A címben jelzett feladat legjobb megoldása érdekében vegyük elő azt az eredményt amit korábban a korlátlan sávszélességre kaptunk: c 2. c M.

Átírás

1 Dgáls nformácó-ovábbíás: zajos csaornán, korláozo sávszélesség melle A zajos jel opmáls véelének meghaározásakor nem veünk udomás a sávszélességről. Ső még ponosabb, ha úgy fogalmazunk, hogy korlálannak ekneük a rendelkezésre álló frekvencasávo. Ez a megközelíés öbb szemponból kfogásolhaó: () nem smerünk módszereke végelen frekvencájú jel-összeevők kelésére, ovábbíására, feldolgozására, () még a echnkalag kezelheő frekvencasáv használaára s álalában sok gény jelenkezk, így jellemzően meg kell oszozn a rendelkezésre álló frekvencasávon, am az gényel frekvencasáv mnmalzálására öszönöz. Ugyanakkor az s le kell szögezn, hogy vannak olyan eseek (pl űrávközlés), amkor a legjobb eredmény érdekében szne korlálan frekvencasávo használhaunk, ehá nem érdemes foglalkozn azzal, hogy az valójában véges. Az llesze szűrő A címben jelze felada legjobb megoldása érdekében vegyük elő az az eredmény am korábban a korlálan sávszélességre kapunk: () y X d r () ( ), y c r() () y X d r () ( ), y c Max kereső î () y (M ) y X X d d r( ), r( ), ( ) y ( M ) y c c M c E ln P s s π π Ezek szern a megérkező zajos jelből úgy juunk a legponosabb nformácóhoz, ha a ve jelen szorza-negráloka képezünk a szmbólumoka leíró elem jelekkel. A szorzanegrálról vszon eszünkbe ju, hogy a lneárs dőnvaráns ranszformácó ezzel írhajuk le az dőarományban. Tehá úgy s fogalmazhaunk, hogy konvolúcó kell képezn a bejövő jel és az elem jelek közö, azaz á kell bocsáan a bejövő jele olyan szűrőkön, amelyek súlyfüggvénye az elem jelek haározzák meg. Ezeknek a szűrőknek (ú.n. llesze szűrő) a kmeneen az dőrések végen ugyanaz az érék fog megjelenn, mn a fen ábrában szereplő negráorok kmeneen. Az llesze szűrő súlyfüggvényé egy nagyon egyszerű ranszformácóval kapjuk meg az elem jelből. Korábban a szűrő kmenő jelé az alább módon aduk meg:

2 am azonosan egyenlő: y h x d, y h x d Összeveve a konvolúcó kfejezésé a korább szorza-negrállal, megállapíhajuk, hogy a szűrő szükséges súlyfüggvénye az elem jel dőbel ükörképe kell legyen. A fen felsmeréssel az opmáls véel ennvaló az alább módon s megadhajuk: r () ( ) y c r() r () ( ) y c Max kereső î r( ) ( ) y c r( ) ( M ) y c M c E ln P s s π π Az nem hangsúlyozuk a rajzon, hogy a maxmum keresésé az dőrések végén kell végezn, mer a szűrő kmeneén ebben a pllanaban áll rendelkezésre az az érék, am megegyezk a korább szorza-negrál érékével. Dszperzó plusz zaj A kapo eredmény vszonylag egyszerűen kkövekezeheővé esz, hogy mkén kell eljárn az opmáls véel érdekében, ha az addív zajon kívül a korláozo sávszélességből eredő dszperzó s akadályozza a helyes dönés. A szmbólumköz áhallás-menes ávelre a Nyqus módszer szern olyan ável ua kell bzosían, amelynek konsans a Nyqus ekvvalense, ehá például emel koszmusz ável karakerszkájú. A. ábrán szereplő vzsgál modell- jelenleg annyval egészíjük k, hogy a C csaorna kmenee és V vevőszűrő bemenee közé helyezzük az addív, fehér, gauss zaj-forrás. Ily módon az udjuk, hogy egyrész mlyen eredő ável karakerszka kell, másrész pedg, hogy m kell enn az opmáls véel érdekében. ogyan lehe a keő összeegyezen? α k szmbólumsoroza ν ~ y ~, Y η ~ k mnasoroza szmbólumsoroza F JG A C V MV DK N α ~ k

3 Amennyben a C csaorna deáls (de legalább s messze nagyobb sávszélességű, mn az ável során használ), akkor a válasz gen egyszerű: mvel a zaj leküzdéséhez a vevőszűrő súlyfüggvénye meg kell egyezzen az adóban használ elem jel ükörképével, amely elem jele vszon az adószűrő alakí k, így az adó- és vevőszűrő karakerszkájának megegyezőnek kell lenn. A ké karakerszka szorzaa pedg k kell, hogy elégíse a Nyqus feléel, így egy megoldás a négyzegyök-emel-koszmusz karakerszka használaa az adóban és a vevőben egyarán. Amennyben a csaorna nem eknheő deálsnak, vagy pedg dőben nem állandó, akkor a leggyakrabban használ megoldás a fen kegészíése egy kegyenlíő szűrővel, amelye a vevőszűrő elé helyezve megkíséreljük az deáls csaorná kalakían. Illuszraív megfonolások a megvalósíhaóságról Mérnök beállíoságú ember számára az egész fen elméle kcs gyanús lehe, mer az eredmények szern a szükséges lneárs dőnvaráns ranszformácók nem kauzálsak, azaz súlyfüggvényük nem azonosan nulla a negaív oldalon. Persze hamar eszünkbe ju az s, hogy a ranszformácó egyúal nulla késleleésű, am a megvalósíhaó gyakorlao eknve sznén leheelen. A keő együ vszon leheővé esz a jó gyakorla megközelíheősége: legyen pozív a ranszformácó késleleése, és csonkísuk a súlyfüggvény! Az alábbakban szemlélejük a javasol eljárás emel kosznusz eseére. Nézzünk először egy valós emel kosznusz ável karakerszká: cos( / ), ha < π, egyébkén Az eddg jelölésenk érelmében ez az jelen, hogy sec -o éelezünk fel. ± π sávban cos ( / ) Megjegyezzük, hogy egyszerű rgonomera áalakíással a lesz. π π j j sn(π ) h e d cos ( / ) e d 3 π π Az alább ké ábrán vázoluk a függvényeke: (ek ) (ek ) h Mos hozzunk lére késleleés! Legyen a késleleés például 5! Így az ável ( kek) j 5 karakerszka a ± π sávban cos ( / ) lesz. A súlyfüggvény pedg a kövekező: π π ( kek ) ( kek ) j5 j j ( 5) sn(π ) h e e d cos ( / ) e d π π 3

4 A függvényeke a kövekező ábrák muaják, ahol a komplex ável karakerszká abszolú érékével és fázsával ábrázoluk. A fázs Arc()-val jelölük, és a sávhaárokon ± π az éréke, am az ábrán nem üneünk fel. (angsúlyozzuk, hogy csak egy lluszraív példá akarunk bemuan, és ezér szerepelnek számok álalános összefüggések helye.) (kek) ( ) Arc.5 (kek) 5 (kek) h Az így kapo késlelee emel kosznusz persze ovábbra sem kauzáls ranszformácó, mer a súlyfüggvénye csak lászara űnk el, valójában csak belesmulnak az érékek a engelybe. Ez azonban reményelvé esz, hogy a csonkíásával jó közelíés kapunk. Melő ez megvzsgáljuk, lluszrácónk legfonosabb céljá, azaz a szükséges ável karakerszka széoszásá az adó és a vevő közö, fogjuk eljesíen. A négyzegyök-emel kosznusz ável karakerszka a kövekező: cos( / ), ha < π, egyébkén Az előzőek érelmében ez a ± π sávban cos( / ) lesz. A megfelelő súlyfüggvény pedg a kövekező: π j 8cos(π ) h cos( / ) d π A függvények az alább ké ábrán láhaók: h Az ável karakerszkához nncs megjegyzésünk, a súlyfüggvényhez s csak anny, hogy fgyeljük meg a null-helyeke, amelyek mos nem egész-számú öbbszöröse. Késlelessük a gyök-emel kosznusz karakerszká! (Megjegyezzük, hogy szándékosan nem a késlelee emel kosznuszból vonunk gyökö, mer akkor elskkadna egy fonos mondanvalónk, amre majd rámuaunk.) Legyen a késleleés érékű!

5 ( k ek ) j cos( / ) lesz, és a Így a késlelee gyök-emel kosznusz a ± π sávban megfelelő súlyfüggvény az alább: π ( k ek ) j ( ) 8cos(π ) h cos( / ) e d π 3 Csonkísuk ez a súlyfüggvény a és 5 közö arományra, majd képezzük a megfelelő ável karakerszka konjugáljá és az késlelessük 5 érékkel! Az alább ábra muaja a csonkío súlyfüggvény és fen procedúra uán kapo ükrözö válozao: 8 ( csk ek ) h 8 ( csk ek ) h Amennyben a fen ké súlyfüggvénnyel ado lneárs ranszformácó használjuk az adóban és a vevőben, akkor az alább eredmény kapjuk (eleknve a csonkíások haásáól): ( k ek ) ( k ek ) j d j d j l ahol d-vel jelölük az adószűrő késleleésé, l-el a véges mpulzusválasz (FIR) hosszá, és * jelöl a komplex konjugálás. Eredményünk ehá az mondja, hogy a fen módon kalakío adóoldal és vevőoldal ranszformácó eredőben egy késlelee emel kosznusz karakerszká hoz lére, amely áhallás-menessége bzosí a szmbólumok közö, és eközben az l dőszak végén kapo mnák alapján opmáls lesz a dönés addív, fehér, Gauss zaj eseén. Még néhány gondolao érdemes hozzáfűzn az eddgekhez. A korláos sávszélesség eseén szmbólumköz áhallás-menessége eredményező lneárs ranszformácó végelen mpulzusválasszal rendelkezk, vagy úgy s fogalmazhaunk, hogy végelenre széerülő elem jelekkel érhenénk el korláos sávszélességben szmbólumköz áhallás-menessége. Amennyben a ranszformácó mpulzusválaszá végesre korláozzuk, akkor a véges dőaramra széerülő elem jelek gyakorlalag s kezelheők lesznek, de az elfoglal frekvencasáv nem lesz véges. Így az lesz a kérdés, hogy a π /, vagy π / - Nyqus frekvencasávon kívül komponensek mekkorák, és mlyen gyorsan csllapodnak, ugyans ezek a szomszéd csaornába esnek asonló szemléleés a részleges - válaszfüggvényű módszer s megérdemel, vagy ponosabban az -5 uolsó megjegyzés ükrében egy összehasonlíás a Nyqus (eljes - válaszfüggvényű) módszerrel. Ennek érdekében bemuaunk három ábrá, amelyeken az emel kosznusz karakerszka, a ké megegyező mnájú (doubnárs) részleges válaszfüggvényű, j l j l 5

6 és a három nem-nulla mná alkalmazó részleges válaszfüggvényű eljárás ável karakerszká láhaók a súlyfüggvények különböző mérékű csonkíása eseén. Az első ábrán a Nyqus módszer amplúdó karakerszká láhajuk arra a négy esere, amkor a súlyfüggvény a maxmuma körül első, másodk, öödk és zedk nulla-helynél csonkíouk. Az ábrában felfedezheő az deáls karakerszka s egy-egy ks zöld vonal formájában, amelyek -55 db környékén megszakadnak, de nagyrész elakarják a csonkío karakerszkák, amelyek - és - db körül spekráls komponenseke eredményeznek a π/ Nyqus sávon kívül. Az alább ábrák a részleges válaszfüggvényű eseeke lluszrálják. A baloldal ábrán kék vonal muaja az deáls emel kosznusz karakerszká, egy zöld vonal (jobbára akarásban) az deáls duobnárs karakerszká, és ennek csonkío súlyfüggvényű válozaá adja a lla vonal. A jobboldal ábrán egy ürkzkék és egy lla görbe muaja, hogy mlyen lesz a három nem-nulla mna eseén az amplúdó karakerszka, ké különböző mérékű súlyfüggvénycsonkíás melle A nem-alapsáv ável Lneárs modulácó Amennyben a dgáls nformácó ovábbíása lneárs modulácó alkalmazásával örénk, akkor csupán arra a megjegyzésre van szükség, hogy mnden válozalanul gaz a moduláló jelre, am elmondunk az alapsáv ávelnél az elem jelekre. Nemlneárs modulácó Sajnos gyökeresen más a helyze nemlneárs modulácó, így például FSK használaánál. Leszögezhejük, hogy nem smerünk olyan sznézs módszer, amely leheővé enné a szmbólumköz áhallás-menessége korláos sávszélesség eseén. Így ezzel szemben az analzálhajuk, hogy mekkora sávszélessége gényel a modulál jel különböző módon örénő kalakíása, amre szemléleő példáka muaunk. A sávszélesség, vagy ponosabban a modulál jel spekráls sűrűségének vzsgálaá nem végezzük el, mer bonyolul és hosszadalmas, csak a jel kalakíására emlíünk öleeke, és megmuajuk a numerkusan becsül spekráls sűrűsége szemléleő ábrákon. A modulál jel kedvező spekruma (leheő ks sávszélessége) érdekében az ú.n. GMSK modulácó használják, például a GSM-ben s. A GMSK (Gaussan Mnmum Shf Keyng) modulácó a moduláló jel sajáos kalakíásával jön lére. A bnárs szmbólumokkal nem ugrásszerűen válogajuk a modulál jel frekvencájá, hanem egy lényegesen smább (szelídebb) frekvencaválozás valósíunk meg. Erre már muaunk példá a Modulácó című fejezeben, ahol emel kosznusz frekvenca-

7 mpulzus muaunk be, mos vszon a frekvenca-mpulzus mkén az elnevezés s muaja egy Gauss görbéből állíjuk elő. Az előállíás lényegében a dőaramú mpulzusnak (amely egy sma FSK- hozna lére) a konvolúcója egy Gauss görbével. A fázsválozás függvénye pedg az előbb negrálja. Példakén a GSM-ben használ paraméerekkel muajuk meg az eddgeke. A Gauss görbe: δ ( δ ) h e, ahol δ π,3, π ln() a frekvenca-mpulzus: g δ e π ( δ ) d ahol az erf hbafüggvény a kövekező: A fázsválozás pedg az alább lesz: erf δ erf δ, q erf ( x) g d. π x e d. Az így kapo frekvenca-mpulzus és a fázs-függvény a kövekező: Összehasonlíásul szaggao görbék muaják a h vel jelöl Gauss függvény alakjá, amelye konvolválunk az mpulzussal. Emlékezeőül feldézzük, hogy a modulál jel a kövekező alakú lesz: η A cos( Ω μ Φ), ahol a fázsmodulácó az alábbak szern számíhajuk k: μ m π ξ q, ahol MSK eseén m ½ és a ξ soroza ± érékű. Elvleg készen lennénk, de gyakorlalag a végelen arójú, nem kauzáls függvények megvalósíhaalanok, ezér csonkían és késlelen kell azoka. Vszon alán még ennél s fonosabb az észrevenn, hogy a fen frekvenc-mpulzus jelenős része úlnyúlk egy dőrés hosszán. A görbének a engelyből kemelkedő része 3 dőrés hosszúságú. Ez az jelen, hogy egy-egy szmbólum álal kele frekvencaválozás nem zajlk le egy-egy dőrésen belül, hanem úlnyúlk azon, azaz részleges válaszfüggvényű a javasol módszer. Így várhaó, hogy a modulál jel spekruma kedvező, azaz sávszélessége ksebb lesz, mn az MSK korábban megsmer válozaaé. 7

8 Vszon ha megengedjük a öbb dőrésen kereszül örénő fázsválozás, azaz részleges válaszfüggvényű módszer alkalmazunk, akkor a modulácóval foglalkozó fejezeben már megsmer emel kosznusz alakú frekvenca-mpulzus s érdemes újra elővenn, mer a GMSK-hoz hasonlóan kedvező spekrumo eredményez. Az alább ábrákon példá muaunk a fázsválozásra egy vélelen bnárs sorozara az MSK, a 3 dőrésny emel-kosznusz és a dőrésny GMSK eseén, lleve a becsül spekráls sűrűségekre: a 3 dőrésny fázsválozások közül az első (kék) az MSK, amely szögleesen válozk, vszon hozzá képes késk az emel kosznusz (zöld), amely smábban válozk, és még ovább késk a GMSK (pros). Az alább ábrán ugyanezzel a színezéssel láhajuk a spekráls sűrűségeke. A vvő körül ± π / sáv szélén a 3 dőrésny emel-kosznusz csaknem 5 db, míg a dőrésny GMSK közel 7 db csllapíás eredményez a spekráls komponensekben. - MSK RC - -GMSK - -π/ Ω π/ Megállapíhajuk, hogy a moduláló jel megfelelő kalakíásával kellően jól be lehe szorían a spekráls komponenseke a vvő körül szűk sávba, vszon kezeln kell a szomszédos szmbólumok egymásra haásá s. 8