Folytonosidejű időinvariáns lineáris rendszerek

Átírás

1 Folyoosdejű dővarás leárs redszerek A Folyoosdejű dővarás leárs redszerek LTI (Lear Te Ivara Syses) öbbféleképp bevezeheők. Vegyük egy ódosío Drac függvéy: Végezzük el a kövekező közelíés: És végül: ahol h ( a redszer δ ( Drac pulzusra ado válasza. Vagys a redszer pulzusválasza (súlyfüggvéye). A learásból adódóa a redszer egy bzoyos gerjeszésére ado válasza: MEMO_5

2 Vagys: Egy példa: Ado: M lesz a redszer válasza s ( az egységugrásra? Sablás: Egy redszer sablása az egyk legfoosabb ulajdosága. A sablással kapcsolaba öbb fogalo serees. Az egyk foos fogalo ezek közül a gerjeszés-válasz (GV) sablás. GV sabls LTI redszer (az agolszász haszálaba BIBO Bouded Ipu Bouded Oupu sabl. A fogalo léyege, hogy korláos beeő jel gerjeszése korláos keee eredéyez. MEMO_5

3 Aeybe a redszer beeee x( B de -re, ahol B egy pozív álladó akkor a h ( pulzusválaszú redszer válaszáak abszolú éréke És végül: Tehá BIBO sabls az az LTI redszer elyre ézve léezk G. A folyoosdejű dővarás leárs redszerek LTI (Lear Te Ivara Syses) soros (kaszkád) köése. A keeek eghaározása: Az asszocavás fgyelebe véve: Vagys az eredő redszer pulzusválasza: A kouavás felhaszálásával: MEMO_5 3

4 A feeke álaláosíva elodhaó, hogy száú LTI redszer sorbaköése eseé az eredő redszer súlyfüggvéyére gaz h( = h ( h ( L h (. A LTI redszerek párhuzaos köése. A kovolúcó összeadásra voakozó dszrbuvásá khaszálva: Így az eredő redszer pulzusválasza (súlyfüggvéye) eghaározhaó: A feeke álaláosíva elodhaó, hogy száú LTI redszer párhuzaos köése eseé az eredő redszer súlyfüggvéyére gaz: h( = h ( + h ( + L+ h (. Folyaaos jelű leárs redszerek vzsgálaaak aeaka eszköze. A leárs, kocerál paraéerű dakus redszerek vzsgálaa abba az esebe, ha a redszer haáslácába de jel folyoos akkor dfferecálegyele lleve dfferecálegyele-redszerek egoldására vezeheő vssza. Ha a haáslác legalább egy jele dszkré, akkor dfferecaegyeleeke és dfferecaegyele-redszereke alkalazuk. Az ráyíásechka gyakorlaba a dffereca és dfferecál egyeleek felírása gyakra az állapoér ódszer alkalazásával örék. A dakus redszerek árgyalása közbe függele válozóak dg az dő ekjük. A leárs, folyaaos, kocerál és álladó paraéerű redszer vzsgálaa dfferecálegyeleek ll. egyeleredszerek egoldására vezeheő vssza. Az egyeleeke a fzka alapörvéye alapjá írjuk fel, például az eléle echaka Lagrage-féle és Halo-féle éele és a leszárazao Newo és Krchhoff szabályok szer. MEMO_5 4

5 4. Az -ed redű álladó együhaós dfferecálegyele egoldása dőaroáyba Egy y ( folyoos keeű és u ( folyoos beeeű auoó, álladó és kocerál paraéerű redszer kee-beee vszoya a kövekező -ed redű álaláos dfferecálegyeleel írhaó le : a d y( d y( d u( a a y( = b... bu( +,... (4.) + + Vagys a redszer a kövekező: u ( y ( d y( a Σ d y( d u( a a y( = b... bu( ábra. A redszer aeaka odellje az a és b együhaók redszerálladók, és fzka redszerek eseébe érvéyes az összefüggés. A (4.) dfferecálegyele felírhaó az alább d y a = = j= b j j d u... (4.) j r forába s. A redszerre jellező dfferecálegyele redszáá alapveőe a redszer eergaárolóak száa szabja eg. A haladó ozgású redszer eergaároló: a öeg és a rugó, a vllaos hálóza eergaároló: a kodezáor és az dukvás. A keere ( y -ra) voakozó dfferecálegyeleek redszáa álalába egegyezk az eergaárolók száával, egyes eseekbe aál ksebb s lehe. Melő ráérék a dfferecálegyele egoldására, lássuk éháy példá a redszer örvéyszerűségeek felírására. A 4.. ábrá. láhaó echaka legő redszer egyele eergaároló aralaz. A beee legye az F G gerjesző erő, a kee az öeg v sebessége. Tovább jelölések: r -súrlódás együhaó, v A az A po sebessége. v r v A F G 4.. ábra. Mechaka legő redszer vázlaa MEMO_5 5

6 Az fe ábrá láhaó redszer egyelee: r v + r( v v) = F... (4.3) A (4.3) alapjá: A G dv r( va v) =... (4.4) v A = FG + v... (4.5) 3r 3 És végül a redszer leíró elsőredű dfferecálegyele: ahol: beee. dv + rv = F G... (4.6) 3 3 dy( A (4.6 ) álaláos alakja: a + a y( = bu(... (4.7) a =, a = r 3, b = 3 álladó együhaók és v y = kee vala u = FG A kövekező példa legye a 4.3. ábrá láhaó vllaos hálóza. A redszer ké eergaároló aralaz ( L -dukvás, C -kapacás). A beee az U G feszülség, a kee pedg az R elleálláso haó U feszülség. R R C U G u 3R R u R A redszerhez arozó egyeleek: 4.3 ábra Kodezáor és dukvás aralazó vllaos hálóza d u R = L + 3R... (4.8) du d RC + u + L + 3R = u G... (4.9) du d C + + L + 3 =.... (4.) R Derválva és redezve: du L d 4 = +... (4.) RC C L d 4 d L d d d dug RC + L + R = RC C (4.) RC C MEMO_5 6

7 Redezve d L d 4 dug 3L + R + + =... (4.3) RC C L d 4 dug dur R + + = 3... (4.4) RC C L 6R C dug dur R C + L = 3 ur... (4.5) LC LRC És végül redszer kee-beee vszoyá leíró dfferecálegyelee kapjuk: ahol: 3 d ur L dur d ug dug LC + R 4uR LC 3RC + + = +... (4.6) R A (4.6 ) álaláos alakja: d y( dy( d u ( ) ( du( a + a + a y = b + b + bu(... (4.7) L a = 3LC, a = R +, R a = 4, b = LC, b = 3RC, = u y = u R kee vala G u = beee. b álladó együhaók és A példából láhaó, hogy összeeebb (öbb eergaároló aralazó redszerekél) egyre hosszadalasabb a redszer dfferecálegyeleéek eghaározása. A dfferecálegyeleek álaláosságba végele sok egoldása va. Ezek közül egyele egoldás akkor válaszhaó k, ha y( -re és dfferecálháyadosara száú olya feléel lehe előír, aelye a egoldásak k kell elégíee. Feléelké egadhaó y( -ek a külöböző dőpobel éréke, vagy y( -ek és derváljaak azoos dőpobel éréke, de bárlye egyéb kobácó s. Ha a feléelek a vzsgál dőaroáy kezdő és végpojára voakozak, akkor elevezésük haárfeléel (öbb válozós esebe perefeléel). A fzka erpreácó szeszögéből legerészeesebb, ha valaey feléel a vzsgála kezdő pojára ( = ) voakozk. Ekkor elevezésük kezde feléel. Maeakából udjuk, hogy az edredű álladó együhaójú leárs dfferecálegyele alakja a kövekező: ( ) d y( d y( a + a( ) ( ) + + a y( = u( L, a... (4.8) A (4.8) eljes y ( egoldása a hoogé egyele álaláos egoldásáak y H ( és az hoogé egyele egy parkulárs y P ( egoldásáak szuperpozícójaké állíhaó elő : y( = y H ( + y P ( A hoogé egyele: ( ) d yh ( d yh ( a + a( ) ( ) + L + a y ( = H, a... (4.9) MEMO_5 7

8 eseé a gerjeszés e vesszük fgyelebe. A redszer belső eergáak felhaszálásával ozog és eredéyez y H ( függvéy. A hoogé egyelebe λ y ( = e helyeesíéssel kapjuk a H P ( ) = aλ + a( ) = λ = ( ) λ λ + L + a a... (4.) karakerszkus egyelee. A P ( λ) felírhaó gyökevel s: k k l ( λ) = ( λ λ ) ( λ λ ) λ ( σ ± jω ) L λ v lµ ( ) ( ( j ), v P L v σ µ ± ω µ... (4.) µ + = = ahol k l. = I az λ érékek külöböző, k ulplcású gyökök, ( σ ± jω ) pedg külöböző, l ulplcású koplex gyökpárok. k A P ( λ) egyes éyezőek a kövekező függvéyeke felelejük eg: a ( λ λ ) éyezőkek az k ( k ) λ α ( = ( A + A + L + A ) e... (4.) l függvéy, a ( λ ( σ )) ± jω éyezőkek az l ( l ) σ l ( l ) σ β ( = ( B + B + L + B ) e cos( ω + ( C + C + L+ C ) e s( ω.. (4.3) j j j függvéy. A szabad együhaók A, B, C száa poosa. Az száú ser perefeléel segíségével eghaározhaóak a szabad együhaók. A redszer hoogé részéek álaláos egoldása felírhaó az alább alakba. y H v ( = α ( + β (. µ = = A redszer parkulárs részéek egoldása a gerjeszésől, vagys a beeeől függ. A beee függvéy alakja eghaározza lye forába keressük az. Példa : Keressük az alább d y dy du( y = 4 + u( ásodredű dfferecálegyele hoogé egoldásá y ( ) = ; feléelekkel. d y Az ado dfferecálegyele hoogé egfelelője : y = A karakerszkus egyele: λ + 3λ + = Eek gyöke: λ =, λ =, 5. A hoogé egyele egoldása: y( k e A egoldás derválja: dy = k e k e,5 = + ke,5, 5 A kezde feléeleke behelyeesíve, a kövekező egyeleredszer kapjuk : Az álladók éréke: = ; k = k. dy dy( ) = = k = k kezde + k,5k. MEMO_5 8

9 A hoogé egoldás pedg a kövekező: y( = e e,5 +. Időálladó és sajá frekveca. A hoogé egyele egoldása e aralazza a beee haásá, de jeleősége a szükséges részleesebbe foglalkoz vele. A hagsúly, a karakerszkus egyele gyöke, vagys a redszer sajáéréke va. A λ sajáérékek vagy valósak, vagy kojugál koplex pároka alkoak. Gyakorla szepoból érdees külö vzsgál az az esee, akor a sajáérék (lleve aak valós része) egaív, ll. akor pozív. Vzsgáljuk eg először az az esee, akor a sajáérék valós. Legye λ = σ =.... (5.) T A sajáérék valós részéek (σ ) elevezése csllapíás éyező, recprokáak (T ) pedg dőálladó. λ és σ dezója recprok dő, vagys frekveca, és a érékegysége Hz (Herc), íg a T dő-dezójú. A egfelelő egoldáskopoes : y( = ke A 5.. ábrá háro külöböző sajáérékhez arozó y λ λ=,5s = ke σ = ke T... (5.) e λ függvéy láhaó. λ= s λ= s s ábra. Külöböző sajáérékhez arozó e λ függvéy Az ábra s gazolja, hogy a egaív λ (σ és T pozív) éréke az jele, hogy a egoldás ullához ar, égpedg aál gyorsabba, él ksebb T (vagy él agyobb σ ). A ovábbakba egadásra kerül egy ódszer aely segíségével egy egyárolós redszer dőálladója grafkusa s eghaározhaó. A ódszer lluszrácójára az 5.. ábra. szolgál. A T dőálladó eghaározásához a görbéhez dőpoba szerkesszük érő. Haározzuk eg az érő és az y = egyees eszéspojá. A eszéspo akkor +T helye lesz. A szerkeszés egaív T eseé s alkalazhaó. MEMO_5 9

10 y y T 5. ábra. Valós dőálladó eghaározása grafkus úo +T Az dőálladó a jel lecsegéséek a eghaározója. Egyárolós redszer eseébe egy dőálladó ala a kezde elérés az duló állapo és az álladósul állapo közö 63,7%- kal csökke, háro dőálladó ala 95,%-kal, ö dőálladó ala 99,33%-kal csökke, vagys az álladósul érék körül egy százalékos elérés aroáyba esk. Vzsgáljuk os az az esee, akor a ké sajáérék (a karakerszkus egyele gyöke) koplex pár alkoak. Legye λ = σ ± jω = ± jω... (5.3) T ahol σ a csllapíás éyező, T az dőálladó és ω a sajá körfrekveca. (Az ω uóbb rövdebbe sajáfrekvecáak szokás evez, oha eze f = éredő). A π hoogé rész egoldása ebbe az esebe a (4.3) alapjá adhaó eg. σ σ y = e As ω + B cos ω = Ce cos ω + β ( ) ( ( ) ( )) ( ); A, B és C álladók, β pedg fázsszög. Az összevo ké kopoes ehá csllapodó rezgés jele. A burkológörbe ugyaolya jellegű, valós λ eseé, így a burkológörbéből a T = σ dőálladó ugyaúgy eghaározhaó, ahogya az a valós gyök eseé egeük. Nagyo foos egjegyez, hegy ebe az esebe s σ előjeléől függőe az y ( egoldásra expoecálsa övekvő vagy csökkeő aplúdó kapuk. A rezgés peródusa T s eghaározhaó grafkusa, éspedg ké egyás uá ullahely közö elel dő. MEMO_5

11 y ω =5 rad s e τ T=s ω = rad s τ τ ábra. A koplex λ sajáérék-párhoz arozó egoldás ké külöböző sajáfrekvecára Álladó együhaós leárs dfferecálegyeleek leheséges egoldásaak vzsgálaa A feekbe ár láuk, hogy az LTI redszerek leírására alkalas egyele a kövekeyő: Megoldásáak alakja pedg: A hoogé egoldás kelégí a kövekező: N k d yh( a =, vagys a gerjeszés =. k= k k A hoogé egoldás a karakerszkus polo gyöke és a kezde feléelek alapjá haározhajuk eg. A karakerszkus polo gyöke álaláos esebe kojugál koplex párok. r, + = σ ± jω. Eze érékek jellezk a redszer. Az egyes gyökökhöz arozó hoogé egoldásrész körvoala függ a σ előjeléől (érékéől), legéséek π körfrekvecája pedg ω. I száíhauk frekvecá f = és T = peródusdő. ω f MEMO_5

12 csllapo.8.6 elozdulas do Aeybe σ < sabls pólusról beszélük labls elozdulas do Aeybe σ = a sablás haáráról beszélük MEMO_5

13 5 x 8 sabl 4 3 elozdulas do Aeybe σ > sabl pólusról beszélük A parkulárs egoldás függ a gerjeszésől. Egy specáls esebe azoba külöös kölcsöhaás uakozk a redszerre jellező karakerszkus polo gyökök és a gerjeszés közö. Ez az az ese akor s a gerjeszés valaely körfrekvecája Ω j egegyezk egy karakerszkus gyökhöz arozó ω körfrekvecával Ω = ω. Ez rezoacáak hívjuk. j MEMO_5 3

14 8 rezoaca 6 4 elozdulas do A hoogé egoldás lecsegése és a parkulárs egoldás övekedése Példa egy ásodredű álladó együhaós leárs dfferecálegyelere: Rugó és csllapíás Ω = ω ese. A redszer aeaka odellje: & x + kx& + cx = F( dfferecálegyelee. Az egyelebe szereplő álladók a kövekezők: (öeg), k (csllapíás), c (erevség) Eze, k, c álladók álladó érékeke veszek fel. x( = xh ( + xp ( Első lépéské a karakerszkus poloo írjuk fel: r + kr + c = Eze polo gyöke a kövekezők: MEMO_5 4

15 r, = σ ± jω (ehá a valós és képzees rész) csllapíás éyező sajá körfrekveca X ( = X H ( + X P (, ehá a hoogé lleve a parkulárs egoldás összegeké áll elő. A hoogé egoldás csaks kzárólag a kezde feléelekől és a redszeről függ! (A gerjeszésől e!) σ Álaláos egoldás: X H ( = e ( As( ω + Bcos( ω) azaz harokus függvéy összegeké áll elő! A, B haározala álladók. s N = [ kg], k = N, c = + r + = A karakerszkus egyele: r. Vagys r + r + = Gyöke: ± 4 r, = ; 39 r, = ± j ; r, =.5 ± j3. 5. Egy ásk példa: MEMO_5 5

16 a redszer pulzusválasza. MEMO_5 6