Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger. 2006/07 I. szemeszter

Átírás

1 Praktikum II. Dr. Szilágyi Ibolya Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger 2006/07 I. szemeszter Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 1 / 125

2 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 2 / 125

3 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 3 / 125

4 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125

5 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb műve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmű, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125

6 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb műve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmű, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125

7 Axiómák Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Munka nélkül nincs kenyér sem geometria. Euklidész, görög matematikus, I.Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított. Legismertebb műve a Stoichea (Elemek, csaknem minden nyelvre le van fordítva) 15 könyve. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása. Az Elemek összefoglaló írásmű, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Az Elemeket a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer, a geometria axiomatikus feldolgozása tette halhatatlanná. alapfogalmak, definíciók, axiómák, tételek axiómák: a valóságot tükröző egyszerű megállapítások... Tapasztalaton alapulnak, a valóságból absztrakcióval származnak. A teljes geometria felépíthető a kimondott axiómákból logikai úton. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 4 / 125

8 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125

9 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C,..., egyenes a, b, c,..., sík α, β, γ,.... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125

10 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C,..., egyenes a, b, c,..., sík α, β, γ,.... lineáris, síkbeli, térbeli alakzatok Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125

11 Alapvető térelemek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Geometria: A tér pontjaiból álló alakzatokkal(ponthalmaz) foglalkozik. térelemek: pont, egyenes, sík Jelölés: pont A, B, C,..., egyenes a, b, c,..., sík α, β, γ,.... lineáris, síkbeli, térbeli alakzatok Két alakzat közös része: a két alakzat közös pontjaiból áll. Két alakzat egyesítése: azon pontok alkotják, melyeket a két alakzat közül legalább az egyik tartalmaz. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 5 / 125

12 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125

13 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125

14 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van, különben azonosak. Ha egy egyenes nem illeszkedik egy síkhoz, akkor legfeljebb egy közös pontjuk van. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125

15 Illeszkedés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha két térelem egyike tratalmazza a másikat, akkor a két térelem illeszkedik. Az egy egyenesre illeszkedő pontok kollineárisak, az egy síkra illeszkedők koplanárisak. Illeszkedési axiómák: I Két ponthoz egy és csak egy egyenes illeszkedik. II Ha három pont nincs egy egyenesen, akkor egy és csak egy sík illeszkedik hozzájuk. III Ha egy sík tartalmazza egy egyenes két pontját, akkor tartalmazza a teljes egyenest is. Két egyenesnek legfeljebb egy közös pontja van, különben azonosak. Ha egy egyenes nem illeszkedik egy síkhoz, akkor legfeljebb egy közös pontjuk van. legfeljebb, legalább, egy és csak egy fogalmak... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 6 / 125

16 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Az egyenest egy pont két félegyenesre bontja. A pont a két félegyenes kezdőpontja. Egy egynest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A két pont a szakasz két végpontja. A síkot egy egyenes két félsíkra bontja. A teret egy sík két féltérre vágja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 7 / 125

17 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Az egyenest egy pont két félegyenesre bontja. A pont a két félegyenes kezdőpontja. Egy egynest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. A két pont a szakasz két végpontja. A síkot egy egyenes két félsíkra bontja. A teret egy sík két féltérre vágja. IV Egy pont a rajta áthaladó egyenest két félegyenesre bontja. Az egyenes e ponton áthaladó szakaszának végpontjai más-más félegyeneshez tartoznak. Az egyenes minden más szakaszát az egyik félegyenes tartalmazza. V Egy egyenes a rajta átfektetett síkot két félsíkra bontja. Az egyenest metsző síkbeli szakasznak a végpontjai más-más félsíkhoz tartoznak. A sík minden más szakaszát legalább az egyik félsík tartalmazza. VI Egy sík a teret két féltérre bontja. A síkot metsző szakasz végpontjai más-más fáltérhez tartoznak. Minden más szakaszt legalább az egyik féltér tartalmaz. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 7 / 125

18 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125

19 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságot őríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapvető invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125

20 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságot őríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapvető invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Ha egy alakzat mozog, akkor pontjai új helyzetbe kerülnek, de lehetnek helyben maradó pontjai is. Mozgás közben az alakzat alakja nem változik. Minden mozgáshoz tartozik egy ellentétes mozgás. Ha az elmozgatott alakzatot tovább mozgatjuk, akkor az eredeti alakzatból mozgással származó alakzatokat kapunk. Két mozgás egymásutánja egy mozgást ad. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125

21 Mozgás Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Ha egy A ponttér pontjaihoz egy B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha a teret önmagára képezzük le, akkor a tér transzformációjáról beszélünk. A transzformációk jellemzésére az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságot őríznek meg, azaz mit hagynak invariánsan. Alapvető invariáns tulajdonság az egyenestartás és illeszkedéstartás. Ha egy alakzat mozog, akkor pontjai új helyzetbe kerülnek, de lehetnek helyben maradó pontjai is. Mozgás közben az alakzat alakja nem változik. Minden mozgáshoz tartozik egy ellentétes mozgás. Ha az elmozgatott alakzatot tovább mozgatjuk, akkor az eredeti alakzatból mozgással származó alakzatokat kapunk. Két mozgás egymásutánja egy mozgást ad. VII A mozgás két pont összektő szakaszát a két elmozgatott pont összekötő szakaszába, az egyenest egyenesbe, a síkot síkba visz. VIII Egy és csak egy olyan térmozgás van, amely egy adott félsíkot és ennek határán adott félegyenest megadott helyzetbe, egy adott félsíkba és ennek határán adott félegyenesbe visz át. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 8 / 125

22 Szakaszmérés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két szakasz egyenlő, ha van olyan mozgás, mely egyiket a másikba viszi. Ha két szakasz nem egyenlő, akkor az a nagyobb, amely tartalmaz a másikkal egyenlő szakaszt. Ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a szakaszokat pozitív valós számokkal mérhetjük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 9 / 125

23 Szakaszmérés Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két szakasz egyenlő, ha van olyan mozgás, mely egyiket a másikba viszi. Ha két szakasz nem egyenlő, akkor az a nagyobb, amely tartalmaz a másikkal egyenlő szakaszt. Ha egy szakaszt hosszegységnek választunk, akkor a szakaszokat pozitív valós számokkal mérhetjük. IX Egy szakaszt bármely belső pontja két olyan szakaszra bont fel, melyek hosszának összege az eredeti szakasz hossza. X Ha a hosszegység adott, akkor bármely A kezdőpontú félegyenesen egy és csak egy olyan B pont található, amelyre nézve az AB távolság egy adott pozitív valós szám. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/007 9 / 125

24 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Párhuzamos egyenesek: Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

25 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Párhuzamos egyenesek: Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele:, a nem párhuzamosság jele:. Theorem Van olyan egyenes, amely egy megadott ponton áthalad, s egy a ponton át nem haladó, megadott egyenessel párhuzamos. Bizonyítás!!! A tétel a párhuzamos létezését mondja ki, s bizonyítása szerkesztési utasítást is ad. Ha egy egyenest egy rajta kívül fekő pontra vonatkozóan tükrözünk, akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

26 Axióma Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

27 Axióma Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

28 Axióma Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy egyeneshez bármely külső ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tűnik, csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) A párhuzamossági axióma Euklidesz ötödik posztulátuma. Már Euklidesz is megkisérelte a párhuzamossági axiómát a többiből levezetni... Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

29 Szög Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen részt szögnek, vagy szögtartománynak nevezünk. A félegyenesek a szög szárai, a közös pont a szög csúcsa. A szög jele: Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

30 Szög Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen részt szögnek, vagy szögtartománynak nevezünk. A félegyenesek a szög szárai, a közös pont a szög csúcsa. A szög jele: Két szög egyenlő, ha mozgással fedésbe hozhatók. Két nem egyenlő szög közül az a nagyobb, amelyik tartalmaz azonos csúcsú, s a másikkal egyenlő szöget. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

31 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés egyenesszög szárai egy egyenest alkotnak derékszög egyenesszög fele hegyesszög derékszögnél kisebb szög tompaszög derékszögnél nagyobb, egyenesszögnél kisebb szög konvex szög egyenesszögnél kisebb szög konkáv szög egyenesszögnél nagyobb szög nullszög két szára egybeesik, s a szögtartomány szerepét ez a szár játsza teljes szög két szára egybeesik, s a szögtartomány a teljes sík Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

32 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés egyenesszög szárai egy egyenest alkotnak derékszög egyenesszög fele hegyesszög derékszögnél kisebb szög tompaszög derékszögnél nagyobb, egyenesszögnél kisebb szög konvex szög egyenesszögnél kisebb szög konkáv szög egyenesszögnél nagyobb szög nullszög két szára egybeesik, s a szögtartomány szerepét ez a szár játsza teljes szög két szára egybeesik, s a szögtartomány a teljes sík pótszögek két szög, melyek összege 90 kiegészítő szögek két szög, melyek összege 180 mellékszögek két szögtartomány, melyek együttesen egy félsíkot alkotnak csúcsszögek két konvex szögtartomány, melyek szárai páronként egymás meghosszabbításai Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

33 Alapfogalmak, ponthalmazok. Euklideszi szerkesztés Axiomatikus felépítés Körzőt és egyélű vonalzót használva, az alábbi elemi szerkesztések megengedettek: két pont összekötő egyenesének megrajzolása, két egyenes metszéspontjának meghatározása, adott távolság körzőnyílásba vétele, adott pont körül adott körzőnyílással kör rajzolása, két metsző kör metszéspontjainak meghatározása, kör és azt metsző egyenes metszéspontjainak meghatározása. Ha egy síkbeli alakzat megszerkesztése véges sok lépésben a fenti lépéseket használva elvégezhető, akkor azt euklideszi értelemben megszerkeszthetőnek nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

34 Alapfogalmak, ponthalmazok. Euklideszi szerkesztés Axiomatikus felépítés Körzőt és egyélű vonalzót használva, az alábbi elemi szerkesztések megengedettek: két pont összekötő egyenesének megrajzolása, két egyenes metszéspontjának meghatározása, adott távolság körzőnyílásba vétele, adott pont körül adott körzőnyílással kör rajzolása, két metsző kör metszéspontjainak meghatározása, kör és azt metsző egyenes metszéspontjainak meghatározása. Ha egy síkbeli alakzat megszerkesztése véges sok lépésben a fenti lépéseket használva elvégezhető, akkor azt euklideszi értelemben megszerkeszthetőnek nevezzük. Vannak euklideszi szerkesztéssel meg nem oldható feladatok. kör négyszögesítése (kvadratula) kocka megkettőzése (déloszi probléma) szögharmadolás (triszekció) szabályos hétszög szerkesztése Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

35 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Alapszerkesztések: adott szakasz felezése, adott szög felezése, adott egyenesre merőleges egyenes szerkesztése rajta kívül, illetve rajta levő pontból, adott egyenessel rá nem illeszkedő ponton át párhuzamos szerkesztése. Szerkesztési feladat megoldása: 1. vázlat készítése 2. elemzés 3. szerkesztés menete 4. szerkesztés kivitelezése (pontosság, adatok, segédvonalak, eredmény) 5. diszkusszió (megoldások száma) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

36 Mértani helyek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés A sík (tér) közös tulajdonságú pontjainak halmazát mértani helynek nevezzük. Azok és csak azok a pontok tartoznak a mértani helyhez, melyek a közös tulajdonsággal rendelkeznek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

37 Mértani helyek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés A sík (tér) közös tulajdonságú pontjainak halmazát mértani helynek nevezzük. Azok és csak azok a pontok tartoznak a mértani helyhez, melyek a közös tulajdonsággal rendelkeznek. Szerkesztési alapelem: pont, egyenes, kör. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

38 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

39 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

40 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! r nyílású körzővel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

41 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! r nyílású körzővel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, körnek nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

42 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Egy elemtől adott távolságra levő pontokat keresünk. Határozzuk meg az adott O ponttól adott r távolságra levő pontok mértani helyét! r nyílású körzővel k vonalat rajzolunk. 1. A k vonal minden pontja r távolságra van O-tól. 2. Más ilyen tulajdonságú pont nincs A sík azon pontjainak mértani helyét, melyek egy adott O ponttól adott r távolságra vannak, körnek nevezzük. külső pont, belső pont, körlemez Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

43 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestől adott d távolságra vannak! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

44 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestől adott d távolságra vannak! Az e egyenesre, annak pontjaiban merőlegeseket állítunk, s az egyenessel való metszéspontokból mindkét irányba felmérjük a d távolságot. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

45 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyek egy adott e egyenestől adott d távolságra vannak! Az e egyenesre, annak pontjaiban merőlegeseket állítunk, s az egyenessel való metszéspontokból mindkét irányba felmérjük a d távolságot. Adott egyenestől adott távolságra levő pontok mértani helye az adott egyenestől adott távolságra levő párhuzamos egyenespár. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

46 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

47 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Határozzuk meg adott k körtől adott d távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

48 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Határozzuk meg adott k körtől adott d távolságra levő pontok mértani helyét! O-tól r + d és r d távolságra levő pontok mértani helye, vagyis az r + d, illetve r d sugarú körök. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

49 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek Pont és kör távolságán a pontot a kör középpontjával összekötő egyenes körrel alkotott metszéspontjainak a ponttól való távolságai közül a nem nagyobbat értjük. Határozzuk meg adott k körtől adott d távolságra levő pontok mértani helyét! O-tól r + d és r d távolságra levő pontok mértani helye, vagyis az r + d, illetve r d sugarú körök. r > d r = d r < d r + d és r d sugarú, O középpontú körök. O pont, valamit az O középpontú 2r sugarú kör. r + d sugarú O középpontú kör. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

50 1. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyeknek egy adott P ponttól való távolsága egy adott d távolságnál 1.1 kisebb 1.2 nem nagyobb 1.3 nem kisebb 1.4 nagyobb! 2. Határozzuk meg azon pontok mértani helyét, melyeknek egy adott e egyenestől való távolsága egy adott d távolságnál 2.1 kisebb 2.2 nem nagyobb 2.3 nem kisebb 2.4 nagyobb! 3. Határozzuk meg az adott P ponton átmenő adott r sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 4. Határozzuk meg az adott e egyenest érintő adott r sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 5. Határozzuk meg adott r sugarú k kört érintő adott d sugarú körök középpontjainak mértani helyét! 6. Határozzuk meg az adott e egyenest adott P pontjában érintő körök középpontjainak mértani helyét! 7. Határozzuk Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) meg az adott k körtpraktikum adott P pontjában érintő körök2006/ / 125 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek - Feladatok

51 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Egy elemhez tartozó mértani helyek - Feladatok 1. Határozzuk meg az adott e egyenest adott P pontjában érintő körök középpontjainak mértani helyét! 2. Határozzuk meg az adott k kört adott P pontjában érintő körök középpontjainak mértani helyét! 3. Szerkesszünk adott ponton átmenő, adott egyenest érintő adott sugarú kört! 4. Szerkesszünk adott egyenest és adott kört érintő adott sugarú kört! 5. Szerkesszünk két adott kört érintő adott sugarú kört! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

52 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Két szerkesztési alapelemtől egyenlő távolságra levő pontokat keresünk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

53 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Két szerkesztési alapelemtől egyenlő távolságra levő pontokat keresünk. pont - pont pont - egyenes pont - kör egyenes - egyenes egyenes - kör kör - kör Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

54 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

55 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! szakaszfelező merőleges: az az egyenes, mely áthalad egy szakasz felezőpontján, s arra merőleges. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

56 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! szakaszfelező merőleges: az az egyenes, mely áthalad egy szakasz felezőpontján, s arra merőleges. Azon pontok mértani helye, elyek két adott ponttól egyenlő távolságra vannak, a két pont által meghatározott szakasz felező merőlegese. A szakaszfelező merőleges azon körök középpontjainak mértani helye, melyek átmennek a szakasz két végpontján. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

57 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

58 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. az egyenesek metszők 2. az egyenesek párhuzamosak Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

59 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. az egyenesek metszők 2. az egyenesek párhuzamosak szögfelező: egy szögtartomány csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő szögre vágja. Két metsző egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye a metsző egyenesek szögfelezői. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

60 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. az egyenesek metszők 2. az egyenesek párhuzamosak szögfelező: egy szögtartomány csúcsából kiinduló félegyenes, mely a szöget két egyenlő szögre vágja. Két metsző egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye a metsző egyenesek szögfelezői. Két párhuzamos egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye a két párhuzamos egyenes középpárhuzamosa. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

61 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

62 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

63 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre Adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye (ha a pont nem illeszkedik az egyenesre) parabola. Az adott pont a parabola fókusza, az adott egyenes a direktrixe. (Azon körök középpontjainak mértani helyeként is értelmezhetők, melyek egy adott ponton átmennek és egy adott egyenest érintenek.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

64 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. a pont nem illeszkedik az egyenesre 2. a pont illeszkedik az egyenesre Adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye (ha a pont nem illeszkedik az egyenesre) parabola. Az adott pont a parabola fókusza, az adott egyenes a direktrixe. (Azon körök középpontjainak mértani helyeként is értelmezhetők, melyek egy adott ponton átmennek és egy adott egyenest érintenek.) Adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távol levő pontok mértani helye (ha a pont illeszkedik az egyenesre) a pontban az egyenesre állított merőleges egyenes. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

65 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

66 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az adott pont a kör belső pontja. 2. Az adott pont a körre illeszkedik. 3. Az adott pont a kör külső pontja. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

67 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott ponttól és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az adott pont a kör belső pontja. 2. Az adott pont a körre illeszkedik. 3. Az adott pont a kör külső pontja. 1. A mértani hely egy ellipszis. Az O és P pontok az ellipszis fókuszai. Az ellipszis azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört belülről érintik. 2. A mértani hely az OP félegyenes. 3. A mértani hely egy hiperbolaág. Az egyik hiperbolaág azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört kivülről, a másik hiperbolaág azon körök középpontjainak mértani helye melyek átmennek egy adott ponton, s az adott kört tartalmazva érintik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

68 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott egyenestől és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

69 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott egyenestől és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja. 2. Az egyenes érinti a kört. 3. Az egyenes és a kör metszi egymást. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

70 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg adott egyenestől és adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! 1. Az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja. 2. Az egyenes érinti a kört. 3. Az egyenes és a kör metszi egymást. 1. A feladat visszavezethető adott ponttól és adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyére. Az adott mértani hely egy parabola. A parabola azon körök középpontjainak mértani helye, melyek érintenek egy adott kört és egy adott egyenest. 2. A mértani hely egy parabola és az OE (E az érintési pont) félegyenes pontjai. 3. A mértani hely két parabola. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

71 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

72 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! A két kör NEM egyenlő sugarú. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

73 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek Határozzuk meg két adott körtől egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét! A két kör NEM egyenlő sugarú. 1. A két kör nem metszik és nem érintik egymást. 2. A két kör kívülről érintik egymást. 3. A két kör metszi egymást. 4. Az egyik kör belülről érinti a másikat. 5. Az egyik kör tartalmazza a másikat, de nem koncentrikusak. 6. A két kör koncentrikus. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

74 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek 1. A mértani hely egy hiperbolaág. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye két hiperbola. 2. A mértani hely egy hiperbolaág és az O 1 O 2 szakasz. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye egy hiperbola és az O 1 O 2 egyenes, kivéve az O 1, O 2, E pontokat. 3. A mértani hely egy hiperbolaág és egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye egy hiperbola és az ellipszis. 4. A mértani hely az O 2 E félegyenes és egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye egy ellipszis és az O 1 O 2 egyenes, kivéve az O 1, O 2, E pontokat. 5. A mértani hely egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye két ellipszis. 6. A mértani hely egy r 1+r 2 2 sugarú, az adott körökkel koncentrikus kör. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye két kör: r 1+r 2 2, r 1 r 2 2. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

75 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlő sugarú. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

76 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlő sugarú. 1. A két körnek nincs közös pontja. 2. A két kör érinti egymást. 3. A két kör metszi egymást. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

77 Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Két elemhez tartozó mértani helyek A két kör egyenlő sugarú. 1. A két körnek nincs közös pontja. 2. A két kör érinti egymást. 3. A két kör metszi egymást. 1. A mértani hely az O 1 O 2 szakasz felezőmerőlegese. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye a felezőmerőleges és egy hiperbola. 2. A mértani hely az O 1 O 2 szakasz felezőmerőlegese és az O 1 O 2 szakasz. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye a felezőmerőleges és az O 1 O 2 egyenes. 3. A mértani hely az O 1 O 2 szakasz felezőmerőlegese és egy ellipszis. A két kört érintő körök középpontjainak mértani helye a felezőmerőleges és az ellipszis, kivéve a körök metszéspontjait. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

78 Feladatok Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

79 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Egy térelemhez tartotó mértani helyek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

80 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Egy térelemhez tartotó mértani helyek. Adott ponttól adott távolságra levő pontok mértnai helye a térnem egy gömb. Adott egyenestől adott távolságra levő pontok halmaza a térben egy hengerfelület. Adott síktól adott távolságra levő pontok halmaza a térben a síkkal párhuzamos, s attól adott távolságra levő párhuzamos síkpár. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

81 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Két térelemhez tartozó mértani helyek. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

82 Alapfogalmak, ponthalmazok. Térbeli mértani helyek. Axiomatikus felépítés Két térelemhez tartozó mértani helyek. 0.2cm Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a térben a két pontot összekötő szakasz felezőmerőleges síkja. Két metsző egyenestől egyenlő távol levő pontok halmaza a térben az egyenesek által meghatározott síkra merőleges, az egyenesek szögfelezőire illeszkedő síkok. Két metsző síktól egyenlő távol levő pontok halmaza a térben a síkok metszésvonalára illeszkedő szögfelező síkok. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

83 Outline Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

84 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Kúpszelet: azon P pontok mértani helye, amelyeknek egy rögzített O ponttól mért OP távolsága egy rögzített HX egyenestől való PK távolságának ɛ-szorosa, ahol az ɛ pozitív állandó. O HX ɛ ɛ < 1 ellipszis ɛ = 1 parabola ɛ > 1 hiperbola fókusz vezéregyenes, direktrix excentricitás Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

85 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Egy kúpfelületet egy síkkal elmetszve különböző alakzatokat kaphatunk. A kúp és a sík helyzetétől függően többféle lehetőség állhat elő. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

86 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Egy kúpfelületet egy síkkal elmetszve különböző alakzatokat kaphatunk. A kúp és a sík helyzetétől függően többféle lehetőség állhat elő. parabola: a sík párhuzamos egy olyan síkkal, amely a kúpot (egy alkotójában) érinti hiperbola: a sík két alkotóval párhuzamos ellipszis: minden alkotót metsz, de nem merőleges a tengelyre kör: a sík merőleges a tengelyre pont metsző egyenespár (másodfokú egyenlettel való kapcsolat) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

87 Kör Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Definition Adott ponttól adott távolságra lévő pontok mértani helye a síkban. Az adott pont a kör középpontja. A kör középpontjának és a kör pontjainak távolsága a kör sugara (r). A sugár kétszerese a kör átmérőjével egyenlő. Adott kör középpontját a következőképpen szerkeszthetjük meg: Definition (körcikk) Egy kör két sugara és az őket összekötő ív által határolt síkidom. Definition (körszelet) Egy körív és a hozzátartozó húr által határolt síkidom. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

88 Kör Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Theorem A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 közös pontja van aszerint, hogy a középpontnak az egyenestől való távolsága a kör sugaránál nagyobb, azzal egyenlő, vagy annál kisebb. szelő, húr, átmérő, középponti szög, körcikk, körszelet, körszelet magassága Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

89 Érintő Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) Theorem A kör bármely pontjában egyetlen érintő húzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

90 Érintő Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest érintőnek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.) Theorem A kör bármely pontjában egyetlen érintő húzható a körhöz, s ez merőleges a ponthoz vezető sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög Theorem Egy a körön kivül levő pontból a körhöz vont két érintőn e pont az érintési pontokkal együtt két egyenlő szakaszt határoz meg. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

91 Húr Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

92 Húr Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor vagy egyenlők a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Theorem Egy kör átmérője minden rá merőleges húr felezőpontját tartalmazza, meghosszabbításai tartalmazzák az ilyen húr végpontjaiban vont érintők metszéspontját, végpontjai pedig a húrokkal párhuzamos érintők érintési pontjai. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

93 Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Középponti és kerületi szögek A kör két közös végpontú húrja által alkotott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek mondjuk azt a konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintő félegyenes alkot. Theorem A kerületi szög kétszerese egyenlő az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. Minden átmérőn nyugvó kerületi szög derékszög. Theorem Egy kör egybevágó körívein egyenlő kerületi szögek nyugszanak. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

94 Látószög Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

95 Látószög Alapfogalmak, ponthalmazok. Kúpszeletek Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögről mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk. Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyből egy szakasz megadott szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összekötő, a szakaszra vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedő két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez. Theorem (Thales) A sík azon pontjainak mértani helye, amelyekből egy megadott szakasz derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérőhöz tartozó kör, elhagyva belőle a szakasz végpontjait. (előző tétel speciális esete) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

96 Outline Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Alapfogalmak, ponthalmazok. Axiomatikus felépítés Kúpszeletek Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Hasonlósági transzformációk Síkgeometriai alakzatok. Háromszögek Négyszögek Térbeli alakzatok. Kerület, terület, térfogat, felszín. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

97 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

98 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

99 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Invariáns pont (fixpont, kettőspont): P és P egybeesik. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

100 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Invariáns pont (fixpont, kettőspont): P és P egybeesik. Mozgás (egybevágósági transzformáció, izometria): Távolságtartó leképezés. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

101 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Transzformáció (leképezés): A sík (tér) pontjai közötti P P kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. (Olyan szabály, amely (P, P ) pontpárokat képez úgy, hogy minden párban megkülönbözteti az első és második tagot, továbbá minden pont pontosan egy párban első tagként (tárgypont), s pontosan egy párban második pontként (képpont) lép fel.) Invariáns pont (fixpont, kettőspont): P és P egybeesik. Mozgás (egybevágósági transzformáció, izometria): Távolságtartó leképezés. Azonosság (identitás): Olyan transzformáció, mely minden pontot önmagába visz át. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

102 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformáció Mozgások, egybevágósági transzformációk A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

103 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformáció Mozgások, egybevágósági transzformációk A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba viszi át. (Egyik alakzat tetszőleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelő két pontjának távolságával.) Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

104 Geometriai transzformációk. Egybevágósági transzformáció Mozgások, egybevágósági transzformációk A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba viszi át. (Egyik alakzat tetszőleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelő két pontjának távolságával.) A mozgásokat és türözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését euklideszi vagy egybevágósági transzformációknak nevezzük. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

105 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Több transzformáció egymás utáni alkalmazásának eredményét a transzformációk szorzatának nevezzük. Ha két transzformáció szorzata az azonosság, akkor azokat egymás inverzeinek mondjuk. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

106 Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Több transzformáció egymás utáni alkalmazásának eredményét a transzformációk szorzatának nevezzük. Ha két transzformáció szorzata az azonosság, akkor azokat egymás inverzeinek mondjuk. Azt mondjuk, hogy a transzformációk egy halmaza csoportot alkot, ha a halmaz tartalmazza mindegyik transzformáció inverzét bármely két transzformáció szorzatát. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

107 Tükrözés Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Tükrözés: Olyan mozgás, melynek fixpontjai egy egyenesen (síkon) helyezkednek el. A helybenmaradó egyenes (sík) a tükrözés tengelye (síkja). Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

108 Eltolás Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Eltolás (transzláció): Olyan mozgás, mely egy pontot sem hagy fixen. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

109 Eltolás Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Eltolás (transzláció): Olyan mozgás, mely egy pontot sem hagy fixen. Theorem Az eltolásra igazak az alábbi állítások: Két eltolás szorzata eltolás. Két egymással párhuzamos tengelyre történő tükrözés szorzata eltolás, melynek iránya merőleges a tengelyekre, távolsága pedig a tengelyek távolságának kétszerese. Az eltolások kommutatívak. Egy félfordulat és egy eltolás szorzata félfordulat. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

110 Csúsztatva tükrözés Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

111 Forgatás Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125

112 Szimmetria Geometriai transzformációk. Mozgások, egybevágósági transzformációk Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha az alakzatsíkjában létezik olyan tengely, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. Egy alakzat középpontosan szimmetrikus, ha létezik olyan pont, amelyre vonatkozó tükrözésnél az alakzat képe önmaga. Dr. Szilágyi Ibolya (EKF) Praktikum 2006/ / 125