Opkut 2. zh tematika

Átírás

1 Opku. zh emaika. Maximáli folyam felada do egy irányío gráf, az éleken aló é felő korláok, kereünk maximáli folyamo! Ha neked kell kezdő megengede folyamo alálni, akkor 0 aló korláokra lehe zámíani. Ha meg van adva egy kiinduló megengede folyam, akkor vizon lehenek nem 0 aló korláok. Megoldá: hálózai zimplex / Goldfarb-Hao algorimu / Ford Fulkeron / dmond-karp- inic algorimu Példa: Tekinük a kövekező maximáli folyam feladao! z éleken piroal zerepel az akuáli folyamérék, é zárójelben az aló é felő korlá. a) ázimegoldá-e a jelenlegi folyamfüggvény? Ha nem, akkor edd azzá! b) Oldd meg a feladao a hálózai zimplex algorimual! (0,7) (,6) 6 (,8) (0,5) Megoldá: a) Megnézzük, hogy melyik éleke kell mindenképpen bevenni a báziba: azoka, ahol az akuáli folyamérék zigorúan a korláok közö van. É be kell húznunk egy éle, ami zinén be kell venni a báziba. Piroal jelölöm azoka, amike be kell venni: (0,7) (,6) 6 (,8) (0,5) 8 (0, )

2 kkor lenne bázimegoldá, ha a piro élek gráfja nem aralmazna kör. (z nem felélenül zükége, hogy a piro élek fezíőfá adjanak. Tezőlege éle beveheünk, amivel kiegézíjük fezíőfává. báziban lehe olyan él, ami valamelyik korláján van. bázion kívül nem lehe olyan él, ami ninc a korláján.) él: a körök elűneée. Nézzük a kör. Ké leheőég van: a élen növelni akarjuk a folyamo, vagy cökkeneni. gyik eeben em módoul a folyam özéréke. ké eenek megfelelő módoíáok: (0,7) (,6) 7 (,8) 0 (0,5) (,8) Válazuk mondjuk a. verzió. elje gráf így néz ki a módoíá uán: (,8) 8 (0, ) Még van egy kör: az. Kinézünk egy éle, pl az -. zen inkább növelni akarunk, a máik eeben cökkenne a folyam özéréke. ggyel udunk növelni a elje körön, az él kiehe a piro élek közül. lkézül a bázimegoldá: (6,) 9 (,9) 5 (,8) 9 (0, )

3 b) a éle elhagyva S = {, } é T = {,,,, } rézekre eik zé a fezíőfa. z S T élek mind elíeek, egyedül a él lehe javíó él, mer az T S él é lehe raja cökkeneni a folyamo. éle hozzávéve a fához a körön elvégezzük a javíá: a élen egye cökkenünk, a kör öbbi élén egye növelünk, az él eik ki a báziból: (6,) (0,) 9 (,9) 5 (,6) 5 (,8) (0,5) 0 (0, ) z már max folyam.. Minimáli kölégű folyamfelada do egy irányío gráf, az élein aló é felő korláok é kölégek. Nincenek kiünee cúcok, minimáli kölégű cirkuláció kereünk. Hálózai zimplex algorimual oldjuk meg (kezdő bázimegoldá, π poenciál érékek kizámíáa minden cúcra a bázi élek alapján, c π redukál kölégek kizámíáa minden nem bázi élre, javíó él válazá, javíá a körön). Korláozá é zéválazá módzere a háizák feladara Példa TV caornánk legérékeebb reklámzpojába, az meralda perce züneébe zerenénk a leheő legdrágább reklámoka kiválazani. kövekező ajánlaoka kapuk: Reklám Idő (negyed perc) Ár (millió forin) Írja fel a probléma maemaikai modelljé, é végezzen el a korláozá é zéválazá módzerével legalább ieráció! Mi ud elmondani a megoldá jelenlegi állapoáról?. uál zimplex algorimu az algorimu működée, leállái áblák 5. Korláozá é zéválazá módzere álalában

4 6. Gomory-vágóíko algorimu Példa. Tekinük a kövekező egézérékű, minimalizálái lineári programozái feladaból zármazó pivoáblá. Kézíünk belőle Gomory-vágá, é oldjuk meg az így kapo felada folyono relaxáljá! x x x x x 5 x 6 x x x Oldd meg a kövekező egézérékű programozái feladao a Gomory-féle vágóíko algorimual! 7. Jáékelméle max x + x 5x + x 0 5x + x 5 x, x Z Lehe olyan i, hogy zövegből kell felírni a kifizeéi márixo. loó (jáékelméle diaor: 6.o ) é párbaj (diaor: 7.o) jáékoka nézzéek meg. ende párbaj Ké jáéko, egy-egy golyó, pozíció, a alálai valózínűégek: { P =,, } {, Q =,, }, Sraégiák: melyik körben fog üzelni -e a kifizeéi márix: Nézzük pl az mező! Mindkeen az elő körben lőnek. Várhaóan mennyi lez az elő jáéko nyereménye? egyége nyer, ha ő alál, de az ellenfél nem, ennek a valózínűége p ( q ) = =. -e nyer, ha ő nem alál, de az ellenfél igen, aminek a valózínűége: 8 ( p ) q = =. Vagyi a nyereményének a várhaó éréke: ( ) 8 =. főáló öze öbbi eleme ugyanígy jön ki (álalánoan felírva a várhaó éréke: p i q i kerül a főáló mezőibe). Nézzük meg az mező! z jáéko akkor kap pono, ha ő lelövi az elő körben az ellenfelé (ennek a valózínűége p = ). kkor kap pono, ha nem lövi le az elő körben az ellenfelé, de az ellenfél lelövi ő a harmadik körben (ennek a valózínűége ( p ) q = = ). nyeremény várhaó éréke ehá: + ( ) =. (álalában felírva: i < j eeén vagyi a főáló fele: p i + ( ) ( p i ) q j, i > j eeén vagyi a főáló ala: ( q j ) p i + ( ) q j )

5 z alapján végigzámolva a kövekező kifizeéi márixo kapjuk: ominál raégiág kihúzáa: 5 6 z elő or dominálja a máodik, marad ez: Több dominál or vagy ozlop ninc Tiza opimáli raégia kereée (a márix nyeregponjá kereük): α = a orminimumok maximuma = max {,, 0} =, 6 β = az ozlopmaximumok minimuma = min {,,, } = α < β vagyi ninc iza opimáli raégia. Kever opimáli raégia kereée (az (x, y) = x T y függvény nyeregponjá kereük, ez mindig léezik! Ha az (x, y ) opimáli kever raégia, akkor ω := (x, y ) a jáék éréke.) kifizeéi márix minden eleméhez hozzáadhajuk ugyanaz a zámo, ez nem válozaja meg az opimáli raégiák zerkezeé. zzel az eloláal el kell érni, hogy a jáék éréke poziív legyen. Teljeül a kövekező: α ω β, vagyi ha az α > 0, akkor nem kell elolni a márixo. Vagyi mo nem kell elolni. Szimplex ábla felíráa, b... Hango párbaj honlapomon alálok egy régebbi leíráoma erről. 8. Tezőlege az előadáon zereplő elméle, bizonyíá