Geometria I. Vígh Viktor

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Geometria I. Vígh Viktor"

Átírás

1 Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban mindenképpen feladatként jelentkezik a hallgatók által a középiskolájukban megszerzett ismeretek felelevenítése és rendszerezése. A matematikaoktatás szempontjából igen heterogén közoktatási intézményrendszerre tekintettel szükséges az előzőeken túl a hallgatók geometriai ismereteinek módszeres felépítéssel olyan szintre hozása, amely az előrehaladást a jelen és későbbi kurzusok szükségleteinek megfelelően lehetővé teszi. A jegyzet a középszintű érettségi követelményeivel lefedett témaköröket lényegesen nem haladja meg, csupán a bizonyítások megjelenésével kap még nagyobb hangsúlyt az ismeretek egymásra építése, a fogalmak és állítások kapcsolatainak feltárása, és e kapcsolatok lehetséges demonstrálása. E jegyzettel támogatni kívánjuk a geometriai tanulmányok folytatásához szükséges rutinok kialakítását, bizonyos sémák alkalmazásának készségszintűvé tételét, automatizmusok begyakorlását. Ezeken túlmenően a a kitűzött kapcsolódó feladatok és gyakorlatok már sokkal inkább elméleti jellegűek, lehetőséget kínálnak arra, hogy a megfelelő szintű rutinnal a hallgatók tovább is haladhassanak, és a problémamegoldás eggyel magasabb szintjére is fel-fellépjenek. 1. Térelemek kölcsönös helyzete, illeszkedés Célok: ismerkedés a sík és a tér alapvető fogalmaival, a geometriai és térszemlélet formálása, kevés lépésből álló bizonyítások gyakorlása Alapismeretek A síkon Bármely két különböző pont pontosan egy közös egyenesre illeszkedik. Az egy közös egyenesre illeszkedő pontokat kollineárisnak nevezzük. 1

2 Az e és f egyenesek a síkban vagy egybeesnek, vagy egymást pontosan egy pontban metszik, vagy közös pont nélküliek. Ha e = f, vagy e-nek és f-nek nincs közös pontja, akkor e-t és f-t párhuzamosnak nevezzük. A párhuzamosság jele e f. Az e egyenessel bármely P ponton át pontosan egy párhuzamos egyenes húzható. A térben A térben bármely három, nem kollineáris pont pontosan egy közös síkra illeszkedik. A közös síkra illeszkedő pontokat komplanárisnak nevezzük. A térben két e és f egyenes metsző, ha pontosan egy közös P pontjuk van. Két nem metsző egyenes párhuzamos, ha létezik egy olyan sík, ami mindkettőt tartalmazza. (Az egybeeső egyeneseket ismét párhuzamosnak tekintjük.) Ha két egyenes nem metsző és nem is párhuzamos, akkor kitérő. Az e egyenessel bármely P ponton át pontosan egy párhuzamos egyenes húzható. 1. ábra. Kitérő élpárok a kockán és a tetraéderen Nézze és mozgassa meg az ábrát a GeoGebraTube-on! Az S 1 és S 2 síkok a térben lehetnek metszők, vagy párhuzamosak. Metsző síkok metszete minden esetben egy egyenes, a párhuzamos síkoknak vagy nincs közös pontjuk, vagy egybeesnek. Az S síkkal bármely P ponton át pontosan egy párhuzamos sík húzható. Egy e egyenes egy S síkot egy P pontban döf, ha e S = {P }. Ellenkező esetben e és S párhuzamosak. Ha e S, akkor az e sík illeszkedik S-re (és ekkor is párhuzamosnak tekintjük őket) gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két párhuzamos egyenesre pontosan egy sík illeszkedik. 2

3 1.2. gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két metsző egyenesre pontosan egy sík illeszkedik Három térelem kölcsönös helyzete Három térelem kölcsönös helyzetét már feladatokon keresztül dolgozzuk fel gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha három sík közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást, és a metszetegyenesek közül valamely kettő egy P pontban metszi egymást, akkor a harmadik metszetegyenes is illeszkedik P -re. Megoldás. Legyenek S 1, S 2 és S 3 a vizsgált síkok, amelyek közül bármely kettő egy egyenesben metszi egymást. Az S 1 S 2, az S 2 S 3 illetve az S 1 S 3 egyenesek legyenek rendre e 12 e 23 és e 13. Továbbá legyen P = e 12 e 13 a metszéspont. Másképpen, P az a pont, amire P e 12 és P e 13. (Lásd 2. ábra.) Hasonlóan, i) P e 12 és e 12 = S 1 S 2 miatt P S 2 ; ii) P e 13 és e 13 = S 1 S 3 miatt P S 3. Következésképpen P S 2 S 3 is, azaz P e 23. Tehát a P pont rajta van az S 1, S 2 és S 3 síkok által meghatározott metszetegyenesek mindegyikén. S 1 e 13 e 12 P e 23 S 3 S 2 2. ábra. A síkokat egy kocka lapsíkjaival szemléltethetjük Az 1.3. gyakorlat megoldását felhasználva oldjuk meg a következő gyakorlatokat önállóan! 3

4 1.4. gyakorlat. Adott 3 páronként egyenesben metsző sík. A három metszésvonaluk közül kettő párhuzamos. Mutassuk meg, hogy ekkor bármely két metszésvonal párhuzamos! 1.5. gyakorlat. A párhuzamos S 1 és S 2 síkokat az S 3 sík rendre e 1 és e 2 egyenesekben metszi. Mutassuk meg, hogy e 1 e 2! 1.6. gyakorlat. Az e egyenes párhuzamos a metsző S 1 és S 2 síkok mindegyikével. Mutassuk meg, hogy e párhuzamos S 1 S 2 egyenessel is! Megoldás (vázlat). Csak azt az esetet tárgyaljuk, amikor e nem illeszkedik az adott s 1 és S 2 síkok egyikére sem. A többi eset hasonló, ezek kidolgozását az olvasóra bízzuk. Legyen P S 1 S 2 egy tetszőleges pont, és legyen S a P és e által feszített sík. f 1 = S S 1 illeszkedik P -re, mivel P mindkét síkon rajta van, másrészt párhuzamos is e-vel, hiszen S síkra f 1 és e is illeszkedik, de közös pontjuk nem lehet e S 1 miatt. Így f 1 az az egyetlen egyenes, ami P -re illeszkedik, és párhuzamos e-vel. Hasonlóan érvelhetünk f 2 = S S 2 -re, s így kapjuk hogy f 1 = f 2 = S 1 S 2. Mivel f 1 e, így az állítást beláttuk Kapcsolódó nevezetes tételek A következő egyszerű állítás egy nevezetes tételt készít elő feladat. Adottak a különböző síkokban fekvő A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 háromszögek. Tudjuk, hogy az A 1 B 1 és A 2 B 2 egyenesek M 1, A 1 C 1 és A 2 C 2 egyenesek M 2, végül a B 1 C 1 és B 2 C 2 egyenesek M 3 pontokban metszik egymást. Ekkor M 1, M 2 és M 3 pontok kollineárisak. Bizonyítási ötlet. Az M 1, M 2 sé M 3 pontok mindegyike illeszkedik A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 síkjainak metszésvonalára. Tekintsük és mozgassuk meg a kapcsolódó dinamikus ábrát a GeoGebraTubeon! A Desargues-tétel a fenti állítást messzemenően tovvábgondolja. A részletekért olvassuk el a Desargues-tételről szóló Wikipédia szócikket! 1.4. Gyakorlatok 1.8. gyakorlat. Adjunk meg a térben (a) három (b) n 4

5 (c) végtelen sok páronként kitérő egyenest! 1.9. gyakorlat. Bármely három nem kollineáris pont egyértelműen meghatároz egy síkot. Legfeljebb hány síkot határoz meg (a) négy (b) öt (c) n különböző pont? Adjunk példát olyan konfigurációra, amely a maximumot szolgáltatja! gyakorlat. Adott négy sík, melyek közül bármely kettő metszi egymást. Lehet-e a síkok 6 metszésvonala közül (a) pontosan 3 (b) pontosan 4 párhuzamos? gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két kitérő egyenes bármelyikén át felvehető a másikkal párhuzamos sík. (GFGY1699) 5

6 2. A háromszög Célok: a háromszög elemi geometriájának és nevezetes pontjainak ismétlése, a geometriai szemlélet formálása, bizonyítások gyakorlása 2.1. Alapismeretek Előzetes ismeretek Pont, egyenes, félegyenes, szakasz, szög, szög szára, szögtartomány, irányított szög, mellékszögek, kiegészítő szögek, csúcsszögek, váltószögek; szakasz hosszúsága, szög nagysága; csúcsszögek egyenlő nagyok, derékszög, szögfelező; ponthalmazok távolsága, pont távolsága egyenestől; téglalap és négyzet, paralelogramma; terület, téglalap területe, háromszög területe Az ebben a szakaszban felhasznált ismeretek Tekintsünk három nem kollineáris A, B és C pontot a síkon. Az {A, B, C} halmazt háromszögnek nevezzük, jelölése: ABC. AzA, B és C pontok a háromszög csúcsai, az c = AB, b = AC és a = BC szakaszok a háromszög oldalai. A CAB, ABC, BCA a háromszög szögei. Az A csúccsal szemközti oldal a BC, a BC oldallal szemközti csúcs az a, és az ezen oldallal szemközti szög a BAC. A BAC szöggel szemközti oldal a BC oldal, a BAC szög melletti oldalak AB és BC. A BAC szög a AC és AB oldalak közti (vagy általuk közbezárt) szög. A háromszög szögeinek mellékszögeit a háromszög külső szögeinek nevezzük. Egy háromszög külső szögének mellékszögét a háromszög e külső szög melletti belső szögének nevezzük. Ahogy az megszokott, mi is élünk azzal az egyszerűsítéssel, hogy AB a szövegkörnyezettől függően jelölheti magát a szakaszt (mint ponthalmazt), és annak hosszát is. Hasonlóan, a háromszögben a egyszerre jelöli az egyik oldalt (mint szakaszt), és annak hosszát is. A háromszög oldalaira érvényesek a háromszög-egyenlőtlenségek: a+b > c, a+c > b és b+c > a. Azt mondjuk, hogy egy szakasz nagyobb (kisebb), mint egy másik szakasz, ha hosszúsága nagyobb (kisebb). b + c > a. Azt mondjuk, hogy egy szög nagyobb (kisebb), mint egy másik szög, ha nagysága nagyobb (kisebb). Ha adott egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két háromszög (csúcsai) között úgy, hogy a megfelelő oldalak egyenlő hosszúságúak, és a megfelelő szögek egyenlő nagyságúak, akkor azt mondjuk, hogy a két háromszög egybevágó ; jelölése: ABC = A B C. Két háromszög egybevágóságának alapesete (bizonyítás nélkül): a megfelelő két-két oldal hosszúsága és az általuk közbezárt szög nagysága megegyezik. 6

7 Ha egy háromszögnek van két egyenlő hosszúságú oldala, akkor a háromszöget egyenlő szárú háromszögeknek nevezzük. Azokat a háromszögeket, amelyeknek minden oldaluk (és így minden szögük) egyenlő, szabályos vagy egyenlő oldalú háromszögnek hívjuk. Megmutatható, hogy egy háromszögnek két oldala pontosan akkor egyenlő, ha a velük szemben fekvő szögek egyenlőek. Rögzítsünk egy O pontot a síkon, és egy r > 0 valós számot. Az O-tól r távolságra lévő pontok halmazát O középpontú r sugarú körvonalnak (néha csak körnek) nevezzük. Az O-tól legfeljebb r távolságra lévő pontok halmazát O középpontú r sugarú körlemeznek (néha csak körnek) nevezzük. Az e egyenes P -ben érinti az O középpontú r sugarú kört, ha a kör és az egyenes egyetlen közös pontja P. Ismert, hogy ekkor OP e. Általában ha adott egy k kör, és Q / k külső pont, akkor k-nak két olyan érintője létezik, ami illeszkedik Q-ra. Ha az érintési pontok rendre P 1 és P 2, akkor QP 1 = QP 2 szimmetriai okok miatt. Legyen adott egy ponthalmaz a síkban. Egy olyan görbét, amelynek minden pontja ugyanolyan távolságra van a ponthalmaztól, ekvidisztáns görbének nevezzük az adott ponthalmazra vonatkozóan Alapvető összefüggések háromszögekre vonatkozóan 1. tétel. Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak. Ennek a tételnek a megfordítása is igaz gyakorlat. Egy háromszögben egyenlő nagyságú szögekkel szemben egyenlő hosszúságú oldalak vannak, tehát azilyen háromszög egyenlő szárú. 2. tétel. Azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy szakasz két végpontjától egyenlő távolságban vannak, egy egyenes, amely a szakaszt a felezőpontjában merőlegesen metszi. Az AB szakasz szakaszfelező merőlegese azon pontok halmaza a síkon, amelyek A-tól és B-től egyenlő távolságra vannak. 3. tétel. Tegyük fel, hogy az ABC és az A B C olyan, hogy AB = A B, AC = A C, valamint BAC > B A C, akkor BC > B C gyakorlat. Egy háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. 7

8 2.3. gyakorlat. Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben hosszabb oldal van. 4. tétel. Ha két háromszög megfelelő oldalainak hosszúsága megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó gyakorlat. Egy háromszögben bármelyik külső szög nagyobb, mint a nem mellette fekvő belső szögek bármelyike. Két metsző egyenes négy szöget határoz meg, amelyek között van két csúcsszögpár, és két mellékszögpár. Két egyenest két különböző A és B pontban metsző harmadik egyenes egyik oldalán az AB szárú és másik oldalán a BA szárú szöget belső alternáló szögpárnak nevezzük (két ilyen szögpár van) feladat. Mutassuk meg, hogy ha három egyenes által meghatározott egyik belső alternáló szögpár egyenlő nagy, akkor a másik is az gyakorlat. Mutassuk meg, hogy ha két egyenest egy harmadik egyenlő nagyságú belső alternáló szögekben metsz, akkor a két egyenes párhuzamos. A geometriánkban minden háromszög szögeinek összege megegyezik, nevezetesen: 5. tétel. A háromszögek szögeinek összege gyakorlat A háromszög nevezetes pontjai A körülírt kör középpontja 6. tétel. Az ABC háromszög oldalfelező merőlegesei egy O pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög mindhárom csúcsától ugyanakkora távolságra van. (3. ábra.) Mozgassuk meg az ábrát a GeoGebraTube-on! Mit tapasztalunk, ha a háromszög egyik szögét elkezdjük növelni? Bizonyítás. Jelölje az oldalfelező merőlegeseket rendre e a, e b és e c. Legyen O az e a és az e b egyenesek metszéspontja: O = e a e b. Definíció szerint az O pont egyenlő távolságra van B és C pontoktól (mivel rajta van e a -n), valamint O egyenlő távolságra van A és C csúcsoktól (mivel rajta van e b -n). Így az O pont egyenlő távolságra van az A és B csúcsoktól is, így rajta van az e c oldalfelező merőlegesen. Valóban, az e a, e b és e c oldalfelező merőlegesek 8

9 e c A e a e b B O C 3. ábra. A háromszög köré írt kör középpontja egy pontban metszik egymást, méghozzá az O pontban, amely mindhárom csúcstól ugyanakkora távolságra van. Tekintsük a 6. Tételben szereplő ABC háromszöget, és az O pontot, valamint legyen OA = OB = OC = R. Az O körüli, R sugarú körvonal tartalmazza az A, B és C pontok mindegyikét, ezért a háromszög körülírt körének nevezzük. A körülírt kör az egyetlen mindhárom csúcsot tartalmazó körvonal A beírt kör középpontja 2.8. feladat. Mutassuk meg, hogy egy pont távolsága egy rajta át nem menő egyenestől a pontból az egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hossza. Tekintsünk két különböző e és f egyenest a síkon. Ha e f, akkor az e-től és f-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza egy egyenes, az e és f középpárhuzamosa. Ha e f = {M}, akkor az e-től és f-től egyenlő távolságra lévő pontok két egymásra merőleges egyenesen helyezkednek el, amelyek M pontban metszik egymást. Ezek az egyenesek felezik az e és f által meghatározott megfelelő szögeket, ezért őket az e és f szögfelezőinek nevezzük. 7. tétel. Bármely ABC háromszög belső szögfelezői egy I pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög minden oldalától egyenlő távolságra van. A tétel bizonyítása nagyon hasonló a 6. Tétel bizonyításához, próbáljuk meg önállóan! Ellenőrzésként megtekinthetjük a GeoGebraTube-on. 9

10 Tekintsük a 7. Tételben szereplő ABC háromszöget, és az I pontot, valamint legyen d(i, a) = d(i, b) = d(i, c) = r. Könnyű látni, hogy az I középpontú, r sugarú kör minden oldalt egy belső pontban érint, ezért a háromszög beírt körének nevezzük. A beírt kör az egyetlen olyan kör, ami a háromszög mindhárom oldalát belső pontban érinti. Az érintési pontokba húzott sugarak merőlegesek a megfelelő oldalakra A magasságpont A háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsájtott merőleges egyenest a háromszög magasságvonalának nevezzük. A magasságvonal és az oldalegyenes metszéspontja a magasság talppontja. A csúcsot a talpponttal összekötő szakaszt a háromszög magasságának nevezzük. A magasság szó gyakran ennek a szakasznak a hosszát is jelenti. Ez másképp mondva a csúcs távolsága a szemközti oldalegyenestől. A magasság fogalmának bevezetését a háromszögre érvényes legelső területformulánk motiválhatja. Ha a háromszög A csúcsával szemközt a hosszú oldala van, és a hozzájuk tartozó magasság m a, akkor a háromszög területe T = a m a tétel. A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Tekintsük meg a GeoGebraTube-on a vonatkozó dinamikus ábrát! A bizonyítás előtt ismételjük át a paralelogramáról tanult alapvető ismereteinket a Wikipédia alapján! Bizonyítás. Tekintsük a 4. ábrát. Jelölje a magasságvonalakat rendre m A, m B és m C. Húzzunk párhuzamost a-val A-n keresztül, b-vel B-n keresztül, és c-vel C-n keresztül. Ezek az egyenesek meghatároznak egy nagyobb háromszöget, ennek csúcsait jelölje A, B és C az ábra szerint. A C BCA négyszög paralelogramma, mivel BC AC és BC AC. Hasonlóan kapjuk, hogy ABCB négyszög is paralelogramma. Így AC = BC = AB. Ezért A pont felezi B C szakaszt. Továbbá, m A BC, valamint C B CB, így m A C B. Kaptuk, hogy m A a B C szakasz felező merőlegese. Hasonlóan megmutatható, hogy m C az A B szakasz felező merőlegese, míg m B az A C szakasz felező merőlegese. Az m A, m B és m C egyenesek az A B C oldalfelező merőlegesei, így valóban egy pontban metszik egymást gyakorlat. Legyen ABC magasságpontja M. Mi az ABM magasságpontja? 10

11 B C A M C B A m c m b m a 4. ábra. A háromszög magasságpontja gyakorlat. Vezessük be az ABC félkerületére az s = (a + b + c)/2 jelölést, továbbá legyen r a beírt kör sugara. Mutassuk meg, hogy az ABC területére T = s r A súlypont A háromszög egyik csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlyvonalának nevezzük. A súlyvonal névadó tulajdonsága, hogy ha a háromszöglemezt a súlyvonala mentén alátámasztjuk, akkor egyensúlyban marad, és nem billen le az alátámasztásról gyakorlat. Készítsünk dinamikus ábrát GeoGebrával a háromszög súlyvonalairól! 9. tétel. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont minden súlyvonalat harmadol, mégpedig úgy, hogy a súlypont a súlyvonalak csúcsoktól távolabb eső harmadolópontja feladat. Mutassuk meg a háromszög területformulájának felhasználásával, hogy a súlyvonalak egy ponton mennek át! Megoldás. Először azt vizsgáljuk meg, hogy az ABC háromszög BD súlyvonala milyen arányban osztja a AE súlyvonalat. 11

12 Mivel D felezőpont, t ABD = 1t 2 ABC, és mivel E is felezőpont, t BED = = 1t 2 BCD = 1t 4 ABC. Ezért e két közös overlinebd alapú háromszög magasásgának aránya m 1 : m 2 = 2 : 1. Így a közös DS alapú DSA és DSE háromszögek területének aránya 2 : 1. E háromszögek esetén az AS, illetve SE alapot véve (a magasságuk közös), ezek aránya is 2 : 1. Ha most azt vizsgálnánk meg, hogy a harmadik súlyvonal milyen arányban osztja az AE súlyvonalat, ugyanezt az arányt kapnánk. Egy adott szakaszt adott arűnyban pedig pontosan egy pont oszt, és ez bizonyítja az állítást. C D T A A m 1 S m 2 g t T 2 t E 1 h E B 5. ábra. Az alapkonfiguráció két esetben A súlypontjában alátámasztott háromszöglemez egyensúlyban marad, nem billen le. Ugyanezt tudjuk, a súlyvonalakról. Valójában tetszőleges, a súlyponton áthaladó egyenes mentén alátámasztva a háromszöglemezt, az nem billen le. A súlypont létezéséről szóló tétel bizonyítására a kurzus folyamán visszatérünk gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a súlyvonalak a háromszöget két egyenlő területű háromszögre osztják feladat. Melyek azok a súlypontra illeszkedő egyenesek, amelyek a háromszöget két egyenlő területű részre osztják? A feladat a KöMaL B példája. A háromszögre vonatkozó alapismeretek rövid összefoglalója található itt és itt. (Sok részlet a kurzus folyamán később előkerül valamilyen formában.) 12

13 2.4. Gyakorlatok gyakorlat. Mi lesz a háromszög talpponti háromszögébe írható körének középpontja? gyakorlat. Adott a síkban három pont. Szerkesszünk háromszöget, melyben ezek a magasságok talppontjai! gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy egyenes ekvidisztáns görbéje egyenes! gyakorlat. Határozzuk meg egy egyenes összes ekvidisztáns görbéjét! gyakorlat. Határozzuk meg egy kör ekvidisztáns görbéit! gyakorlat. Határozzuk meg egy két párhuzamos egyenesből álló ponthalmaz ekvidisztáns görbéit! gyakorlat. Mutassuk meg, hogy két metsző egyenes ekvidisztáns görbéi a szögfelező egyenesek gyakorlat. Mutassuk meg, hogy egy szög szögfelező egyenesei merőlegesek. 13

14 3. Derékszögű háromszög Célok: a derékszögű háromszög elemi geometriájának áttekintése, önálló bizonyítások gyakorlása Alapismeretek Az ABC derékszögű, ha valamely két oldala merőleges. A szokásos jelölés szerint a derékszögű csúcs C, a derékszöget bezáró a és b oldalakat befogóknak, a c oldalt átfogónak nevezzük. A magasság definíciója miatt világos, hogy az a oldalhoz tartozó magasság éppen b (és viszont, a b-hez tartozó magasság a), ezért T = ab/ gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a derékszögű háromszög beírt körének sugara ab r = a + b + c. Megoldás. A 2.9. gyakorlat területétképletét a T = ab/2 formulával összevetve azonnal adódik az állítás gyakorlat. Mutassuk meg, hogy a derékszögű háromszög beírt körének sugara r = a + b c. 2 B a E c F r O C D b A 6. ábra. A derékszögű háromszög beírt köre Megoldás. Használjuk a 6. ábra jelöléseit. CDOF négyszögben C-nél, D-nél és F -nél derékszög van, ezért CDOF téglalap. OF = OD = r miatt 14

15 CDOF egy r oldalú négyzet, és így CF = CD = r. Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok egyenlőek, ezért BF = BE és AE = AD. Valamint nyilvánvaló, hogy BE + AE = c. Ezek alapján a + b + c = CF + F B + BE + EA + AD + DC = 2r + 2(BE + AE) = 2r + 2c. Az egyenlőségsorozat két végét összevetve azonnal kapjuk az állítást Pitagorász-tétel Talán az egész matematika leghíresebb tétele a következő. 10. tétel (Pitagorász-tétel). Derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a befogók négyzeteinek összegével: a 2 + b 2 = c 2. A tételre (állítólag) több mint 200 féle különböző bizonyítás ismert. Mi az előkészületeink után kényelmes helyzetben vagyunk. Bizonyítás. A 3.1. és 3.2. gyakorlatok alapján felírhatjuk a beírt kör sugarát kétféleképpen: ab a + b + c = r = a + b c. 2 Felhasználva, hogy (a+b+c)(a+b c) = a 2 +b 2 c 2 +2ab, a tétel következik a fenti egyenlőségből, ha mindkét oldalt megszorozzuk 2(a + b + c)-vel. Tekintsük meg a tétel egy látványos szemléltetését a youtube-on gyakorlat. Számítsuk ki az a oldalhosszúságú szabályos háromszög területét! A tétel megfordítható, a megfordítást később igazoljuk: 11. tétel (Pitagorász-tétel megfordítása). Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. Végül egy nevezetes tételt tűzünk ki gyakorlatként, ami a Pitagorász-tétel következménye. 12. tétel (Paralelogramma-tétel). Mutassuk meg, hogy a paralelogramma oldalainak négyzetösszege, megegyezik az átlóinak négyzetösszegével! Azaz, ha egy paralelogramma oldalai a és b, átlói pedig e és f, akkor 2a 2 + 2b 2 = e 2 + f 2. 15

16 D C m e f b m A x E a B x F 7. ábra. Paralelogramma-tétel Bizonyítás. Írjuk fel a Pitagorász-tételt a 7. ábrán látható derékszögű háromszögekre: BF C -re kapjuk, hogy x 2 + m 2 = b 2. AF C -re (a + x) m 2 = f 2, míg EBD -re (a x) 2 + m 2 = e 2. Utóbbi kettőt összeadva, és a négyzetreemeléseket elvégezve, egyszerűsítve adódik, hogy 2a 2 + 2x 2 + 2m 2 = e 2 + f 2. Végül ebbe a legelső Pitagorásztételt beírva kapjuk a paralelogramma-tételt: 2a 2 + 2b 2 = e 2 + f 2 Paralelogramma-tétel a GeoGebraTube-on Nevezetes tételek derékszögű háromszögekre 13. tétel (Thalész-tétel). Ha egy kör átmérőjének A és B végpontját összekötjük a körív A-tól és B-től különböző tetszőleges C pontjával, akkor az ABC C-nél lévő szöge derékszög lesz. Bizonyítás. Tekintsük 8. ábrát. Az AOC és BOC háromszögek egyenlőszárúak, hiszen AO = BO = CO = r a kör sugara. Ezért az alapon fekvő szögek egyenlőek α = CAO = ACO ill. β = CBO = BCO. Kihasználva, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180, kapjuk, hogy 2α + 2β = 180, s így ACB = α + β = 90 valóban. 14. tétel (Thalész-tétel megfordítása). A derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. A megfordítás igazolását az érdeklődő olvasóra hagyjuk. 15. tétel (Magasságtétel). Az ABC derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó m magasság az átfogót két, x és y hosszú darabra bontja. Ekkor m 2 = xy. 16

17 C b m a A y T O x c B 8. ábra. Derékszögű háromszög 16. tétel (Befogótétel). Az ABC derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó m magasság talppontja legyen T, AT = y és BT = x. Ekkor a 2 = cx és b 2 = cy gyakorlat. Bizonyítsuk be a 15. és 16. tételeket a Pitagorász-tétel segítségével! A 15. és 16. tételeket a kurzus folyamán később más úton is igazoljuk gyakorlat. Bizonyítsuk be a Thalész-tételt a Pitagorász-tétel és megfordítása segítségével! Megoldási tipp: írjuk fel a Pitagorász-tételt a 8. ábrán szereplő derékszögű háromszögekre, majd rendezzük a kapottakat. Kapcsolódó Wikipédia-szócikkek: Pitagorász-tétel, Thalész-tétel és megfordítása. 17

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Geometria I. Vígh Viktor

Geometria I. Vígh Viktor Geometria I. Vígh Viktor Kivonat Jelen jegyzet az SZTE osztatlan matematikatanár-képzésében szereplő Geometria I. tantárgyhoz íródott. A kurzus a tanulmányok első félévében kötelező. Ezért a tárgyalásban

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Bevezetés a síkgeometriába

Bevezetés a síkgeometriába a síkgeometriába 2016.01.29. a síkgeometriába 1 Fogalom, alapfogalom Álĺıtás,axióma Térelemek kölcsönös helyzete 2 A szögek A szögek mérése Szögfajták Szögpárok 3 4 a síkgeometriába Fogalom, alapfogalom

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat 3. előadás Elemi geometria Terület, térfogat Tetraéder Négy, nem egy síkban lévő pont által meghatározott test. 4 csúcs, 6 él, 4 lap Tetraéder Minden tetraédernek egyértelműen létezik körülírt- és beírt

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Telepítő programok Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram) Súgó Menü Súgó Visszalépés a főmenübe Visszalépés a kiválasztott

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. 3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben. TÁVOLSÁG Általános definíció: két alakzat távolsága a két alakzat pontjai között húzható legrövidebb szakasz hosszaa távolság

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály V. rész: Síkgeometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész: Síkgeometria...........................

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével

Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A

Részletesebben

8. Geometria = =

8. Geometria = = 8. Geometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy négyzet átlójának hossza 4 + 2. Mennyi a négyzet oldalhossza? (A) 1 + 2 2 (B) 4 + 2 (C) 2 2 + 2 (D) 2 + 2 (E) 2 2 + 1 Egy a oldalú négyzet átlója a 2. Ezt

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hatévfolyamos képzés Matematika 7. osztály VI. rész: Elemi geometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék VI.

Részletesebben

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

tulajdonsága Pék Johanna és Szilasi Zoltán

tulajdonsága Pék Johanna és Szilasi Zoltán A háromszögek Spieker-pontjának néhány érdekes tulajdonsága Pék Johanna és Szilasi Zoltán 0. Bevezetés A háromszögekkel kapcsolatban számos nevezetes pont és rengeteg izgalmas tulajdonság ismeretes; gondoljunk

Részletesebben

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

2. Síkmértani szerkesztések

2. Síkmértani szerkesztések 2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)] Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Fazekas Gabriella IV. matematika-informatika Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal- Jelen tanulmány a fent megjelölt fogalmak egy lehetséges

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

GEOMETRIA 1, alapszint

GEOMETRIA 1, alapszint GEOMETRIA 1, alapszint Kiss György 4-723 Fogadóóra: péntek 8. 15-10. 00 email: kissgy@cs.elte.hu Előadás: 11. 15-13. 45, közben egyszer 15 perc szünet GEOMETRIA 1, alapszint Ajánlott irodalom: Hajós Gy.:

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül! Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

Gömbi háromszögek Kiszi Gergely Témavezető: Moussong Gábor

Gömbi háromszögek Kiszi Gergely Témavezető: Moussong Gábor Gömbi háromszögek Kiszi Gergely Témavezető: Moussong Gábor Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Bsc, tanári szakirány 2017 Bevezetés Elsőször a középiskolai matematika tanárom,

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

KOORDINÁTA-GEOMETRIA XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal

Részletesebben

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög

18. Kerületi szög, középponti szög, látószög 18. Kerületi szög, középponti szög, látószög Középponti szög fogalma: A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara, illetve azok félegyenese. Egy középponti szög (ω)

Részletesebben

Geometria 1, normálszint

Geometria 1, normálszint Geometria 1, normálszint 2. előadás 1 / 46 Geometria 1, normálszint ELTE Matematikai Intézet, Geometriai Tanszék 2019 A diákat készítette: Moussong Gábor Előadó: Lakos Gyula lakos@math.elte.hu 2. előadás

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

1.Háromszög szerkesztése három oldalból

1.Háromszög szerkesztése három oldalból 1 Szerkessz háromszöget, ha három oldala: a=3 cm b=4 cm c=5 cm 1.Háromszög szerkesztése három oldalból (Ugye tudod, hogy az a oldallal szemben A csúcs, b oldallal szemben B stb. van!) (homorú, hegyes,

Részletesebben

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT:

1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: 1. FELADAT: SZÁMÍTSD KI A KÖVETKEZŐ SZÁMKIFEJEZÉSEK ÉRTÉKEIT: a) ( 7) + ( 12) = 19 b) ( 24) + (+15) = 9 c) ( 5) + ( 27) = 32 d) (+19) + (+11) = +30 e) ( 7) ( 25) = +175 f) ( 5) (+14) = 70 g) ( 36) (+6)

Részletesebben