Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként fogható fel. Az

Átírás

1 Az euklideszi geometria axiomatikus felépítése 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének alapelvei Minden matematikai elmélet fogalmak és állítások gyűjteményeként fogható fel. Az elmélet felépítése során a felhasznált fogalmakat korábbi fogalmak segítségével kell körülírni (más szóval definiálni), a kimondott állításokat pedig be kell bizonyítani. Állításon tehát egy olyan kijelentést értünk, amely az adott elmélet fogalmaival kapcsolatos összefüggést (vagy összefüggéseket) fogalmaz meg, és amelyet korábban igazolt állításokból logikai úton le lehet vezetni. Már az ókori görögök rájöttek arra, hogy egy önálló elmélet egzakt felépítéséhez szükség van olyan kijelentésekre (úgynevezett alapigazságokra), amelyek az elmélet alapját képezik, és amelyeket emiatt nem bizonyítunk. Ezeket nevezzük az elmélet axiómáinak. Az axiómákon tehát azokat az elmélet alapjául szolgáló állításokat értjük, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. A bennük szereplő fogalmak egy részét külön nem értelmezzük, mivel ezeket az axiómák által leírt összefüggések (relációk) jellemzik. Az axiómákban szereplő azon fogalmakat, amelyeket külön nem definiálunk, primitív fogalmaknak nevezzük. Az axiómák együttesen az elmélet axiómarendszerét képezik. Amennyiben rögzítettük az axiómarendszert, akkor az elméletben szereplő összes fogalmat a primitív fogalmakat felhasználva kell értelmezni (más szóval definiálni), az állításokat pedig az axiómákból kell levezetni. Elvárások egy axiómarendszerrel szemben: ellentmondásmentesség, függetlenség Egy elmélet axiómarendszere akkor ellentmondásos, ha meg lehet adni egy olyan kijelentést (állítást), hogy azt és annak tagadását az axiómákból egyaránt le lehet vezetni. Az ellentmondásmentesség ennek az ellenkezőjét jelenti, tehát azt, hogy egy kijelentést és annak tagadását semmiképp sem lehet az axiómákból kiindulva bizonyítani. Bármely tudományos elmélet axiómarendszerével szemben alapvető követelményként támasztják az ellentmondásmentesség teljesülését. Egy axiómarendszert függetlennek mondunk, ha bármelyik axiómát is vesszük, azt a többi axiómából nem lehet levezetni. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy egyik axióma sem következménye a többinek. Egy elmélet axiómarendszerének kidolgozásánál általában törekedni szoktak a függetlenség elérésére. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a függetlenség elvének feladásával olyan axiómarendszert lehet kialakítani, amelyre alapozva az elmélet gyorsabban és hatékonyabban felépíthető. Egy elmélet axiómarendszere akkor teljes, ha az elmélet kapcsán felvethető bármely kijelentésről (állításról) el lehet dönteni annak igaz vagy hamis voltát. K. Gödel osztrák matematikus az 1930 as években bebizonyította, hogy ha egy axiómarendszer eleget tesz bizonyos minimális feltételeknek, akkor azzal kapcsolatosan mindig lehet találni olyan állítást, amelynek sem igaz voltát, sem pedig hamis voltát nem lehet az axiómákból levezetni. Ily módon a teljesség a geometriai axiómarendszerek esetében sem teljesül. Fontos viszont megjegyezni, hogy ezek az el nem dönthető állítások általában mesterkéltek. Az ellentmondásmentesség mellett minden tudományos elmélettől elvárják még azt is, hogy valamire alkalmazható legyen a gyakorlatban. Egy elmélet alkalmazhatóságának persze lehetnek (és általában vannak) korlátai. Az euklideszi geometria állításai, összefüggései 1

2 jól alkalmazhatóak a műszaki tudományokban, különösen a gépészetben és az építészetben adódó feladatok megoldására. Az asztrofizikai vizsgálatok és számítások esetében azonban az euklideszi geometria eszközei már nem elégségesek. A geometria történeti vonatkozásai A geometria a legrégebbi matematikai tudomány, amelynek keretei az ókorban alakultak ki. Az ókori társadalmakban a mezőgazdasági termelés megszervezéséhez szükségessé vált a földterületek nagyságának jellemzése, vagyis a földmérés. Emellett az építészetben és a képzőművészetben fellépő gyakorlati problémák is igényelték a különféle térbeli alakzatok tulajdonságainak vizsgálatát, ami egy tudományos elmélet, a geometria kialakulásához vezetett. A geometria szó egyébként görög eredetű, magyarra fordítva földmérést jelent. A köznapi szóhasználatban manapság azt szokták mondani, hogy a geometria a térbeli alakzatok (ponthalmazok) tulajdonságaival foglalkozó tudomány. Az emberiség történetében az első tudományos igényű elmélet kidolgozójának a görög Euklideszt tekintik, aki az i.e. 325 körül írt Elemek című művében az akkori geometriai ismereteknek egy rendszeres összefoglalását adta meg. Euklidesz felismerte, hogy a geometria elméletének felépítéséhez is szükség van alapkövekre, vagyis olyan kiindulópontként szolgáló állításokra, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. Az általa megadott axiómákon alapuló matematikai elméletet nevezik euklideszi geometriának. Euklidesz alapigazságai között szerepel egy olyan axióma is, amely egyenértékű az alábbi kijelentéssel: Ha egy síkban adott egy egyenes és egy hozzá nem illeszkedő pont, akkor a síkban csak egy olyan egyenes van, amely áthalad az adott ponton és nem metszi az adott egyenest. Ezt a kijelentést nevezik az euklideszi geometria Párhuzamossági axiómájának. (Két egyenest akkor mondunk párhuzamosnak, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk.) A fenti axióma tehát kimondja, hogy egy adott ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy megadott egyenessel párhuzamos. A Párhuzamossági axiómával kapcsolatban meg kell említenünk, hogy azt Euklidesz egyes kortársai és a későbbi korok egyes matematikusai is nagyon erős összefüggésnek tartották, és axiómaként való alkalmazását emiatt kritizálták. Az ókorban és a középkorban a geometriai vizsgálatok során főként szintetikus (más szóval elemi) eszközöket használtak. A geometriai tárgyalások számára egy új és igen hatékony módszert adott R. Descartes francia matematikus, aki az 1637 ben kiadott Geometria című könyvében már alkalmazta a síkbeli koordináta rendszert, ami lehetővé tette a nevezetes síkbeli alakzatok egyenletekkel történő leírását. Ez vezetett az analitikus geometria kialakulásához, amely a geometriai problémák tárgyalásához az algebra és az analízis eszközeit is felhasználja. A XVIII. században a geometriai vizsgálatokban egyre inkább előtérbe kerültek az analitikus módszerek, továbbá fontos szerephez jutott a Párhuzamossági axióma függetlenségének kérdése. Egyes matematikusokban az az ötlet támadt, hogy a párhuzamosságra vonatkozó axiómát a többi axiómából már le lehet vezetni. Fontos megjegyeznünk, hogy a XIX. század közepéig a geometriát művelői úgy tekintették, mint a bennünket körülvevő fizikai tér jól meghatározott tulajdonságait leíró tudományt, melynek összefüggéseit (állításait) a tapasztalat révén ellenőrizni lehet. Ennek következtében a geometriai tárgyalások során egyes összefüggéseket bizonyítás nélkül, 2

3 csupán a szemléletre hivatkozva alkalmaztak. Ugyanakkor, a tapasztalatra támaszkodó felfogás fölösleges kötöttségeket is okozott. A XIX. században a geometria terén is döntő előrelépések történtek. Az 1820 as évek végén Bolyai János magyar és N. I. Lobacsevszkij orosz matematikusok vizsgálataik során egyidejűleg arra az eredményre jutottak, hogy amennyiben a Párhuzamossági axióma helyett annak tagadását veszik alapigazságként és a többi axiómát meghagyják, akkor ki tudnak dolgozni egy olyan elméletet, amelyben nincs ellentmondás. Ebből pedig már adódik, hogy a Párhuzamossági axióma nem lehet következménye az euklideszi geometria többi axiómájának. Bolyai és Lobacsevszkij nemcsak azt igazolták, hogy a Párhuzamossági axióma a többi axiómától független, hanem rámutattak arra, hogy az euklideszi geometrián kívül más geometriai elméletek is kidolgozhatóak. A Párhuzamossági axióma tagadásával felépített geometriát nevezik hiperbolikus geometriának (vagy más szóval Bolyai Lobacsevszkij féle geometriának). Ha a Párhuzamossági axiómát elhagyjuk az euklideszi geometria axiómái közül, akkor a visszamaradt axiómákra alapozott matematikai elméletet abszolút geometriának mondjuk. Ezen meghatározásból következik, hogy az abszolút geometria eredményei mind az euklideszi geometriában, mind pedig a hiperbolikus geometriában érvényben maradnak. A XIX. század második felében jöttek rá arra, hogy az axiómák között szükség van olyan kijelentésekre is, amelyek az elválasztási (rendezési) relációkkal kapcsolatosak. A korábbi vizsgálatoknál ugyanis az elválasztási kérdések nem voltak megfelelően tisztázottak. M. Pasch német matematikus adott egy olyan szabatos axiómát, amely azt eredményezi, hogy egy egyenes az őt tartalmazó síkot mindig két félsíkra vágja, illetve egy sík a teret mindig két féltérre osztja. F. Klein német matematikus irányította a figyelmet a geometriákban fellépő transzformációcsoportok tanulmányozásának fontosságára. Egy 1872 ben tartott előadásában, amely az erlangeni program néven vált közismertté, Klein a geometriai elméletek egyik alapvető feladataként jelölte meg a különféle transzformációcsoportokkal szemben invariáns (vagyis a transzformációk által meg nem változtatott) fogalmak és tulajdonságok meghatározását. A transzformációcsoportok kiemelt szerepe egyben a geometria és az algebra szoros kapcsolatát mutatja. Az euklideszi geometria első olyan axiómarendszerét, amely teljes mértékben megfelel a modern tudományos igényeknek, D. Hilbert német matematikus adta meg 1899 ben A geometria alapjai című könyvében. Az általa leírt axiómákat tartalmuk alapján csoportokba lehet sorolni, így a Párhuzamossági axióma mellett szokás beszélni az illeszkedési, a rendezési, az egybevágósági és a folytonossági axiómákról. A Strohmajer János által írt A geometria alapjai című jegyzet lényegében a Hilbert féle axiómarendszert veszi a tárgyalás alapjául. Az euklideszi geometriának a Hilbert féle axiómákon alapuló felépítése matematikailag teljesen korrekt módon elvégezhető, viszont nagyon időigényes. Emiatt az 1930 as években G. D. Birkhoff amerikai matematikus javasolt egy igen erős axiómat, amely felteszi, hogy a téren adva van egy távolságfüggvény, továbbá az egyenesek pontjai és a valós számtest elemei között olyan bijektív megfeleltetéseket (koordinátázásokat) lehet létesíteni, ahol bármely két pontnál a koordináták különbségének az abszolút értéke megegyezik a két 3

4 pont távolságával. A szakirodalomban ezt nevezik Birkhoff féle vonalzó axiómának. A Birkhoff féle vonalzó axióma erősségét mutatja, hogy a Hilbert féle rendezési és egybevágósági axiómák közül többet is helyettesít, és Hilbert mindkét folytonossági axiómája ugyancsak következik belőle. További fontos geometriai elméletek Az euklideszi geometria, az abszolút geometria és a hiperbolikus geometria mellett feltétlenül meg kell még említenünk a projektív geometriát, mint egy további klasszikus geometriai elméletet. A képzőművészetben nagy szükség volt a centrális vetítés tulajdonságainak tanulmányozására, és ennek során fejlődött ki a projektív geometria. Kiderült, hogy a centrális vetítések vizsgálatában egy hasznos módszer, ha az euklideszi teret kibővítjük a párhuzamos egyenesosztályokhoz rendelt ún. ideális pontokkal. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a projektív geometria felépíthető önálló matematikai elméletként is egy megfelelő axiómarendszert véve alapul. A XVIII. században már világossá vált, hogy az euklideszi tér görbéinek és felületeinek analitikus vizsgálata során hatékonyan lehet alkalmazni az analízis eredményeit. Ez a felismerés vezetett a differenciálgeometria kialakulásához. A differenciálgeometria teljes mértékben a topológia, az analízis és az algebra által kidolgozott fogalmakra építkezik, ezek felhasználásával definiálja saját fogalmait. Ily módon a differenciálgeometria esetében nincs szükség az axiomatikus felépítésre. A geometriai modellek szerepe Egy matematikai elmélet axiómarendszerében szereplő állítások az elmélet alapelemeire vonatkozó relációkat (összefüggéseket) fogalmaznak meg. Amennyiben megadunk olyan konkrét objektumokat és közöttük olyan világosan leírt kapcsolatokat (relációkat), amelyekre teljesülnek az axiómarendszer kijelentései, akkor ezen objektumokat kapcsolataikkal együtt az axiómarendszer egyik modelljének mondjuk. A modell tehát nem más, mint az elmélet egyik realizálása. Egy elméletnek természetesen sokféle modellje lehet. Fontos viszont kiemelnünk, hogy az elmélet bármely (az axiómákból levezetett) állításának az összes modellben igaznak kell lennie. Amennyiben egy elmélet ellentmondásos, akkor ahhoz nem lehet korrekt modellt rendelni, mivel az ellentmondásnak az elmélet modelljében is meg kell mutatkoznia. Ily módon a modell segítségével nemcsak az elmélet állításainak ellenőrzésére nyílik mód, hanem az axiómarendszer ellentmondásmentességének igazolására is. Az euklideszi geometria legfontosabb modellje az R valós számtestre épített analitikus modell. Mivel a valós számokat felhasználva egy modellt tudunk adni az euklideszi geometriára, azt mondhatjuk, hogy amennyiben a valós számok axiómarendszere ellentmondásmentes, akkor az euklideszi geometria axiómarendszere is ellentmondásmentes. A hiperbolikus geometriának több modelljét is meg lehet konstruálni az euklideszi geometriában (illetve az euklideszi térben). Közülük legismertebb a Cayley Klein féle gömbmodell, amely egyben a hiperbolikus geometria elsőként felfedezett modellje. Annak igazolásához, hogy a Cayley Klein féle gömbmodellben teljesülnek az abszolút geometria axiómái alkalmaznunk kell a a projektív geometria alapvető fogalmait és tételeit is. 4

5 2) Az euklideszi geometria metrikus axiómarendszere Az euklideszi geometria, mint az összes matematikai elmélet, fogalmak és állítások gyűjteménye. Axiómákon azokat az elmélet alapjául szolgáló állításokat értjük, amelyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. Az alábbi axiómarendszer leírásánál majd felhasználjuk a halmazelmélet alapvető fogalmait. Emellett alkalmazunk a valós számtesthez kapcsolódó fogalmakat is. Axiómarendszerünk leírásában fontos szerepet játszik majd a távolságfüggvény, azaz a metrika. A Hilbert féle illeszkedési axiómák Kiindulási alapként legyen adva egy X nemüres halmaz, amelyet az összes térbeli pont halmazának nevezünk. Az X elemeit pontoknak, részhalmazait pedig ponthalmazoknak vagy alakzatoknak mondjuk. Az alakzatok között ki vannak tüntetve bizonyos ponthalmazok, amelyeket egyenesnek vagy síknak nevezünk. A továbbiakban jelölje E az egyenesek halmazát, és jelölje S a síkok halmazát. A pontokat, az egyeneseket és a síkokat egyaránt térelemeknek nevezzük. A térelemek egymáshoz való illeszkedését a tartalmazás alapján értelmezzük az alábbiak szerint. Azt mondjuk, hogy egy A (A X) pont illeszkedik egy h (h E) egyeneshez, ha az A eleme a h nak. Egy B pontról azt mondjuk, hogy az illeszkedik egy σ (σ S) síkhoz, ha B az egyik eleme σ nak. Egy g egyenesről azt mondjuk, hogy az illeszkedik egy α síkhoz, ha a g ponthalmaz egy részhalmaza az α nak. Véges sok adott pontról akkor mondjuk, hogy azok kollineárisak (illetve komplanárisak), ha van olyan egyenes (illetve ha van olyan sík), amelyhez a pontok mindegyike illeszkedik. A továbbiakban feltesszük, hogy a térelemek illeszkedésére vonatkozóan teljesül az alábbi hat axióma. (IA1) Bármely két ponthoz egy és csakis egy egyenes illeszkedik. (IA2) Minden síkhoz illeszkedik legalább három nem kollineáris pont. (IA3) Bármely három nem kollineáris ponthoz egy és csakis egy sík illeszkedik. (IA4) Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkhoz, akkor az egyenes is illeszkedik a síkhoz. (IA5) Ha két síknak van egy közös pontja, akkor van további közös pontjuk is. (IA6) Létezik négy nem kollineáris és nem komplanáris pont. A továbbiakban az A, B (A B) pontokhoz illeszkedő egyenest A, B fogja jelölni. Az illeszkedési axiómák alapján már igazolni tudjuk, hogy ha két síknak van egy közös pontja, akkor a két síknak (mint két ponthalmaznak) a metszete egy egyenes. A Birkhoff féle vonalzó axióma A következő axióma kimondásához szükségünk van az R valós számtest és a bijektív leképezés (rövidebben a bijekció) fogalmára is. Legyen adott egy d : X X R valós függvény, melyet az X téren vett távolságfüggvénynek mondunk. Tegyük fel, hogy ezen d függvénnyel teljesül az alábbi kijelentés. 5

6 (BVA) Tetszőleges g egyeneshez létezik egy ξ : g R bijekció, amelyre fennáll ξ(a) ξ(b) = d(a, B) bármely a g hez illeszkedő A, B pontok esetén. A fentiek szerint egy tetszőleges g egyenes pontjai és az R valós számtest elemei között egy távolságtartó bijektív megfeleltetés létesíthető. Emiatt a (BVA) kijelentést, amelynek alkalmazását G. D. Birkhoff amerikai matematikus javasolta, a Birkhoff féle vonalzó axiómának szokás mondani. A ξ bijektív leképezést a g egyenes egyik koordinátázásának mondjuk. Tetszőleges A, B X pontok esetén a d(a, B) nemnegatív valós számot az A, B pontok távolságának nevezzük. Evidens, hogy a d függvényre fennáll d(a, B) = d(b, A) és d(a, A) = 0. A (BVA) axiómából azonnal adódik, hogy a tér bármely egyenesének (és bármely síkjának) végtelen sok pontja van. Ha két (egymástól különböző) egyenesnek van egy közös pontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes metszi egymást. Egy síkról és egy egyenesről akkor mondjuk, hogy metszik egymást, ha pontosan egy közös pontjuk van. 1. Definíció. Az (X, E, S, d) négyest egy Birkhoff féle térnek mondjuk, ha teljesülnek az (IA1), (IA2), (IA3), (IA4), (IA5), (IA6) és (BVA) axiómák. A Birkhoff féle térben a d távolságfüggvény (vagy más szóval metrika) alapján értelmezni tudjuk a ponthármasokra vonatkozó elválasztási relációt. 2. Definíció. Tekintsük a térben az A, B, C pontokat. Azt mondjuk, hogy a C pont az A és a B pontok között van, ha az A, B, C pontok egyazon egyenes különböző pontjai és fennáll d(a, C) + d(c, B) = d(a, B). A fenti feltételek teljesülése esetén azt is mondjuk, hogy a C pont elválasztja az A és B pontokat. A (BVA) axiómából következik, hogy egy egyenes három pontja közül pontosan egy van a másik kettő között. Az elválasztás (vagyis a között van reláció) alapján már definiálni lehet a két végpontja által meghatározott szakaszt. 3. Definíció. Legyenek A és B különböző pontok. Az A és B végpontokkal meghatározott szakaszon az alakzatot értjük. AB = { P A, B P elválasztja az A, B pontokat } { A, B } Az AB szakasznak a két végponttól különböző pontjait belső pontoknak nevezzük. A d(a, B) pozitív számot mondjuk az AB szakasz hosszának. Az AB szakasz hosszát a továbbiakban majd AB jelöli. Tetszőleges A X pont esetén be lehet vezetni az AA = {A} pontszakasz fogalmát is. Célszerű megjegyeznünk, hogy a pontszakasznak nincs belső pontja. Értelmezni lehet a kezdőpontjával és egy további pontjával meghatározott félegyenest. 4. Definíció. Az A kezdőpontú és a B (B A) pontot tartalmazó félegyenesen az alakzatot értjük. [ A, B = { P A, B A nem választja el a B, P pontokat } 6

7 A Pasch féle rendezési axióma Ha a Birkhoff féle térben egy egyenesnek és egy szakasznak egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes metszi a szakaszt. Definiálni tudjuk a három (nem kollineáris) csúcsponttal meghatározott háromszögvonalat is, mint a csúcspontokat összekötő három szakasz unióját. A szakaszokat a háromszög oldalainak nevezzük. Legyenek adva az A, B, C nem kollineáris pontok. A fent leírtaknak megfelelően az általuk, mint csúcspontokkal, meghatározott háromszögvonalon (rövidebben háromszögön) az ABC = AB BC CA alakzatot értjük. Az alábbi axiómát a Pasch féle rendezési axiómának szokás nevezni. (PRA) Ha adott egy háromszögvonal és annak síkjában egy egyenes, amely nem megy át a háromszög egyik csúcspontján sem és metszi a háromszög egyik oldalát, akkor az egyenes metszi a háromszögvonal még egy oldalát. Fontos itt megjegyeznünk, hogy vannak olyan Birkhoff féle terek, amelyekben nem teljesül a (PRA) axióma. 5. Definíció. Egy (X, E, S, d) Birkhoff féle teret rendezettnek mondunk, ha ezen térben teljesül a (PRA) axióma. A fenti (PRA) axióma alapján tudjuk igazolni, hogy egy egyenes a rajta áthaladó síkot két félsíkra osztja fel. Ehhez persze előbb meg kell adnunk a félsík fogalmát. Tegyük fel a továbbiakban, hogy az (X, E, S, d) négyes egy rendezett Birkhoff féle tér. Akkor mondjuk, hogy az e egyenes elválasztja az A, B pontokat, ha e egy belső pontjában metszi az AB szakaszt. 6. Definíció. Legyen adott egy e egyenes és egy arra nem illeszkedő A pont. Az e egyenest és az A pontot tartalmazó síkot jelölje σ. Az e egyenessel határolt és az A pontot tartalmazó félsíkon az alakzatot értjük. [ e, A = { P σ e nem választja el az A, P pontokat } A fenti definíciónak megfelelően lehet értelmezni a féltér fogalmát. Akkor mondjuk, hogy a σ sík elválasztja az A, B pontokat, ha σ egy belső pontjában metszi az AB szakaszt. 7. Definíció. Legyen adott egy σ sík és egy arra nem illeszkedő A pont. A σ síkkal határolt és az A pontot tartalmazó féltéren a alakzatot értjük. [ σ, A = { P X σ nem választja el az A, P pontokat } Mint ismeretes, egy K (K X) ponthalmazt konvexnek mondunk, ha tetszőleges A, B K pontok esetén AB K teljesül. Könnyen be lehet látni, hogy a félegyenesek, a félsíkok és a félterek konvex alakzatok. A további axiómák kimondásához szükségünk van a szögvonal fogalmára. 8. Definíció. Legyenek adva az O, A, B (O A, O B) pontok. Az AOB szögvonalon az [ O, A és [ O, B félegyenesek unióját értjük. Ez esetben az O pontot a szögvonal csúcspontjának, a két félegyenest pedig a szögvonal szárainak mondjuk. 7

8 9. Definíció. Legyen adva az O, A, B nem kollineáris pontokkal meghatározott AOB szögvonal. Tekintsük a szárakat tartalmazó a = O, A és b = O, B egyeneseket. Az [ a, B [ b, A alakzatot a szögvonalhoz tartozó konvex szögtartománynak (vagy rövidebben szögnek) nevezzük. Az AOB szögvonalhoz tartozó konvex szögtartományt is az AOB szimbólummal fogjuk jelölni. Legyenek adva az A, B, C nem kollineáris pontok. Tekintsük az a = B, C, b = C, A és c = A, B egyeneseket. Az A, B, C csúcspontokkal meghatározott háromszöglemezen (rövidebben háromszögön) az ABC = [ a, A [ b, B [ c, C alakzatot értjük. A rendezett Birkhoff féle sík értelmezése Legyen adva egy Y nemüres halmaz, amelyet az összes síkbeli pont halmazának nevezünk. Az Y elemeit pontoknak, részhalmazait pedig ponthalmazoknak vagy alakzatoknak mondjuk. Az alakzatok között ki vannak tüntetve bizonyos ponthalmazok, amelyeket egyenesnek nevezünk. A továbbiakban jelölje E az egyenesek halmazát. A pontok és az egyenesek egymáshoz való illeszkedését a tartalmazás alapján értelmezzük. Ezen kívül legyen adott egy d : Y Y R valós függvény, melyet az Y síkon vett távolságfüggvénynek (vagy metrikának) mondunk. 10. Definíció. Az (Y, E, d) hármast egy Birkhoff féle rendezett síknak mondjuk, amennyiben teljesül az alábbi négy axióma. (SIA1) Bármely két ponthoz egy és csakis egy egyenes illeszkedik. (SIA2) Létezik három nem kollineáris pont. (BVA) Tetszőleges g egyeneshez létezik egy ξ : g R bijekció, amelyre fennáll ξ(a) ξ(b) = d(a, B) bármely a g hez illeszkedő A, B pontok esetén. (SPRA) Ha adott egy háromszögvonal és egy egyenes, amely nem megy át a háromszög egyik csúcspontján sem és metszi a háromszög egyik oldalát, akkor az egyenes metszi a háromszögvonal még egy oldalát. Vegyünk egy (X, E, S, d) rendezett Birkhoff féle teret és abban egy σ síkot. Legyen E σ a σ sík által tartalmazott egyenesek halmaza, azaz E σ = { e E e σ }. Emellett jelölje d σ a térbeli d távolságfüggvény leszűkítését a σ σ halmazra. Könnyű belátni, hogy ekkor a (σ, E σ, d σ ) hármas egy rendezett Birkhoff féle síkot ad. Az abszolút geometria Legyen adott egy (X, E, S, d) rendezett Birkhoff féle tér. Ezen térben a d távolságfüggvényt alkalmazva értelmezzük a szögvonalak kongruenciáját. 11. Definíció. Legyen adva két szögvonal ABC és P QR. A szögek szárain a csúcspontoktól 1 távolságra lévő pontok legyenek A 0 és C 0, illetve P 0 és R 0. (Eszerint fennáll BA 0 = 1, BC 0 = 1 és QP 0 = 1, QR 0 = 1.) Az ABC és P QR szögvonalakat kongruenseknek mondjuk, ha teljesül az A 0 C 0 = P 0 R 0 összefüggés. A kongruencia feltüntetésére az ABC P QR jelölést alkalmazzuk. 8

9 Két konvex szögtartományról akkor mondjuk, hogy kongruensek egymással, ha a hozzájuk tartozó (vagyis az őket határoló) szögvonalak kongruensek. Nyilvánvaló, hogy a szögvonalak (és a konvex szögtartományok) között értelmezett kongruencia egy ekvivalenciareláció. Az egymással kongruens szögeket egyenlőeknek is szokás mondani. A szükséges előkészületek után végre meg tudjuk adni az abszolút tér definícióját. 12. Definíció. Legyen adott egy (X, E, S, d) rendezett Birkhoff féle tér. Ezt abszolút térnek mondjuk, amennyiben a szögek kongruenciájára vonatkozóan teljesül az alábbi két axióma. (KA1) Ha adva van egy tetszőleges AOB szög, továbbá egy félsík és annak határegyenesén egy [ Q, P félegyenes, akkor a félsíkban pontosan egy olyan [ Q, R félegyenes van, amelyre igaz AOB P QR. (KA2) Ha valamely A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 háromszögek esetén fennáll A 1 B 1 = A 2 B 2, A 1 C 1 = A 2 C 2 és C 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2, akkor igaz A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2. A (KA2) axiómából adódik, hogy amennyiben az A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 háromszögekre fennáll A 1 B 1 = A 2 B 2, A 1 C 1 = A 2 C 2 és C 1 A 1 B 1 C 2 A 2 B 2, akkor A 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 is igaz. (Ezen összefüggést úgy nyerjük, hogy a (KA 2) kijelentésben szereplő háromszögeknél felcseréljük a csúcspontok sorrendjét.) 13. Definíció. Azt a matematikai elméletet, amely az (IA1) (IA6), (BVA), (PRA), (KA1) és (KA2) axiómákra épül abszolút geometriának mondjuk. A (KA1) és (KA2) axiómákat egybevágósági axiómáknak is szokás nevezni. Tegyük fel a továbbiakban, hogy az (X, E, S, d) négyes egy abszolút tér. Vezessük be az egybevágósági transzformáció fogalmát. 14. Definíció. Az X abszolút térben egybevágósági transzformáción (vagy rövidebben egybevágóságon) egy olyan ϕ : X X bijektív leképezést értünk, ahol tetszőleges A, B X pontokra fennáll d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)). Az egybevágósági transzformációkra legegyszerűbb példaként a pontra történő tükrözések szolgálnak. Az abszolút térben lehetővé válik a szögek összehasonlítása, vagyis két nem egyenlő szög esetében el lehet dönteni, hogy közülük melyik a nagyobb. Definiálni lehet a derékszöget is. Egy konvex szöget derékszögnek mondunk, ha kongruens a mellékszögeivel. Az axiómákból már le tudjuk vezetni azt az állítást, hogy egy háromszögben a nagyobb szöggel szemközti oldal hosszabb. Bizonyítani tudjuk a nevezetes háromszög egyenlőtlenséget is. Mint ismeretes, ez azt mondja ki, hogy tetszőleges ABC háromszögben fennáll az AB + BC > AC összefüggés. A fenti eredmények ismeretében be lehet látni, hogy az egybevágósági transzformáció egyenest egyenesbe, síkot síkba képez. Ha kijelölünk egy félteret, annak határsíkjában egy félsíkot, és a félsík határegyenesén egy félegyenest, akkor ezt az alakzat hármast egy térbeli zászlónak mondjuk. Bizonyítani lehet az alábbi fontos állítást. Ha adva van két térbeli zászló, akkor egyértelműen létezik egy olyan egybevágóság, amely az első térbeli zászlót a másodikba viszi. 9

10 Mint ismeretes, két alakzatot egymással egybevágónak mondunk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely az első alakzatot a másodikba viszi. Ily módon azt kapjuk, hogy két konvex szög egymással kongruens akkor és csak akkor, ha egybevágóak. Végül értelmezni lehet a szögtartományok mértéket is. Állapodjunk meg abban, hogy ezen értelmezés során az egyenesszöghöz 180 at rendelünk mértékként. Az eddig kimondott axiómák alapján azt tudjuk bebizonyítani, hogy egy háromszögben a szögek mértékeinek összege nem nagyobb 180 nál (Legendre első szögtétele). Igazolni lehet azt is, hogy egy adott abszolút térben egy háromszög szögeinek összege vagy mindig éppen 180, vagy mindig kisebb 180 nál (Legendre második szögtétele). Azonban a fenti axiómákból még nem lehet levezetni például azt az állítást, hogy bármely háromszög síkjában van egy olyan pont, amely mindhárom csúcsponttól egyenlő távolságra van. Fontosnak tartjuk az izometrikus abszolút terek fogalomának megadását, mivel az egymással izometrikus abszolút terek a geometriai vizsgálatok szempontjából egyenértékűek. 15. Definíció. Legyenek adva az (X 1, E 1, S 1, d 1 ) és (X 2, E 2, S 2, d 2 ) abszolút terek. Ezeket egymással izometrikusnak nevezzük, ha van olyan ϕ : X 1 X 2 bijektív leképezés, hogy tetszőleges A, B X 1 pontokra fennáll d 1 (A, B) = d 2 (ϕ(a), ϕ(b)). Természetesen be lehet vezetni az abszolút sík fogalmát is. 16. Definíció. Egy (Y, E, d) rendezett Birkhoff féle síkot abszolút síknak mondunk, ha ebben teljesülnek a szögek kongruenciájával kapcsolatos (KA1), (KA2) axiómák. Az euklideszi geometria Az utolsó euklideszi axióma kimondása előtt fontos megemlítenünk, hogy az abszolút tér axiómái alapján már igazolni tudjuk az alábbi kijelentést. Ha adott egy tetszőleges g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont, akkor az őket tartalmazó síkban van egy olyan egyenes, amely illeszkedik a P pontra és nem metszi g t. 17. Definíció. Legyen adott egy (X, E, S, d) abszolút tér. Ezt euklideszi térnek mondjuk, ha ezen térben teljesül az alábbi axióma. (EPA) Ha adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont, akkor az őket tartalmazó síkban csak egy olyan egyenes van, amely illeszkedik a P pontra és nem metszi g t. A fenti (EPA) axiómát az euklideszi párhuzamossági axiómának nevezzük. 18. Definíció. Azt a matematikai elméletet, amely az (IA1) (IA6), (BVA), (PRA), (KA1), (KA2) és (EPA) axiómákra épül euklideszi geometriának mondjuk. A hiperbolikus geometria 19. Definíció. Legyen adott egy (X, E, S, d) abszolút tér. Ezt hiperbolikus térnek mondjuk, ha ezen térben teljesül az alábbi axióma. (HPA) Ha adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont, akkor az őket tartalmazó síkban legalább két olyan egyenes van, amely illeszkedik a P pontra és nem metszi g t. 20. Definíció. Azt a matematikai elméletet, amely az (IA1) (IA6), (BVA), (PRA), (KA1), (KA2) és (HPA) axiómákra épül hiperbolikus geometriának nevezzük. 10