Indirekt térfogat-vizualizáció. Fourier térfogat-vizualizáció. Tomográfiás rekonstrukció. Radon-transzformáció. A Fourier vetítő sík tétel

Átírás

1 Vzualzácós algortmusok csoportosítása Indrekt térfogat-vzualzácó Csébfalv Balázs Budapest Műszak és Gazdaságtudomány Egyetem Irányítástechnka és Informatka Tanszék Drekt vzualzácó: Közvetlenül a dszkrét adatot dolgozzuk fel Indrekt vzualzácó: Átmenet reprezentácóra van szükség 3D Fourer transzformácó Fourer térfogatvzualzácó Véletlen pontfelhős reprezentácó Monte Carlo térfogat-vzualzácó Szntfelület geometra modelle Masírozó kockák (Marchng cubes 2 / 44 Fourer térfogat-vzualzácó Tomográfás rekonstrukcó Tomográfás rekonstrukcó a bemenet adatok a vetületek ezekből rekonstruáluk a 3D elet egy adott rács rácspontaban Fourer térfogat-vzualzácó a tomográfás rekonstrukcó nverze a bement adat a 3D tomográfás rekonstrukcó eredménye ebből reprodukálunk egy tetszőleges rányú vetületet szmulált Röntgen-képek generálása 3 / 44 4 / 44 Radon-transzformácó A Fourer vetítő sík tétel p ( t y δ ( x cos( + y sn( t dy 5 / 44 a vetület D Fourer transzformálta 2πω t P ( ω p ( t e Fourer vetítő sík tétel: P ( ω ω cos, ω sn u, v y P ( ω e 2π ( ux+ vy dt dudv 6 / 44

2 2D Fourer-transzformácó f(x,y 2D Fourer-transzformálta: u, v 2π ( ux+ vy y e dy A vetület Fourer-transzformálta: P ( ω p ( t, s e 2πωt dt Koordnáták transzformácóa t cos s sn sn x cos y A vetület a transzformált (t, s térben: p ( t f ( t, s ds 7 / 44 8 / 44 Fourer vetítés sík tétel P ( ω 2πωt 2πωt p ( t, s e dt f ( t, s ds e dt Ugyanez az (x, y eredet térben: P ( ω 2πωt y e dy t x cos + y sn Fourer vetítés sík tétel a vetület D Fourer transzformálta P ( ω 2πω ( xcos + ysn y e dy Fourer vetítés sík tétel: y a szelet 2D Fourer-transzformálta P ( ω ω cos, ω sn u, v P ( ω e 2π ( ux+ vy dudv 9 / 44 0 / 44 Szűrt vsszavetítés Helyettesítéses ntegrálás: y u ω cos, v ω sn 2π 0 0 e 2πω ( xcos + ysn ωdωd ω a transzformácó Jacob-determnánsa Szűrt vsszavetítés y π 0 0 π π e e 2πω ( xcos + ysn 2πω ( xcos( + π + ysn( + π A Fourer transzformácó defnícóából: + π ωdωd + ωdωd / 44 2 / 44 2

3 Szűrt vsszavetítés A szűrő átvtel függvénye y π 0 π 0 P ( ω ω e ω e 2πω ( xcos + ysn 2πω ( xcos + ysn dωd dωd konvolúcós szűrés egy ω karaktersztkáú szűrővel vsszavetítés 3 / 44 4 / 44 A szűrt vsszavetítés algortmusa Dszkrét mplementácó. Mnden szögre számítsuk k a megfelelő p vetület P Fourer-transzformáltát 2. Szűrés a frekvencatartományban (P szorzása a szűrő átvtel függvényével ekvvalens egy konvolúcóval a tértartományban: 2πωt Q ( t P ( ω ω e dω 3. Vsszavetítés: π Q ( x cos + y y sn d 0. Mnden szögre számítsuk k a megfelelő p vetület P dszkrét Fourer transzformáltát 2. Szűrés a frekvencatartományban (P szorzása a szűrő dszkrét átvtel függvényével 3. A 2. lépés eredményének nverz dszkrét Fourertranszformácóa 4. Vsszavetítés: N y Q ( x cos + y sn 5 / 44 6 / 44 Fourer térfogat-vzualzácó 3D Fourer-transzformácó Szeletelés A nézet rányra merőleges sík mentén úramntavételezzük a 3D Fourer-transzformáltat 2D nverz Fourer-transzformácó A Fourer vetítő sík tétel alapán a kapott eredmény az eredet 3D tömb adott rányú vetülete Komplextás Tegyük fel, hogy egy N 3 felbontású tömbünk van A 3D DFT komplextása O(N 3 logn egyszer kell megcsnáln egy előfeldolgozásban A szeletelés komplextása O(N 2 ha kompakt mntavételező szűrőt használunk A 2D nverz DFT komplextása O(N 2 logn mnden nézetre külön el kell végezn A megelenítés költsége praktkusan a pxelek számával arányos nem pedg a voxelek számával A hagyományos módszerek (ray castng, splattng mnden voxelt számításba vesznek, ezért ezek komplextása O(N 3 7 / 44 8 / 44 3

4 Gyakorlat problémák A praktkus szűrők smító hatásuk matt a térfogat középső részét túlhangsúlyozzák Előszorzás: A 3D DFT-t előszorozzuk a rekonstrukcós szűrő Fourer-transzformáltának recprokával Hátrányok Nncs alfa-kompoztálás Csak szmulált Röntgen-képek előállítására alkalmas Csak párhuzamos vetítésre használható Gyakorlat alkalmazása korlátozott 9 / / 44 Depth cueng Félgömbös megvlágítás A távolabb pontokat ksebb ntenztással renderelük Ezáltal a mélységérzet avítható A mélység modulácó a frekvencatartományban egy 2D műveletként végezhető el A 3D DFT-t nem kell úraszámoln { f ( d( } H ( ν ( ν D( ν P( ν H ( ν ( ν P( ν ( H ( ν D( ν ( ν P( ν H '( ν FT 2 / 44 Klasszkus félgömbös megvlágítás: I ( + ( N L 2 Félgömbös megvlágítás térfogat adatokra: x L x f ( I f ( + x + x L x f ( f ( 2 f ( 2 Kértékelés a frekvencatartományban: 2 ( ( FT{ f ( } + FT{ f ( }( ν L H( ν 22 / 44 Félgömbös megvlágítás Monte Carlo térfogat-vzualzácó Integráluk a sűrűségfüggvényt azon a térfogatrészen, amely az adott pxelre vetül Alkalmazzuk a Monte Carlo ntegrálást félgömbös megvlágítás félgömbös megvlágítás mélység ntenztásmodulácóval 23 / / 44 4

5 Monte Carlo térfogat-vzualzácó A sűrűségfüggvény folytonos reprezentácóa: f (,, k Z Monte Carlo ntegrálás:, k h( x x,, k M g( g( g( xk I g( E M k xk x k egy x valószínűség változó k-adk mntáa, ahol a valószínűség sűrűségfüggvény az átlagolás torzítatlan becslést ad az ntegrálra a szórás annál ksebb mnél nkább arányos a g( ntegrandussal (mportance samplng - fontosság szernt mntavételezés 25 / 44 Monte Carlo térfogat-vzualzácó Az I, pxel számítása f ( v, ( I, f ( f ( v, ( E V, V v, ( a láthatóság függvény: v(, 0 x V otherwse Részleges mportance samplng ( csak az f( sűrűségfüggvénnyel arányos: f ( p, v f (, f ( v ( V f M [, ( ],, E f ( E v v V, ( xk M k I, M, M 26 / 44 MCVR algortmus Komplextás Generálunk pontmntákat a folytonos sűrűségfüggvénnyel arányos valószínűség sűrűséggel először egy random voxel pozícót választunk mad a random voxelpozícóhoz hozzáadunk egy a rekonstrukcós kernellel, mnt valószínűség sűrűségfüggvénnyel generált eltolásvektort Vetítsük rá a pontmntákat a képsíkra Az pxelek ntenztása legyen arányos a ráuk vetülő pontmnták számával A becslés szórása csökkenthető a pontmnták számának növelésével A normalzált ntenztásokat kvantáluk A szórást a kvantálás hba sznte alá lehet vnn Belátható, hogy a szükséges mnták száma a pxelek számával és nem a voxelek számával arányos Ilyen értelemben az MCVR komplextása O(N 2, am obb mnt a Fourer térfogat-vzualzácó O(N 2 logn-es komplextása 27 / / 44 Konvergenca MCVR-rel generált képek M 6M 29 / / 44 5

6 Árnyalás gradensek alapán Árnyalás gradensek alapán Nem az eredet adatokat használuk valószínűség sűrűségfüggvényként A valószínűség a gradens nagyságával arányos A ól defnált szntfelületeket emelük k A pontmntákat a vetítés előtt árnyaluk A kompoztálás egy egyszerű ntegrálás Az árnyalt Fourer térfogat-vzualzácóhoz hasonló eredményt kapunk M 6M 3 / / 44 Masírozó kockák (Marchng Cubes Masírozó kockák algortmusa Az átmenet reprezentácó egy adott szntfelület háromszögekkel közelített geometra modelle Mnden kocka alakú cellára megvzsgáluk, hogy metsz-e a szntfelület A kockákon belül a sarokpontok osztályozása alapán alkalmazunk egy háromszöges közelítést A kapott geometra modellt hagyományos módon (pl. nkrementáls képszntézssel elenítük meg Szntfelület defnálása egy t küszöbértékkel Voxelek (volume element bnárs osztályozása A metszett cellák trangularzácóa: 8 btes ndex kszámítása a nyolc sarokvoxel bnárs osztályozása alapán éllsta kolvasása egy prekalkulált táblázatból metszéspontok számítása lneárs nterpolácóval felület normálsok lneárs nterpolácóa 33 / / 44 Osztályozás - cellandexek kszámítása A cellák trangularzácóa A 8-btes ndex alapán 256 esetet lehet megkülönböztetn Topológalag vszont csak 4 különböző elem trangularzácó létezk a prekalkulált táblázat csak 4 éllstát tárol A több esetet forgatással vagy tükrözéssel kaphatuk meg 35 / / 44 6

7 Elem trangularzácók Az elem trangularzácók nem egyértelműek 37 / / 44 Kegészítő trangularzácók A háromszögek csúcspontanak kszámítása Vertexek kszámítása: V, ( t f ( P P + ( f ( P t P f ( P f ( P Felület normálsok kszámítása: N, ( t f ( P N f ( P + ( f ( P t N f ( P 39 / / 44 Rekonstruált szntfelületek Az algortmus hátránya Nagy számú háromszöget generál Háromszög-tzedelésre (trangle decmaton van szükség A relatíve ks görbületű felületrészeket reprezentáló háromszögeket összevonuk Octree alapú herarchkus megközelítés Szakaszonként lneárs közelítés közelről látszanak a háromszögek éle Iteratív utósmításra van szükség görbület mnmalzálása büntető függvénnyel A háromszögháló megelenítése ma már lassabb mnt a drekt térfogat-vzualzácó GPU mplementácóa 4 / / 44 7

8 Alkalmazás orvos CAD rendszerben Fogászat alkamazás 43 / / 44 Mechanka szmulácó Véges elemes analízs 45 / 44 8