STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN

Átírás

1 STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Polgárné Hoschek Mónika Nyuga-magyarországi Egyeem Sopron.

2

3 STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN Érekezés dokori (PhD) fokoza elnyerése érdekében Készül a Nyuga-magyarországi Egyeem Széchenyi Isván Gazdálkodás- és Szervezésudományok Dokori Iskola Pénzügyi programja kereében Íra: Polgárné Hoschek Mónika Témavezeı: Dr. Závoi József Elfogadásra javaslom (igen / nem) (aláírás) A jelöl a dokori szigorlaon % -o ér el. Sopron, a Szigorlai Bizoság elnöke Az érekezés bírálókén elfogadásra javaslom (igen /nem) Elsı bíráló (Dr...) igen /nem (aláírás) Második bíráló (Dr..) igen /nem (aláírás) A jelöl az érekezés nyilvános viáján % - o ér el. Sopron,.... a Bírálóbizoság elnöke A dokori (PhD) oklevél minısíése Az EDT elnöke 3

4 4

5 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK... 5 ÁBRAJEGYZÉK... 8 TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE... TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE... RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE... BEVEZETÉS... 4 ELİREJELZÉSEK Kvaliaív elırejelzés Kvaniaív elırejelzés Kauzális módszerek Többválozós regressziós modellek Ökonomeriai modellek Többválozós Box-Jenkins modell Projekív módszerek Deerminiszikus idısorelemzés Kiegyenlíı eljárások Szochaszikus idısorelemzés ARMA modellek Sacionariás Idenifikáció Becslés Diagnoszikai ellenırzés ARCH modellek TİZSDEI ELEMZÉS A fundamenális elemzés Technikai elemzés RAX ALKALMAZOTT MÓDSZEREK Dekompozíció Trendszámíás Lineáris rendszámíás

6 4... Polinomiális rendek Logiszikus rend Log-lin rend Log-log rend A reziduális válozóra vonakozó feléelek eszelése Mozgóálagolás Konjunkúra haás kiszőrése Szezonaliás kiszőrése Spline Modellszelekciós kriériumok ARMA modellek felépíése ARCH modellek felépíése Elırejelzések fajái A VIZSGÁLAT A vizsgála árgya Deerminiszikus rendszámíás Lineáris rend Polinomiális rendek Logiszikus rend Logarimusos rendek Deerminiszikus rendek összefoglalása Ciklus haás kiszőrése Szezonális haás kiszőrése Új ípusú spline-ok A RAX ARMA modellje Idenifikáció Becslés Ellenırzés A RAX ARCH modellje A RAX GARCH modellje EREDMÉNYEK ÖSSZEGZÉSE, JAVASLATOK Új/újszerő eredmények Javaslaok... 9 ÖSSZEFOGLALÁS

7 SUMMARY IRODALOMJEGYZÉK MELLÉKLET MELLÉKLET NYILATKOZAT

8 ÁBRAJEGYZÉK. ábra: Idıbeli elırejelzések csoporosíása ábra: A BUX index alakulásának vonaldiagramja 7. január. -. auguszus. közö ábra: A BUX index alakulásának japán gyerya diagramja 9. december.. július 5. közö ábra: RAX idısora 5. január november ábra: Tipikus auokorrelációs eseek ábra: Homoszkedasziciás és heeroszkedasziciás ábra: Normál valószínőségi ábra ábra: Ké megfigyelésre illeszkedı polinom ábra: Három megfigyelés és a polinomja ábra: Több elemő megfigyelés és polinomja ábra: Elırejelzés az idıben ábra: A RAX alakulása. szepember 7 -. július ábra: A RAX idısorára illesze lineáris rend ábra: Lineáris modell vélelen agjai ábra: A RAX volailiása. szepember 7-. július ábra: A maradékok eloszlása és a normális eloszlás ábra : A maradékok Q-Q ploja ábra: Polinomiális rendek ábra: Polinomiális rendek maradék agjai ábra: Polinomiális rendek reziduumainak eloszlása és Q-Q ploja ábra: Logiszikus rend és a RAX ábra: Logiszikus rend maradékainak normaliásvizsgálaa ábra: Log-lin és log-log rendek és a RAX ábra: Log-lin és log-log rendek reziduumai ábra: Log-lin és log-log rendek reziduum eloszlása és Q-Q ploja ábra: Öödfokú polinom ACF és PACF függvényei ábra: Öödfokú rend ACF és PACF függvénye PW regresszió uán ábra: Öödfokú polinom, 5 agú mozgóálag és a ciklus ábra: Öödfokú polinom, agú mozgóálag és a ciklus

9 3. ábra: Csak szezonaliás aralmazó adaok (5es és as mozgóálagból számíva) 7 3. ábra: Maradékagok (5,4; 5,;,4; ;) ábra: 9, 44 és spline-ból épíe rend ábra: 9 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai ábra: agú spline-nal képze rendek vélelen agjai ábra: 44 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai ábra: A RAX korrelogramja és parciális korrelogramja ábra: Elsırendően differenciál RAX adaos ACF és PACF ábrája ábra: A RAX hozamok eloszlása és Q-Q ploja ábra: A RAX volailiása. szepember július ábra: A RAX hozamok ACF és PACF függvényei ábra A RAX hozamnégyzeek ACF és PACF függvényei ábra: AR()+GARCH(,) modellnél reziduumok eloszlása ábra: AR()+GARCH(,) modellnél a sandardizál reziduumok eloszlása ábra: AR()+GARCH(,) sandardizál reziduumainak Q-Q ploja

10 TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE. Tábláza: Lineáris rend illeszése a RAX-ra Tábláza: Auokorreláció eszelése lineáris modell eseén Tábláza: Whie esz a heeroszkedasziciásra Tábláza: Breusch-Pagan esz a heeroszkedasiciásra Tábláza: Maradékok eloszlása lineáris rend eseén Tábláza: Polinomiális rendek Tábláza: Polinomiális rendek modellválaszási kriériumai Tábláza: Polinomiális rendek auokorrelációjának eszelése Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje (csak négyzees agok) Tábláza: Polinomiális rendek Breusch-Pagan eszje Tábláza: Polinomiális rendek illeszkedésvizsgálaának eredményei Tábláza: Logiszikkus rend számíásának adaai Tábláza: Log-lin és log-log rendek Tábláza: Log-lin és log-log rendek auokorrelációjának ellenırzése Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Whie eszje Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Breusch-Pagan eszje Tábláza: Deerminiszikus rendek összefoglaló ábláza Tábláza: Öödfokú polinom becslése.... Tábláza: Prais-Winsen eljárás eredménye.... Tábláza: Negyedéves szezonális elérés adaok (5es és as mozgóálagra) Tábláza: A deerminiszikus rendek hibái Tábláza: ADF esz konsans aggal Tábláza: ADF esz konsans és rend jelenléében Tábláza: ADF esz konsans és négyzees rend jelenléében Tábláza: KPSS esz 8 késleleéssel Tábláza: ARIMA(,,) modell Tábláza: Különbözı ARMA modellek modellszelekciós kriériumai Tábláza: A RAX hozamok alapsaiszikája Tábláza: AR()+ARCH() modell eredményei Tábláza: ARCH modellek modellszelekciós kriériumai... 4

11 3. Tábláza: AR()+GARCH(,) modell... 5

12 RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE ACF - AuoCorrelaion Funcion, auokorrelációs függvény ADF Augmened Dickley-Fuller es, kierjesze Dickley-Fuller esz AIC Akaike Informaion Crierion, Akaike információs kriérium BLUE Bes Linear Unbiassed Esimaion, legjobb lineáris orzíalan becslés CORC Cochrane-Orcu eljárás DW - Durbin-Wason próba FAE Függelen és Azonos Eloszlású HQ- Hannan-Quinn crierion, Hannan-Quinn kriériumő KPSS - Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin esz LM - Lagrange Muliplikáor ML Maximum Likelihood OLS Ordinary Leas Squares, legkisebb négyzeek elve PACF Parial AuoCorrelaion Funcion, parciális auokorreláció függvény PW Prais-Winsen eljárás SIC Schwarz Informaion Crierion, Schwarz információs kriérium SSE =ESS sum of squares of error, exlpained sum of squares, hibák elérés négyzeösszege, magyarázo négyzeösszeg SSR= RSS sum of squares of regression, residual sum of squares, regressziós elérés négyzeösszeg, reziduális négyzeösszeg

13 WN - Whie Noise, fehér zaj WLS - Weighed Leas Squares, súlyozo legkisebb négyzeek módszere 3

14 BEVEZETÉS A ızsdei indexek éréke rendkívül fonos információ hordoz a befekeık számára. A dönéseiknél azonban a múla ükrözı indexnél sokkal fonosabb lenne egy olyan muaóval rendelkezni, ami a jövı veíi elıre. Erre a problémára ökélees megoldás még nem szülee. A saiszikában az idısor elemzés különbözı módszereke alkalmaz az elmúl idıszak endenciáinak, összefüggéseinek a felárására és egyben ámpono nyúj a jövı várhaó folyamaainak elıreláásához. Kuaásom során az vizsgálam, hogy az elırejelzési módszereke felhasználva mennyire megbízhaó jövıbeni index érékeke lehe meghaározni. A célom az vol, hogy elırejelzés adjak az egyik magyar ızsdei index, a RAX érékének alakulására vonakozóan. Ahogyan a örénelem során minden eljárási módszer finomodo, ökéleesede, úgy a saiszikai elırejelzéseknél is megörén ez a válozás. A különbözı elırejelzési módszereke felhasználva készíeem elırejelzés a 7-es évekig uralkodó deerminiszikus szemlélee köveve, majd a 8-as évek kedvel ARMA modelljeivel, míg uoljára a legfiaalabb módszercsalád, az ARCH modellek felhasználásával. A kuaás során döbbenem rá, hogy a magyar és a nemzeközi szakirodalom nem egységes az idıbeni elırejelzések csoporosíása során, így elıször ebben kelle egy egységes rendszer lérehoznom. A disszeráció felépíésé az elırejelzési módszerek csoporosíásával kezdem, megmuava a fıbb módszerek lényeges összefüggései. A második fejezeben a ızsdei elemzés ké ípusá muaom be, részleesebben foglalkozva a echnikai elemzéssel, hiszen ez az elemzés a saiszikai eszközár öbb elemé felhasználja és a kuaásaima is befolyásola a echnikai elemzés módszerana. A ızsdei indexek közül a RAX-o elemezem ezér a harmadik fejeze a befekeési alapokról és magáról a RAX-ról szól. A negyedik fejezeben az alkalmazo módszerek, próbák kerülnek ismereésre. Az öödik fejeze aralmazza a 4

15 kuaási eredményeke, a különbözı módszerekkel készíe modelleke és elırejelzéseike. A haodik, uolsó fejezeben az eredményeke foglalom össze, illeve megfogalmazom a késıbbi céljaima, a ovábbi kuaási leheıségeke. A disszeráció megírásához felhasznál könyvek, jegyzeek, cikkek jelölései egységes formára hozam. A ovábbiakban csak azon egyenleeknél hivakozom az eredei szerzıre, ahol nem közismer, álalánosan használ összefüggésrıl van szó. Az adaok feldolgozásához és a modellek felépíéséhez a GRELT (Gnu Regression, Economerics and Time-series Library) nevő ökonomeriai programo használam. A program ingyenesen hozzáférheı az inerneen, illeve egy korai verziója a Magyarországon forgalomban lévı ké nagy ökonomeriai könyv egyikéhez [55] mellékelve van. A spline-okból felépíe rende MapleV 5 programcsomagban ír program segíségével haározam meg. hp://grel.sourceforge.ne/ 5

16 ELİREJELZÉSEK A magyar és a nemzeközi szakirodalomban az idıben örénı elırejelzéseke különbözı módon csoporosíják, különbözı elnevezéseke használnak. Dolgozaomban megpróbálom ezeke közös nevezıre hozni és egy olyan oszályozás adni, amely mindké félnek elfogadhaó, a ké erüle felfogásá övözi. Abban mind a hazai mind pedig a külföldi szakírók egyeérenek, hogy az elırejelzés lehe kvaniaív és kvaliaív, azaz a számokon alapuló, illeve a minıségi.. Kvaliaív elırejelzés Chafield [4] ez a ípus szubjekív elırejelzésnek hívja, hiszen a megkérdeze személyek apaszalaán, udásán, megérzésein alapszik. Ezek a megkérdezeek lehenek a menedzsmen agjai, piackuaók, szakérık. (Ezér alálkozhaunk ezzel a csoporal kollekív szakérıi megkérdezés címen is.) A megkérdezeek minden eseben olyan személyek, akik a vizsgál erülee behaóan ismerik, és így képesek olyan dolgok, válozások megláására, elırejelzésére, amike mások nem udnának. Ilyen elırejelzési módok: Delphi-módszer, szakérıi becslés, brainsorming, öleroham, piackuaás, sory elling módszer, egyéb. 6

17 . Kvaniaív elırejelzés Ezek az elırejelzések már objekívebbek, hiszen a számok elemzésén alapszanak. Aól függıen, hogy az ado jelenség oká vagy a múlbeli érékei ekini-e vizsgálaa alapjának ké nagy csoporra lehe oszani: Kauzális módszerek Projekív módszerek.. Kauzális módszerek Ahogy az a módszercsalád megnevezésébıl is lászik, i a jelenség okának a felárása a cél, és ha már ez megvan, akkor jöhe a jövı prognoszizálása. Mivel egy jelenségnek csak nagyon rikán van egyelen oka, így ezeke a módszereke öbbválozós modelleknek is szokás nevezni.... Többválozós regressziós modellek A regresszió-elemzés feladaa annak jellemzése, hogy a ényezıválozó (x) milyen módon, milyen örvényszerőség szerin feji ki haásá az eredményválozóra (y) (Ramanahan [37] ). A regressziószámíás során háromféle regresszióval alálkozhaunk: Analiikus regresszió - ami a megfigyel adaainkból számíunk ki egy elıre meghaározo formula segíségével. Amikor a udományos éleben valaki a regresszió kifejezéssel alálkozik, akkor o az analiikus regresszióval foglalkoznak. Ebben a regresszióban a legfonosabb a megfelelı függvényípus kiválaszása, majd pedig a kiválaszo függvény paraméereinek kiszámíása. A leggyakrabban használ függvényípusok a lineáris, exponenciális, haványkievıs, polinomiális, hiperbolikus és a lin-log. 7

18 Elmélei regresszió ami a feléeles várhaó érékkel definiálhaó, azaz y-nak x-re vonakozó elmélei regressziója y = E( y x) Tapaszalai (empirikus) regresszió ami ulajdonképpen egy részálagokból képze saiszikai sor, ahol x és y érékek a kövekezıképpen alakulnak: x érékek ( x i ) y részálagok ( y i ) x x M x k y ( x ) = y y y k ( x ( x k ) = y M ) = y k (..) A öbbválozós regressziónál a magyarázo válozóra (y) nem csak egy, hanem öbb magyarázó válozó x, x, K, x ) is haás gyakorol egy idıben. A öbbválozós ( k regressziós modellek közül a lineáris a legelerjedebb. Ennek nem csak az egyszerősége, könnyő érelmezheısége az oka, hanem az is, hogy a legöbb közgazdasági folyama vagy jól közelíheı a lineáris regresszióval, vagy arra könnyen visszavezeheı. A öbbválozós lineáris regressziós modell álalános alakja: y = β + β + β + K+ β + ε x x k xk (..) ahol ε maradékag normális eloszlású valószínőségi válozó, amelyre E( ε ) =, Var( ε x ) = σ és Cov( s ε x ) = ε,minden s -re, azaz függelen és azonos eloszlású. x... Ökonomeriai modellek Az ökonomeria a közgazdasági összefüggések, a gazdasági magaarás becslésével, a közgazdasági elméle és ények szembesíésével és hipoézisvizsgálaával, valamin a közgazdasági válozók viselkedésének elırejelzésével foglalkozik (Ramanahan [55] ) a Az ilyen jellemzık leírására a szokásos jelölés a FAE. 8

19 saiszika eszközárá felhasználva. Az ökonomeriai elemzések elsı és legfonosabb feladaa a vizsgál folyamao jól 3 leíró modell elkészíése. Az ökonomeriai modellbıl nyer válozó endogén válozónak, az endogén válozókban fellépı örvényszerőségeke feláró válozóka pedig magyarázó válozóknak nevezzük. A modellben lehenek olyan válozók is, melyek éréke a modellen kívülrıl adódik, azaz ökonomeriai modellbıl nem levezeheı, ezeke hívjuk egzogén válozónak. Amennyiben ilyen egzogén válozók is jelen vannak a modellünkben, akkor az elırejelzésünk feléeles 4 lesz. Az ökonomeriai modellek fonos része a hibaag, amely a vizsgálai szemponból lényegelen válozók és az elıre nem láhaó események összessége (Maddala [39] )....3 Többválozós Box-Jenkins modell G. E. Box és G. M. Jenkins 968-ban publikálák cikküke [6], melyben a... alfejezeben leír módszerüke ismereék. Ennek az eljárásnak a kierjeszése a öbbválozós modell, melyben a klasszikus ARMA modell bıvíik ki, és amelye ranszfer funkciós modellnek nevezek el... Projekív módszerek Ez a módszercsalád egyválozós. Az elırejelzések ezen ípusai az idısoroka használják fel, a múlból (min egyelen vizsgál válozóból) indulnak ki, az vizsgálják, majd pedig annak felhasználásával próbálnak a jövıre vonakozó prognózisoka adni. A múlnak ehá i kiemel jelenısége van. Ám amíg a projekív módszerek egyik csoporja elfogadja, 3 A modell jósága mindig az elemzés végzıkıl, a felépíe szemponrendszerıl függ. Bizonyos szemponból lehe egy egyszerő modell is jó, valamikor viszon csak egy összee, sokényezıs modell felel meg a vizsgála kriériumainak. 4 Feléeles elırejelzés: ha az eredményválozó azon feléelezés melle jelezzük elıre, hogy a magyarázóválozók bizonyos érékekkel rendelkeznek (Ramanahran [55] ). Ha a modellbıl vagy egy segédmodellbıl kapjuk meg a magyarázóválozók éréké, akkor feléel nélküli elırejelzésrıl beszélünk. 9

20 hogy minden elıre elrendel, deerminál, addig a másik csopor már nem gondolja, hogy elég a endenciák auomaikus jövıre való kiveíése.... Deerminiszikus idısorelemzés Minden elıre elrendel, az események elıre deerminál pályán mozognak. Ez a feléelezés kövei a deerminiszikus idısorelemzés. Amennyiben ez valóban így van, akkor a legfonosabb felada ennek az elrendel pályának a megismerése azér, hogy a jövı alakulásá képesek legyünk elıre jelezni. Az elırejelzéshez ehá ismernünk kell az ú részei, elemei. Ehhez részeire kell bonanunk az idısor, azaz dekompozícióra van szükség. Az idısor négy része a rend, a ciklus, a szezon és a vélelen.. rend vagy alapirányza: az idısorban hosszabb idıszakon arósan érvényesülı endencia, amely az idısor alakulásának a fı irányá, álalános színvonalá jeleni. Az alapirányza maga is öbb, hosszúávon érvényesülı ényezı együes haásának a kövekezménye. Alapveıen ársadalmi, gazdasági örvényszerőségek (pl.: demográfiai válozások, echnológiai válozások, preferenciákban bekövekezı válozások, a piac növekedése, az infláció, a defláció) haározzák meg.. ciklus: a rend felei vagy alai arósabb, nem szabályos mozgás, így jelenésé csak hosszabb idısorok alapján lehe felfedni és anulmányozni. Ennek a komponensnek az elemzésérıl gyakran elfeledkeznek 5, pedig kiszőrése az idısorból fonos, hiszen nélküle a kapo eredmények orzak lehenek. 3. szezonális vagy idényszerő ingadozás: azonos hullámhosszú és szabályos ampliúdójú, öbbnyire rövid ávú ingadozás. Azaz olyan rimikus ingadozás, amely szabályosan visszaérı idıközönkén mindig azonos irányba éríi el az idısor éréké az alapirányzaól. A gazdasági idısorok szine mindegyike mua éves periódusokban ismélıdı szezonális ingadozás és/vagy periodikus ingadozás. Az ingadozás lehe akár 5 Korpás Ailáné Dr.: Álalános saiszika II. címő könyvében [34] az idısornak csak 3 elemé emlíi, és így csak három elemmel számol.

21 napi, hees, hónapos, aól függıen, hogy mi okoza (pl.: évszakok válozása, ünnepek, ársadalmi szokások). 4. vélelen ingadozás: szabályalan mozgás, ami sok eseben nem mua semmilyen sziszemaikusságo. Sok, az idısor szemponjából nem jelenıs ényezı együes haásá képviseli. Szabályalan jellege mia az idısorra gyakorol haásá a múlra ki udjuk muani, ám elıre jelezni nem lehe 6. A dekompozíciós modelleknél az idısorok négy része egymással kéféle kapcsolaban lehe: Addiív modell: az idısor elemeinek haása összeadódik y ij = yˆ + c + s + ε (.3.) ij ij j ij Muliplikaív modell: az idısor elemeinek haása összeszorzódik y ij = yˆ c s ε (.4.) ij ij j ij ahol y az idısor éréke ŷ a rend c a ciklus s a szezonális komponens ε a vélelen ingadozás i =,, K,n a periódusok száma j =,, K,m a perióduson belüli rövidebb idıszakok száma 6 Az...3-ban ismeree szochaszikus idıelemzés éppen ezzel foglalkozik.

22 A deerminiszikus eljárások a vélelennek igen kis jelenısége ulajdoníanak. Ám a vélelen képes az idısor elemei közül leginkább befolyásolni a közeljövı eseményei. Éppen ezér megbízhaó elırejelzések elsısorban hosszabb ávra készíheıek a dekompozíciós modellekkel.... Kiegyenlíı eljárások A projekív módszerek a múlból indulnak ki és annak ismereében képesek elırejelzések készíésére. Amíg a deerminiszikus modellek eleve elrendelnek ekinik a jövı, addig a kiegyenlíı eljárások már élnek azzal a feléelezéssel, hogy a múl nem minden elemének van ugyanolyan jelenısége, befolyásoló haása a jövıre. A simíó eljárások ehá figyelembe veszik az a ény, hogy a múlbeli események haása az idıvel csökken, nem kell valamennyi már meglévı adao ugyanazzal a súllyal szerepeleni, szükség van a fokozaos felülvizsgálara. A simíó eljárások lényege, hogy a prognózis során a becsül ( ŷ ) és a megfigyel ( y ) érék közöi elérés, hibá ( e ), már beépíi a kövekezı becslésbe, azaz elırejelzés korrigálja a korábban elkövee hibák érékével: y ˆ + = y + αf ( e ) (.5.) ˆ Az α a simíó paraméer, amely a simíás méréké adja meg, vagyis az, hogy a korábbi hibáka milyen mérékben vesszük figyelembe. Ha az α éréke alacsony, akkor a hibá kevésbé épíi be, az idısorunk rendkívül kisimulha. Amennyiben azonban az α éréke a maximumhoz, az -hez közelí, a hibá kellıen figyelembe vesszük, ám ebben az eseben a vélelen ingadozások is kiszőrıdnek és a endencia már nem rajzolódik ki megfelelıen. Az f függvény legegyszerőbb esee, ha a simíó paraméer az elkövee hibával szorzódik össze.

23 Az exponenciális kiegyenlíésnél a jelenhez közelebb esı eseményeknek nagyobb súly adhaunk, min a már múlba veszı adaoknak. Az egyszeres exponenciális simíás modellje rendelkezik a sziszemaikus anulás képességével (Ralph e. al.[54] ), azaz: yˆ yˆ ( y yˆ ) y ( ) yˆ + = + α = α + α α (.6.) I az elırejelzés ké komponensnek a súlyozo álagából adódik, ahol a megfigyel ada súlya a simíó paraméer, míg a becsül éréké annak komplemenere. Felírva a öbbi idıszakra is a kifejezés megkapjuk a yˆ + = αy + ( α) y + α( α) y + K + α( α) y + ( α) y i = α( α) y i + ( α) yˆ (.7.) i= kifejezés, ahol a - végelenül nagynak ekinve az induló érék yˆ ) előnik, s a megmarad résznél a súlyok ( α) haványai szerin exponenciálisan csökkennek. (Innen ered az eljárás megnevezése is.) ( Az egyszeres simíás csak abban az eseben használhaó, ha a vizsgál adaok nem muanak semmilyen szezonaliás és rend sem figyelheı meg. Készeres exponenciális simíásnál a simíás készer végezzük el egymás uán. Az ismer eljárások közül a ké leginkább elerjed számíási módo, a Brown-féle exponenciális simíás (Brown [] ) és a Hol-módszer (Hol [7] ) emelném ki. A Brown-féle simíás az egyszerőbb módszer, mer ennek során a már ismer egyszeres simíás kell készer egymás uán elvégezni, azaz a már kisimío idısor újra ugyanazzal az α simíó paraméerrel ismé simíjuk. Az egyszeres simíás némileg megválozo jelölésekkel a kövekezı formában adhaó meg: 3

24 S () () = y + ( α) S α (.8.) ahol () S jelöli a -dik idıszaki becsül érék az egyszeres simíás uán. Ezuán az elızıvel analóg módon elvégzem a második simíás: S () () () = S + ( α) S α (.9.) ahol () S jelöli a -dik idıszaki becsül érék a készeres simíás uán. Az inicializálás, azaz a kezdei érék meghaározása rendkívül fonos. Az álalános gyakorla alapján a kezdei érékeknek az idısor elsı elemé ekinjük. A jövıbeni érékek elırejelzéséhez a y ˆ (..) () () + = S S egyenlee használhajuk, felhasználva mind az egyszeres, mind a készeres simíással kapo idısor adaoka. A Hol-módszer annyiban különbözik az elızıekben bemuaoól, hogy az elsı simíás uán a második simíás, amely a rende jelzi elıre, már más simíó paraméerrel dolgozik: S G = αd = β ( S + ( α)( S S G ) + ( β ) G ) (..) ahol S az elsı simíás uáni, G a második simíás uáni, D pedig a megfigyel érék. Az elırejelzéshez ( F+ érékének meghaározásához) a ké simíás uáni éréke kell felhasználni: F + + = S G (..) illeve egy késıbbi idıponra örénı elırejelzés eseén: 4

25 F = S + G, + τ τ (.3.) Az Skezdei éréknek álalában a megfigyel adao ekinjük, míg a G érékére három ajánlás léezik....3 Szochaszikus idısorelemzés Sem a deerminiszikus modellek, sem a simíó eljárások nem helyeznek nagy hangsúly a vélelenre, azaz a szochaszikus agra. Ebben a fejezeben azoka a modelleke muaom be, amelyek éppen a vélelennek ulajdoníják a legnagyobb szerepe. Vélelen bolyongás Egy y folyamao vélelen bolyongásnak hívunk, amennyiben y = + ε (.4.) y formában írhaó fel, ahol auokorrelálalan, azaz valódi vélelen folyamao ír le 7. ε konsans várhaó érékő, konsans varianciájú és Auoregresszív modellek (AR) Amennyiben a vizsgál idısor sem rend-, sem ciklus-, sem pedig szezon-haás nem aralmaz, akkor az y adaaink jól modellezheıek az auoregresszív modellekkel ( AR ( p)) : y = α y + α y + K + α p y p + ε (.5.) 7 Az ilyen vélelen folyamaoka fehér zajnak (whie noise) nevezi a szakirodalom. 5

26 ahol ε iszán fehér zaj folyama. Vagyis a magyarázo válozó kizárólag sajá korábbi érékeinek függvénye. Abban az eseben, amikor csak az elızı idıszaki érékkel van kapcsolaban, azaz csak egy periódussal késlelee a válozónk, akkor elsırendő auoregresszív folyamaal (AR()) állunk szemben: y = α y + ε (.6.) Mozgóálag modellek (MA) Ha egy y válozó fehér zaj maradék agok lineáris kombinációjából áll, akkor q -ad rendő mozgóálag folyamaról beszélünk: y = β ε ε + βε + K+ β q q (.7.) ahol ε FAE fehér zaj. Az az összefüggés gyakran kicsi módosío formában írják fel: y = ε β ε ε β ε K β q q (.8.) ARMA modellek Az elızı ké modellek egyesíése az auoregresszív mozgóálagolású (ARMA) modell: y = α ε y + α y + K + α p y p + ε βε β ε K β q q (.9.) A folyama p számú auoregresszív és q számú mozgóálag ago aralmaz, így ennek jelölése ARMA ( p, q). Gazdasági idısorokkal kapcsolaos feladaok közül sok könnyen megoldhaó ARMAmodellel, így ezekrıl a kövekezı fejezeben részleesen számolok be. 6

27 .3 ARMA modellek A ársadalmi, ermészeudományos és a gazdasági folyamaoka, azok idıbeli lefolyásá nagyban befolyásolja a vélelen. Éppen ezér olyan elerjed az idısorelemzés ezen módja, melyben a vélelennek kiemel szerep ju. Az ARMA modellek paraméereinek meghaározására és a kapo modellek jóságának ellenırzésére G. E. P Box és G. M. Jenkins [7] 968-ban jelenee meg egy három lépésbıl álló megközelíés:. Idenifikáció. Becslés 3. Diagnoszikai ellenırzés A modellek ilyen formán örénı kialakíása olyannyira elerjed, hogy az idısorelemzés ezen ípusá gyakran hívják Box-Jenkins modellnek..3. Sacionariás Az ARMA modellek felépíése során öbbször elıkerül a sacionariás fogalma. Ha egy idısor maradék agjának várhaó éréke, varianciája, auokovarianciája 8 nem függ az idııl, akkor az ado idısor sacionárius. Tehá E( ε ) = és var( ε = ) σ és cov( ε, ε k ) = σ ρk ahol ρ k a k -dik késleleéshez arozó auokorreláció éréke. A sacionárius folyama lefuása az idıben sabil, nincs rendhaás. Az ilyen idısornak viszonylag nagy a rövid ávú elırejelezheısége. 8 Auokovariancia függelen az idııl, ha ado hibaag nincs korrelációban egy elızı hibaaggal. 7

28 A sacionariásnak ké válozaa van, a rendsacionárius és a differenciasacionárius idısor. Trendsacionárius idısor: y = β + β + ε (..) Az ilyen idısorokban lévı rende regressziós összefüggés alkalmazva szabad csupán kiszőrni. [43]. A rendsacionárius idısorokban az adaoka ér sokk haása idıvel csökken, majd elesen el is őnik, lecseng. Differenciasacionárius idısor: y = y + β + εi (..) i= A legöbb gazdasági idısor inkább diffrerenciasacionárius [39], hiszen a vizsgál válozóka ér sokkok haása arós. Ha az ilyen idısorokban rend van, akkor az csak differenciálással szabad kiszőrni..3. Idenifikáció A Box-Jenkins modellezés elsı lépésében az ARMA ( p, q) folyama paraméerei, vagyis q - és p - kell meghaározni. A fázis lényege ehá megalálni a apaszalai idısor legjobban leíró elmélei idısor. A munkában nagy segíségünkre lehe, ha a megfigyel adaoka az idı függvényében ábrázoljuk. Ekkor szembesülheünk azzal a énnyel, hogy az idısorunkban milyen rend van. Amennyiben lineáris renddel van dolgunk, úgy akkor elegendı az adasorunka differenciálni. A differenciál adaokból készíe ábránk már remélheıleg nem mua ovábbi rende. Ám amennyiben mégis, isméel differenciálásra van szükség. Mivel a gazdasági idısorok álalában aralmaznak rende, így igen valószínő, hogy szükség lesz a differenciálásra. A apaszalaok alapján azonban készeri differenciálással a rend problémája megszőneheı. Ha az ábránkon az adaok exponenciális növekedés muanak, akkor az adasor elıször logarimizálni kell, majd ezuán újabb ábrá kell készíeni. 8

29 A differenciálás és ezálal a rend kiszőrése azér fonos, mer az ARMA ( p, q) folyama becsléséhez a vizsgál idısor sacionárius kell, hogy legyen. Min az már bemuaam, az idısornak nem csak rend komponense van. Ha az idısorunk szezonális komponens is aralmaz, akkor a sacionariás kriériuma sérül. A legegyszerőbb mód ismé csak a differenciálás. y y -ed fokú differencia képzés az eseek nagy részében elegendı (amennyiben évszakok, negyedévek miai szezonális haás jellemzı). Léeznek kifejezeen szezonaliás kezelı programok is, min a TRAMO / SEATS vagy az X ARIMA. Ha a Box-Jenkins modell elsı lépésében az apaszaluk, hogy az idısorunk nem sacionárius, akkor differenciálunk, hiszen különben nem lehene az elırejelzés elkészíeni. Az elsı lépésben nem csupán q és p paraméer kell elızeesen megbecsülnünk, hanem a differenciálások foká (d) is, amely beépül a modellünkbe, ami ezenúl ARIMA( p, d, q) 9 -nak fogunk hívni. A vizsgál adaok idıbeni ábrázolásán kívül egy másik ábra segíségével is el lehe döneni, hogy szükséges-e a differenciálás. Ez a korrelogram (auokorrelációs függvény, ACF ), ami egy sor adaainak és a múlbeli érékeinek korrelációs együhaóinak, azaz az auokorrelációs együhaók ábrája. Cov( ε, ε s ) E( ε, ε s ) r s) = Cor( ε, ε s ) = = (..) Var( ε ) E( ε ) ( Az ACF grafikonon s függvényében van ábrázolva r (s). Amennyiben a kapo görbe csak lassan csökken, akkor bizosan szükséges legalább egy differenciálás. A differenciálás elvégzése uán, elkészíve a kövekezı korrelogrammo, ismé csak a csökkenés méréké kell vizsgálni. 9 AuoRegressive Inegraed Moving Average auoregresszív inegrál mozgóálag 9

30 Az auokorrelációs függvény felrajzolása nem csak abban segí, hogy az idısorunka sacionáriussá udjuk enni, hanem abban is, hogy az mozgóálagolású (MA) ag q -fokára egy kezdei becslés udjunk adni. Ehhez a korrelogram alakjá kell csak megvizsgálni. Ha a korrelogram q -nál kisebb érékeknél nem mua semmilyen haározo alako, míg q -ól nagyobb érékekre nulla, akkor a késleleéseknek q - kell válaszani. Vagyis pl. elsırendő mozgóálag (MA()) folyama eseén kizárólag ez elsı érék nem nulla, az összes öbbi az. Az auoregresszív (AR) ag p kezdei érékének eldönésében a korrelogram helye egy másik függvény használunk, ez a parciális auokorreláció függvény (PACF). A PACF a magasabb rendő auokorrelációk haás megiszíja az alacsonyabb rendő auokorrelációk haásaiól. A parciális korrelogram éréke egy bizonyos késleleés uán nulla körül fog mozogni. Ez a késleleés lesz a p kezdei éréke. Azaz egy elsırendő auokorrelációs (AR()) folyamanál a parciális korrelogram elsı eleme nem nulla, a öbbi mind nulla közelében marad. Mind a p, mind a q érékére lehe levonni kövekezeése mindké görbe alakjából. Ha egyik ábra sem muaja egyérelmően, hogy milyen rendő folyamao kellene vázolni, akkor a legegyszerőbb egy ARMA(, ) -el indíani a számíásainka..3.3 Becslés A modell ezen ponján a y = α y α y α y ε β ε β ε β ε + + K + p p + K q q (.3.) egyenle paraméereinek (remélheıen) végleges éréké kell megbecsülni. A becslés maximum likelihood (ML) módszerrel örénik. 3