a geometria axiómái Vincze Csaba Debreceni Egyetem szeptember 27.

Átírás

1 Semmiből egy új, más világot: a geometria axiómái Vincze Csaba Kutatók éjszakája 2017 Debreceni Egyetem szeptember 27.

2 Babits Mihály: Bolyai Isten elménket bezárta a térbe. Szegény elménk e térben rab maradt: a kapzsi villámölyv, a gondolat, gyémántkorlátját még csak el sem érte. Én, boldogolván, azt a madarat, ki kalitjából legalább kilátott, a semmiből alkottam új világot, mint pókhálóból sző kötélt a rab. Új törvényekkel, túl a szűk egen, új végtelent nyitottam én eszemnek: király gyanánt, túl minden képzeten kirabolván kincsét a képtelennek nevetlek, mint Istennel osztozó, vén Euklides, rab törvényhozó. 1

3 Alexandriai Eukleidész (i.e. 300), görög matematikus Elemek (Sztoikheia) 2

4 [Euklidész]...gondolkodása átjárta a filozófiát és a matematika természetét egészen a XIX. századig meghatározta (L. Mlodinov, Euklidész ablaka, Akkord Kiadó, 2003). Az Elemek tizenhárom könyve összefoglalja korának matematikai, tehát nem csak geometriai ismereteit. A legfontosabb tényezője az ún. axiomatikus módszer. Euklidész posztulátumai (axiómái): I. Minden pontból minden további ponthoz húzható egyenes II. Minden egyenes korlátlanul hosszabbítható III. Bármely pontból bármely sugárral vonható kör IV. A derékszögek egymással egyenlőek. 3

5 Az V. posztulátum (más számozás szerint: α + β < π AC BD. XI. posztulátum): 4

6 A nem euklideszi geometriák az V. posztulátum vizsgálatából nőttek ki, mely a matematika történetének legtöbbet tanulmányozott axiómája. A kutatások arra irányultak, hogy az V. posztulátumot bebizonyítsák az euklideszi geometria többi axiómájára támaszkodva. Ennek során számos egyenértékű átfogalmazás született: Adott egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton át egy és csak egy párhuzamos vonható (Ptolemaiosz, Proklosz, Playfair). Egy sík bármely három nem egy egyenesre eső pontjára illeszkedik egy és csak egy kör (Bolyai Farkas, Legendre). Valamely (s így bármely) háromszög belső szögeinek összege egyenlő két derékszög összegével (Sacchieri, Lambert és Legendre). 5

7 Kultúrpalota (Marosvásárhely) Babes-Bolyai Tud. Egy. (Kolozsvár) Bolyai János ( ) Appendix. A tér abszolút igaz tudománya... 6

8 Egyetlen, nyomtatásban megjelent műve az Appendix. A tér abszolút igaz tudománya..., mely az apa (Bolyai Farkas) Tentamen címmel idézett műve első kötetének függeléke. Terjedelme (a szövegrészekre szorítkozva) huszonnégy oldal: a gondolkodás történetének legkiemelkedőbb huszonnégy oldala - írja G. B. Halsted, első angol fordítója. Érdemei: 1. Megold egy kétezer éves geometriai problémát. Megmutatja, hogy - mai szóhasználattal élve - az V. posztulátum független a többitől, azaz segítségükkel se nem igazolható, se nem cáfolható. 2. Megalkotja az abszolút geometriát, az euklideszi geometria V. posztulátumtól függetlenül igaz álĺıtásainak összességét. 7

9 3. Megalkotja a hiperbolikus geometriát, mely az V. posztulátum logikai tagadását tekinti érvényes axiómának (Lobacsevszkij) 4. Megmutatja, hogy a geometria nem természettudomány, hanem önálló logikai konstrukció, a valóságtól függetleníteni lehet. Ilyen értelemben a semmiből egy új, más világ semmije a tapasztalat-mentességre vonatkozik. Az utolsó lépések: Georg Friedrich Bernhard Riemann: Hipotéziseket, amelyek a geometria alapjául szolgálnak (habilitációs ea., 1854, Göttingen) Az első modell és a hiperbolikus geometria relativ ellentmondásmentessége: Eugenio Beltrami, A geometria axiomatikus megalapozásának lezárása: D. Hilbert, Die Grundlagen der Geometrie,

10 9

11 Reflexiók: 1869 nyarán Baldassare Boncompagni a Római Akadémia matematika osztályának elnöke ír levelet Eötvös Józsefnek (magyar kultuszminiszter) és felhívja figyelmét a Bolyai-hagyaték tudománytörténeti jelentőségére. A levélről Eötvös Józsefnek fiához, Eötvös Lórándhoz írt leveléből tudunk: Bolyai Jánosnak a paralellák teóriájáról írt kisebb munkája /.../a római tudósnak nézete szerint a legnagyobb mi a matematika körében e század alatt történt/.../ három év óta mind ő, mind a bordeauxi és párizsi akadémiák tízszer írtak a marosvásárhelyi kollégiumhoz, de még választ sem kaphattak, s most - meg lévén győződve, hogy ily lángész irományai közt sok becses jegyzet lesz - azért fordulnak hozzám, hogy az irományokra kezemet tegyem, s érdemes részét vagy az akadémiánál adjam ki, vagy nekik engedjem át kiadás végett... 10

12 A XIX. század matematikájának három legjellemzőbb, maradandó eredménye a nemeuklideszi geometriák megteremtése, a komplex szám s változó aritmetikai megvalósítása és a csoportelmélet messzeágazó rendező hatása. (Dávid Lajos, Bolyai-geometria az Appendix alapján, Kolozsvár, 1944.) Az Appendix-nek a Magyar Tudományos Akadémia Könyvtára Kézirattárában lévő eredeti példányát 2009-ben az UNESCO (United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization) felvette a Világemlékezet Listájára. 1882: A természetes számok axiómái (Peano) 1908: A halmazelmélet axiómarendszere (Zermelo, Fraenkel) 1933: A valószínűségszámítás axiomatikus megalapozása (Kolmogorov) 11

13 A Kant-féle a priori szemléleti formák közül a tér fogalmának relativizálása (euklideszi és nem euklideszi terek) előrevetíti az idő fogalmának újraértelmezését a modern fizikában. 1905: Speciális relativitáselmélet (Einstein) Források: Abraham A. Ungar, A hiperbolikus geometria alkalmazása a relativisztikus fizikában, Bolyai Emlékkönyv, Vince Kiadó, Böröczky Károly, A hiperbolikus geometria (és kapcsolata a diszkrét geometriával), Bolyai Emlékkönyv, Vince Kiadó, Prékopa András, Bolyai János felfedezésének előzményei és utóhatása, Bolyai Emlékkönyv, Vince Kiadó,

14 Az euklideszi geometria metrikus megalapozása Hilbert-féle illeszkedési tér Nemdefiniált fogalmak: pont, egyenes és sík. Ezeknek nem a meghatározására fogunk koncentrálni, hanem a közöttük lévő ún. illeszkedési kapcsolat szabályait fogalmazzuk meg, mint axiómákat: I1. Bármely két pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes I2. Bármely egyenesre illeszkedik legalább két pont I3. Van három nem egy egyenesre illeszkedő pont 13

15 I4. Bármely három nem egy egyenesre illeszkedő pontra illeszkedik egy és csak egy sík I5. Egyetlen sík sem az üreshalmaz I6. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes is illeszkedik a síkra I7. Ha két síknak van közös pontja, akkor további közös pontjuk is van I8. Van négy nem egy síkra illeszkedő pont Az elmélet kifejtése két szálon fut: egyrészt az axiómákból, illetve a már bizonyított álĺıtásokból levezethető álĺıtások megfogalmazása, 14

16 másrészt pedig a fogalmak körének szélesítése a nemdefiniált fogalmak, illetve a már definiált fogalmak felhasználásával. Példa (álĺıtás): Két nem diszjunkt sík metszete egyenes. bizonyítás: I7. Ha két síknak van közös pontja, akkor további közös pontjuk is van I1. Bármely két pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes I6. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes is illeszkedik a síkra 15

17 I4. Bármely három nem egy egyenesre illeszkedő pontra illeszkedik egy és csak egy sík Az álĺıtás megfogalmazásánál halmazelméleti terminológiát használtunk. Bár nem szükségszerű, hogy az egyenesek és a síkok pontokból álló részhalmazok legyenek, a szemléletnek tett engedmény megkönnyíti a fogalmazást. Példa (definíció): térelemek kölcsönös helyzete M:=metsző egyenespár (van közös ponjuk és nem esnek egybe) 16

18 K:=kitérő egyenespár (nincsenek egy síkban) P:= (M K)=párhuzamos egyenespár (egy síkban vannak és nincs közös pontjuk, vagy egybeesnek) Példa (modell): a minimális modell metsző egyenespár: AB és BC, kitérő egyenespár: AB és CD 17

19 Hilbert-féle illeszkedési tér a geometria metrikus megalapozása (vonalzó-, félsík-, szögmérő- és kongruencia axióma: abszolút geometria) euklideszi geometria hiperbolikus geometria vektoralgebra (koordinátageometria) Hilbert-féle illeszkedési tér affin párhuzamossági axióma (affin geometria) Hilbert-féle illeszkedési tér a párhuzamosság elvetése (projektív geometria) 18

20 A Birkhoff-féle vonalzó axióma (a vonalzó absztrakt matematikai leírása). Nemdefiniált fogalom: d(a, B) az A és B pontok távolsága. Bármely l egyenes esetén megadható egy f: l R kölcsönösen egyértelmű leképezés úgy, hogy f(a) f(b) = d(a, B) (A, B l). A távolság értelmezésére nincs szükség, ha megállapodtunk abban, hogy minden egyenes izometrikusan (távolságtartóan) leképezhető a számegyenesre, bármit is jelentsen a távolság az egyenes két pontja között. Mindazonáltal beemeltük a rendszerbe a valós számok axiómáit - R az egyenes prototípusa. 19

21 A vonalzó-transzformáció tétele: Legyen f 1 : l R és f 2 : l R adott. Mivel izometrikusan képezzük az egyenest a számegyenesre, ezért az h: R R, h(x) := f 2 f 1 1 (x) leképezés a valós számegyenes távolságtartó transzformációja: h(x) h(y) = x y Feladat: Igazoljuk, hogy ha h: R R távolságtartó, azaz h(x) h(y) = x y (x, y R), akkor h(x) = εx + x 0, ahol ε = ±1 és x 0 R konstans. 20

22 Innen következik, hogy f 2 (X) = εf 1 (X) + x 0, azaz a szakasz (és pl. a félegyenes) fogalma bevezethető a tér egyenesein, mint a valós számegyenes intervallumainak inverz képe (a vonalzó választásától függetlenül): AB = {X AB f(x) az f(a) és f(b) között van} {A, B}. Példa (álĺıtás): Egy szakasz bármely pontból, bármely irányban (azaz bármely félegyenes mentén) felmérhető. Példa (definíció): polygon, szögvonal (közös kezdőpontú félegyenesek uniója), konvexitás 21

23 A következő, kissé technikai jellegű axióma a szögmérés bevezetését készíti elő. Félsík-axióma (Pasch) Egy S síkot bármely l S egyenese két nemüres, konvex diszjunkt H 1 és H 2 halmazra bont úgy, hogy PSP1: S \ l = H 1 H 2 PSP2: Ha A H 1 és B H 2, akkor AB l H 1, H 2 : l határegyenesű, nyílt félsíkok Példa (álĺıtás): Ha egy egyenes egy háromszög síkjában nem illeszkedik egyik csúcsra sem, de metsz egy oldalt, akkor pontosan egy további oldalt is metsz. 22

24 bizonyítás: A C csúcs az A és B közül pontosan az egyikkel van ellentétes félsíkban. Példa (definíció): konvex szögtartomány (a szögmérő-axióma előkészítése), lemezek. 23

25 Szögmérő axióma (a szögmérő absztrakt, matematikai leírása): adott egy a tér szögvonalainak halmazát a [0, π] zárt intervallumra képező függvény úgy, hogy m: AOB m(aob ) [0, π] additív: m(aop ) + m(p OB ) = m(aob ) 24

26 és teljesül a szögszerkesztési posztulátum: megadva egy zárt H félsíkot, s annak határegyenesén egy OA félegyenest, bármely α [0, π] valós szám esetén egyértelműen létezik OB H félegyenes úgy, hogy m(aob ) = α. 25

27 Definíció: Két háromszöget egybevágónak mondunk, ha létezik a csúcsaik között olyan megfeleltetés, hogy az egymásnak megfelelő oldalak és szögek egybevágók. A háromszög mozgatása: a szakaszfelmérés tétele és a szögszerkesztési posztulátum. 26

28 Mit tudunk a nem közvetlen méréssel kapott oldalról és szögekről? Kongruencia-axióma: Ha két háromszög csúcsai között létezik olyan megfeleltetés, melynél két oldal és a közbezárt szög egybevágó a megfelelő két oldallal és közbezárt szöggel, akkor a háromszögek egybevágók. Ezzel az abszolút geometria axiómarendszere teljes: Nemdefiniált fogalmak: E (pontok), L (egyenesek), P (síkok), d (távolság), m (szög) Axiómák: illeszkedési axiómák, vonalzó-, félsík-, szögmérő- és kongruencia axióma 27

29 Abszolút külső szög tétel: Egy háromszög bármely külső szöge nagyobb, mint a nem mellette fekvő belső szögek bármelyike. szakaszfelmérés tétele, szögmérő- és kongruencia- bizonyítás: axióma. 28

30 Merőleges egyenesek az abszolút síkon: Egzisztencia: szögszerkesztési posztulátum, szakaszfelmérés tétele, kongruencia-axi óma. Unicitás: abszolút külső szög tétel. 29

31 A párhuzamosság elegendő feltételei az abszolút síkon: Ha két egyenes közös transzverzálissal való metszésekor keletkeznek egybevágó belső váltószögek, akkor a két egyenes párhuzamos. bizonyítás: abszolút külső szög tétel. 30

32 Egy speciális eset: α = π/2. bizonyítás: tétel szögszerkesztési posztulátum, abszolút külső szög 31

33 Az abszolút geometriában tehát léteznek párhuzamos egyenesek. Két egymást kizáró eset lehetséges: EPP: Megadva egy egyenest és egy rá nem illeszkedő pontot legfeljebb egy olyan egyenes van, mely illeszkedik az adott pontra és párhuzamos az adott egyenessel (euklideszi párhuzamossági axióma). HPP: Megadva egy egyenest és egy rá nem illeszkedő pontot legalább két olyan egyenes van, mely illeszkedik az adott pontra és párhuzamos az adott egyenessel (hiperbolikus párhuzamossági axióma). HPP= EPP 32

34 Az Appendix világa: elpattanó egyenesek vonalzóaxióma α d (x) = m(acx ), ahol X(x) AB. a szögmérés additivitása α d (x) szigorúan monoton nő. a szögszerkesztési posztulátum α d (x) folytonos. 33

35 Mindezek alapján képezhető a d ún. párhuzamossági távolsághoz tartozó párhuzamossági/elpattanási szög: α d = sup α d (x); x 0 továbbá azt mondjuk, hogy AB párhuzamos a félegyenessel. CK ún. elpattanó A párhuzamosságnak ez a finomabb értelmezése abszolút és két, egymást kizáró esetet foglal magába: α d = π/2 (euklideszi geometria, vagy Σ-rendszer: elnevezés), Bolyai-féle α d < π/2 (hiperbolikus geometria, vagy S-rendszer: Bolyai-féle elnevezés). 34

36 Mindkét esetben csupán egy-egy félegyenest mondunk párhuzamosnak. A második esetben fellépő nem metsző félegyenesek az ún. ultraparallel (párhuzamoson túli) félegyenesek: CD, illetve a KCD konvex szögtartomány belsejében futó félegyenesek. Bolyai János az Appendixben hol szétválasztja a két esetet (Σ-, illetve S-rendszer), hol pedig közös tételeket emel ki: ezek alkotják az abszolút geometriát. 35

37 Kidolgozza az S rendszer trigonometriáját, ahol a sin és cos függvények szerepét a valós hiperbolikus függvények veszik át: sinh(x) = ex e x, cosh(x) = ex + e x 2 2 A leglényegesebb azonban, hogy az euklideszi geometriát a hiperbolikus geometria határgeometriájaként tárgyalja és fogja fel. Ez több és jóval általánosabb, mint egy, az euklideszivel szemben kifejtett nem-euklideszi rendszer. Ebben a tekintetben pedig valamennyi kortársát és előfutárát (beleértve Lobacsevszkijt is) felülmúlja. 36

38 A határgeometria illusztrációjaképpen vizsgáljuk meg a párhuzamossági távolság (d) és a párhuzamossági szög (α d ) kapcsolatát. Vegyük észre, hogy α d = A C K. Indirekte okoskodva: a C - ből induló új félegyenes szeparálja a C-ből induló új félegyenest AB-től, eltekintve a metszéspontig terjedő véges darabjától. Elegendően kicsiny szögváltozás már ellentmondást eredményez. 37

39 Egy további észrevételünk szerint d d. Ellenkező esetben a következő ún. Sacchieri négyszög konstruálható: ACF = A F C (tengelyes szimmetria) 38

40 Sacchieri három hipotézise: Tompaszögű hipotézis: a közös mérték tompaszög. Ezt Sacchieri - helyesen - kizárja a lényegében általa is igazolt, de Legendre első szögtételeként ismertté vált eredményre hivatkozva: a háromszögek belső szögeinek összege kisebb, vagy egyenlő, mint két derékszög, Derékszögű hipotézis: a közös mérték derékszög - ez ekvivalens az V. posztulátummal (euklideszi geometria) 39

41 Hegyesszögű hipotézis: a közös mérték hegyesszög (hiperbolikus geometria). Ekkor a CF C mellékszög tompaszög lenne és az abszolút külső szög tétel miatt α d ugyancsak tompaszög. Ez ellentmond annak, hogy az elpattanási szöget π/2 felülről korlátozza. 40

42 Az euklideszi geometriában tehát: d = d és α d = α d = π/2 (derékszögű hipotézis) A hiperbolikus geometriában viszont d < d. Ez azt is jelenti, hogy az elpattanó félegyenes pontjainak az AB félegyenestől való távolsága csökkenhet, valójában tetszőlegesen kicsi lehet anélkül, hogy metszéspont lépne föl (ld. a hiperbola és aszimptotái). Sacchieri éppen ezen az alapon veti el a hegyesszögű hipotézist: Ha ez a feltétel teljesülne, akkor [az aszimptotikus] egyeneseknek a végtelenben lenne közös merőlegesük, ami ellentmond az egyenes természetének. 41

43 A párhuzamossági távolság és az elpattanási szög kapcsolatát az ún. felső félsík modellben vezetjük le. Pontok: A koordinátasík y > 0 felső félsíkjának pontjai. Egyenesek: a vízszintes tengelyre merőleges euklideszi félegyenesek és olyan félkörök, melyek középpontja a vízszintes tengelyen van. 42

44 A félegyenesek vonalzója: f(a) := k log P A, ahol k > 0 a hiperbolikus sík paramétere és P A a pontok euklideszi távolsága. Szögmérés: euklideszi (érintők szöge). 43

45 A párhuzamossági szög és a párhuzamossági távolság: tan(α/2) = R R + AC = P A P C 44

46 k log tan(α/2) = f(a) f(c) = f(a) f(c) = d tan(α/2) = e d k. Ha k, akkor tan(α/2) = 1 α = π/2, azaz az euklideszi geometria a hiperbolikus geometria határgeometriája. Ha Euklidészt történetesen Hiperbolidésznek hívják, akkor ezt a fáradságos kétezer évet megspórolhattuk volna, lévén a hiperbolikus geometriából könnyebben származtatható az euklideszi geometria, mint fordítva. 45