6.1. Közönséges interpoláció (egyváltozós) Adott n+1 db síkbeli pont (alappontok) az [a,b] intervallumon. (x n,f(x n )) (x n-1,f(x n-1 ))

Átírás

1 . Ierpolácó.. Közöséges erpolácó (egyválozós Ado + db síkbel po (alappook az [a,b] ervalluo y (,f( (,f( (,f( (,f( ( -,f( - Keressük az a c, c, c paraéerekől függő Φ függvéy, elyre eljesülek az erpolácós feléelek: Φ, c, c, c = f = y =,, Egyeleredszer az + serele c paraéerre (+ egyele. f( =y jelölés

2 . Leárs erpolácó Az erpolácós függvéy az erpolácó alapfüggvéyeek leárs kobácója Φ, c, c, c = c k φ k ( Az erpolácó egyeleredszere leárs c k φ k = f = y =,, φ φ φ φ φ φ φ φ φ Az együhaó ár (Haar c c c = φ φ φ φ H = φ φ φ φ φ Akkor és csak akkor léezk és poosa egy egoldás ha de(h y y y

3 ... Ierpolácós polo Az alapfüggvéyek φ k = k A legfeljebb -ed fokú erpolácós polo Φ = c k k Ha az alappook külöbözek ( j, ha j, akkor a Haar féle deerás de(h = oszlop - oszlop - de sorból ( - keelve = de(h = = >j ( j Vaderode deerás, az egyérelű léezés bzosío. Az egyeleredszer egoldhaó, de rosszul kodcoál.

4 élda: keressük az az p( erpolácós poloo, elyre p(-= p(= p(=7 p(=5 y 5 A Vaderode egyeleredszer 7 c c c = 7 8 c 5 >> A=[,-,,-;,,,;,,,;,,,8] A = >> b=[,,7,5]' b = 7 5 >> lsolve (A,b as = p = f( =[- ]; % vekor y=[ 7 5]; % vekor z=-:.:; % vekor fgure ('Nae', 'Ierpolácó',... % grafkus ablak 'NuberTle','off'; plo(',y','ob',z,f(z,'-r'; % függvéyrajzolás shg; fuco y=f( % függvéy-defícó y=++.^+.^; ed

5 ... Lagrage-féle Ierpolácós polo (előállíás Az,, alappookra áaszkodó poosa -ed fokú + db Lagrage alappolo L k (,, defícója L k = δ k =, k, k = L = + + y Így Φ = Hsze y k L k ( Φ = y k L k ( = y =,, Súlyfüggvéyek, L k ( ha de y = (+ db, az csak az érékű polo 5

6 élda: - f( 7 5 p = L = L = L = L = = + = + ( ( = + = + ( ( = + + = + + ( ( = p = L + L + 7 L + 5 L = = = + + +

7 ... Newo-féle erpolácós polo (előállíás Rekurzív előállíás ugyaaz (hsze az előállíás egyérelű, ásképpe keressük a poloo N = c + c + c + +c alakba! Jelölés ω =, ω + = k =,,. L = + + = ω + ( ω + ( ( N k ( az (,y érékeke ( k erpoláló k-ad fokú polo k = N = c = y N k = N k + c k ω k ; c k = y k N k k ω k k k 7

8 élda: - f( 7 5 N = c = y = c = y N ω = y N = N k = N k + c k ω k ; c k = y k N k k ω k k ( = N = c + c = + = + + = p = k c = y N ω = y N ( ( = 7 = N = c + c + c = = + + = + + = = + + c = y N ω = y N ( ( ( = 5 = N = c + c + c + c = = = = = = =

9 ... Newo-féle erpolácós polo egyeközű alappooko k = + kh k =,,, h > Az k.-edredű dffereca k<+ y = y + y y = y + y = y + y + + y y = y + y = y + y + + y + y k k y = k y + k y = j k j y +k j j= Az együhaók (N y = c = c + c + c + + c y = c + c h y = c + c h + c h y = c + c h + c h + c h A dfferecák y = c h, y = c h + c h, y = c h + c h + c h y = c! h, y = c! h + c h, c = y, N = c = y h, c = y! h, c k = k y k! h k f (k k! k = T ( l h k y h k A Taylor polo = f(k 9

10 ... olook MATLA Vekor ~ polo p = a, b, c a + b + c poly( poly r polo r vekoreleekel, gyökökkel poly A Az A ar karakerkkus poloja de(a λe polyval(p, p polo helyeesíés érke az helye polyval(p,x p polo helyeesíés érke az X ar helye roos(p r = roos p p gyöke cov(p,q r = cov p, q polo szorzás decov(p,q poly(p,k r, s = cov p, q aradékos polooszás =[- ]; % vekor y=[ 7 5]; % vekor z=-:.:; % vekor fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'olo erpolácó', 'NuberTle','off'; plo(',y','ob',z,f(z,'-r'; % függvéy rajzolás shg; fuco y=f( % függvéy defícó p = [,,,]; % polo p = y=polyval(p,; % helyeesíés érék ed polyder(p p = poly p, k q = polyder p dp( d haározala egrálás k kosassal

11 ... Here-féle polo A β, β,..β s pozív egészek s = β = > s A ; =,, s külöböző abszcsszákba legyeek adoak f derválja (f (j (! f j =,, s j =,,. β f, f, f f (β f, f, f f (β s f s, f s, f s Keressük Φ ( Here-féle erpolácós poloo, elyre Φ j y = f j =,,, s j =,,. β f (β s s (,f( f ( f ( f ( (,f( f ( (,f( f ( f (

12 élda: keressük az az p( erpolácós poloo, elyre p(-= p (-= p(= Φ = Φ p (=-.5 Az egyeleredszer c k k = c + c + c + c = c + c + c c c c c =.5 y - p = A=[-,,-,;,,,;,-,,;,,,]; % egyeleredszer b=[,,,-.5]'; p=lsolve(a,b; % a egoldás a polo z=-:.:; % vekor fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'Here erpolácó', 'NuberTle','off'; plo(z,f(z,p,'-r'; % függvéy rajzolás shg; fuco y=f(,p % függvéy defícó y=polyval(p,; ed

13 . Ierpolácó függvéyredszerekkel... A erészees sple (,y, (,y,..., (,y pook y=y( függvéy... Ierpolácó y = φ = φ k k, k y k = φ k k k, k k =, egyele y = φ + egyele... Illeszés feléelek φ k k = φ k k k =, egyele d d φ k k = d d φ k k k =, egyele d d φ k k = d d φ k k = g k k =, egyele g = g egyele db. φ k függvéy serele együhaó egyele

14 ... A Clapeyro egyeleredszer A haradfokú görbék ásodk derválja leárs d d φ k = g k k k k + g k k k k Jelölje φ k k = y k φ k k = y k Készer egrálva, az egrálás álladók az lleszés feléelekből Clapeyro egyele k k g k + k+ + k g k + k+ k g k+ = = y k+ y k k+ k y k y k k k k =,, - egyele az serele g -kre... Fzka aalóga (öbbáaszú aró d y d = M( I y E g g g g g - y g g -

15 ...5 Hollday éele Legye F = f : f C, f k = y k k =,, Akkor Ha f F d f d... Kardáls sple f = j=+ j= d = y y y j s j + = + [, s = f + f + f s = f + f + + s = f + + f + + f s = f + f f, a feszíés, f= a Caul-Ro sple y a erészeres sple eseé y - e y y e - e e y + X - X + e k = =,, f y k+ y k k+ k 5

16 .. MATLA sple erpolácó lvq = erp(,y,q,sr; (,y arópook q függele válozók sr ódszer ('lear','sple' =[,,,, ]; % alappook y=[,, -,, ]; % alappook f=fgure ('Nae', 'Leárs/köbös sple erpolácó',... 'NuberTle','off'; % grafkus ablak q = (:.:; % függele válozók lvq = erp(,y,q,'lear'; % örvoalas erpolácó svq = erp(,y,q,'sple'; % sple erpolácó plo (,y,'ob',q,lvq,'-r',q,svq,'-b'; % arópook, görbék shg

17 . Trgooerkus erpolácó Az alapfüggvéyek φ k = e k = cos(k + s(k = A legfeljebb -ed fokú valós rgooerkus polo Φ = a + k= a k cos k + b k s k.. Dszkré Fourer raszforácó Legye f perodkus valós függvéy peródussal. A függvéy éréke az k = πk f [, π k =,,. + pookba f( k Egyérelűe eghaározhaó a f = Az k pookra c j e j = c j (cos(j + s(j = j= j= f ( k = c j e j k k =,, = j= Δ=π/(+ π 7

18 Jelölje π w = e + az +. kople egységgyökö! Ekkor e k = e kπ + = w k f ( k = j= f ( k = j= c j e j k = c j e j k k =,, = j= c j (w k j k =,,, Egyeleredszer c j kople sereleekre együhaó ára Vaderode Léezk poosa egy egoldás. Legye a kople + dezós vekorok skalárs szorzaa, y = k y k π + így bárely f=[f(, f(, f( ] és g=[g(, g(, g( ] vekorok eseére f, g = w w w w w w f( k g( k Φ = de(h = w c k k f Δ=π/( + 8 π

19 e l = [e l, e l, e l ] és e j =[e j, e j, e j ] vekorokra ( =- f, g = f( k g( k e l, e j = e l erőleges e j e (l j k = ha l j Orogoáls bázs (w l j k = + ha l = j ha l j Hsze éra sor összege (l j és w l-j egységgyök w + = w l j + w l j f(c,, C Az k pookra a rgooerkus erpolácó e f ( k = c j e j k k =,, = e j= Az f=[f(, f(, f( ] kople vekor szorozzuk e l = [e l, e l, e l ] kople vekorral! f( k e l k = c j e j ke l k = c j e k(j l = ( + c l j= j= c l = (f, el + = (f, e(++l + = c ++l perodkusak + re O( aeaka űvele együhaó, de együhaó szorzás 9

20 .. FFT Legye = -! Száísuk k a Φ j = összege! a k w kj j =,, Ha serek az f( k -k, a c j -ke haározzuk eg (aalízs, akkor a k = f( k Ha serek a c j -k, az f( k -ka haározzuk eg (szézs, akkor a k = c k Ο( űvele - együhaó űveleel. osuk k- páros (l és párala (l+ agokra! jelölje = - -! Φ j = a lw lj + a l+w l+ j = a l(w lj +w j a l+(w lj l= l= Φ j = Ψ j + w j Χ j j =,, Ψ(j- és Χ(j- csak fele ay dere kell kszáía j=,, er (w j++ = (w j++ = (w j l= f( k e l k = f ( k = j= j= c j e j k = c j e j ke l k = És így ovább a kszáíáshoz szükséges űveleek: = - + ké szua + += (szorzás+összeadás l= j= j= c j (w k j c j e k(j l = ( + c l + k =,,,

21 A űveleek száa = = - + ké szua + szorzás zoyíás eljes dukcóval =, Ha - =(- -, akkor =(- - + = Mvel =+; /log ( log (=log (+ = log (+ a űveleek száa ehá (+ log (+ O( log ( aeaka űvele < O( Ha e haváy, akkor +=, 5,

22 .. Fourer sor/raszforácó érelezés Vekorok az R -be a, b = a b skalárs szorza = a, b = a b z f z R f ( f, y f, z f a = a, a ora f = f + y f j + z f k k f = f, ; y f = f, j ; z f = f, k ; L-perodkus függvéyek I L N álaláosa I L L a, b = abd skalárs szorza L j y f f y I z L f (C,, C j,, C a, b = a b a = a, a ora N f = C j e j f C k e k j= k= N e e e j C j = f, e j ; j (, = I z L f (C,, C j,, C C k = f, e k ; k ( N, N = e e N e e k e N f(c N,, C j,, C N

23 .. Dszkré Fourer raszforácó (FFT algorussal Y = ff(x - X jel dszkré FFT raszforálja X = ff(y - Y jel dszkré verz FFT raszforálja Fs = 7; % a frekveca = -.5:/Fs:.5; % az dõvekor L = legh(; % a jel hossza X = ep(-.^; % a jel pulzus f=fgure('nae',... % grafkus ablak 'A jel dõaroáyba', 'NuberTle','off'; plo(,x shg = ^epow(l; % a legközelebb haváy Y = ff(x,; % FFT pora f = Fs(:(//; % a krajzol frekvecák = abs(y/(/; % a Fourer raszforál valós érékekkel f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'Fourer raszfoál', 'NuberTle','off'; plo(f,(:/+ f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'A vssza-raszfoál jel', 'NuberTle','off'; X = ff(y % verz FFT raszforácó plo(,x shg

24 ..5 Ierpolácó Fourer raszforácóval MATLA y = erpf(x, - FFT ódszerrel raszforál, ajd öbb pora vsszaveí X a povekor a pook száa d=.; % a arópook lépésköze =:.:p; % a arópook f = s(+s(+s(;% a arópook N = ; fy = erpf(f,n; % Fourer raszfor és vsszaraszf (sűrűbbe N dy = dlegh(/n; = :dy:p; % a sûrûbb pook fy = fy(:legh(; fgure ('Nae', 'Fourer erpolácoó',... 'NuberTle','off'; % grafkus ablak plo(,f,'ob',,fy,'-r' shg

25 7. Approácó 7. Weersrass approácós éele Teszőleges ε> szához és f C a,b f p( < ε [a, b] kosrukíva [,] ervallura 7.. erse olook A [,] ervalluo éreleze polook p k = k k ( k függvéyhez léezk olya p polo elyre p k ( = + ( A közelíés f = f k p k = arópook f k k k k bázsfüggvéyek 5

26 7... A erse polo ulajdosága zoyíhaó, hogy = f k p k = f k k k k = f = f = f( p k = f h f( h k, = f f( h, h = h k k = + ( (, k, f( k k =, kove lezárása y (,f( (,f( (,f( ( -,f( - (,f( ( -,f( -

27 MATLA erse polo sys % szbolkus válozók f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'erse polook', 'NuberTle','off'; hold o % de egy ablakba fplo(ep(,[ ],'-k' % ep( b=berse(ep(,, ; % külöbözõ fokszáú berse polook fplo(b,[ ],'-r' b=berse(ep(,, ; fplo(b,[ ],'-g' b8=berse(ep(, 8, ; fplo(b8,[ ],'-b' shg 7

28 7.. Legksebb égyzeek ódszere 7... Regresszó (egyválozós Ado + db síkbel po (alappook az [a,b] ervalluo y (,f( (,f( (,f( y (,f( (,f( (,f( (,f( ( -,f( - Φ, c, c, c = f = y =,, (,f( ( -,f( - Keressük az a c, c, c (>> paraéerekől függő Φ függvéy, elyre eljesül az alább közelíés Φ, c, c, c f = y =,, 7... Leárs regresszó A függvéy az alapfüggvéyek leárs kobácója Φ, c, c, c = c k φ k ( >> 8

29 Téglalap alakú egyeleredszer, e egoldhaó (álalába c k φ k ( = f = y =,, φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ azaz Helyee fukcoál ua azaz c c? = c Φ c = f f( f( f( f( ; c k φ k φ k φ k φ k? = f( f( f( f( ; (c, c, c = c k φ k ( f = ck = y (,f( ( (,f(,f( (,f( ( -,f( - J f = Φ c f = c c R, f R + a, b skalárs szorza a = a, a ora

30 Mu szükséges feléele c, c, c = = c k φ k ( f = ck c, c, c c j = j =,,,. Elégséges feléel, er az c, c, c c j c l ár pozív def c, c, c c j = = c k φ k f φ j = j =,,,. Leárs egyeleredszer c k φ k φ j = f( φ j j =,,. k= = =

31 azaz c k = φ k φ j = = f( φ j j =,,,. φ = φ φ f = f f φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ c c c = fφ fφ.. fφ... Kegyelíés poloal φ k = k Φ, c, c, c = c k = k j = = c k k f( j j =,,.

32 c k k j = f( j j =,,. + = = f( = = = = = = = = + + = = = + + c c c c = = = = f( f( f( = = =... Kegyelíés egyeessel = = Φ, c, c = c +c + f( y (,f( (,f( (,f( = = = c c = = = f( (,f( ( -,f( -

33 7. Rz ódszer φ = φ φ φ [, ] leársa függele vekorok - egy R dezós alér R be y K = j= c j φ j y K f = y Φ c = y K R R Akkor legjobb közelíés, ha y K f erőleges R -re ahol R db dezós vekor álal alkoo alér y K f, φ = =,, j= j= c j φ j f, φ = =,, φ, φ j c j = f, φ =,, φ, φ j = φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ k φ j k f, φ = A u feléel vol Orogoáls redszer eseé dagoál ár c c? = c f( f( f( f( f = f f f f k φ k R q f y K y K f R q, j =,, c k = φ k φ j = = f( φ j j =,,,.

34 7.. Rz ódszer egyeessel Φ, c, c = c +c φ = φ = φ =,, φ =,, φ, φ = φ, φ = φ, φ = k φ, φ = k k f, φ = f( k f, φ = f( k k q, q j = φ k φ j k f, q = f k φ k, j =,, + = = = c c = = = f( f( y (,f( (,f( (,f( (,f( ( -,f( -

35 Függvéyllszés MATLA daa=(:'; % a függele válozók ra=rad(,; % vélele pook ( ydaa=log(daa+.5+ra; % fv egzavarva fu % lye keresük = [,]; % kezdõpo = lsqcurvef(fu,,daa,ydaa % fv lleszés es = lspace(daa(,daa(ed f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'Lsq', 'NuberTle','off'; plo(daa,ydaa,'or',es,fu(,es,'b-' shg 5

36 ololleszés MATLA =(:'; % a függele válozók ra=rad(,; % vélele pook ( y=log(+.5+ra; % fv egzavarva p=polyf(,y,; %. foku regr. polo p5=polyf(,y,5; % 5. foku regr. polo p7=polyf(,y,7; % 7. foku regr. polo = lspace(,,; % krajzol pook f=polyval(p,; %. f.regr. pol. érékek f5=polyval(p,; % 5. f.regr. pol.érékek f7=polyval(p,; % 7. f.regr. pol. érékek f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'Regresszós polook', 'NuberTle','off'; plo(,y,'ok',,f,'-r',,f5,'-g',,f7,'-b'; shg; Sple lleszés MATLA =(:'; % a függele válozók ra=rad(,; % vélele pook ( y=log(+.5+ra; % fv egzavarva = lspace(,,; % krajzol pook p = csaps(,y,.,; % durva közelíés p = csaps(,y,.,; % jobb közelíés p = csaps(,y,,; % erpolácó f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'Regresszós sple súlyokkal', 'NuberTle','off'; plo(,y,'ok',,p,'-r',,p,'-g',,p,'-b'; shg;

37 b a a R s cos ( N k k k k b a a R s cos A pros kszűrése uá saszka oszályozás + súlypook Regresszós Fourer-görbék a súlypo koordáaredszerbe (Fourer-raszforál 7. éldául D sca 7

38 8 7.5 Görbejellezés rgooerkus approácóval N k k k k b a a FH s cos k k z 5, Daa Deduc.

39 8 D görbék Függvéyközelíés y=f(, z=g( Iplc görbeegadás 8. araéeres görbeegadás f(,y,z= 8. A geoera folyoosság fogala G G 8. Első fokú paraéeres görbeszakasz közelíés =(, y=y(, z=z(, ( C, y( C, z( C az érők ráya folyoos C G ( = + Súlyfüggvéyek: ( ( ( ( ( M T y z y z y z S S, a geoerá jellező ár, M a bázsár, T a paraéervekor, a súlyfüggvéyek l.kobácója. 9

40 D görbe MATLA sys % szbólu = s(p; % paraéerfüggvéyek y = cos(p; z = ; f=fgure ('Nae',... % grafkus ablak 'D paraéeres görbe', 'NuberTle','off'; fplo(,y,z,[,] % [-] shg;

41 8. Here-féle görbeszakasz erpolácó R R ( ( (, ( ( ( z y z y z z '( '( '(, '( '( '( z y R R R R z y R R R R z z T M ( ( M R R R R R R z z z z y y y y, csak az koordáákra: '( '( ( ( ( M '( '( ( ( ( M '( '( ( ( ( ' M '( '( ( ( ( ' M '( '( ( ( '( '( ( ( M M

42 8.5 ezer-féle görbeszakasz erpolácó R R ( ( R R T M T M M T M H H H H ( M Here H H M ( ( (.5. A súlyfüggvéyek érelezése, a befoglaló polgo ( ( I s ( I s, M

43 8.7 Egyeközű eracoáls -sple (Ufor, NoRaoal [,] R C =.. G, T, ( ( ( / / ( / ( / ( G M T ( M s I (, 8. Teljes görbék közelíése, a erészees sple - - φ( C / ( / ( + / ( + + /

44 C, C, C, ( d d d d d d d d,,,,,,,, ( ( ( ( ( ( = = = Egybeeső pook, ( (, 9 9 '(, 8 8 '( ' / / ( / ( / (

45 5 8.8 Ne egyeközű eracoáls -sple (NoUfor, NoRaoal,,... + e csökkeő (! dősoroza ,, (,,,, ( ( ( ( ( ( ( ( ( egyébké,, (,,,,,,,,,, /= (! A súlyfüggvéyek rekurzóval (Co de oor algorus

46 l. a,,,,,,, dősoroza (a ezer-görbe A készer folyoosa dfferecálhaó görbe szé s szakadha 5 7 = = = = = = = =,,,,, 5,, ( = ( = ( = ( ( = ( = ( =, ( =, ( =, (, (, ( = 5, ( =, (, (, (, (, ( 5 7 7, ( (, (,, ( = = = = 5 = 7 7

47 8.8. Ierpolácó -Sple görbékkel - C = = = Egyelees dőoszás olgokerüle, = + L = = = + L Cerpeáls a > L a = = a k k = + Ha ser, (+ egyele (+ serele k k = = k k a k k L a 7

48 8 8.9 Ne egyeközű racoáls -sple (NoUfor, Raoal X W y Y W z Z W ( ( (, ( ( (, ( ( ( 8. Caull-Ro görbék 5 R R T M M G T M G H HCR CR H H ( M CR H G CR G HCR M Hoogé koordáák y z T

49 8. kubkus felüleek A geoerá jellező ár egy s paraéeről függ. s, = (smt 8.. Here felülefol s, = s, s, R s, R s MT s s, = T T M T s R s R s Csak koordáákra,, s =,, M H S s s,, s =,, M H S s s R s =,,, s, s R s =,,,, s s M H S M H S 9

50 s, = T T M H T,,,,,,,,, s, s, s, s, s, s, s, s M H S 8.. ezer felülefol (pach R R H T T T ( s, S M M G M M T H H H H M H azaz T T ( s, S M G M T 8.. Caull-Ro felüleek 5

51 8. Felülefolok lleszése s= I = s= s= = II s= g g g g g g g g g kg g kg g kg g kg k 8. Geeraív felüleegadás F u, v = v s u =,j s(v s u = = j=.. Forgásfelüle (revoluo.. Hegerfelüle (abulaed cylder.. Álaláosío yeregfelüle (ruled.. Görbeháló felüle (Mesh..5 Söpör (Sweep.. ezer / sples felüle / arópookkal..7 Haárol síkok 5

52 . Geeraív felüleegadás F u, v = v s u = = =.9. Forgásfelüle (revoluo j=,j s(v s u.9. Hegerfelüle (abulaed cylder.9. Álaláosío yeregfelüle (ruled.9. Görbeháló felüle (Mesh.9.5 Söpör (Sweep.9. ezer / sples felüle / arópookkal.9.7 Haárol síkok

53 élda Szlv 5