45 különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-35}. b) $ =- 1& = 0, nem felel meg a feladat feltételeinek.
|
|
- Ida Kocsisné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az egyenes egyenletei 8 67 a), n( -) x - y b) x - y c) n( ) x+ y- d) n( -), x- y 7 67 a) y x b) n(b a), nl(a - b) ax - by 0 c) n( -) nl( ) 7 x + y 7 d) x - y e) x - 9y f) x + y g) x - h) - O, 77 n( ) nl( -) x - y a) p Ebbôl a két egyenes: x - 8y, illetve x - 8y -q ét 8 p különbözô egyenest kapunk, ha q! R\{-} b) $ - p-, q! R 8 p T(a b) 678 n$ n a + a 0 a - az a 0, ne felel eg a feladat feltételeinek 679 a) AB( ) n( -) x - y 0 b) n BA( 8 7) 8x + 7y - c) AB( 0 8 ) n( 0) x, továbbá n(0 ) y 680 v AB( x - 9) n(9 - x), nl( ), n $ nl 6 + ( - x) 0 x AB( 0 y - ), n( ), AB n AB $ n 0, 0 + ( y- ) 0 y- 68 x - y -, x + y 6 x- y- 68 a) e: x - y -, f: x + y 0 e + f: M(, 7 7, ) x+ y 0 a 6, b) e: x+ y 0 f:x + y - e+ f: - O nn $ $ + $ 9, n 9, nl, 9 9 $ $ cosa a, a) F AB - O b) F 0 AB O 68 a) F( - ), AB( 6) n( ) x+ y- b) x- 8 y 7 c) x + 0 d) y AB felezôerôlegese: 8x + y, aelyet a pont koordinátái kielégítenek, tehát igaz az állítás 687 Az AB felezôerôlegesének és az adott egyenesnek a etszéspontja adja a egálló x+ y 7 helyét AB felezôerôlegese: x + y 7 x- y M O AM, k 688 Az elsô egyenes az y tengelyt az E (0 -) pontban, a ásodik egyenes az E (0 -) pontban etszi F(0 -) A középpárhuzaos: x - y 9 ( ) 689 A feladat feltételeinek két egyenes felel eg: e Q és e AF Q Q( - 6) n( ) e : x + y 7 FQ( ), AF( - 6) n( ) e : x + y
2 árhuzaos és erôleges egyenesek 690 a) ét ilyen egyenes van: x - 6y + 9 0, illetve x- y 69 b) x - y + 0, illetve x - y CB( ), CA( - 0), CB $ CA 0 a hároszög derékszögû eressünk többféle egoldást is 69 n(8 ) egyen O az origó, (0 8) az átfogó felezôpontja Ekkor OC O + n OC( 8 ), C( 8 ) nl(- 8) az n 90c-os elforgatottja OA O + nl, OA( - 6) A(- 6) A-t -ra tükrözve kapjuk a B( 0) csúcsot AC egyenlete: AC( -), n( ) x+ y 9, BC egyenlete: BC( ), n( -) x - y 6 C csúcsot -ra tükrözve is egoldást kapuk égtelen sok egoldás létezik, ert OC OA + k $ n is egoldást ad, ahol k! R\{0} 69 I egoldás: AM egyenes egyenlete y - (x + ) BM egyenes egyenlete: y ( - ) y x+ + B( 0 + ) x y, x B O Mc0 b 6 - l, - - Mc0 - b 6 + l II egoldás: BM( - y + 6) AM $ BM 0 egyenlet egoldásával kapjuk B koordinátáit III egoldás: AM + (y - ), BM + (y + 6), AB itagorasz tételét alkalazva AM + BM AB Az egyenlet egoldásával egkapjuk M koordinátáit 69 x + y 69 Az adott pont és az adott befogó egyenes távolsága adja a befogó hosszát, aelybôl a kívánt agasság kiszáítható A befogó egyenlete: x + y BC + AC C C( - ) AC, C O 697 A( ), B(8 b), C(- c) CA( 6 - c), CB( 0 b- c) CA CB CA$ CB 60 + ( -c)( b- c) 0 c -( b+ ) c+ b Akkor létezik a feltételnek egfelelô hároszög, ha az egyenletnek legalább egy valós egoldása van, vagyis D $ 0, D ( b+ ) - ( b+ 60) $ 0 b $ + vagy b # Ha a kocka éle a, akkor a befogók: a és a egyen A(a 0), Bb0 a l, C(0 0) a Ekkor A, C a a, AA a a 0, CC a a O O O O - O O O O a a AA$ CC- + 0 AA CC a O 699 egyen Ab0 a l, B(-a 0), C(a 0) S 0 SC felezôpontja O F a a O 6 O
3 6 Az egyenes egyenletei f :, F a a a O n b - l i x- y a, y 0 x H a 6 O 0 O a BC oldal haradolópontja Ugyanígy f egyenletét kielégítik a ásik haradolópont koordinátái 700 A(9 0), B(- -6) 70 egyen A(0 a), B(b 0), C(-b0) D(0 0) AC( b a ), n(a -b), AC: ax - by -ab, ax- by-ab / $ a a x- aby-a b DE: bx + ay 0 DE + AC E bx ay / $ b b x+ aby 0 a b ab a b ab x - y, E - O a + b a b a + b a + b O F a b a b ab O - + a + b ` j ` j O a b+ b ab EB - O a + b a + b O FA a b a b a + ab O EB + a + b ` j ` j O $ FA 0 EB FA 70 AT egyenlete y Mivel BC 9 AT, BC egyenlete x 6 Ezért F(6 ), B(6 b), C(6 c) F a BC felezôpontja: c 6 - b AB BC b -b B b6 7 + l, C b6 9 - l, B b6 7 - l, C b6 9 + l 70 kielégíti a szietriatengely egyenletét, tehát Q R QR a hároszög alapja T 6 7 legyen az alap felezôpontja QR: x+ y- QR + T T T - O Az egyenlô szárú QT $ T Q $ hároszög száraihoz tartozó agasságai egyenlôk $ t QT t QR, $, 6 QT, T, Q 9, 70 (-0 -) 70 Mivel Q párhuzaos az adott egyenessel, Q felezôerôlegese etszi ki az egyenesbôl a keresett pontot M( - ) a) - O b) _, -, i 707 a) b : x BA( 6-6 ) n( -), C(0 0) c: x- y 0 b+ c M x x- y 0 M( ) b) M(- - ) c) M( -6) d) b : x 0 CB n(c b) x ac 0 a : cx + by ac cx+ by 0 M 0 b O e) AB( - ), c : n( - ), C( ) x - y BC( - ), a : n( - ), A( ) x - y -7 a + c M x- y / $ x x- y-7 y M O 708 a) S O A körülírt kör középpontja az oldalfelezô erôlegesek etszéspontja AC felezôerôlegese: x + y, AB felezôerôlegese: x ( ) b : x + y,
4 árhuzaos és erôleges egyenesek 7 c : x, M( ) MS -, O S -, O ebbôl: MS $ S, a háro pont egy egyenesen van b) S, O ( ), M( ) a háro pont az y egyenletû egyenesre illeszkedik c) S 7, O, O M, O SM $ S d) S 6, O, O M -, O 70 SM $ S 709 Mivel a háro nevezetes pont egy egyenesen van, ezért közülük kettô eghatározza az Euler-egyenest x - y 70 AB + a A A (--) AB + b B B( ) BC : x + y, AC : x - 7y BC + AC C C( 6) 7 a) BC : x, AC : x - y - BC + AC C C( ) b) C - O c) C(67 -) 7 a) Az adott pont koordinátái ne elégítik ki egyik agasságvonal egyenletét se, ezért legyen: A( - ) b :7x-y c :x-7y 6 AC 9 b, AC:x + 7y - AC + c C C( --) AB 9 c, AB:7x + y AB + b B B( ) b) B(- -), C(7-7), c) B(- -7), C(-0,,9) 7 A A egyenlete: x + y T az A F-re vonatkozó tükörképe T( - 6 ) TA CB TA egyenlete: x - y - TA + A A A A (- 6 ) A-t F-re tükrözve kapjuk a B(- -) csúcsot BM 9 AC, AC: x + y 6, BC: x - y 6 AC + BC C C( 0 ) x 7 egyen C(x y ) Ekkor () x - y 0, S(x y) x x x + és + 0+ y y y y - Behelyettesítve ()-be, (x + ) - (y - ) 0 6x - 9y -8, 7 kivéve az egyenesnek azt a Q pontját, aely AB egyenesére illeszkedik, ahol Q O 7 AS : SA : A (9 0) BC 9 AM, BC egyenlete: x - y 8 AC 9 BM, BM( b- b+ ), AC egyenlete: (b - )x + (b + )y 0 BC felezôpontja A, innen b + c 8, b + c 0 B koordinátái kielégítik BC egyenletét: b - b 8, C koordinátái kielégítik AC egyenletét: (b 7 - )c + (b + )c 0 Z b+ c 8 ] b+ c 0 A kapott [ b- b 8 egyenlet- ]( b- ) c+ ( b+ ) c 0 \ rendszert egoldva kapjuk: B( 6), C(6-6) A feladatnak egy egoldása van
5 8 Az egyenes egyenletei 76 x y a) I egoldás: egyen A( ), C( ) A négyzet középpontja O C - O kal elforgatva D O OD O + D, OD( ), D( ) D-t tükrözve -ra: B( ) II egoldás: A keresett B, illetve D pont rajta van AC felezôerôlegesén, és D B C A AC felezôerôlegese: x - y -7 A D A D x- + y- x + y -7x- 7y+ 0 O O y - 7y+ 0, y x y-7, y, D( ), B( ) 7 b), O - O 78 C(- - ) B( - 6 ) D(6 0) 79 -ból AD-re állított erôleges kietszi AD felezôpontját, F-et F egyenlete: x- y- n( ), x + y AD + F F F (- ) x+ y F( - ) kal elforgatva: E ( ) E FD iatt OD OF + FD, OD ( 0) D ( 0) D-t F-re tükrözve: A(- 0), A-t -ra tükrözve C( ), D-t -ra tükrözve: B( -) 70 e : x + y + 0, e :6x-y, e :x-y, e :x + 8y n ( ), n (6 - ), n ( - ), n ( 8) n n, illetve n n, n $ n 0 n 9 n, illetve n $ n 0 n 9 n alóban téglalapot határolnak 7 D ( ) C(7 - ) 7 AC egyenlete: y 6 AC + AB A A ( 6) A-t M-re tükrözve: C( 6) AB 9 BC, BC: x + y 0, AB + BC B B( ) B-t M-re tükrözve: D(0 0) 7 A ( ) D (-- ), B( ) 7 AB egyenlete: x - y - C! y x - C(c c - ) AC AC 0, (c - ) + (c - - ) 0 (c - ) c -! C (7 6), C (- -) CB 9 AB, C B: n( ), x + y 7 C B: n( ), x + y - AB + C B B B ( 8) 9 7 AB + C B B B (--) AC felezôpontja:, O C -t -re tükrözve: D ( ) AC felezôpontja: -, - O C -t -re tükrözve: D ( -) 7 B( ) D(- 6) 76 BD átló egyenlete y x - A-t M-re tükrözve: C( 6) egyen B(b b ), b b -, AB( b b - 6), CB( b - b - 8) AB CB AB $ CB 0 b (b - ) + (b - 6) (b - 8) 0 B ( 0), B ( 0) Mivel B D és B D, a feladatnak egy egoldása van
6 árhuzaos és erôleges egyenesek A téglalap középpontja:, O A A B A B egyen B(x y), 7 ahol x y B(y y) y- + ( y- ) O Így B (6 ), B O B-t -ra tükrözve 7 kapjuk D-t, D ( ), D O 78 egyenek a téglalap csúcsaihoz vezetô helyvektorok rendre: a, b, c, d Ekkor, AB b- a, AB( - ), $ AB( 9 - ) AB 90 -os elforgatottja BC ( 9), illetve BC ( - - 9) c b + BC, c b+ BC, d a+ AD, d a+ AD, ahol AD BC, 9 AD BC Innen: C 9, O C - 9, O D 0, O D - -8 O 79 egyenek a téglalap csúcsaihoz, illetve az adott felezôponthoz vezetô helyvektorok rendre a, b, c, d, e, f FE ( e-f)( 9 - ), FE( - ) FE kal elforgatva: BA CD( ) BA EA O a e+ EA A ( 0) d f+ FD, ahol FD EA Innen D(- ) A-t E-re, D-t F-re tükrözve: B( -), C(-6 0) 70 egyen A(0 0), B(b 0), C(b a), D(0 a) A + C x + y +(x - b) +(y-a), B + D (x - b) + y + x + (y - a) 7 egyen A(a 0), B(a b), C(0 b), D(0 0) a b O e e, e e, és e 9 e, e : y x, e : y - ( ) x - a a a e + e A, A + + O e : y - b (x - a) y x - a + b e : y- x + b e + e C, C ( a + ) b-a O + + O R S a a a A C felezôpontja (x y ) x, + + W S + W R T X S ( + ) b- a+ a W b y a b S + W O T X 7 7 egyen A(0 0), B(b 0), C(b a), D(0 a) A szögfelezô egyenlete: y x (b b) BD egyenlete: ax + by ab ab ab BD + A M M a + b a+ bo AC egyenlete: ax - by 0, ab b b ab y x, O DB( b - a), a + b a + b a + b a+ bo ab b O DB $ 0 DB a + b a+ bo
7 0 Az egyenes egyenletei 7 A(6 6) illeszkedik az x - y - egyenletû egyenesre A-t -ra tükrözve: C( ) DB 9 AC, BD egyenlete: x + y 8 AB + BD B B( ) B-t -ra tükrözve: D( ) 7 AC egyenlete: x - y - BD egyenlete x + y 7 AB( - a b) kal elforgatva A( b a ) p a+ A, (a + b a) B felezôpontja a + b a + b O CB( a b ), +90 -kal elforgatva CS( - b a) s c+ CS, S(-a -b a), SB a b a b felezôpontja: O - Hasonlóan: M a+ b - a+ b O, a + b a + b - O Innen M( a + b a+ b), ( -( a + b) a + b), tehát M $ 0 és M M négyzet 76 A (- - ) C( ) B( - - 6) D(-6 8) 7 77 BD átló x - y AC : x + y 9 AC + BD O A-t -ra tükrözve: C( ) a 9 AB : BD: 9 ( x- 7) + _ y- i 9 Innen B(9 7), D( 0) x- y BD, AC a, (a > 0), BC a + BD $ AC t BC $ a $ a + a + a a A ( 0 ), C( - 0) AB egyenlete: y x-, BC egyenlete: y- x- CD egyenlete: y x+, AD egyenlete: y- x+ 79 AB( ) CD( ) CD:x-y -7, B( ) n BC( - ) BC: x - y 9 CB + CD C C( 9) AC felezôpontja, O B-t -ra tükrözve: D( ) AB 9, BC 0, innen k ( 9 + 0) 9 70 E 8 0 O 7 A-t Q-ra tükrözve: C( ) BQ egyenlete: x - y 0 AB: x + y AB + BQ B 0 B O AC, BQ, BD, t $ $ területegység 7 Az AC egyenlete y AB, C(c ) BC ( c - ) + ( c- ) + 0 ( c- ) 6 c, c -, C ( ), C (- ) B-t AC felezôpontjára tükrözve kapjuk a D pontot Így D (6 ), D (- )
8 árhuzaos és erôleges egyenesek 7 BD AC 9 7 E, O F ( 99) AE: y x, AF: y x, 8 BD :x + y 0 AE + BD ( 8), AF + BD Q Q ( 66) BD haradolópontjai: H ( 8), H ( 66), tehát H, Q H 7 CE: dx + cy d(d + b) + c, E dx+ cy d + db+ c x 0 c + d + bd E 0 O c O ED d d bd - + O c AC( b + d c), ED $ AC bd + d -d - bd 0 O ED AC Ha a paralelograa téglalap, akkor E D A feladat állítása elei úton is könnyen belátható Az ACE hároszögben CD, illetve AD agasságvonalak, etszéspontja D, a hároszög agasságpontja Így ED a haradik agasságvonal c C(c ), D(- d), A(-7 ), B( -7) c C( ), d d D( - ) E (- ), F ( 8 - ), EF( - ) n( ) EF: x + y - egyenesre tükrözzük a paralelograa csúcsait EF-re erôleges egyenesek x- y -8/ $ norálvektora: n( -) AT :x-y -8 AT + EF T x+ y- T - O A-t T -re tükrözve: A (- 6) A -t E-re tükrözve kapjuk a D (- -) pontot Mivel A D 9 az x tengelyre, B C is erôleges, ezért B C egyenlete: x 8 DC( - ) n( ), CD: x + y B (8 ) B -et F-re tükrözve: C (8-8) 7 77 AB( 8) n( - ), GH egyenlete: x - y -, BC egyenlete: x 8, AD egyenlete x 0 Innen: G 0, O H 8 O AB egyenlete: x - y 0, DC egyenlete: x - y -, EF 7 egyenlete x Innen: F, O E O FH( ) n( - ), FH egyenlete: x- y, AC( 80) n( - ), AC egyenlete: x - y 0, 76 GE( 7) n( 7- ), GE egyenlete: 7x- y _ 7x- y- - GE + FH M b ` - x- y / $ b a M -0- O AC egyenletébe behelyettesítve: $ 0, így indháro egyenes át- egy az M ponton
9 Az egyenes egyenletei 78 Tükrözzük a C pontot az AB felezôerôlegesére a) F --, O AB( - 67 ) n( - 67 ) A felezôerôleges f: - 6x+ 7y e 9 f, e: 7x + 6y - T O 6 C-t T-re tükrözve: D O b) D - O c) D(, -6,) AC $ BD 79 I egoldás: AC 6 t BD AM : MC : M 6 O MC $ MB MC MC 8 8 O os elforgatottja MB -, O os elforgatottja MD - O OB OM + MB, OD OM + MD Innen B(7, ), D(, 8) II egoldás: MB, M 6 O B, illetve D az AC-re M-ben állított erôlegesre illeszkedik x+ y 6, O illetve egység távolságra van M-tôl Így B-t, illetve D-t az _ b x- + ( y- 6) O b ` egyenletrendszer egoldása adja 6 b x+ y b a 70 a) egyen A(-a 0), B(a 0), M( 0) Ekkor D(-a a + ), C(a a - ), CD felezôpontja F(0 a), DC(a -) n(a -) CD felezôerôlegese: ax - y -a AB felezôerôlegese: x 0 (0 a), ha! 0 Ha 0, akkor a két felezôerôleges egybeesik b) CD( a - ) n( a), CD: x + ay a M: n(a -), ax - y a CD + M ax - y a a a - a O a + a + a a - a A O x+ ay a a + a + O a + a + O a -a -a a - a B O a + a + O 7 ( a ) -( a + a ) + ( a -a ) A $ B ( a + ) a - a 0 ( a + ) 7 egyen 0 < p < a, (p a - p), ( p p- a), - bôl -re bocsátott erôleges egyenlete: px + (p - a)y p - (p - a) px + (p - a)y pa - a Bárely p-re Q(a a), pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét
10 ont és egyenes távolsága Területszáítás 7 egyen O az origó, (k k ), (l l ), 7 M k + l k + l, O (- k k ), (l - l ) [( l+ k) ( l+ k)] OM -nak a os elforgatottja k+ l k l - +, O ennek kétszerese Ebbôl következik, hogy $ OM és OM M + x + y 7 M + O, O akkor iniális, ha O 9 AB O x + y ab AB $ ab Az OAB hároszög területe: t, ahol AB a + b Így a keresett iniu: AB ab a + b 7 egyen A(a0), B(b0), C(0 c), (x y) B + C $ A (x - b) + y + x + + (y - c) (x - a) + y (a - b)x - cy a - b - c, ai egyenes egyenlete ont és egyenes távolsága Területszáítás x+ y+ 0 6x- 8y+ 7 a) A + B 9+ 6, 0 b) 0 0 x+ 7 y- x- y+ c) 0 d) 0 76 a) Az origón átenô, az adott egyenesre erôleges egyenes egyenlete: x - y 0 M : x + y x x x- y 0 +, y, M O d MO + O O 0 $ 0 b) d - + c c) d d) d e) d 0 A + B f) x y d 77 n( ), A(- ) :x + y 7 x- y-6/ $ 9x- y-8 x 00 x+ y 7/ $ + 6x+ y 8 x, y 7, M( 7 ) d MA 6 + (- 8) 00 0
11 Az egyenes egyenletei 78 a) ( ), f 9 e, f : y- ( x- ) y x+ _ y- x+ b 8 0 M : M y x+ ` O d M + b O O a $ (-)-$ b) d c) d d) d 7 e) d f) d 8 0 g) d d Az A(7 ), B( ) pontok kielégítik az egyenes egyenletét Ezért: 7a+ b a a a+ b Innen y- x+ x+ y- 0 d ( 6) 76 S( ), AB egyenlete: x - y d -0-6 BC egyenlete: 9 9 x - y - d 0 6 AC egyenlete: x - y 8 d S - O b egyenlete: x + y d 76 A ( ), B( 0 0 ), C( 0 ) a b 6 c 76 A(- 6), B(- -), C( ) a 7 70 b 70 c a) A(0 0), B( ), C(7 -) AB, AB( ) n( - ), x- y 0 8 c + $, t területegység b) Foglaljuk az ABC hároszöget a 6$ 7 $ 6 8$ CQR téglalapba Ekkor t t CQR - t CB - t BQA - t CRA, t 7$ területegység c) 7 területegység
12 ont és egyenes távolsága Területszáítás d p, e > 0, dq, e + + > 0 a két pont az egyenes ugyanazon oldalán van a) álasszuk ki az A(0-6) pontot a x - y 6 egyenletû egyenesen, és száítsuk ki A távolságát a ásik egyenestôl v( -) n( ), x + y -8 a erôleges egyenlete x y M - x+ y-8 0 O d MA b)! e, (- 0), d, e c) d) 768 A két egyenes távolsága adja a négyzet oldalának hosszát A x - y 0 egyenletû 0 ( ) 6 egyenes egy pontja: (0 -) d t területegység 7 l- l+ 769 (k l), k,l! Z d! Q 770 a) Ax + y + 0 egyenletû egyenes egy pontja: (- -) Az adott egyenessel c párhuzaos egyenes egyenlete: x + y + c c - c 0, c 0 A keresett egyenesek: x + y + 0 0, x + y b) x + y + 6 0, illetve x + y - 0 c) x - y - 8 0, illetve x - y a) x - y 6 egyenletû egyenessel párhuzaos egyenes egyenlete f : x - y + c 0, 0 0 c O(0 0) d0 f c 6 c! 6, f : x- y! 6 0 Ha d 6, akkor x- y! 0 b) x + y + 0, illetve x + y + 0 c) x + y + 0, illetve x + y - 0 d) y x+! x+ ny+ -n 77 egyen n( n) x+ ny- + n 0 - n n + n + n 0-7 x + 0, illetve 7x- y x+ ny+ -n 6+ n+ -n 77 egyen n( n) 0, n x y n + n x+ y, n - x- y - - x+ y- x- y+ p (p 0), x- y p, p -, 9 0 O, - 0 O
13 6 Az egyenes egyenletei 77 Az A( ) és B( -) pontoktól egyenlô távolságra a felezôerôleges pontjai vannak 9 f : x- 7y x- y 9 A x - y - 0 egyenes egy pontja ( -) e: a x - y - 0 egyenestôl egységre haladó párhuzaos egyenesek e:x- y + c c c + c - : - y -, e : x- y + e+ f x- y O x- y 9 O e+ f x- y O x- y 9 O 776 Ha 0, 0 a két egyenes norálegyenlete, akkor azon pontok értani helye, aelyek a két egyenestôl egyenlô távolságra vannak: ( - )( + ) 0 x+ y- - 0, illetve + 0 a szögfelezôk egyenlete a) x+ y- 0 0, x- y+ 0 x+ y- x- y+ 0 x- y , + 0 9x+ y+ 7 0, x+ y- x- y+ 0-0 x- 9y+ 0 b) b- l x+ b -l y- 0, b- l x- b+ l y+ 0 c) x-y- 0, -x- y+ 0 0 d) x + y vagy x - y Az egyenes és az x tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x - y + + y x- y+ 0 x+ y+ 0, - y 0 x - 8y + 0 Az egyenes és az y tengely által alkotott szögfelezôk egyenlete: x- y+ x- y+ + x 0 9x - y + 0, illetve - x 0 x + y AB: x - y - 60 Mivel AB norálvektora a hároszög belsejébe utat, ezért a belsô pontok távolsága AB-re is, AC-re is pozitív x y 6 AC egyenlete: y 0 BC( 9 - ) n(- -), BC egyenlete: x- y+ 60 x- y+ 60 x y 6 fa : y x- y+ 0 0, f : b, -x- y+ 6 8x+ y- 0, fc : y x+ y- 9 0 fa+ fb x- y-0 O 8x y ( + ) és ez kielégíti f c egyenletét A beírható kör középpontja O( ), r A belsô és külsô szögfelezôk erôlegesek f bl : n( -8) x - 8y -96 x- 8y-96 f cl :x-y 8 fbl+ fcl x- y 8 ( 6 ), ez a pont kielégíti f a egyenletét
14 ont és egyenes távolsága Területszáítás A ( ) ponton átenô egyenes norálvektora legyen n( n) egyenlete: x+ ny-n- x+ ny + n 0 da,e $ d BE n + + n-n- $ --n - - n+ $ -n- (-n - ) -n + n + n + 9 vagy (-n - ) n -, ahonnan: n - vagy n - Így e 8 :8x-8y -9 vagy e :x-y 780 x-y- 6 x-y- e : 0, e : 0, ( b) x-y- 6 -b - 78 egyen n( n) x+ ny + n - b - b - b Y -b - b b - b x+ ny-n- 0, n + + n-n- --n - $ $ n - n +, n + n + n - 9, n - e :9x-y, e :x-y - 78 Mivel e e, a keresett pont az adott e: x + y 6 egyenletû egyenes és az e, e, középpárhuzaosának: k-nak a etszéspontja e : x- y-, e : x- y 8, E ( 0 - E( 0 ) 0 O k: x - y - k + e O x- y+ 8 x-y e : 0, e : 0, ( 0) d: > 0, d : 7 x- y+ 8 x-y- - < 0, ezért a szögfelezô: - x- y Az alap egyenese: n( ) x + y A csúcsok: + (- 6) x+ y x- y-8 x y x+ y O x y 8/ 8 - $ x- y O 78 l^ -h 78 A visszavert fénysugár egyenlete: 8x - y -76 A beesô fénysugár egyenlete: x - 7y A visszavert fénysugár: 9x - y e: x - y Tükrözzük A-t e-re, a tükörkép legyen A A B szakasz a két pont között a legrövidebb A B esse e-t M-ben Mivel A M AM, így M a keresett pont M ^ -h
15 8 Az egyenes egyenletei T $ p$ p$ sin( b-a ) p$ p( sinbcosa- cosbsina ) $ ( psinb$ p$ cosa- pcosb$ p$ sina ) Mivel p $ sin b y p $ cos a x p $ cos b x p $ sin a y, ezért T x$ y- x$ y 789 A hároszög területe t a# b ahol a(x - x y - y 0), b(x - x y - y 0), Alkalazzuk a vektoriális szorzat i, j, k együtthatóinak kiszáítására vonatkozó összefüggést Ekkor a bizonyítandó területképletet kapjuk 790 a) (- -), (6 ), ( 6) t - ( - 6) + 66 ( + ) + $ (-- ) 0 területegység b) 0 területegység c) A(0 0), B( ), C(7 -) AC^7 -h, 9 AC 0, BC^ h, BC 9-0 $ 9 cosa cosa 0 $ sina t $ 0 $ 9 $ területegység d), területegység, e) A( 0), B(- 0), C( 8) t területegység f) területegység 0 $ 9 0 $ 9 AB $ 8$ a b, c 7 79 A( ), B(- ), C(c 0), t 0 0 ( -0 ) -0 ( - ) + c ( - ) - c 0 c, c -8 C ( 0), C (-8 0) AB $ c 79 A(- -), B( ), AB t c A haradik csúcs az AB-vel párhuzaos, A-tól, illetve B-tôl távolságra levô egyenesen van: x- y+ c c 0 c + 0 c 9, c - e : x - y + 9 0, e : x - y - 0 A C csúcs a kapott egyeneseken, ( )-tôl egységnyire van C C ( x ) ( y ) x- y+ 9 0 C ^ 7h, C ^ h, illetve ( x ) ( y ) x-y- 0 C^9 -h, C ^ -h c 6 79 AB, 8 c AB^ - h n( ), x+ y x + y - 0 x x x, x - 8 A feltétel iatt C O
16 ont és egyenes távolsága Területszáítás 9 79 a), területegység b) 9, területegység 797 c) 7 területegység d) 0 területegység e) 7 területegység 796 AC, BD 0 AB AD AB AD és AC 9 BD a négyszög deltoid AC $ BD t 7 területegység 797 Mivel toa toab, az AB szakasz A-hoz közelebb esô haradolópontja: a b O t OQ t b BQ Q az OB szakasz felezôpontja: Q 0 O 798 A hároszög csúcsai: C _ i B_ -0 0i A_ 0 0 i AC 0, 6 b 0 - t $ $ területegység c c c - A(- ), B( ), C ( 0) t területegység A(- ), B( ), C (- 0) egy egyenesre esnek, ilyen hároszög ne létezik 800 Az c az y tengely, ezért AB párhuzaos az x tengellyel, egyenlete y 9 AC egyenlete: y x- 7, ( > 0 ) b: y- x 6 A f 9p 6 6 B^-9 9h AB + 9 $ $ 9, 6 AB $ Miniua akkor van, ha 9 A( 9), B(- 9), AB, c 6, t 9 területegység 80 a), Q, t ABCD + t CDE területegység b) Q, R, t BDF + t AEC - t ADM területegység c) R,, t ABCD + t BDF - t ABCD + 8 területegység 80 AB^ - h n AB( ) AB e c d A, e 0 9 d A, e AB t $ $ 8 területegység 80 AB, AB: y, C(c7) C rajta van az y 7 egyenletû egyenesen c, t Y 9 Ilyen hároszög ne $ c ( c 6 ) létezik 6c c
17 0 Az egyenes egyenletei q q ( ` - j+ + d) `q - j+ ( + d)( -q) 00, q d - dq + d 00, (q - ) d 00 $ $ $ 9 iatt (q - ) q vagy q 0, de a feladat feltételeinek ez utóbbi ne felel eg q, d 00 B(00 ), C(800 ) 80 A ( 6) ponton átenô egyenesek egyenlete: y - 6 (x - ) A hároszög csúcsai: x - y - y 0 y x A (- 0) y 0 B 0 O x- y -6 ( - ) - 6 x- y- C - - O AB c - - ( - 6) $ ( - ) 7 - A keresett egyenesek: x + y 9, illetve x - 7y AD 9 - d, 0< d < 9, AC: x + y : 9 D x y + d AC + D M 9 _ y 9- x b dx 9x ( -6d) dx ` d- 9- x t ABC y d- 7- d 8, t ADM 9 b a ( - 6d) $ $ ( 9 - d) d - d+ 8 0 d 7 - d d,, ai ne egoldás DM egyenlete: x + y 807 A ( 0 0 ) B( 0 0) C(0 0) Az átfogóra erôleges egyenes a hosszabbik befogót _ x+ y 0 b 0 ( - b) etszi, egyenlete: y x+ b, ahol 0 < b < 0 M: y x+ b ` x b a 0 $ 0 ( 0 - b) $ ( 0 - b) t $ ( 0 - b) 0 b 0-0 a feltétel iatt A keresett egyenes: y x+ 0-0 x + 0 y S az AA szakasz haradolópontja:, 6 A (6 6) B(b 0) A a BC felezôpontja C(c ) Az AA B hároszög területének a kétszerese az ABC hároszög területe t ABC 6 területegység
18 ont és egyenes távolsága Területszáítás 809 t ABC t ADC - t BEC - t ADEB ` + j` -j-` 999 -j`000 -j-` j$ C ` - $ + j területegység 80 A hároszög haradik csúcsa C(c -c) AB párhuzaos az x tengellyel c c + CA esse az x tengelyt A -ben, CB pedig t c B -ben CAB + CAB t ( c ) + c c + c + b l C cb + l - b + l 8 egyen AC irányvektora v (7 6) AC :6x-7y -0 BC irányvektora v ( ) BC :x-y 0 AC + BC C C( 0 0 ) AB, c 6 t területegység Ha AC irányvektora v ( ) AC: x - y BC irányvektora v (7 6) BC :6x-7y C( 0 - ) Innen c 6, t területegység 8 A(0 6), B(b 0) AB 0 b +6 00, b!8 B (8 0), B (-8 0) C (0 ) Hasonlóan C (6 ) t AB C 0 területegység t ABC 8 területegység 8 A( ), S( ), B(b 0) C(0 c) B( 0), C(0 ) t 9 területegység 8 sa+ sb S S( ) tabc $ tabs területegység 9 8 9$ 8 tabc tabcd- tacd + $ - területegység AC: y k x k 9x y, 9 E k k 9 O, Gk ( ), 0< k < 9 t CGE, ( k) k O ( 9- k) k!6 k, k, ai a feltételt ne elégíti ki Tehát az egyenes: x 86 AD( - 6), AB( 8 ) AD $ AB 0 AD AB AD AD CD t $, CD AD CD, ezért CD az AD -90c-os elforgatottja: CD( 6 ) C( 0 ) 0 $ c 87 AB 0, 0 c 8 C rajta van az AB-vel párhuzaos, A-tól 8 egység távolságra levô e egyenesen e: 0, 8 x- y+ c 6 $ - 8 $ + c 8 c- 0 c, c -6 e : x - y + 0, e : x - y C( - 0 6) C ( 6 - ) D
19 Az egyenes egyenletei _ M: y - x y x + b 8 8 ` M b + + O, a O t 8 8 OM $ $ , ert > 0 + $ $ $ 8 # Egyenlôség akkor áll + + fenn, ha b$ d b$ p b$ d 89 tab tbc tac tabc egyen (p p ) t ABC, t AB $ d p AC( c d ) AC : dx - cy 0 dx- cy bd 0, b AC hároszög d + c d + b bd pd - pc d c b -bôl induló agassága: $ bd pd - $ c / $ d Y 0 p d + b d + b +, b + c d O, S b + c d O S 80 A (0 0), B (a a), C (a + b a - b), D (b -b) AB ( a a), CD ( a a) AB # CD$ AD( b - b) AB $ AD ab- ab 0 A B 9 A D A B C D téglalap AB a AD b t ABCD AB ta B C D a$ $ b$ ab 8 t : t : t :: Az ABC hároszög területe t 8 Ekkor: t t 6, t t, t t Mivel t t, rajta van az AC-vel párhuzaos középvonalon, t t, rajta van a súlyponton átenô BC-vel párhuzaos egyenesen A két egyenes etszéspontja S(7 8), BC felezôpontja A (9 ), AC( - 9) n( ), e :x + y 9 CB( 8 6 ) n( -), e : x - y -7 e + e : ( 0 9)
V. Koordinátageometria
oordinátageometria Szakaszt adott arányban osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 a) xf= + = 9 yf= + N 7 N = F_ 9 i b) 7 O c) - O N d) - O a c N e) O O b 6 - b 6 & b + =- = =- & b =- 8 B( - 8) 7 N N N N
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - 0y + 0 b) x + y - 6x - 6y + 0 c)
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenKoordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )
Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
Részletesebben1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen
10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenKözéppontos hasonlóság szerkesztések
Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Részletesebben4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!
(9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
RészletesebbenEgybevágóság szerkesztések
Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenEGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS
GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
RészletesebbenEgy geometria feladat margójára
Egy geometria feladat margójára Erdős Gábor 019. június. A feladat Az ABC szabályos háromszög AB oldalának felezőpontja F. A CF szakasz azon belső pontja a D pont, amelyre az ADB szög 90 fokos. A CF szakasz
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenXX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat
RészletesebbenNem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
Részletesebben10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2
10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenGeometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
RészletesebbenElsőfokú egyenletek...
1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben1. Feladatlap - VEKTORALGEBRA. Műveletek vektorokkal. AD + BC = BD + AC. Igaz ez az összefüggés
1 Feladatlap - VEKTORALGEBRA Műveletek vektorokkal 1 Adott egy ABCD tetraéder Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC + DA + CD 2 Adott az ABCD tetraéder Igazoljuk,
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenKözépszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenKOORDINÁTA-GEOMETRIA
XIV. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő XIV.TÉMAKÖR Téma A pont koordinátageometriája A kör koordinátageometriája KOORDINÁTA-GEOMETRIA A projekt típus ú feladatok tartalmi szintézise A feladat sorszáma Oldal
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenGyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam
Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben14. Vektorok. I. Elméleti összefoglaló. Vektor. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük:
14. Vektorok I. Elméleti összefoglaló Vektor Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük: Jelölés: a kezdő és a végpont megadásával: AB ; egy kisbetűvel: v, írásban aláhúzás is szokásos: a; nyomtatásban
Részletesebben1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint
A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],
(megoldások) 1. Alkalmazzuk a T 5. tételt: AB = [ 1, +, 0+] = [1, 1, ], AC = [,, 6], AD = [,, 9].. A P pontnak az origótól mért távolsága az OP helyvektor hosszával egyenl. OA = 4 + ( ) + ( 4) = 6, OB
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenFeladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?
Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet
Részletesebben11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.
osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
) Koordinátageometria Megoldások - - Koordinátageometria - megoldások a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 0, egyik
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenIsmételjük a geometriát egy feladaton keresztül!
Laczkó László Készült a Fazekas ihály Oktatási Kulturális és Sport lapítvány támogatásával z árák elektronikus változatát Véges árton (009c) diák készítette feladat z hegyesszögű háromszög -nél levő szöge.
Részletesebbenb) Az egyenesnek és a körnek akkor és csak akkor van közös pontja, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek van megoldása (1 pont)
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria
) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrzek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
Részletesebben