) leképezést jelenti, ahol a ξ. moduláló jelet az f (.) funkcionál leképezi az η

Átírás

1 Moduláció Bevezeés moduláció lénege, céla. moduláció röviden válozaás elen. Például a zenében a kulcs megválozaásá, míg a hírközlésben a vivőhullám valamel ellemzőének válozaásá nevezik modulációnak. Persze ez rögön felvei az a kérdés, hog miér kell egálalán vivőhullám? Erre nagon egszerű a magaráza: a ovábbíandó, az információ hordozó elek elég álalánosan az alapsávban vannak, viszon a rendelkezésre álló ávieli csaornák igen gakran eől elérő frekvenciasávo bizosíanak. Íg a moduláció egik legalapveőbb célakén ennek az elérésnek a feloldásá elölheük meg. Jól ismer, hog valóban léezik olan modulációs elárás, az SSB, amel énleg csupán ez a frekvencia-áhelezés valósía meg, de más modulációs módszerek ovábbi leheőségeke is bizosíhanak. Ezek a leheőségek a modulál el álal elfoglal frekvenciasáv érékében, a modulál elhez adódó za olerálásában elenkeznek. Modulál elek maemaikai modellei. modulál elek leírására a legkézenfekvőbb az időaromán, de sok eseben i reve maradnak fonos uladonságok. Éppen ezér gakran használuk a frekvencia-aromán is, amikor meghaározzuk a modulál el spekrumá. Digiális moduláció eseén nagon fonos lesz a elér-beli leírás, amivel i fogunk megismerkedni. moduláció faái. Ké alapveő faá használunk: az egik az analóg moduláció, a másik a digiális moduláció. z analóg moduláció a legálalánosabban az η f ( ξ ) leképezés eleni, ahol a ξ moduláló ele az f (.) funkcionál leképezi az η függvénbe. leggakrabban használ analóg modulációs elárások eseén eg szinuszos vivőhullám ampliúdóá, illeve fázisá vag frekvenciáa válozaa, azaz modulála a ξ el. Digiális modulációnál a moduláló szimbólumoka leképezzük a csaornán ovábbíhaó szimbólumokká, más néven elemi elek-ké. Ebben az eseben uganis nincs eleve ado el, ami alakhűen kellene ovábbíani. modulál szimbólumok célszerű leírása a elérben örénhe. demoduláció. nalóg eseben a moduláló ele akaruk alakhűen visszaállíani. Digiális eseben a csaorna kimeneén lévő elből el akaruk döneni a legvalószínűbb küldö szimbólumo. kár az is mondhauk, hog nincs demoduláció, csak dönés van. demoduláció feladaa persze nagmérékben különbözik zamenes eseben, illeve zaos eseben. (Valóságos felada álalában az uóbbi eseben fordul elő.) zamenes eseben az analóg demoduláció a modulációs leképezés inverz leképezésének a meghaározásá eleni csupán. Persze zaos eseben is valami hasonlóra van szükség, de inkább úg fogalmazhaunk, hog meg kell haározni a zaos modulál elből a moduláló elhez valamilen érelemben legközelebb álló ele. Digiális eseben a demoduláció a csaorna szimbólumok leképezése a moduláló szimbólumokba. Természeesen ez a leképezés zaos eseben igazán érdekes felada. demodulációval kapcsolaban lénegében az a ké kérdés veődik fel, hog: Mi a legobb elárás? Mi a legobb eredmén? nalóg modulációs elárások Ide ön a régi 6-os

2 Digiális modulációs elárások Min monduk, a digiális moduláció a forrás-szimbólumoknak a csaorna-szimbólumokba örénő leképezésé eleni. csaorna-szimbólumok, azaz a digiálisan modulál el elemeinek a leírására a elér a legalkalmasabb. elér Célainknak megfelelően az vizsgáluk, hog mikén lehe a véges energiáú, korláozo időaramú eleke ( x i ( ), <, i,..., M ) egszerűen, és a moduláció és demoduláció szemponából haékonan leírni. z derül ki, hog eg oronormál vekorérben, a elérben örénő leírás rendkívül előnös. vekorere az alábbi ellemzőkkel bíró bázisfüggvénekkel feszíük ki: ϕ ( ), <,,..., N, úg, hog skaláris szorzauk:, k ϕ ( ), ϕk ( ) ϕ ( ) k ( ) d, k zaz oronormál a ér, mer a bázisfüggvénei orogonálisak, és energiáuk egségni. Továbbá úg válaszuk a bázisfüggvéneke, hog a ér eles legen: N xi ( ) xi ( ), i,..., M ; és xi xi ( ) ( ) d, azaz, a leírni kíván eleke, az ú.n. csaorna-szimbólumoka maradékalanul meghaározzák a bázisfüggvének. Csak megemlíük, hog a feni köveelméneke kielégíő bázisfüggvének meghaározására algorimikus elárás ismer, az úg neveze Gram-Schmid orogonalizácó. z előbbi ké egenleből az első szokák szinézis-egenlenek hívni: N xi ( ) xi ( ), i,..., M, a másodika pedig az analízis egenlenek is: xi xi ( ) ( ) d; i,..., M ; és,..., N. z egenleekben szereplő elölések, ameleke soka fogunk használni: M elöli a digiális szimbólumkészle méreé, az is monduk, hog M-áris a forrás; ennek a szimbólumkészlenek megfelelő csaorna-szimbólumoknak, azaz az M-áris modulál szimbólumkészlenek a elérbeli leírásához szükséges bázisfüggvének számá elöli N. láni foguk, hog a gakran használ modulációs módszerek eseén N kisebb, vag akár sokkal kisebb, min M. ovábbiakban fonos gakorlai példákon muauk meg a elér használaá. nipodális elek digiális moduláció legegszerűbb eseé elenik az úg neveze anipodális elek, amele ellenées-nek fordíhaunk, bár ez az elnevezés nem használuk. Ezen az egszerű példán belül is a legegszerűbb: z anipodális PM bináris szimbólumkészle érelemszerűen ké elből áll, amelek egmás elleneei, ükörképei. hosszúságú időrésben a el válozó, vag konsans érékű is lehe.

3 Be kell vallani, hog ebben az eseben a elérbeli leírás még bonolíásnak űnik, hiszen ha a () () ké elemi el, azaz és egenlő és az időrés () () menén, amin a mellékel ábra muaa, akkor ezeknek a leírása az oronormál elér bázisfüggvénei segíségével nem az egszerűsíés iránába mua, bár igaz, hog a elér egdimenziós lehe, a kövekező bázisfüggvénnel: - ), vekorok (hiszen dimenziósak): () ϕ ( ), és. lépése.) ϕ ( ) ϕ ( <, és a el- modulál elek elérbeli ábrázolása íg a mellékel ábra szerini. bázisfüggvén meghaározása csupán anni elene, hog egségni energiáúra normáluk az -es elű elemi ele. (Egébkén az emlíe Gram-Schmid orogonalizácónak ez az első () () ( k ) d ϕ ( ) k elvekorok meghaározása már nem szorul magarázara. mos bemuao példában szereplő NRZ (Non Reurn o Zero) el egszerűsége mia példakén nagon előnös, de gakorlai alkalmazásá ekinve komol háránai vannak. kövekező, szinén egszerű példánk viszon gakorlailag is nag elenőségű. BPSK ké ellene el mos: () () sin( π ), és sin( π ); [, ). elér ismé egdimenziós lehe, az alábbi bázisfüggvénnel: ϕ π ( ) sin, <. Íg a elvekorok a kövekezők: () ;. ϕ( ) bázisfüggvén ismé úg kapuk, hog az -es elű elemi el ampliúdóá a szükséges mérékűre válaszouk. ( ) k () ( k ) d ϕ( ) elvekorok meghaározása ismé nagon egszerű. 3

4 () () / ϕ( ) / z elemi eleke és a elvekoroka illuszrálák az ábrák. Összehasonlíva a ké példa elvekorai, megállapíhauk, hog az alapveően elérő elemi elek elérbeli reprezenációa rendkívül hasonló lehe, és mad láni foguk, hog ebben relik a elér használaának egik előne. Többállapoú elek z anipodális elek kéállapoúak, íg eg-eg szimbólum maximum bi ovábbíásá eszi leheővé. menniben idő ala öbb információ szerenénk ovábbíani, akkor erre öbbállapoú eleke kell használni. QPSK nég elemi el legen a kövekező: () () () ), és cos( (3) sin( π π ) ; [, ) elér kédimenziós lesz, az alábbi ké bázisfüggvénnel, amelek meghaározása az előzőek szerin örénhe, mivel az elemi elek páronkén orogonálisak: ϕ ( ) sin π ; ϕ ( ) cos π, < elvekoroka a kövekező összefüggéssel haározzuk meg: i ( i) () () ( ) d ( ) d ( ) d sin( π ) sin( π ) Íg folava a öbbivel, a kövekezőke kapuk: (, (, ); ); 3 ( (,, ); mellékel ábra illuszrála a kapo elvekoroka. ). sin π d cos π d. / ϕ ( ) / 3 / /, ϕ ( ) 4

5 QM QPSK-hoz hasonlóan a QM eg elenős öbbszinű moduláció. névben a Q a kvadraúrá rövidíi, és hasonlóan az előzőhöz, i is ké egmásra merőleges el, eg szinusz és eg koszinusz a főszereplő. Ezeknek a eleknek az ampliúdóá válozava, mad összeadva állíhaó elő a modulál el. Szemben az eddigiekkel, mos rögzísük le a elér bázisfüggvénei: ϕ ( ) sin π ; ϕ ( ) cos π, <. Könnű észrevenni, hog ezek megegeznek a QPSK eseén használ bázisfüggvénekkel. Nézzük például a 6QM eseé, ami az eleni, hog 6 különböző csaorna-szimbólumo ϕ ( ) használunk, íg mindegik maximum 4 bi információ ovábbíására lehe képes, vag másképpen fogalmazva, nég-nég bináris szimbólum képviseleére alkalmas. mellékel ábrán bemuauk a elvekorok eg leheséges (és ϕ ( ) szokásos) elrendezésé a elérben. Példakén megaduk az ábrán elöl vekoroka és az álaluk leír elemi eleke: /, /, illeve: 3 ( ) ( 3 /, / ), ( 3 /, 3 / ), () () (3) sin cos π + π, 3sin cos π + π, 3sin 3 cos π π. < 3 Orogonális elek z eddigiekben már öbbször szerepel, hog a elér bázisfüggvénei orogonálisak, ső egségni energiáúra normálak, mos viszon olan elemi eleke muaunk, amelek egmásra is orogonálisak lehenek, ami az eleni, hog a skalár-szorzauk nulla. z FSK Bináris eseben az elemi eleke ké különböző frekvenciáú szinuszos el képviseli: () cos( ω + φ ) () cos( ω + φ ); [, ). nem nulla kezdőfázisok nem bírnak elenőséggel, íg legen φ φ, és az egszerűség kedvéér ω k π, ahol k,,..., valamin legen ω ω + Δω! ké elemi el ermészeesen megkülönbözeheő a frekvenciáa alapán bármekkora (véges) frekvenciakülönbség eseén, de öbb szemponból előnös, ha a elek orogonálisak, ami az alább egenle elesülése eseén áll fenn: 5

6 () () d cos( ω ) cos( ω + Δω ) d. Olduk meg az egenlee Δω ra: (ω + Δω) sin( Δω ) + Δω sin[ (ω + Δω)] cos(ω + Δω ) d + cos( Δω ) d Δω (ω + Δω) { ω k π k ( k π / + Δω) sin( Δω ) + Δω ( ) sin[ Δω ] Δω ( k π / + Δω) Mivel a kapo egenle obboldalán szereplő kifeezésben a frekvenciák érelemszerűen nem lehenek nullák, ezér megoldás csak a szinusz nulla érékeinél leheséges, ami akkor kövekezik be, ha: Δ ω π, π, 3π,... Ezek közöl a legkisebb érékű esee minimál fázisú FSK-nak hívák, röviden MSK-val elölik, és leggakrabban ez használák. Ismerkedünk meg kicsi részleesebben az MSK modulációval! Nézzük először az elemi eleke, és az egszerűség kedvéér legen k az alábbi összefüggésekben: () π cos( k ) () π π π cos( k + ) cos[(k + ) ]; [, )..8 () () z ábrán felüneük az MSK ké elemi elé az ω π / eseén, valamin eg elvi vivő (a szaggao görbe), amelnek a frekvenciáa a ké, frekvenciában modulál elemi el frekvenciáának a számani közepe. Ennek a vivőnek a kezdőfázisá az -es elemi elhez kööük, és ehhez a vivőhöz mérheük a modulál el fázisá. Megállapíhauk, hog az időrés kezdeén mindké el a vivővel azonos fázisú, mad az időrés végére az -es el elmarad π/-ő, a -es el viszon sie uganenni. Ez persze nem meglepő, hiszen frekvenciamodulációról van szó. z viszon már gondo elen, hog az időrések haárain fázisugrás öhe lére, aól függően, hog milen érékű a moduláló szimbólum. Uganis amenniben -es ele -es el köve, akkor a fázis folonos, de ha -es ele -es el köve, akkor π érékű fázisugrás ön lére a elben az időrés haárán, és szinén π érékű a fázisugrás, ha -es ele bármelik el kövei. fázisugrás vonalaka eredménez a spekrumban, ami kedvezőlen, mer energiá emész fel. z ugrások azonban elkerülheők eg kis ügeskedéssel. 6

7 folonos fázisú MSK Vezessünk be még ké ovábbi elemi ele, nevezeesen az eddigiek inverálai, azaz () () e, és ő, amin az alábbi ábra muaa:.8 () ().6.4. vivő () - () Können ellenőrizheő, hog megfelelően használva az elemi eleke, fázisugrás nélküli modulál ele lehe lérehozni. demoduláció pedig csak kis mérékben lesz bonolulabb, mivel ké-ké elből kell eg-eg szimbólumra döneni. Mivel a frekvenciamoduláció eseén a fázisválozás hordozza az információ, az FSK el lénege fázis-raekóriában is ábrázolhaó. z alábbi ábra folonos fázisú MSK fázisválozásá muaa az idő függvénében : - π π/ -π/ -π nullából indulva, -es szimbólum eseén π/ fáziskésés lesz az időrés végén, -es szimbólum eseén uganekkora sieés. diagram az muaa meg, hog a folonos fázis elesüléséhez mikor kell a poziív és mikor a negaív csaorna-szimbólumo használni. Például az egmás köveő -esek eseén válogani kell, vag eg +-es köveően --nek kell önni, sb. z ábrából még az is kiolvashaó, hog a fázisválozás az időrésben lineáris, ami persze nem szükségszerű, hiszen a digiális információ visszanerése csak az időrések haárain felve érékekből örénik. Spekrális szemponokból kedvezőbb lehe a feniől elérő fázis-raekória is. 7

8 folonos fázisú MSK a elérben Legen például az egik bázisfüggvén a kövekező: ϕ π ( ) cos, <. z MSK-ra a másik bázisfüggvén az alábbi lesz, mivel Δω π / -nál a elek orogonálisak: ϕ 3π ( ) cos, <. kédimenziós elérben az elemi elek a kövekezők: ( /, ), (, / ). z íg kapo ké vekor még nem a folonos fázisú MSK ele íra le, hanem az, amelnek fázisugrásai vannak a réshaárokon. Láuk, hog ennek megszüneésére be kelle vezeni a feni ké elemi el ükörképei is, lesz ehá és is. Ezzel a folonos fázisú MSK a elérben az alábbi vekorokkal ellemezheő: / ϕ ( ) / / / ϕ ( ) z ábrához ké-három fonos megegzés arozik: (i) annak ellenére, hog nég vekor ábrázola a ele, a folonos fázisú MSK eg bináris moduláció, de (ii) a fázis folonossága érdekében cserélgeni kell az elemi ele az előző időrés elemi eléől függően, ami az eleni, hog nem lesz memóriálan a moduláció, illeve a csaorna, és (iii) bár a kép, ami az FSK elérbeli ábráa mua, kíséreiesen hasonlí a QPSK-éra, de mos különösen fonos megkülönbözeni a különböző fázisú elek ú.n. konsellációá a eléről, hiszen i az FSKnál a fázis időben válozó menniség, ehá az ábra bármel vekorának fázisa nem állandó. z FSK el spekrális sűrűsége Bár a spekrális sűrűség nem csekél erőfeszíések árán fonos eseekre kiszámíhaó, mos megelégszünk néhán numerikus becslési eredmén rövid bemuaásával. Ezeke az eredméneke úg nerheük, hog álvélelen szimbólumsorozaokkal modulál elek FFT-é álagolva ó becslés kapunk a spekrális sűrűségre. Ez az illuszráció azonban felhasználuk arra, hog bemuassuk a folonos fázisú FSK el leírásának a korábbiakól elérő leheőségé is. elenlegi leírás valóában nem az elemi elekre koncenrál, hanem ezen úlmenően a modulál ele aduk meg a kövekező kifeezéssel: η cos( Ω + μ + Φ), 8

9 ahol Φ a vélelen kezdőfázis, amele mos nullának fogunk ekineni, és μ a fázismoduláció. Mivel a frekvenciaválozás akaruk aránossá enni a moduláló ellel lévén FSK a moduláció a fázismoduláció a moduláló el inegrálával lesz arános az alábbiak szerin: i μ m π ξ q, ahol Δω m : a modulációs énező, a π egségekben mér fázislöke, amelről π megállapíouk, hog ½ - es érékénél kapuk az MSK- (az MSK-nál π a fáziskülönbség a ké elemi el közö az időrés végén, illeve fele ekkora a fáziselérés a vivőhöz képes), ξ a moduláló elenleg bináris szimbólumsoroza, és i i q : gϑ dϑ a fázisválozás függvéne, amele a g ú.n. frekvencia-impulzussal szokak megadni. z eddig vizsgál folonos fázisú MSK ele ekinve a feni leírás elég bonolulnak lászik, de összeeebb eseekre felélenül előnös lesz. Példakén nézzük a folonos fázisú MSK ele, ahol a frekvencia-impulzus eg közönséges impulzus hosszan, és akkora ampliúdóval, hog a π / érékű fázisválozás léreöön: / g / q Legen a ± érékkészleű binárisξ soroza például az alábbi: a fázismoduláció íg a kövekező lesz: görbe és a bináris soroza pozíciói közel ól fedik egmás, íg ellenőrizheő, hog a + szimbólum π / fázisnövekedés, a szimbólum uganekkora csökkenés okoz. Magá a modulál ele már nem ábrázoluk, hanem áérünk a spekrumra. z alábbi ábrán láhauk a folonos fázisú MSK el spekrumá, valamin összehasonlíásul felüneük a π fázislökee eredménező folonos fázisú FSK spekrumá is (szaggao vonal). menniben a fázislöke π / nek nem páralan számú öbbszöröse, akkor spekrumvonalak elennek meg az elemi 9

10 elek frekvenciáinál. folonos fázisú MSK el spekrumában ilen nincs. Persze az is láhaó, hog nagobb fázislöke szélesebb spekrumo eredménez. z ábrán az is lászik, hog azonos elesíménű elekből számíva a spekrális sűrűsége, az MSK elesíméne obban koncenrálódik a vivő körül, magán a vivőn (Omega) öbb db-vel nagobb érékű, min a viszoníásul válaszo π fázislökeű el spekruma: - - MSK π FSK Omega sávszélesség csökkenésének egik leheséges móda, ha nem ugrálauk a frekvenciá a ké válaszo éréke közö, hanem valamilen simább ámenee válaszunk. Talán a legkézenfekvőbb öle az lehe, hog eg rigonomerikus függvénből alakísuk ki a frekvencia-impulzus, amin az alábbi ábra muaa: g q obboldali ábra görbée a fázisválozás íra le. Ismé bemuaunk eg vélelen soroza álal lérehozo fázismodulációs diagramo: z ábrán eg 3 bináris szimbólumból álló álvélelen soroza haására léreövő fázisválozás függvéné láhauk, amel ehá sokkal simábban válozik, min az előbbi eseben és íg várhaóan kisebb sávszélességű modulál ele eredménez. modulál el becsül spekrális sűrűségé muauk meg a kövekező ábrán, ahol viszoníáskén az előbb meghaározo MSK spekrumo is felüneük szaggao vonallal:

11 Ω -π/ +π/ z ábrán a kénelem kedvéér normálás végezünk, azaz a vivőn felve érékhez viszoníouk a spekrumo, ovábbá beelölük a szimbólumovábbíási sebessége is. Bár a sávszélesség csökkenésének reménében válozauk meg a moduláció az is mondhauk, hog a válozaás valamiféle szelídíés vol a kapo spekrum viszon felemás eredmén hozo: a közeli spekrális komponensek megnőek, viszon a bisebesség mineg,5-szerese uán mineg db-vel kisebb spekrális komponenseke kapunk. További sávszélesség-csökkenési leheőségekre még a későbbiekben visszaérünk. Összefoglaló elérbeli leírásra vonakozó példák uán rövid összefoglaláskén bemuaunk eg szokásos inerpreáció a modulációra és a demodulációra. korábban szinézis egenle-nek neveze összefüggés ekinheük a digiális modulációnak az alábbi ábrán illuszrál módon: N ( i) ηk ( ) ( k) ( ), i,..., M < k < M-áris szimbólumok ROM i ( ) ( k) x ( ) i ( ) φ () k x φ () ( ) i N ( k) x φ N () Σ elemi elsoroza

12 z ( ) i ( k) -val a szimbólumsoroza k-adik elemének megfelelő i elvekor -edik komponensé elölük. z analízis egenle pedig megfelel a demodulációnak. k-adik időrésben érkező elemi elről el kivánuk döneni, hog melik szimbólumo íra le, azaz i-re akarunk becslés adni: () i ( k ) η ( ) ( ) d ; i,..., M,,..., N ; és - < k < k ~ η ( ), ϕ ( ) k ˆ i) ( ( k ) ~ ( ) η k ~ η ( ), ϕ ( ) k ˆ i) ( ( k ) dönő î ~ η ( ), ϕ ( ) k N ˆ i) N ( ( k ) dönéssel kapcsolaban meg kell egezni, hog a modulál elhez adódó za eszi a feladao érdekessé, valamin korláozo sávszélesség eseén a szomszédos időrésekben érkező elek is befolásolhaák az eredmén. Ezeke a kérdéseke a ovábbi feezeekben vizsgáluk. Jelenleg csak elezük a felső hullámmal, hog a el nem azonos a modulációval lérehozoal, de remélheőleg hasonló hozzá, valamin a kalappal, hog a elérbeli komponensek csak becslések. Feladaok. Razola le annak az FSK modemnek a nég elemi elé, amelik bi/sec ávieli sebességű, a kisebb frekvenciáú el 6 Hz-es, és ampliúdóú, ovábbá folonos fázisú MSK a moduláció! da meg a elere, a el-vekoroka! Számísa ki a elvekorok közöi legkisebb ávolságo! ( d )