2.2 Memóriamentesség Lineáris és memóriamentes rendszerek (lineáris modulátorok) 6

Átírás

1 Redszerek /33. DISZKRÉT IDEJŰ REDSZEREK. Leartás 3.. Időtartoáybel leírás, redszeregyeletek, redszerjellezők 3.. Frekvecatartoáybel leírás, redszeregyeletek, redszerjellezők 4..3 Operátortartoáybel leírás, redszeregyeletek, redszerjellezők 5. eóraetesség 6.. Leárs és eóraetes redszerek (leárs odulátorok) 6.3 dővaraca 7.3. Leárs, varás redszerek (leárs szűrők) 7.3. Leárs eóraetes és leárs, varás redszerek vszoya 9.4 Valós redszerek.5 Kauzaltás.5. Leárs, varás és kauzáls redszerek leírása az dő tartoáyba.5. Valós kauzáls szűrők a frekveca tartoáyba.5.3 Kauzaltás szűrők traszfer függvéye 3.6 Stabltás 3.6. Stabltás a z-tartoáyba 4.6. Stabltás a frekvecatartoáyba 4.7 FIR redszer 5.7. Leárs, varás FIR redszer traszfer függvéye 5.7. Kauzáls FIR szűrő Szetrkus FIR szűrő 6.8 Az ARA redszer 7.8. Defícó, polook, együtthatók, zérusok, pólusok 7.8. AR redszer, all-pole odell A redszer, all-zero odell (FIR) ARA szűrő dőtartoáy redszer egyelete.8.5 Az ARA redszer pólus-zérus elredezése és apltúdó- és fázskaraktersztkája között kapcsolat.8.6 evezetes alappéldák ARA redszerekre.8.7 ARA redszerek gyökverzóra voatkozó varacája ál-fázsú ARA redszer Leárs fázsú FIR redszerek 3 redszer verzó: arch 8, 5

2 Redszerek /33. Dszkrét dejű redszerek Defícó: Redszer az, aelyek va be- és keőjele, és a keőjel a beeőjeltől függ. A redszer a lehetséges beeőjelek halazáak leképezése a lehetséges keőjelek halazába. (Iputoutput syste). Redszer: {beeet jeltér} {keet jeltér} A továbbakba csak olya redszerekkel foglalkozuk, aelyek beeeté és keeté dszkrét dejű jelek vaak ( dszkrét dejű redszerek), aelyek egadhatók d az dő-, d a frekveca-, d az operátortartoáyba. Defícó: A redszeregyeletek a beeet és a keet jelek között tereteek kapcsolatot ú. redszerjellező függvéyek segítségével. A redszeregyeletek ll. a redszerjellezők szté egadhatók az dő-, a frekveca- és az operátortartoáyba: R t {x T } = y T ; R f {X(f)} = Y(f); R z {X(z )} = Y(z ). A továbbakba redszerek osztályozásáak alább éháy fotos szepotját fogjuk áttekte: leárs eleárs eóraetes eórás varás varás valós koplex kauzáls e kauzáls stabl labls FIR IIR leárs fázsú e leárs fázsú ARA e ARA ál fázsú e ál fázsú redszer verzó: arch 8, 5

3 Redszerek 3/33. Leartás Defcó: Leárs a redszer, ha a redszer által egvalósított leképezés hoogé és addtív, ásképpe, ha a redszerleképzés a leárkobácó képzéssel felcserélhető. Az dőtartoáyba felírva: R ( ) x = ( ) { x } λ λr. egjegyzés: A hoogetás azt jelet, hogy aráyos a leképezés: R { x } λr { x } () () () () íg az addtvtás: R { x + x } = R{ x } + R{ x } (Szuperpozcó). λ =,.. Időtartoáybel leírás, redszeregyeletek, redszerjellezők Defícó: Egységsorozat:, ha =, ha = δ = ll. δ = (eltolt egységsorozat)., ha, ha de sorozat felírható eltolt egységsorozatok leárkobácójával: x = x( ) = δ, ahol x() az x sorozat -edk tájáak száértéke. Jelöljük a s, -el a redszer δ egységsorozatra adott válaszát: s = { δ } s, egy kétdezós, kétráyba végtele szásorozat., R. Az s, a legáltaláosabb alakú redszerjellező, aellyel az dőtartoáybel redszeregyelet: { } x = = y = R s x., Leárs redszerek eseté, tehát az összes eltolt egységsorozatra adott redszerválaszok seretébe (s, ) bárely x beeethez kszáolható a redszer válasz, a keet y sorozat. A leárs redszereket az dőtartoáyba leíró s, kétdezós sorozatot a kétdezós sík teger raszterpotja felett száokkal szeléltethetjük, a beeet sorozathoz redelt dex a vízsztes ráyba ő, a keet dődex a függőleges ráy: redszer verzó: arch 8, 5

4 Redszerek 4/33 s, Általáos leárs redszer s, dőtartoáy redszerjellezője Adott értékhez tartozó abszcssza felett függőleges egyees eté elhelyezkedő száok az ordáta függvéyébe egy egydezós sorozatot adak, ely a redszer keet sorozata, ha a beeetre az dőpothoz eltolt egységsorozatot adtuk... Frekvecatartoáybel leírás, redszeregyeletek, redszerjellezők Vegyük a Fourer-traszforáltját az dőbel redszeregyeletek: ~ YF (f ), = = = jπft jπ ft { y } y e = s x e = F, aelybe x felírható a Fourer-traszforáltjával: x F ~ ~ { X (f )} T X (f ) = F F F e df. Ezzel ~ F ~ jπ ft YF (f ) = s, T X F (f ) e df e = = vel a tegrálás és az összegzés felcserélhető, F ~ jπ ( f + T ft ) ~ YF (f = ) T s,e X F (f ) df = = A fet egyeletbe a ()-be lévő függvéy (egy előjeltől eltektve) az dőtartoáybel s, sorozat kétdezós Fourer-traszforáltja. F jπ (ft + f T ) { F { s,, f}, f } = S(f,f ) = s,e = = s, = = jπ ( T f T ) Így e f + = S( f,f ), és a frekvecatartoáybel redszeregyelet: ~ ~ Y F (f ) = T S( f,f ) X F (f) df (a egy leárs tegrál traszforácó). F redszer verzó: arch 8, 5

5 Redszerek 5/33 Itt a redszerjellező függvéy az S(f,f ) kétdezós frekvecaátvtel karaktersztka...3 Operátortartoáybel leírás, redszeregyeletek, redszerjellezők Vegyük a z-traszforáltját az dőbel redszeregyeletek: Y(z ) = Z { y, z} = y z = s, x = = = x felírható a z-traszforáltjával: x { X( ) } = = Z z X( z) z dz πj c Y( z ) = s, X(z) = = πj c z. Ezzel dz z vel a tegrálás és az összegzés felcserélhető, Y( z ) = s, z z z X(z) dz πj = = c z, aelybe A fet egyeletbe a ()-be lévő függvéy kfejezhető az dőtartoáybel s, sorozat kétdezós z- traszforáltjával. Z { s, } = Z { Z { s,, z}, z } = s, z z = S( z, z ) s, z = = = = Így z z = S( z, ), és az operátortartoáybel redszeregyelet: Y( z ) = S( z, z ) X(z ) z dz πj c. Itt a redszerjellező függvéy az ( z, ) kétdezós átvtel függvéy. S z Feladatok:. Defáljuk a dszkrét dejű redszert az alább dfferecaegyelettel: x + = y. Leárs-e a redszer? egoldás: Ez e leárs redszer, ert e hoogé (kétszeres gerjesztésre e kétszeres lesz a válasz). Ez abból s látszk, hogy gerjesztésre egy leárs redszerek -át kellee ada a keeté, tt pedg álladó helyett dg -et kapuk. A teljesség kedvéért utassuk be, hogy ez a redszer e s addtív:? () () () () { x x } { x } { x } () () R + R + R, ahol pl.. x = e és x = e. Ekkor redszer verzó: arch 8, 5

6 Redszerek 6/33. Tektsük az alább leárs redszert: y = x. Godoljuk végg, hogy valóba leárs-e! Hogy éz k az dő-, a frekveca- és az operátortartoáybel redszeregyelete? 3. Legye a redszer dfferecaegyelete y = x. Kérdés, leárs-e ez a redszer. Ha ge, adjuk eg a redszerjellező függvéyet az dő-, a frekveca- és az operátortartoáyba!. eóraetesség Defícó az dőtartoáyba: eóraetes a redszer, ha a keőjel -edk dőpotba vett értéke csak a beeet -edk dőpotbel értékétől függ: y { x, = } R{ x, = } R K =... Leárs és eóraetes redszerek (leárs odulátorok) Ha a redszer leárs s, akkor eek egfelelőe a kétdezós dőtartoáybel redszerjellező függvéy: s, g, ha = =, ha y = s, = x = g Leárs és eóraetes redszerek dőtartoáybel redszeregyelete tehát: y = g x, x ahol a leárs redszer kétdezós s, redszerjellezőjét egyértelűe eghatározza a eóraetességet leíró g egydezós sorozat, az dőtartoáybel egydezós redszerjellező (felfogható egy dőbe változó erősítések a leárs eóraetes redszer egy odulátor).. redszer verzó: arch 8, 5

7 Redszerek 7/33 A leárs redszereke belül a eóraetesség az dőtartoáy kétdezós redszerjellezőek az alább ábrá látható specaltását jelet: s, =, ha g Leárs és eóraetes redszer s, dőtartoáy redszerjellezője vel az dőtartoáybel szorzás a frekveca- és az operátortartoáyba kovolúcóak felel eg, F ~ ~ ~ Y ( f ) = F G ( ϕ) X ( f ϕ ) d ϕ = G( f) * X ( f), G(f) = F{g }, és πj ( z) = z ν ν Y G( ) X, G(z) = Z{g }. c ν dν.3 dővaraca Defícó az dőtartoáyba: Ivarás (potosabba dővarás; dőeltolás varás) a redszer, ha -lal eltolt beeetre -lal eltolt választ ad, azaz ha y = R{x }, akkor y.3. Leárs, varás redszerek (leárs szűrők) = R{ x } de x re és o ra. Legye a redszer leárs, és az egység sorozatra adott válasza, azaz az pulzus válasz sorozata h = s,o = R{δ(-o)}. Ekkor ha a redszer varás s, akkor s, R{δ } = h -. Vagys létezk egy egydezós h sorozat, aely egyértelűe eghatározza a leárs, varás redszert. Ezzel az dőtartoáybel redszeregyelet: redszer verzó: arch 8, 5

8 Redszerek 8/33 y h = = = A h sorozatot a redszer pulzusválaszáak evezzük. x h * x. A leárs redszereke belül az dővarás tulajdoság az dőtartoáy kétdezós redszerjellezőek az alább ábrá látható specáls sávos jellegét jelet: az = átlóval párhuzaos egyeesek eté azoos h - értékek vaak: s, h 4 h h - h expoecáls alakba írva kapjuk az A(f) apltudó-karaktersztkát, az a(f) logartkus abszolút érték Leárs és varás redszer s, dőtartoáy redszerjellezője Az dőtartoáy egyeletek véve a Fourer- és a z-traszforáltját, egkapjuk a frekveca- és az operátortartoáybel redszeregyeletet: Y( f) = H( f) X ( f), ahol H(f) = F{h } az ú. frekvecaátvtel karaktersztka (X(f) = F{x }), és Y( z ) = H( z) X( z), ahol H(z) = Z{h } az átvtel függvéy (X(z) = Z{x }). A leárs varás redszereket leárs szűrőkek evezzük. A H(f) koplex értékű átvtel karaktersztkához több valós értékű rész-karaktersztka s redelhető. A H(f)-et valós- és képzetes részre botva H ( f) = R(f) + ji(f), kapjuk az R(f) valós rész és I(f) képzetes rész karaktersztkákat. A H(f) koplex értékű függvéyt a jϕ (f) a( f ) jϕ (f) H (f) = A(f)e = e, redszer verzó: arch 8, 5

9 Redszerek 9/33 karaktersztkát és a ϕ(f) fázs-karaktersztkát. Az A(f) apltúdó-karaktersztka és a hozzátartozó ϕ(f) fázs-karaktersztka többféle értelezése s haszálatos: Valós, előjeles A(f) karaktersztka, a hozzá tartozó ϕ(f)-be cseek π értékű ugrások. A(f) abszolút érték karaktersztka, ϕ(f)-be π értékű ugrások lépek fel ott, ahol az előjeles apltúdó előjelet váltaa. Belapolt ϕ(f) fázs-karaktersztka, értéke csak... π ( vagy -π... +π ) között lehetséges, π értékű ugrások vaak bee. Folytoos, e korlátos ϕ(f) fázs-karaktersztka, értéke ugrás etese, de korlátlaul változk (uwrap). A folytoos és dfferecálható fázskaraktersztka alapjá értelezhető a futás dő karaktersztka: d τ ( f) = ϕ(f). π df.3. Leárs eóraetes és leárs, varás redszerek vszoya Csak egyféle olya leárs redszer va, aelyk egyszerre eóraetes és varás. Ez az álladó g erősítéssel való szorzás. A leárs odulátorok és szűrők dő- és frekveca tartoáybel vselkedéseek összefoglalása az alább táblázatba látható: leárs dőtartoáy frekveca tartoáy odulátor y = g x eóraetes Y(f) = G(f) * X(f) varás szűrő y = h * x varás Y(f) = H(f). X(f) eóraetes Az dőtartoáybel eóraetesség a frekvecatartoáyba eltolás varacát jelet. Vagys ha a beeetre egy X(f f ) spektruú jel kerül, akkor a odulátor keetéek spektrua Y(f f ) lesz. Az dőtartoáybel varaca a frekvecatartoáyba eóraetességek felel eg: Y(f) = X(f) H(f). e tevődek át spektru összetevők ás frekvecára; adott frekvecás keet redszer verzó: arch 8, 5

10 Redszerek /33 spektru érték csak a beeet eze frekvecás értékétől függ..4 Valós redszerek Defícó az dőtartoáyba: Valós a redszer, ha valós beeetre valós választ ad. Valós leárs redszer: Az dőtartoáy s, redszerjellező valós kétdezós sorozat. A valós leárs redszerek H(f,f ) frekveca tartoáy és H(z,z ) operátor tartoáy redszerjellezőek tulajdosága a Fourer és a Z- traszforácó valós jelekre voatkozó tulajdoságat öröklk (kojugált koplex szetra)..5 Kauzaltás Defícó az dőtartoáyba: Kauzáls a redszer, ha az -edk keet ta csak dexű beeet táktól függ: y = R{x, = }=. R{x, }. (Vagys a redszer pllaaty válasza e függ a beeet jel jövőjétől.) egjegyzés: Vegyük észre, hogy de eóraetes redszer kauzáls. A gyakorlatba csak kauzáls redszer pleetálható. Pl. ha egy redszer pulzusválasza az alább függvéy: akkor ár az x sorozat beeetre tétele előtt dővel eg kellee jelee a keete a válaszak. Ez csak úgy lehete lehetséges, ha a redszer jósol tuda, és ktalálá, hogy a felhaszáló, kor és lye jelet akar ajd dő úlva a beeetre te. A leárs, varás és kauzáls redszert kauzáls szűrőek s evezzük a továbbakba ezek tulajdoságaval foglalkozuk. Feladat: Adott egy dszkrét dejű redszer és a beeet sorozat X(f)spektrua, valat a keet Y(f) spektru az alább alakba: redszer verzó: arch 8, 5

11 Redszerek /33 ~ ~ ~ ~ Y ( f) =, X ( f f ) + X ( f f ) +, 5 X ( f f ) 3 A kérdés az, hogy kauzáls-e ez a redszer? egoldás: Y = ( ) ~ ~ ( f ), δ ( f f ) δ ( f f ), δ ( f f ) * X ( f) alakba írható föl. Ha a kovolúcó első téyezőjét G(f)-fel jelöljük, akkor ~ ~ ~ Y ( f ) = G( f) * X ( f). Ilye alakú leírása csak a leárs eóraetes redszerekek va. A eóraetes redszerek halazáról pedg tudjuk, hogy trváls részhalaza a kauzáls redszerek halazáak..5. Leárs, varás és kauzáls redszerek leírása az dő tartoáyba Leárs redszerek dőtartoáybel redszeregyeletét az s, kétdezós sorozattal írjuk le: y = s, = x Ha a redszer kauzáls, akkor s, =, ha >. Ha a redszer varás s, akkor az dőtartoáybel redszeregyelet felírható az egydezós h = s, pulzusválasz sorozattal: = = = y = h x = h x = h x ert a kauzaltás att h =, ha < (kauzáls redszerek pulzusválasza csak belépő lehet)., redszer verzó: arch 8, 5

12 Redszerek /33.5. Valós kauzáls szűrők a frekveca tartoáyba vel a kauzaltás a realzálhatóság szepotjából agyo fotos tulajdoság, vzsgáljuk eg, hogya döthető el egy adott H(f) koplex frekvecaátvtel karaktersztkáról, hogy kauzáls redszert ír-e le. Tétel: Legye egy leárs varás és valós redszer koplex átvtel karaktersztkája valós és képzetes rézsre felbotva: ~ ~ ~ H ( f ) = R ( f ) + j I ( f ). A redszer akkor kauzáls, ha T T T ~ ~ I ( f ) = ctg( π f T) * R (f). T T azaz a valós és képzetes részek e függetleek, a képzetes részt egkapjuk a valós rész és a cotages függvéy perodkus kovolúcójakét ( a frekvecakaraktersztka valós és képzetes része egyásak Hlbert traszforáltja). Bzoyítás: Legye a redszer (valós) pulzusválasz sorozata h, aely felbotható egy páratla és egy páros részsorozat összegére: e o h = h + h, e ahol h = h + h ( ) és h o h h = ( ). Kauzáls redszerek eseté: h =, ha <, ezért a h e és h o között az alább összefüggés áll fe:, ha < ahol sg() =, ha =, ha > h o e = sg() h, A Fourer-traszforácó tulajdosága alapjá, vel h valós, ~ e R( f) =F { h } és ~ o I ( f) =F { h } Fgyelebe véve a h e és a h o között kapcsolatot, ~ I ( f) =F { sg() }* R( f) redszer verzó: arch 8, 5

13 Redszerek 3/33 A sg() Fourer-traszforáltját a sg(t) folytoos dejű függvéy Fourer-traszforáltjáak /T peródusú perodkus kterjesztésével kapjuk. Fourer-traszforácós táblázatok alapjá: sg(t). Eek a perodkus kterjesztése j ctg(πft) (ez a ctg(x) függvéy sorfejtése j π f alapjá látható be). egjegyzés: A szgu és a hperbola függvéy között Fourer-traszforácós kapcsolat va szó a korábba elített Hlbert-traszforácóál s. Egy folytoos x(t) függvéy Hlbert-traszforáltja: y(t) = H { x( t) } * x(t). Az így kapott y(t) függvéy spektrua: Y(f) = -j sg(f) X(f). t.5.3 Kauzaltás szűrők traszfer függvéye vel kauzáls szűrő H(z) traszfer függvéye kauzáls h pulzus válasz sorozat Z-traszforáltja - ely h a egatív dexek felett azoos ullával és ezért H(z) kovergeca tartoáyát kívülről korlátozó kovergeca sugár végtele - ezért H(z ) koverges kell legye a z-sík végtele távol potjába. Ha z = -be H(z) e aaltkus, ert például pólusa va ott, vagy e korlátos az értéke, akkor a szóba forgó redszer e kauzáls. z + Ha adott egy H(z) traszfer függvéy, t pl. a korább példa szert H( z) = ( z ) ( z, 5 ), akkor ezzel ég e defáltuk a redszert egyértelűe. Ugyas z-traszforált csak egy körgyűrű fölött aaltkus függvéy lehet. A példa szert H(z) pedg 3 tartoáyba lehet aaltkus: I. z <, 5, II., 5 < z <, III. z >. vel a kovergeca körök külső korlátja függ a jelek últbel vselkedésétől, ezért kauzáls redszer eseté H(z) kovergeca tartoáyáak a végtelet s tartalaza kell. Vagys a példa szert 3 redszer közül csak az a kauzáls redszer, aelyk a legagyobb abszolút értékű póluso kívül aaltkus (III.).6 Stabltás A stabltás égyféle defícója: () Egy redszer akkor stabls, ha korlátos beeetre korlátos választ ad (BIBO stabltás, Bouded Iput, Bouded Output): ha x < K x < ( -re) K y : y < K y <. () Egy leárs és varás redszer stabls, ha pulzusválasz sorozata abszolút összegezhető: h = = A <. (3) Stabl az a redszer, aely véges eergájú beeetre véges eergájú jellel válaszol: ha x = E x < ( -re) y = E y <. = = redszer verzó: arch 8, 5

14 Redszerek 4/33 (4) Egy leárs, varás redszer stabl, az pulzusválasz sorozata égyzetese összegezhető: h = = egjegyzések: E h <. Az -es és a -es defícó leárs és varás redszerekél ekvvales egyással. Ugyas de korlátos sorozat ajorálható egy kostas sorozattal, x = c -re, c R. Ekkor y = x * h = = c h, aely akkor korlátos, ha h < A <. = Az első két defícó szert stabltást A típusú stabltásak evezzük, és a gyakorlatba ha stabltásról beszélük, akkor erre kell godol. A 3. és a 4. defícó szert stabltást B típusú stabltásak evezzük. Ez egy eyhébb egszorítást jelet a redszerre ézve. Az A típusú stabl redszerek halaza részhalaza a B típusú stabl redszerek halazáak. Véges erősítésű eóra etes redszerek dg stablak, a fet defícók bárelykéek értelébe. e leárs vagy e varás redszerek stabltásával a továbbakba e foglalkozuk. Tovább potok leárs szűrök stabltásáak frekveca és operátor tartoáybel kérdésevel foglalkozak..6. Stabltás a z-tartoáyba A H ( z) = h z (z R) átvtel függvéyel leírható redszer akkor stabl, ha { z, z = } R = H(z) aaltkus az egységsugarú kör felett (H(z) kovergecatartoáya tartalazza az egységsugarú kört)., vagys Ha redszer kauzáls, azaz R egy orgó körül körö kívül tartoáy, akkor H(z)-ek az egységkörö kívül e lehet szgulartása. áskülöbe a H(z) legkülső kovergecagyűrűje e tartalazá az egységkört..6. Stabltás a frekvecatartoáyba j ft A H(f) frekvecaátvtel függvéyt úgy kapjuk, hogy vesszük a H(z) z = e π egységkörre voatkozó kotúrfüggvéyét. vel a redszert akkor tektjük stablak, ha H(z) aaltkus az egységkör fölött, ebből az következk, hogy a H( f ) H( z e j π = = ft ) függvéy folytoos és dfferecálható de f frekvecá. redszer verzó: arch 8, 5

15 Redszerek 5/33 egjegyzés: Az deáls aluláteresztő szűrő e stabl redszer, ert H(f) abszolút értéke e folytoos e dfferecálható..7 FIR redszer Defícók az dőtartoáyba: FIR (Fte Ipulse Respose; azaz véges pulzus válaszú) a redszer, ha véges tartójú beeetre véges tartójú választ ad. Ha a redszer e FIR akkor IIR (Ifte Ipulse Respose). A leárs redszer FIR, ha s, kétdezós redszerjellezőjéek de oszlopába véges sok e ulla va, azaz ha de eltolt egységsorozatra adott válasza véges tartójú. A leárs, varás redszer FIR redszer (FIR szűrő), ha a δ egység sorozatra adott h válasz sorozata véges tartójú (véges sok tagja e ulla)..7. Leárs, varás FIR redszer traszfer függvéye A leárs, varás, FIR redszer h pulzus válasz sorozata véges tartójú, tehát a véges sok e ulla ele közt va legksebb () és legagyobb () dexű, tehát a H(z) traszfer függvéye véges tagú összeg, lye értelebe z-ek véges tagú Lauret poloja (egatív és poztív hatváyok s előfordulhatak), ely z egfelelő hatváyával való szorzás erejég dg átírható z vagy z - (-)-ed fokú polojává: H(z) - - = + = = = h z = z h + z = z α z = z α (z ), α = h, = - = - H(z) = h z = z h - z = z a z = z A(z), a = h -, = = = =...( - )...( - ) ahol tehát α( ) és A( ) (-)-ed fokú polook, elyek együttható a h sorozat elletétes ráyú redszer verzó: arch 8, 5

16 Redszerek 6/33 felsoroltjaval egyezek eg: és elyek gyöke egyásak verze. α = a -, =...( - ) Tehát FIR szűrő H(z) traszferfüggvéyét (orgóbel darab pólus (esetleg zérus, ha az axáls e ulla dő-dex egatív volt) erejég e egyértelűe) dg eghatározza az (-)-ed fokú A(z) polo, lletve eek a z síko található (-) darab gyöke, azaz a FIR szűrő e trváls (e orgó-bel) zérusa..7. Kauzáls FIR szűrő A kauzaltásból következk, hogy leárs és varás redszer (szűrő) h pulzus válasz sorozatáak e lehet egatív dexű e ulla tagja. Tehát a legksebb e egatív dexre írhatjuk:. Az általáosság egszorítása élkül a továbbakba kauzáls FIR szűrőre feltételezzük, hogy =. (Ha szükséges ulla értékekkel kbővíthetjük a e ulla h értékek tervalluát.) Tehát kauzáls szűrőre: = = = H(z) = - - h z = α z = α (z ) = z a z = z = = ahol α = h, a = h -, =... továbbá α( ) és A( ) -ed fokú polook. = - A(z).7.3 Szetrkus FIR szűrő Ha az előző pot kauzáls szűrőjére gaz, hogy α(z) = A(z), azaz α = a, =... akkor ebből léyeges következéyek adódak. Egyrészt ez a h pulzus válaszak a közepére szetrkus tulajdoságát jelet: h = h -, =... ásrészt ez gaz az α( ) és A( ) polook együtthatóra s: α = α -, a = a -, =... továbbá gaz, hogy A(z - ) = z - A(z), aből következk, hogy ha q gyöke A(z)-ek akkor /q s gyöke, továbbá valós együtthatók eseté /q * s gyöke. (* a kojugálást jelet) A fet tulajdoság ellett az s gaz, hogy az lye FIR redszer fázs karaktersztkája a frekvecáak leárs függvéye. Eek belátására az ARA redszerek sertetése utá kerül sor. redszer verzó: arch 8, 5

17 Redszerek 7/33.8 Az ARA redszer.8. Defícó, polook, együtthatók, zérusok, pólusok Defícó (az operátor tartoáyba): Az ARA (auto-regressve, ovg-average) redszer olya leárs és varás redszer, aelyek H(z) átvtel függvéye racoáls törtfüggvéy, azaz véges tagból alló Lauret polook (általába a z változó poztív és egatív ktevőjű tagja s lehetek). Az ARA redszer száláló polojáak együtthatót A együtthatókak, a evező polo együtthatót AR együtthatókak evezzük. Az lye törtfüggvéyeket sokféle alakba fel lehet ír, attól függőe, hogy a száláló vagy evező ely tagjára voatkozóa oralzáluk (ely taggal, vagy együtthatóval oszjuk a szálálót és evezőt). Ha az általáos alakú racoáls tört szálálóját és evezőjét végg osztjuk a evező legagyobb ktevőjű tagjával és a szálálóból keeljük aak legagyobb hatváyát, akkor kapjuk az alább z szert kaokus alakot, ahol a evezőbe és a szálálóba z szert α(z ) és β(z ) polojat kapjuk: α -z z αz z α(z ) = = = = = β(z ) β z β z = = H( z ), β =,,. ahol a evező fokszáa, ll. pedg z ek szálálóbel legksebb ll. legagyobb előforduló fokszáa. H(z) ásk szokásos alakját úgy kapjuk eg, hogy a törtet a evező legksebb ktevőjű tagjára oráljuk ((β.z - )-el végg osztjuk a szálálót és evezőt). Ekkor a evezőt és szálálóját z e egatív hatváya szert polookkal írhatjuk fel: - j a jz - A(z) - j= H( z ) = z = z,, B(z) b z = ahol b = β - / β, =... és a = α - / β, =... ( ). Kauzáls ARA szűrő: t korábba láttuk, kauzáls szűrő pulzus válasz sorozata belépő sorozat, ezért H(z) traszferfüggvéyéek kovergeca tartoáya tartalazza a z sík végtele távol potját, azaz aaltkus z = -be. Törtfüggvéy ott e aaltkus, ahol pólusa va, ott e korlátos. z = -be egy redszer verzó: arch 8, 5

18 Redszerek 8/33 polo doás része (aszptótája) a legagyobb ktevőjű tagja, racoáls tört aszptótája a száláló és a evező legagyobb ktevőjű tagjaak háyadosa. Tehát kauzáls ARA redszer szálálója e lehet agyobb fokszáú (z-be), t a evezője. H(z) dkét korább alakjába ez azt jelet, hogy. Az általáosság egszorítása élkül a továbbakba kauzáls ARA szűrőre feltételezzük, hogy =. (Ha szükséges ulla értékekkel kbővíthetjük a száláló e ulla értékű tagjaak tervalluát.) Tehát kauzáls ARA szűrőre a traszfer függvéy lehetséges alakja: αz α(z ) = H( z ) = =, β =,,. β(z ) β z és = j a jz - A(z) - j= H( z ) = z = z,,, B(z) b z = ahol b = β - / β, =... és a = α - / β, =.... Az -ed fokú A(z) poloak lletve az -ed fokú B(z) poloak az algebra alaptétele értelébe a koplex síko va lletve gyöke, elyek a H(z) traszfer függvéyek az a együtthatótól (ovg average; ozgó átlagú együtthatók) függő q zérusa lletve a b együtthatótól (autoregresszv együtthatók) függő p pólusa. Kauzáls ARA szűrőek dg va ay (az együtthatók értéketől e függő) zérusa vagy pólusa az orgóba, hogy a pólusok és a zérusok száa végül egegyezze. Az ARA redszer fokszáa: ax{,}. Az ARA redszerek a e orgóbel gyöket, elyek a polo együtthatóktól függek, e trváls gyökökek evezzük. A polo együtthatóktól e függő, pusztá a polo fokszáok általeghatározott száú és típusú (zérus vagy pólus) gyökök dg az orgóba vaak, ezeket trváls gyökökek evezzük. Az A(z) és B(z) polo, gyöke alapjá felírható szorzat alakba s, így kapjuk az ARA redszer átvtel függvéyéek pólus-zérus alakját: (z q ) - A(z) - a = H(z) = z = z. B(z) b (z p ) j= j A z - függvéyébe felírt gyöktéyezős alak: redszer verzó: arch 8, 5

19 Redszerek 9/33 ( q z ) α(z ) = H(z) = = α. β(z ) ( p z ) egjegyzés: Egy ARA redszert a pólusa és a zérusa (egy kostassal való szorzástól eltektve) egyértelűe eghatározzák. Ezek alapjá, az ARA redszereket pólus-zérus odellekek s evezk. Egy ARA redszer akkor valós, ha az együttható s valósak gyöke valósak vagy kojugáltkoplex párok. j= j.8. AR redszer, all-pole odell Azokat az ARA redszereket, aelyek H(z) törtfüggvéyéek szálálója ulladfokú AR (autoregressve) vagy all-pole redszerekek evezzük. cseek e trváls zérusa: A( z ) a a z H( z) = = = B( z ) + b z b z z + b z b Az orgóba va egy -szeres zérus. Ha H(z) kauzáls, stabl ARA redszert ír le, akkor pólusaak az egységkörö belül kell elhelyezkede. Az kauzáls AR redszer pulzusválasza: h = Z { H ( z), z > ax p } (p -k a redszer pólusa), aely eghatározható H(z) csökkeő sorredbe redezett polo osztásával H(z) = a a b z Az lye típusú polo osztásak soscs vége, végtele sort kapuk, tehát az AR redszer pulzusválasza végtele tartójú (fte pulse respose), ezért az AR redszereket IIR (e véges pulzusválaszú) redszerek..8.3 A redszer, all-zero odell (FIR) Az ARA redszerek ásk evezetes osztálya, akor a H(z) = A ( z ) redszerjellező a z - B( z ) változóak poloja. a z + a z a H( z) = A( z ) = a + a z a z = z Csak e trváls zérusa vaak,pólusa d az orgóba vaak. Az lye kauzáls ARA redszereket A vagy all-zero redszerekek evezzük. Az A redszer pulzusválasza: redszer verzó: arch 8, 5

20 Redszerek /33 h = Z H > { ( z), z }. vel H( z) = a + a z a z lesz h sorfejtés véges, ezért h s véges tartójú = a (fte pulse respose), ezért az A redszereket FIR redszerekek s evezzük..8.4 ARA szűrő dőtartoáy redszer egyelete Az előző potba adott z-tartoáy defícó és a racoáls tört alapjá írhatjuk: azaz α z Y(z) = H( z ) = =, β =,,. X(z) β z = β z Y(z) = α z X(z), β =,,. = = Iverz z-traszforácó utá kapjuk: β y = = αx -, β =,,. = Tehát az dőtartoáybel lehetséges defcó: ARA redszer az, elyre a beeet sorozat eltoltjaak A együtthatókkal vett leárkobácója egyelő a keet sorozat AR együtthatókkal vett leárkobácójával. A fet általáos dőtartoáy redszer egyelet dg átírható az alább rekurzív egyeletbe: y = x - β,,. = α = y A dekor keet ta egyelő a beeet ták A együtthatók szert és a korább keet ták AR együtthatók szert leárkobácójával. redszer verzó: arch 8, 5

21 Redszerek / Az ARA redszer pólus-zérus elredezése és apltúdó- és fázskaraktersztkája között kapcsolat A koplex H(f) átvtel frekveca karaktersztka és az apltúdó- és a fázskaraktersztkák közt kapcsolat: azaz A( f) H( f) H( f) A( f) e j ϕ = f ( ) = és ϕ( f) arc( ( f) ) = H. Iduljuk k H(z) gyöktéyezős alakjából, ajd a frekveca függvéyre való áttérésél haszáljuk a j ft z = e π helyettesítést: -jπ (-)Tf a ( ) ( e q) ( e q )... ( e q ) A (f ) = H z = e = e b ( e p ) ( e p )... ( e p ) vel egy szorzat abszolút értéke egyelő a téyezők abszolút értékéek szorzatával, e q q a A (f ) = H( z = e ) =, b e p e p... e p e... e azaz, az abszolút érték karaktersztka a gyöktéyezőkhöz tartozó frekvecafüggő téyezők szorzata, háyadosa. j ft Egy gyöktéyező abszolút értéke az egységkör f frekvecájú ( z = e π ) potja és a gyöktéyező között távolság lesz: q Ezzel a redszer eredő abszolút érték karaktersztka értékét egy f frekvecá úgy kapjuk, hogy a szálálóba lévő gyöktéyezők abszolút értékéek szorzatát, azaz a zérusokhoz húzott szakaszok hosszáak szorzatát elosztjuk a evezőbe lévő gyöktéyezőek abszolút értékeek szorzatával, azaz a pólusokhoz húzott szakaszok hosszaak szorzatával. redszer verzó: arch 8, 5

22 Redszerek /33 - a A(z) Ha H( z ) = z, akkor b B(z) a ϕ (f ) = arc( H( z = e ) = arc( ) π ( - ) Tf + arc A( z = e ) arc B z = e b ( ) ( ( ) A száláló szöge a szálálóba lévő gyöktéyezők szögéek összege, íg a evező szöge evezőbe lévő gyöktéyezők szögéek összege lesz:. a ϕ(f ) = arc( b ) π ( - ) Tf + arc( e q ) arc( e p j ) = j=. j ft Egy gyöktéyező szöge az adott gyöktéyezőből húzott az egységkör f frekvecájú ( z = e π ) potjá áthaladó félegyees és az abszcssza által bezárt szög: egjegyzés: Azokat a redszereket, aelyekél a H(z - ) szálálója -adfokú, vagys A( z ) a H( z) = =, AR (auto-regressve) redszerekek evezzük. B( z ) + b z b z Azokat, aelyekek a evezője -adfokú A (ovg-average) redszerekek hívjuk: A( z ) H( z) = = a + a z a z. B( z ).8.6 evezetes alappéldák ARA redszerekre Példakét az eddg eggodolások alapjá végezzük el éháy egyszerű, de evezetes alapeset aalízsét. redszer verzó: arch 8, 5

23 Redszerek 3/33 Cob Flter Legye a dekor keet az aktuáls beeet és az tával korább beeet külöbsége: y = x x - A ylvávalóa leárs és varás ARA és FIR redszer traszfer függvéye: H(z) = z. Legye =8, és rajzoljuk fel H(z) pólus-zérus elredezését! A redszerek csak etrváls zérusa vaak, elyek az -ed redű egységgyökök. Eek alapjá láthatjuk, hogy az apltúdó karaktersztkáak s zérusa leszek F f =, =...( ) frekvecákál, továbbá a pólus-zérus elredezés 36 o / elforgatás szetrájából látható, hogy a frekveca karaktersztkák F- szert perodkusak leszek. polus-zerus abra Iagary Part abs.apltudo Real Part.5 fazs (fok) 5-5 log. apltudo f/f -.5 f/f A fázskaraktersztka egyrészt leárs, ásrészt egjeleek a π értékű ugrások, elyek a valós apltúdó ull-helyeél tapasztalható előjelváltozásokak felelek eg. vel az apltúdó karaktersztka "fésű alakú" az lye típusú szűrőt fésűszűrőek vagy cob flterek evezzük. redszer verzó: arch 8, 5

24 Redszerek 4/33 Blokkos átlagolás: Legye az dekor keet az utolsó darab beeet ta átlaga: y = (x + + x - + x x -(-) ) A ylvávalóa leárs és varás ARA és FIR redszer traszfer függvéye: H z ( ) = z z = = z. A gyököket tektve látjuk, hogy az -ed redű egységgyökök közül a z= kesk, tehát arad a F több - egységgyök, elyekhez tartozó apltúdó karaktersztkáak f =, =...( ) frekvecákál zérusa va, es f=-ba va axu. polus-zerus abra Iagary Part Real Part abs.apltudo fazs (fok) - log. apltudo f/f -.5 f/f redszer verzó: arch 8, 5

25 Redszerek 5/33 Expoecáls átlagolás: Az x ták w súlyokkal vett súlyozott átlaga az alábbt jelet: w x x atlag = w Ha a súlyok egy w alap w = w hatváya szert =... adottak, akkor expoecáls átlagolásról beszélük, ha a keet ta a korább beeet ták expoecálsa súlyozott átlaga, akkor a redszer dffereca egyelete: y = (x + wx - + w x -...) = w x - w - w A defcók alapjá egállapítható, hogy ez a redszer leárs, varás, e véges eórájú (IIR). Ez a o-rekurzív dffereca egyelet ylvávalóa átírható az alább rekurzív alakba: = y = ( w) x + w y A dffereca egyeletet Z-traszforálva és H(z)=Y(z)/X(z) re egoldva kapjuk az expoecáls átlagoló traszferfüggvéyét: H(z) = ( w). wz Az expoecáls átlagolás, tehát egy pólust jelet z=w él. Az apltúdó karaktersztka ylvávalóa ooto csökke (elsőfokú aluláteresztő IIR szűrő), axua H(f=)= és ua H(f=F/)=(-w)/. polus-zerus abra Iagary Part Real Part abs.apltudo fazs (fok) 5-5 log. apltudo f/f -.5 f/f redszer verzó: arch 8, 5

26 Redszerek 6/33 Itegrálás: Útutatás: A dszkrét dejű tegrálás (akkuulálás) az expoecáls átlagolásak w= -él vett specáls esete (Z= él, azaz f= ál pólus, aluláteresztő jelleg). Dffereca képzés: Útutatás: A cob flter = re vett specáls esete (Z= él, azaz f= ál zérus, felüláteresztő jelleg). Egyéb példák:. Vázoljuk fel a H ( z) =, a < átvtel függvéyel egadott redszer apltúdó a z karaktersztkáját a, a > és b, a < eseté! egoldás: a, Az apltúdó karaktersztka alul-áteresztő jellegű lesz: b, Az apltúdó karaktersztka felül-áteresztő jellegű lesz:. lye a karaktersztkája? H ( z) =, * ( a z ) ( a z ) a < átvtel függvéyű redszer apltúdó egoldás: Az apltúdó karaktersztka sáváteresztő jellegű lesz, redszer verzó: arch 8, 5

27 Redszerek 7/33 Ugyas f frekveca köryéké az a pólushoz tartozó gyöktéyező abszolút értéke jeletőse lecsökke, íg az a * -hoz tartozó gyöktéyező abszolút értéke alg változk. * 3. Hogy éz k a H( z) = ( a z ) ( a z ) egoldás: Az apltúdó karaktersztka sávzáró (lyukszűrő) jellegű lesz: A redszer apltúdó karaktersztkája? redszer verzó: arch 8, 5

28 Redszerek 8/ ARA redszerek gyökverzóra voatkozó varacája Tétel: Az ARA redszerek apltúdó karaktersztkája a gyökverzóra varás (egy kostas szorzótól eltektve). Ez azt jelet, hogy e változk az apltúdó karaktersztka alakja, ha akár a pólusokat, akár a zérusokat vertáljuk. A z gyök verze alatt a z * -ot értjük: Bzoyítás: A bzoyítást végezzük úgy, hogy az eredet H (z)-ek egy zérusát kcseréljük az verzével: * α( z) ( z z ) α'( z) ( z z ) α'( z) H ( z) = = H ( z) = β( z) β( z) β( z) Ekkor azt kell belátuk, hogy? H ( z = e ) = K H ( z = e ), vagys behelyettesítve e e e z α'( z = e ) β( z = e ) z? = K, ahol K kostas. * z? α'( z = e ) = K e, ajd egyszerűsítve és átredezve * z β( z = e ) Írjuk föl a koszusz-tételt az O-(/z * )-z hároszögre: redszer verzó: arch 8, 5

29 Redszerek 9/33 j ft e π j ft e π = ( ) α + cos r * z r r r = + r r cos α, * z ajd az O-z -z hároszögre: j ft e π z = r + r cos α. Az előbb két egyeletből e z = r = K. Tehát a két abszolút érték háyadosa valóba kostas. e * z Feladat: Tektsük az alább pólus-zérus elredezéssel defált labls ARA redszert. t kell te ahhoz, hogy stabl legye, de apltúdó karaktersztkája e változzo? egoldás: Az egységkörö kívül eső pólusokat tükrözzük az egységkörre. Ezzel az stabl gyököket lecseréltük stablakká, és a gyökverzóra voatkozó tétel alapjá az apltúdó karaktersztka e változk eg. (Vszot a fázskaraktersztka ge! Egy redszer stabltását tehát e az apltúdó-, hae a fázskaraktersztka határozza eg.).8.8 ál-fázsú ARA redszer Legye egy H(z) átvtel függvéyel egadott -edfokú stabl ARA redszer apltúdó karaktersztkája A(f). Kérdés, háy olya külöböző stabl ARA redszert lehet egad axálsa, aelyekek ugyaaz az A(f) az apltúdó karaktersztkája. vel egy ARA redszer fokszáa a evező- és a szálálópolo fokszáa közül a agyobbk, ezért egy -edfokú redszerek axu zérusa lehet. vel a zérusok cseek hatással a stabltásra és a gyökverzóra az apltódó karaktersztka varás, ezért az db. zéruso tetszőleges kobácóba végezhetük gyökverzót. Az összes kobácók száa pedg, így axu -féle azoos apltúdó karaktersztkájú -edfokú ARA redszer létezk Ezekek vszot külöböző a fázskaraktersztkájuk. Defícó: redszer verzó: arch 8, 5

30 Redszerek 3/33 Az azoos apltúdó karaktersztkájú -edfokú ARA redszerek közül azt, aelykek a legksebb a fázsa de f frekvecá, ál-fázsú redszerek evezzük. Köye belátható, hogy a száú redszer közül az lesz ál-fázsú, aelykek cs zérusa az egységkörö kívül (és terészetese de pólusa az egységkörö belül va). Az alább ábra azt szeléltet, hogy az egységkörö belül zérusokhoz tartozó fázsszög dg ksebb, t az egységkörö kívül verzükhöz tartozó. Ha H(f) ál-fázsú ARA redszert ír le, akkor az l( H( z )) koplex függvéyek csak az egységkörö belül leszek szgulartása (az eredet H(z) pólusaál és zérusaál), vagys az egységkörö kívül gyűrűtartoáyba aaltkus olya tha l(h(z) s egy kauzáls redszert íra lesz. Kauzáls redszerekél vszot a frekvecaátvtel függvéy valós és képzetes része e függetle. j l( z = e π ft ) = l( H( f)) = a(f) + j ϕ (f), ahol a(f) = H(f) és ϕ(f) = arc(h(f)) Éppe ezért a ál-fázsú kauzáls ARA redszerek apltúdó karaktersztkája és fázskaraktersztkája e függetle! Vagys az apltúdó karaktersztka eghatározza a fázskaraktersztkát: a ál-fázsú redszereket egyértelűe leírják az apltúdó karaktersztkájuk. egjegyzés: Tektsük egy égyzetese összegezhető x sorozatot, aelyek z-traszforáltja X(z). Azoba ezt a jelet közvetleül e, csak egy H(z)-vel törtéő leárs, varás traszforáltját. Va-e olya K(z) redszer, aellyel ebből rekostruálhatjuk x -t? K ( z ) =? : u = x. vel U(z) = X(z) H(z) K(z), legye K( z) = (H(z) vertáltja). Azoba H( z) ez csak akkor lesz stabl, ha H(z) zérusa az egységkörö belül helyezkedek el, azaz álfázsú. (Hsze H(z) zérusa K(z) pólusa leszek.) A ál-fázsúság és az vertálhatóság ugyaazt a fogalat jelet. Foglaljuk össze a leárs, varás redszerek frekvecatartoáybel jellezőt: A H(f) redszerjellező H(f) = A(f) e jϕ(f), ahol A(f) az apltúdó karaktersztka, ( a(f) = l(a(f)) a logartkus apltúdó karaktersztka) dϕ( f) ϕ(f) a fázskaraktersztka, ( τ( f) = a futásdő-karaktersztka). π df Gyakra az ω = π f-et haszálják a frekveca jelölésére. Ekkor redszer verzó: arch 8, 5

31 Redszerek 3/33 H( f) = F { h } = h e = H(ω) = A(ω) e jϕ(ω) τ( f) = π H( ω) = F { h } = h e dϕ( f). df = jω T, Az azoos apltúdó karaktersztkájú redszerek közül a ál-fázsúak ecsak a fázsa, hae a futás deje s áls de f-él. A( z) Ha az x sorozat X(z) z-traszforáltja felírható két polo háyadosakét, K( z) =, akkor B(z) az x jelet ARA jelek evezzük. Eek a redszerekhez hasolóa egadható a frekvecatartoáybel leírása: K(f) = A x (f) e jϕ(f). A jelek spektruáak abszolút érték égyzetét eergaspektruak evezzük: E( f) = X ( f) = A x ( f) Ha K(z) -edfokú, akkor (axu) féle külöböző lefolyású x sorozat létezk, aelyekek ugyaolya az apltúdóspektrua. Fotos jeljellező a kuulatív eergafüggvéy: c = x. Véges eergájú x eseté a c = kuulatív eerga egy véges határértékű ooto övekvő sorozat. c egodja, hogy a jel az - edk dőpllaatg ekkora eergát utatott, azaz hogya oszlk el a jel eergája az dőbe. Az azoos eergaspektruú x ARA jelek közül létezk egy olya, aelyek kuulatív eergafüggvéye az összes több fölött halad. Ez az aelyk az dőtartoáy elejére kocetrálja az eergáját, ezért ezt frot-loaded v. u delay jelek evezzük. ARA jelek eseté az ehhez tartozó X(z) összes zérusa az egységkörö belül helyezkedk el. (axu delay jelél az összes zérus az egységkörö kívül helyezkedk el.).8.9 Leárs fázsú FIR redszerek Azokat az A redszereket, aelyek H( z) = a + a z a z együtthatóra gaz, hogy a redszerekek evezzük. redszerjellező polojáak = a, vagys az együttható eloszlás szetrkus, leárs-fázsú Hogy ért, ahhoz fgyeljük eg a következőket: α( z) Írjuk föl H(z) z poztív és egatív hatváya szert: H( z) = A( z ) =, ahol az A(z ) és az α(z) polo együttható közt összefüggés: α = a. Ha vszot a = a, akkor α = a. utá az A(z ) és az α(z) polo gyöke s azoosak, ezért ha z gyök, akkor az /z s gyök. (Ha valós a redszer, akkor z * s gyök.) z redszer verzó: arch 8, 5

32 Redszerek 3/33 A pólus-zérus elredezés az egységkörre szetrkus. Az alább esetbe vzsgáljuk eg, hogy a z =r e jϕ zérus és az /z párja együttese ekkora fázseltolást eredéyez az f frekvecá: vel az O-z szakaszhossz és az O-z szakaszhossz aráya r, a O-z és az O-/z szakaszhosszak aráya szté r, és γ közös szöge az O-z-z és az O-/z -z hároszögek, ezért a két hároszög hasoló. O-z -z = O-z-/z, ahol O-z -z = 8 ϕ és O-z-/z = 8 (γ+(8 ϕ')). Behelyettesítve, 8 ϕ = 8 (γ+(8 ϕ')) ϕ + ϕ' = γ + 8. γ a frekvecával leársa változk, tehát z zérus és az /z párja együttese leárs fázseetet hozak létre. vel de z -ek egva az /z párja, ezért a redszer teljes fázseete leárs lesz, vagys a futás dő a frekveca függvéyébe álladó (átlagosa: T/). egjegyzések: A leárs-fázsú redszer de frekvecá azoos késleltetést okoz, tehát az átvtel e dszperzív. Ez az alakhű jelátvtel szükséges feltétele. (Ha eellett az apltúdó karaktersztkáról kkötjük, hogy a frekvecától függetleül álladó, akkor a két feltétel együtt ár elégséges.) Leárs fázskaraktersztkát csak FIR szűrővel lehet egvalósíta. vel egy leárs fázsú redszerek az egységkörö kívül s vaak zérusa, a redszer e ál-fázsú. A leárs fázsú redszer e vertálható. Ha a H(z) leárs fázsú, akkor legye pl. h az alább véges szetrkus sorozat: redszer verzó: arch 8, 5

33 Redszerek 33/33 Ha H(z)-t gyökverzóval ál- ( z, - re ) ll. axál-fázsúvá ( z, - re ) tesszük, akkor az pulzusválaszok az alább ódo változak. Ha H(z) ál-fázsú, akkor a hozzá tartozó h frot-loaded v. u delay jel. dháro esetbe azoos a redszer apltúdó karaktersztkája. Ha H(z) axál-fázsú, akkor a hozzá tartozó h axu delay jel. redszer verzó: arch 8, 5