MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria

Átírás

1 ) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrzek megoldásához! a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen tulajdonságú háromszög van? (6 pont) b) Jelölje e azokat az egyeneseket, amelynek egyenlete x y b, ahol b valós paraméter. Mekkora lehet b értéke, ha tudjuk, hogy van közös pontja az így megadott e egyenesnek az origó középpontú 4 egység sugarú körnek? (8 pont) a) x y 0 A megadott 0 x y egyenletű egyenes az metszi a tengelyeket Az origóból az egyenesre bocsátott, rá merőleges egyenes egyenlete A két egyenes D metszpontjának koordinátái: A D 5;0 4; B 0;0 pontokban A megadott feltételeknek három derékszögű háromszög felel meg AOB háromszög, ahol 5;0, 0;0, 0;0 A O B x y 0 ADO háromszög, ahol A 5;0, D 4,, O 0;0 BDO háromszög, ahol B 0;0, D 4,, O 0;0

2 b) Az egyenesnek a körnek akkor csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása A kör egyenlete: Az egyenes egyenletéből. x y Behelyettesít után: 6 y b x x b x 6 5x 4bx b 6 0 A kapott másodfokú egyenletnek van megoldása, ha a D diszkrimináns nem negatív D b ahonnan b 4 5 A b paraméter lehetséges értékei tehát a ) A PQRS négyszög csúcsai: P ;, Q 4 5;4 5 ;, R 6; elemei Összesen: 4 pont S 5; 5 Döntse el, hogy az alábbi három állítás közül melyik igaz melyik hamis! Tegyen * jelet a táblázat megfelelő mezőibe. Válaszát indokolja, támassza alá számításokkal! a) A állítás: A PQRS négyszögnek nincs derékszöge. (4 pont) b) B állítás: A PQRS négyszög húrnégyszög. (4 pont) c) C állítás: A PQRS négyszögnek nincs szimmetriacentruma. (5 pont) A B C Igaz Hamis. Igaz A * B * C * Hamis a) Az A állítás hamis mert van derékszöge. Például SRQ szög mert 7; RQ ; 7 RS így RQ RS 0, így a négyszög R-nél lévő szöge derékszög

3 b) A B állítás igaz mert a PQRS négyszögben az R csúccsal szemközti P csúcsnál lévő szög is derékszög. ugyanis, ezért PQ PS 0 PQ ;4 PS 8; 4 Így a PQRS négyszög szemközti szögeinek összege 80 (a húrnégyszög tételének megfordítása miatt), tehát a négyszög húrnégyszög c) A C állítás igaz mert ha lenne a négyszögnek szimmetriacentruma, akkor a PQRS négyszög paralelogramma lenne. Ehhez például az kellene, hogy az a PS 8; 4 vektorok ellentett vektorok legyenek. Ez csak úgy teljesülne, ha az egyik oldalvektor koordinátái másik vektor koordinátáinak. Ez viszont nem teljesül. RQ 7; ( pont) -szeresei a ( pont) Összesen: pont ) Három ponthalmazt vizsgálunk a derékszögű koordináta-rendszer (S) síkjában. Az A halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátái: 4 8, azaz ; x y A : P x; y S 4x y 8 a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:, x y x y azaz B P x y S x y x y : ; a C halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: y 4, azaz C P x y S y : ; 4 a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben a három halmazt! Fogalmazza meg, milyen geometriai alakzatok az A, a B a C halmaz pontjai! (8 pont) b) Ábrázolja újabb koordináta-rendszerben a B A halmazt! Fogalmazza meg pontosan, hogy milyen geometriai alakzatot alkot ez a ponthalmaz? (4 pont) c) Ábrázolja a B C halmazt! Ennek a ponthalmaznak melyik pontja van a legközelebb illetve a legtávolabb a koordináta-rendszer origójától? (4 pont). \, P x; y

4 a) Az A halmaz pontjai a Az A halmaz ábrája y 4 x 6 egyenletű egyenes alatti zárt félsík pontjai A B halmaz pontja az pontjai A kör középpontja K ; x y 5, sugara A B halmaz ábrája A C halmaz pontjai az y pontjai A C halmaz ábrája b) A halmaz ábrázolása: B\ A egyenletű kör a kör belső r 5 ( pont) y egyenletű párhuzamos egyenesek A B\ A halmaz pontjai egy félkörlemez pontjai, amihez a félkörív a belső pontok hozzá tartoznak, de a kör DE átmérője nem. (Az átmérő végpontjai E 6;.) ( pont) D 0; 6 A ponthalmaz pontjai a DE átmérő fölött vannak.

5 c) A B C halmaz a B ponthalmaz határoló körének két párhuzamos húrja;. 0; 6; ; 8; A húrok végpontjai:, valamint (ez utóbbi húr egyben átmérő is) A B C halmaz ábrázolása: pont 8; Az origótól a legmesszebb a legközelebb a a 0; 0; pont van ( pont) Összesen: 6 pont 4) a) Ábrázolja a intervallumon értelmezett hozzárendelsel megadott függvényt ( pont) b) Adja meg a egyenlettel megadott alakzat pontjában húzott érintőjének egyenletét. ( pont) 0;6 y x x 8 x x x 8 P 5; 4 a) A helyes parabola ábrázolása az adott intervallumon ( pont)

6 b) A parabola egy adott pontjába húzott érintő meredekségét itt az első derivált segítségével kaphatjuk meg. (4 pont) y x 8 Az érinti pont első koordinátájának behelyettesítével: y mx b P 5; b b 4 Az érintő egyenlete: y x-4 5) Egy háromszög két oldalegyenese az x tengely az y 5 m ( pont) ( pont) ( pont) Összesen: pont y 4 x egyenletű egyenes. Ismerjük a háromszög beírt körének egyenletét is: x y 4 4. Írjuk fel a háromszög harmadik oldalegyenesének egyenletét, ha a háromszög egyenlő szárú a) az alaplapja az x tengelyre illeszkedik (7 pont) b) az adott oldalegyenesek a háromszög száregyenesei! (9 pont) a) A keresett háromszög egyik csúcsa a koordinátarendszer origója, a háromszög beírt körének középpontja K 4; Az egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye áthalad ezen a középponton Ha az ABC háromszög alapjának egyenese az x tengely, akkor a szimmetriatengelyének egyenlete 0;0 B 8;0 x 4 Mivel A AB oldalél F felezőpontja, ezért 4 A C csúcs az AC oldalegyenes y x a szimmetriatengely x 4 6 metszpontja 4; 6 A BC oldalegyenes egy irányvektora BC 4; Így a BC oldalegyenes egyenlete 4x y 4;0

7 b) Ha PK P 0;0 a PQR háromszög alapjának egyenese a QR egyenes, akkor a a QR egyenes egy normálvektora. x y c PK 4;. A QR egyenes egyenlete, ahol c valós A megadott kör akkor lesz a QPR háromszög beírt köre, ha a QR egyenes érinti a kört. Vagyis a körnek az egyenesnek egy közös pontja van. Tehát az a c felelhet meg, amelyre az alábbi egyenletrendszernek egyetlen gyöke van: x y c x 4 y 4 Az első egyenletből y-t kifejezve, a másodikba behelyettesítve rendezve kapjuk, hogy: ( pont) Egyetlen gyököt pontosan akkor kapunk, ha a diszkrimináns nulla, vagyis Ebből D c c 5x 4cx c 4c c 0 0, c 0 0 A értéke nem felel meg, mert ekkor a kör a háromszög kívülről érintő köre lenne A keresett QP egyenes egyenlete: Összesen: 6 pont c 6) Adott a P x; y K t t 6t 5 x y 0 0 polinom. Jelölje H a koordinátasík azon 0 pontjainak halmazát, amelyekre. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. C ; K x K y Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f x x 6x 5 (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja az x tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont)

8 K x K y x 6x 5 y 6y 5 0 a) A bal oldali kifejez teljes négyzetté kiegzítsel a következő alakra hozható: a H halmaz a 8 x y 8 ; középpontú sugarú zárt körlap A kérdes valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) A kedvező tartomány a középpontú, egység sugarú zárt körlap, C ; ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 Így a keresett valószínűség 4 P 8 b) Az f függvény zérushelyei Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel kérdes terület a függvény két zérushely közötti integráljának 5 x T x 6x 5dx x 5x 5 5 behelyettesít után, a keresett terület nagysága 7) Az a b b cos t;sin t a) Adja meg a -szerese ( pont). vektor koordinátái a t valós paraméter függvényében: számot jelöli! b sin t;cos t Összesen: 6 pont b vektorok koordinátáinak pontos érékét, ha t az b) Mekkora az a b vektorok hajlásszöge t ( pont) esetén? (A keresett szöget fokban, egzre kerekítve adja meg!) (5 pont) c) Határozza meg t olyan valós értékeit, amelyek esetén a b vektorok merőlegesek egymásra! (7 pont) a) 5 5 acos ;sin a 6 6 ; 5 5 b sin ;cos b ;

9 b) Jelöljük a két vektor által bezárt szöget -val. A koordinátáival adott vektorok skaláris szorzata kétféleképpen is kiszámítható: illetve Mivel ab a b cos a b ab Ezért 0 cos, ebből 4 8 Innen 78,4. Tehát a két vektor ebben az esetben kb. 78 -os szöget zár be. c) A két vektor akkor csak akkor merőlege egymásra, ha A keresett t ismeretlent a szokásosabb módon x jelöli. Mivel, így a egyenlet megoldása a feladat. Azonos átalakítással adódik: ab cos sin sin cos x x x x cos x sin x sin x cos x 0 cos 0,005 0 Ez a szorzat pontosan akkor nulla, ha vagy sin 0 vagy sin cos 0 cos x 0 () x x n, ahol n vagy x ab 0 cos x sin x sin x cos x 0 x () () A () alatti egyenletnek nem megoldásai azok az x számok, amelyek koszinusza 0, így az egyenlet megoldáshalmaza azonos a tg egyenletével Azaz x k, ahol k vagy sin x cos x 0 x m, ahol m 4 x A két vektor tehát pontosan akkor merőleges egymásra, ha t m, ahol 4 nm, 8) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszpontja szárak hossza illeszkedik az 5 y x 4 t n vagy Összesen: 4 pont C 0;7 pont, a egység. A háromszög másik két csúcsa (A, B) egyenletű parabolára. a) Számítsa ki az A a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű rzekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont)

10 a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú kör egyenlete: x y 7 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: y x x 4 y 7 5 Az első egyenlet átalakításával: második egyenletbe kapjuk, hogy: y Innen y 0 Ezek közül csak az x 4y 4. Az 5 egység sugarú körön. A x kifejezt behelyettesítve a 8y 0 y 8. y 0 ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: b) A BC egyenes egyenlete: c) A ;0 x 4 B ;0 A D pont koordinátáit a 7 4 metszpontjai adják. 7x x D ; 5 gyökei x. Innen x x 7x y 4 x y x (A másik száregyenes egyenlete: D ; 5.) a y x 4 Az ABC háromszög területe: AB m c görbék B-től különböző AC : 7x y 4, közös pont pedig A parabola két rzre osztja a háromszöget. A kisebbik rz területének fele a szimmetria miatt: 4 x dx 4 0 ( pont) A háromszögnek parabolaív alá eső területe: 8 (területegység) A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: (te) Összesen: 6 pont

11 9) Az ABCD konvex négyszög oldalegyeneseinek egyenlete rendre: DA : x 4y 0 0 AB : x 5y 0 0 BC : 4x y 0 CD : 5x y 5 0 a) Igazolja, hogy a négyszög átlói az x az y tengelyre illeszkednek, továbbá, hogy ennek a négyszögnek nincs derékszöge! (8 pont) b) Bizonyítsa be, hogy a négyszög húrnégyszög! (8 pont) a) az egyenes x tengelyen lévő pontja y tengelyen lévő pontja DA : x 4y 0 0 AB : x 5y 0 0 BC : 4x y 0 CD : 5x y ;0 0 ;0 ;0 ;0 A DA az AB egyenesek metszpontja az x tengely Az AB a BC egyenesek metszpontja az y tengely A BC a CD egyenesek metszpontja az x tengely A CD a DA egyenesek metszpontja az y tengely 0; 5 0;4 0;4 0; 5 A 0 ;0 B 0;4 C ;0 D 0; 5 pontja pontja pontja pontja A csúcspontok alapján beláttuk, hogy az ABCD négyszög AC átlója az x, a BD átlója pedig az y tengelyre illeszkedik Felírjuk az oldalegyeneseket egy-egy normálvektorukat ( pont) az egyenes egy normálvektor DA : x 4y 0 0 AB : x 5y 0 0 BC : 4x y 0 CD : 5x y 5 0 ; 4 ;5 4; 5; A normálvektorok között ezért az egyenesek közt sincs két egymásra merőleges (skalárszorzatuk nem 0), ezért az ABCD négyszögnek nincs derékszöge

12 b) Legyen Vektorok skalárszorzatával fogjuk kiszámítani két szemközti szög BCD koszinuszát. cos ahol CB CD CB ;4, DAB CB CD CB CD CD ; 5 CB 5 CD 4 cos 5 4 AB AD cos AB AD AB AD 0 9,, ahol AB 0 AB ;4 544 CD 5 AD 0 ; 5 cos 5 4 A az szögek tehát kiegzítő szögek, az ABCD négyszög húrnégyszög. Összesen: 6 pont

13 0) Az egyenletű parabola az egyenletű körlapot két rzre vágja. Mekkora a konvex rz területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (6 pont) x y x y 8 Az x y 8 egyenletű kör középpontja a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszpontok meghatározása: y x x y 8 y y 8 0 ( pont) y y 4 amelyek közül az A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge 90 y a feladatnak megfelelő, mert az OD OC is egy-egy négyzet átlója Tkörszelet r sin így a területe: 8 sin 4 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: x x x x x Tparabolaszelet TABCD dx A konvex rz területe: 6 T Tkörszelet Tparabolaszelet 4 4 ( pont) (5 pont) Összesen: 6 pont

14 ) Adott a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az egyenletű kör. Ebbe a körbe szabályos x y x y háromszöget írunk, amelynek egyik csúcsa A ; a) Számítsa ki a szabályos háromszög másik két csúcsának koordinátáit! Pontos értékekkel számoljon! ( pont) b) Véletlenszerűen kiválasztjuk az adott kör egy belső pontját. Mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont a tekintett szabályos háromszögnek is belső pontja? Válaszát két tizedes jegyre kerekítve adja meg! (5 pont) a) Teljes négyzetté alakítással rendezsel a kör egyenlete: x y 6 innen a kör középpontja K ;, sugara. r 4 A kör K középpontja az ABC szabályos háromszög súlypontja. Az AK szakasz a háromszög AF súlyvonalának kétharmada ahonnan. F 5; A szabályos háromszög AF súlyvonala egyben oldalfelező merőleges is így a BC oldalegyenes az AF súlyvonalra F-ben állított merőleges egyenes A BC egyenes egyenlete tehát A kör egyenletébe behelyettesítve: x 5 y A szabályos háromszög másik két csúcsa: y B 5; ( pont) C 5; b) A kérdes valószínűség a beírt szabályos háromszög a kör területének hányadosa ( pont) A kör területe: Tk A szabályos háromszög területe: A keresett valószínűség: r T h Th P 0, 4 T 4 k r sin0 r 4

15 ) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a pontra, valamint az egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége. (6 pont) x y 4 x y A feltételek az adatok alapján a keresett egyenes nem lehet párhuzamos az y tengellyel, ezért egyenletét kereshetjük az y mx b alakban Mivel a P ;5 6 pont illeszkedik az egyenesre, ezért 5 m b P ;5 ahonnan az így keresett egyenes egyenlete y mx 5 m Az adott egyenletű egyenesek a keresett egyenes metszpontjának első koordinátáját a megfelelő egyenletekből álló paraméteres egyenletrendszerekből határozhatjuk meg. x y 4 y mx 5 m b 5m y-t az első egyenletbe behelyettesítve rendezve: Mivel ezért Az x hogy m x m m esetén a két adott egyenessel párhuzamos egyenest kapunk, m m m x y 6 y mx 5 m x m m egyenletrendszerből az előzőhöz hasonló módon kapjuk, A feltétel szerint x x vagy x x 5 Az első esetben m a második esetben m A kapott értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy A feltételeknek eleget tevő egyenesnek egyenlete: 5 5 y x 5x y 5 b 5, illetve b 7 7 y x x y 7 Összesen: 6 pont

16 ) Az y ax b pontra. Tudjuk, hogy. Jelölje az x tengely az egyenes metszpontját P, az y tengely az egyenes metszpontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög területe a legkisebb, számítsa ki a területét (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)! (6 pont) a 0 ;6 Mivel a Ezzel az egyenes egyenlete: Ez az egyenest a az y tengelyt a Mivel egyenletű egyenes illeszkedik a ;6 pont rajta van az egyenesen, ezért 6 a b Q a 0, ezért 6 P ;0 a 0;6 a 6 a A levágott háromszög területe: y ax 6 a pontban, pontban metszi 6-a is pozitív 6 a 6 a T a b 6a 8 Ebből: T a a a Ennek a minimuma ott van, ahol függvény deriváltja nulla 8 Ta a ez 0, ha Mivel a 0, ezért Ez valóban minimumhely, mert a vagy Ha A keresett egyenes egyenlete: A legkisebb terület 4 egység. a, akkor a T a a 0 ( pont) a a T 0 b y x Összesen: 6 pont

17 4) Az ABC háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: AB : y 0 BC : x 0y 0 CA : y x 4 a) Számítsa ki a háromszög csúcspontjainak koordinátáit! (7 pont) b) Számítsa ki a háromszög B csúcsnál lévő belső szögét! (4 pont) a) Az pontban az Az y 0 egyenest, vagyis az x tengelyt y x 4 x 0y 0 x 0 egyenes az A 8;0 y x 4 pontban metszi x 0y 0 egyenes a B 0;0 ( pont) ( pont) egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása y ( pont) ezért a háromszög harmadik csúcsa C 0; b) Legyen a C-ből húzott magasság talppontja T. A CTB derékszögű háromszögből tg 0, ( pont) Így Összesen: pont 5,7

18 5) Egy háromszög két csúcsa a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x y x y A 8; ; B ;5 a) Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszpontjának koordinátáit! ( pont) b) Adja meg a háromszög súlypontjának koordinátáit! (8 pont) a) Az oldalfelező merőlegesek metszpontja a köré írt kör középpontja A köré írt kör egyenlete x y 5 Ebből az oldalfelező merőlegesek középpontja O ; b) A C pont illeszkedik az y tengelyre, ezért ha c jelöli a C pont második koordinátáját, akkor. C 0; c C illeszkedik a körre, ezért Ebből Az Az c 6; c ABC háromszög súlypontja: ABC háromszög súlypontja: 6) Az A pont helyvektora: OB lg ab; lg b a 0 a, illetve b c 5 c 6, tehát, azaz a C csúcsra két lehetőség van: C 0;6, C 0; S ; S ; S ; S ; OA lg a;lg b ( pont) ( pont) ( pont) Összesen: pont ; a B pont helyvektora:, ahol a b olyan valós számokat jelölnek, melyekre teljesül. a) Bizonyítsa be, hogy a B pont mindkét koordinátája nagyobb az A pont megfelelő koordinátáinál! ( pont) b) Bizonyítsa be, hogy az OA OB vektor merőleges az OA vektorra! ( pont) c) Mekkora az OA OB vektorok hajlásszöge? (4 pont) d) Legyen a, b pedig jelöljön tetszőleges -nél nagyobb valós 0 számot. Adja meg (egyenletével, vagy a derékszögű koordinátarendszerben ábrázolva) az A, illetve B pontok halmazát! (6 pont) b a a) Mivel lgab lga lgb, lg lg lg b a, így B lga lg b;lg b lg a Bizonyítandó tehát, hogy lga lga lgb lgb lgb lga rendez után kapjuk, hogy lgb 0 lga 0. A feltételek szerint 0a, illetve b, a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan növő a pozitív számok halmazán, valamint lg 0, tehát mindkét egyenlőtlenség igaz

19 b) c) OA OB BA lg b ;lg a Mivel az az vektorok skaláris szorzata a megfelelő koordináták szorzatának összege, vagyis OA OA OB OA OA OB lga lgb lgb lga 0, tehát a két vektor merőleges egymásra, OB OA OB OA OA lg a lg b OA OB egyike sem nullvektor. Mivel tehát az OAB háromszög egyenlő szárú derékszögű így d) A ;lg b OA; OB 45 ( pont) ( pont) A tízes alapú logaritmus függvény szigorú növő, folytonos, felülről korlátos függvény, így lgb tetszőleges pozitív értéket felvehet. xy ; Ezért az A pontok halmaza azon nyílt kezdőpontú félegyenes, amelynek koordinátái kielégítik az x egyenletet az 0 y egyenlőtlenséget. B lgb ;lg b A B pont második koordinátája -vel nagyobb az első koordinátájánál lgb lgb lgb tetszőleges, -nél nagyobb szám lehet, így lgb tetszőleges -nél nagyobb értéket vesz föl. Így a B pontok halmaza azon nyílt kezdőpontú félegyenes, amelynek koordinátái kielégítik az egyenletet az xy ; egyenlőtlenséget y x x Összesen: 6 pont

20 7) A Csendes-óceán egyik kis szigetétől keletre, a szigettől 6 km távolságban elsüllyedt egy föld körüli úton járó vitorlás. A legénység egy mentőcsónakban segítségre vár, a náluk lévő jeladó kzülék hatósugara mindössze 6 km. Amikor a vitorlás elsüllyedt, akkor a szigettől délre, a szigettől 4 km távolságra volt egy tengerjáró hajó. Ez a hajó állandóan zakkeleti irányba halad, a hajótöröttek pedig a vitorlás elsüllyedének helyéről folyamatosan küldik a vzjeleket. a) Igazolja, hogy a tengerjáró legénysége zlelheti a segélykérő jelzt!(7 pont) Egy,5 km magasságban haladó repülőgép éppen a sziget felett van, amikor a repülőgép fedélzeti műszerei zlelik a tengerjáró hajót, amely a vitorlás elsüllyede óta 0 km-t tett meg. b) Mekkora depresszió szög (lehajlási szög) alatt zlelik a műszerek a tengerjárót? Válaszát fokban, egzre kerekítve adja meg! Számításai során a Föld görbületétől tekintsen el! (7 pont) a) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra. A sziget az S, a metőcsónakot az M, a tengerjáró hajót a H pont jelöli. A hajó útjának az SM egyenesnek a metszpontját jelölje A. ( pont) A HSA háromszög derékszögű, egyenlő szárú, ezért AS = 4 km MA = 8 km Valamint az APM háromszög derékszögű van 45 -os szöge Ezért MP = 4 5,7 Mivel km, ezért a hajó legénysége zlelheti a jelzeket. b) A feladat feltételeit feltüntető jó ábra A repülőgép (R), a sziget (S) a tengerjáró hajó (T) egy S- nél derékszögű háromszög három csúcsában helyezkedik el. Az ST távolságot koszinusztétellel számolhatjuk ki ST cos 45 ( pont) ST 7, km A depresszió szög nagysága megegyezik a TRS derékszögű háromszög RTS szögének nagyságával (váltószögek). RS,5 tgrts TS 7, A depresszió szög kb 5 nagyságú Összesen: 4 pont MP 6

21 8) A derékszögű koordináta-rendszerben az ABC háromszög csúcsai:,,. Határozza meg a p paraméter pontos értékét, ha a háromszög B csúcsánál levő belső szöge 60 -os. (6 pont) A ; B 7; 4 C ; p Az ABC háromszög AC oldalára felírva a koszinusz tételt: AC AB BC AB BC 0,5 ( pont) AB 50 BC p AC p p 6 4 8p p 8 p8 A kapott értékeket visszahelyettesítve a koszinusztételbe a következőt kapjuk: p p 8 p 8p 50 p 8p Rendezve: 50 p 8p 0p Mivel a baloldalon pozitív szám áll ezért p > 0 Négyzetre emelve egyszerűsítve: p 8p p ( pont) Amiből adódik Ebbek az egyenletnek a gyökei: p 4 4 p 4 4 ( pont) p 8p 0 Mivel p > 0, ezért csak a p = megoldás lesz jó Összesen: 6 pont

22 x y 9) Az ABCD húrtrapéz köré írt körének egyenlete. A húrtrapéz szimmetriatengelyének egyenlete x y 4. A trapéz AB alapjának egy belső pontja P 5; 00, BC szárának hossza pedig 0 egység. Határozza meg a trapéz csúcsainak koordinátáit! A trapéz alapjának egy normálvektora az A P 5; ponton áthaladó AB alap egyenlete n ; vektor x y (6 pont) Ennek a trapéz köré írt körrel való metszpontjait tehát a trapéz két csúcsának koordinátáit az x y 00 x y egyenletrendszer megoldásai alkotják Az kifejezt behelyettesítve a kör egyenletébe az másodfokú egyenletet kapjuk. x y Jelölje a trapéz köré írt kör középpontját K. y 4y 0 Mivel a kör sugara 0 egység, a trapéz szárai pedig 0 AKD a CKB háromszögek derékszögűek. Ezért KA 0;0 vektor 90 os elforgatottja pedig a KC vektor. Ezért vagy KD 0;0 vektor 90 -os elforgatottja a KD vektor, a vagy KD Azaz vagy D ;, vagy ;8 A ; 8 0; 0 egység hosszúak, az ( pont) KB 6; 8 ( pont) D pont a trapéz szimmetriatengelyének A-val ellentétes oldalán van, így a jó megoldás ; Hasonlóan vagy Azaz A C 5; 4 ;8 tehát C ; 8 D KC, vagy 8;6, vagy C 5; 4 KC 8; 6 ( pont) pont a trapéz szimmetriatengelyének B-vel ellentétes oldalán van, így Összesen: 6 pont

23 0) Egy ABCD négyzet A csúcsa a koordinátarendszer y tengelyére, szomszédos B csúcsa pedig a koordinátarendszer x tengelyére illeszkedik. a) Bizonyítsa be, hogy a négyzet K középpontjának koordinátái vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei! (8 pont) b) Egy ilyen négyzet középpontja a pont. A négyzet oldala 0 egység hosszú. Számítsa ki a négyzet koordinátatengelyekre illeszkedő két csúcsának koordinátáit! (8 pont) a) Legyen A0; a ;0 Ekkor az AB szakasz felezőpontja Ebből adódóan 7;7 B b (de a b 0). b a FB ; F b ; a Ha a négyzet középpontja a K pont, akkor FK elforgatottja. Tehát FK a ; b vagy.. a b FB ; az FB 90 o -os vagy -os 90. Az F pont helyvektorát jelölje f, ekkor a K pont helyvektora k f FK, azaz k a b ; a b vagy k b a ; a b. ( pont) Tehát a K középpont koordinátái valóban vagy egyenlők, vagy egymás ellentettjei. b) A négyzet körülírt körének sugara az átló fele, azaz 5. A körülírt kör egyenlete: x 7 y 7 50 x 0. A kör y tengelyen lévő pontjait helyettesítsel, az x tengelyen lévő pontjait az helyettesítsel adódó egyenlet adja meg. A kapott két egyenlet így: y 7 y 0, illetve x 7. Ezeknek a megoldásai: y 6 x 6 Tehát a tengelyeken négy pont lehet a négyzet valamelyik csúcsa:. y 8, illetve 0;6, 0;8, 6;0, 8;0 x 8. Figyelembe véve, hogy két szomszédos csúcs távolsága 0 egység két megoldás adódik:. ( pont) 0;6, 8;0, illetve 0;8, 6;0 A B A B Összesen: 6 pont o