3. ábra nem periodikus, változó jel 4. ábra periodikusan változó jel

Átírás

1 Válakozó (hibásan váló-) menniségeknek nevezzük azoka a jeleke, melek időbeli lefolásuk közben polariás (előjele) válanak, legalább egszer. A legalább eg nullámenei (polariásválás) kriériumnak megfelelnek azok a jelek, melek nem periodikusak, vagis időbeli lefolásukban nem lelheő fel ismélődés (. ábra), valamin megfelelnek a periodikus jelek is, melek időbeli lefolásuka ekinve ismélődőek (2. ábra), például szinuszos jelalakkal. Fonos megjegezni, hog az a jel, amelnek éréke az idő függvénében válozik, de közben polariás nem vál, az nem válakozó, hanem válozó menniség. Erre mua példá a 3. ábra. A 4. ábra eg szinuszosan válozó érékű jel időbeli lefolásá muaja, azonban eme jel nem vál polariás, íg ez a jel is válozó jel és nem válakozó. Amenniben a 4. ábra eg feszülség-idő függvén, akkor a jele válozó egenfeszülségnek nevezzük ábra nem periodikus válakozó jel 2. ábra PERIODIKUS VÁLTAKOZÓ JEL ábra nem periodikus, válozó jel 4. ábra periodikusan válozó jel Vizsgálódásunk fókuszában a periodikus (szinusz) válakozó menniségek lesznek. Ennek öbb oka is van: a ermészeben javarész periodikus rezgések apaszalhaók (fén-, hang-, mechanikai-); bármel nemszinuszos rezgés előállíhaó öbb, különböző ampliúdójú, -,fázisú, -frekvenciájú jelek összegekén (Fourier-analízis és Fourier-szinézis); az előállío villamosenergia is lénegileg szinuszos lefolású. ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor /9

2 Képzeleben forgassunk meg vízszines helzeből, balra eg vekor, melnek nagsága egségni. Az 5. ábrán megfigelheő, hog a forgó vekor csúcsponja eg köríve ír le a forgása során, miközben a vekor α szöge zár be a vízszines engellel. Amíg a vekor eljesen körbe fordul, az α szög mindennek megfelelően 0 és 360 fok közö válozik, s a folama kezdődik elölről. Az íg lérejö körmozgás ehá ismélődő, vagis periodikus. Az ismélődés α=360 o +k 360 o formula szerini, ahol k eleme egész szám. 5. ábra az ívmérék származaása: rad => r=i(piros) ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 2/9

3 A szögekkel örénő számíások kénelmessé éelének érdekében a XIX. században bevezeék a radián, min ívméréke. A radián v. ívmérék a síkszögek egik mérékegsége, amele a rad szimbólummal jelölnek. Dimenzió nélküli szám, mivel ké hosszúság hánadosa. A maemaikusok a szöge álalában radiánban mérik, és a radián jelölés gakran elhagják. Ha foko használnak, az a jellel különbözeik meg. Eg radián az a szög, amel ala a sugárral megegező nagságú ívhossz a középponból lászik. Másképp a radián a sugárni hosszúságú ívhosszhoz arozó középponi szög. Eg kör középponi szögének radiánban mér éréke kiszámolhaó, ha a hozzá arozó ívhossz (i) eloszjuk a sugárral (r). A radiánból a fokokba való ászámíás azon az elemi geomeriai éelen alapul, miszerin a kör középponi szögei és e szögek ívhossza egenesen aránosak, jelekkel α i. Ha a középponi szög épp a eljesszög, az ívhossz akkor a kerüle, íg azán ez eseben α=360=k kör =2r π, és ekkor, a radián definíciója alapján, α= k kör r = 2r π =2 π. Tehá a 360 éppen 2 π radiánnak felel r meg. Mindezekből o = 2 π 360 = π 80 rad=7, rad= 360 o 80 =( 2 π π ) =57,296 o Pl.: Számísuk ki a 30 o radián éréké! 30 o =30 π 80 = 6 π= π 6. Számísuk ki a 2 πrad rad éréké fokban! 2 πrad=2 π 80 π = 360π π =360o Nevezees szögek radiánban: 30 o = π 6 ; 45o = π 4 ; 60o = π 3 ; 90o = π 2 ; 80o =π ; 270 o = 3 2 π ; 360o =2 π. Az ω szögsebességgel (szögsebesség, körfrekvencia: ω=2 π f ) forgó vekornak ké veülee kelekezik (2. ábra), eg függőleges és eg vízszines. Eme veüleek érelem szerin pillanaról pillanara váloznak, a forgás, s vele egü α szög függvénében. Amenniben a forgóvekor eg háromszög áfogójának ekinjük, úg a ké veüle lénegében az áfogóhoz arozó (pillanani) befogóérékek, ezér a Phagoras-éel alkalmazhajuk a számíásokhoz. ω sin α (függőleges engelveüle) α α sin α cos α (vízszines engelveüle) cos α Phagoras-éele alapján: c 2 =a 2 +b 2 Ekkor: =sin 2 α+cos 2 α 6. ábra a forgóvekor veüleei Wikipédia: Radián, hp://hu.wikipedia.org/wiki/radi%c3%an, megjeleníve ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 3/9

4 Amenniben a forgóvekor pillanani veüleérékei ábrázoljuk a szögelfordulás függvénében, akkor a ké szinuszos jellegű függvén kapunk. A piros a szinusz-, a kék pedig a koszinusz-függvén (7. ábra). ω sin α (függőleges engelveüle) α cos α (vízszines engelveüle) ábra a forgóvekor veüleérékei a szögelfordulás függvénében A 7. ábrá megfigelve a kövekező megállapíásoka ehejük meg: szinuszos lefolásúak; alulról és felülről korláosak: min = és ma =, egségsugarú kör eseén: érékkészle: sinα=[ ;] ; min = =>270 o nál ; ma ==> 90 o nál érékkészle: cos α=[ ;] ; min = =>80 o nál ; ma ==> 0 o nál a ké függvén szigorú, merev kapcsolaban van, az eges érékeke 90 fokos elolással veszik fel, hiszen a ké veüle is 90 foko zár be; úg mondhajuk, hog a szinuszfüggvén 90 foko késik a koszinuszfüggvénhez képes, vag a koszinuszfüggvén 90 foko sie a szinuszfüggvénhez képes; a szinuszos függvének periodikusak (ismélődőek): 360 o +k 360 o, illeve 2 π+ k 2 π szerin, ahol k eleme egész szám (poziív és negaív is). A 8. ábra szerini kördiagram aralmazza a nevezees szögeke fokban és radiánban, és a hozzájuk arozó veüleérékeke, egségsugarú kör eseén. Az első veüleérék a koszinuszos, a második pedig a szinuszos. Felismerheő öbbek közö az is, hog bizonos szögek eseén (45, 35, 225, 35) megegezik a ké veüleérék. 8. ábra az egségsugarú forgóvekor nevezees szögei (fok, rad) és veüleei (cos, sin) ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 4/9

5 ω ábra a folonos szinuszfüggvén néhán pillanani érékei Az eddigi egségni hosszúságú vekor ruházzuk fel aralommal : legen feszülség a vekor, miközben a nagságá a maimális szinuszos veüleérékkel, -csal jelöljük, melnek jelenése: U csúcs. Ez a szinuszos lefolású feszülség ampliúdója. A szakirodalom a feszülség csúcséréké a kövekezőképpen jelöli még: U 0 ; U cs ; U p. Az uóbbi formula p indee az angol peak (csúcs) rövidíése. Können elfogadhaó az a én, hog ebben az eseben a szinuszos és a koszinuszos veüleek érékei -szorosra növekednek az eredei egségvekorhoz képes. A jel ampliúdójá ekinve nevezees érék a csúcsól-csúcsig érék is, vagis a ké szélső ampliúdóérék közöi ávolság. Jele: U cs cs, vag U p p. u U cs cs T [s] T [s] - 0. ábra a válakozó feszülség jellemzői ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 5/9

6 ω u= sinα 0.4 α [s] T [s] -. ábra a válakozó feszülség jellemzői A villamos feszülség éréke pillanaról pillanara válozik, a szinuszos lefolásnak megfelelően. A pillanani menniségeke mindig kis beűvel jelöljük (pl.: u, i). A pillanani feszülség éréke: u= sin α Ké, egmás köveő, azonos fázishelzeű pillanani érék közö elel idő a periódusidő, melnek jele: T. Számalan ilen ké pon adódik, a 0. ábrán csak ké pillanani érék pár van bejelölve: eg eszőleges és eg nulla érékű. A periódusidő az az idő, amel szerin a függvén periodikus, vagis ismélődő. Gondolkodhaunk másképp is: az az idő, amel ala a forgóvekor egszer körbefordul (0- ól 360 fokig), periódusidőnek nevezzük. Eg periódus lénegében eg rezgés ideje. Elemezzük a 9. ábrá! Amíg a forgóvekor a eljes köríve bejárja, ponosan T periódusidő elik el. Azonban az is lássuk be, hog a forgóvekor eszőleges α szögű elfordulása pillanani idő vesz igénbe ( pillanani időhöz arozik egébkén az u pillanani feszülségérék). Összefoglalva: 360 o ( 2 π ) T, íg α. Ekkor felírhajuk a kövekező aránpár: 2 π T = α, ahol ω= 2π T a szögsebesség, a körfrekvencia. Min láuk eg rezgés ideje a periódusidő. Ebből viszon meg udjuk haározni, hog eg másodpercben hán rezgés van, vagis menni a másodpercenkéni rezgésszám, vag frekvencia: f = T = [s] [ = s ] =[ Hz] (herz). ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 6/9

7 Az f frekvenciájú rezgés periódusideje: T= f = [ =[s]. s ] Térjünk vissza a körfrekvenciára: ω= 2π T =2 π T =2 π f. Mindezek ükrében nézzük meg, hogan írhaó fel a feszülség pillanani éréke a szögérék, az idő, és a körfrekvencia függvénében:. A pillanani feszülség az elfordulás (szög) függvénében: u= sin α Láuk, hog 2 π T = α, ebből kövekezik, hog α= 2 π T =2 π T, ahol 2 π a 360o radiánban, vagis a eljes kör. A T hánados az muaja meg, hog a énleges szögelfordulás hánszorosa a 360o - nak. Ez a hánados eg perióduson belül egnél kisebb érékű. 2. Ekkor a feszülség pillanani éréke az idő függvénében: u= sin(2 π T ) Min ismerees α= 2 π 2π, valamin ω=, ezér α=ω T T 3. Ebben az eseben a feszülség pillanani éréke: u= sin(ω ) Elfordulás radiánban (α) : Frekvencia (f ) : Periódusidő (T ) : A pillanani idő és a periódusidő viszona Pillanani idő () : Körfrekvencia, szögsebesség [ rad s ] Pillanani feszülség (u) : α= 2 π T =2 π T α=ω f = T = [s] [ = s ] =[ Hz] T= f = [ s ] =[s] T =T α 2 π ω= 2π T =2 π T =2 π f u= sin α u= sin(2 π T ) u= sin(ω ) I. ábláza a válakozó feszülség jellemzőinek összefoglalása ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 7/9

8 . példa Számísa ki az 50 Hz-es feszülség periódusidejé! Megoldás: Periódusidő: T= f = 50 Hz = 50 s = s=20ms 2. példa Mekkora a frekvenciája annak a jelnek, melnek a periódusideje 5 ns? Megoldás: Frekvencia: f = T = s =09 5 s = =200 MHz s 3. példa Milen fázishelzeű az 50 Hz-es jel a nullhelze uán,3 ms múlva? Mekkora a pillanani feszülség, ha =0V Megoldás: a) a periódusidő: T 50 Hz = f = 50 Hz = 50 = s=20 ms s T =,3ms 20 ms =0,065 A körfrekvencia: ω=2 π f =2 π 50 Hz=2 π 50 s =00 π rad =34,6 s s A szögérék radiánban: α=2 π,3ms =0,408 rad 20ms A szögérék fokban: α=360 o,3ms 20ms =23,4o A feszülség pillanani éréke: u= sin α=0v sin 23,4 o =0V 0,397=3,97 V u= sin(2 π,3ms )=0 V sin(2 π )=0 V sin(2π 0.065)= T 20ms =0 V sin(0.3π)=0v sin 23,4 o =0V 0,397=3,97V mivel 0,3 πrad=(0,3π 80 o π ) =(0,3 80) o =23,4 o u= sin(ω )=0V sin(00 π rad s,3 0 3 s)= =0 V sin(0.3π)=0v sin 23,4 o =0V 0,397=3,97V mivel 0.3 πrad=(0,3π 80 o π ) =(0,3 80) o =23,4 o ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 8/9

9 0 8 u 6 u T 2. ábra a 3. példa megoldásának ábrázolása u; i 3. ábra különböző frekvenciájú (f ), ampliúdójú ( ) és fázishelzeű szinuszos rezgések ELEKTROTECHNIKA Készíee: Mike Gábor 9/9