Biomatematika 3. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Átírás

1 Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 3. Függvények I. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date: September 2, 2006 Version 1.25

2 Table of Contents 1 Függvények: Bevezetés 5 2 A Descartes-féle koordináta-rendszer 6 3 A függvény fogalma 12 4 Függvények ábrázolása 29 5 Műveletek valós függvények között 34 6 Növekvő és csökkenő függvények 42

3 Table of Contents (cont.) 3 7 Függvény inverze Invertálható függvények Függvény inverze Néhány fontos függvényosztály Lineáris függvények Hatványfüggvények Alkalmazás: milyen nagy lehet egy sejt?

4 Section 1: Függvények: Bevezetés 4 1. Függvények: Bevezetés A függvény fogalma az egyik legfontosabb a matematikában és alkalmazásaiban. Először valós számokból képzett rendezett párokat tekintünk, majd a Descartes-féle koordináta-rendszert a síkon. Aztán bevezetjük a függvény fogalmát, tárgyaljuk ezek alapvető tulajdonságait, és a velük végezhető műveleteket. Majd a legfontosabb függvényosztályokat tekintjük át, ezek alkalmazásaival együtt.

5 Section 2: A Descartes-féle koordináta-rendszer 5 2. A Descartes-féle koordináta-rendszer Az a és b elemeket tartalmazó halmaz {a, b}. Ahogy azt tudjuk, itt az elemek sorrendje nem számít: {a, b} = {b, a}. Előfordulhat azonban, hogy a sorrend lényeges. Ezért vezetjük most be a rendezett pár fogalmát.

6 Section 2: A Descartes-féle koordináta-rendszer 6 Az a első komponensű, b második komponensű rendezett párt (a, b) jelöli. Rendezett párok jellemző tulajdonsága, hogy (a, b) = (c, d) pontosan akkor, ha a = c és b = d. Speciálisan, (a, b) = (b, a) pontosan akkor, ha a = b. Láttuk: a valós számok halmaza reprezentálható (azonosítható) a valós számegyenessel. Most felidézzük: bármely (a, b) rendezett számpár,

7 Section 2: A Descartes-féle koordináta-rendszer 7 ahol a és b valós számok, reprezentálható (azonosítható) a sík egy pontjával. Bevezetjük a Descartesféle koordináta-rendszert a következő módon. Tekintsünk két valós számegyenest, amelyek a 0 pontban metszik egymást; az egyik vízszintes; neve: első tengely vagy x-tengely; a másik merőleges az elsőre; neve: második tengely vagy y-tengely;

8 Section 2: A Descartes-féle koordináta-rendszer 8 az irányítást úgy választjuk meg, hogy az x- tengelyen az 1 a 0-tól jobbra, az y-tengelyen az 1 a 0 fölött helyezkedik el. Bármely (a, b) rendezett számpárra legyen L a az y-tengellyel párhuzamos egyenes, a- mely az x-tengelyt a-ban metszi, M b az az x-tengellyel párhuzamos egyenes, amely az y-tengelyt b-ben metszi. Az L a és M b egyenesek metszéspontját rendeljük hozzá az (a, b) rendezett számpárhoz.

9 Section 2: A Descartes-féle koordináta-rendszer 9 Az a és b számokat e pont koordinátáinak nevezzük. y-tengely b (a,b) 0 a x-tengely Ha (a, b) és (c, d) nem egyenlők, akkor a hozzájuk

10 Section 2: A Descartes-féle koordináta-rendszer 10 rendelt pontok is különbözők. Továbbá, a sík minden pontjához tartozik egy számpár. Ezekből következik, hogy a rendezett számpár pont hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés az összes valós számpár halmaza (ezt R 2 jelöli), valamint a sík pontjainak halmaza között. Ennek értelmében R 2 -et reprezentálhatjuk (azonosíthatjuk) a Descartes-féle koordináta-rendszerrel ellátott síkkal.

11 Section 3: A függvény fogalma A függvény fogalma A megfeleltetés, hozzárendelés intuitív fogalma központi szerepet játszik a függvényekkel kapcsolatban. Néhány példa: 1. Bármely személyhez hozzárendeljük az életkorát. 2. Bármely árunak megfeleltetjük az árát. 3. Bármely személyautónak megfeleltetjük a rendszámát.

12 Section 3: A függvény fogalma Bármely körhöz hozzárendeljük annak területét. 5. Bármely számhoz hozzárendeljük annak köbét. Mi a közös ezekben a példákban? Mindegyik felfogható úgy, mint bizonyos rendezett párok halmaza. E rendezett párok az egymásnak megfelelő objektumokból állnak a mondott sorrendben. Tehát: Azon (x, y) rendezett párok halmaza, ahol 1. x egy személy, y pedig az x életkora;

13 Section 3: A függvény fogalma x egy áru, y pedig az x ára. 3. x egy személyautó, y pedig az x rendszáma. 4. x egy kör, y pedig az x területe. 5. x egy szám, y pedig az x köbe. Észrevétel: (x, y) első komponense egyértelműen meghatározza a második komponenst. Ezeken a megfigyeléseken alapul a következő definíció. Függvényen rendezett párok olyan f halmazát értjük, amelyre teljesül, hogy amennyiben (a, b) és (a, c) is f-hez tartozik, akkor b = c.

14 Section 3: A függvény fogalma 14 Más szavakkal: egy függvény olyan rendezett párokból álló halmaz, amelyben nincs két olyan rendezett pár, amelyek első komponensei megegyeznek, második komponensei viszont különbözők. A fenti definíció talán közismertebb interpretációja: Függvényen olyan szabályt értünk, amely egy A halmaz minden eleméhez egy B halmaz pontosan egy elemét rendeli hozzá.

15 Section 3: A függvény fogalma 15

16 Section 3: A függvény fogalma 16 Ha egy (x, y) rendezett pár eleme f-nek, akkor y az f helyettesítési értéke x-ben. Jelölés: y = f(x). Példa. (a) Tekintsük a következő rendezett párokból álló halmazt: {( 2, 8), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 8)}. Mivel az elemek között nincs két olyan rendezett pár, amelyeknek azonos első, de különböző második komponensei lennének, ezért ez függvény. Könnyen felismerhető az (x, y) két komponense közti

17 Section 3: A függvény fogalma 17 kapcsolat: x { 2, 1, 0, 1, 2}, és y = x 3. (b) Ha {(1, 1), (1, 1), (4, 2), (4, 2), (9, 3), (9, 3)}, akkor e halmaz nem függvény (bár rendezett párok az elemei). Például, (1, 1) és (1, 1) első komponensei megegyeznek, de második komponenseik nem. Az R 2 halmazt reprezentálható a Descartes-féle koordináta-síkkal. Ezért

18 Section 3: A függvény fogalma 18 a sík bármely részhalmazát tekinthetjük rendezett számpárokból álló halmaznak; de a sík nem minden részhalmaza függvényt. Az a feltétel, hogy egy függvény nem tartalmazhat olyan (a, b) és (a, c) rendezett párt, amelyben b c, geometriailag a következőt jelenti: Függőleges egyenes teszt A sík egy részhalmaza pontosan akkor függvény, ha bármely az y tengellyel párhuzamos egyenessel legfeljebb egy közös pontja van.

19 Section 3: A függvény fogalma 19 Függvény Nem függvény Ha az f függvény azokból az (x, y) rendezett számpárokból áll, amelyekre például y = x 2, akkor a hagyományoknak megfelelően f-re egyszerűen a kapcsolatot definiáló egyenlőséggel hivatkozunk:

20 Section 3: A függvény fogalma 20 y = x 2, vagy f(x) = x 2. Ekkor x-et független változónak, míg y-t függő változónak is nevezik. Függvény értelmezési tartománya és értékkészlete Egy függvény értelmezési tartományán (angolul: domain) a hozzá tartozó rendezett párok első komponenseiből álló halmazt, míg értékkészletén (angolul: range) a második komponensekből álló halmazt értjük.

21 Section 3: A függvény fogalma 21 Az f függvény értelmezési tartományát D f, értékkészletét pedig R f jelöli. Példa. Azt az f függvényt, amely azokból az (x, y) rendezett párokból áll, melyekre 1 x 2, és y = x 2, úgy is interpretálhatjuk, hogy ez egy olyan

22 Section 3: A függvény fogalma 22 szabály, amely a [ 1, 2] intervallumhoz tartozó bármely számhoz annak négyzetét rendeli. f-et az alábbi módon írhatjuk le: f(x) = x 2, 1 x 2. Példák más függvényekre: g(x) = x + 1, 1 x <, F (x) = x 2, < x <, x h(x) = x + 2, x R \ { 2}. A most definiált f és F függvények nem egyenlők. Két függvény (mint két speciális halmaz) akkor e-

23 Section 3: A függvény fogalma 23 gyenlő, ha ugyanazok (a rendezett párok) az elemeik. Tehát Függvények egyenlősége Az f és g függvények pontosan akkor egyenlők, ha értelmezési tartományuk ugyanaz a D halmaz, és f(x) = g(x) minden D-beli x elemre. Tehát egy függvény teljes megadásához nem elég a formula megadása, az értelmezési tartományát is meg kell adni.

24 Section 3: A függvény fogalma 24 Függvény természetes értelmezési tartománya Ha nem adjuk meg explicit módon egy függvény értelmezési tartományát, akkor az megállapodás szerint a valós számoknak az a legbővebb részhalmaza, amely a függvény definíciójában értelmes. Például, ha y = 1 és mást nem mondunk, akkor x 1 e függvény értelmezési tartománya R \ {1}, hiszen 1 az kifejezés x = 1 kivételével minden valós x x 1

25 Section 3: A függvény fogalma 25 esetén értelmes. Amikor gyakorlati problémákban függvényeket alkalmazunk, általában adott két nem üres halmaz A és B: A B f : A B Egy f függvény A-ról B-be

26 Section 3: A függvény fogalma 26 A fenti példákban e halmazok a következők: A az összes személy áru személyautó kör valós szám halmaza. B az összes nemnegatív szám nemnegatív szám 3 betű, 3 egész szám nemnegatív szám valós szám halmaza.

27 Section 3: A függvény fogalma 27 Ha azt írjuk, hogy f : A B, ez azt jelenti, hogy f egy függvény; f értelmezési tartománya A; f értékkészlete részhalmaza B-nek.

28 Section 4: Függvények ábrázolása 28 Függvény természetes értelmezési tartománya Ha nem adjuk meg explicit módon egy függvény értelmezési tartományát, akkor az megállapodás szerint a valós számoknak az a legbővebb részhalmaza, amely a függvény definíciójában értelmes. 4. Függvények ábrázolása Amint láttuk, a rendezett számpárok R 2 halmazának egy részhalmazát legkönnyebben úgy ábrázolhatjuk,

29 Section 4: Függvények ábrázolása 29 ha megrajzoljuk e számpároknak megfelelő síkbeli pontokat. Ha történetesen ez a részhalmaz egy függvény, akkor e rajzot a függvény grafikonjának nevezzük. Függvény grafikonja Ha egy f függvény az R 2 egy részhalmaza, akkor f grafikonja azon síkbeli pontokból áll, amelyek az (x, f(x)) alakú rendezett számpároknak felelnek meg. Természetesen a gyakorlatban lehetetlen egy tizedestörtnek megfelelő síkbeli pont teljesen pontos meg-

30 Section 4: Függvények ábrázolása 30 rajzolása. Ezért egy függvény grafikonja csak közeĺıtő reprezentációja a tényleges függvénynek. Egy f függvény grafikonjának megrajzolása (közeĺıtőleg): 1. Válasszunk néhány x értéket f értelmezési tartományából, és számítsuk ki az ezekhez tartozó y = f(x) helyettesítési értékeket; ezekből képezzük az (x, y) rendezett számpárokat.

31 Section 4: Függvények ábrázolása 31 x f(x) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x 3 f(x 3 ) x 4 f(x 4 ) x 4 f(x 5 ) 2. Ábrázoljuk ezeket az (x, y) koordinátájú pontokat. 3. Kössük össze e pontokat egy összefüggő görbével. (Később látni fogjuk, hogy a derivált segítségével

32 Section 4: Függvények ábrázolása 32 e görbe alakja hogyan határozható meg.)

33 Section 5: Műveletek valós függvények között Műveletek valós függvények között Valós függvény Ha egy függvény értékkészlete a valós számok egy részhalmaza, akkor e függvényt valós függvénynek nevezzük. Ha ezen kívül az értelmezési tartománya is részhalmaza R-nek, akkor valós-valós függvényről beszélünk. A félév során szinte csak valós függvényekkel foglalkozunk. Ha f és g valós függvények, akkor ezek között a

34 Section 5: Műveletek valós függvények között 34 szokásos aritmetikai műveletek, vagyis összeadás, kivonás, szorzás, osztás értelmezhetők. Ezen új függvényekre az alábbi természetes jelöléseket használjuk: f + g, f g, fg, és f g.

35 Section 5: Műveletek valós függvények között 35 A definiáló formulák: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x), (fg)(x) := f(x) g(x), ) (x) := ( f g f(x) g(x) ha g(x) 0.

36 Section 5: Műveletek valós függvények között 36 Például, ha f(x) = x 3 1 és g(x) = x+1 x 1, akkor (f + g)(x) = x x + 1 x 1, (f g)(x) = x 3 1 x + 1 x 1, (fg)(x) = (x 3 1) x + 1 x 1, f g (x) = x3 1 x + 1 x 1 = (x3 1)(x 1). x + 1

37 Section 5: Műveletek valós függvények között 37 Példa. Egy tanulmány szerint egy bizonyos területen a levegőben lévő szénmonoxid átlagos napi szintje c(p) = 0.5p + 1 ppm (parts per million), ha a populáció nagysága p ezer fő. t év múlva e populáció becsült nagysága p(t) = t 2 ezer fő. Fejezzük ki a levegő szénmonoxid tartalmát az évek függvényeként. Megoldás. függvénye) Mivel a szénmonoxid szintje (mint p c(p) = 0.5p + 1,

38 Section 5: Műveletek valós függvények között 38 és p időtől való függése p(t) = t 2, ezért a válasz: c(p(t)) = c( t 2 ) = 0.5 ( t 2 ) + 1 = t 2.

39 Section 5: Műveletek valós függvények között 39 Függvények kompozíciója Ha f és g két valós-valós függvény, akkor ezek kompozíciója (összetett függvény) az az f g-vel jelölt függvény, amelyre (f g)(x) := f(g(x)). f g értelmezési tartománya azon D g -beli x valós számokból áll, amelyekre g(x) D f -hez tartozik. A definíció következménye: f g értelmezési tartománya a D g részhalmaza, f g értékkészlete pedig R f részhalmaza.

40 Section 5: Műveletek valós függvények között 40 Például, ha f(x) = x 3 1 és g(x) = x + 1 x 1 mint előbb, akkor ( ) 3 x + 1 (f g)(x) = (g(x)) 3 1 = 1 x 1 = 2(3x2 + 1) (x 1), 3

41 Section 6: Növekvő és csökkenő függvények 41 míg (g f)(x) = f(x) + 1 f(x) 1 = (x3 1) + 1 (x 3 1) 1 = x3 x 3 2. Tehát, általában f g g f. 6. Növekvő és csökkenő függvények Intuitív módon, egy függvény növekvő az értelmezési tartományának egy I intervallumán, ha grafikonja emelkedő amint a független változó nő.

42 Section 6: Növekvő és csökkenő függvények 42 Növekvő, csökkenő, konstans függvény Legyen I egy intervallum, mely részhalmaza az f függvény értelmezési tartományának. Ekkor: 1. f (szigorúan) növekvő I-n, ha f(x) < f(y) amikor x < y I-n. 2. f (szigorúan) csökkenő I-n, ha f(x) > f(y) amikor x < y I-n. 3. f konstans I-n, ha f(x) = f(y) minden x, y I esetén.

43 Section 6: Növekvő és csökkenő függvények 43

44 Section 7: Függvény inverze Függvény inverze Amint az közismert, sok fontos matematikai kapcsolat függvények formájában fejezhető ki. Például: K = 2rπ A kör kerülete a sugár függvénye. F = 9 5 C + 32 A F -ben mért hőmérséklet a C - ban mért hőmérséklet függvénye. V = a 3 Egy kocka térfogata az él hosszúságának függvénye.

45 Section 7: Függvény inverze 45 Sok esetben a fordított kapcsolat kifejezése is érdekes lehet: r = K 2π A sugár a kör kerületének függvénye. C = 5 9 (F 32) A C -ban mért hőmérséklet a F - ben mért hőmérséklet függvénye. a = 3 V Egy kocka élének hossza a térfogatának függvénye.

46 Section 7: Függvény inverze 46 Amint ezek a példák is mutatják, két mennyiség közti kapcsolat megfordítása gyakran egy új függvényt eredményez. Ezt az új függvényt az eredeti inverz függvényének nevezzük Invertálható függvények Idézzük fel a függvény definícióját: Egy függvény olyan rendezett párokból álló halmaz, amelyben nincs két olyan rendezett pár, amelyek első komponensei megegyeznek, második komponensei viszont különbözők.

47 Section 7: Függvény inverze 47 Az azonban lehetséges, hogy egy függvényhez tartozó két rendezett pár első komponensei különböznek, míg második komponenseik megegyeznek. Ha ez nem következik be, akkor a függvényt invertálhatónak nevezzük. Invertálható függvény Egy függvényt invertálhatónak nevezünk, ha nem tartalmaz két olyan rendezett párt, amelyek első komponensei különböznek, második komponensei viszont egyenlők.

48 Section 7: Függvény inverze 48 Példa. Tekintsük az alábbi három (rendezett párokból álló) halmazt: f := {(0, 3), (0, 5), (4, 7)} g := {(0, 3), (2, 3), (4, 7)} h := {(0, 3), (2, 5), (4, 7)} f nem függvény: (0, 3) és (0, 5) első komponensei azonosak, második komponenseik különbözők. g függvény, de nem invertálható: (0, 3) és (2, 3) második komponensei megegyeznek, míg az elsők különbözők. h invertálható függvény.

49 Section 7: Függvény inverze 49 Hogyan ismerhetjük fel könnyen, ha egy függvény invertálható? Vizszintes egyenes teszt Egy függvény pontosan akkor invertálható, ha bármely az x-tengellyel párhuzamos egyenes a függvény grafikonját legfeljebb egy pontban metszi.

50 Section 7: Függvény inverze 50

51 Section 7: Függvény inverze 51 Növekvő és csökkenő függvények invertálhatósága Ha egy f függvény növekvő vagy csökkenő az értelmezési tartományán, akkor f invertálható.

52 Section 7: Függvény inverze Függvény inverze Ha egy invertálható függvényhez tartozó rendezett párok komponenseit felcseréljük, új függvényt kapunk.

53 Section 7: Függvény inverze 53 Függvény inverze Ha f invertálható függvény, akkor f inverze az az f 1 -gyel jelölt függvény, amelyhez azok a rendezett párok tartoznak, amelyeket az f-hez tartozó rendezett párok komponenseinek felcsrélésével kapunk. Tehát f 1 = {(y, x) (x, y) f}. Ha f nem invertálható, akkor f 1 nem létezik. A következő tulajdonságok azonnal következnek a definícióból.

54 Section 7: Függvény inverze 54 Függvény inverzének tulajdonságai Ha f invertálható, akkor 1. f 1 is invertálható, és inverze f. 2. f 1 értelmezési tartománya = f értékkészlete. 3. f 1 értékkészlete = f értelmezési tartománya. Fontos kapcsolat áll fenn egy függvény, valamint inverzének grafikonja között. Ez az alábbi megfigyelésen alapul: Egy derékszögű koordinátarendszerben az (a, b) és a (b, a) koordinátájú pontok szimmetrikusak az y =

55 Section 7: Függvény inverze 55 x egyenesre. A következő álĺıtás ennek közvetlen következménye. f és f 1 grafikonja Az f és az f 1 függvények grafikonjai szimmetrikusak az y = x egyenesre.

56 Section 8: Néhány fontos függvényosztály Néhány fontos függvényosztály 8.1. Lineáris függvények Egy f függvényt lineárisnak nevezünk, ha a következő alakban írható fel: f(x) = mx + b, vagy y = mx + b, (1) ahol m és b valós számok. Példa. 1. A tenger szintje alatt x méterrel mért y nyomás y = 0.1x + 1 atmoszféra. Vagyis m = 0.1, b = 1.

57 Section 8: Néhány fontos függvényosztály A szervezet oxigénfelvevő képessége (y ml m ) a 2 tüdő felületének (x m 2 ) lineáris függvénye. Egy tehénnél pl. y = 14 3 x. Tehát itt m = 14/3, b = 0. Egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes. A (1) formulában m az egyenes meredeksége, b az egyenes metszéspontja az y-tengellyel.

58 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 58 y y=mx+b y-intercept b 1 m slope x Ha m = 0, akkor f grafikonja egy vizszintes egyenes. Azok a függvények, melyek grafikonja egy vizszintes egyenes, a konstans függvények. A függőleges egyenesek nem függvények grafikonjai!

59 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 59 Egy lineáris függvény grafikonjának ábrázolása egyszerű: csak két pontját kell meghatároznunk, majd megrajzolni az ezeken átmenő egyenest. Legyen f 1 (x) = m 1 x + b 1 és f 2 (x) = m 2 x + b 2 lineáris függvény. Ezek grafikonja egymással párhuzamos, ha m 1 = m 2 ; egymásra merőleges, ha m 1 m 2 = 1.

60 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 60

61 Section 8: Néhány fontos függvényosztály Hatványfüggvények Egy f függvényt hatványfüggvénynek nevezünk, ha feĺırható a következő alakban: ahol p valós szám. f(x) = x p, Az f(x) = c x p függvényeket is szokás hatványfüggvénynek nevezni (c 0 valós szám).

62 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 62 2x 3 és 3x 2

63 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 63 Amikor n pozitív egész szám, akkor az y = x n hatványfüggvény az origó közelében viszonylag lapos, míg meredeken nő x > 1 esetén. Minél nagyobb n, annál laposabb y = x n az origó közelében, és annál meredekebb, ha x > 1. A hatványfüggvények szimmetria tulajdonságai attól függnek, hogy n vajon páros (ekkor magát a függvényt is párosnak nevezzük) vagy páratlan szám (ekkor a függvényt is páratlannak hívjuk).

64 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 64 Néhány páros (y = x 2 ; y = x 4 ; y = x 6 ) és páratlan (y = x; y = x 3 ; y = x 5 ) hatványfüggvény.

65 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 65 Egész n kitevőjű y = x n hatványfüggvényekre érvényes az alábbi tulajdonság: Minél nagyobb n, az y = x n hatványfüggvény annál laposabb és kisebb az x = 0 közelében; és annál meredekebb (és nagyobb) az x nagyobb értékeire. Például, x = 0.1 esetén az f(x) = x 2 értéke (f(0.1) = 0.01) nagyobb, mint g(x) = x 4 értéke (g(0.1) = ). Azonban x = 2 esetén ennek éppen a fordítottja áll fenn (f(2) = 4, míg g(2) = 16).

66 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 66 Azt mondhatjuk tehát, hogy x = 0 közelében az alacsony hatványok dominálnak, míg nagy x-ekre a magasabb hatványok. Ennek fontos következménye lesz a polinomok vizsgálata során. Alkalmazás: milyen nagy lehet egy sejt? A hatványfüggvényeket a biológiában az élőlények vagy szerveik felületén, illetve egész térfogatukban lejátszódó folyamatok jellemzésére használják leggyakrabban. Most az alábbi kérdésekre keressük a választ:

67 Section 8: Néhány fontos függvényosztály Mi határozza meg egy sejt méretét, és miért vannak erre korlátok? 2. Az állatok miért pici sejtek millióiból épülnek fel, néhány száz nagy méretű sejt helyett? Bár e kérdések bonyolultak, egy viszonylag egyszerű matematikai megközeĺıtés segít megtalálni a választ. Ennek érdekében egy matematikai modellt álĺıtunk fel.

68 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 68 Egy modell egy valós helyzet olyan megjelenítése, amely leegyszerűsíti a dolgokat azáltal, hogy csak a legfontosabb jellemzőket veszi figyelembe, míg a kevésbé fontosakat figyelmen kívül hagyja, vagy idealizálja. A mi modellünk az alábbi feltevésekre épül: 1. A sejt gömb alakú. 2. A sejt a környezetéből az oxigént és a tápanyagokat a felületén keresztül nyeli el. Feltesszük: az elnyelés mértéke egyenesen arányos a sejt

69 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 69 felületének (S) nagyságával. 3. A tápanyagok és az oxigén felhasználása egyenesen arányos a sejt V térfogatával. Vagyis, minél nagyobb a sejt, annál több tápanyagra van szüksége az életben maradáshoz. Egyetlen sejt modellje.

70 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 70 Egyetlen sejt esetén az alábbi mennyiségek lesznek fontosak: A = az egységnyi idő alatt elnyelt táplálék mértéke. C = az egységnyi idő alatt felhasznált táplálék mértéke. V = a sejt térfogata. S = a sejt felülete. r = a sejt sugara.

71 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 71 Most a fenti feltevéseket matematikai formába öntjük. A 2. szerint A = k 1 S, ahol k 1 > 0 az arányossági tényező. Ennek értéke függ attól, hogy milyen a sejtmembrán áteresztő képessége, hány pórust vagy csatornát tartalmaz, stb). A 3. feltevés szerint C = k 2 V, ahol k 2 > 0 a másik arányossági tényező. Ennek értéke attól függ, hogy milyen gyorsan fogyasztja az

72 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 72 aktivitása fenntartásához szükséges táplálékot. Mivel a sejt gömb alakú, ezért V = 4 3 πr3, S = 4πr 2. Mindezeket összevetve, az A elnyelés és C felhasználás a következő módon függ a sejt sugarától: A = k 1 (4πr 2 ) = (4πk 1 )r 2, ( ) ( ) 4 4 C = k 2 3 πr3 = 3 πk 2 r 3. A sejt túléléséhez a fogyasztásnak és a táplálék be-

73 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 73 vitelnek egyensúlyban kell állnia: ( ) C = A 4 3 πk 2 r 3 = (4πk 1 )r 2. Ennek az egyenletnek egyik megoldása r = 0 (nem túl érdekes). Ha r 0, akkor az egyensúly az alábbi sugárnál alakul ki: r = 3 k 1 k 2. A hatványfüggvényekről modottak alapján tudjuk, hogy r nagy értékeire a magasabb hatvány dominál,

74 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 74 míg kis r-ekre az alacsonyabb. Mivel r = 3 k 1 k 2 esetén a két függvény egyenlő, ezért kis sejtméret esetén az A r 2 elnyelés a domináns folyamat, míg nagy sejtek esetén a C r 3 fogyasztás dominál. Ezért megállapíthatjuk: Az r = 3 k 1 k 2 kritikus méretnél nagyobb sejtek nem képesek lépést tartani a tápanyagigénnyel, ezért nem életképesek.

75 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 75 Ezért a valóságban a nagyjából 1 mm-nél nagyobb átmérőjű sejtek igen ritkák. Továbbá, az ennél nagyobb méretű organizmusok nem építhetnek az egyszerű diffúzióra abból a szempontból, hogy részeiket oxigénnel ellássák. Ezért ezeknek keringési rendszert kell kifejleszteniük a túlélés érdekében. További példák. 2. Hasonló meggondolások alapján az állatok térfogata valamely lineáris méretük (pl. hosszuk, testmagasságuk) harmadik, míg felületük annak máso-

76 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 76 dik hatványával arányos. Ezért az állatok mérete is csak bizonyos határok között változhat. Például egy a normálisnál tízszer hosszabb egér tömege szerese, míg tüdejének felülete csak 100-szorosa a normálisnak, ezért életképtelen. 3. Kísérletileg megállapított tény, hogy az izom által termelt energia arányos az erő összehúzódás mértékével (egy l hosszúságú izom esetén l 2 l = l 3 - bel). Egy bolha a testmagasságának mintegy 200- szorosára tud felugrani, és az ehhez felhasznált e- nergia az állat súlyának és az ugrás magasságának

77 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 77 szorzata. Egy lineáris méreteiben 10-szeres méretű állatnak tehát = szer annyi energiára lenne szüksége ahhoz, hogy testmagasságának 200- szorosára ugorjon. De az izomerő csak a testtömeggel arányos, tehát az eredetinek szorosa. Ez a bolha teljesítményének csak tizedére, vagyis a testmagasság 20-szorosára elegendő. 4. Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy a ragadozó elől menekülő (vagy élelmét kereső) állat a test lineáris méretének negyedik hatványával arányos energiát fogyaszt, de csak a harmadik hatvánnyal

78 Section 8: Néhány fontos függvényosztály 78 arányos energiát termel. Ezért adott biokémiai és fizikai mechanizmussal működő állat mérete csak szűk korlátok között változhat. Lényegesen különböző méretű állatok ezért mind biokémiájukat, mind mozgásuk fizikáját tekintve eltérnek egymástól.