Biomatematika 4. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Átírás

1 Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 4. Függvények II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: September 2, 2006 Version 1.25

2 Table of Contents 1 Néhány fontos függvényosztály Polinomok és racionális függvények Exponenciális függvények Az e alapú exponenciális függvény Logaritmusfüggvények Periodikus függvények A szinusz függvény A koszinusz függvény A tangens függvény

3 Table of Contents (cont.) 3 A kotangens függvény Alkalmazások Az ember reakciója fizikai ingerekre: Weber törvénye A Weber-Fechner-féle pszichofizikai törvény Gyógyszerek dózisa és hatása közti kapcsolat Függvény határértéke 47

4 Table of Contents (cont.) 4 4 Folytonos függvények 62

5 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 5 1. Néhány fontos függvényosztály Ami eddig volt: lineáris függvények, hatványfüggvények 1.1. Polinomok és racionális függvények A lineáris (y = mx+b) és a kvadratikus (y = ax 2 + bx+c) függvények speciális esetei a polinomoknak. Példák polinomokra: f(x) = 5x 3 +2x 2 3x+5, g(x) = x 2 1, h(x) = 6.

6 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 6 Polinom Egy f függvényt n-edfokú polinomnak nevezünk, ha f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, ahol a 0, a 1,..., a n egész, és a n 0. valós számok, n nemnegatív Példa. (a) f(x) = x elsőfokú polinom. (b) f(x) = 1 x nem polinom, mivel 1 x = x 1, és 1

7 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 7 negatív. (c) f(x) = 1 6 x polinom (n = 1, a n = 1 6 ). (d) f(x) = x+3x 2 nem polinom, mivel x = x 1/2 és 1/2 nem egész. Három harmadfokú polinom.

8 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 8 Elég nagy x-ekre, amint azt a hatványfüggvényeknél láttuk, egy f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 n-edfokú polinom legmagasabb kitevőjű tagja dominál. Tehát f(x) a n x n (amikor x nagy). Amikor x közel van a 0-hoz, akkor pedig a kisebb kitevő dominál. Tehát f(x) a 1 x + a 0 (kis x-ekre).

9 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 9 Most bevezetjük a racionális törtfüggvény fogalmát (emlékezzünk a racionális szám jelentésére). Racionális függvények Egy függvényt racionálisnak nevezünk, ha feĺırható két polinom hányadosaként. Például, f(x) = x2 1 x 2 3x + 2 racionális függvény.

10 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 10 Három racionális függvény Exponenciális függvények Az exponenciális függvények bizonyos típusú növekedési vagy bomlási folyamatok modellezésére alkal-

11 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 11 masak. Példa: egy csikó növekedése. Van egy 50 kg tömegű csikónk. Egymást követő egyenlő hosszúságú időintervallumok alatt a csikó tömege 20%-kal nő. Ekkor a 0, 1, 2,... időintervallumok végén a csikó tömege 50, 50 ( ), 50 ( ) 2 (, ) 3, Általában, ha a kezdeti tömeg c, és a növekedési ráta p, akkor a 0, 1, 2,... időintervallumok végén a

12 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 12 csikó tömege c, c ( 1 + p ) (, c 1 + p ) 2 (, c 1 + p ) 3, Ha bevezetjük az a := 1 + időintervallum múlva a tömeg p 100 c a x (x = 0, 1, 2,...). jelölést, akkor x Egy állat azonban nem lépcsőzetes ugrásokkal nő, hanem folyamatosan. Van-e valami értelme az előző kifejezésnek akkor, amikor x egy valós szám? Matematikusabb szóhasználattal: próbáljuk meg az

13 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 13 eredeti {0, 1, 2,...} értelmezési tartományt kicserélni az R halmazzal. Ezen a szinten természetesnek kell elfogadniuk, hogy ez lehetséges. Az így kapott függvényt exponenciális függvénynek nevezzük. Egy f függvényt exponenciális függvénynek nevezünk, ha f(x) = a x, ahol a 1 pozitív valós szám. Szokás az f(x) = c a x függvényeket is exponenciális

14 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 14 függvénynek nevezni (c 0). Számolási szabályok (a, b > 0, p, q R) Szabály Példa a p a q = a p+q = 2 7 = 128 a p 43 = ap q aq 4 = 4 1 = 4 2 (a p ) q = a pq (2 3 ) 4 = 2 12 (ab) p = a p b p (4 3) 2 = ( a b ) p = a p b p ( ) 2 4 = = 16 9

15 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 15 A 0 0 alak, a nullával való osztás, és negatív számok páros gyöke kizárt. Példa: az y = 2 x és az y = (1/2) x függvények grafikonja.

16 Section 1: Néhány fontos függvényosztály Az e alapú exponenciális függvény Mi történik az ( ) m m kifejezés értékével amint m egyre nagyobb (pozitív egész)? Az alábbi táblázatból úgy tűnik, hogy ekkor [1 + (1/m)] m egy hez közeli számot közeĺıt.

17 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 17

18 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 18 Belátható, hogy amint m minden határon túl nő, az [1+(1/m)] m értéke egy irracionális számot közeĺıt meg tetszőleges pontossággal. Ezt a számot e jelöli. 12 tizedesre az értéke: Mivel e pozitív, nem egyenlő 1-gyel, ezért f(x) = e x egy exponenciális függvényt definiál (természetes alapú exponenciális függvény). y = e x és y = e x grafikonjai láthatók a következő ábrán.

19 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 19

20 Section 1: Néhány fontos függvényosztály Logaritmusfüggvények Az alábbi problémát szeretnénk megoldani: mennyi idő múlva lesz az előző példabeli csikó 86.4 kg? Megoldás: adott y értékre (a példában y = 86.4) keressük meg azt az x értéket, amelyre x = Az általános esetben tekintsük az alábbi egyenlőséget: A = b x, ahol b > 1. Hogyan oldhatjuk meg ezt az exponenciális egyenletet x-re? Vegyük észre, hogy

21 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 21 x az a kitevő, amelyre a b alapot emelve éppen a A értéket kapjuk. Ez pedig nem más, mint,,b alapú logaritmus A : x = log b A. Itt a,,log a logaritmus szó rövidítése. Az x = log b A az a kitevő, amelyre a b alapot emelve A-t kapjuk eredményül. Jelölésben: x = log b A b x = A.

22 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 22 Az alábbi módon x > 0 esetén értelmezett f függvényt b alapú logaritmusfüggvénynek nevezzük: f(x) := log b x, ahol b > 0, b 1. Az y = log b x logaritmusfüggvény az y = b x exponenciális függvény inverz függvénye.

23 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 23 Tipikus logaritmusfüggvények:

24 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 24 A logaritmusra vonatkozó szabályok Minden A, B > 0, a, b > 0, a 1, b 1 esetén log b AB = log b A + log b B; log b A B = log b A log b B; log b A p = p log b A; log a A = log b A log b a.

25 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 25 Két fontos speciális alap: b = 10 (tízes alapú logaritmus); jelölés: log := log 10 ; b = e (természetes alapú logaritmus); jelölés: ln := log e Periodikus függvények Vessünk egy pillantást az alábbi grafikonra, amely a napi legmagasabb hőmérsékletek átlagos alakulását mutatja (Central Park, New York):

26 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 26 Ez a minta ismétlődik minden évben, amint az a következő ábrán látható.

27 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 27 Ez egy példa a ciklikus vagy periodikus viselkedésre. A periodikus függvények legtöbbször olyan időben lejátszódó folyamatokat írnak le, amelyeknél a folyamat jellemzőinek dinamikája ismétlődik. Például: a napi átlaghőmérséklet változása, a menstruáció, légzés, szívverés, stb. Közel azonos minta ismétlődik

28 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 28 ciklusról ciklusra. Egy f függvényt periodikusnak nevezünk, ha van olyan T pozitív szám, hogy f(x + T ) = f(x) minden valós x esetén. Az e tulajdonsággal rendelkező legkisebb T -t az f függvény periódusának nevezzük. A ciklikus viselkedést a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvények segítségével modellezzük.

29 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 29 A szinusz függvény Egy t valós szám szinusza az alábbi ábrán lévő P pont második koordinátája, ahol t a pirossal jelölt körív hossza.

30 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 30 sin(t) = a P pont második koordinátája A sin függvény periódusa 2π. A sin grafikonja:

31 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 31

32 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 32 A koszinusz függvény cos t = a P pont első koordinátája

33 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 33 Alapvető trigonometrikus azonosság: sin 2 t + cos 2 t = 1. A cos periódusa 2π. A cos grafikonja:

34 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 34 A tangens függvény tgx := sin x. A tg periódusa π. cos x

35 Section 1: Néhány fontos függvényosztály 35 A kotangens függvény ctgx := cos x. A ctg periódusa π. sin x

36 Section 2: Alkalmazások Alkalmazások 2.1. Az ember reakciója fizikai ingerekre: Weber törvénye Képzeljük el, hogy egy ember 20 g tömeget tart kezében. Kísérletekkel bizonyították, hogy az ember általában nem tud különbséget tenni 20 g és 20,5 g között, de a 21 g-ot már nehezebbnek érzi, mint a 20 g-ot. Az érzékeléshez szükséges tömegkülönbség 1 g. Ha a viszonyítás alapja nem 20, hanem 40 g, az 1

37 Section 2: Alkalmazások 37 g-os különbséget 40 g és 41 g között az ember már nem érzékeli. Ennél a tömegnél 2 g a legkisebb érzékelhető különbség. Hasonlóan, különbséget tudunk tenni 63 g és 60 g, 84 g és 80 g, 105 g és 100 g között, de ezek a különbségek nem csökkenthetők. Az érzékelhető tömegkülönbség körülbelül az eredeti tömeg 5%-a. Hasonlóan: a fény, a hang, ízek, szagok érzékelésénél

38 Section 2: Alkalmazások 38 észlelhető minimális különbség az abszolút értékkel arányosan nő. Legyen s a mérhető inger, és s a minimálisan észlelhető különbség. Ekkor az alábbi hányados r = s s konstans (nem függ s-től). Weber törvénye Az érzékelésben észlelhető különbség akkor következik be, amikor az inger növekedése az eredeti inger konstans százaléka.

39 Section 2: Alkalmazások 39 Az emberi érzékelésre az alábbi r értékek jellemzőek: Látás 1:50 Hallás 1:10 Szaglás 1:8 Ízlelés 1:4 (Az s jelentése rendre: fényintenzitás, hangerő, molekulaszám, az oldat koncentrációja.) Túl alacsony vagy túl magas s esetén a törvény nem érvényes.

40 Section 2: Alkalmazások A Weber-Fechner-féle pszichofizikai törvény Általában az érzékelés nem mérhető, de nagy gyakorlati haszna van az ingerekre adott reakciók mérésének. Legyen r = s s a Weber törvényében szereplő konstans hányados, és legyen s 0 az s egy rögzített értéke. Az ehhez legközelebbi, tőle nagyobb érzékelhető inger: s 1 = s 0 + s 0 = s 0 + s 0 s 0 s 0 = s 0 + r s 0 = s 0 (1 + r).

41 Section 2: Alkalmazások 41 Ha az 1 + r faktort röviden q-val jelöljük, akkor azt kapjuk, hogy s 1 = s 0 q. Ha a súllyal kapcsolatos példára gondolunk, akkor ott s 0 = 20 g, r = 1/20. Ezért q = 1.05 és s 1 = 21 g. A soron következő nagyobb érzékelhető inger: s 1 q = (s 0 q)q = s 0 q 2, stb. Ezek szerint a megkülönböztethető ingerek egy mértani sorozat szerint követik egymást: s 0, s 0 q, s 0 q 2, s 0 q 3,....

42 Section 2: Alkalmazások 42 Az általános tag: s n = s 0 q n (n = 0, 1, 2,...). Másrészt viszont úgy érezzük, hogy az érzékelés e- gyenlő lépésközönként történik, és az egy számtani sorozattal lenne jól reprezentálható:

43 Section 2: Alkalmazások 43 Inger Érzékelési szint s 0 0 s 1 = s 0 q 1 s 2 = s 0 q 2 2 s 3 = s 0 q s n = s 0 q n n Tekintsük ezt úgy, hogy n az s n egy függvénye (vagyis az s n = s 0 q n függvény inverze). Ekkor n = (log s n log s 0 )/ log q. Hogy egyszerűbben tudjuk ezt kifejezni, írjunk s-et

44 Section 2: Alkalmazások 44 s n helyett, A-t 1/ log q helyett, és B-t log s 0 / log q helyett. Ebből azt kapjuk, hogy az érzékelési szint egy alkalmas mértéke a következő: n = A log s + B. Ez a log s lineáris függvénye (és NEM az s-é). Általában, ha M jelöl egy az érzékelés skálázására alkalmas mennyiséget, akkor a Weber-Fechner-féle pszichofizikai törvény a következő: M = a log s + b. Az a 0 és b konstansok szabadon megválaszthatók.

45 Section 2: Alkalmazások 45 Objektív mértéket nem ad a törvény az érzékelés erősségére, de egy összehasonĺıtó skálát igen Gyógyszerek dózisa és hatása közti kapcsolat Ez a Weber-Fechner törvény egy fontos alkalmazása. Amikor az élő szervezetbe valamilyen gyógyszert (vitamint, hormont, stb.) viszünk be, a hatás nem lineárisan függ a dózistól. Ha például egy 10 mg-os adagot 15 mg-ra emelünk, a hatás változni fog, míg 100 mg és 105 mg között sokszor nincs érzékelhető különbség. Ennek oka az, hogy az első esetben az

46 Section 2: Alkalmazások 46 5 mg 50%-os, míg a másodikban 5%-os növekedést jelent. Tehát a növekedési ráta számít, így a Weber- Fechner törvény alkalmazható. Általában feltételezik, hogy a hatás a dózis logaritmusától lineárisan függ. Ezért, amikor állatkísérleteket végeznek egy gyógyszerhatás vizsgálatnál, az alkalmazott dózisok mértani sorozatot alkotnak. Legyen d 0 a legkisebb dózis, és q egynél nagyobb faktor. Ekkor a tesztsorozat: d 0, d 0 q, d 0 q 2, d 0 q 3,.... Tehát a 10 mg, 20 mg, 30 mg, 40 mg, etc. sorozat

47 Section 3: Függvény határértéke 47 alkalmatlan a kísérletezéshez, míg a 10 mg, 20 mg, 40 mg, 80 mg, etc. alkalmas (itt d 0 = 10 mg és q = 2). 3. Függvény határértéke A határérték azt írja le, hogy mi történik egy f függvény f(x) értékeivel amint x egy adott a számhoz közeĺıt. Illusztrációként tekintsük az f(x) = x2 3x + 2 x 2

48 Section 3: Függvény határértéke 48 függvényt amint x közeĺıt 2-höz. Bár f nincs értelmezve a 2 pontban, ahhoz közeli x- ekben kiszámítva az f(x) függvényértékeket képet kaphatunk f viselkedéséről a 2-höz közeli pontokban. x f(x) E táblázat alapján úgy tűnik, hogy f(x) az 1 számhoz közeĺıt, amint x egyre közelebb kerül 2-höz bármely oldalról. Mivel x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2), f a következő

49 Section 3: Függvény határértéke 49 alakban írható: (x 1)(x 2) f(x) = = x 1, x 2. x 2 Az x 2 feltétel lényeges, hiszen ha x = 2, akkor f nincs értelmezve; a jobb oldal ugyanakkor 1. Az f grafikonja egy olyan egyenes, amely lyukas a (2, 1) pontban, és a grafikonon lévő (x, y) koordinátájú pontok ezt a lukat közeĺıtik meg, amint x bármely oldalról közeĺıti 2-t.

50 Section 3: Függvény határértéke 50 Bár f nincs értelmezve az x = 2 pontban, ismerjük viselkedését a 2 körüli x pontokban. A grafikon világossá teszi, hogy az f(x) függvényértékek tetszőlegesen közel kerülhetnek 1-hez, ha x elég közel van 2-höz.

51 Section 3: Függvény határértéke 51 Ezt a tényt az alábbi szimbolikával fejezzük ki: amit így olvasunk: x 2 3x + 2 lim x 2 x 2 = 1, Az x2 3x + 2 x 2 tart. határértéke 1, amint x 2-höz határértéke a 2 pont- Másképpen: az x2 3x + 2 x 2 ban 1-gyel egyenlő.

52 Section 3: Függvény határértéke 52 A következő példák további illusztrációul szolgálnak a határértékre. Fontos, hogy a függvény egy pont körüli, és nem feltétlenül a pontbeli viselkedését vizsgáljuk. KÉRDÉS: Mit mondhatunk az alábbi grafikonokkal adott függvényekről, amint x közeĺıt 2-höz?

53 Section 3: Függvény határértéke 53 Példa. Az f(x) függvényértékek az f(2)-höz közeĺıtenek amint x tart 2-höz. Azt mondjuk, hogy az f(x) határértéke f(2), amint x tart 2-höz. (Az f (2) tényleges értéke az ábra szerint 1.)

54 Section 3: Függvény határértéke 54 Példa. A függvény grafikonjában van egy lyuk x = 2-nél, de ez nem zavarja meg azt, hogy mi a határérték, ha x 2. Az f(x) függvényértékek az L = 3 számot közeĺıtik meg amint x tart 2-höz. Azt mondjuk, hogy az f(x) határértéke L (most L = 3) amint x tart 2-höz.

55 Section 3: Függvény határértéke 55 Példa. A határérték nem létezik. Ha x balról tart 2-höz (x < 2), akkor f(x) L 2 -höz közeĺıt. Amikor x jobbról tart 2-höz (x > 2), akkor f(x) L 1 -hez közeĺıt. Ezért nincs olyan (egyetlen) szám, amelyhez az f(x) függvényértékek közeĺıtenének; azt mondjuk, hogy a határérték nem létezik.

56 Section 3: Függvény határértéke 56 Példa. Nem létezik a határérték. Az f(x) tetszőlegesen nagy lehet ha x 2.

57 Section 3: Függvény határértéke 57 Most megpróbálunk pontos jelentést adni a következő kifejezésnek: lim f(x) = L. x a Informálisan: az f határértéke a-ban L, ha az f(x) függvényértékek tetszőlegesen közel vannak L- hez, amint x elegendően közel van a-hoz. Egy x és egy a szám közelségét a köztük lévő távolság adja meg, ami x a. Azt, hogy az f függvény értékei tetszőlegesen közel

58 Section 3: Függvény határértéke 58 vannak az L számhoz, úgy fejezhetjük ki, hogy bármely pozitív valós ε számhoz vannak olyan x számok, hogy f(x) L < ε. Mit jelent az, hogy elegendően közel? Ha választunk egy tetszőleges ε > 0 számot, amelynek segítségével az f(x) és L közti maximális megengedett távolságot mérjük, akkor léteznie kell olyan δ > 0 számnak, hogy amikor x az f értelmezési tartományához tartozik és a-hoz δ-nál közelebb van, akkor az f(x) és L közti távolság kisebb, mint ε. Ezt az alábbi ábra segítségével szemléltetjük.

59 Section 3: Függvény határértéke 59 Először választunk egy tetszőleges pozitív ε-t. Ekkor léteznie kell olyan δ > 0 számnak, hogy amikor x az ]a δ, a + δ[ intervallumban van, és x a, akkor az (x, f(x)) pont az árnyékolt téglalapban van. A fentieket az alábbi definícióban foglaljuk össze.

60 Section 3: Függvény határértéke 60 Függvény pontbeli határértéke Legyen f egy függvény, a és L pedig valós számok. Azt mondjuk, hogy az f határértéke a-ban L, szimbólumokkal: lim f(x) = L, x a ha minden ε > 0 esetén van olyan δ > 0, hogy amikor x az f értelmezési tartományához tartozik és 0 < x a < δ, akkor f(x) L < ε. Másképpen azt is mondhatjuk, hogy az f(x) határ-

61 Section 3: Függvény határértéke 61 értéke L, amint x tart a-hoz. Hangsúlyozzuk, hogy az f(a) függvényérték létezését nem követeljük meg; az nem is szerepel a fentiekben! Követjük azt a hagyományos jelölést, amely az ε és δ görög betűket alkalmazza a határérték definíciójában.

62 Section 4: Folytonos függvények Folytonos függvények Legyen f függvény, és a R. Vizsgálni szeretnénk f folytonosságát az a pontban. Elsőre furcsának tűnhet, hogy egy pontbeli folytonosságról beszélünk. Természetesnek vehetjük azonban, hogy egy függvénynek szakadása van egy pontban (ami a folytonosság ellentettje).

63 Section 4: Folytonos függvények 63 Egy függvény a-beli folytonosságához két dolog kell. Először: f(a)-nak léteznie kell. Másodszor: ne legyen ugrása a függvénynek a- ban. Ez azt jelenti, hogy ha x közel van a-hoz, akkor f(x) is közel van f(a)-hoz. Ez pedig olyasmi, mint

64 Section 4: Folytonos függvények 64 a határérték előbb megismert fogalma. Egy f függvény folytonos egy a pontban, ha 1. f(a) létezik (a az f 2. lim x a f(x) létezik; 3. lim x a f(x) = f(a). É.T.-hoz tartozik); Azt mondjuk, hogy f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden egyes pontjában folytonos.

65 Section 4: Folytonos függvények 65 Az eddig megismert függvények (konstans, lineáris, hatvány, polinom, tört, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus) folytonosak. Példa nem folytonos függvényre. Legyen N = f(t) egy adott családban lévő macskák száma (mint az idő függvénye). Amikor születés vagy halál következik be, f(t) értéke néhány egységnyit ugrik. Így ezekben a pontokban f nem folytonos. Két ilyen pont között pedig a függvény konstans. Egy ilyen függvényt, amely egy intervallumon konstans, majd egy má-

66 Section 4: Folytonos függvények 66 sik értékre ugrik, a szomszédos intervallumban megint konstans, aztán ismét ugrik, stb., lépcsős függvénynek nevezünk. Tehát N = f(t) lépcsős függvény. Egy állat vízfelvétele mint az idő függvénye másik példa lépcsős függvényre. Folytonos függvényekből aritmetikai műveletekkel képzett függvények is megőrzik a folytonosságot.

67 Section 4: Folytonos függvények 67 Legyen f és g folytonos a-ban. Ekkor f + g, f g, f g, f/g (g(a) 0) is folytonos a-ban.