45 = = = os60, vgyis három oldlr, een szereposztásn, teljesül gömi Pitgorsz-tétel.

45 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 45 Kislexikon Egy α hegyesszög szinusz z α szögű derékszögű háromszögen z α szöggel szemközti efogó és z átfogó hánydos. Egy α hegyesszög koszinusz z α szögű derékszögű háromszögen z α szög melletti efogó és z átfogó hánydos. Egy α hegyesszög tngense z α szögű derékszögű háromszögen z α szöggel szemközti efogó és z α melletti efogó hánydos. Egy α hegyesszög kotngense z α szögű derékszögű háromszögen z α melletti efogó és z α szöggel szemközti efogó hánydos. Összefüggés egy szög tngense és kotngense között A derékszögű háromszögen tg α = és tg α = definíiókól leolvshtó, hogy egy szög tngense és kotngense egymás 1 reiprok: tg α =, más lkn felírv tg α tgα = 1. tg α Pótszögek szögfüggvényei Egy derékszögű háromszög hegyesszögei α és β. Írjuk fel α és β szögek szögfüggvényeit, és keressünk egyenlőket közöttük! sin α = os α = tg α = tg α = sin β = os β = tg β = tg β = A két hegyesszög összege 90 (egymás pótszögei), ezért β felírhtó Az így kpott összefüggéseket pótszögek szögfüggvényeinek nevezzük. β = 90 α lkn. sin α = os(90 α) ; osα = sin(90 α) ; tg α = tg(90 α) ; tg α = tg(90 α).

46 46 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Pitgorszi zonosság és efogójú, átfogójú derékszögű háromszögen (-vl szemközti szög: α ) sin α = os α = sin α + os α = + = + = = 1 Ugynis Pitgorsz-tétel szerint +, ezért sin + os α = 1 = Ezt z összefüggést négyzetes összefüggésnek is hívjuk. α. Az összefüggésől z dódik, hogy sinα = 1 os α, illetve osα = 1 sin α. A tngens és kotngens szögfüggvények kpsolt szinusz és koszinusz szögfüggvényekkel A szögfüggvények értelmezésénél láttuk, hogy elosztv következőre jutunk: sinα = osα = sin α = és = os α =. Ezeket egymássl, mi éppenα tngense, és számlálót és nevezőt felserélveα kotngensét kpjuk. Fennáll következő két zonosság: sinα tg α = és os α osα tg α =. sinα Nevezetes szögek szögfüggvényei A speiális háromszögeknél megtnultuk, hogy z oldlú szályos háromszög mgsság, és z oldlú négyzet átlój. Ezekkel z ismeretekkel meghtározhtjuk nevezetes szögek, 0, 45 és 60 szögfüggvényeinek pontos értékeit.

47 TANÁRI ÚTMUTATÓ 9. modul: Hegyesszögek szögfüggvényei 47 0 és 60 szögfüggvényei = 1 sin 0 = = = os60 os0 = = = sin tg0 = = = = = tg60 1 tg0 = = = tg60 tg0 A számításnál kihsználtuk hegyesszögek szögfüggvényeinek definíióját, szögfüggvényekre vontkozó összefüggéseket, és gyöktelenítettünk is. 45 szögfüggvényei 1 sin 45 = = = = os 45 tg45 = = 1 = tg45 A nevezetes szögek szögfüggvényeit tálázt is fogllhtjuk. α sin α os α tgα tgα 0 π π π 1