Időbeli előrejelzések

Átírás

1 POLGÁRNÉ HOCHEK MÓNIKA Időbeli előrejelzések A saiszikában az idősor elemzés különböző módszereke alkalmaz az elmúl időszak endenciáinak, összefüggéseinek a felárására és egben ámpono núj a jövő várhaó folamaainak előreláásához. Kuaásom során az vizsgálam, hog az előrejelzési módszereke felhasználva mennire megbízhaó jövőbeni index érékeke lehe meghaározni. Ám ezen munka során arra a megállapíásra juoam, hog a magar és a nemzeközi szakirodalomban az időben örénő előrejelzéseke különböző módon csoporosíják, különböző elnevezéseke használnak. Ezen anulmánban megpróbálom ezeke közös nevezőre hozni és eg olan oszálozás adni, amel mindké félnek elfogadhaó, a ké erüle felfogásá övözi. Abban mind a hazai mind pedig a külföldi szakírók egeérenek, hog az előrejelzés lehe kvaniaív és kvaliaív, azaz a számokon alapuló, illeve a minőségi. 1. Kvaliaív előrejelzés Chafield ez a ípus szubjekív előrejelzésnek hívja, hiszen a megkérdeze személek apaszalaán, udásán, megérzésein alapszik. Ezek a megkérdezeek lehenek a menedzsmen agjai, piackuaók, szakérők. (Ezér alálkozhaunk ezzel a csoporal kollekív szakérői megkérdezés címen is.) A megkérdezeek minden eseben olan személek, akik a vizsgál erülee behaóan ismerik, és íg képesek olan dolgok, válozások megláására, előrejelzésére, amike mások nem udnának. Ilen előrejelzési módok: Delphi-módszer, szakérői becslés, brainsorming, öleroham, piackuaás, sor elling módszer, egéb. 5

2 . Kvaniaív előrejelzés Ezek az előrejelzések már objekívebbek, hiszen a számok elemzésén alapszanak. Aól függően, hog az ado jelenség oká vag a múlbeli érékei ekini-e vizsgálaa alapjának ké nag csoporra lehe oszani: Kauzális módszerek Projekív módszerek a. Kauzális módszerek I a jelenség okának a felárása a cél, és ha már ez megvan, akkor jöhe a jövő prognoszizálása. Mivel eg jelenségnek csak nagon rikán van egelen oka, íg ezeke a módszereke öbbválozós modelleknek is szokás nevezni. i. Többválozós regressziós modellek A regresszió-elemzés feladaa annak jellemzése, hog a énezőválozó (x) milen módon, milen örvénszerűség szerin feji ki haásá az eredménválozóra () (Ramanahan). A öbbválozós regressziónál a magarázo válozóra () nem csak eg, hanem öbb magarázó válozó x, x,, x ) is haás gakorol eg időben. A ( 1 k öbbválozós regressziós modellek közül a lineáris a legelerjedebb. Ennek nem csak az egszerűsége, könnű érelmezheősége az oka, hanem az is, hog a legöbb közgazdasági folama vag jól közelíheő a lineáris regresszióval, vag arra können visszavezeheő. A öbbválozós lineáris regressziós modell álalános alakja: x x x k k (1.) ahol maradékag normális eloszlású valószínűségi válozó, amelre E( ) 0, x függelen és azonos eloszlású Var( x ) és Cov( s x ) 0,minden s -re, azaz ii. Ökonomeriai modellek Az ökonomeria a közgazdasági összefüggések, a gazdasági magaarás becslésével, a közgazdasági elméle és ének szembesíésével és hipoézisvizsgálaával, valamin a közgazdasági válozók viselkedésének előrejelzésével foglalkozik (Ramanahan) a saiszika eszközárá felhasználva. Az ökonomeriai elemzések első és legfonosabb feladaa a vizsgál folamao jól 1 leíró modell elkészíése. 1 A modell jósága mindig az elemzés végzőkől, a felépíe szemponrendszeről függ. Bizonos szemponból lehe eg egszerű modell is jó, valamikor viszon csak eg összee, sokénezős modell felel meg a vizsgála kriériumainak. 6

3 Az ökonomeriai modellből ner válozó endogén válozónak, az endogén válozókban fellépő örvénszerűségeke feláró válozóka pedig magarázó válozóknak nevezzük. A modellben lehenek olan válozók is, melek éréke a modellen kívülről adódik, azaz ökonomeriai modellből nem levezeheő, ezeke hívjuk egzogén válozónak. Amenniben ilen egzogén válozók is jelen vannak a modellünkben, akkor az előrejelzésünk feléeles lesz. Az ökonomeriai modellek fonos része a hibaag, amel a vizsgálai szemponból lénegelen válozók és az előre nem láhaó esemének összessége (MaddalaHiba! A hivakozási forrás nem alálhaó.). iii. Többválozós Box-Jenkins modell G. E. Box és G. M. Jenkins 1968-ban publikálák cikkükehiba! A hivakozási forrás nem alálhaó., melben a 3. fejezeben leír módszerüke ismereék. Ennek az eljárásnak a kierjeszése a öbbválozós modell, melben a klasszikus ARMA modell bővíik ki, és amele ranszfer funkciós modellnek nevezek el. b. Projekív módszerek Ez a módszercsalád egválozós. Az előrejelzések ezen ípusai az idősoroka használják fel, a múlból indulnak ki, az vizsgálják, majd pedig annak felhasználásával próbálnak a jövőre vonakozó prognózisoka adni. Amíg a projekív módszerek egik csoporja elfogadja, hog minden előre elrendel, deerminál, addig a másik csopor már nem gondolja, hog elég a endenciák auomaikus jövőre való kiveíése. i. Deerminiszikus idősorelemzés Minden előre elrendel, az esemének előre deerminál pálán mozognak. Ez a feléelezés kövei a deerminiszikus idősorelemzés. Az előrejelzéshez ismerni kell az ú részei, elemei. Ehhez részeire kell bonani az idősor, azaz dekompozícióra van szükség. Az idősor nég része a rend, a ciklus, a szezon és a vélelen. 1. rend vag alapiránza: az idősorban hosszabb időszakon arósan érvénesülő endencia, amel az idősor alakulásának a fő iráná, álalános színvonalá jeleni. Alapveően ársadalmi, gazdasági örvénszerűségek (pl.: demográfiai válozások, echnológiai válozások, preferenciákban bekövekező válozások, a piac növekedése, az infláció, a defláció) haározzák meg. Feléeles előrejelzés: ha az eredménválozó azon feléelezés melle jelezzük előre, hog a magarázóválozók bizonos érékekkel rendelkeznek (Ramanahran). Ha a modellből vag eg segédmodellből kapjuk meg a magarázóválozók éréké, akkor feléel nélküli előrejelzésről beszélünk. 7

4 . ciklus: a rend felei vag alai arósabb, nem szabálos mozgás, íg jelenésé csak hosszabb idősorok alapján lehe felfedni és anulmánozni. 3. szezonális vag idénszerű ingadozás: azonos hullámhosszú és szabálos ampliúdójú, öbbnire rövid ávú ingadozás. A gazdasági idősorok szine mindegike mua éves periódusokban ismélődő szezonális ingadozás és/vag periodikus ingadozás. Az ingadozás lehe akár napi, hees, hónapos, aól függően, hog mi okoza (pl.: évszakok válozása, ünnepek, ársadalmi szokások). 4. vélelen ingadozás: szabálalan mozgás, ami sok eseben nem mua semmilen sziszemaikusságo. ok, az idősor szemponjából nem jelenős énező egües haásá képviseli A dekompozíciós modelleknél az idősorok nég része egmással kéféle kapcsolaban lehe: Addiív modell: az idősor elemeinek haása összeadódik ˆ c s (.) j Muliplikaív modell: az idősor elemeinek haása összeszorzódik ahol az idősor éréke ŷ a rend c a ciklus s i 1,,,n j 1,,,m j ˆ c s (3.) a szezonális komponens a vélelen ingadozás a periódusok száma a perióduson belüli rövidebb időszakok száma A deerminiszikus eljárások a vélelennek igen kis jelenősége ulajdoníanak. Ám a vélelen képes az idősor elemei közül leginkább befolásolni a közeljövő eseménei. Ezér megbízhaó előrejelzések elsősorban hosszabb ávra készíheőek a dekompozíciós modellekkel. ii. Kiegenlíő eljárások A projekív módszerek a múlból indulnak ki és annak ismereében képesek előrejelzések készíésére. Amíg a deerminiszikus modellek eleve elrendelnek ekinik a jövő, addig a kiegenlíő eljárások már élnek azzal a feléelezéssel, hog a múl nem minden elemének van uganolan jelenősége, befolásoló haása a jövőre. A simíó eljárások ehá figelembe veszik az a én, hog a múlbeli esemének haása az idővel csökken, nem kell valamenni már meglévő adao uganazzal a súllal szerepeleni, szükség van a fokozaos felülvizsgálara. 8

5 A simíó eljárások lénege, hog a prognózis során a becsül ( ŷ ) és a megfigel ( ) érék közöi elérés, hibá ( e ), már beépíi a kövekező becslésbe, azaz előrejelzés korrigálja a korábban elkövee hibák érékével: ˆ 1 ˆ f ( e ) (4.) Az a simíó paraméer, amel a simíás méréké adja meg, vagis az, hog a korábbi hibáka milen mérékben vesszük figelembe. Ha az éréke alacson, akkor a hibá kevésbé épíi be, az idősorunk rendkívül kisimulha. Amenniben azonban az éréke a maximumhoz, az 1-hez közelí, a hibá kellően figelembe vesszük, ám ebben az eseben a vélelen ingadozások is kiszűrődnek és a endencia már nem rajzolódik ki megfelelően. Az f függvén legegszerűbb esee, ha a simíó paraméer az elkövee hibával szorzódik össze. Az exponenciális kiegenlíésnél a jelenhez közelebb eső eseméneknek nagobb súl adhaunk, min a már múlba vesző adaoknak. Az egszeres exponenciális simíás modellje rendelkezik a sziszemaikus anulás képességével (Ralph e. al.), azaz: ˆ ˆ ( ˆ ) (1 ) ˆ (5.) I az előrejelzés ké komponensnek a súlozo álagából adódik, ahol a megfigel ada súla a simíó paraméer, míg a becsül éréké annak komplemenere. Felírva a öbbi időszakra is a kifejezés megkapjuk a ˆ 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) kifejezés, ahol a 1 i ( 1) (1 ) ˆ i 1 (6.) i0 - végelenül nagnak ekinve az induló érék ( 1 havánai szerin ˆ ) elűnik, s a megmarad résznél a súlok ) ( 1 exponenciálisan csökkennek. (Innen ered az eljárás megnevezése is.) Az egszeres simíás csak abban az eseben használhaó, ha a vizsgál adaok nem muanak semmilen szezonaliás és rend sem figelheő meg. Készeres exponenciális simíásnál a simíás készer végezzük el egmás uán. Az ismer eljárások közül a ké leginkább elerjed számíási módo, a Brown-féle exponenciális simíás (Brown) és a Hol-módszer (Hol Hiba! A hivakozási forrás nem alálhaó.) emelném ki. A Brown-féle simíás az egszerűbb módszer, mer ennek során a már ismer egszeres simíás kell készer egmás uán elvégezni, azaz a már kisimío idősor újra uganazzal az simíó paraméerrel ismé simíjuk. Az egszeres simíás némileg megválozo jelölésekkel a kövekező formában adhaó meg: (1) (1) 1) (7.) ( 1 1

6 ahol (1) jelöli a -dik időszaki becsül érék az egszeres simíás uán. Ezuán az előzővel analóg módon elvégzem a második simíás: () (1) () 1) (8.) ahol () ( 1 jelöli a -dik időszaki becsül érék a készeres simíás uán. Az inicializálás, azaz a kezdei érék meghaározása rendkívül fonos. Az álalános gakorla alapján a kezdei érékeknek az idősor első elemé ekinjük. A jövőbeni érékek előrejelzéséhez a (1) () ˆ (9.) 1 egenlee használhajuk, felhasználva mind az egszeres, mind a készeres simíással kapo idősor adaoka. A Hol-módszer anniban különbözik az előzőekben bemuaoól, hog az első simíás uán a második simíás, amel a rende jelzi előre, már más simíó paraméerrel dolgozik: ahol G D ( (1 )( G 1 ) (1 ) G ) 1 (10.) az első simíás uáni, G a második simíás uáni, D pedig a megfigel érék. F Az előrejelzéshez ( 1 érékének meghaározásához) a ké simíás uáni éréke kell felhasználni: F G 1 (11.) illeve eg későbbi időponra örénő előrejelzés eseén: F G, (1.) Az 1 kezdei éréknek álalában a megfigel adao ekinjük, míg a G1 érékére három ajánlás léezik. iii. zochaszikus idősorelemzés em a deerminiszikus modellek, sem a simíó eljárások nem heleznek nag hangsúl a vélelenre, azaz a szochaszikus agra. Ebben a fejezeben azoka a modelleke muaom be, amelek éppen a vélelennek ulajdoníják a legnagobb szerepe. 30

7 Vélelen bolongás Eg folamao vélelen bolongásnak hívunk, amenniben 1 (13.) formában írhaó fel, ahol konsans várhaó érékű, konsans varianciájú és auokorrelálalan, azaz valódi vélelen folamao ír le 3. Auoregresszív modellek (AR) Amenniben a vizsgál idősor sem rend-, sem ciklus-, sem pedig szezonhaás nem aralmaz, akkor az adaaink jól modellezheőek az auoregresszív modellekkel ( AR ( p)) : 1 1 p p (14.) ahol iszán fehér zaj folama. Vagis a magarázo válozó kizárólag sajá korábbi érékeinek függvéne. Abban az eseben, amikor csak az előző időszaki érékkel van kapcsolaban, azaz csak eg periódussal késlelee a válozónk, akkor elsőrendű auoregresszív folamaal (AR(1)) állunk szemben: Mozgóálag modellek (MA) 1 1 (15.) Ha eg válozó fehér zaj maradék agok lineáris kombinációjából áll, akkor q -ad rendű mozgóálag folamaról beszélünk: q q (16.) ahol FAE fehér zaj. Az az összefüggés gakran kicsi módosío formában írják fel: 1 1 q q (17.) ARMA modellek Az előző ké modellek egesíése az auoregresszív mozgóálagolású (ARMA ) modell: 1 1 p p 1 1 (18.) A folama p számú auoregresszív és q számú mozgóálag ago aralmaz, ARMA ( p, q. íg ennek jelölése ) q q 3 Az ilen vélelen folamaoka fehér zajnak (whie noise) nevezi a szakirodalom. 31

8 Gazdasági idősorokkal kapcsolaos feladaok közül sok können megoldhaó ARMA modellel, íg ezekről a kövekező fejezeben részleesen számolok be. 3. ARMA modellek A ársadalmi, ermészeudomános és a gazdasági folamaoka, azok időbeli lefolásá nagban befolásolja a vélelen. Éppen ezér olan elerjed az idősorelemzés ezen módja, melben a vélelennek kiemel szerep ju. Az ARMA modellek paraméereinek meghaározására és a kapo modellek jóságának ellenőrzésére felállío három lépésből álló megközelíés lépései: 1. Idenifikáció. Becslés 3. Diagnoszikai ellenőrzés A modellek ilen formán örénő kialakíása olannira elerjed, hog az idősorelemzés ezen ípusá gakran hívják Box-Jenkins modellnek. a. acionariás Az ARMA modellek felépíése során öbbször előkerül a sacionariás fogalma. Ha eg idősor maradék agjának várhaó éréke, varianciája, auokovarianciája 4 nem függ az időől, akkor az ado idősor sacionárius. Tehá E( ) 0 és var( ) és cov(, k ) k a k -dik késleleéshez arozó auokorreláció éréke. ahol k A sacionárius folama lefuása az időben sabil, nincs rendhaás. Az ilen idősornak viszonlag nag a rövid ávú előrejelezheősége. A sacionariásnak ké válozaa van, a rendsacionárius és a differenciasacionárius idősor. Trendsacionárius idősor: 0 1 (19.) Az ilen idősorokban lévő rende regressziós összefüggés alkalmazva szabad csupán kiszűrni. (Nelson). A rendsacionárius idősorokban az adaoka ér sokk haása idővel csökken, majd elesen el is űnik, lecseng. Differenciasacionárius idősor: 0 i (0.) i1 4 Auokovariancia függelen az időől, ha ado hibaag nincs korrelációban eg előző hibaaggal. 3

9 A legöbb gazdasági idősor inkább diffrerenciasacionárius (Maddala), hiszen a vizsgál válozóka ér sokkok haása arós. Ha az ilen idősorokban rend van, akkor az csak differenciálással szabad kiszűrni. b. Idenifikáció A Box-Jenkins modellezés első lépésében az ARMA ( p, q) folama paraméerei, vagis q - és p - kell meghaározni. A fázis lénege a apaszalai idősor legjobban leíró elmélei idősor megalálása. A munkában nag segíségünkre lehe, ha a megfigel adaoka az idő függvénében ábrázoljuk. Ekkor szembesülheünk azzal a énnel, hog az idősorunkban milen rend van. Amenniben lineáris renddel van dolgunk, úg akkor elegendő az adasorunka differenciálni. A differenciál adaokból készíe ábránk már remélheőleg nem mua ovábbi rende. Ám amenniben mégis, isméel differenciálásra van szükség. Mivel a gazdasági idősorok álalában aralmaznak rende, íg igen valószínű, hog szükség lesz a differenciálásra. A apaszalaok alapján azonban készeri differenciálással a rend problémája megszűneheő. Ha az ábránkon az adaok exponenciális növekedés muanak, akkor az adasor először logarimizálni kell, majd ezuán újabb ábrá kell készíeni. A differenciálás és ezálal a rend kiszűrése azér fonos, mer az ARMA ( p, q) folama becsléséhez a vizsgál idősor sacionárius kell, hog legen. Ha az idősorunk szezonális komponens is aralmaz, akkor a sacionariás kriériuma sérül. A legegszerűbb mód ismé a differenciálás, 1-ed fokú differencia képzés az eseek nag részében elegendő (amenniben évszakok, negedévek miai szezonális haás jellemző). Ha a Box-Jenkins modell első lépésében az apaszaluk, hog az idősorunk nem sacionárius, akkor differenciálunk, hiszen különben nem lehene az előrejelzés elkészíeni. Az első lépésben nem csupán q és p paraméer kell előzeesen megbecsülnünk, hanem a differenciálások foká (d) is, amel beépül a modellünkbe, ami ezenúl ARIMA ( p, d, q) 5 -nak fogunk hívni. A vizsgál adaok időbeni ábrázolásán kívül eg másik ábra segíségével is el lehe döneni, hog szükséges-e a differenciálás. Ez a korrelogram (auokorrelációs függvén, ACF ), ami eg sor adaainak és a múlbeli érékeinek korrelációs egühaóinak, azaz az auokorrelációs egühaók ábrája. 5 AuoRegressive Inegraed Moving Average auoregresszív inegrál mozgóálag 33

10 Cov(, s ) E(, s ) r( s) Cor(, s ) Var ( ) E( ) Az ACF grafikonon s függvénében van ábrázolva (s) (1.) r. Amenniben a kapo görbe csak lassan csökken, akkor bizosan szükséges legalább eg differenciálás. A differenciálás elvégzése uán, elkészíve a kövekező korrelogrammo, ismé csak a csökkenés méréké kell vizsgálni. Az auokorrelációs függvén felrajzolása nem csak abban segí, hog az idősorunka sacionáriussá udjuk enni, hanem abban is, hog az mozgóálagolású (MA) ag q -fokára eg kezdei becslés udjunk adni. Ehhez a korrelogram alakjá kell csak megvizsgálni. Ha a korrelogram q -nál kisebb érékeknél nem mua semmilen haározo alako, míg q -ól nagobb érékekre nulla, akkor a késleleéseknek q - kell válaszani. Vagis pl. elsőrendű mozgóálag (MA(1 )) folama eseén kizárólag ez első érék nem nulla, az összes öbbi az. Az auoregresszív (AR) ag p kezdei érékének eldönésében a korrelogram hele eg másik függvén használunk, ez a parciális auokorreláció függvén (PACF ). A PACF a magasabb rendű auokorrelációk haás megiszíja az alacsonabb rendű auokorrelációk haásaiól. A parciális korrelogram éréke eg bizonos késleleés uán nulla körül fog mozogni. Ez a késleleés lesz a p kezdei éréke. Azaz eg elsőrendű auokorrelációs (AR(1)) folamanál a parciális korrelogram első eleme nem nulla, a öbbi mind nulla közelében marad. Mind a p, mind a q érékére lehe levonni kövekezeése mindké görbe alakjából. Ha egik ábra sem muaja egérelműen, hog milen rendű folamao kellene vázolni, akkor a legegszerűbb eg ARMA (1,1 ) -el indíani a számíásainka. c. Becslés A modell ezen ponján a 1 1 p p 1 1 (.) egenle paraméereinek (remélheően) végleges éréké kell megbecsülni. A becslés maximum likelihood (ML) módszerrel örénik. q q 34

11 d. Diagnoszikai ellenőrzés Ebben a fázisban ellenőriznünk kell, hog megfelelően illeszkedik-e a modellünk az adaokhoz, vagis a modellünk jóságá. Ha a felír modell heles, akkor a reziduumok fehér zaj folamao képeznek. Ehhez Box és Pierce eszjé alkalmazzuk, ahol kiszámíva a eszsaiszika éréké az eg Q n K p q K r k k 1 szabadságfokú K pq (3.) eloszlás kriikus érékével hasonlíjuk össze. ( K a számío auokorrelációs egühaók száma, rk az maradékok k -ad rendű auokorrelációs egühaója.) A nem-paraméeres próba során jobb oldali kriikus arománnal dolgozunk, ahol az alapfelevés ( H 0 ), hog a reziduumok fehér zajok 6. Íg amenniben a számío Q érék nagobb a kriikus éréknél, akkor a modellünk nem heles. A Box-Pierce eszek nag problémája hog kis mina eseén nem megbízhaó az eredméne, ezér is szokák a Ljung-Box esze is elvégezni. A esz menee megegezik a Box-Pierce eszével, az alapfelevés és a kiérékelés is azonos, csupán a eszsaiszika éréke számíódik másképpen: K rk Q n( n ) (4.) k1 n k ahol n n d, vagis a mina elemszáma mínusz a differenciálások száma. Ha az elvégze eszek az muaják, hog a felépíe modellünk nem haékon, akkor a Box-Jenkins eljárás az első lépéssel kell elölről kezdeni. A specifikáció módosíása uán újabb becslés kell készíeni, majd az is eszelni. A folamao addig kell isméelni, amíg a harmadik fázisban a eszek eredméne nem igazolja az alapfelevésünke, azaz hog a megfigel folama folama. ARMA ( p, q) vag ARIMA ( p, d, q) ˆ Ha a eszek eredméne kielégíő, akkor jöhe eg végső lépés, az előrejelzés. A felépíe modellből elkészjük a énleges előrejelzés, hiszen ez az idősorelemzés célja. 6 Az ilen alapfelevésű próbáka pormaneau esznek is szokák hívni. 35

12 4. ARCH modellek Az ARMA modellek nag problémája, hog a sacionariás szükséges hozzá. Ám a gazdasági éle és különösen a őzsde idősorainál a vélelen ag szórása nem állandó az időben. Ennek a problémának a feloldására alála ki Rober F. Engle az idősorelemzések szochaszikus családjának eg új elemé az ARCH modell. Az ARCH modellek rendkívül elerjedek a pénzügi gakorlaban. Ennek Engle szerin 3 oka van: az előrejelezheelenség, azaz a nereség méréke nehezen meghaározhaó, a vasag szélek, vagis a kiugró (oulier) érékek meglepően nag száma, a volailiás klaszereződése, ömörülése, amikor a csendes időszakoka exrém kiugró érékekkel eli időszak kövei. Ezeknek a jellemzőknek a kezelésére hozák lére az AuoRegressiv Condiional Heeroscedasici, auoregersszív feléeles heeroszkedasziciás modelleke (ARCH). A modell megnevezésében az auoregresszív arra ual, hog az elérésválozó varianciája ado időponban az az megelőző elérésválozók négzeéől függ. A feléeles jelző oka, hog a magarázó válozó, vagis a variancia éréké eg segédmodellből kapjuk, hiszen variancia az előző időszaki varianciák függvéne. Ezen ulajdonság eredménezi az uolsó jelző, azaz a heeroszkedasziciás kifejezés, hiszen a varianciák nem állandóak. Az ARCH (q) modell három egenleel írhaó le: c 1 36 m (5.) ahol ~ FAE(0,1 ) fehér zaj. Az első egenleben a vizsgál válozó várhaó éréké adjuk meg. Láhaó, hog a válozó sajá múlbeli érékeinek függvéne, ez ehá az auoregresszív ag. Amenniben eg AR (1) folamaról van szó, akkor annak várhaó éréke a kövekezőre egszerűsödik: q q c 1 (6.) Az elérésválozó ) éréké a második egenleből kapjuk, ahol a ( vélelenről már egérelműen lászik, hog függelen, ám már nem azonos eloszlású, a feléeles varianciájuk az időben válozik.

13 Az uolsó egenleből a korábbi hibaag (innováció) haásá udhajuk meg. Amenniben az előző elérés nag vol, úg az ado időszakra is nag maradék várhaó, míg kicsi hibá kicsi köve. Az egenleből szinén lászik, hog az elérés előjele nem számí, hiszen a négzees aggal az elűnik. A anulmánban bemuao csoporosíás szemléleesen összefoglalhaó az alábbi ábra segíségével. IDŐBELI ELŐREJELZÉ KVALITATÍV (ZUBJEKTÍV) ELŐREJELZÉ KVANTITATÍV (OBJEKTÍV) ELŐREJELZÉ Piackuaás Brain sorming Delphi-módszer zakérői becslés or elling módszer KAUZÁLI MÓDZER Többválozós regressziós modellek Ökonomeriai modellek Többválozós Box- Jenkins modellek PROJEKTÍV MÓDZER Dekompozíciós idősorelemzés Kiegenlíő eljárások zochaszikus idősorelemzés Vélelen bolongás AR modellek MA modellek ARMA modellek ARCH modellek 37

14 Irodalom Bollerslev, Tim (1986): Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasici. Journal of Economerics 31. pp Bollerslev, Tim (007): Glossar o ARCH (GARCH). an Diego: Fesschrif Conference in Honor of Rober F. Engle Box, G. E. P. - Jenkins, G. M. (1970): Time eries Analsis, Forecasing and Conrol. an Francisco: Holden Da Box, G. E. P. - Jenkins, G. M. (1970): Disribuion of Residual Auocorrelaion in Auoregressive Inegraed Moving Average Time eries Models. Journal of he American aisical Associaion 65. pp Box, G. E. P. - Ljung, G. M. (1978): On a Measure of a Lack of Fi in Time eries Models. Biomerika 65. pp Box, G. E. P. - Pierce, D. A. (1970): Disribuion of he Auocorrelaions in Auoregressive Moving Average Time eries Model. Journal of American aisical Associaion 65. pp Brown, R. G.(1963): mooing, Forecasing and Predicion. Englewood Cliffs. Prenice-Hall, N.J. Chafield, C. (1978): The Analsis of Time series: Theor and Pracice. Chapman and Hill, London Engle, Rober F.(198): Auoregressive Condiional Heeroscedasici wih Esimaes of Variance of Unied Kingdom Inflaion. Economerica 50. pp Engle, Rober F.(003): Risk and Volaili:Economeric Moleds and Financial Pracice.The American Economic Review, June 004., pp Hol, Charles C. (1957): Forecasing seasonals and rends b exponeniall weighed averages. ONR Research Memorandum 5, Carnegie Insiue of Technolog, Pisburgh Hunadi László Mundruczó Görg- Via László (001): aiszika. AULA, Budapes Köves Pál- Párniczk Gábor (1989): Álalános saiszika I-II. Nemzei Tankönvkiadó Budapes Maddala, G.. (004): Bevezeés az ökonomeriába. Nemzei Tankönvkiadó, Budapes Nelson, CharlesR. Kang, Heejoon (1983): Pifalls in he use of Time as an Explanaor Variable in Regression. Naional Bureau of Economic Research: NBER Technical Working Papers Pawlowski, Zbigniew (1970): Ökonomeria. Közgazdasági és Jogi Könvkiadó, Budapes Ralph, D. - nder, A. -Koehler, B. - Ord, J. K. (00): Forecasing for invenor conrol wih exponencial smoohing, Inrenaional Journal of Forecasing, pp Ramanahan, Ramu (003): Bevezeés az ökonomeriába alkalmazásokkal. Panem Kiadó, Budapes 38