A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely
|
|
- Alajos Kozma
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma A Malfatti probléma Fonyó Lajos, Keszthely Giovanni Francesco Malfatti ( ) olasz matematikus 180-ban vetette fel az alábbi problémát: Adott egy háromszög alapú egyenes hasáb márványból, melyből ki kell vágni három nem feltétlenül egybevágó egyenes körhenger alakú oszlopot úgy, hogy a keletkező hulladék minimális legyen. Ez a gyakorlati probléma ekvivalens az alábbi síkgeometriai feladattal: Adott ABC háromszögben adjuk meg azt a három nem feltétlenül azonos sugarú, egymást nem metsző kört, melyek területösszege maximális. Malfatti és még sokan mások azt gondolták, hogy a probléma megoldása három olyan kör, melyek páronként érintik egymást és mindegyik érinti még a háromszög két oldalát. A Malfatti körök megszerkesztése is komoly kihívás elé állította a matematikusokat. Először trigonometriai számításokon alapuló megoldások születtek, majd 187-ben Steiner közölt egy tisztán elemi geometriai eljárást bizonyítás nélkül. Ennek helyességét végül Hart igazolta. 1. Adott ABC háromszögbe szerkesszünk három egymást érintő kört, amelyek külön-külön még két-két háromszögoldalt is érintenek. I. megoldás: Jelöljük az ABC háromszög oldalainak hosszát a, b, c-vel, a k 1, k, k Malfatti körök középpontjait O 1, O, O -mal, sugarait r 1, r, r -mal, az A, B, C csúcsoknak az érintési pontoktól mért távolságait x, y, z-vel. 95
2 Kistérségi tehetséggondozás Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az ABC háromszög félkerülete 1 egység. Használjuk fel, hogy két egymást érintő ρ 1 és ρ sugarú kör közös külső érintőjének az érintési pontok közé eső szakasza ρ1ρ hosszúságú. Ez alapján a = y + z + r r, b = x + z + r1 r, c = x + y + r r 1 Az ABC háromszög k beírt körének középpontját O-val, sugarát r-rel jelölve az ábra szerinti AE 1 O 1 és AEO derékszögű háromszögek hasonlóságát kihasználva: AE = s a = 1 a r1 x = r 1 a Az ABC háromszög területének kétféle felírása alapján: És így Hasonlóképpen és r s = s ( s a)( s b)( s c) ( s a)( s b)( s c) r = = 1 a 1 b 1 c. s ( 1 b)( 1 c) ( a) r r1 = x = x. 1 a 1 ( 1 a)( 1 c) ( b) r r = y = y 1 b 1 ( 1 a)( 1 b) ( c) r r = z = z. 1 c 1 Ezen összefüggések felhasználásával az ABC háromszög oldalaira felírt kifejezések a koszinusztételre emlékeztető alakra írhatók át az alábbiak szerint: 96
3 ( a ) = ( y ) + ( z ) y z ( 1 a ) ( b ) = ( x ) + ( z ) x z ( 1 b ) ( c ) = ( x ) + ( y ) x y ( 1 c ) Fonyó Lajos: A Malfatti probléma a + b + c = és a háromszög-egyenlőtlenség alapján 0 < a < 1, 0 < b < 1, 0 < c < 1 és így 1 < 1 a < 0, 1 < 1 b < 0, 1 < 1 c < 0, ezért léteznek olyan ϕ 1, ϕ, ϕ tompaszögek, melyekre cosϕ 1 = 1 a, cosϕ = 1 b és cosϕ = 1 c. Az ábra szerint kialakított tompaszögű háromszögek körülírt körének sugara mindhárom esetben 1/ egység, mivel pl.: a a 1 R1 = ϕ = = sin 1 1 cos ϕ 1 Tekintve a háromszögek azonos sugarú körülírt köreit, azokban az azonos hosszúságú oldalakhoz azonos kerületi szögek tartoznak, azaz x, y, z oldalakkal szemben rendre ε 1, ε, ε szögek. Így az egyes tompaszögű háromszögek belső szögeinek összegére: ϕ1 + ε + ε = 180, ϕ + ε1 + ε = 180, ϕ + ε1 + ε =
4 Kistérségi tehetséggondozás Ezekből az összefüggésekből ϕ1 ϕ ϕ ε1 =, ϕ ϕ1 ϕ ε =, ϕ ϕ1 ϕ ε =. Figyelembe véve, hogy a körülírt kör sugara 1/, ezért az egyes háromszögek oldalai és a szemközti szögek szinuszai közötti kapcsolatok: valamint a x ϕ = sin 1, b sin ε = sin 1, y sin = ϕ, c = sinϕ, = ε, z = sin ε. A magasságtétel és a Thálesz tétel alapján a, b, c ismeretében a, b, c, majd ϕ 1, ϕ, ϕ az ábra szerint megszerkeszthetők. Az ε 1, ε, ε szögek ϕ 1, ϕ, ϕ segítségével a korábbi összefüggések alapján megszerkeszthetők és ezek segítségével előbb a x, y, z, majd az x, y, z hosszúságú szakaszok is az ábra szerint megkaphatók. Az érintőszakaszok ismeretében a Malfatti körök már egyszerűen megszerkeszthetők. 98
5 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma II. megoldás: 1. segédtétel: Ha a k 1, k és k, k körpárok közös külső érintői e 1, f 1 és a k 1, k körpár közös belső érintője g 1 egy közös D pontban metszi egymást, akkor a megfelelő körök társérintői is közös pontba futnak össze. Bizonyítás: Legyen e1 e = G, g1 g = H, f1 f = I és e f = E. Rajzoljuk meg a k kör E pontbeli érintőjét és jelöljük ennek e 1 -gyel való metszéspontját F-fel. Meg fogjuk mutatni, hogy az EF egyenes érinti a k 1 kört. A k kört érintő hurkolt DIEG négyszögben: DI +DG = EG + EI. A k kört érintő DIEH négyszögben: DI + EH = DH + EI. A két egyenlet megfelelő oldalainak kivonásával és a kapott egyenlet rendezésével: DG + DH = EG + EH. Ez viszont azt jelenti, hogy a DGEH négyszög oldalai egy kör érintői. Mivel a négyszög három oldala már érinti a k 1 kört, így az EH oldalnak is ugyanazt a kört kell érintenie. Ezzel az állítást beláttuk.. segédtétel: Ha a k 1, k körökből az A 1 B szelő két egyenlő hosszúságú A 1 B 1 =A B húrt metsz ki, akkor a szelő két végpontjához húzott érintők M metszéspontjából a két kör egyenlő szög alatt látszik. 99
6 Kistérségi tehetséggondozás Bizonyítás: Legyenel F 1, P, F az O 1, M, O pontok vetületei az A 1 B szelőn. Ekkor MPA 1 Σ=A 1 F 1 O 1 Σ=90 és A 1 MPΣ=O 1 A 1 F 1 Σ (merőleges szárú hegyesszögek). Így MPA 1 A 1 F 1 O 1. Hasonló gondolatmenettel MPB B F O. A hasonlóságokat felhasználva A M MP A O = és A F MP B F =. B M B O A két egyenlet összeszorzásával és felhasználva, hogy A 1 F 1 =B F : A M B M A O = B O Így az MO 1 A 1 és MO B derékszögű háromszögek hasonlóak és így A 1 MO 1 Σ=B MO Σ. A kapott egyenlőségeket -vel beszorozva éppen a kívánt állítást kapjuk. Következmény: Jelöljük az A 1 és B pontokból a k és k 1 körökhöz húzott érintőszakaszok végpontjait K és L-lel. Ekkor AK = A 1 A A 1 B = B B 1 B A 1 = B L. Megjegyzés: az állítás fordítva is igaz, ha az A 1 B szelő olyan, hogy az A 1 K és B L érintőszakaszok egyenlő hosszúak, akkor a k 1, k körökből kimetszett A 1 B 1 és A B húrok egyenlő hosszúságúak.. 100
7 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Ezután térjünk vissza a Malfatti körök megszerkesztéséhez. Jelöljük a keresett Malfatti köröket o 1, o, o -mal, páronkénti érintési pontjaikat F, G, H-val! Mivel a körök közös belső érintői egyben hatványvonalai is a köröknek, ezért a három kör közös P hatványpontjában metszik egymást. Legyen R és S az a két pont, ahol az o 1 és o körök érintik az AB oldalt, E 1, E, E pontok pedig az ABC háromszög három szögfelező egyenese által képzett OAB, OBC és OCA háromszögekbe rajzolt k 1, k, k érintőköröknek az oldalakon lévő érintési pontjai. Ekkor felhasználva, hogy egy külső pontból adott körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak: E M E L = RM LS = MH LG = PM PL. A kapott egyenlőség azt bizonyítja, hogy az LMP háromszögbe írt kör az LM oldalt E -ban érinti. Jelöljük ezt a kör k -mal és k 1, k -vel pedig azokat a hasonló köröket, amelyek az E 1 és E pontban érintik a BC és AC oldalakat. Jelöljük az E 1 P, E P, E P egyeneseknek az ABC háromszög oldalaival alkotott metszéspontját L, M, N-nel és E L-nek és E N-nek k -mal és k 1 -gyel való érintési pontját U-val és V-vel. A k 1, k, o körökből álló rendszert vizsgálva az E 1 L, E M, E N közös érintők illeszkednek a P pontra, így az 1. segédtétel alapján társérintőik is közös ponton mennek át. Ez viszont azt jelenti, hogy a k 1 és k körök közös belső érintője áthalad az AB és BC közös külső érintők B metszéspontján. Mivel E F = E S = UG és FV = E 1 T = E 1 G, az egyenletek összeadásával E V = E 1 U. Ez a. segédtétel következménye alapján azt jelenti, hogy az E 1 E szakasz a k 1, k körökből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki és ugyanezen segédtétel alapján a k 1 és k közös belső érintője a B csúcsnál levő szög felező egyenese. Ez alapján a Steiner féle szerkesztés lépései: a) Megszerkesztjük az ABC háromszög beírt körének középpontját. b) Megszerkesztjük az AOB, BOC, COA háromszögek k 1, k, k beírt szögeit és meghatározzuk k 1, k, k -nak a háromszög oldalaival alkotott E 1, E, E érintési pontjait. c) E 1, E, E pontokból megszerkesztjük a (k, k ), (k 1, k ), (k 1, k ) körpárokhoz tartozó közös belső érintőket, melyek a Malfatti körök közös hatványpontjában metszik egymást. d) A megrajzolt belső érintőkkel olyan háromszögeket kapunk, melyek mindegyikének egyik oldala az érintők egyike, másik két oldala pedig az ABC háromszög két oldala. Ezen háromszögek beírt körei lesznek a keresett Malfatti körök. 101
8 Kistérségi tehetséggondozás 199-ben Lob és Richmond megállapították, hogy a Malfatti körök nem minden esetben megoldásai a Malfatti problémának. Például az egyenlő oldalú háromszögben az ábra szerinti k 1, k, k körök területösszege nagyobb, mint a Malfatti köröké ben Goldberg már azt is igazolta, hogy a Malfatti körök egyik háromszög esetén sem szolgáltatják a Malfatti probléma megoldását ben Zalgaller és Loss oldották meg általánosan a problémát. 5 oldalas bizonyításukban megmutatták, hogy amennyiben az ABC háromszög szögeire az α β γ feltétel mellett a sin tg feltétel teljesül, akkor az 1., míg α β α β sin tg reláció esetén a. ábra szerinti k 1, k, k körök területösszege maximá- lis. 10
9 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Kiss Sándor erdélyi magyar matematikus 00-ben az Octogon Magazin IV. számában adott a problémára viszonylag rövid, elegáns megoldást.. Egy adott négyzetben elhelyezünk két egymást nem metsző kört. Milyen esetben lesz maximális az általuk lefedett terület? Megoldás: Jelöljük a négyzet csúcsait A, B, C, D-vel, oldalát pedig a-val, és helyezzünk el a négyzetben két tetszőleges egymást nem metsző ρ 1 és ρ sugarú kört. Toljuk el a két kört úgy, hogy az egyiket a négyzet AB és AD, a másikat CB és CD oldala érintse. Az eltolások során a két kör középpontjának távolsága nem csökkenhet, mivel az 1. és. ábrák alapján az új helyzetben a két középpont távolsága két 10
10 Kistérségi tehetséggondozás a ρ1 ρ befogójú derékszögű háromszög átfogójával megegyező hosszúságú, míg az eredeti helyzetben pedig egy olyan derékszögű háromszög átfogójával, amelyből a befogók hossza nem haladja meg a a ρ1 ρ értéket. Így az elmozgatott körök továbbra sem metszik egymást és eredeti területük összege nem változik meg. Ezután hajtsunk végre a CB és CD oldalakat érintő körnél egy C középpontú nagyítást úgy, hogy a kapott kör érintse a másikat. (. ábra) Az eljárás során kapott, egymást érintő két kör területének összege nyilván legalább akkora lesz, mint az eredetileg felvett két köré. Jelöljük a kapott két kört k 1, k -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Mivel az a oldalú négyzet átlója a hosszúságú és O 1, O rajta van az AC átlón, ezért A két kör területének összege Feladatunk tehát r 1 r r + r + r + r = a, 1 1 r1 + r = a = a. + 1 t t π r r 1 + = maximumának meghatározása. Tegyük fel, hogy r1 r. Mivel mindkét kör része a négyzetnek, ezért a 0 r1, r. Legyen r1 = a x és r = a + x, ahol 1 0 x a. Ekkor 1 r r 1 + = + r r a x. + pontosan akkor maximális, 1 ha x = a, azaz a r1 = a és r =. 104
11 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Tehát a két kör által lefedett terület akkor maximális, ha az egyik a négyzet beírt köre, a másik pedig a beírt kört és a négyzet két oldalát érintő kör.. Egy adott háromszögben elhelyezünk két egymást nem metsző kört. Milyen esetben lesz maximális az általuk lefedett terület? Megoldás: Jelöljük a háromszög csúcsait A, B, C-vel, beírt körét k-val, annak középpontját és sugarát O-val, illetve r-rel. Legyenek a keresett körök k 1, k, középpontjaik O 1, O, sugaraik pedig r 1, r. Feltételezhetjük, hogy mindkét kör érinti a háromszögnek legalább két oldalát és egymást is, mivel ellenkező esetben a köröket eltolhatnánk úgy, hogy azok érintsék a háromszög két-két különböző oldalát és a középpontjaik távolsága eközben nem csökkenne, továbbá ha az egyik kört a megfelelő háromszög-csúcsból felnagyítanánk úgy, hogy érintse a másikat, akkor a két kör területösszege növekedne. Tehát feltehetjük, hogy k 1 érinti az AB és AC, k pedig az AB és BC oldalakat, továbbá k 1 és k kívülről is érintik egymást. Ekkor O 1 és O középpontok az A és B csúcsokhoz tartozó belső szögfelezőkön helyezkednek el. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor k 1 és k egyike sem esik egybe k-val! Ekkor meg fogjuk mutatni, hogy létezik olyan k kör r sugárral az ABC háromszögön belül, amelyiknek nincs közös pontja k-val, továbbá k és k területösszege nagyobb mint k 1 és k -é. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy α β. Ekkor szükségképpen r 1 r, ugyanis r 1 > r esetén tekintve azt a k 1 kört, aminek sugara r 1 = r és érinti az AB, BC oldalakat, és azt a k kört, aminek a sugara r = r 1 és érinti az AB, AC oldalakat.ekkor r 1 r, és k 1, k területösszege annyi mint k 1, k -é. Továbbá a. ábra alapján: O M O N O N O O O O r r r r α α β sin sin sin = = = =
12 Kistérségi tehetséggondozás Tehát k 1 és k köröknek nincs közös pontja. Így élhetünk azzal a feltételezéssel, hogy α β esetén r 1 r. Legyen ε = r r > 0. Ha r 1 < ε, akkor r1 r r r1 + r < r1 + r r, ami azt jelenti, hogy k 1 és k területösszege kisebb mint k-é. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor r 1 > ε > 0. Legyen r = r1 ε > 0 és k az α szög szárait érintő r sugarú kör. Ekkor + és ( ) + = + ε + 1 ε = ε 1 + ε > 1 + r r r r r r r r r r és már csak azt kell belátni, hogy k-nak és k -nek nincs közös pontja. Használjuk fel, hogy OO ε ε = = O O β α sin sin 1 Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség alapján: OO = OO + O O OO + OO O O Tehát k és k köröknek nincs közös pontja. A korábbi eredményeinket összefoglalva, az ABC háromszögben elhelyezett két egymást nem metsző körnek a területösszege pontosan akkor maximális, ha az egyik a háromszög beírt köre, a másik pedig érinti a beírt kört és a háromszög legkisebb szögéhez tartozó két oldalt. 4. Mekkora annak a legkisebb méretű négyzetnek az oldala, amelyben elhelyezhető két egymást nem metsző a és b sugarú kör? Megoldás: Jelöljük a keresett N négyzet oldalának hosszát x-szel, az a és b sugarú köröket k 1, k -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Tegyük fel, hogy a b! Ekkor O 1 és O benne vannak olyan N 1 és N 106
13 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma négyzetekben, amelyek maguk is benne vannak N-ben és oldalaik N oldalaitól a és b távolságra vannak. Jelöljük A, B-vel N 1 és N két azon átellenes helyzetű csúcsát, amelyekre az AB átlójú négyzet tartalmazza az O 1 O szakaszt. Ekkor O1O AB = ( x a b) Másrészt mivel k 1 és k körök nem metszők O1O a + b. Így ( x a b) a + b, amiből x ( a b) + +. Továbbá mivel a k 1 kör + benne van az N négyzetben: x a. Ha 1 b a b + az N négyzet oldala + x = ( a + b). Az egyenlőség is fennállhat, pl. O 1 = A, O = B választás esetén. + Ha ( a + b) < a, akkor x = a. Eredményeinket összefoglalva: x + ( + ), ha ( + 1) a b b a b = + < a, ha 1 b a a + b a, azaz 5. Mekkora annak a legkisebb méretű szabályos háromszögnek az oldala, amelyben elhelyezhető két egymást nem metsző a és b sugarú kör? Megoldás: Jelöljük a keresett H szabályos háromszög oldalának hosszát x-szel, az a, b sugarú köröket k 1, k -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Tegyük fel, hogy a b. Ekkor O 1 és O benne vannak olyan H 1 és H szabályos háromszögekben, amelyek maguk is benne vannak H-ban és oldalaik H-tól a és b távolságra vannak. Jelöljük A-val és B-vel H 1 és H azon két csúcsát, melyekre teljesül, hogy O 1 és O benne vannak a B középpontú BA sugarú kör H -höz tartozó körcikkében. (Ilyen csúcsok mindig kiválaszthatók H 1, H -nél.) Mivel a k 1 és a k körök nem metszők, ezért O1O a + b. 107
14 Kistérségi tehetséggondozás Másrészt AB O 1 O, mivel AB < O 1 O esetén a BO O 1 háromszögben O 1 O lenne a legnagyobb oldal, és azzal szemben 60 -nál nagyobb szögnek kellene lenni, viszont O 1 BO Σ 60. Így AB a + b. Az ábrán kialakított ABE derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz tételt Ebből x a + b + ab adódik. Továbbá mivel a k 1 kör benne van a H szabályos háromszögben x a, azaz x a. 6 Ha azaz ( a + b) AB = ( a b) + x ( a + b) a + b + ab a, b a b, 0 a a b b a b akkor a H szabályos háromszög oldala fennállhat, pl. O 1 = A, O = B választás esetén. Ha a > b, akkor x = a. Eredményünket összefoglalva:. a + b + ab, ha b a b x = a, ha b < a x = a + b + ab. Az egyenlőség 108
15 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma 6. Mutassuk meg, hogy az egyenlő oldalú háromszögben a Malfatti probléma megoldása a beírt kör és két olyan kör, amelyek érintik a beírt kört és a háromszög két-két oldalát. Megoldás: Válasszuk a szabályos háromszög oldalát egység hosszúságúnak. Tegyük fel, hogy az egymást nem metsző k 1, k, k körök sugaraira az a b c nagyságrend teljesül. Azt fogjuk belátni, hogy 1 a =, 1 b =, 6 1 c =. 6 Ennek igazolásához meg fogjuk mutatni, hogy teljesül az egyenlőtlenség. Két esetet fogunk vizsgálni: 1. eset: a b 1 Felhasználva, hogy a 11 a + b + c a + b + c a + b a + a = Az egyenlőség feltétele: a =, b = c = = 6. eset: b a b Legyen b = x b, ahol x > 0. 1 Ekkor az a és b között feltételezett nagyságrend alapján: x
16 Kistérségi tehetséggondozás Az 5. feladat megoldása alapján ekkor Ennek figyelembe vételével a + b + ab 1, x + 1 b + xb 1, b 1 ( x + x + ) 1 4 9x + a + b + c a + b = 9x + b =. 1 Így elegendő belátnunk, hogy ( x + x + 1 ) Az 1 x 1 feltétel miatt Az x 1 0 és 4 9x x 1x 110x 44x , ( x )( x x x ) ( x + x + ) 1 5x + 9x 17x 61 = 51x x + 174x + 9x = > 0 egyenlőtlenségek alapján az állítást igazoltuk. Az egyenlőség feltétele: x = 1, hogy b = c = 1 ( x + x + ) a =, b = c = =. 6, ami éppen azt jelenti, 110
17 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Gyakorló feladatok: 7. Határozzuk meg a Malfatti körök sugarát az egység oldalú szabályos háromszögben és mutassuk meg, hogy azok nem megoldásai a Malfatti problémának. 8. Adott négyzetbe helyezzünk el két egymást nem metsző r 1 és r sugarú kört. Határozzuk meg a) r 1 r maximumát, b) r + r maximumát Adott háromszögben helyezzünk el két egymást nem metsző kört. Határozzuk meg, mely esetben lesz a területük szorzata maximális. 10. Helyezzünk el adott téglalapban két egymást nem metsző kört úgy, hogy a) területük összege, b) területük szorzata maximális legyen. 11. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű négyzet oldalainak hosszát, amelyben elhelyezhető két egymást nem metsző és egység sugarú kör. 1. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű négyzet oldalának hosszát, amelyben elhelyezhető három egymást nem metsző 1, és egység sugarú kör. 1. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű szabályos háromszögnek oldalhosszát, amelyben elhelyezhető három egymást nem metsző, és 4 egység sugarú kör. 14. Oldjuk meg a Malfatti problémát egy négyzetben elhelyezett három egymást nem metsző körre. 15. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű négyzetnek oldalhosszát, amelyben elhelyezhető öt egymást nem metsző egység sugarú kör. 16. Adott kockába helyezzünk el két egymást nem metsző gömböt úgy, hogy a) felszínük összege, b) térfogatuk összege maximális legyen. 17. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű kockának élhosszát, amely tartalmaz két egymást nem metsző a és b sugarú gömböt. 111
18 Kistérségi tehetséggondozás 18. Határozzuk meg annak a legkisebb méretű kockának az élhosszát, amely tartalmaz kilenc egymást nem metsző egység sugarú gömböt. Gyakorló feladatok megoldásai: 7. A r + r = 1 összefüggés alapján a Malfatti 1 körök sugara: r =. 4 A Malfatti körök területösszege: 1 π π = 0, A 6. feladat alapján a megoldást szolgáltató 1 1 körök sugara r 1 =, r = r =. 6 A körök területösszege π π + π = 0, π < π Tehát r + r = a és 8. A. feladat megoldása alapján a körök r 1, r sugarára 1 ( ) a 0 < r1, r, ahol a jelöli a négyzet oldalát. a) A számtani-mértani közép közti egyenlőtlenség alapján r1 + r r1 r a a = r 1 r pontosan akkor maximális, ha r 1 = r = a. 11
19 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma r b) 1 r r1 r r1 r r1 r1 r r r1 r ( r1 r1 r r ) + + = + + = = r1 + r = ( r ) 1 + r r1 + r. r + r = a állandó érték, ezért Mivel 1 ( ) maximális, ha r 1 r + maximális. 1 r r + pontosan akkor A. feladat megoldása alapján ez r 1 r esetén az r1 = a és a r = értékeknél teljesül. Ekkor 50 5 r1 + r = a A megoldást jelentő körök érintik egymást és a háromszög két-két oldalát. A számtani-mértani közép közti egyenlőtlenséget használva r1 r 1 π r1 r π + =. t t Így a területük szorzata pontosan akkor maximális, ha r1 + r értéke a lehető legnagyobb. A. feladat alapján a megoldást két olyan egymást érintő kör adja, melyek közül az egyik a beírt kör, a másik pedig érinti a háromszög legkisebb szögéhez tartozó két oldalt. 10. Tegyük fel, hogy a téglalap a és b oldalaira teljesül, hogy a b. Ha a b, akkor elhelyezhetünk a téglalapban a két egymást nem metsző sugarú kört, és így lesz a körök területének összege maximális. A b a b esetben a. feladat alapján elegendő olyan köröket vizsgálnunk, melyek érintik egymást és a téglalap két-két szemközti oldalát. 11
20 Kistérségi tehetséggondozás Ekkor az ábra alapján: b r 1 r, 0 < r1, r esetén legyen ( r + r ) = a ( r + r ) + b ( r + r ) r1 + r = a + b ab a + b ab a + b ab r1 = x és r = + x, ahol Ekkor 1 r r + pontosan akkor maximális, ha ab a 0 x. a + b ab 1 + = + r r x. ab a x =, azaz b b r1 = a + ab és r =. 114
21 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma b) A r1 + r 1 r1 r t t = π π átalakítás alapján a területek szorzata pontosan akkor a lehető legnagyobb, amikor a területük összege maximális. 11. A 4. feladat megoldása alapján a keresett négyzet oldalának hossza + + = A 11. feladat alapján az r 1 =, r = sugarú egymást nem metsző köröket tartalmazó legkisebb méretű négyzet oldalának hossza +. Ebben a négyzetben az ábra szerint még elhelyezhető egy olyan r = 1 sugarú kör is, amely nem metszi a másik kettőt, mivel és 1 = 1 + = = 1 + O O r r O O = = 9 + > r + r. Tehát a keresett négyzet oldalának hossza
22 Kistérségi tehetséggondozás 1. Az 5. feladat megoldása alapján az r 1 = 4, r = sugarú egymást nem metsző köröket tartalmazó legkisebb méretű szabályos háromszög oldalának hossza ( 4 + ) + 4 = 11. Ebben a szabályos háromszögben az ábra szerint még elhelyezhető egy olyan r = sugarú kör is, amely nem metszi a másik kettőt, mivel és O O = 5 + = 79 > r + r 1 1 O O = = 109 > r + r Tehát a keresett szabályos háromszög oldalának hossza Használjuk a 4. feladat eredményeit és a 6. feladat megoldási módszerét. 15. Tegyük fel, hogy az öt egymást nem metsző kör elhelyezhető egy a oldalú négyzetben. Ekkor a és a körök középpontjai benne vannak egy a oldalhosszúságú négyzetben. Osszuk fel ezt az utóbbi négyzetet négy darab a oldalhosszúságú négyzetre a középponton áthaladó oldalakkal párhuzamos vágásokkal. A skatulyaelv értelmében ekkor biztosan lesz olyan kis négyzet, amelybe legalább két kör középpontja kerül. Ha ezek a középpontok O 1 és O, akkor mivel nem metszik egymást, a ezért O 1 O. Másrészt O1O. a Így, amiből a
23 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma A. ábra alapján az a = + oldalú négyzetben el is helyezhető az öt egymást nem metsző egység sugarú kör. 16. Elegendő azt az esetet vizsgálni, amikor a két gömb érinti egymást és a kocka két átellenes csúcsára illeszkedő - lapot. Jelöljük a kocka élét a-val, a körök sugarát r 1, r -vel, felszínét A 1, A -vel, térfogatát V 1, V -vel. Ekkor: a) A ( 1 + A = 4π r1 + r ) Feladatunk tehát r Legyen ahol Ekkor r + r + r + r = a, 1 1 r 1 r. 1 a + = = + a 1 r + maximumának meghatározása. r1 = a x és r = a + x, 4 4 a 0 < r1 r és 0 x a = a + x r r 4, így 1 r r + pontosan akkor maximális, ha 1 x = a, azaz 4 r1 = 1 a a és r =. Tehát a két gömb felszínének összege pontosan akkor maximális, ha az egyik a kocka beírt gömbje, a másik pedig a beírt gömböt és a kocka A1 + A = 8 4 π a. lapját érintő gömb. Ekkor 117
24 Kistérségi tehetséggondozás 4π b) V1 + V = ( r1 + r ) Feladatunk tehát r 1 r + maximumának meghatározása. ( r r ) ( r r ) r1 + r r1 + r = Mivel r1 + r = a állandó érték, ezért r1 + r pontosan akkor a legnagyobb, ha r1 + r maximális, azaz az a) eset alapján r 1 = 1 a a és r = esetén. Ekkor 9 5 V1 + V = π a. 17. Jelöljük a keresett K kocka éleinek hosszát x-szel, az a és b sugarú gömböket g 1, g -vel, középpontjaikat O 1, O -vel. Tegyük fel, hogy a b! Ekkor O 1 és O benne vannak olyan K 1 és K kockákban, amelyek maguk is benne vannak K-ban és lapjaik K lapjaitól a és b távolságra vannak. Jelöljük A, B-vel K 1 és K azon két átellenes csúcsát, melyekre az AB testátlójú kocka tartalmazza az O 1 O szakaszt. Ekkor O O AB ( x a b) =. 1 Másrészt mivel g 1 és g gömbök nem metszők, O1O a + b. Így ( x a b) a + b, amiből x ( a b) + +. Továbbá mivel a g 1 gömb + benne van a K kockában: x a. Ha ( + ) a + b a, azaz b a b, akkor a K kocka oldala + x = ( a + b). Az egyenlőség 6 is fennállhat, pl. O 1 = A és O =B választás esetén. + Ha a + b < a, akkor x = a. 118
25 Fonyó Lajos: A Malfatti probléma Eredményeinket összefoglalva: ( + ) + ( a + b), ha b a b 6 x = ( + ) a, ha b < a Tegyük fel, hogy a kilenc egymást nem metsző egység sugarú gömb elhelyezhető egy a élű kockában. Ekkor a és a gömbök középpontjai benne a vannak egy a élű kockában. Osszuk fel ez utóbbi kockát nyolc darab élű kockára a középpontján áthaladó lapjaival párhuzamos vágásokkal. A skatulyaelv értelmében ekkor biztosan lesz olyan kis kocka, amelybe legalább két gömb középpontja kerül. Ha ezek a középpontok O 1 és O, akkor a figyelembe véve, hogy a gömbök nem metszők: O1O, amiből ( + ) 1 a. Az ( + ) 1 a = élhosszúságú kockában el is helyez- a élű hető a kilenc egység sugarú gömb, ha a gömbök középpontjait az kocka csúcsaiban és középpontjában helyezzük el. 119
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenEgyenes mert nincs se kezdő se végpontja
Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
Részletesebben3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat
3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt
RészletesebbenHáromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam
Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenHasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika
Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki
RészletesebbenXVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenGeometriai feladatok, 9. évfolyam
Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
Részletesebben54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,
52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben18. Kerületi szög, középponti szög, látószög
18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
RészletesebbenNem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
RészletesebbenA 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)
Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
RészletesebbenA TERMÉSZETES SZÁMOK
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Részletesebben8. Geometria = =
8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenGeometria 1, normálszint
Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
Részletesebben1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD
1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria I.
Trigonometria I. Hegyes szögek szögfüggvényei: Az α hegyesszöggel rendelkező derékszögű háromszögek egymáshoz hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. Így oldalhosszaik aránya mindig állandó. Az α szögtől
RészletesebbenGEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a
GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:
1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)
RészletesebbenGeometria 1 összefoglalás o konvex szögek
Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
Részletesebben10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok
10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenHasonlóság 10. évfolyam
Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenXXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.
XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután
RészletesebbenTelepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)
Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenInteraktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-
Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges
RészletesebbenEÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY
EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
RészletesebbenMATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!
MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok
RészletesebbenPitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2
1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy
RészletesebbenLehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.
Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
Részletesebben2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok
2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
Részletesebben11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenA(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x
10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)
A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike
Részletesebben