és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?

Átírás

1 3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen? Megjegyzés: A kérdés ekvivalens az univerzális algebra egyik legnevezetesebb problémájával: Előáll-e minden véges háló véges algebra kongruenciahálójaként? A csoportelméleti kérdést F. Börner nemrégiben a következő speciális esetek vizsgálatára vezette vissza: (i) G majdnem egyszerű, azaz létezik olyan S G, hogy S egyszerű és C G (S) = 1 (tehát G része S automorfizmuscsoportjának); (ii) G = HN, H N = 1, N G, N = S 1.. S k, ahol S 1,.., S k páronként izomorf egyszerű csoportok, N H (S 1 )-ben nincs H- nak nemtriviális normálosztója és S 1 minden belső automorfizmusa előáll alkalmas N H (S 1 )-beli elemmel való konjugálásként. A (ii) eset kivizsgálása ígéretesnek látszik. Kitűző: Pálfy Péter Pál

2 6. 6. Probléma (T): Legyen G egy a háromdimenziós Euklideszi térben elhelyezkedő gömb felszíne. Legyenek továbbá K 1, K 2,..., K n és F 1, F 2,..., F n G-n elhelyezkedő páronként diszjunkt körök. Mikor létezik f : G IR 3 önmagát merőlegesen metsző immerzió, amelyre a kettősvonalak éppen az f(k i ) = f(f i ) görbék? Megjegyzés: Az immerzió maximális rangú (nem feltétlenül bijektív) leképezés. Egy immerzió önmagát merőlegesen metsző, ha a kép önmetszéspontjaiban az érintősíkok merőlegesek (a feladat szempontjából csak az számít, hogy nem esnek egybe). A 2n kör elhelyezkedése leírható a területek szomszédsági gráfjával, ami szükségképpen fa. Ha megadjuk a fát és a párosítást, akkor ez (a problémát tekintve) meghatározza a körök elhelyezkedését. Tehát a kérdés az, hogy mely párosított fához tartozó elhelyezésre van a fenti feltételeknek megfelelő immerzió. Kitűző: Szűcs András

3 7. 7. Probléma (T): Vegyünk n pontot a síkon. Tegyük fel, hogy a pontpárok által meghatározott irányok száma legfeljebb Cn, ahol C konstans. Bizonyítsuk be, hogy ha n elég nagy, akkor van a pontok közül legalább 6, ami rajta van egy kúpszeleten. Megjegyzés: Bármely kúpszeleten tudunk venni n pontot úgy, hogy a meghatározott irányok száma legfeljebb Cn; a körön példa erre a szabályos n-szög, ket parhuzamos egyenesen egy-egy számtani, ket metsző egyenesen egy-egy mértani sorozat, parabolán és hiperbolán megfelelő számtani illetve mértani sorozat. Kitűző: Elekes György

4 Probléma (T): Igaz-e, hogy R minden részgyűrűje 0 vagy 1 dimenziós? Megjegyzés: Pertti Mattila feladata. Ismert, hogy a dimenzió vagy 1, vagy 0 és 1/2 közé esik. Kitűző: Csörnyei Marianna

5 Probléma (T,N): Legyen E R n pozitív mértékű. Igaz-e, hogy van olyan f : R n R n Lipschitz leképezés, amelyre f(e) az R n egységgömbje? Megjegyzés: Laczkovich Miklós feladata. Az n = 1, 2 esetben bizonyított, mas n-ekre nem ismert (már 3-ra is nagyon érdekes lenne). Kitűző: Csörnyei Marianna

6 Probléma (T,?): Legyen A R 2 egy részhalmaz, amelynek az 1-dimenziós mértéke véges. Igaz-e, hogy A m.m. pontján keresztül m.m. egyenes véges sok pontban metszi A-t? Megjegyzés: Pertti Mattila feladata, kapcsolódik az 1.3 problémához. Kitűző: Csörnyei Marianna

7 Probléma (T): Igaz-e, hogy tetszőleges r 1, r 2,..., r n számokhoz, melyek négyzetösszege 1, található pozitív mértékű önhasonló halmaz a síkon ezekkel az önhasonlósági arányokkal? Azaz olyan pozitív mértékű kompakt A halmazt szeretnénk, amely előáll mint A 1,..., A n halmazok (nem feltétlenül diszjunkt) uniója, ahol A i egy r i -szeresre kicsinyített hasonló képe A-nak Probléma (T): Mi a válasz a fenti kérdésre, ha csak sokszöglapokat engedünk meg önhasonló halmazként? 15.3 Probléma (T): Jelent-e ez megszorítást, azaz igaz-e, hogy ha r 1,..., r n - hez van önhasonló halmaz, akkor van sokszöglap is? Ha további megszorításként csak konvex sokszögeket engedünk meg, akkor a válasz negatív: Ulrich Betke egy publikálatlan eredménye szerint egy önhasonló konvex sokszögnek legfeljebb 5 csúcsa van (talán 5 helyett 6-ra ez nem olyan nehéz), ezt fölhasználva belátható, hogy a szóbajöhető (r 1,..r n ) szám n-esek megszámlálható sok 4-dimenziós sima sokaságon vannak, így az n > 5 esetben van rossz szám n-es. Kitűző: Keleti Tamás

8 Probléma (T,N): Igaz-e, hogy tetszőleges 0-hoz tartó d 1, d 2,... sorozathoz található egy pozitív mértékű H R halmaz, amely nem tartalmazza a sorozat egy affin képét? Megjegyzés: Erdős Pál feladata. Kitűző: Csörnyei Marianna

9 Probléma (T): Igaz-e, hogy S n tranzitív részcsoportjainak rendjeiből álló halmaz elemszáma korlátozható egy n-ben polinom függvénnyel? Megjegyzés: Primitív részcsoportokra ismert. Kapcsolódó anyag: Pyber L., Assymptotic results for simple groups and some applications, DIMACS Series in Discrete Math and Theoretical Comp Sci 29 (1997) Kitűző: Pyber László

10 Probléma (T): Egy véges halmazon értelmezett (tetszőleges változószámú) műveleteknek egy halmazát klónnak nevezzük, ha zárt az összetett függvény képzésére és tartalmazza az összes p i n(x 1,.., x n ) = x i (1 i n, n = 1, 2,..) projekciót. A triviális klón csak a projekciókból áll. Egy klón minimális, ha nemtriviális, de az egyetlen valódi részklónja a triviális klón. Meghatározandók a minimális klónok. Megjegyzés: Háromelemű alaphalmazra Csákány Béla, négyeleműre B. Szczepara és Waldhauser Tamás oldotta meg a feladatot. Az általános esetben csak részeredmények ismertek. Kitűző: Pálfy Péter Pál

11 Probléma (T,?): Igaz-e, hogy ha a [0, 1] intervallum lefedhető α db Cantor-halmazzal, akkor a [0, 1] N Hilbert-kocka is lefedhető ugyanennyi Cantor-halmazzal? Azaz: konzisztens-e, hogy a Hilbert-kockához több Cantor-halmaz kell? Megjegyzés: Michal Moratine feladata. Kitűző: Csörnyei Marianna

12 Probléma (T,N): Bizonyítsd be, hogy annak a valószínűsége, hogy két független, véletlen menekvő séta szorzata is menekvő, polinomálisan csökken a séták hosszával. Megjegyzés: Egy d dimenziós, n hosszú séta egy függvény {0..n 1}-ről Z d - be úgy, a 0 képe az origó, és minden i-re f(i) és f(i + 1) távolsága 1. A séta menekvő, hogyha ez a függvény injektív; legyen p n annak a valószínűsége, hogy egy véletlen (egyenletes eloszlású) n hosszú séta menekvő. Bizonyítandó, hogy van olyan α d, hogy p n+m (n + m) α d p(n)p(m). Kapcsolódó anyag: D. Randall, A. Sinclair: Testable algorithms for selfavoiding walks, sinclair/saws.ps Kitűző: Virág Bálint (balint@stat.berkeley.edu)

13 Probléma (T,N): Van-e 3-nál kisebb Hausdorff dimenziós halmaz R 3 -ben, amely minden irányban tartalmaz szakaszt? Megjegyzés: Pozitív válasz azonnal cáfolná a harmonikus analízis két legfontosabb sejtését, valamint egy híres parciális differenciálegyenlet es egy híres analitikus számelmélet sejtést. Jelenleg annyi ismert, hogy egy ilyen halmaz legalább dimenziós. Korábban 2.5 volt a rekord. Kitűző: Keleti Tamás

14 64. Szita Legyen n adott, és legyen f(m) azon számok száma az [m + 1, m + n] intervallumban, amelyeknek van legalább egy ( n, n)-be eső prímosztójuk Probléma (T,?): Igaz-e, hogy f(m) > cn pozitív c abszolút konstanssal? A p N, p 3 (mod 4) prímek tökéletesen kiszitálják a 3 4k 1 N számokat, vagyis egy kb. N/4 hosszú számtani sorozatot Probléma (T,?): Ki tudnak-e szitálni egy cn hosszú számtani sorozatot a p 1 (mod 4) prímek? Kitűző: Ruzsa Imre