3D-s számítógépes geometria

Átírás

1 3D-s számítógées geometra 7a. Rekurzív felosztáso alauló felületek htt://cg.t.bme.hu/ortal/ode/3 htts:// Dr. Várady Tamás BME, Vllamosmérök és Iformatka Kar Iráyítástechka és Iformatka Taszék 3D-s számítógées geometra

2 Tartalom Áttektés Polgook rekurzív felosztása (subdvso) saroklevágó algortmusok teroláló algortmus Poléderek rekurzív felosztása követelméyek alakérdések Doo-Sab algortmus, Catmull-Clark algortmus, Közé-osztás Loo-féle osztás, 3 osztás 3D-s számítógées geometra

3 Szabadformájú felületek - áttektés. Tezor szorzat alaú felületek égyoldalú ( 4) aramétertartomáy, N x M-es kotroll háló Bézer felületek (olomáls) B-sle felületek (szakaszokét olomáls). Bézer és B-sle felületek kterjesztése (S-atch-ek - 4 oldal, secáls kotrollháló) racoáls Bézer felületek ( 4) racoáls B-sle felületek ( 4) T-sle-ok ( 4, szakaszos olomok, háyos kotrollháló) 3. Iteroláló (traszft) felületek határgörbék és keresztdervált függvéyek Coos atch ( 4) általáos -oldalú felületek 4. Poléder-alaú általáos toológájú felületek felosztásos felületek (rekurzív szubdvzó) (összellesztett sle felületek) T [ C] [ ( v s ( u, v) [ α( u)] β )] Áttektés 3

4 Rekurzív olgo-felosztás Rekurzív olgo-felosztás {,, K, k )} {,, K, korább olgo otok leárs kombácója: m l α j j j( m), m, K, k kérdések: kovergál valamlye görbéhez? olomáls görbe? mlye mértékbe sma? k. Chak algortmus (sarok levágás): 3 3 ; másodfokú B-sle (!), C } Polgook rekurzív felosztása. (0,) (,)(,) (.5,) (,.5) (,.5) (3,4) (,3)(3,) (0,,,3,4) (0,,.5,,.5,3,4) (3,.5) 4

5 5 Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás. Felosztás alteratív súlyokkal kovergál, harmadfokú B-sle, C a folytoosság aalízs elve (sajátértékek): dagozálás (sajátvektorok, sajátértékek): 3. Iteroláló felosztás (égy-ot): közéső ot meghatározása: harmadfokú Lagrage terolácó kovergál, C határgörbe AD D D, ) 9 9 ( 6 ;. ; Λ A EΛ E A D D E E A r r r,

6 Rekurzív oléder-felosztás (Doo-Sab) (Loo) Rekurzív felosztáso alauló felületek (Pxar) 6

7 Rekurzív oléder-felosztás Követelméyek: általáos toológa lokáls módosíthatóság egyszerű szabályok (maszk) hatékoy algortmus aff lekézésre varás sma felület herarchkus rerezetácó kovex burok? Subdvso vdeo Alakérdések: fomítás szabály: sarok-levágás vagy csúcs-beszúrás a oldérsorozat háromszög vagy égyszög alaú aroxmácó vagy terolácó smaság (G vagy G ) szabályos csúcsok vs. külöleges (extraordary) csúcsok Felosztás roblémák Rekurzív felosztáso alauló felületek 7

8 Rekurzív oléder-felosztás 3. Doo-Sab felületek a Chak algortmus általáosítása mde -oldalú la összezsugorodk, és új csúcs keletkezk rajta: v () α v j j 5 α, 4 j π ( j) 3 cos α j 4 LAP-la az eredet la belsejébe ÉL-la mdg égyoldalú, az élek meté CSÚCS-la csúcs körül a égyoldalú laok száma ő másodfokú B-sle felület darabok G szabályos csúcsok (4) külöleges csúcsok s keletkezek: 4 oldalú laok, 4 fokú csúcsok Rekurzív felosztáso alauló felületek 8

9 Rekurzív oléder-felosztás 4. Catmull-Clark felületek harmadfokú B-sle felületek általáosítása () új LAP-csúcs közéot, f j () új ÉL-csúcs az él végotjaak és a szomszédos LAP-csúcsok átlaga, e j () új CSÚCS-csúcs la által körülvéve: v 3 v f j e j j j új laok, az első osztás utá égyoldalú hurkok: f e v e f kovergál, szabályos csúcs (4) G határfelület, külöleges csúcsok ( 4) G Rekurzív felosztáso alauló felületek 9

10 Rekurzív oléder-felosztás 5 3. Közéosztásos felületek (Peters & Ref) a legegyszerűbb séma mde élre új felező ot új laok befoglalt LAP-laok csúcskörül CSÚCS-laok égyoldalú laok domálak szabályos csúcsok (4) külöleges csúcsok az eredet csúcsok körül kovergál, G határfelület Rekurzív felosztáso alauló felületek 0

11 Rekurzív oléder-felosztás 6 4. Loo-féle felosztás háromszöghálók fomítása () az adott él csúcsa: v,v () a csatlakozó csúcsok: v 3,v 4 új ÉL-csúcs: 3 e j ( v v ) ( v 3 v 4 ) 8 8 új CSÚCS-csúcs szomszéd alajá: v ( α) v α v j sma határfelület szabályos csúcsok (6) G, (egyedfokú Bézer háromszögek); külöleges csúcsok ( 6) csak G 3 5 3, 3; π α α cos, > j, (Maszkok) Rekurzív felosztáso alauló felületek

12 Rekurzív oléder-felosztás felosztás háromszögháló fomított háromszögháló () mde háromszöget három részre hasítuk () a keletkező égyszögátlókat megcseréljük (fl) közéot csúcsok összekötése az eredet csúcsokat újraszámoljuk szomszédos csúcs alajá: v ( α ) v α v j j, α π 4 cos mde terácó cserél a struktúra ráyítását, két terácó egy háromszögből 9-et készít sma határfelület szabályos csúcsok (6) G, külöleges csúcsok ( 6) csak G 9 Rekurzív felosztáso alauló felületek

13 Öálló feladat** A Loo-féle rekurzív felosztás számítógées mlemetácója Iut: háromszögháló Outut: fomított háromszögháló léés utá 3D grafka; teraktív lokáls módosítás Leke (butterfly) séma (teroláló maszk) Rekurzív felosztáso alauló felületek 3

14 A következő előadás tartalma A Bézer és B-sle rerezetácók kterjesztése (7b) Racoáls olomok Projektív traszformácó Kúszeletek Racoáls görbék és felületek Forgásfelületek Háyos csomóvektor struktúrák motívácó lokáls kotrollot alaú sle felületek T-sle kostrukcó Következő előadás 4